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Como a Física explica a deformação da imagem dos corpos submersos na água?

— 2.7.12. Refração em Dióptro plano —

Dióptro plano é o conjunto de dois meios homogéneos e transparentes, separados por uma superfície plana (ex: a água tranquila de um lago e o ar, ar e um objecto de vidro de superfície plana, etc.). Quando estamos fora da água e observamos um peixe que está dentro da água, temos a sensação de que o peixe se encontra a uma certa distância, mas se sentarmos apanha-lo, notamos que há uma diferença entre a posição real onde o peixe realmente se encontra e a posição da imagem deste peixe que nós vemos. O mesmo ocorre quando estando dentro da água (por exemplo de uma piscina), observamos uma pessoa que está na margem, acima da superfície livre da água.

Este fenómeno é chamado de profundidade aparente e é explicado através da lei de Snell-Descartes, quando se analisa a refração em um dióptro plano.

Um peixe dentro da água difunde luz em todas as direcções. Parte da luz difundida refrata-se ao atingir a superfície de separação dos meios água-ar.

Figura 45: Imagem observada num dióptro plano. [5]

Como a água é mais refringente que o ar (mais densa opticamente), os raios refratados da água para o ar afastam-se da normal e podem ser captados por um observador; este, em vez de ver directamente o objecto na posição {P}, vê a sua imagem, em {P'}, na intercecção dos prolongamentos dos raios refratados (imagem virtual do objecto real {P}). O observador fica com a sensação de que o objecto (no caso, o peixe) está mais próximo, quando na realidade ele está mais distante. Lembre-se que num sistema óptico qualquer, nós vemos a imagem produzida por este sistema óptico e não o objecto propriamente dito.

Figura 46: Profundidade aparente. [7]

Podemos estabelecer a relação entre profundidade real e profundidade aparente.

Na figura 46, o triângulo {API}, o ângulo interno do vértice A é {i_1} e no triângulo {A'PI} o ângulo no vértice {A'} é {i_2}. As suas tangentes são {tg (i_1) =\frac{PI}{AP}=\frac{x}{d}} e {tg (i_2) =\frac{PI}{A'P}=\frac{x}{d'}}. Dividindo estas duas relações, fica { \frac{tg (i_1)}{tg (i_2)} =\frac{d'}{d}}. Para observadores muito próximos da normal, {i_1} e {i_2} são muito pequenos , logo é válida a aproximação {tg (i_1) \approx sen (i_1) \approx i_1}. O mesmo ocorre com {i_2}. Logo a relação pode ser escrita por { \frac{tg (i_1)}{tg (i_2)} = \frac{sen (i_1)}{sen (i_2)} =\frac{n_2}{n_1} = \frac{d'}{d}}:

Neste caso a relação entre a profundidade real e a profundidade aparente será:

\displaystyle d=\frac{n_2}{n_1} . d' \ \ \ \ \ (39)

 

Observamos assim que a profundidade aparente {d'} é diferente da profundidade real {d}, podendo ser maior ou menor.

A profundidade aparente será menor do que a profundidade real se o meio no qual se situa o observador tiver um índice de refração menor do que o índice de refração do meio onde se encontra o objecto. Nestes casos o observador terá a sensação de que o objecto está mais próximo do que a sua posição real. Um exemplo disto é uma pessoa, na fora do lago que observa um peixe no lado.

De modo análogo, a profundidade aparente será maior do que a profundidade real quando o observador se encontrar num meio que tenha o índice de refração maior do que o índice de refração do meio onde se encontra o objecto. Neste caso, o observador terá a sensação de que o objecto está mais distante do que a sua posição real. Um exemplo disso é o caso de uma pessoa no interior da água que observa algo ou alguém fora da água.

Este conceito tem muitas consequências, com várias aplicações no dia-a-dia. Se quiseres atingir um peixe na água com um arpão, por exemplo, não deves atira-lo na direção da imagem que vês, mas sim um pouco abaixo dela. Caso contrário, falharás o alvo.

— 2.7.13. Superfície de faces paralelas —

Quando falamos de lâmina de faces paralelas (ou superfície de faces paralelas), falamos de uma placa de material transparente e homogénea, limitada por duas faces lisas, planas e paralelas.

Vários sistemas ópticos usados no nosso dia-a-dia são lâminas de faces paralelas, mas um exemplo mais simples são os vidro que constituem as janelas vidradas, muito comuns, nos dias de hoje.

Ao observarmos perpendicularmente sobre a lâmina, não ocorre nenhuma modificação na imagem, mas quando observamos obliquamente sobre ela, podemos notar uma certa deformação na imagem do objecto. Esta deformação será mais notada quanto maior for o índice de refração do material que constitui a lâmina, bem como quanto maior for a espessura da lâmina.

A deformação também aumenta com o aumento do ângulo de visualização. Este experimento pode ser facilmente realizado. Arranje um bloco (em forma de paralelepípedo) de material transparente (vidro, plástico ou outro). Caso não encontre o paralelepípedo, pode usar um material com outro formato qualquer, desde que tenha duas faces paralelas. Coloque um papel com letras num das faces e observe pela outra. Em seguida, vá inclinando a lâmina (em relação as letras e observa o que acontece com a imagem.

Figura 47: Trajecto de raios luminosos numa lâmina de faces paralelas. [7]

Na figura, a espessura da lâmina é designada por {e}, o seu índice de refracção relativo com respeito ao meio circundante (o ar) é {n} ({n>1}). O raio incidente {SD} é refratado pela face superior da lâmina passando de no caminho indicado pelo segmento {DF} e sai fora da lâmina no raio indicado por {FR} . Segundo a lei de Snell-Descartes, para a refracção pela face superior, temos:

\displaystyle 1. sen( i_1) = n . sen (r_1) \ \ \ \ \ (40)

 

e para a refracção pela face inferior, temos:

\displaystyle n. sen (r_2) = 1. sen (i_2) \ \ \ \ \ (41)

 

Ora, como se vê na figura, os ângulos {r_1} e {r_2} são iguais. Logo: { r1 = r2 = r} Substituindo esta igualdade nas equações 40 e 41, obtemos que:

\displaystyle i_1=i_2=i \ \ \ \ \ (42)

Ao atravessar a lâmina de faces paralelas o raio luminoso não muda de direcção de propagação. O raio emergente é paralelo ao raio incidente. Apesar de o raio emergente ser paralelo ao raio incidente, mas a imagem observada não é (em geral) igual ao objecto. Suponhamos que o objecto luminoso {S} emite raios pouco inclinados em relação a normal das faces da lâmina. A imagem de {S} criada pela lâmina será {S'}. O deslocamento da imagem em relação ao objecto é {\delta = SS'}. O afastamento entre os dois raios paralelos (incidente {SD} e emergente {FR}), ou seja, o deslocamento transversal do raio emergente em relação ao raio incidente é igual a {d}. A relação entre estes parâmetros poderá ser deduzida.

Consideremos a figura 47. O triângulo {FGD}, recto no ângulo sob o vértice {G}, o ângulo interno do vértice {F} será {i-r}. O seu seno será {sen (i-r) =\frac{DG}{DF}=\frac{d}{DF}}. Então:

\displaystyle DF=\frac{d}{sen(i-r)} \ \ \ \ \ (43)

 

No triângulo rectângulo {DEF}, recto em {E}, o ângulo sobre o vértice {D} é {r}, logo: {cos (r)= \frac{DE}{DF}=\frac{e}{DF}}. Então:

\displaystyle DF=\frac{e}{cos (r)} \ \ \ \ \ (44)

 

Combinando as expressões 43 com 44, obtemos :

\displaystyle d=\frac{e . sen (i-r)}{cos (r)} \ \ \ \ \ (45)

 

O afastamento entre os raios será directamente proporcional a espessura da lâmina. Podemos também verificar, experimentalmente , que o afastamento entre os raios {d} aumenta com o aumento do ângulo de incidência. Mas demonstrar isso matematicamente acaba por ser um pouco extenso. Por outro lado, se consideramos o triângulo {CHI}, recto em {I}, o ângulo sob o vértice {C} será {90^0-i}. Logo, o seu cosseno será {cos ( 90^0-i)=\frac{CI}{CH}=\frac{d}{\delta}}. Lembre-se que {cos(90^0-i)=sen (i) \Rightarrow sen (i)=\frac{d}{\delta}\Rightarrow d= \delta . sen (i)}. Substituindo isso na equação 43, obtemos:

\displaystyle \delta=\frac{e . sen (i-r)}{cos (r). sen (i)}\ \ \ \ \ (46)

 

Desenvolvendo o seno da diferença, separando os denominadores, e simplificando, obtemos a expressão obtemos:

\displaystyle \delta=(1-\frac{cos(i)}{n . cos (r)}).e \ \ \ \ \ (47)

 

Quando a lâmina é bastante delgada (fina, pouco espessa), podemos considerar que o raio emergente é confundido com o raio incidente.

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

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A luz pode ser usada em telecomunicações? Fibras ópticas.

— 2.7.6. Fibras ópticas —

A reflexão total interna da luz é utilizada em telecomunicações para a transmissão da luz através de cabos de fibras flexíveis transparentes chamados de fibras ópticas. As fibras ópticas permitiram o surgimento de uma nova forma de telecomunicar, que apresenta diversas vantagens em relação a comunicação tradicional por ondas electromagnéticas.

Uma das grande vantagens é a imunidade da luz às restantes ondas electromagnéticas, oferecendo assim um possibilidade de comunicar com menos ruído.

As fibras ópticas são tubos cilíndricos de vidro de quartzo ou de plástico, muito finos e transparentes, de reduzidas dimensões, usados como veículos de transmissão da luz de um meio para o outro. São constituídas por um núcleo de forma cilíndrica, de diâmetro de valor {d = 62,5 \mu m} (para a fibra de vidro) ou de {d = 900 \mu m} (para a fibra de plástico), composto por duas camadas de material transparente, sendo a camada interior o núcleo e a camada exterior o invólucro ou casca, onde o índice de refracção do núcleo {n_1} é maior que o índice de refracção do invólucro {n_2}. O conjunto é protegido de um revestimento de plástico.

 

Figura 42: Constituição da fibra óptica. [4]

A fibra é como se fosse um pequeno tubo, que permite que a luz atravesse-o sem sofrer dispersão na lateral, ou seja, sem que a luz se refrate nas paredes laterais. Um fino feixe de luz penetra por uma das extremidades do tubo (a fibra) e propaga-se ao longo da fibra, sofrendo reflexão total sempre que incida sobre a superfície de separação dos meios 1 (núcleo) e meio 2 (casca).

As fibras ópticas possuem muitas aplicações:

  • Nas telecomunicações: Os cabos ópticos constituídos por várias dezenas de fibras são mais leves que os cabos de cobre com capacidade equivalente. Em igualdade de condições, podem enviar 100.000 vezes mais informações.
  • Na medicina: Observações clínicas de vários órgãos internos como o estômago, intestinos, útero, etc., são usados dois feixes de fibras ópticas e introduzidas no interior do corpo do paciente. Um leva o sinal luminoso e, o outro, trás a imagem do órgão, permitindo ao médico fazer a observação. A fonte da luz utilizada é sempre o laser, pela sua grande potência e por poder ser transmitido por meio de feixes muito finos.
  • Na decoração: Usam-se em candeeiros e iluminação de fontenários.

 

Figura 43: Trajecto do raio luminosos através da Fibra óptica. [7]

O mecanismo básico de transmissão da luz ao longo da fibra baseia-se na óptica geométrica. A diferença do índice de refração do núcleo com relação à casca é representada pelo perfil de índices da fibra óptica. Essa diferença pode ser conseguida usando-se materiais dieléctricos distintos (por exemplo, sílica-plástico, diferentes plásticos, etc.) ou através de dopagens convenientes de materiais semicondutores (por exemplo, GeO , P O , B O , F etc.) na sílica (SiO).

A variação de índices de refração pode ser feita de modo gradual ou descontínuo, originando diferentes formatos de perfil de índices. As alternativas quanto ao tipo de material e ao perfil de índices de refração implicam a existência de diferentes tipos de fibras ópticas com características de transmissão, e, portanto, aplicações, distintas. Por exemplo, a capacidade de transmissão, geral e fundamentalmente depende (além do seu comprimento) da geometria e do perfil de índices da fibra óptica. O tipo de material utilizado, por sua vez, é determinante quanto às frequências ópticas suportadas e aos níveis de atenuação correspondente.

As características mecânicas das fibras ópticas expressam em termos de resistência e flexibilidade, dependem do material dielétrico utilizado e da qualidade dos processos de fabricação. Embora mais resistentes que fios de aço de mesmas dimensões, as fibras ópticas costumam ter a sua estrutura básica protegida das perturbações mecânicas ou ambientais por encapsulamentos ou revestimentos diversos.

 

Figura 44: Cabo óptico agrupado com 70 fibras. [7]

Elas costumam ser classificadas a partir de suas características básicas de transmissão e nas facilidades operacionais em termos de conexões e acoplamento com fontes e detectores de luz. É possível adotar classificações específicas, como:

  • Composição material: fibras com o par núcleo-casca do tipo sílica-sílica, sílica-plástico ou plástico-plástico tem propriedades distintas quanto às facilidades operacionais e de fabricação, às perdas de transmissão, à tolerância a temperaturas etc.
  • Frequências ópticas de atuação: esta classificação, que inclui, por exemplo, as fibras no infravermelho e as fibras no ultravioleta, refletem o desenvolvimento de fibras ópticas para operar fora da faixa típica actual usada em comunicações.
  • Geometria ou sensibilidade à polarização: além da secção circular típica, as fibras monomodo podem ter um núcleo de secção elíptica com implicações importantes quanto à filtragem e manutenção de polarização.

· Os Principais tipos são:

  • Fibra de Índice Degrau (Step Index);
  • Fibra de Índice Gradual (Graded Index);
  • Fibra Monomodo.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

Entenda matematicamente a ampliação de imagem do espelho. Espelhos esféricos 2.

— 2.7.9. Fórmula do espelho esférico e convenção de sinais —

Quando um objecto está diante de um espelho, definimos {d}, a distancia entre o objecto e o espelho e {d'} a distância entre a imagem e o espelho. A fórmula do espelho esférico (ou equação de Gauss) permite determinar de forma analítica as características da imagem. Esta fórmula relaciona entre si as grandezas {d}, {d'} e {f} do espelho esférico. Escolhemos sobre o eixo principal do espelho, o sentido da luz incidente como sentido positivo e sobre o eixo perpendicular ao eixo principal, o sentido apresentado para cima como sentido positivo.

Figura 41: Dedução da Equação de Gauss. [5]

Vamos imaginar que o objecto está sobre o eixo principal, a uma distancia superior ao raio, num ponto {P} (Ver fig. 41). O Ponto {P} é o objecto e o Ponto {P'} será a imagem. Podemos ver então que qualquer raio que incidir sobre o espelho passando pelo ponto {P}, quando for refletido, irá passar pelo ponto {P'}. Vamos analisar o caso de um raio incidente que seja refletido no ponto {B} do espelho.

No triângulo {PCB}, o ângulo interno no vértice {C} é {180^0-\phi}. A soma dos ângulos interno deste triângulo deve ser {180^0}, então {\alpha+180^0-\phi+\theta=180^0 }, o que nos dá :

\displaystyle \alpha+\theta=\phi. \ \ \ \ \ (28)

 

De modo análogo, no triângulo {CP'B}, o ângulo interno no vértice {P'} é {180^0-\beta}. A soma dos ângulos internos deve ser {180^0}, então {\phi+180^-\beta+\theta=180^0}, o que nos dá:

\displaystyle \theta=\beta-\phi. \ \ \ \ \ (29)

 

Substituindo 29 em 28, obtemos:

\displaystyle \alpha+\beta=2.\phi. \ \ \ \ \ (30)

 

Analisando os triângulos rectângulos, temos {tg\alpha=\frac{h}{d-\delta} }, {tg\beta=\frac{h}{d'-\delta} } e {tg\phi=\frac{h}{R-\delta} }. Para ângulos {\alpha} muitos pequenos, os ângulos {\beta} e {\phi} também o serão. Nestas circunstâncias, serão válidas as aproximações {sen\alpha\approx tg\alpha \approx \alpha} e {\delta\approx 0}. O mesmo será válido para {\beta} e para {\phi}.

Logo, as relações no triângulo reduzir-se-ão para:

\displaystyle \alpha=\frac{h}{d} \ \ \ \ \ (31)

 

\displaystyle \beta=\frac{h}{d'} \ \ \ \ \ (32)

 

\displaystyle \phi=\frac{h}{R} \ \ \ \ \ (33)

 

Combinando as equações 31, 32 e 33 com a equação 30, e eliminando {h}, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{R} \ \ \ \ \ (34)

 

Como {f=R/2\Rightarrow R=2f}, então podemos escrever:

\displaystyle \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{1}{f} \ \ \ \ \ (35)

 

Esta é a equação do espelho.

Nota: quando se aplica esta equação, é preciso recordar as seguintes convenções de sinais:

  • Se o objecto é real: {d > 0}.
  • Se o objecto é virtual: {d <0}.
  • Se a imagem é real: {d' > 0}.
  • Se a imagem é virtual: {d' <0}.
  • Se o espelho é côncavo: {f > 0}.
  • Se o espelho é convexo: {f <0}.

Podemos também deduzir a relação entre {R} e {f} a partir desta equação. Raios paralelos ao eixo principal são obtidos quando o objecto está no infinito, ou seja, {d=\infty} e a imagem será formada no foco, ou seja, {d'=f}. Substituindo isso na equação 35, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{\infty}+\frac{1}{f}=\frac{2}{R} \Rightarrow f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (36)

 

Podemos ainda deduzir a relação entre distâncias num espelho plano. Um espelho plano pode ser entendido como um espelho esférico com raio {\infty}, logo:{ \frac{1}{d}+\frac{1}{d'}=\frac{2}{\infty} \Rightarrow d=-d'}. Num espelho plano, a imagem está sempre situada no lado oposto ao objecto. Se o objecto é real, a imagem é virtual e se o objecto é virtual, então a imagem é real. A distância é igual em módulo… Mas tudo isso já foi demonstrado graficamente.

— 2.7.10. Ampliação linear do objecto —

Por definição, a ampliação linear do objecto é a razão entre o tamanho da imagem [medido transversalmente ao eixo principal) e o tamanho do objecto(também transversalmente). Se chamarmos de {h} para a altura do objecto e {h'} para a altura da imagem, então a ampliação será:

\displaystyle K=\frac{h '}{h} \ \ \ \ \ (37)

O termo ampliação poder gerar alguma confusão se associamo-lo a ideia de aumento. Em Óptica Geométrica, a ampliação refere-se apenas a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objecto, não importando se houve aumento ou diminuição. A ampliação também pode ser relacionada com outros parâmetros. Usando a congruência dos triângulos {ABV} e {A'B'V} da figura 2, temos:

\displaystyle K=-\frac{d '}{d} \ \ \ \ \ (38)

O sinal deve ser respeitado de acordo com a convenção de sinais. Se {h>0} então o objecto é directo (para cima) e se {h<0} então é invertido. o mesmo se passa com a imagem.

Nota:

  • Se {K} é positiva, a imagem {A'B'} tem o mesmo sentido que o objecto {AB}.
  • Se {K} é negativa, a imagem {A'B'} tem sentido contrário ao do objecto {AB}.
  • Se {\mid K \mid >1} a imagem é maior que o objecto.
  • Se {\mid K \mid <1} a imagem é menor que o objecto.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.].

Entendendo melhor os espelhos esféricos. Espelhos esféricos 1.

— 2.7.7. Espelhos esféricos —

O espelho esférico é uma superfície lisa, mas de forma esférica que reflete a luz.

Os espelhos esféricos apresentam, em geral, imagens sem nitidez. Gauss observou que, se os raios incidentes obedecessem a certas condições, as imagens seriam obtidas com maior nitidez. Essas condições podem resumir-se no seguinte:

  • Os raios incidentes sobre o espelho devem ser paralelos ou pouco inclinados em relação ao eixo principal e devem ser próximos ao mesmo.
  • A abertura útil do espelho deve ser pequena ({\alpha < 10^0}).

Estudaremos apenas os espelhos esféricos de Gauss.

Imaginemos uma casca metálica cuja sua superfície é refletora, quer a interior como a exterior. Se cortarmos ao meio esta casca, obtemos duas superfícies esféricas refletoras.

Figura 34: Casca esférica reflectora. Espelho Côncavo e Convexo. [4]

Se a luz estiver a refletir numa das superfícies internas de qualquer metade da casca , dizemos que o espelho é côncavo, e se a reflexão ocorrer num superfície externa qualquer de qualquer metade da casca, dizemos que o espelho é convexo. O espelho côncavo também é chamado de espelho convergente e o espelho convexo também é chamado de espelho divergente. Isso deve-se ao modo como um conjunto de raios paralelos são refletidos neles (ver figura 36).

Os principais elementos de um espelho esférico (representados na figura 35) são:

  • A recta CV, denominada eixo principal do espelho.
  • O raio de curvatura R, do espelho (raio de curvatura da esfera que constitui o espelho).
  • O ponto V (intersecção entre o eixo principal e o espelho), denominado vértice do espelho.
  • O ponto C (centro de curvatura da esfera), denominado centro do espelho.

Figura 35: Elementos do espelho. Espelho Côncavo e Convexo. [7]

Além dos pontos apresentados, há um ponto com especial destaque no espelho. O Foco.

Quando um feixe de raios luminosos paralelos incidir sobre um espelho côncavo, incidindo paralelamente ao seu eixo principal, observaremos, traçando os raios refletidos de acordo com as leis de reflexão, que eles convergem no ponto {F'}, denominado foco imagem do espelho. Por este motivo, é costume dizer que o espelho côncavo é um espelho convergente, porque os raios paralelos ao incidirem sobre ele, convergem (encontram-se) num ponto.

Por outro lado, fazendo um feixe de raios incidir paralelamente ao eixo de um espelho convexo, observamos que eles divergem após a reflexão. Entretanto, os prolongamentos de todos os raios reflectidos passam por um mesmo ponto, {F'}, que é o foco imagem do espelho convexo. Assim, tudo se passa como se o feixe divergente fosse emitido de {F'}. O espelho convexo costuma, então, ser denominado espelho divergente.

Figura 36: Foco imagem de um espelho. [7]

De acordo com o princípio de reversibilidade dos raios luminosos, se mudarmos o sentido de propagação da luz nos dois casos anteriores, ou seja, se usarmos o ponto {F'} como fontes de luz, então os raios reflectidos sobre os espelhos côncavo e convexo são raios paralelos ao eixo principal {CV}. Assim, os focos imagens {F]} são também chamados focos objectos {F}, quer dizer que, em outras palavras, para os espelhos côncavo e convexo, os focos imagem {F'} e objecto {F} são confundidos. Por isso mesmo, os focos imagem {F'} e objecto {F} de um espelho (côncavo ou convexo) podem ser chamadas simplesmente por foco do espelho.

A distância {f}, entre o foco e o vértice, é denominada distância focal do espelho.

Figura 37: Dedução da formula de Distância Focal. [7]

Na figura 37,o raio incidente é paralelo ao eixo principal {CV} do espelho côncavo. Como {C} é o centro de curvatura e {CI} é a normal ao espelho em relação ao ponto {I}, assim, podemos traçar o raio reflectido, formando com a normal um ângulo {i'} igual ao ângulo de incidência {i}. Como sabemos, o ponto em que este raio corta o eixo {CV} é o foco do espelho, visto ser um raio que incide paralelamente ao eixo principal. Pelo teorema de rectas paralelas, o ângulo {i} deve ser igual ao ângulo {x}, e como a lei de reflexão impõe que {i=i'}, então o triângulo {CFI} da figura 37 é isóscele porque tem dois ângulos iguais. Logo, {CF = FI}. Vamos agora supor que o raio incidente {S} incidem sobre o espelho em pontos muito próximos do seu vértice. Nestas condições, podemos considerar que {FI = FV}. Então {CF = FV} e {CV=CF+FV=2FV}. Como, {CV=R} e {FV=f}, logo, temos:

\displaystyle f=\frac{R}{2} \ \ \ \ \ (24)

 

Este resultado é válido também para um espelho convexo. Então, podemos destacar: A distância focal {f} de um espelho esférico é igual a metade do seu raio de curvatura {R}, isto é, {f =\frac{R}{2}} . Noutras palavras, o foco de um espelho esférico está situado no meio da distância entre o centro e o vértice do espelho. Os espelhos esféricos tem muitas aplicações em sistemas que requerem alteração do tamanho da imagem. Por exemplo: Espelho retrovisores dos veículos automóveis e não só, sistemas de captação de energia solar, sistemas de vigilância, etc. Uma outra aplicação muito importante dos espelhos esféricos é na construção de telescópios refletores. Ao contrário dos telescópios refractores, os refletores aplicam um espelho como elemento principal, ao invés de lente. O modelo mais comum é o popularmente conhecido “Newtoniano” que utiliza um espelho côncavo montado no fundo do tubo do telescópio. Aplica-se um outro espelho, chamado “secundário”, que direciona a luz captada pelo espelho principal para a direção da ocular. Esses modelos permitem grandes aberturas e quando bem construídos produzem excelentes imagens.

Figura 38:Telescópio reflector. [4]

— 2.7.8. Imagens produzidas pelos espelhos esféricos —

Podemos construir a imagem ou localizar com maior facilidade a sua posição nos espelhos esféricos fazendo uso de determinados raios luminosos, denominados raios auxiliares, os quais apresentamos a seguir:

  • O raio luminoso que incide no espelho côncavo paralelamente ao seu eixo principal, reflete-se passando pelo foco.
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho convexo paralelamente ao seu eixo, reflete-se de tal modo que o seu prolongamento passa pelo foco.
  • O raio luminoso que incide num espelho côncavo passando pelo seu foco, reflete-se paralelamente ao eixo principal do espelho.
  • Um raio luminoso que incide num espelho convexo de tal maneira que sua direcção passe pelo foco, reflete-se paralelamente ao eixo principal do espelho.
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho côncavo passando pelo seu centro de curvatura, reflete sobre si mesmo (este raio incide perpendicularmente ao espelho).
  • O raio luminoso que incide sobre o espelho convexo de tal maneira que seu prolongamento passe pelo centro de curvatura do espelho, reflete-se sobre si mesmo.
  • Um raio que incide sobre o vértice do espelho, reflete-se segundo a lei da reflexão, sendo que a normal fica sobre o eixo principal (como se o eixo principal fosse a normal).

Figura 39: Raios auxiliares. [7] Adaptado

Para encontrar a imagem que o espelho formaria de um objecto, só devemos encontrar a imagem dos vários pontos que constituem o objecto. Para encontrar cada um desses pontos imagem, devemos, com a ajuda dos raios auxiliares descritos acima traçar a dois raios que passem pelo ponto objecto e a partir dos seu raios emergentes, determinar a sua imagem. Vale recordar que, quer o objecto como a imagem podem ser virtuais ou reais.

Figura 40: Formação da imagem num espelho esférico côncavo. [7]

Para um espelho côncavo temos:

  1. Quando o objecto real {AB} está situado a uma distância {d} maior que a dupla distância focal, a sua imagem {A'B'} é real, invertida e menor que o objecto e fica situada entre o foco e o centro de curvatura do espelho.
  2. , Quando o objecto real {AB} está situado entre o foco e o centro de curvatura do espelho, a sua imagem {A'B'} é real, invertida, maior que o objecto e está situada a uma distância superior ao raio de curvatura do espelho.
  3. Quando o objecto real está situado entre o foco e o vértice do espelho, a sua imagem {A'B'} é virtual, direita e maior que o objecto.

Também podemos observar o seguinte para um espelho convexo: Quando o objecto {AB} é real e fica numa posição qualquer diante do espelho convexo, a sua imagem {A'B'} é sempre virtual, direita e menor que o objecto (ex: retrovisor de um automóvel).

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO [s.d.].

Mecânica Quântica – Exercícios de Probabilidade e Estatística


Exercício 1

  1. Para o exemplo dado no artigo Mecânica Quântica – Revisão de Probabilidade e Estatística calcule {<j>^2} e {<j^2>}:

    { {<j>^2=\left(\sum j \dfrac{N(J)}{N}\right)^2=441}}

    { {<j^2>=\sum j^2 \dfrac{N(J)}{N} =\dfrac{6434}{14}=459.6}}

  2. Determine { {\Delta j}} para cada {j}.
    { {j}} { {\Delta j=j-<j>}}
    14 { {14-21=-7}}
    15 { {15-21=-6}}
    16 { {16-21=-5}}
    22 { {22-21=1}}
    24 { {24-21=3}}
    25 { {25-21=4}}

    Assim para a variância temos

    { {\sigma ^2=\sum (\Delta j)^2 \dfrac{N(J)}{N}=\dfrac{260}{14}=18.6}}

    Logo o desvio padrão é

    { \displaystyle \sigma =\sqrt{18.6}=4.3}

    Calcule a variância e o desvio padrão usando as definições alternativas

    { {\sigma^2=<j^2>-<j>^2=459.6-441=18.6}}

    E para o desvio padrão é

    { \displaystyle \sigma =\sqrt{18.6}=4.3}

  3. Considere os primeiros { {25}} dígitos na expansão decimal de { {\pi}}. Qual é a probabilidade de obtermos cada um dos {10} dígitos assumindo que a distribuição é aleatória. Determine também o dígito mais provável, mediana, média e desvio padrão.

    Os primeiros {25} dígitos da expansão decimal de { {\pi}} são

    \displaystyle  \{3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3\}

    Assim para os dígitos temos

    { {N(0)=0}} { {P(0)=0}}
    {{N(1)=2}} { {P(1)=2/25}}
    { {N(2)=3}} { {P(2)=3/25}}
    { {N(3)=5}} { {P(3)=1/5}}
    { {N(4)=3}} { {P(4)=3/25}}
    { {N(5)=3}} { {P(5)=3/25}}
    { {N(6)=3}} { {P(6)=3/25}}
    { {N(7)=1}} { {P(7)=1/25}}
    { {N(8)=2}} { {P(8)=2/25}}
    { {N(9)=3}} { {P(9)=3/25}}

    O dígito mais provável é { {5}}. A mediana é { {4}}. A média é { {\sum P(i)N(i)=4.72}}.

    { {\sigma=2.47}}

  4. A agulha de um velocímetro é totalmente livre nas suas oscilações e ressalta perfeitamente em ambos extremos de tal modo que após sofrer um impulso a sua posição final está entre { {0}} e { {\pi}} sem qualquer preferência.
    • Qual é a densidade de probabilidade {\rho (\theta)}? Trace o gráfico de {\rho (\theta)} para {-\pi/2 \leq \theta \leq 3\pi/2}. Assegure-se que a probabilidade total é igual a {1}.

      No intervalo { {\left[0,\pi\right]}} a probabilidade da agulha cair num ângulo { {d\theta}} é { {d\theta/\pi}}. Dada a definição de densidade de probabilidade temos { {\rho(\theta)=1/\pi}}.

      Para além disso a densidade de probabilidade necessita de ser normalizada:

      \displaystyle  \int_0^\pi \rho(\theta)d\theta=1\Leftrightarrow\int_0^\pi 1/\pi d\theta=1

      que é trivialmente válido.

      O gráfico para a densidade de probabilidade é

    • Calcule { {\left\langle\theta \right\rangle}}, { {\left\langle\theta^2 \right\rangle}} e{ {\sigma}}.

      { {\begin{aligned} \left\langle\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}}}

      Para { {\left\langle\theta^2 \right\rangle}} é

      { {\begin{aligned} \left\langle\theta^2 \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta^2}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^3}{3} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi^2}{3} \end{aligned}}}

      A variância é { {\sigma^2=\left\langle\theta^2 \right\rangle-\left\langle\theta\right\rangle^2 =\dfrac{\pi^2}{3}-\dfrac{\pi^2}{4}=\dfrac{\pi^2}{12}}}.

      O desvio padrão é { {\sigma=\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}}}.

    • Calcule { {\left\langle\sin\theta\right\rangle}}, { {\left\langle\cos\theta\right\rangle}} e { {\left\langle\cos^2\theta\right\rangle}}.

      { {\begin{aligned} \left\langle\sin\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\sin\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ -\cos\theta \right]_0^\pi\\ &= \frac{2}{\pi} \end{aligned}}}

      e

      { {\begin{aligned} \left\langle\cos\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\cos\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \sin\theta \right]_0^\pi\\ &= 0 \end{aligned}}}

      Deixamos { {\left\langle\cos^2\theta \right\rangle}} como um exercício para o leitor. Lembre-se que { {\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}}.

  5. Considere a densidade de probabilidade

    \displaystyle  \rho(x)=\frac{1}{2\sqrt{hx}}

    • Calcule {\left\langle x \right\rangle} , {\left\langle x^2 \right\rangle}, {s^2} e {s}.

      Para {\left\langle x \right\rangle} temos

      { {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{h}{3} \end{aligned}}}

      Para { {\left\langle x^2 \right\rangle}} temos

      { {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\int_0^h x^{3/2}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[\frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^h\\ &= \frac{h^2}{5} \end{aligned}}}

      Assim a variância é

      { \displaystyle \sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{h^2}{5}-\frac{h^2}{9}=\frac{4}{45}h^2 }

      e o desvio padrão é

      { \displaystyle \sigma=\frac{2h}{3\sqrt{5}} }

    • Calcule a probabilidade de encontrarmos valores mais afastados do que um desvio padrão.

      Para a distância ser superior a dois desvios padrões temos duas possibilidades. A primeira é { {\left[0,\left\langle x \right\rangle+\sigma\right]}} e a segunda é { {\left[\left\langle x \right\rangle+\sigma,h\right]}}.

      Assim a probabilidade total é a soma das probabilidades associadas aos intervalos anteriores.

      Seja { {P_1}} a probabilidade associada ao primeiro intervalo e { {P_2}} a probabilidade associada ao segundo intervalo.

      { {\begin{aligned} P_1 &= \int_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[2x^{1/2} \right]_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\\ &= \frac{1}{\sqrt{h}}\sqrt{\frac{h}{3}-\frac{2h}{3\sqrt{5}}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}

      Para o segundo intervalo é

      { {\begin{aligned} P_2 &= \int_{\left\langle x \right\rangle+\sigma}^h\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \ldots\\ &=1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}

      Assim a probabilidade total { {P}} é { {P=P_1+P_2}}

      { {\begin{aligned} P&=P_1+P_2\\ &= \sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}}+1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}}\\ &\approx 0.3929 \end{aligned}}}

  6. Para a seguinte densidade de probabilidade { {\rho(x)=Ae^{-\lambda(x-a)^2}}}
    • Determine { {A}}.

      Fazendo a mudança de variável { {u=x-a}} ({ {dx=du}}) a condição de normalização fica

      { {\begin{aligned} 1 &= A\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &= A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \end{aligned}}}

      Assim para { {A}} é

      { \displaystyle A=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}}

    • Determine { {\left\langle x \right\rangle}}, { {\left\langle x^2 \right\rangle}} e { {\sigma}}.

      { {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du+a\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( 0+a\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &= a \end{aligned}}}

      Para entender porque { {\displaystyle\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du=0}} veja o artigo variáveis mudas

      Para { {\left\langle x^2 \right\rangle}} é

      { {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right) \end{aligned}}}

      ora { {\displaystyle 2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du=0}} como já vimos.

      Para o terceiro termo é { {\displaystyle a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du=a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}}}.

      O primeiro integral é o mais difícil mas podemos utilizar uma técnica especial para o resolver:

      { {\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du &= \int_{-\infty}^\infty-\frac{d}{d\lambda}\left( e^{-\lambda u^2} \right)du\\ &= -\frac{d}{d\lambda}\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &=-\frac{d}{d\lambda}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}} \end{aligned}}}

      Assim é

      { {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}}+0+a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &=a^2+\frac{1}{2\lambda} \end{aligned}}}

      A variância é

      \displaystyle  \sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{1}{2\lambda}

      Logo o desvio padrão é

      \displaystyle  \sigma=\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}

— 1. Ficheiro Mathematica —

A resolução do segundo exercício foi feita com recurso ao software Mathematica. De forma a ajudar os leitores que eventualmente usam esse mesmo software publico aqui o código utilizado:

 // N[Pi, 25]

piexpansion = IntegerDigits[3141592653589793238462643]

digitcount = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitcount, Count[A, i]]]

digitcount

digitprobability = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitprobability, Count[A, i]/25]]

digitprobability

digits = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digits, i]]

digits

j = N[digits.digitprobability]

digitssquared = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitssquared, i^2]]

digitssquared

jsquared = N[digitssquared.digitprobability]

sigmasquared = jsquared - j^2

std = Sqrt[sigmasquared]

deviations = {}

deviations = piexpansion - j

deviationssquared = (piexpansion - j)^2

variance = Mean[deviationssquared]

standarddeviation = Sqrt[variance] 

Análise Matemática – Cálculo Diferencial II

Teorema 60 {Diferenciabilidade da função composta} Seja { {D, E \in C}}, { {g:D\rightarrow E}}, { {f:E\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D\cap D'}}. Se { {g}} é diferenciável em { {c}} e { {f}} é diferenciável em { {g(c)}}, então { {f\circ g}} é diferenciável em { {c}} e é

\displaystyle   (f\circ g)'(c)=f'(g(c))g'(c) \quad\mathrm{se}\quad \varphi=f(t) \quad\mathrm{com}\quad t=g(x) \ \ \ \ \ (58)

\displaystyle   f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x) \quad\mathrm{se}\quad \varphi=f(g(x)) \ \ \ \ \ (59)

Usando a notação de Leibniz podemos escrever o teorema da seguinte maneira

\displaystyle   \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} \ \ \ \ \ (60)

Que é uma forma bastante mais sugestiva de escrever o teorema anterior pois parece sugerir que podemos cortar os termos {dt}.

Demonstração: Seja { {a=g(c)}}. Uma vez que { {f}} é diferenciável em { {a}} pelo teorema 57 vem

\displaystyle f(t)=f(a)+(f'(a)+\varphi (t)(t-a)\quad \forall t \in E

com { {\varphi}} contínua em { {a}}.

Tomando { {g(x)=t}} e { {g(c)=a}} vem que

\displaystyle  f(g(x))=f(g(c))+f'(g(c))+\varphi(g(x))(g(x)-g(c))\quad\forall x \in D

Assim

\displaystyle   \frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c}=(f'(g(c))+\varphi(g(x)))\frac{g(x)-g(c)}{x-c } \ \ \ \ \ (61)

Uma vez que { {g}} é diferenciável em { {c}} sabemos, pelo corolário 59, que {g} também é contínua em { {c}}. Assim { {\varphi (g(x))}} também é contínua em { {c}} (pelo teorema 43).

Assim

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow c}\varphi(g(x))=\varphi (g(c))=\varphi(a)=0

Tomando o limite { {x\rightarrow c}} na equação 61 vem

\displaystyle  \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c}=f'(g(c))

Que é equivalente a

\displaystyle  (f \circ g)'(c)=f'(g(c)g'(c)

\Box

Como aplicação do teorema 60 vamos estudar alguns exemplos simples:

  1. { {\left( e^{g(x)} \right)'=?}}

    Ora { {e^{g(x)}=f(g(x))}}. Tomemos { {t=g(x)}}. Assim

    { {\begin{aligned} \left( e^{g(x)} \right)' &= \left(e^t\right)'g'(x)\\ &= e^t g'(x)\\ &= e^{g(x)}g'(x) \end{aligned}}}

    Temos então

    { \displaystyle \left( e^{g(x)} \right)'=g'(x) e^{g(x)})}

  2. Seja { {\alpha\in\mathbb{R}}} e { {x>0}}. Calcule { {\left( x^\alpha \right)'}}.

    { {\begin{aligned} \left( x^\alpha\right)'&=\left( e^{\alpha\log x}\right)'\\ &=(\alpha\log x)'e^{\alpha\log x}\\ &=\dfrac{\alpha}{x}e^{\alpha\log x}\\ &=\dfrac{\alpha}{x}x^\alpha\\ &=\alpha x^{\alpha -1} \end{aligned}}}

    Que é uma generalização para a regra da derivada da potência de expoentes inteiros.

    Assim

    \displaystyle  \left( x^\alpha\right)'= \alpha x^{\alpha -1}\quad \forall\alpha\in\mathbb{R},\forall x>0

  3. { {(\log g(x))'=?}}

    Tal como no primeiro exemplo temos a seguinte estrutura que pretendemos derivar: { {\log g(x)=f(g(x))}} onde { {f(t)=\log t}} e { {t=g(x)}}.

    Assim

    { {\begin{aligned} (\log g(x))'&=(\log t)'g'(x)\\ &= \dfrac{1}{t}g'(x)\\ &=\dfrac{g'(x)}{g(x)} \end{aligned}}}

    Assim para { {g(x)>0}} vem

    \displaystyle  (\log g(x))'=\frac{g'(x)}{g(x)}

Em particular podemos calcular { {(\log |x|)'}}

{ \displaystyle (\log |x|)'=\frac{|x|'}{|x|}=\begin{cases} \dfrac{1}{|x|}\quad x>0\\-\dfrac{1}{|x|}\quad x<0 \end{cases} }

Uma vez que { {-|x|=x}} sempre que { {x<0}} temos sempre

\displaystyle  (\log |x|)'=\frac{1}{x}\quad\forall x\neq 0

Teorema 61 {Diferenciabilidade da função inversa} Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} injectiva e { {c\in D\cap D'}}. Se

  • { {f}} é diferenciável em { {c}}
  • { {f'(c)\neq 0}}
  • { {f^{-1}}} é contínua

então { {f^{-1}}} é diferenciável e é

\displaystyle   \left( f^{-1} \right)'(f(c))=\frac{1}{f(c)} \ \ \ \ \ (62)

Na notação de Leibniz é { {y=f(x)}}, { {x=f^{-1}(y)}} e a diferenciabilidade da função inversa expressa-se do seguinte modo

\displaystyle   \frac{dx}{dx}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} \ \ \ \ \ (63)

Demonstração: Omitida. \Box

Tal como no teorema 60 vamos agora analisar um caso de interesse.

Seja { {y=\sin x}} e { {x\in [-\pi /2,\pi /2]}}, então podemos definir { {x=\arcsin y}}.

Ora

  • { {f(x)}} é diferenciável
  • { {f'(x)=\cos x\neq 0}} em { {[-\pi /2,\pi /2]}}
  • { {\arcsin y}} é contínua em { {[-1,1]}} é contínua

Então

{ {\begin{aligned} (\arcsin y)' &= \left( f^{-1}(y) \right)'\\ &=\dfrac{1}{f'(x)}\\ &=\dfrac{1}{\cos x}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2x}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}} \end{aligned}}}

Finalmente

\displaystyle  (\arcsin y)'=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \quad y \in [-1,1]

Escrevendo de uma maneira mais normal

\displaystyle  (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad x \in [-1,1]

Em geral podemos ainda definir derivadas de ordem superior através de uma definição recursiva.

Vamos denotar a derivada de ordem {n} de { {f}} por { {f^{(n)}}} . Em primeiro lugar dizemos que { {f^{(0)}=f}}. Agora para { {f^{(n+1)}}} é

\displaystyle  f^{(n+1)}=\left( f^{(n)} \right)'

Ou seja:

  • { {f'=\dfrac{df}{dx}}}
  • { {f''=\dfrac{d}{dx}\dfrac{df}{dx}=\left( \dfrac{d}{dx} \right)^2 f=\dfrac{d^2}{dx^2}f}}
  • { {f'''=\dfrac{d}{dx}\dfrac{d^2}{dx^2}f=\dfrac{d^3}{dx^3}f}}
  • { {f^{(n)}=\left( \dfrac{d}{dx} \right)^n f=\dfrac{d^n f}{dx^n}}}

Dado a exposição anterior faz sentido introduzir a seguinte definição:

Definição 43 Uma função { {f}} diz-se { {n}} vezes diferenciável em { {c}} se { {f^{(n)}}} existe para todas as ordens até {n} e são finitas.

Já sabemos que uma função diferenciável é contínua mas será que a derivada de uma função diferenciável também é contínua?

A resposta a esta questão é um não e vamos apresentar o seguinte (contra)exemplo como evidência:

\displaystyle  f(x)=\begin{cases} x^2\sin (1/x) \quad &x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}

É fácil ver que { {f}} é diferenciável em { {\mathbb{R}}}

\displaystyle  f'(x)=\begin{cases} 2x\sin (1/x)-\cos (1/x) & x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}

Mas { {f'}} não é contínua em { {x=0}}. Fica como um exercício para o leitor calcular { {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)}} e { {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)}}.

Aparentemente a derivada de uma função ou é contínua ou é fortemente descontínua.

Continuando a nossa exposição vemos que faz sentido introduzirmos uma definição que caracteriza as funções de acordo com as propriedades das suas funções derivadas.

Definição 44 Uma função { {f}} diz-se ser de classe { {C^n}} se é { {n}} vezes diferenciável e { {f^{(n)}}} é contínua.

É fácil ver que uma função de classe { {C^{n+1}}} também é uma função de classe { {C^n}}.

Uma função diz-se ser de classe { {c^\infty}} se tem derivadas finitas de todas as ordens (que são necessariamente contínuas).

Se{ {f,g}} são { {n}} vezes diferenciáveis em { {c}} então { {f+g}}, { {fg}}, { {f/g\quad g(c)\neq 0}} também são { {n}} vezes diferenciáveis em { {c}}.

Definição 45 Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D}}. { {c}} é um máximo relativo de { {f}} se

\displaystyle   \exists r>0:x\in V (c,r)\cap D \Rightarrow f(x)<f(c) \ \ \ \ \ (64)

Definição 46 Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D}}. { {c}} é um mínimo relativo de { {f}} se

\displaystyle   \exists r>0:x\in V (c,r)\cap D \Rightarrow f(x)>f(c) \ \ \ \ \ (65)

Teorema 62 {Teorema do extremo interior} Seja { {I\in\mathbb{R}}} e { {c}} um ponto interior de { {I}}. Se { {f}} tem um extremo relativo em { {c}} e { {f'(c)}} existe, então { {f'(c)=0}}

Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que { {f}} tem um máximo relativo em { {c}}. Uma vez que { {c}} é um ponto interior de { {I}} e { {f'(c)}} existe, { {f_+(c)}} e { {f_-(c)}} existem e são iguais.

Por definição é { {f_+'(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}}

Por hipótese temos

\displaystyle  \exists r>0:x\in V (c,r)\cap D \Rightarrow f(x)<f(c)

Assim

\displaystyle  x\in V(c,r)\cap I\quad\mathrm{e}\quad x>c \Rightarrow \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0

Pelo corolário 31 (Análise Matemática – Limites e Continuidade II) vem

\displaystyle  f_+'(c)=\lim_{x\rightarrow c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0

Da mesma forma

\displaystyle  x\in V(c,r)\cap I\quad\mathrm{e}\quad x<c \Rightarrow \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0

Assim

\displaystyle  f_-'(c)=\lim_{x\rightarrow c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0

Uma vez que { {f_+'(c)=f_-'(c)=f'(c)}} temos que ter { {f_+'(c)=f_-'(c)=0}} e consequentemente { {f'(c)=0}}. \Box

Teorema 63 {Teorema de Rolle} Seja { {[a,b]\subset\mathbb{R}}} e { {f}} contínua tal que { {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}}}. Se { {f}} é diferenciável em { {]a,b[}} e { {f(a)=f(b)}} então existe um ponto { {c\in ]a,b[}} tal que { {f'(c)=0}}.

Demonstração: Uma vez que { {f}} é contínua no intervalo compacto { {[a,b]}} sabemos que tem um máximo e um mínimo em { {[a,b]}} (teorema 55 no artigo Análise Matemática – Limites e Continuidade VII ).

Se para { {c\in ]a,b[}} { {f(c)}} é um máximo ou um mínimo, então pelo teorema 62 { {f'(c)=0}}.

Seja agora { {m}} o mínimo e { {M}} o máximo. Vamos analisar o caso em que a função toma valores extremos ocorrem nas extremidades dos intervalos. Uma vez que por hipótese é { {f(a)=f(b)}} então { {m=M}}. Neste caso { {f}} é constante e é trivial que { {f'(c)=0\quad\forall c\in [a,b]}}. \Box

Corolário 64 Seja { {I\in\mathbb{R}}}, { {f}} contínua tal que { {f:I\rightarrow\mathbb{R}}}. Se { {f}} é diferenciável no interior de { {I}} e { {f'}} não se anula no interior de { {I}}, então { {f}} não tem mais que uma raíz em {I}.

Demonstração: Usando o método de redução ao absurdo vamos assumir que { {f}} tem duas raízes em { {I}} ({ {a}} e { {b}}). Aplicando o teorema 63 em { {[a,b]}} (uma vez que { {f(a)=f(b)}}) existe { {c}} em { {]a,b[}} tal que { {f'(c)=0}}. Assim { {f'}} anula-se no interior de { {I}} o que é contrário à nossa hipótese. \Box

Análise Matemática – Cálculo Diferencial I

— 7. Cálculo Diferencial —

Definição 37

Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D\cap D'}}. { {f}} diz-se diferenciável no ponto { {c}} se o seguinte limite existe

\displaystyle   \displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ \ \ \ \ (53)

Este limite é representado por { {f'(x)}} e diz-se que é a derivada de { {f}} em { {c}}.

Geometricamente podemos interpretar o valor da derivada no ponto {c} como sendo igual ao declive da recta tangente à curva que passa pelo ponto {c}.

Pensando em termos cinemáticos sabemos que podemos representar a evolução da posição de uma partícula pela função { {x=f(t)}}. Deste modo podemos definir a velocidade média da partícula no intervalo { {[t_0,t]}} por

\displaystyle  v_m(t_0,t)=\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}

Se quisermos determinar a velocidade da partícula num dado instante de tempo temos que partir da definição anterior e fazer com que o intervalo de tempo seja o mais pequeno e próximo possível do instante para o qual queremos saber a velocidade. Se { {f}} é uma função bem comportada o limite existe e podemos defini-lo como sendo o valor da velocidade no instante (velocidade instantânea):

\displaystyle  v(t_0)=\lim_{t\rightarrow t_0}v_a(t_0,t)=\lim_{t\rightarrow t_0}\frac{f(t)-f(t_0)}{t-t_0}=f'(t_0)

Assim o conceito de derivada serve para unificar dois conceitos que à partida eram distintos:

  • O conceito de recta tangente a uma curva, que é um conceito puramente geométrico.
  • O conceito de velocidade instantânea, que é um conceito puramente cinemático.

O facto de dois conceitos aparentemente díspares serem unificados por um objecto matemático é uma indicação da importância e profundidade do conceito de derivação.

Definição 38

Seja { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}}. Se { {c\in D\cap D_{c^+}'}}, podemos definir a derivada à direita de {f} em { {c}} por

\displaystyle   f_+'(c)=\lim_{x\rightarrow c^+}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ \ \ \ \ (54)

Definição 39

Seja { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}}. Se { {c\in D\cap D_{c^-}'}}, podemos definir a derivada à esquerda de {f} em { {c}} por

\displaystyle   f_-'(c)=\lim_{x\rightarrow c^-}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \ \ \ \ \ (55)

Definição 40

Se { {c\in D_{c^+}\cap D_{c^-}}}, dizemos que { {f'(c)}} existe sse { {f_+'(c)}} e { {f_-'(c)}} existem e são iguais.

Definição 41

Seja { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} diferenciável em { {D}}. A função { {x \in D \rightarrow f'(x)\in\mathbb{R}}} é chamada de função derivada de { {f}} e é representada por { {f'}}.

Definição 42

Fazendo a mudança de variável { {h=x-c}} na Definição 37 podemos definir a derivada de uma função num ponto através da expressão:

\displaystyle   f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \ \ \ \ \ (56)

Finalmente vamos introduzir a notação de Leibniz para denotar a derivada de {f}:

  • { {\Delta x}} representa o incremento em { {x}}.
  • { {\Delta f = f(x+h)-f(x)}} representa o incremento em { {y}}.

Se os incremento são infinitamente pequenos, ou seja, se os incrementos são infinitesimais podemos representa-los por

  • { {dx}} é o acréscimo infinitesimal em { {x}}.
  • { {df}} é o acréscimo infinitesimal em { {y}}.

Assim podemos escrever a derivada como

\displaystyle  f'(x)=\frac{df}{dx}

Como exemplo vamos calcular a derivada da função { {f(x)=e^x}}.

{ {\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^{x+h}-e^x}{h}\\ &=e^x\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{e^h-1}{h}\\ &=e^x \end{aligned}}}

Para { {x\in\mathbb{R}}}.

Como outro exemplo vamos agora calcular a derivada de { {f(x)=\log x}}

{ {\begin{aligned} f'(x)&=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log (x+h)-\log x}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log \left(x(1+h/x)\right)-\log x}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{\log (1+h/x)}{h}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{h/x}{h}\\ &=1/x \end{aligned}}}

Para { {x\in\mathbb{R}}}.

Fica como um exercício para o leitor demonstrar as seguintes igualdades:

  • { {(\sin x)'=\cos x}}.
  • { {(\cos x)'=-\sin x}}.
Teorema 57 Seja { {D\subset\mathbb{R}}}, { {f:D\rightarrow\mathbb{R}}} e { {c\in D\cap D'}}. Se { {f}} é diferenciável em { {c}}, existe uma função contínua { {\varphi:D\rightarrow\mathbb{R}}} com um zero em { {c}} tal que:

\displaystyle   f(x)=f(c)+\left( \left( f'(c)+\varphi(x) \right) (x-c) \right)\quad x\in D \ \ \ \ \ (57)

Demonstração:

Definindo { {\varphi (x)}} por:

{ \displaystyle f(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}-f'(c) \quad \mathrm{se}\quad x \in D\setminus \{c\}\\ 0 \quad \mathrm{se}\quad x =c \end{cases}}

Uma vez que { {\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\varphi (x)=\lim_{x\rightarrow c} \left(\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}-f'(c)\right)=(f'(c)-f'(c)=0 }}, vem que { {\varphi}} é contínua em { {c}}.

Para completar a nossa demonstração o leitor terá que mostrar que a nossa construção de { {\varphi}} faz com que a igualdade do teorema seja válida. \Box

Corolário 58

Seja { {f=D\rightarrow\mathbb{R}}} diferenciável em { {c}}. Então é { {f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+o(x-c)}} quando { {x\rightarrow c}}

Demonstração:

Seja { {r(x)=\varphi (x)(x-c)}}. Utilizando o Teorema 57 vem que

\displaystyle  f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+r(x)

Uma vez que { {\lim_{x\to c}\varphi (x)=\varphi (c)=0}} vem que { {r(x)=o(x-c)}} quando { {x\rightarrow c}}. \Box

Corolário 59

Seja { {f}} diferenciável em { {c}}. Então { {f}} é contínua em { {c}}

Demonstração:

Do Teorema 57 é

{ {\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow c} f(x)&=\lim_{x\rightarrow c}(f(c)+(f'(c)+\varphi (x))(x-c))\\ &=f(c) \end{aligned}}} \Box

Do Corolário 59 segue que todas as funções diferenciáveis são necessariamente contínuas. Será que o recíproco deste Corolário também é uma proposição válida?

A resposta a esta questão é: Não! Como um simples contraexemplo temos a função módulo.

Que é uma função contínua mas não é diferenciável pois no ponto {0} a derivada não existe. Uma maneira simples de ver que a derivada em {0} não existe é notar {f'_+=1} enquanto que {f'_-=-1}.

Dito de uma forma informal vemos que a derivada de uma função num dado ponto não existe sempre que a função tenha forma de um bico nesse ponto.

Um exemplo mais extremo de uma função que é contínua mas não é diferenciável é a função de Weierstrass:

\displaystyle  \sum_{n=0}^\infty a^n\cos\left( b^n\pi x \right)

com { {0<a<1}}, { {b}} um número ímpar positivo, e { {ab>1+3/2\pi}}.

Esta função é contínua em todos os pontos do seu domínio e no entanto não é diferenciável em nenhum ponto do seu domínio. Na nossa linguagem informal, que corresponde a uma intuição geométrica ingénua, podemos dizer que a função de Weierstrass tem bicos em todos os pontos do seu domínio, algo que não é fácil de visualizar.

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