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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 4)

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 — 1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 4) —

 

Exercício 10 A massa de um átomo de Urânio é de {4,0\cdot10^{-26} \ kg}. Quantos átomos de urânio existem em {8 \ g} de Urânio puro.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.
Resolução 10 .

É um problema cujo método de resolução é muito comum (3 simples).

Vamos começar por converter todas as grandezas para as mesmas unidades.

Neste caso, vamos converter a massa do átomo de urânio para gramas. Como é uma unidade com prefixo k (kilo), podemos converter de mondo simples, substituindo o prefixo pelo seu valor({k = 10^3}):

\displaystyle 4,0\cdot10^{-26} \ kg = 4,0 \cdot 10^{-26}\cdot 10^{3} \ g = \ 4,0\cdot10^{-23} \ g

Em seguida, fazemos a relação de proporção.

Chamamos de {x} ao número de átomos que pretendemos calcular. Neste caso:

\displaystyle 1 \ atomo \longrightarrow 4,0\cdot10^{-23} \ g

\displaystyle x \longrightarrow 8,0 \ g

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

\displaystyle x \cdot 4,0 \cdot10^{-23} \ g = 1 \ atomos(u) \cdot 8,0 \ g

Isolando o x, obtemos:

\displaystyle x = \frac{1 \ atomo(u)\cdot 8,0 \ g}{4,0\cdot10^{-23} \ g}

Resolvendo, temos:

\displaystyle x = 2,0\cdot 10^{23} \ atomos

Em {8 \ g} de urânio puro, existem {2,0\cdot 10^{23}} átomos de Urânio.

 

 

Exercício 12 Determine a partir da representação dada, o vector {\vec{c} \ = 3 \ \vec{a} \ + 2 \ \vec{b}} .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.
Resolução 12 .

Podemos resolver este exercício utilizando a regra do paralelogramo.

Temos uma adição de 2 vectores onde nos é dado graficamente os módulos dos vectores e o ângulo entre eles.

A resolução aqui é feita apenas graficamente.

Desta feita, aplicando a regra do paralelogramo, teremos:

  • Em primeiro lugar, vamos traçar os vectores {3 \ \vec{a} } e { 2 \ \vec{b}}. Para tal, vamos na extremidade de {\vec{a}}, traçar outro vector idênticos à {\vec{a}}. Na extremidade deste segundo {\vec{a}}, traçar outro vector idênticos à {\vec{a}}. Neste caso, teremos o vector {3 \ \vec{a} }. Para o caso do vector { 2 \ \vec{b}}, o procedimento é análogo. Vamos na extremidade de {\vec{b}}, traçar outro vector idênticos à {\vec{b}}.Neste caso, teremos o vector {2 \ \vec{b} }. Veja a figura a seguir.

  • Em seguida, na extremidade do vector {3\vec{a}} traçamos uma imagem do vector {2\vec{b}} e na extremidade do vector {2\vec{b}} traçamos uma imagem do vector {3\vec{a}}.Veja a figura a seguir.

  • Em seguida, traçamos o vector resultante que terá como origem o ponto onde ambas origem dos dois vectores ({3 \vec{a}} e {2 \vec{b}}) se encontravam, e terá como extremidade o ponto de intercessão das extremidades das imagens ({3 \vec{a'}} e {2 \vec{b'}}).

    Então, na figura anterior, obtemos o vector {\vec{c}}.

 

 

Exercício 13 Determine a distância entre os corpos A e B na figura:
Resolução 13

Este é um Problema simples de Geometria Analítica. Trazemos aqui, a titulo de exemplo para aplicação em movimentos, como veremos a seguir.

Para determinarmos a distância entre os dois pontos, usaremos a formula apresenta na Geometria Euclidiana, para distância entre dois pontos num sistema de coordenadas cartesiano.

A Relação é:

\displaystyle d(A;B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Neste caso, {x_A=5; \ y_A=15; \ x_B= 25; \ y_B=5}.

Então, substituindo os valores na relação anterior, teremos:

\displaystyle d(A;B)=\sqrt{(25-5)^2+(5-15)^2}

Resolvendo, teremos:

\displaystyle d(A;B) = \sqrt{(20)^{2} \ + \ (-10)^{2}}

\displaystyle d(A;B) = \ 22,36 \ m

Logo, a distância entre os corpos A e B é igual a {22,36 \ m}.

 

 

Exercício 14

Sendo {\vec{v_{1}} \ = \ 3 \vec{e_{x}} \ + \ 2 \vec{e_{y}} \ + \ 4 \vec{e_{z}}} e {\vec{v_{2}} \ = \ 5 \vec{e_{y}} \ - \ 2 \vec{e_{z}}} Determine o módulo de {\vec{v} \ = \ \vec{v_{1}} \ + \ \vec{v_{2}}}

.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.
Resolução 14 Para determinarmos o módulo do vector {\vec{v}}, é necessário que se conheça ou que se determine o vector {\vec{v}}

Sendo este vector{(\vec{v})} a soma entre os vectores {\vec{v_{1}}} e {\vec{v_{2}}}, teremos:

\displaystyle \vec{v} \ = \vec{v_{1}} \ + \ \vec{v_{2}}

Substituindo as componentes, obtemos:

\displaystyle \vec{v} \ = (\ 3 \vec{e_{x}} \ + \ 2 \vec{e_{y}} \ +?\ 4 \vec{e_{z}}) \ + \ (5 \vec{e_{y}} \ - \ 2 \vec{e_{z}})

Efectuando a operação, teremos:

\displaystyle \vec{v} \ = \ 3 \vec{e_{x}} \ + \ 7 \vec{e_{y}} + \ 2 \vec{e_{z}}

Nota: Lembre-se que, para obtermos esta expressão, somou-se os números da mesma coordenada de ambos os vectores, ou, se quisermos usar a linguagem da álgebra, os termos semelhantes.

Então, podemos determinar o módulo do vector {\vec{v}} a partir da seguinte relação:

\displaystyle |\vec{v}| \ = \ \sqrt{x^{2} \ + \ y^{2} \ + \ z^{2}}

Onde: x, y e z são os componentes deste vectores, portanto, substituindo os valores destes componentes do vector {\vec{v}} , teremos:

\displaystyle |\vec{v}| \ = \ \sqrt{(3)^{2} \ + \ (7)^{2} \ + (2)^{2}}

Resolvendo:

\displaystyle |\vec{v}| \ = \ 7,87

Logo, o vector {\vec{v}} tem o módulo igual a {7,87} unidades.

Note: No calculo do módulo de {\vec{v}} não usamos os vectores {e_{x}, \ e_{y}, \ e \ e_{z}}. Estes vectores são unitários. Só servem para indicar as direcções.

 

Exercício 15 A soma dos módulos de dois vectores é igual a 7 m. Quando colocados perpendicularmente, o módulo da soma destes vectores é de 5 m. Quais são os módulos destes vectores?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.
Resolução 15

Este exercício é um problema simples de Geometria Analítica.

Para resolve-lo, vamos atribuir duas variáveis aos modelos dos vectores, e usaremos as condições do enunciado para formarmos um sistema de equações.

Consideramos que {x \ } é o módulo de um dos vectores e {\ y}O módulo de outro vector, então:

  • {x \ + \ y \ = \ 7} De acordo com a primeira condição dada no problema.

Quando colocados perpendicularmente estes dois vectores, o vector resultante forma a hipotenusa de um triângulo rectângulo com esses dois vectores. Então, teremos a situação da figura.

Se { | \vec{v_{1}}|= \ x}, {|\vec{v_{2}} | = \ y} e o {|\vec{v}|=5}, então, pelo Teorema de Pitágoras, teremos :

{x^{2} \ + \ y^{2} \ = \ (5)^{2}}

Formando um sistema de equações com duas equações obtidas das condições, teremos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} x & + y & = & 7\\ x^{2} & + & y^{2} & = & 25\\ \end{array}\right.

Isolando {y} na equação 1 substituindo na equação 2, teremos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} y & = 7 & - & x\\ x^{2} & + & y^{2} & = & 25 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{cccccc} y & = 7 & - & x\\ x^{2} & + & (7 \ - \ x)^{2} & \ = \ & 25 \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow x^{2} \ + \ (7 \ - \ x)^{2} \ = \ 25

Desfazendo a diferença de quadrado e efectuando as operações, teremos:

\displaystyle x^{2} \ - \ 7 \ x \ + \ 12 \ = \ 0

Resolvendo esta equação utilizando a Fórmula de Resolvente, obtemos:

\displaystyle x_{1,2} \ = \dfrac{-b \pm \ \sqrt{b^{2} \ - \ 4 \ a \ c}}{2 \ a}

,onde {a \ = \ 1} , {b \ = \ - \ 7} e {c \ = \ 12}.

Substituindo os valores e resolvendo, teremos como resultado {x_{1} \ = \ 3} e {x_{2} \ = \ 4}

Substituindo os valores de {x_{1}} e de {x_{2}} na primeira equação do sistema, e calculando os valores correspondentes de {y}, teremos as seguintes valores para {y } : {y_1 \ = \ 4 \ e \ y_2 \ = \ 3}

Logo, temos como solução : s = { \left\{\begin{array}{cccccc} (x = 4, &y = 3)\\ (x = 3, &y = 4) \end{array}\right. }

Ambas as as soluções são aceitáveis e permutadas entre si.

Desta feita, dois vectores são: {4 \ m \ e \ 3 \ m}.

Está a gostar da Abordagem? Veja também:

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