Um corpo está pendurado em uma mola de e oscila com uma amplitude de .

Qual é a velocidade máxima desta oscilação e a massa do corpo, se o seu período for de ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

A velocidade máxima de um MHS é dada na forma:

Por sua vez, sabemos que, para qualquer evento período:

Logo, substituindo na equação anterior, obtemos:

Para determinarmos a massa, podemos usar a relação de para o sistema massa-mola. Sabemos que neste sistema, a relação o é dado por:

Ou:

Então, isolando a massa, obtemos:

Substituindo pela sua relação com o período, obtemos:

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Em qualquer ponto do percurso em uma oscilação, a energia total do corpo é a soma da energia cinética com a energia potencial do corpo naquele ponto, ou seja:

Pretende-se saber qual é a velocidade do corpo no ponto onde a energia cinética é o dobro da energia potencial,ou seja:

Substituindo a equação 2 na equação 1, temos:

Substituindo as energias cinéticas e total pelos seus equivalentes, obtemos:

Isolando a velocidade, obtemos:

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 18 .
Dados

Na figura ilustramos o sistema em 3 situações diferentes:

• Situação 1 – O corpo está na altura de 10 cm e a mola está relaxada. O corpo, inicialmente em repouso, cai em direcção a mola.
• Situação 2 – O corpo chega na mola (e fica preso nela). A partir daqui a mola e o corpo movem-se como um só. até o momento do encontro, o movimento era acelerado e com aceleração constante. Após esse encontro, no corpo começa a actuar a força elástica e portanto a sua aceleração começa a diminuir. A medida em que o corpo desce, a mola se vai comprimindo mais, a força elástica vai aumentando e a aceleração do corpo diminui até zero e em seguida aumenta negativamente. Ai o corpo começa a fazer um movimento retardado.
• Situação 3 – Após a sua velocidade reduzir até zero, o corpo pára momentaneamente (e em seguida faz o movimento de retorno a posição de equilíbrio).

Vamos adoptar a posição da situação 3 como referencial de altura.

De acordo com a ilustração do fenómeno é possível concluir que:

• A oscilação começou no ponto de equilíbrio;
• Na posição da situação 1 o corpo estava em repouso. Existe apenas a energia potencial gravítica (devido a altura de );
• Na posição da situação 2, após cair aos , o corpo está em movimento com uma velocidade definida pela altura de queda. O sistema possuí energia cinética (do corpo) e energia potencial gravítica (devido a altura );
• Após comprimir a mola até ao máximo, o corpo para. Nesse momento o sistema só tem a energia potencial elástica.

Usando a descrição acima, para a situação 1, a energia do sistema será:

Para a situação 2, a energia do sistema será:

Para a situação 3, a energia do sistema será:

Sabemos que neste movimento apenas actuam as forças de gravida e elástica, que são ambas conservativas. Então, a energia mecânica deste sistema permanece constante:

Obtemos a partir desta análise um sistema de 3 equações. Resolvendo-o, podemos obter todos os valores desconhecidos (, e ). Para obter a amplitude, podemos igualar as equações de e . Neste caso, obteremos:

Substituindo os dados, obtemos:

Em seguida, resolvemos a equação do segundo grau obtida pela fórmula resolvente ou por qualquer outro método conveniente.

Obtemos os seguintes resultados: e .

como sabemos, a amplitude não pode ser negativa, então o valor aceite para amplitude deste MHS é: