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Exercício sobre sistema massa-mola (Parte 1)

— 1.2. Sistema massa-mola —

Exercício 16 .

Um corpo está pendurado em uma mola de { k= 600 \ N/m} e oscila com uma amplitude de {5 \ cm}.

Qual é a velocidade máxima desta oscilação e a massa do corpo, se o seu período for de {1 \ s} ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 16 .
Dados
{k= \ 600 \ N/m}
{A= \ 5 \ cm= \ 0,05 \ m}
{T= \ 1 \ s}
{v_M \rightarrow ?}
{m \rightarrow ?}

A velocidade máxima de um MHS é dada na forma:

\displaystyle v_M= A \cdot\omega

Por sua vez, sabemos que, para qualquer evento período:

\displaystyle \omega= \dfrac{2 \pi}{T}

Logo, substituindo na equação anterior, obtemos:

\displaystyle v_M= A \cdot \dfrac{2 \pi}{T}

\displaystyle \Rightarrow v_M=0,05 \cdot \dfrac{2 \pi}{1}

\displaystyle \Rightarrow v_M= \ 0,314 \ m/s

Para determinarmos a massa, podemos usar a relação de {\omega} para o sistema massa-mola. Sabemos que neste sistema, a relação o {\omega} é dado por:

\displaystyle \omega = \sqrt{ \dfrac{k}{m} }

Ou:

\displaystyle \omega^2 = \dfrac{k}{m}

Então, isolando a massa, obtemos:

\displaystyle m= \dfrac{k}{\omega^2}

Substituindo {\omega} pela sua relação com o período, obtemos:

\displaystyle m= \dfrac{k}{(2 \pi / T)^2}

\displaystyle \Rightarrow m= \dfrac{600}{(2 \pi / 1)^2}

\displaystyle \Rightarrow m= \ 15 \ kg

 

Exercício 17 .
Um corpo de { 0,1 \ kg} preso em uma mola ideal de rigidez elástica de {200 \ N/m} oscila em MHS com {5 \ cm} de amplitude. Qual é a velocidade do corpo no momento em que a energia cinética do corpo é o dobro da energia potencial?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

 

Resolução 17 .
Dados
{m= \ 0,1 \ kg}
{k= \ 200 \ N/m}
{A= \ 5 \ cm= \ 0,05 m}
{m \rightarrow ?} ({E_c=2E_p})

Em qualquer ponto do percurso em uma oscilação, a energia total do corpo é a soma da energia cinética com a energia potencial do corpo naquele ponto, ou seja:

\displaystyle E_c + E_p = E_{Total} \ \ \ \ \ (1)

Pretende-se saber qual é a velocidade do corpo no ponto onde a energia cinética é o dobro da energia potencial,ou seja:

\displaystyle E_c=2 E_p \ \ \ \ \ (2)

Substituindo a equação 2 na equação 1, temos:

\displaystyle 2E_p + E_p = E_{Total}

\displaystyle 3E_p = E_{Total}

Substituindo as energias cinéticas e total pelos seus equivalentes, obtemos:

\displaystyle 3\dfrac{mv^2}{2}= \dfrac{kA^2}{2}

Isolando a velocidade, obtemos:

\displaystyle v= \sqrt{ \dfrac{k}{3m} \cdot A^2}

\displaystyle \Rightarrow v=1,29 \ m/s

 

Exercício 18 .
Um corpo caindo de uma altura de {10 \ cm } (em relação ao topo da mola), comprime a mola (ficando presa nesta) e inicia um MHS .Sendo a massa do corpo de {100 \ g} e a constante da mola {20 \ N/m}, determine a amplitude desta oscilação.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

 

Resolução 18 .
Dados
{h=10 \ cm= \ 0,1 \ m }
{m= \ 100 \ g= 0,1 \ kg}
{k= \ 20 \ N/m}
{g= \ 9,8 \ m/s^2}
{A \longrightarrow ?}

 

Na figura ilustramos o sistema em 3 situações diferentes:

  • Situação 1 – O corpo está na altura de 10 cm e a mola está relaxada. O corpo, inicialmente em repouso, cai em direcção a mola.
  • Situação 2 – O corpo chega na mola (e fica preso nela). A partir daqui a mola e o corpo movem-se como um só. até o momento do encontro, o movimento era acelerado e com aceleração constante. Após esse encontro, no corpo começa a actuar a força elástica e portanto a sua aceleração começa a diminuir. A medida em que o corpo desce, a mola se vai comprimindo mais, a força elástica vai aumentando e a aceleração do corpo diminui até zero e em seguida aumenta negativamente. Ai o corpo começa a fazer um movimento retardado.
  • Situação 3 – Após a sua velocidade reduzir até zero, o corpo pára momentaneamente (e em seguida faz o movimento de retorno a posição de equilíbrio).

Vamos adoptar a posição da situação 3 como referencial de altura.

De acordo com a ilustração do fenómeno é possível concluir que:

  • A oscilação começou no ponto de equilíbrio;
  • Na posição da situação 1 o corpo estava em repouso. Existe apenas a energia potencial gravítica (devido a altura de {h + A});
  • Na posição da situação 2, após cair aos { 10 \ cm}, o corpo está em movimento com uma velocidade definida pela altura de queda. O sistema possuí energia cinética (do corpo) e energia potencial gravítica (devido a altura {A});
  • Após comprimir a mola até ao máximo, o corpo para. Nesse momento o sistema só tem a energia potencial elástica.

Usando a descrição acima, para a situação 1, a energia do sistema será:

\displaystyle E_1=E_{c1}+E_{pel1}+E_{pgrav1}

\displaystyle \Rightarrow E_1=0+0+E_{pgrav1}

\displaystyle \Rightarrow E_1= m \cdot g \cdot (h+A)

Para a situação 2, a energia do sistema será:

\displaystyle E_2=E_{c2}+E_{pel2}+E_{pgrav2}

\displaystyle \Rightarrow E_2=E_{c2}+0+E_{pgrav2}

\displaystyle \Rightarrow E_2=\dfrac{m \cdot v_2^2}{2}+0+m \cdot g \cdot A

\displaystyle \Rightarrow E_2=\dfrac{m \cdot v_2^2}{2}+m \cdot g \cdot A

Para a situação 3, a energia do sistema será:

\displaystyle E_3=E_{c3}+E_{pel3}+E_{pgrav3}

\displaystyle \Rightarrow E_3=0+E_{pel3}+0

\displaystyle \Rightarrow E_3=E_{pel3}

\displaystyle \Rightarrow E_3=\dfrac{k \cdot A^2}{2}

Sabemos que neste movimento apenas actuam as forças de gravida e elástica, que são ambas conservativas. Então, a energia mecânica deste sistema permanece constante:

\displaystyle E_1=E_2=E_3=E

Obtemos a partir desta análise um sistema de 3 equações. Resolvendo-o, podemos obter todos os valores desconhecidos ({v_2}, {A} e {E}). Para obter a amplitude, podemos igualar as equações de {E_1} e {E_3}. Neste caso, obteremos:

\displaystyle E_1=E_3

\displaystyle \Rightarrow m \cdot g \cdot (h+A)=\dfrac{k \cdot A^2}{2}

\displaystyle \Rightarrow m \cdot g \cdot h+m \cdot g \cdot A=\dfrac{k \cdot A^2}{2}

\displaystyle \Rightarrow 0=\dfrac{k \cdot A^2}{2} - m \cdot g \cdot A - m \cdot g \cdot h

\displaystyle \Rightarrow \dfrac{k \cdot A^2}{2} - m \cdot g \cdot A - m \cdot g \cdot h =0

Substituindo os dados, obtemos:

\displaystyle \Rightarrow \dfrac{20 \cdot A^2}{2} - 0,1 \cdot 9,8 \cdot A - 0,1 \cdot 9,8 \cdot 0,1 =0

\displaystyle \Rightarrow 10 \cdot A^2 - 0,98 \cdot A - 0,098 =0

Em seguida, resolvemos a equação do segundo grau obtida pela fórmula resolvente ou por qualquer outro método conveniente.

Obtemos os seguintes resultados: {A_1=0,159 \ m} e {A_2=-061 \ m}.

como sabemos, a amplitude não pode ser negativa, então o valor aceite para amplitude deste MHS é:

\displaystyle A=0,159 \ m

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