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1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica

05/17/2018 4:08 pm / 2 comentários em 1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica

Séries Numéricas

— 1. Conceitos Fundamentais —

Definição 1 Uma sucessão de números reais é simplesmente uma sequência infinita de números. Tipicamente utilizamos letras minúsculas para designar sucessões (a,u,v, e assim sucessivamente) e referimo-nos ao n-ésimo termo da sucessão u como ${u_n}$ . como ${u_2}$ designa o segundo termo da sucessão ${u}$ .

Exemplo 1 As seguintes sequências são exemplos de sucessões reais.

a) ${\{1,2,3,4,5,6,7...\}}$
b) ${\{ 1,4,9,16,25,36...\}}$ Estas sucessões têm uma regularidade bastante clara. A primeira é a sucessão de números naturais, a Segunda é a Sucessão dos Quadrados Perfeitos.

Teste da Convergencia das Sucessões Uma Sucessão infinita é convergente, se existe o limite da sucessão ${a_n}$ , quando ${n \rightarrow }$ ${\infty}$ .

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = L$

onde ${L}$ é um número.

Exemplo 2

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{2^n} = 0$

avaliando para ${x=1}$ ,

{ ${ 1, 1^2, 1^3, 1^4,..}$ } ${ = 1^n , n = 1, 2, 3,...}$

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 1^n = 1$

. Portanto, para ${x=1}$ é convergente. avaliando para ${x=2}$ , { ${2, 2^2, 2^3, 2^4,...}$ } ${ = {2,4,8,16,...} = 2^n}$

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 2^n = \infty$

. Portanto, para ${x=2}$ é divergente.

Definição 2 Seja ${a}$ uma sucessão chama-se sucessão das somas parciais de ${a}$ à sucessão ${S_a}$ tal que

$\displaystyle S(a)_n = a_0+a_1+a_2+...+a_n+... = \sum_{i = 0 }^n a_i$

chama-se série a expressão formal que denota a soma de todos os termos de ${a}$ ,

$\displaystyle \sum_{n = 0 }^\infty a_n$

e se ${\lim S(a)_n}$ , existir e for finito, dizemos que a série é somável ou convergente e que o seu valor é esse limite. caso contrário diz-se a série é divergente. tal como a definimos, o valor de uma série(também chamado a soma da série)é simplesmente um limite de uma sucessão, a sucessão ds somas parciais doutra sucessão. É precisamente esta definição intuitiva de série como a soma de todos os termos das sucessão: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, então faz sentido dizer que esse limite é a soma de todos esses valores.

Critérios Para Conferir a Convergência das Séries Numéricas

Definição 3 Critério de Cauchy, Para que a série numérica seja convergente, é necessário e suficiente que para todo ${\epsilon>0}$ , exista ${N=N_\epsilon}$ , tal que para todos os n>1 e p=1,2,…, cumpra-se a desigualdade ${ \mid S_{n+p} - S_n\mid = \mid u_{n+1} + u_{n+2} + u_{n+3}+...+u_{n+p}\mid<\epsilon}$ critério necessário de convergência: se a série converge, então

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} u_n = 0$

. Este critério é necessário, mas não é suficiente. Quer dizer que quando uma série não o cumpre, então a série é divergente. Mas se uma série o cumpre, então não pode-se dizer nada sobre a convergência.

Exemplo 3 Mostre que a série

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}$

converge e ache sua soma. repare que a fracção ${\frac{1}{x(x+1)}}$ pode-se representar também como ${\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}}$ , dai que ${ S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1}}$ ,

${ S_2 =\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}}$ ,
${ S_3 = \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}}$ , e assim por diante. esta propriedadeda da série
$\displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}$

chama-se de telescópica. daí que ${ S_n=1-\frac{1}{n+1}}$ . portanto,

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n+1}) = 1$

; ou seja , a série é convergente e sua soma é igual a 1. Repare-se que neste caso, conferimos que a série é convergente, como consequência de ter determinado sua soma. Como provamos que a série tem soma, então a série é convergente.

Este exemplo é muito especial, porque é relativamente fácil determinar a soma da série

$\displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}$

. Nem sempre é possível achar uma expressão para a soma de uma série. Daí que geralmente o mais importante é apenas conferir se a série é ou não é convergente.

Luso Academia

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