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1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 1)

09/27/2020 8:26 pm / Deixe um comentário

— 1. Exercício sobre Calor e Temperatura —

— 1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica —

Exercício 1 Um quadrado de área interna de ${2,35 \ m^{2}}$ foi montado com duas hastes de alumínio ${(\alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1} )}$ e duas hastes de aço ${(\alpha_{Aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1})}$ , todos inicialmente à mesma temperatura de ${27 \ ^{o}C}$ , conforme a figura abaixo. O sistema é, então, submetido a um processo de aquecimento, de forma que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura final de ${100 \ ^{o}{\mathbb C}}$ .

Considerando que no final as hastes de alumínio continuam perpendiculares as hastes de aço, determine a área do plano limitado pelas hastes após o aquecimento.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 1 .

O problema em questão trata de dilatação térmica dos corpos (expansão dos corpos). É dada uma área ${ A_{o}=2,35 \ m^{2}}$ limitada por duas hastes de alumínio e duas hastes de aço sob uma temperatura ${ t_{o}=27\ ^{o}C}$ .

Dado que a área limitada é a área de quadrado, então, de acordo a definição da área de um quadrado, temos que:

$\displaystyle A_{o}=l_{o Aco} \cdot l_{o Al} \ \ \ \ \ (1)$

Onde:
${ l_{o Aco}}$ – Comprimento da haste de aço.

${ l_{o Al}}$ – Comprimento da haste de alumínio.

Por outro lado, para que as hastes de alumínio e de aço formem ou limitem a área de um quadrado deve-se cumprir a seguinte condição:

$\displaystyle l_{o Aco}=l_{o Al}=l_o \ \ \ \ \ (2)$

Então, cada haste de alumínio e/ou de aço possui um comprimento ${ l_{o}}$ inicialmente.

Entretanto, depois de aquecidas as hastes de aço e alumínio, de modo que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura de ${ 100\ ^{o}C}$ , cada uma das hastes, de alumínio e aço, dilatam e ganham novos comprimento ${ l_{Al}}$ e ${ l_{Aco}}$ que são diferentes, pois os seus coeficientes de dilatação linear são diferentes, com ${ \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$ e ${ \alpha_{Aco}= 1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$ .

Dados:
${ A_{0}=2,35 \ m^{2}}$
${ t_{0}=27\ ^{o}C}$
${ \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$
${ \alpha_{aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$
${ t=100 \ ^{o}C}$

Depois do aquecimento até ${ t=100 \ ^{o}C}$ , as hastes de alumínio ainda permanecem perpendiculares as hastes de aço, conforme enunciado. Logo, como o aumento nos comprimentos nas hastes, temos uma nova área.

Então, a nova área limitada pelas hastes de alumínio e aço é dada como sendo o produto dos comprimento finais das hastes, ${ l_{Al}}$ e ${ l_{Aco}}$ , de alumínio e aço respectivamente.

$\displaystyle A=l_{Al} \cdot l_{Aco} \ \ \ \ \ (3)$

Pela figura acima percebe-se que:

$\displaystyle l_{Al}=l_{o} + \Delta l_{Al} \ \ \ \ \ (4)$

$\displaystyle l_{Aco}=l_{o} + \Delta l_{Aco} \ \ \ \ \ (5)$

Onde: ${ \Delta l_{Al}}$ e ${ \Delta l_{Aco}}$ são os aumentos nos comprimentos das hastes, devido o aquecimento, do alumínio e do aço, respectivamente.

Para determinarmos a área que as hastes de alumínio e aço vão limitar após o aquecimento, substituímos as equações 4 e 5 na equação 3. Obtemos:

$\displaystyle A= (l_{o}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{o}+ \Delta l_{Aco}) \ \ \ \ \ (6)$

Determinamos ${ l_{o}}$ pela equação 3:

$\displaystyle A_{o}=l_{o} \cdot l_{o} \Rightarrow A_{o}=l^{2}_{o}$

Invertendo a igualdade:

$\displaystyle l^{2}_{o}=A_{o} \Rightarrow l_{o} = \sqrt{A_{o}}$

Substituindo os dados:

$\displaystyle l_{o}=\sqrt{2,35}=1,533 \ m$

$\displaystyle \\ l_{o}=1,533 \ m$

Determinemos ${ \Delta l_{Al}}$ e ${ \Delta l_{Aco}}$ através da relação da dilatação linear.

Para o alumínio:

$\displaystyle \Delta l_{Al}=l_{o} \cdot \alpha_{Al} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (7)$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta l_{Al}=1,533 \cdot 2,4 \cdot 10^{-5} \cdot (100-27)$

$\displaystyle \Delta l_{Al}=2,685 \cdot 10^{-3} \ m$

Para o aço:

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=l_{Aco} \cdot \alpha_{Aco} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (8)$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,533 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5}(100-27)$

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,343 \cdot 10^{-3} \ m$

Portanto, a área limitada pelas hastes após o aquecimento é:

$\displaystyle A=(l_{Al}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{Aco}+ \Delta l_{Aco})$

$\displaystyle A=(1,533+2,685 \cdot 10^{-3}) \cdot (1,533+1,343 \cdot 10^{-3})$

$\displaystyle A=2,356 \ m^{2}$

Exercício 2 Uma ponte tem comprimento ${L_1 = 145 \ m}$ à temperatura de ${{26} \ ^oC}$ . É construída de uma liga metálica especial com o coeficiente de expansão térmica ${\alpha = 1 \cdot 10^{-5} \ (^o{\mathbb C}^{-1})}$ . Calcule o comprimento ${L_2}$ da ponte quando a temperatura for de ${{43} \ ^oC}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 2 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica que um corpo sofre quando é submetido a variações de temperatura.

Dados

${L_1=145 \ m}$

${t_1 ={26} \ ^oC}$

${\alpha=1 \cdot 10 \ ^{-5} \ ^oC^{-1}}$

${L_2 \longrightarrow?}$

${t_2 ={43} \ ^oC}$

A equação da dilatação térmica de um sólido é:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t$

Mas ${\Delta L=L_2 - L_1 \ }$ e ${\Delta t = t_2 - t_1}$ .
Substituindo na equação anterior temos:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t \Rightarrow L_2 - L_1 = \alpha L_1(t_2 - t_1)$

Isolando ${L_2}$ , tem-se:

$\displaystyle L_2 = \alpha L_1(t_2 - t_1) + L_1 \Rightarrow L_2 = L_1[\alpha (t_2 - t_1) + 1]$

Substituindo os valores:

$\displaystyle L_2= 145 \ [1 \cdot 10^{-5} \ (43 - 26) + 1]$

$\displaystyle L_2 = 145,025 \ m$

Exercício 3 Na temperatura ambiente ( ${26 \ ^oC}$ ) os carris dos caminhos de ferro são montados em unidades de ${12 \ m}$ de comprimento. Entre duas destas unidades fica sempre uma distância de ${8,7 \ mm}$ livre para compensar expansão térmica dos carris. Calcule a temperatura máxima ${T}$ , que considerou o projectista? O coeficiente da expansão térmica do aço utilizado é de ${\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 3 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica numa linha férrea. Para sabermos a temperatura máxima ${T}$ considerada pelo projectista é suficiente que a variação do comprimento de cada peça seja igual a distância livre entre elas.

Dados

${t_o ={26} \ ^oC}$

${l_o = 12\ m}$

${d = 8,6\ mm = 8,6\cdot 10^{-3}\ m}$

${t \longrightarrow?}$

${\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}$

A equação da dilatação linear é:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o \Delta T)$

$\displaystyle \Rightarrow \Delta l = \alpha l_o (t - t_o)\$

Note que a variação de temperatura em Graus Celcius é igual a variação da temperatura em Kelvins.

Para se saber a temperatura máxima considerada pelo projetista é suficiente que, ${\Delta l = d}$ . Substituindo na relação anterior, obtemos:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o (t - t_o) \Rightarrow d = \alpha l_o (t - t_o)$

Isolando ${t}$ :

$\displaystyle t - t_o = \dfrac{d}{\alpha l_o} \Rightarrow t = \dfrac{d}{\alpha l_o} + t_o$

Substituindo os valores de ${t}$ , ${l_o}$ , ${d}$ e ${\alpha}$ na equação anterior, obtemos:

$\displaystyle t = \dfrac{8,6 \cdot 10^{-3}}{1,1 \cdot 10^{-5} \cdot 12} + 26$

$\displaystyle t = 91,15 \ ^oC$

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.2. Exercícios sobre sistema massa-mola (Parte 1)

09/08/2020 7:39 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Sistema massa-mola —

Exercício 16 .

Um corpo está pendurado em uma mola de ${ k= 600 \ N/m}$ e oscila com uma amplitude de ${5 \ cm}$ .

Qual é a velocidade máxima desta oscilação e a massa do corpo, se o seu período for de ${1 \ s}$ ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 16 .
Dados
${k= \ 600 \ N/m}$
${A= \ 5 \ cm= \ 0,05 \ m}$
${T= \ 1 \ s}$
${v_M \rightarrow ?}$
${m \rightarrow ?}$

A velocidade máxima de um MHS é dada na forma:

$\displaystyle v_M= A \cdot\omega$

Por sua vez, sabemos que, para qualquer evento período:

$\displaystyle \omega= \dfrac{2 \pi}{T}$

Logo, substituindo na equação anterior, obtemos:

$\displaystyle v_M= A \cdot \dfrac{2 \pi}{T}$

$\displaystyle \Rightarrow v_M=0,05 \cdot \dfrac{2 \pi}{1}$

$\displaystyle \Rightarrow v_M= \ 0,314 \ m/s$

Para determinarmos a massa, podemos usar a relação de ${\omega}$ para o sistema massa-mola. Sabemos que neste sistema, a relação o ${\omega}$ é dado por:

$\displaystyle \omega = \sqrt{ \dfrac{k}{m} }$

Ou:

$\displaystyle \omega^2 = \dfrac{k}{m}$

Então, isolando a massa, obtemos:

$\displaystyle m= \dfrac{k}{\omega^2}$

Substituindo ${\omega}$ pela sua relação com o período, obtemos:

$\displaystyle m= \dfrac{k}{(2 \pi / T)^2}$

$\displaystyle \Rightarrow m= \dfrac{600}{(2 \pi / 1)^2}$

$\displaystyle \Rightarrow m= \ 15 \ kg$

Exercício 17 .
Um corpo de ${ 0,1 \ kg}$ preso em uma mola ideal de rigidez elástica de ${200 \ N/m}$ oscila em MHS com ${5 \ cm}$ de amplitude. Qual é a velocidade do corpo no momento em que a energia cinética do corpo é o dobro da energia potencial?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 17 .
Dados
${m= \ 0,1 \ kg}$
${k= \ 200 \ N/m}$
${A= \ 5 \ cm= \ 0,05 m}$
${m \rightarrow ?}$ ( ${E_c=2E_p}$ )

Em qualquer ponto do percurso em uma oscilação, a energia total do corpo é a soma da energia cinética com a energia potencial do corpo naquele ponto, ou seja:

$\displaystyle E_c + E_p = E_{Total} \ \ \ \ \ (1)$

Pretende-se saber qual é a velocidade do corpo no ponto onde a energia cinética é o dobro da energia potencial,ou seja:

$\displaystyle E_c=2 E_p \ \ \ \ \ (2)$

Substituindo a equação 2 na equação 1, temos:

$\displaystyle 2E_p + E_p = E_{Total}$

$\displaystyle 3E_p = E_{Total}$

Substituindo as energias cinéticas e total pelos seus equivalentes, obtemos:

$\displaystyle 3\dfrac{mv^2}{2}= \dfrac{kA^2}{2}$

Isolando a velocidade, obtemos:

$\displaystyle v= \sqrt{ \dfrac{k}{3m} \cdot A^2}$

$\displaystyle \Rightarrow v=1,29 \ m/s$

Exercício 18 .
Um corpo caindo de uma altura de ${10 \ cm }$ (em relação ao topo da mola), comprime a mola (ficando presa nesta) e inicia um MHS .Sendo a massa do corpo de ${100 \ g}$ e a constante da mola ${20 \ N/m}$ , determine a amplitude desta oscilação.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 18 .
Dados
${h=10 \ cm= \ 0,1 \ m }$
${m= \ 100 \ g= 0,1 \ kg}$
${k= \ 20 \ N/m}$
${g= \ 9,8 \ m/s^2}$
${A \longrightarrow ?}$

Na figura ilustramos o sistema em 3 situações diferentes:

Situação 1 – O corpo está na altura de 10 cm e a mola está relaxada. O corpo, inicialmente em repouso, cai em direcção a mola.
Situação 2 – O corpo chega na mola (e fica preso nela). A partir daqui a mola e o corpo movem-se como um só. até o momento do encontro, o movimento era acelerado e com aceleração constante. Após esse encontro, no corpo começa a actuar a força elástica e portanto a sua aceleração começa a diminuir. A medida em que o corpo desce, a mola se vai comprimindo mais, a força elástica vai aumentando e a aceleração do corpo diminui até zero e em seguida aumenta negativamente. Ai o corpo começa a fazer um movimento retardado.
Situação 3 – Após a sua velocidade reduzir até zero, o corpo pára momentaneamente (e em seguida faz o movimento de retorno a posição de equilíbrio).

Vamos adoptar a posição da situação 3 como referencial de altura.

De acordo com a ilustração do fenómeno é possível concluir que:

A oscilação começou no ponto de equilíbrio;
Na posição da situação 1 o corpo estava em repouso. Existe apenas a energia potencial gravítica (devido a altura de ${h + A}$ );
Na posição da situação 2, após cair aos ${ 10 \ cm}$ , o corpo está em movimento com uma velocidade definida pela altura de queda. O sistema possuí energia cinética (do corpo) e energia potencial gravítica (devido a altura ${A}$ );
Após comprimir a mola até ao máximo, o corpo para. Nesse momento o sistema só tem a energia potencial elástica.

Usando a descrição acima, para a situação 1, a energia do sistema será:

$\displaystyle E_1=E_{c1}+E_{pel1}+E_{pgrav1}$

$\displaystyle \Rightarrow E_1=0+0+E_{pgrav1}$

$\displaystyle \Rightarrow E_1= m \cdot g \cdot (h+A)$

Para a situação 2, a energia do sistema será:

$\displaystyle E_2=E_{c2}+E_{pel2}+E_{pgrav2}$

$\displaystyle \Rightarrow E_2=E_{c2}+0+E_{pgrav2}$

$\displaystyle \Rightarrow E_2=\dfrac{m \cdot v_2^2}{2}+0+m \cdot g \cdot A$

$\displaystyle \Rightarrow E_2=\dfrac{m \cdot v_2^2}{2}+m \cdot g \cdot A$

Para a situação 3, a energia do sistema será:

$\displaystyle E_3=E_{c3}+E_{pel3}+E_{pgrav3}$

$\displaystyle \Rightarrow E_3=0+E_{pel3}+0$

$\displaystyle \Rightarrow E_3=E_{pel3}$

$\displaystyle \Rightarrow E_3=\dfrac{k \cdot A^2}{2}$

Sabemos que neste movimento apenas actuam as forças de gravida e elástica, que são ambas conservativas. Então, a energia mecânica deste sistema permanece constante:

$\displaystyle E_1=E_2=E_3=E$

Obtemos a partir desta análise um sistema de 3 equações. Resolvendo-o, podemos obter todos os valores desconhecidos ( ${v_2}$ , ${A}$ e ${E}$ ). Para obter a amplitude, podemos igualar as equações de ${E_1}$ e ${E_3}$ . Neste caso, obteremos:

$\displaystyle E_1=E_3$

$\displaystyle \Rightarrow m \cdot g \cdot (h+A)=\dfrac{k \cdot A^2}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow m \cdot g \cdot h+m \cdot g \cdot A=\dfrac{k \cdot A^2}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow 0=\dfrac{k \cdot A^2}{2} - m \cdot g \cdot A - m \cdot g \cdot h$

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{k \cdot A^2}{2} - m \cdot g \cdot A - m \cdot g \cdot h =0$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{20 \cdot A^2}{2} - 0,1 \cdot 9,8 \cdot A - 0,1 \cdot 9,8 \cdot 0,1 =0$

$\displaystyle \Rightarrow 10 \cdot A^2 - 0,98 \cdot A - 0,098 =0$

Em seguida, resolvemos a equação do segundo grau obtida pela fórmula resolvente ou por qualquer outro método conveniente.

Obtemos os seguintes resultados: ${A_1=0,159 \ m}$ e ${A_2=-061 \ m}$ .

como sabemos, a amplitude não pode ser negativa, então o valor aceite para amplitude deste MHS é:

$\displaystyle A=0,159 \ m$

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