— 7. Cálculo Diferencial —

Geometricamente podemos interpretar o valor da derivada no ponto como sendo igual ao declive da recta tangente à curva que passa pelo ponto .

Pensando em termos cinemáticos sabemos que podemos representar a evolução da posição de uma partícula pela função . Deste modo podemos definir a velocidade média da partícula no intervalo por

Se quisermos determinar a velocidade da partícula num dado instante de tempo temos que partir da definição anterior e fazer com que o intervalo de tempo seja o mais pequeno e próximo possível do instante para o qual queremos saber a velocidade. Se é uma função bem comportada o limite existe e podemos defini-lo como sendo o valor da velocidade no instante (velocidade instantânea):

Assim o conceito de derivada serve para unificar dois conceitos que à partida eram distintos:

• O conceito de recta tangente a uma curva, que é um conceito puramente geométrico.
• O conceito de velocidade instantânea, que é um conceito puramente cinemático.

O facto de dois conceitos aparentemente díspares serem unificados por um objecto matemático é uma indicação da importância e profundidade do conceito de derivação.

Finalmente vamos introduzir a notação de Leibniz para denotar a derivada de :

• representa o incremento em .
• representa o incremento em .

Se os incremento são infinitamente pequenos, ou seja, se os incrementos são infinitesimais podemos representa-los por

• é o acréscimo infinitesimal em .
• é o acréscimo infinitesimal em .

Assim podemos escrever a derivada como

Como exemplo vamos calcular a derivada da função .

Para .

Como outro exemplo vamos agora calcular a derivada de

Para .

Fica como um exercício para o leitor demonstrar as seguintes igualdades:

• .
• .

Teorema 57 Seja , e . Se é diferenciável em , existe uma função contínua com um zero em tal que: Demonstração: Definindo por: Uma vez que , vem que é contínua em . Para completar a nossa demonstração o leitor terá que mostrar que a nossa construção de faz com que a igualdade do teorema seja válida.

Do Corolário 59 segue que todas as funções diferenciáveis são necessariamente contínuas. Será que o recíproco deste Corolário também é uma proposição válida?

A resposta a esta questão é: Não! Como um simples contraexemplo temos a função módulo.

Que é uma função contínua mas não é diferenciável pois no ponto a derivada não existe. Uma maneira simples de ver que a derivada em não existe é notar enquanto que .

Dito de uma forma informal vemos que a derivada de uma função num dado ponto não existe sempre que a função tenha forma de um bico nesse ponto.

Um exemplo mais extremo de uma função que é contínua mas não é diferenciável é a função de Weierstrass:

com , um número ímpar positivo, e .

Esta função é contínua em todos os pontos do seu domínio e no entanto não é diferenciável em nenhum ponto do seu domínio. Na nossa linguagem informal, que corresponde a uma intuição geométrica ingénua, podemos dizer que a função de Weierstrass tem bicos em todos os pontos do seu domínio, algo que não é fácil de visualizar.