Equações diferenciais homogéneas.Exercícios resolvidos

— 2. Equações diferenciais homogéneas.Exercícios resolvidos —

No artigo passado apresentamos exercícios resolvidos sobre equações diferenciais com variáveis separáveis, neste artigo vamos tratar de resolver exercícios relacionados a equações diferenciais homogéneas.Aconselhamos ao caro leitor a fazer uma revisão sobre a resolução de integrais.

Exercício 1 Cada uma das equações diferenciais apresentada é homogénea.Resolva as equações diferenciais dadas usando as substituições adequadas.

${(y^{2}+yx)dx+x^{2}dy=0}$
Solução:Usando ${y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}$ , teremos:

$\displaystyle (u^{2}x^{2}+ux^{2})dx+x^{2}(udx+xdu)=0$

dividindo por ${x^{2}}$ temos:

$\displaystyle (u^{2}+u)dx+(udx+xdu)=0 \Rightarrow (u^{2}+2u)dx+xdu)=0$

separando as variáveis,

$\displaystyle \dfrac{dx}{x}+\dfrac{du}{(u^{2}+2u)}$

integrando:

$\displaystyle \ln |x|+\dfrac{1}{2}\ln |u|-\dfrac{1}{2}\ln |u+2|=C$

$\displaystyle 2\ln |x|+\ln |u|-\ln |u+2|=2C$

$\displaystyle \ln\left|\dfrac{x^{2}u}{u+2}\right|=2C \Rightarrow \dfrac{x^{2}u}{u+2}=C_{1}$

como ${u=\dfrac{y}{x}}$ , então:

$\displaystyle \dfrac{x^{2}\dfrac{y}{x}}{\dfrac{y}{x}+2}=C_{1}\Rightarrow x^{2}y=C_{1}(y+2x)$
${\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+3y}{3x+y}}$
Solução:podemos escrever a equação da seguinte maneira:

$\displaystyle (x+3y)dx-(3x+y)dy=0$

Usando ${y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}$ , teremos:

$\displaystyle (x+3ux )dx-(3x+ux )(udx+xdu)=0$

dividindo por ${x}$ temos:

$\displaystyle (1+3u )dx-(3+u)(udx+xdu)=0$

multiplicando as variáveis e organizando temos

$\displaystyle (u^{2}-1)dx+x(u+3)du=0$

separando as variáveis,

$\displaystyle \dfrac{dx}{x}+\dfrac{u+3}{(u-1)(u+1)}du=0$

integrando

$\displaystyle \ln|x|+2\ln|u-1|-\ln|u+1|=C \Rightarrow \ln\left|\dfrac{x(u-1)^{2}}{u+1}\right|=C$

$\displaystyle \dfrac{x(u-1)^{2}}{u+1}=C_{1}$

sabemos que ${u=\dfrac{y}{x}}$ , então:

$\displaystyle \dfrac{x\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^{2}}{\dfrac{y}{x}+1}=C_{1}\Rightarrow (y-x)^{2}=C_{1}(y+x)^{2}$
${xdx+(y-2x)dy=0}$
Solução:Usando ${x=vy \Rightarrow dx=vdy+ydv}$ , teremos:

$\displaystyle vy(vdy+ydv)+(y-2vy)dy=0$

dividindo por ${y}$ temos:

$\displaystyle v(vdy+ydv)+(1-2v)dy=0$

multiplicando as variáveis e organizando temos:

$\displaystyle vydv+(v^{2}-2v+1)dy=0$

separando as variáveis temos

$\displaystyle \dfrac{vdv}{(v-1)^{2}}+\dfrac{dy}{y}=0\Rightarrow \dfrac{(v-1)dv}{(v-1)^{2}}+\dfrac{dv}{(v-1)^{2}}+\dfrac{dy}{y}=0$

integrando

$\displaystyle \ln |v-1|-\dfrac{1}{v-1}+\ln |y|=C$

sabemos que ${v=\dfrac{x}{y}}$ então:

$\displaystyle \ln \left|\dfrac{x}{y}-1\right|-\dfrac{1}{\dfrac{x}{y}-1}+\ln |y|=C$

podemos escrever a solução da seguinte maneira

$\displaystyle (x-y)\ln |x-y|-y=C(x-y)$
${[x-y\arctan (y/x)]dx+x\arctan (y/x)dy=0}$
Solução:se ${y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}$ , substituindo na equação temos:

$\displaystyle [x-ux\arctan u]dx+x\arctan u(udx+xdu)=0$

simplificando as variáveis temos:

$\displaystyle dx+x\arctan u du=0$

separando as variáveis tem-se

$\displaystyle \dfrac{dx}{x}+\arctan udu=0$

integrando,

$\displaystyle \ln|x|+u\arctan u-\dfrac{1}{2}\ln |1+u^{2}|=\ln C$

como ${u=\dfrac{y}{x}}$ , então:

$\displaystyle \ln|x|+\dfrac{y}{x}\arctan \left(\dfrac{y}{x}\right)-\dfrac{1}{2}\ln \left|1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}\right|=\ln C$

organizando a solução tem-se:

$\displaystyle 2y\arctan \left(\dfrac{y}{x}\right)=x\ln \left|\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}}\right|+C_{1}$

onde ${C_{1}=\ln C^{2}}$
${[y\cos (y/x)+x\sin (y/x)]dx=x\cos (y/x)dy}$
Solução:se ${y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}$ , substituindo na equação dada obtemos:

$\displaystyle (ux\cos u+x\sin u)dx=x\cos u (udx+xdu)$

agrupando os termos semelhantes e simplificando obtém-se:

$\displaystyle \sin udx=x\cos udu$

separando as variáveis,

$\displaystyle \dfrac{dx}{x}=\dfrac{\sin u}{\cos u}du$

integrando,

$\displaystyle \ln x=\ln \sin u +\ln C\Rightarrow x=C\sin u$

como ${u=\dfrac{y}{x}}$ , então:

$\displaystyle x=C\sin \dfrac{y}{x}$
${x\dfrac{dy}{dx}=y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$
Solução:A equação diferencial dada pode ser escrita da seguinte maneira:

$\displaystyle (y+\sqrt{x^{2}+y^{2}})dx-xdy=0$

se ${y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}$ , substituindo na equação acima obtemos:

$\displaystyle (ux+\sqrt{x^{2}+u^{2}x^{2}})dx-x(udx+xdu)=0$

agrupando os termos e simplificando temos:

$\displaystyle x\sqrt{1+u^{2}}dx-x^{2}du=0$

separando as variáveis:

$\displaystyle \dfrac{dx}{x}-\dfrac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}=0$

integrando,

$\displaystyle \ln |x|-\ln \left|u+\sqrt{1+u^{2}}\right|= C \Rightarrow \dfrac{x}{(u+\sqrt{1+u^{2}})}=e^{C}$

como ${u=\dfrac{y}{x}}$ , então:

$\displaystyle \dfrac{x}{\dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}}=C_{1}$

simplificando a equação temos

$\displaystyle x^{2}=C_{1}(y+\sqrt{y^{2}+x^{2}})$

Exercício 2 Resolva os problemas com os valores iniciais dados usando substituições apropriadas

${ydx+x(\ln x-\ln y-1)dy=o, \quad y(1)=e}$
Solução:Se ${x=vy \Rightarrow dx=vdy+ydv}$ substituirmos na equação, teremos:

$\displaystyle y(vdy+ydv)+vy(\ln vy-\ln y-1)dy=o$

$\displaystyle (vdy+ydv)+v(\ln v+ \ln y-\ln y-1)dy=o$

$\displaystyle vdy+ydv+v\ln v dy-vdy=o\Rightarrow ydv+v\ln v dy=0$

separando as variáveis:

$\displaystyle \dfrac{dv}{v\ln v}+\dfrac{dy}{y}=0$

integrando

$\displaystyle \ln|\ln |v||+\ln |y|=C \Rightarrow \ln |y\ln |v||=C\Rightarrow y\ln |v|=C_{1}$

sabemos que ${v=\dfrac{x}{y}}$ então:

$\displaystyle y\ln \left|\dfrac{x}{y}\right|=C_{1}$

usando ${y(1)=e}$ nos encontramos

$\displaystyle e\ln \left|\dfrac{1}{e}\right|=C_{1}\Rightarrow C_{1}=-e$

a solução do problema de valor inicial será:

$\displaystyle y\ln \left|\dfrac{x}{y}\right|=-e$
${(x+ye^{y/x})dx-xe^{y/x}dy=0, \quad y(1)=0}$
Solução:Usando ${y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}$ , teremos:

$\displaystyle (x+uxe^{u})dx-xe^{u}(udx+xdu)=0$

dividindo por ${x}$ temos:

$\displaystyle (1+ue^{u})dx-e^{u}(udx+xdu)=0$

multiplicando e organizando as variáveis teremos:

$\displaystyle dx-xe^{u})du=0$

agora vamos separar as variáveis

$\displaystyle \dfrac{dx}{x}-e^{u}du=0$

integrando a equação temos

$\displaystyle \ln |x|-e^{u}=C$

sabemos que ${u=\dfrac{y}{x}}$ , então:

$\displaystyle \ln |x|-e^{\frac{y}{x}}=C$

usando ${y(1)=0}$ , obtemos

$\displaystyle \ln |1|-e^{\frac{0}{1}}=C \Rightarrow C=-1$

A solução do problema de valor inicial é:

$\displaystyle \ln |x|-e^{u}=-1$
${(x^{2}+2y^{2})dx-xydy=0, \quad y(-1)=1}$
Solução:Usando ${y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}$ , teremos:

$\displaystyle (x^{2}+2u^{2}x^{2})dx-ux^{2}(udx+xdu)=0$

vamos dividir por ${x^{2}}$ e depois multiplicamos e simplificamos os termos semelhantes:

$\displaystyle (1+u^{2})dx-uxdu=0$

separando as variáveis,

$\displaystyle \dfrac{dx}{x}-\dfrac{udu}{1+u^{2}}=0$

integrando,

$\displaystyle \ln |x|-\dfrac{1}{2}\ln |1+u^{2}|=C\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{1+u^{2}}=e^{2C}$

como ${u=\dfrac{y}{x}}$ , então:

$\displaystyle \dfrac{x^{2}}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}=C_{1}$

organizando a equação,

$\displaystyle x^{4}=C_{1}(y^{2}+x^{2})$

usando a condição inicial ${y(-1)=1}$ temos:

$\displaystyle (-1)^{4}=C_{1}(1^{2}+(-1)^{2})\Rightarrow C_{1}=\dfrac{1}{2}$

A solução do problema de valor inicial é:

$\displaystyle x^{4}=\dfrac{1}{2}(y^{2}+x^{2})$

No próximo artigo vamos apresentar exercícios resolvidos sobre as equações diferenciais exatas.

1 Comentário

Isaac Galdino Nogueira diz:

12/27/2017 às 11:24 pm

Eis meu resultado para o exercício 1: 2x/(Kx²-1). Este também é o mesmo resultado obtido através do WolframAlpha.

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