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Interacção de corpos carregados. Força Eléctrica. Lei de Coulomb. Princípio de superposição.

03/20/2022 10:08 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Interacção de corpos carregados. Força Eléctrica. Lei de Coulomb —

Os corpos carregados interagem, ou seja, exercem forças um no outro.

A força eléctrica é uma grandeza vectorial com intensidade, direcção e sentido. A direcção coincide com a recta que une as duas cargas, e o sentido é estabelecido pelo sinal das cargas em presença.

As intersecções podem ser atração ou repulsão. As cargas eléctricas de sinais contrários atraem-se (puxam-se simultaneamente, uma em direcção a outra), e cargas eléctricas de um mesmo sinal repelem-se (empurra-se simultaneamente, uma em direcção oposta a outra). Este princípio é denominado Princípio impírico de Du Fay.

As forças eléctricas provocadas por objetos carregados foram medidas quantitativamente por Charles Coulomb a partir de uma balança de torção, da qual ele mesmo inventou.

A força de interacção electrostática entre dois corpos carregados e fixos, é diretamente proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

O módulo da força electrostática entre as cargas é igual e é dada por:

$\displaystyle F_{12}=F_{21}=k \cdot \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}$

Onde:
${ k= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}$
${ \varepsilon= \varepsilon_{r} \cdot \varepsilon_{0}}$
${ \varepsilon_{0}=8,85 \cdot 10^{-12} \ \ F/m}$
${ {\varepsilon} \rightarrow}$ Permissividade eléctrica do meio;
${ \varepsilon_{r} \rightarrow }$ Permissividade relativa do meio;
${ r \rightarrow }$ módulo de distância entre as cargas;
${ q \rightarrow }$ Carga eléctrica;

Vectorialmente:

$\displaystyle \vec{F_{21}}=-\vec{F_{12}}=k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^3} \cdot \vec{r}$

$\displaystyle \vec{F_{21}}=-\vec{F_{12}}=k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \cdot \vec{u_r}$

Onde:
${\vec{u_r}}$ é o unitário do vector ${\vec{r}}$ .

— 1.3. Princípio de Sobreposição das forças eléctricas —

A superposição ou sobreposição de efeitos é o efeito de obtido quando um conjunto de elementos causadores do efeito se sobrepõem. É um princípio muito usado na Física, nas mais diversas áreas.

O princípio de sobreposição postula que o efeito criado por um conjunto de causas aplicado num corpo é igual á soma ou superposição dos efeitos que cada das causas iria gerar quando aplicada separadamente sobre esse mesmo corpo.

De acordo com o princípio da supersposição, a força resultante na carga ${q_1}$ será:

$\displaystyle \vec{F_1}=\vec{F_{12}}+\vec{F_{13}}+...+\vec{F_{1n}}$

A forma de calcular a resultante, vai depender do número de vectores que se sobreposurem.

Exemplo 2

Consideremos o sistema de três cargas. Determinemos a expressão para a força resultante na carga ${q_3}$ .

Para tal, devemos representar as forças de interacção entre as cargas, sendo de atracção ou de repulsão, dependendo de as cargas terem mesmos sinais ou sinais opostos. As forças entre ${q_1}$ e ${q_2}$ são de atracção, as forças entre ${q_1}$ e ${q_3}$ são de repulsão e as forças entre ${q_2}$ e ${q_3}$ são de atracção. Assim, representamos as forças neste sistema:

Neste caso, actuarão em ${q_3}$ duas forças ( ${F_{31}}$ e ${F_{32}}$ ). Então, de acordo com o princípio de sobreposição, a força resultante será:

$\displaystyle \vec{F_3}= \vec{F_{31}} + \vec{F_{32}}$

Em módulo, sendo uma soma entre dois vectores, podemos usar a fórmula do triângulo (lei dos co-senos). Mas para tal, deveremos antes determinar os ângulos ${\alpha}$ e ${\beta}$ . Após determinação dos ângulos, teremos:

$\displaystyle F_3= \sqrt{F_{31}^2 + F_{32}^2+2 \cdot F_{31} F_{32} \cdot \cos (\alpha+\beta)}$

Neste caso, o cálculo da resultante pode fazer-se em uma única expressão porque apresenta a soma de apenas dois vectores.

Para um caso em que se sobreponham mais de dois vectores, a resultante deverá ser calculada pelo método de componentes.

Exemplo 3 Consideremos o sistema de quatro cargas abaixo. Determinemos a expressão para a força resultante na carga ${q_1}$ .

Para tal, devemos representar as forças de interacção entre as outras cargas com a carga ${q_1}$ , sendo de actracção ou de repulsão, dependendo de as cargas terem mesmos sinais ou sinais opostos. As forças entre ${q_1}$ e ${q_2}$ são de repulsão, as forças entre ${q_1}$ e ${q_3}$ são de atração e as forças entre ${q_1}$ e ${q_4}$ são de repulsão.

Neste caso, actuarão em ${q_1}$ três forças ( ${F_{12}}$ , ${F_{13}}$ e ${F_{14}}$ ). Então, de acordo com o princípio de sobreposição, a força resultante será:

$\displaystyle \vec{F_1}= \vec{F_{12}} + \vec{F_{13}}+ \vec{F_{14}}$

Devemos agora notar que pretendemos somar mais de dois vectores ( três no caso), e todos de direcção diferente. Para tal, como ${\vec{F_{12}}}$ e ${\vec{F_{14}}}$ são horizontal e vertical, respectivamente, e ${\vec{F_{13}}}$ é oblíquo, então se projectará o ${\vec{F_{13}}}$ na horizontal e na vertical, obtendo assim ${\vec{F_{13x}}}$ e ${\vec{F_{13y}}}$ . Mas para tal, deveremos antes determinar o ângulo ${\alpha}$ .

Neste caso, teremos:

$\displaystyle F_{13x}= F_{13} \cos \alpha$

$\displaystyle F_{13y}= F_{13} \sin \alpha$

Neste caso, calcularemos as componentes do vector resultante em cada eixo:

$\displaystyle \ F_{1x}= F_{12}-F_{13x}$

$\displaystyle \ F_{1y}=F_{14}- F_{13y}$

Em seguida, se poderá calcular o vector resultante:

$\displaystyle F_1= \sqrt{(F_{1x})^2+(F_{1y})^2}$

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1. Electrostática (Introdução). Carga Eléctrica. Electrização dos corpos.

03/18/2022 11:45 pm / Deixe um comentário

1.1. Introdução O conhecimento de fenómenos eléctricos e magnéticos vem já da Antiguidade Clássica: na Grécia de Aristóteles, descobriu-se que o âmbar (‘elektron’) atrai penas ou pós e que a pedra de Magnésia atrai pequenos pedaços de ferro; na China desses tempos já o compasso magnético era usado na navegação. Contudo, o estudo sistemático destes fenómenos só viria a ocorrer nos séculos XVIII e XIX: Charles Du Fay (1733) reconhece haver dois tipos de electricidade (‘vítrea’ e ‘resinosa’), mas seria Benjamim Franklin a propor a existência de cargas positivas e negativas. A electrostática é a parte do electromagnetismo que estuda os fenómenos eléctricos resultantes de cargas eléctricas em repouso. A carga eléctrica, é uma propriedade intrínseca da matéria e está associada a existência da matéria. A unidade de medida da grandeza carga eléctrica no Sistema Internacional de Unidades é o Coulomb, representado por C, que recebeu este nome em homenagem ao físico francês Charles Augustin de Coulomb. Não podemos ver a carga eléctrica, mas podemos sentir os seus efeitos. Podemos dizer que a carga eléctrica representa acumulação de electricidade. Nas suas experiências, os cientistas Milikan e Jofre, concluíram que a carga eléctrica é quantizada, isto é, os seus valores apenas podem ser múltiplos inteiros de um mesmo valor mínimo de carga, denominado carga elementar.

$\displaystyle q= n \cdot e$

Onde: ${n \rightarrow }$ número de partículas. ${e \rightarrow }$ carga elementar (que corresponde a carga de um electrão). A carga eléctrica elementar é a menor quantidade de carga que pode ser encontrada na natureza. A carga eléctrica é uma propriedade fundamental da matéria. As partículas elementares detentoras desta propriedade são o electrão e o protão, ambas constituintes do átomo, localizando-se os protões no núcleo e os electrões em órbitas envolventes do mesmo. Além dos protões, o núcleo dos átomos é também constituído por neutrões, neutros do ponto de vista eléctrico. O modelo atómico simples é ilustrado na figura abaixo, onde os electrões se movem em torno do núcleo do átomo.

Um protão tem uma carga ${q_p=+e}$ e um electrão tem uma carga ${q_e=-e}$ . Um neutrão tem carga eléctrica nula ( ${q_n=0}$ ).

$\displaystyle \vert q_p \vert= \vert q_e \vert= e = 1,602 \cdot 10^{-19} \ C$

Um corpo possui carga positiva se tiver na sua constituição defeito de electrões (ou seja, possui mais protões do que electrões) e possui carga negativa se tiver na sua constituição excesso de electrões (ou seja, possui mais electrões do que protões). O átomo, no estado fundamental é electricamente neutro (ou seja, possui o mesmo número de electrões e de protões, logo a sua carga total é nula ${q_t=0}$ ). Os átomos neutros contêm o mesmo número de electrões e de protões. Os átomos não neutros são designados por iões. Um átomo torna-se num ião negativo(anião) quando captura electrões numa das suas órbitas, e positivo (catião) quando os perde. Os protões, os electrões e em geral os iões são as entidades responsáveis pelo fenómeno da força eléctrica. A figura abaixo apresenta o modelo de um ião positivo. Claramente se nota na figura que o número de protões no núcleo é diferente e maior que o número de electrões em orbita.

Chamamos de carga pontual a qualquer corpo cujas dimensões do corpo seja muito menor do que as distâncias envolvidas no fenómeno, ou seja, as suas dimensões podem ser desprezadas na análise dos problemas. Em um sistema isolado, a carga total permanece constante. Esta afirmação é conhecida como a Lei de Conservação da Carga eléctrica. Existem, dois tipos de materiais. De acordo com a descoberta de Stephen Gray, as cargas eléctricas podiam ser transmitidas através de determinados materiais, mas permaneciam retidas em outros. Aqueles materiais nos quais as cargas fluíam foram chamados de condutores e aqueles nos quais ficavam retidas de isolantes.

Exemplo 1 Consideremos dois corpos condutores carregados inicialmente com cargas ${q_1}$ e ${q_2}$ . Ao colocarmos elas em contacto, elas trocam carga eléctrica (por serem condutoras). Em função disso, a carga de cada uma delas altera-se. Se deixarmos elas em contacto por tempo suficiente, no final a carga equilibra-se. Mas a carga total conserva-se.

$\displaystyle q_1 + q_2= \ q'_1 + q'_2$
Sabemos que: ${ q'_1=q'_2}$ . Logo:
$\displaystyle q_1+q_2=2 \ q'_1$

$\displaystyle \Rightarrow q'_1= \ \frac{q_1+q_2}{2}$

Para se obterem iões, pode se realizar a electrização dos corpos. A electrização são fenómenos em que electrões são transferidos de um corpo para outro devido a uma diferença na quantidade de cargas eléctricas existente os corpos, ou, pela aquisição de energia advinda do atrito entre os corpos. A electrização por atrito (ou fricção) acontece principalmente quando dois ou mais corpos isolantes são friccionados (esfregados) um contra o outro. O processo de esfregar ou friccionar os corpos fornece energia aos electrões desses materiais. Os electrões dos materiais isolantes geralmente encontram-se fortemente atraídos pelos núcleos de seus próprios átomos, por isso, precisam de uma energia extra para saltar de um corpo para outro. Durante a electrização por atrito, um dos corpos perde electrões e o outro ganha . Deste modo, ao final do processo, os dois corpos estarão com cargas de módulo igual, mas de sinais opostos. Nem todos os corpos vão se electrizar quando esfregados. Para se saber quais são os pares de materiais que, quando friccionados, ficam electrizados, é preciso conhecer sua afinidade eléctrica, uma vez que existem materiais que tendem a ganhar electrões, quanto outros tendem a perde-los. A electrização por contacto, diferentemente da electrização por atrito, necessita de pelo menos um dos corpos carregado electricamente. Por exemplo, considere um condutor carregado positivamente e outro condutor neutro. Aproxima-se o condutor positivo do condutor neutro até que ocorra o contacto entre eles. Quando isso acontece, haverá uma transferência de electrões do corpo neutro para o corpo carregado positivamente. Essa transferência irá ocorrer de maneira bem rápida até que ambos os condutores fiquem com o mesmo potencial eléctrico.

Na electrização por atrito (fricção) e por contacto, há obrigatoriamente a necessidade do contacto físico entre os corpos que electriza e o electrizado. Na electrização por indução isso já não é necessário e é por isso que esse processo recebe esse nome de indução. Considere três condutores, um carregado electricamente e ou outros dois neutros e encostados um no outro. Aproxima-se o condutor carregado dos condutores neutros. O condutor carregado será o indutor e os condutores neutros, os induzidos. Durante essa aproximação, observa-se uma separação de cargas nos condutores neutros. Como o indutor é negativo, o induzido mais próximo do indutor ficará carregado positivamente e o induzido mais afastado ficará carregado negativamente. Com o indutor ainda próximo, separam-se os dois condutores que estão juntos. E por fim retira-se o indutor das proximidades dos outros dois corpos. Teremos como resultado os dois condutores que inicialmente eram neutros, agora carregados com cargas de sinais a opostos. Note que em momento algum houve o contacto entre o condutor carregado e os condutores inicialmente neutros.

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1. Introdução à Mecânica (Parte 1)

02/04/2022 10:27 pm / 1 comentário em 1. Introdução à Mecânica (Parte 1)

1. Introdução à Mecânica

1.1. Introdução Geral à Física

A Ciência e a Engenharia se baseiam em medições e comparações.

Assim, precisamos de regras para estabelecer de que forma as grandezas devem ser medidas e comparadas, e de experimentos para estabelecer as unidades para essas medições e comparações.

Um dos propósitos da física é elaborar, postar e relacionar modelos em um esforço para descrever, explicar ir para ver a realidade. Esse processo envolve hipóteses, experimentos reprodutíveis e as observações e novas hipóteses.

O resultado final é um conjunto de princípios fundamentais e leis que descrevem os fenómenos do mundo que nos cerca. Estas leis e princípios são aplicáveis tanto ao mundo macroscópico como buracos negros, matéria e energia escura, gravidade, etc como para o mundo microscópico partículas quânticas como leptoquarks e bósões. Quanto ao nosso dia-dia, são incontáveis as questões sobre o nosso mundo que podem ser respondidas com conhecimento básico de física.

Se a agua não tem cor, porque razão a uma distância do mar, a água parece azul?

Como é que os astronautas no espaço flutuam?

Como funciona um CD?

1.2. Medindo grandezas

Ao estudarmos conteúdos relacionados com a Física, muitas vezes, deparamo-nos com a palavra grandeza definindo termos científicos, como velocidade, aceleração, força, tempo etc.

Numa linguagem muito elementar, uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido e possibilita que tenhamos características baseadas em informações numéricas e/ou geométricas. A grandeza é toda a característica de um sistema ou corpo a que possamos associa uma quantidade. Medir uma grandeza física é compara-lá com uma outra da mesma espécie na natureza.

Medimos cada grandeza física em medidas apropriadas, por comparação com padrão. A unidade é um nome particular que atribuímos as medidas dessa grandeza.

Assim por exemplo, o metro (m) é uma unidade da grandeza comprimento. O padrão corresponde a exatamente 1,0 unidade da grandeza, como vamos ver o padrão de comprimento que corresponde exatamente 1,0 m é a distância percorrida pela Luz no vácuo durante uma certa fração de tempo .

Em princípio podemos definir uma unidade e o seu padrão da forma que quisermos, mas é importante que cientistas em diferentes partes do mundo concordem que nossas definições e que, ao mesmo tempo sejam razoáveis e práticas.

Depois de escolher um padrão (neste caso comprimento) precisamos estabelecer procedimentos através dos quais qualquer comprimento seja ${r}$ o raio do átomo de hidrogénio, ${a}$ largura de uma aresta de um cubo ou ${d}$ a distância entre duas estrelas, possa ser expresso em termos da unidade.

Usar uma régua de comprimento aproximadamente igual ao padrão pode ser uma forma de executar medidas de comprimento. Entretanto, muitas das comparações são necessariamente indiretas. Por exemplo, não dá para medir a distâncias entre planetas directamente.

É portanto, impossível usar uma régua, por exemplo, para medir o raio de um átomo ou a distância de uma estrela. Assim o que fazemos é escolher, através de um acordo internacional, um pequeno número de grandezas físicas como comprimento e tempo, e atribuir unidades a elas.

Em seguida, definimos as demais grandezas físicas em termos dessas grandezas fundamentais e de suas unidades (conhecidas, como unidades fundamentais). A velocidade, por exemplo é definida em termos das grandezas fundamentais comprimento e tempo e suas unidades fundamentais.

Portanto as unidades fundamentais de um sistema de unidades dado são as unidades de grandezas físicas de diferentes espécies, escolhidas arbitrariamente para constituição desse sistema. As grandezas físicas que correspondem às mesmas unidades têm o nome de grandezas fundamentais do sistema considerado.

Unidades derivadas são as unidades que se estabelecem sendo deduzidas a partir das outras unidades de um sistema dado, desde que se observem as leis e os princípios físicos a exprimirem as relações mútuas existentes entre as respetivas grandezas físicas.

1.3. O sistema Internacional de Unidade

Na 14ª conferência geral de pesos e medidas, foram selecionadas sete grandezas como fundamentais, as quais constituem a base do sistema internacional de unidade cuja abreviação é S.I. popularmente conhecido como sistema métrico.

A tabela a seguir mostra as unidades das grandezas fundamentais do S.I. que serão usadas nos principais capítulos desta página. Essas unidades foram definidos modo a serem da mesma ordem de grandeza que a escala humana.

Muitas unidades derivadas do SI são definidas em termos dessas unidades fundamentais. Assim, por exemplo, a unidade de trabalho no SI, chama Joule (J) é definido em termos das unidades fundamentais de massa, comprimento e tempo.

$\displaystyle 1 \ Joule= \ 1 \ J= \ 1k \cdot \frac{m^2}{s^2}$

Além destas, há duas unidades complementares: o radiano e o esterradiano.

1.3.1 Tempo

Do latim tempus, a palavra tempo é a grandeza física que permite medir a duração ou a separação das coisas mutáveis/sujeitas a alterações (ou seja, o período decorrido entre o estado do sistema quando este apresentava um determinado estado e o momento em que esse dito estado regista uma variação perceptível para o observador).

Em física, tempo é a grandeza física diretamente associada ao correto sequenciamento, mediante ordem de ocorrência, dos eventos naturais, estabelecendo assim um passado, um presente e um futuro.

Na física clássica (que abordaremos nesta secção), o tempo transcorre sempre da mesma forma, esteja o móvel se movimentando ou parado em relação a um determinado referencial. Isso significa dizer que o tempo passa igualmente tanto para uma pessoa que se encontra na superfície da Terra, quanto para uma pessoa que se encontra viajando dentro de uma nave espacial. O que em grande rigor não é verdade.

Para a física moderna, o intervalo de tempo para um móvel que se move em altíssima velocidade (próxima à velocidade da luz no vácuo) passa mais lentamente. Podemos dizer que uma hora para uma pessoa que se encontra parada na superfície da Terra pode corresponder a alguns minutos ou segundos para um observador que se move em altíssima velocidade. Na física moderna, esse fato é conhecido como dilatação do tempo. Porém este não é o foco desta secção.

O tempo marcado pelo relógio não é universal, mas sim uma construção histórica. Medir o tempo significa em princípio registrar coincidências. Quando alguém marca um compromisso, digamos às ${13:00}$ horas do presente dia, está informando que ela estará no local combinado quando o ponteiro pequeno do relógio colocado naquele local coincidir com a marca ${1}$ e enquanto o ponteiro grande esteja na inscrição ${12}$ .

Portanto, podemos entender o tempo como uma medida da simultaniedade de eventos.

A unidade usada para o tempo é o segundo s, apesar de poder usar outras unidades como minutos, horas, dia, semana, mês, anos, décadas, séculos ou milénios (de acordo com o contexto)

Podemos definir o segundo de diversas maneiras. Há um conjunto de frequências e comprimentos de onda especifico para radiação de cada átomo associados a cada transição energética sofrida pelos electrões no mesmo, quando este é aquecido. O que se sabe é que essas frequências seguem constantes.

O segundo (s) pode ser definido em termos de uma frequência para característica associada ao átomo de césio. Todos os átomos, depois que absorver energia, emitem luz com frequências e comprimentos de onda característica do elemento específico.

O Segundo é então definido como duração de ${9192631770}$ períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.

1.3.2 Comprimento

Em 20 de Maio de 1875 um tratado internacional conhecido como Convention du Mètre (Convenção do Metro), foi assinado por 17 Estados e estabeleceu a criação do Bureau Internacional de Pesos e Medidas (Bureau International des Poids et mesures – BIPM), um laboratório permanente e centro mundial da metrologia científica e da Conferência Geral de Pesos e Medidas (Conférence Générale des Poids et mesures – CGPM), que em 1889, em sua 1ª edição, definiu o protótipos internacional de metro. Sua base era o metro definido como à décima milionésima parte do quadrante de um meridiano terrestre.

Mais tarde, por razões práticas, essa padrão foi abandonado e o metro veio a ser definido como a distância entre duas linhas finas gravadas perto das extremidades de uma barra de Platina-Vítrio (a barra do metro-padrão), mantida no Bureau internacional de pesos e medidas nas vizinhanças de Osaris.

Réplicas preciosas dessa barra foram enviadas ao laboratórios de padronização em várias partes do mundo. Com o tempo a precisão deste padrão também se mostrou inadequado e outros padrões foram criados para o metro.

Actualmente O metro é determinado usando a rapidez da luz no vácuo que é definida como exatamente 299792458 m/s. O metro, então, é a distância que a luz percorre no vácuo em ${1/(299792 458)}$ segundos. Estas definições fazem com que unidades do tempo e comprimento sejam acessíveis aos laboratórios de todo mundo.

1.3.3 Massa

A massa ( ${m}$ ) é uma grandeza escalar positiva e invariável, a qual mede a inércia (propriedade dos corpos em permanecerem em movimento acelerado ou retardado) dos corpos, ou seja, a quantidade de matéria presente num corpo.

A unidade da massa no S.I é o quilograma (kg), é definido como a massa de um litro de água a ${4 \ ^oC}$ com volume de ${1 \ }$ (que é igual ao volume de um cubo de ${10 \ cm}$ de lado).

Assim como os padrões de tempo comprimento, o padrão de quilograma mudou ao longo do tempo. O quilograma é agora definido como a massa de um determinado cilindro chamado de corpo-padrão mantido no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Sévres na França.

Assim comparando pesos de diferentes objetos ou tamanho comum com o peso do corpo-padrão,as massas dois objetos podem ser comparadas entre si.

1.4 Prefixos de Unidade

Às vezes torna-se necessário trabalhar com medidas que são muitos menores ou muito maiores do que as unidades padrão do S.I. Nessas situações podemos usar outras unidades, são relacionadas as unidades padrão do S.I por um múltiplo de dez(10).

Os prefixos são usados para designar as diferentes potências de 10, por exemplo, prefixo “quilo” significa ${1000}$ ou ${ 10^3 }$ , enquanto o prefixo “micro” significa ${0,000001}$ ou ${ 10^{-6} }$ .

A tabela a seguir mostra o prefixo dos mais comuns múltiplos das unidades do S.I. Os prefixos podem ser aplicados a qualquer unidades S.I, por exemplo ${0,001}$ segundo é um milissegundo ( ${1 \ ms}$ ), e ${1000000 \ Watts}$ são ${1 \ MW}$ (apesar de ainda não termos definido o Watt).

Alguns prefixos muito usados nas Unidades do S.I são mostrados a seguir:

Sendo assim:

$\displaystyle 1,27\cdot 10^9 \ W= \ 1,27 \ GW$

$\displaystyle 2,35 \cdot 10^{-6} \ s= 2,35 \ \mu s$

OBS : alguns grandezas, para dimensões diferentes utiliza outras unidades, tais como a hora para o tempo ( ${1 \ h}$ equivale á ${3600 \ s}$ ) e o Angstron para o comprimento ( ${1 \ \r{A}}$ equivale ${10^{-10} \ m}$ ).

1.5 Outros sistemas de unidades

Além do S.I, outros sistemas de unidades são as vezes utilizados. Um deles é o sistema CGS cujas unidades fundamentais são os centímetro para os comprimentos , o grama para massa e o segundo para o tempo.

Sistema CGS de unidades é um sistema de unidades de medidas físicas, ou sistema dimensional, de tipologia LMT (comprimento, massa tempo), cujas unidades-base são o centímetro para o comprimento, o grama para a massa e o segundo para o tempo. Foi adotado em 1881 no Congresso Internacional de Eletricidade.

CGS é, assim, um acrônimo maiúsculo para centímetro–grama–segundo. É o sistema de unidades físicas primordial que precedeu o Sistema Internacional de Unidades (SI), por este sendo substituído.

Outras unidades CGS incluem Dina (para força), Erg (para energia, trabalho, calor, etc.), Gal (para aceleração), Gauss (para campo magnético), Maxwell (para fluxo magnético), Öersted (para intensidade de campo), Phot (para intensidade luminosa), Poise (para viscosidade dinâmica em fluidos), Stilb (para luminância), Stokes (para viscosidade cinemática)e Dina por centímetro cúbico (para peso específico).

1.6 Conversão de Unidades

Como diferentes sistemas de unidades são utilizados, é importante saber como converter uma unidade para outra, em diversos contextos quando quantidades físicas são somadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas em uma equação algébrica. A unidade pode ser tratada como qualquer outra quantidade algébrica.

Muitas vezes precisamos alterar as unidades nas quais uma grandeza física está expressa. Isto pode ser feito usando um método conhecido como conversão em cadeia. Nesse método multiplicarmos o valor original por um fator de conversão(uma razão entre unidades e igual à unidade). Assim como 1 min e 60 s correspondem a intervalos de tempo iguais, temos:

$\displaystyle \frac{1 \ min}{60 \ s}=1 \Rightarrow \frac{60 \ s}{1 \ min}= 1$

Assim, as razões ${(1 \ min)/(60 \ s)}$ e ${(60 \ s)/(1 \ min)}$ podem ser usadas como fatores de conversão. Nota que isso não é o mesmo que escrever ${\frac{1}{60}=1}$ ou ${60=1}$ ; cada número e a sua unidade devem ser tratadas conjuntamente.

Exemplo 1 Converter ${3 \ min}$ em segundos.

Neste exemplo, temos:

$\displaystyle 3 \ min= \ (3 \ min)\cdot 1= \ 3min \cdot \frac{60 \ s}{1 \ min}= \ 180 \ s$ $\displaystyle 3 \ min= \ 180 \ s$

Exemplo 2 Converter ${240 \ km}$ em milhas.

Neste exemplo, temos:

$\displaystyle 240 \ km= \ (240 \ km)\cdot 1= \ 240 \ km \cdot \frac{1 \ milhas}{1,6091 \ km}= \ 149 \ milhas$

Exemplo 3 Converter ${90 \ km/h}$ em metros por segundo.
Neste exemplo, temos:

$\displaystyle 90 \ km/h= \ (90 \ \frac{km}{h})\cdot 1 = \ 90 \ \frac{km}{h} \cdot \frac{1 \ h}{3600 \ s} \cdot \frac{1000 \ km}{1 \ km}$ $\displaystyle = \ 25 \ m/s$

Por vezes, podemos fazer a conversão de um modo mais rápido, substituindo cada unidade pela unidade de destino, com o respectivo factor de conversão.

Exemplo 4 Converter ${90 \ km/h}$ para o SI.

Sabemos que a unidade de velocidade no SI é ${m/s}$ , então, temos de converter ${km}$ em ${m}$ e ${h}$ em ${s}$ . Então temos:

$\displaystyle 90 \ \frac{km}{h}= \frac{90 \cdot 1000 \ m}{3600 \ s}=25 m/s$

Este método também é usado em conversões de unidades com prefixos (múltiplos e submúltiplos).

Exemplo 5 Converter ${100 \ kJ/s}$ para o SI.

Sabemos que a unidade de velocidade no SI é ${m/s}$ , então, temos de converter ${kJ}$ em ${J}$ (substituindo apenas o multiplo quilo) e ${s}$ já está no S.I. Então temos:

$\displaystyle 100 \ \frac{kJ}{s}= \ 100 \ \frac{ \cdot {10^{3}} \ J}{s} =100000 \ J/s = \ 100000 \ W$

Ainda há a clássica regra de “3 simples”, conhecida pela maioria.

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1.2. Exercícios sobre sistema massa-mola (Parte 2)

10/23/2020 11:57 am / Deixe um comentário

Exercício 1 Um móvel executa MHS e obedece a função horária ${x = 3 \cdot cos(0,5 \pi t + \pi)}$ , no SI.

Determine o tempo necessário para que este móvel vá da posição de equilíbrio para a posição de elongação máxima.
Obtenha o valor da aceleração no instante ${t = 1 \ s}$ .

Nível de dificuldade: Regular.

Resolução 1 .

Sabemos que num MHS o tempo que o corpo leva a sair do extremo para a posição de equilíbrio ou vice-versa é igual a um quarto do período ${t= \dfrac{T}{4}}$ . Neste caso, precisamos calcular o período e depois calcular o ${t}$ .
Na equação obtemos que:
$\displaystyle \omega=0,5 \pi \ rad/s$

Mas sabemos que ${ \omega= \dfrac{2 \pi}{T}}$ . Então:

$\displaystyle \omega=0,5 \pi$

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{2 \pi}{T}=0,5 \pi$

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{2}{T}=0,5$

$\displaystyle \Rightarrow 2 = 0,5 T$

$\displaystyle \Rightarrow T = \dfrac{2}{0,5}$

$\displaystyle \Rightarrow T = 4 \ s$

Neste caso, o tempo é:

$\displaystyle t= \dfrac{T}{4}$

$\displaystyle \Rightarrow t = 1 \ s$
Precisamos saber primeiro a função da aceleração desse movimento, que é dada pela segunda derivada da posição em função do tempo, ou seja
$\displaystyle a = \dfrac{d^2x}{dt^2}$

Logo:

$\displaystyle a = \dfrac{d}{dt} \Bigg[ \dfrac{d x}{dt} \Bigg]$

$\displaystyle a = \dfrac{d}{dt} \Bigg[ \dfrac{d}{dt}[3 \cos(0,5 \pi t + \pi)] \Bigg]$

$\displaystyle a = \dfrac{d}{dt} \Bigg [-3 \cdot 0,5 \pi sen (0,5 \pi t + \pi) \Bigg]$

$\displaystyle a = \dfrac{d}{dt} \Bigg [-1,5 \cdot \pi sen (0,5 \pi t + \pi) \Bigg]$

$\displaystyle a = -1,5 \pi \cdot0,5 \pi \cos(0,5 \pi t + \pi)$

$\displaystyle a = -0,75 \pi^2 \cdot \cos(0,5 \pi t + \pi)$

Considerando ${t = 1 \ s}$ , logo:

$\displaystyle a = -0,75 \pi^2 \cdot \cos(0,5 \pi \cdot 1 + \pi)$

$\displaystyle a = 0$

Exercício 2 Na figura ao lado, dois blocos ( ${m = 2 \ kg}$ e ${M = 16 \ kg}$ ) e uma mola ( ${k = 250 \ N/m}$ ) estão dispostos em uma superfície horizontal sem atrito. O sistema oscila em MHS com amplitude de ${10 \ cm}$ . Qual deverá ser o coeficiente de atrito mínimo para que o bloco menor fique na eminência de deslizar sobre o bloco maior ?

Nível de dificuldade: Regular.

Resolução 2 .

Dados:

${m=2 \ kg}$

${M=16 \ kg}$

${k=250 \ N/m}$

${A=10 \ cm = 0,1 \ m}$

${ \mu \longrightarrow ? }$ (eminência de cair).

Para que o bloco menor fique fique em repouso relativo ao bloco maior, deslizando conjuntamente com ele, (na iminência de deslizar sobre bloco maior, mas não deslizando) é necessário que haja uma igualdade entre a força que o bloco maior aplica ao bloco menor (determinada a partir da aceleração) e a força de atrito existente na superfície de contacto entre eles (1ª Lei de Newton).

$\displaystyle Diagrama \ do \ corpo \ livre$

Como estamos a tratar de um MHS, a força aplicada pelo bloco de baixo ao bloco de cima é:

$\displaystyle F_M = m \cdot a_{mhs}$

Onde ${a_{mhs}}$ é a aceleração do MHS.

Logo:

$\displaystyle F_M = F_a$

$\displaystyle m \cdot a_{mhs} = \mu \cdot N$

Como o bloco ${m}$ não está inclinado nem em relação a horizontal, logo:

$\displaystyle N = m \cdot g$

Então:

$\displaystyle F_M = F_a$

$\displaystyle \Rightarrow m \cdot a_{mhs} = \mu \cdot m \cdot g$

$\displaystyle a_{mhs} = \mu \cdot g$

Nota: O enunciado não sugere que o bloco deslize, mas sim que ele fique prestes a deslizar. Esta situação só pode ser analisada quando os dois blocos atingem o extremo. Neste ponto a força exercida pela mola é máxima e consequentemente a ${a_{mhs}}$ também é máxima. logo:

$\displaystyle a_{mhs} = A \cdot \omega^2$

Num sistema massa-mola:

$\displaystyle \omega^2 = { \dfrac{k}{m_{sist}}}$

Além disso, a frequência angular não depende somente do bloco ${m}$ , mas sim dos dois, pois a mola desloca os dois em conjunto. Então:

$\displaystyle \omega^2 = { \dfrac{k}{m + M}}$

$\displaystyle a_{mhs} = \mu \cdot g$

Voltando a igualdade entre as forças, teremos:

$\displaystyle A \cdot \omega^2 = \mu \cdot g$

$\displaystyle A \cdot \dfrac{k}{m + M} = \mu \cdot g$

$\displaystyle \mu = \dfrac{A \cdot k}{g(m + M)}$

$\displaystyle \mu = \dfrac{0,1 \cdot 250}{9,8(16 + 2)}$

$\displaystyle \mu = 0,142$

Exercicío 3 Um corpo de ${60 \ g}$ , preso a uma extremidade de uma mola ideal ( ${k = 3,2 \ N/m}$ ) comprimida de ${32 \ cm}$ , é abandonado do repouso na posição “A” da figura. A partir desse instante o corpo inicia o MHS. Despreze o atrito e adote o ponto de equilíbrio do corpo (ponto O) e sentido para a direita como referencial. Nessas condições, determine a equação da posição e da velocidade desse MHS.

Nível de dificuldade: Regular.

Resolução 3 .

Dados

${k = 3,2 \ N/m}$

${A = 32 \ cm = 0,32 \ m}$

${m = 60 \ g = 0,06 \ kg}$

O corpo inicialmente se encontra no extremo negativo (de acordo com a figura inicial). Estando neste extremo, de acordo com a situação (mola comprimida) ao ser solto vai movimentar-se para a posição de equilíbrio e continuar a oscilar. Veja o gráfico analítico abaixo:

A equação geral da posição de um MHS é:

$\displaystyle x = Asen ( \omega t + \varphi_0)$

Considere o gráfico genérico da função ${x=sen (\varphi)}$ .

Para a função ${sen}$ o extremo negativo é atingido para a fase ${- \dfrac{ \pi}{2}}$ ou ${ \dfrac{3 \pi}{2}}$ .

Sendo que a oscilação começa a partir do extremo negativo (Ponto A), logo ${ \varphi_0 = - \dfrac{ \pi}{2}}$ .

Sabemos que, num sistema corpo-mola:

$\displaystyle \omega = \sqrt{ \dfrac{k}{m}}$

Então:

$\displaystyle \omega = \sqrt{ \dfrac{3,2}{0,06}} = 7,30 rad/s$

Logo, substituindo na equação geral, obtemos:

$\displaystyle x = 0,32sen \ (7,30 \ t - \dfrac{ \pi}{2}) \ [SI]$

A velocidade de um movimento é dada como a derivada da equação da posição, ou seja:

$\displaystyle v = \dfrac{dx}{dt}$

Logo:

$\displaystyle v = \dfrac{d}{dt} \Big[0,32sen \ (7,30 \ t - \dfrac{ \pi}{2}) \Big]$

$\displaystyle v = 0,32 \cdot 7,30 \cdot \cos \ (7,30 \ t - \dfrac{ \pi}{2})$

$\displaystyle v = 2,337 \cos \ (7,3 \ t - \dfrac{ \pi}{2}) \ [SI]$

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1.2 Exercícios sobre Calor de Transformação e Equilíbrio Térmico (Parte 1)

10/13/2020 11:24 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Calor de Transformação —

Exercício 1. Qual é a quantidade de calor necessária para levar ${600\ g}$ de água da temperatura de ${{40} \ ^oC}$ para o estado de vapor à ${{100} \ ^oC}$ . Utilize o calor específico da água ${4190\ J/(kg\cdot K)}$ e o calor latente de vaporização ${2256 \cdot 10^3\ J/kg}$ .
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

Trata-se de um exercício sobre calorimetria. Queremos saber qual é a quantidade de calor necessária para converter ${600\ g}$ de água à ${40 \ ^oC}$ em vapor.
Temos que converter as unidades das grandezas para o sistema internacional. A massa em ${kg}$ . A temperaturas não precisa ser convertida, pois a variação de temperaturas em ${^oC}$ e em ${K}$ é igual.
Nota: o vapor de água na pressão atmosférica normal, está a uma temperatura de ${100 \ ^oC}$ .

Dados
${Q \longrightarrow?}$

${m = 600\ g}$

${t_1 = 40 \ ^oC}$

${t_2 = 100 \ ^oC}$

${c = 4190\ J/(kg\cdot k)}$

${l_V = 2256 \cdot 10^3\ J/kg}$

Convertemos a massa para quilogramas ( ${kg}$ ):

$\displaystyle m = 600 \ g = 600 \cdot 10^{-3} \ kg$

De acordo com o diagrama de transição de fases, na passagem de ${40 \ ^oC}$ líquido ${(1)}$ para vapor a ${100 \ ^oC}$ ${(2)}$ teremos duas quantidades de calor:

${Q_1 = m \cdot c \cdot \Delta t = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1)}$ – quantidade de calor para variar a temperatura;

${Q_2 = m \cdot l_{V}}$ – quantidade de calor necessária para evaporar uma massa ${m}$ de substância.

A quantidade de calor necessária para elevar a água à uma certa temperatura para o estado de vapor à ${100 \ ^oC}$ é igual a soma das duas quantidades de calor anteriores. Assim:

$\displaystyle Q = Q_1 + Q_2$

$\displaystyle m \cdot c \cdot \Delta t + m \cdot l_V = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1) + m \cdot l_V$

$\displaystyle Q = m[c(t_2 - t_1) + l_V]$

Substituindo os valores dados, obtemos:

$\displaystyle Q = 600 \cdot 10^{-3} \cdot[4190 \cdot (100 - 40) + 2256 \cdot 10^3]$

$\displaystyle Q = 1504440$

$\displaystyle Q = 1,5\ MJ$

— 1.3. Temperatura e Equilíbrio térmico —

Exercício 2. Mistura-se ${25 \ g}$ de café a ${90 \ ^oC}$ com ${80 \ g}$ de leite a ${25 \ ^oC}$ . Admitindo que não há troca de calor com o recipiente e que os líquidos têm o mesmo calor específico, determine a temperatura final do sistema (café+leite).
NÍVEL DE DIFICULDADE:Regular.

Resolução 2
Trata-se de um exercício de equilíbrio térmico (calorimetria) cujo o objectivo é determinar a temperatura final de um sistema (café-leite) dentro do recipiente.
Sempre que dois corpos são misturados, inicialmente a temperaturas diferentes, haverá sem troca de calor, até que os dois obtenham a mesma temperatura(temperatura de equilíbrio do sistema).
Aplicando o princípio de conservação de energia:

$\displaystyle Q_1 + Q_2 + Q_3 + ... + Q_N=0$

No caso, só temos quantidades de calor de mudança de temperatura:

$\displaystyle Q_i = m \cdot c_i \cdot (t_2-t_1)$

OBS: Não se considera a troca de calor com o recipiente pois o enunciado diz que não há troca de calor com o recipiente.

Dados

${m_c=25 \ g}$

${t_{1C} = 90 \ ^oC}$

${m_l = 80 \ g}$

${t_{1l}= 25 \ ^oC}$

${t_2-?}$

${c_c = c_{l} = c_{agua} = 4190 \ J/(kg \cdot k)}$

Como os dois trocam calor, teremos:

${Q_c = m_c \cdot c_c \cdot(t_2 - t_{1c})}$ – quantidade de calor do café.

${Q_l = m_l C_l \cdot (t_2 - t_{1l})}$ – quantidade de calor do leite.

Sabemos que:

$\displaystyle Q_1+Q_2=0$

$\displaystyle \Rightarrow m_c \cdot c_c \cdot (t_2-t_{1c}) + m_l \cdot c_l \cdot (t_2-t_{1l})=0$

$\displaystyle \Rightarrow 25 \cdot 4190 \cdot (t_2- 90^o)+ 80 \cdot 4190 \cdot (t_2 - 25^o)=0$

$\displaystyle \Rightarrow 104750 t_2 - 9427500 + 335200t_2 - 8380000 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 104750 t_2 + 335200t_2 = 9427500 + 8380000$

$\displaystyle \Rightarrow 439950t_2 = 17807500$

$\displaystyle \Rightarrow t_2=\dfrac{17807500}{439950}$

$\displaystyle \Rightarrow t_2 = 40,5 \ ^oC$

A temperatura de equilíbrio do sistema (café+leite) é igual a ${T_f=41 \ ^oC}$ .

Exercício 3 .Quando ${600 \ g}$ de substância ${x}$ a ${60 \ ^{o}C}$ são introduzidos num calorímetro contendo ${80 \ g}$ de água a ${15 \ ^{o}C}$ a temperatura de equilíbrio resultante é ${19 \ ^{o}C}$ . Quando ${90 \ g}$ de água a ${50 \ ^{o}C}$ são vertidos sobre ${500 \ g}$ de substância ${x}$ a ${15 \ ^{o}C}$ , contidos no mesmo calorímetro da situação anterior, a temperatura de e equilíbrio é de ${36 \ ^{o}C}$ . Calcule o calor específico do substância ${x}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 3 .

O exercício em questão é sobre calorimetria. Inicialmente, em um calorímetro, com água com massa de ${ m_{AA} = 80 \ g }$ e temperatura ${ t_{1{AA}}= 15 \ ^{o}C }$ , é introduzido uma substância x, de massa ${ m_{Ax} = 600 \ g }$ e a temperatura de ${ t_{1Ax} = 60 \ ^{o}C }$ . Esta mistura atinge o equilíbrio térmico à temperatura de ${ \theta_{1}= 19 \ ^{o}C }$ .

Noutra situação, no mesmo calorímetro, tem a substância ${x}$ de massa ${ m_{B{x}}=500 \ g }$ a temperatura de ${t_{1{Bx}}=15 \ ^{o}C}$ , e nele verte-se água de massa ${ m_{B{A}}=90 \ g }$ e temperatura ${ t_{1{BA}}=50 \ ^{o}C }$ . A temperatura de equilíbrio desta mistura é ${\theta_{2}=36 \ ^{o}C }$ .

Portanto, temos duas situações (A e B) de mistura de água com a substância ${x}$ .

As grandezas associadas as substâncias, água e x, no inicio terão índice 1 e no fim índice 2. Mas como temos duas situações. Vamos usar A e ) para distingui-las.

No que o o exercício fala da existência do calorímetro e não pede para desprezar o seu efeito.

Dados

${ m_{Ax}=600 \ g = 0,6 \ kg}$

${ t_{1Ax}=60 \ ^{o}C}$

${ m_{AA}=80 \ g \ = 0,08 \ kg}$

${ t_{1AA}= 15 \ ^{o}C}$

${\theta_{1} = 19 \ ^{o}C }$

${c_A = 4190 \ J / kg \cdot K }$

${m_{BA} = 90 \ g = 0,09 \ kg}$

${t_{1{Bx}}=50 \ ^{o}C}$

${m_{2{Bx}}=500 \ g = 0,5 \ kg}$

${t_{1{Bx}}=15 \ ^{o}C}$

${\theta_{2}=36 \ ^{o}C}$

Calcularemos o calor específico do substância.

Para ambas as situações (A e B), a lei de conservação de energia cumpre-se, considerando os sistema isolados. Como não se despreza a capacidade calorífica do calorímetro disponível, então consideremos também a quantidade de calor que este absorve em ambos os casos. Logo temos:

Situação A:

$\displaystyle Q_{Ac}+ Q_{A{A}}+Q_{Ax}=0$

${Q_{Ac}}$ – quantidade de calor do calorímetro na situação A ( ${ Q_{{Ac}}= C_c \cdot (\theta - t_{1{Ac}})}$ ).

${Q_{A{A}}}$ – quantidade de calor da agua na situação A ( ${Q_{A{A}}= m_{A{A}} \cdot c_A \cdot (\theta - t_{1AA})}$ ).

${Q_{Ax}}$ – quantidade de calor na substância x na situação A ( ${Q_{Ax}= m_{A{x}} \cdot c_x \cdot (\theta - t_{1{Ax}})}$ ).

Onde:

${C_c}$ – Capacidade térmica do calorímetro.

${t_{1{Ac}}}$ – Temperatura inicial do calorímetro na situação A (que é a temperatura inicial na água, que estava inicialmente no calorímetro). Então: ${t_{1{Ac}} = t_{1{AA}} = 15 \ ^oC}$ , (no caso B, estava inicialmente a substância x no calorímetro; ${t_{1{Bc}} = t_{1{Bx}} = 15 \ ^oC}$ ).

Então, na situação A:

$\displaystyle Q_{Ac}+ Q_{A{A}}+Q_{Ax}=0$

$\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (\theta-t_{1{Ac}})+ m_{A{A}} \cdot c_A \cdot (\theta-t_{1{AA}})+ m_{A{x}} \cdot c_x \cdot (\theta-t_{1{Ax}}) = 0$

Há duas incógnitas: ${C_c}$ e ${c_x}$ .

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (19-15)+0,08 \cdot 4190 \cdot (19-15)+0,6 \cdot c_x \cdot (19-60) = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 4C_c+1340,8-24,6 c_x = 0 \ \ \ \ \ (1)$

Como é apenas uma equação e duas incognitas, precisamos formar mais uma equação.Neste caso, na situação B, temos:

$\displaystyle Q_{Bc}+ Q_{B{A}}+Q_{Bx}=0$

$\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (\theta-t_{1{Bc}})+m_{B{A}} \cdot c_A \cdot (\theta-t_{1{BA}})+ m_{B{x}} \cdot c_x \cdot (\theta-t_{1{Bx}}) = 0$

$\displaystyle \Rightarrow C_c (30-15)+0,09 \cdot 4190 \cdot (30-50)+0,5 \cdot c_x (30-15) = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 15C_c - 7542 + 7,5c_x = 0 \ \ \ \ \ (2)$

Combinando as equações 1 e 2, obtemoS:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 4C_c + 1340,8 - 24,6 c_x = 0\\ 15C_c - 7542 + 7,5c_x = 0\\ \end{array}\right.$

Para resolver este sistema , podemos usar o método de substituição. Isolaremos ${C_c}$ na primeira equação e substituiremos na segunda:

$\displaystyle 4C_c + 1340,8 - 24,6 c_x = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 4C_c = 24,6 c_x - 1340,8$

$\displaystyle \Rightarrow C_c = \dfrac{24,6 c_x - 1340,8}{4}$

$\displaystyle \Rightarrow C_c = \dfrac{24,6}{4} \cdot {c_x} - \dfrac{1340,8}{4}$

$\displaystyle \Rightarrow C_c = 6,15 c_x - 335,2$

Substituindo este resultado na segunda equação do sistema anterior, obtemos:

$\displaystyle 15(6,15c_x - 335,2) - 7542 + 7,5c_x = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 92,25c_x - 5028 - 7542 + 7,5c_x = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 92,25c_x+7,5c_x = 5028 + 7542$

$\displaystyle \Rightarrow 99,75c_x = 12570$

$\displaystyle \Rightarrow c_x = \dfrac{12570}{99,75}$

$\displaystyle \Rightarrow c_x \approx 126 \ J / (kg \cdot \ ^oC)$

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1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 2)

10/03/2020 8:08 pm / 1 comentário em 1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 2)

Exercício 4 Considere o micro-sistema abaixo formado por duas pequenas peças metálicas, I e II, presas em duas paredes laterais. Observamos que na temperatura de ${16 \ ^oC}$ , a peça I, tem tamanho igual ${2 \ cm}$ , enquanto que a peça II possui apenas ${1 \ cm}$ de comprimento. Ainda nesta temperatura as peças estavam afastadas por uma pequena distância ${d}$ igual à ${6 \cdot 10^{-3}\ cm}$ . Sabendo que o coeficiente de dilatação linear da peça I é igual a ${4 \cdot 10^{-5}(^oC)^{-1}}$ e que o coeficiente de dilatação linear dada peça II é igual à ${5 \cdot 10^{-5}(^oC)^{-1}}$ , qual deverá ser a temperatura do sistema, em graus Celsius, para que as duas peças estejam afastadas a uma distância igual ao dobro de ${d}$ ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 4 .
Trata-se de um exercício sobre dilatação linear, quando um corpo o sistema é submetido a variações de temperaturas.A figura do enunciado, na situação 1 apresenta o fenómeno quando o sistema estava em uma temperatura ${t_o}$ e as peças tinham comprimentos ${l_{o1}}$ e ${l_{o2}}$ , respectivamente, e estavam separadas a uma distância ${d}$ .

A situação 2, representada na figura a seguir, apresenta o fenómeno de dilatação, quando o sistema sofre variação de temperatura ${t_o}$ para ${t}$ e as dimensões das peças também variam de ${l_{o1}}$ para ${l_1}$ e de ${l_{o2}}$ para ${l_2}$ , respectivamente, e a distâncias entre as peças aumenta de ${d}$ para ${2d}$ .

Dados

${t_o =16 \ ^oC}$

${l_{o1} = 2 \ cm}$

${l_{o2} = 1 \ cm}$

${d = 6 \cdot 10^{-3} \ cm}$

${\alpha_1 = 4 \cdot 10^{-5} \ ^oC^{-1}}$

${ \alpha_2 = 5 \cdot 10^{-5} \ ^o C^{-1}}$

${t \longrightarrow ?}$ ${d' = 2d}$

Temos a equação de dilatação linear que é:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o\Delta t$

A equação da dilatação para as peças será:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccccc} \Delta l_1 &=& \alpha_1 l_{o1}\Delta t\ \ (1)\\ \Delta l_2 &=& \alpha_2 l_{o2}\Delta t\ \ (2) \end{array} \right.$

Para que as peças estejam separadas a uma distância igual ao dobro de ${d}$ , é necessário que as duas peça se comprimam a uma distância total igual a ${d}$ , como vimos na figura anterior.

Assim é suficiente que:

$\displaystyle \Delta l_1 = l_1 - l_{o1}\ \ \ e\ \ \Delta l_2 = l_2 - l_{o2}$

Sabemos que: ${\Delta l_1+ \Delta l_2=-d}$ . A diminuição total de comprimento deve ser d. O sinal de menos (-) aparece devido ao facto de estarmos a lidar com uma diminuição de comprimento (variação negativa). Então:

$\displaystyle -d = \alpha_1 l_{o1}\Delta t + \alpha_2 l_{o2}\Delta t$

$\displaystyle \Rightarrow -d = \Delta t (\alpha_1 l_{o1} + \alpha_2 l_{o2})$

Isolando ${\Delta t}$ na equação, obtemos:

$\displaystyle \Delta t = \dfrac{-d}{\alpha_1 l_{o1} + \alpha_2 l_{o2}}$

Substituindo os valores:

$\displaystyle \Delta t = \dfrac{-6 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-2} }{4 \cdot 10^{-5} \cdot 2 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-5} \cdot 1 \cdot 10^{-2} }$

$\displaystyle \Delta t = -46,15 \ ^oC$

Sabemos que a variação da temperatura é dada por:

$\displaystyle \Delta t = t - t_o$

$\displaystyle ou \ t - t_o = \Delta t$

Isolando ${t}$ , tem-se:

$\displaystyle t = \Delta t + t_o$

Substituindo os valores de ${\Delta t}$ e ${t_o}$ , tem-se:

$\displaystyle t = -46,15 \ ^oC + 16 \ ^oC$

$\displaystyle t = -30,15 \ ^oC$

Exercício 5 Dois corpos, A e B, de massas ${ m_{A} = 600 \ g }$ e ${ m_{B} = 300 \ g }$ , são aquecidos separadamente por uma mesma fonte que lhes fornece calor a razão de ${ 300 \ cal/min}$ . O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura ${ \theta }$ dos corpos em função do tempo ${t}$ para o aumento dessa temperatura.

Determine:

A relação entre os calores específicos das substâncias que constituem os corpos ${ (c_{B}/c_{A})}$ .
Depois de quanto tempo o corpo A atinge a temperatura de ${ 90 \ ^{o}C }$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .O problema em questão está relacionado a calorimetria. São dados dois corpos A e B que são aquecidos separadamente através de uma mesma fonte que fornece calor a razão de ${ 300 \ cal/min }$ . Esta quantidade de calor por unidade de tempo que a fonte fornece aos corpos representa a potência da fonte, isto é: ${ P_{F}=300 \ cal/min }$ . Então temos os seguintes dados.

Dados

${ m_{A}=600 \ g}$

${ m_{B}=300 \ g}$

${ P_{F}=300 \ cal/min}$

Buscaremos as equações da quantidade de calor para os corpos A e B.Da calorimetria sabemos que:
$\displaystyle Q=m \cdot c \cdot \Delta \theta \ \ \ \ \ (9)$

Onde:
m – massa da substância;
c – calor específico da substância;
${ \Delta \theta}$ = ${(\theta_{f} - \theta_{i})}$ – variação de temperatura.

Então temos para o corpo A:

$\displaystyle Q_{A}=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA}) \ \ \ \ \ (10)$

Para o corpo B:

$\displaystyle Q_{B}=m_{B} \cdot c_{B} \cdot(\theta_{fB} - \theta_{iB}) \ \ \ \ \ (11)$

Por outro lado, sabe-se que ambos os corpos, A e B, são aquecidos por uma mesma fonte com potencia ${ P_{F}=300 \ cal/min}$ . De acordo com gráfico, os dois corpos são aquecidos durante um intervalo de tempo ${ \Delta t=10 \ minutos }$ .

Sendo assim, os dois corpos recebem a mesma quantidade de calor, isto é, ${ Q_{A}=Q_{B}=P_F \cdot \Delta t}$ .

Dividindo a equação 5 pela 5, obtemos:

$\displaystyle \dfrac{Q_{B}}{Q_{A}}= \dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{c_{B}}{c_{A}} \cdot (\dfrac{\theta_{fB}-\theta_{iB}}{\theta_{fA}-\theta_{iA}})$

$\displaystyle \Rightarrow 1= \dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{c_{B}}{c_{A}} \cdot (\dfrac{\theta_{fB} - \theta_{iB}}{\theta_{fA} - \theta_{iA}})$

Isolando a razão ${ \dfrac{c_{B}}{c_{A}}}$ , obtemos:

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_A}= \dfrac{1}{\dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{\theta_{fB} - \theta_{iB}}{\theta_{fA} - \theta_{iA}}}$

Aplicando a regra de divisão de frações, obtemos:

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}= \dfrac{m_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})}{m_{B} \cdot(\theta_{fB} - \theta_{iA})}$

O gráfico inicial dá-nos para o corpo A:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iA}=10 \ ^oC\\ \theta_{fA}=30 \ ^oC\\ \end{array}\right.$

Para o corpo B:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iB}=20 \ ^oC\\ \theta_{fB}=30 \ ^oC\\ \end{array}\right.$

Substituindo os dados, obtemos: ${ \dfrac{c_{B}}{c_{A}}= \dfrac{600 \cdot(30-10)}{300 \cdot(30-20)}}$

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}=4$

Então, a razão entre os calores específicos das substâncias que constituem os corpos é:

$\displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}=4$
Para determinamos o tempo em que o corpo A atinge a temperatura de ${90 ^oC}$ , precisaremos conhecer em primeiro lugar o seu calor específico( ${c_A}$ ). Vamos obter o valor de ${ c_{A}}$ (calor especifico do corpo A) fazendo a análise através do gráfico.Para o corpo A:
$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iA}=10 \ ^oC \\ \theta_{fA}=30 \ ^oC \\ \end{array}\right.$

Consideremos a equação:

$\displaystyle Q_{A}=m_{A} \cdot c_{a} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Entretanto, sabemos que:

$\displaystyle P_{F}=\dfrac{Q_{A}}{\Delta t}$

Isolando ${Q_{A}}$ , temos:

$\displaystyle Q_{A}=P_{F} \cdot \Delta t$

Neste caso:

$\displaystyle P_{F} \cdot \Delta t=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Onde: ${ \Delta t=(t_{f} - t_{i})}$ – Intervalo de tempo.

Então:

$\displaystyle P_{F} \cdot(t_{f} - t_{i})=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Isolando ${ c_{A}}$ :

$\displaystyle c_{A}= \dfrac{P_{F} \cdot(t_{f} - t_{i})}{m_{A}(\theta_{fA} - \theta_{iA})}$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle c_{A}= \dfrac{300 \cdot(10-0)}{600 \cdot(30-10)}=0,25$

$\displaystyle c_{A}=0,25 \ cal/g \cdot \ ^oC$

Obs: Não fizemos conversão pelo SI, mas determinamos a unidade equivalente.

Agora, analisando para um novo intervalo de tempo desconhecido, buscamos o tempo necessário para que o corpo A atinja a temperatura de ${ 90 \ ^oC}$ , isto é, ${ \theta_{fA}=90 \ ^oC}$ .

Sabemos que:

$\displaystyle Q_{A} =m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

$\displaystyle \Rightarrow P_{F} \cdot(t_{F} - t_{i})=m_{A} \cdot c_{A}\cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})$

Isolando o intervalo de tempo ${ t_{f} - t_{i}}$ , obtemos:

$\displaystyle (t_{f} - t_{i})= \dfrac{m_{A} \cdot c_{A}(\theta_{FA} - \theta_{iA})}{P_{F}}$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle (t_{f} - t_{i})= \dfrac{600 \cdot 0,25 \cdot(90-10)}{300}$

$\displaystyle ( t_{f} - t_{i})=40 \ min$

Como no inicio, de acordo ao gráfico, o corpo A em ${ t_{i}=0}$ tem temperatura ${ \theta_{iA}=10 \ ^oC}$ , como substituindo acima, então temos:

$\displaystyle t_{f}- 0 =40 \ min$

$\displaystyle t_{f}=40 \ min$

Portanto, o corpo A atinge de ${ \theta_{fA}=90 \ ^oC}$ depois de ${ 40 \ min}$ sendo aquecido pela fonte de potencia ${ P_{F}=300 \ cal/min}$ .

Exercício 6 Como resultado de um aumento de temperatura de ${36 \ ^oC}$ , uma barra com uma rachadura no centro dobra para cima (ver figura abaixo). Se a distância fixa ${L_o}$ é de ${3,78\ m}$ e o coeficiente de dilatação linear da barra é de ${26 \cdot 10^{-6} \ ^oC^{-1}}$ , determine a altura ${x}$ do centro da barra.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 6Trata-se do fenómeno de dilatação térmica devido a variação de temperatura. Quando a barra se dilatar, o seu tamanho (comprimentos) aumenta. Fruto desse aumento de comprimento e do orifício já existente, a barra divide-se em duas partes iguais. Se a barra dilatada tem comprimento final ${ L }$ , então cada uma das partes (metades) da barra dilatada mede ${ \dfrac{L}{2} }$ .

Na figura acima, designamos:

A – ponto fixo de ligação da barra a uma extremidade:

B – centro da distancia fixa ${ L_o }$ ;

C – ponto onde, acima do centro, onde a barra se dobra.

{Dados}

${ \Delta t = 36 \ ^oC}$

${ L_o = 3,78 \ m}$

${ \alpha = 26 \cdot 10^{-6} \ ^oC^{-1}}$

${ x \longrightarrow? }$

Do triângulo ABC, é válido o Teorema de Pitágoras:

$\displaystyle \Big( \dfrac{L}{2} \Big)^2 = x^2 + \Big( \dfrac{L_o}{2} \Big)^2$

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{L^2}{4} = x^2 + \dfrac{ L_o^2 }{4}$

$\displaystyle x^2 = \dfrac{L^2}{4} - \dfrac{L_o^2}{4} = \dfrac{L^2 - L_o^2 }{4}$

Isolando ${x}$ :

$\displaystyle x = \sqrt{ \dfrac{ L^2 - L_o^2 }{4}} \Rightarrow x= \dfrac{ \sqrt{L^2 - L_o^2}}{\sqrt{4}}$

$\displaystyle x = \dfrac{\sqrt{L^2 - L_o^2}}{2} \ \ \ \ \ (12)$

Antes da variação da temperatura a barra tinha o comprimento igual à ${L_o}$ . Depois da variação da temperatura a barra passou a ter um comprimento igual à ${L}$ .

Pela lei da dilatação linear, temos:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_o \Delta T$

Com ${ \alpha }$ em ${ ^oC^{-1}}$ e ${ \Delta t }$ em ${ ^o C }$ . A partir desta equação podemos determinar ${L}$ .

Como ${ \Delta L = L - L_o }$ , então:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_o \Delta T \Rightarrow L - L_o = \alpha L_o \Delta T$

$\displaystyle L = \alpha L_o \Delta t + L_o \Rightarrow L = L_o (\alpha\Delta t + 1) \ \ \ \ \ (13)$

Substituindo 13 em 12, tem-se:

$\displaystyle x = \dfrac{ \sqrt{L^2 - L_o^2} }{2} \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{[L_o (\alpha\Delta t + 1)]^2 - L_o^2}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{L_o^2(\alpha\Delta t + 1)^2 - L_o^2}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{\sqrt{L_o^2[(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1]}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{L_o^2}\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{L_o\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{L_o}{2}\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}$

Substituindo os valores dados, obtemos:

$\displaystyle x = \dfrac{3,78 \ m}{2} \cdot \sqrt{(26 \cdot 10^{-6} \cdot 36 \ + 1)^2 - 1}$

$\displaystyle \Rightarrow x = 0,082 \ m \ \Rightarrow x= 8,2 \ cm$

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1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 1)

09/27/2020 8:26 pm / Deixe um comentário

— 1. Exercício sobre Calor e Temperatura —

— 1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica —

Exercício 1 Um quadrado de área interna de ${2,35 \ m^{2}}$ foi montado com duas hastes de alumínio ${(\alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1} )}$ e duas hastes de aço ${(\alpha_{Aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1})}$ , todos inicialmente à mesma temperatura de ${27 \ ^{o}C}$ , conforme a figura abaixo. O sistema é, então, submetido a um processo de aquecimento, de forma que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura final de ${100 \ ^{o}{\mathbb C}}$ .

Considerando que no final as hastes de alumínio continuam perpendiculares as hastes de aço, determine a área do plano limitado pelas hastes após o aquecimento.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 1 .

O problema em questão trata de dilatação térmica dos corpos (expansão dos corpos). É dada uma área ${ A_{o}=2,35 \ m^{2}}$ limitada por duas hastes de alumínio e duas hastes de aço sob uma temperatura ${ t_{o}=27\ ^{o}C}$ .

Dado que a área limitada é a área de quadrado, então, de acordo a definição da área de um quadrado, temos que:

$\displaystyle A_{o}=l_{o Aco} \cdot l_{o Al} \ \ \ \ \ (1)$

Onde:
${ l_{o Aco}}$ – Comprimento da haste de aço.

${ l_{o Al}}$ – Comprimento da haste de alumínio.

Por outro lado, para que as hastes de alumínio e de aço formem ou limitem a área de um quadrado deve-se cumprir a seguinte condição:

$\displaystyle l_{o Aco}=l_{o Al}=l_o \ \ \ \ \ (2)$

Então, cada haste de alumínio e/ou de aço possui um comprimento ${ l_{o}}$ inicialmente.

Entretanto, depois de aquecidas as hastes de aço e alumínio, de modo que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura de ${ 100\ ^{o}C}$ , cada uma das hastes, de alumínio e aço, dilatam e ganham novos comprimento ${ l_{Al}}$ e ${ l_{Aco}}$ que são diferentes, pois os seus coeficientes de dilatação linear são diferentes, com ${ \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$ e ${ \alpha_{Aco}= 1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$ .

Dados:
${ A_{0}=2,35 \ m^{2}}$
${ t_{0}=27\ ^{o}C}$
${ \alpha_{Al}=2,4 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$
${ \alpha_{aco}=1,2 \cdot 10^{-5} \ ^{o}C^{-1}}$
${ t=100 \ ^{o}C}$

Depois do aquecimento até ${ t=100 \ ^{o}C}$ , as hastes de alumínio ainda permanecem perpendiculares as hastes de aço, conforme enunciado. Logo, como o aumento nos comprimentos nas hastes, temos uma nova área.

Então, a nova área limitada pelas hastes de alumínio e aço é dada como sendo o produto dos comprimento finais das hastes, ${ l_{Al}}$ e ${ l_{Aco}}$ , de alumínio e aço respectivamente.

$\displaystyle A=l_{Al} \cdot l_{Aco} \ \ \ \ \ (3)$

Pela figura acima percebe-se que:

$\displaystyle l_{Al}=l_{o} + \Delta l_{Al} \ \ \ \ \ (4)$

$\displaystyle l_{Aco}=l_{o} + \Delta l_{Aco} \ \ \ \ \ (5)$

Onde: ${ \Delta l_{Al}}$ e ${ \Delta l_{Aco}}$ são os aumentos nos comprimentos das hastes, devido o aquecimento, do alumínio e do aço, respectivamente.

Para determinarmos a área que as hastes de alumínio e aço vão limitar após o aquecimento, substituímos as equações 4 e 5 na equação 3. Obtemos:

$\displaystyle A= (l_{o}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{o}+ \Delta l_{Aco}) \ \ \ \ \ (6)$

Determinamos ${ l_{o}}$ pela equação 3:

$\displaystyle A_{o}=l_{o} \cdot l_{o} \Rightarrow A_{o}=l^{2}_{o}$

Invertendo a igualdade:

$\displaystyle l^{2}_{o}=A_{o} \Rightarrow l_{o} = \sqrt{A_{o}}$

Substituindo os dados:

$\displaystyle l_{o}=\sqrt{2,35}=1,533 \ m$

$\displaystyle \\ l_{o}=1,533 \ m$

Determinemos ${ \Delta l_{Al}}$ e ${ \Delta l_{Aco}}$ através da relação da dilatação linear.

Para o alumínio:

$\displaystyle \Delta l_{Al}=l_{o} \cdot \alpha_{Al} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (7)$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta l_{Al}=1,533 \cdot 2,4 \cdot 10^{-5} \cdot (100-27)$

$\displaystyle \Delta l_{Al}=2,685 \cdot 10^{-3} \ m$

Para o aço:

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=l_{Aco} \cdot \alpha_{Aco} \cdot (t-t_{o}) \ \ \ \ \ (8)$

Substituindo os dados:

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,533 \cdot 1,2 \cdot 10^{-5}(100-27)$

$\displaystyle \Delta l_{Aco}=1,343 \cdot 10^{-3} \ m$

Portanto, a área limitada pelas hastes após o aquecimento é:

$\displaystyle A=(l_{Al}+\Delta l_{Al}) \cdot (l_{Aco}+ \Delta l_{Aco})$

$\displaystyle A=(1,533+2,685 \cdot 10^{-3}) \cdot (1,533+1,343 \cdot 10^{-3})$

$\displaystyle A=2,356 \ m^{2}$

Exercício 2 Uma ponte tem comprimento ${L_1 = 145 \ m}$ à temperatura de ${{26} \ ^oC}$ . É construída de uma liga metálica especial com o coeficiente de expansão térmica ${\alpha = 1 \cdot 10^{-5} \ (^o{\mathbb C}^{-1})}$ . Calcule o comprimento ${L_2}$ da ponte quando a temperatura for de ${{43} \ ^oC}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 2 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica que um corpo sofre quando é submetido a variações de temperatura.

Dados

${L_1=145 \ m}$

${t_1 ={26} \ ^oC}$

${\alpha=1 \cdot 10 \ ^{-5} \ ^oC^{-1}}$

${L_2 \longrightarrow?}$

${t_2 ={43} \ ^oC}$

A equação da dilatação térmica de um sólido é:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t$

Mas ${\Delta L=L_2 - L_1 \ }$ e ${\Delta t = t_2 - t_1}$ .
Substituindo na equação anterior temos:

$\displaystyle \Delta L = \alpha L_1\Delta t \Rightarrow L_2 - L_1 = \alpha L_1(t_2 - t_1)$

Isolando ${L_2}$ , tem-se:

$\displaystyle L_2 = \alpha L_1(t_2 - t_1) + L_1 \Rightarrow L_2 = L_1[\alpha (t_2 - t_1) + 1]$

Substituindo os valores:

$\displaystyle L_2= 145 \ [1 \cdot 10^{-5} \ (43 - 26) + 1]$

$\displaystyle L_2 = 145,025 \ m$

Exercício 3 Na temperatura ambiente ( ${26 \ ^oC}$ ) os carris dos caminhos de ferro são montados em unidades de ${12 \ m}$ de comprimento. Entre duas destas unidades fica sempre uma distância de ${8,7 \ mm}$ livre para compensar expansão térmica dos carris. Calcule a temperatura máxima ${T}$ , que considerou o projectista? O coeficiente da expansão térmica do aço utilizado é de ${\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 3 .

Trata-se do fenómeno de dilatação térmica numa linha férrea. Para sabermos a temperatura máxima ${T}$ considerada pelo projectista é suficiente que a variação do comprimento de cada peça seja igual a distância livre entre elas.

Dados

${t_o ={26} \ ^oC}$

${l_o = 12\ m}$

${d = 8,6\ mm = 8,6\cdot 10^{-3}\ m}$

${t \longrightarrow?}$

${\alpha = 1,1 \cdot 10^{-5} \ (^oC^{-1})}$

A equação da dilatação linear é:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o \Delta T)$

$\displaystyle \Rightarrow \Delta l = \alpha l_o (t - t_o)\$

Note que a variação de temperatura em Graus Celcius é igual a variação da temperatura em Kelvins.

Para se saber a temperatura máxima considerada pelo projetista é suficiente que, ${\Delta l = d}$ . Substituindo na relação anterior, obtemos:

$\displaystyle \Delta l = \alpha l_o (t - t_o) \Rightarrow d = \alpha l_o (t - t_o)$

Isolando ${t}$ :

$\displaystyle t - t_o = \dfrac{d}{\alpha l_o} \Rightarrow t = \dfrac{d}{\alpha l_o} + t_o$

Substituindo os valores de ${t}$ , ${l_o}$ , ${d}$ e ${\alpha}$ na equação anterior, obtemos:

$\displaystyle t = \dfrac{8,6 \cdot 10^{-3}}{1,1 \cdot 10^{-5} \cdot 12} + 26$

$\displaystyle t = 91,15 \ ^oC$

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1.2. Exercícios sobre sistema massa-mola (Parte 1)

09/08/2020 7:39 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Sistema massa-mola —

Exercício 16 .

Um corpo está pendurado em uma mola de ${ k= 600 \ N/m}$ e oscila com uma amplitude de ${5 \ cm}$ .

Qual é a velocidade máxima desta oscilação e a massa do corpo, se o seu período for de ${1 \ s}$ ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 16 .
Dados
${k= \ 600 \ N/m}$
${A= \ 5 \ cm= \ 0,05 \ m}$
${T= \ 1 \ s}$
${v_M \rightarrow ?}$
${m \rightarrow ?}$

A velocidade máxima de um MHS é dada na forma:

$\displaystyle v_M= A \cdot\omega$

Por sua vez, sabemos que, para qualquer evento período:

$\displaystyle \omega= \dfrac{2 \pi}{T}$

Logo, substituindo na equação anterior, obtemos:

$\displaystyle v_M= A \cdot \dfrac{2 \pi}{T}$

$\displaystyle \Rightarrow v_M=0,05 \cdot \dfrac{2 \pi}{1}$

$\displaystyle \Rightarrow v_M= \ 0,314 \ m/s$

Para determinarmos a massa, podemos usar a relação de ${\omega}$ para o sistema massa-mola. Sabemos que neste sistema, a relação o ${\omega}$ é dado por:

$\displaystyle \omega = \sqrt{ \dfrac{k}{m} }$

Ou:

$\displaystyle \omega^2 = \dfrac{k}{m}$

Então, isolando a massa, obtemos:

$\displaystyle m= \dfrac{k}{\omega^2}$

Substituindo ${\omega}$ pela sua relação com o período, obtemos:

$\displaystyle m= \dfrac{k}{(2 \pi / T)^2}$

$\displaystyle \Rightarrow m= \dfrac{600}{(2 \pi / 1)^2}$

$\displaystyle \Rightarrow m= \ 15 \ kg$

Exercício 17 .
Um corpo de ${ 0,1 \ kg}$ preso em uma mola ideal de rigidez elástica de ${200 \ N/m}$ oscila em MHS com ${5 \ cm}$ de amplitude. Qual é a velocidade do corpo no momento em que a energia cinética do corpo é o dobro da energia potencial?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 17 .
Dados
${m= \ 0,1 \ kg}$
${k= \ 200 \ N/m}$
${A= \ 5 \ cm= \ 0,05 m}$
${m \rightarrow ?}$ ( ${E_c=2E_p}$ )

Em qualquer ponto do percurso em uma oscilação, a energia total do corpo é a soma da energia cinética com a energia potencial do corpo naquele ponto, ou seja:

$\displaystyle E_c + E_p = E_{Total} \ \ \ \ \ (1)$

Pretende-se saber qual é a velocidade do corpo no ponto onde a energia cinética é o dobro da energia potencial,ou seja:

$\displaystyle E_c=2 E_p \ \ \ \ \ (2)$

Substituindo a equação 2 na equação 1, temos:

$\displaystyle 2E_p + E_p = E_{Total}$

$\displaystyle 3E_p = E_{Total}$

Substituindo as energias cinéticas e total pelos seus equivalentes, obtemos:

$\displaystyle 3\dfrac{mv^2}{2}= \dfrac{kA^2}{2}$

Isolando a velocidade, obtemos:

$\displaystyle v= \sqrt{ \dfrac{k}{3m} \cdot A^2}$

$\displaystyle \Rightarrow v=1,29 \ m/s$

Exercício 18 .
Um corpo caindo de uma altura de ${10 \ cm }$ (em relação ao topo da mola), comprime a mola (ficando presa nesta) e inicia um MHS .Sendo a massa do corpo de ${100 \ g}$ e a constante da mola ${20 \ N/m}$ , determine a amplitude desta oscilação.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 18 .
Dados
${h=10 \ cm= \ 0,1 \ m }$
${m= \ 100 \ g= 0,1 \ kg}$
${k= \ 20 \ N/m}$
${g= \ 9,8 \ m/s^2}$
${A \longrightarrow ?}$

Na figura ilustramos o sistema em 3 situações diferentes:

Situação 1 – O corpo está na altura de 10 cm e a mola está relaxada. O corpo, inicialmente em repouso, cai em direcção a mola.
Situação 2 – O corpo chega na mola (e fica preso nela). A partir daqui a mola e o corpo movem-se como um só. até o momento do encontro, o movimento era acelerado e com aceleração constante. Após esse encontro, no corpo começa a actuar a força elástica e portanto a sua aceleração começa a diminuir. A medida em que o corpo desce, a mola se vai comprimindo mais, a força elástica vai aumentando e a aceleração do corpo diminui até zero e em seguida aumenta negativamente. Ai o corpo começa a fazer um movimento retardado.
Situação 3 – Após a sua velocidade reduzir até zero, o corpo pára momentaneamente (e em seguida faz o movimento de retorno a posição de equilíbrio).

Vamos adoptar a posição da situação 3 como referencial de altura.

De acordo com a ilustração do fenómeno é possível concluir que:

A oscilação começou no ponto de equilíbrio;
Na posição da situação 1 o corpo estava em repouso. Existe apenas a energia potencial gravítica (devido a altura de ${h + A}$ );
Na posição da situação 2, após cair aos ${ 10 \ cm}$ , o corpo está em movimento com uma velocidade definida pela altura de queda. O sistema possuí energia cinética (do corpo) e energia potencial gravítica (devido a altura ${A}$ );
Após comprimir a mola até ao máximo, o corpo para. Nesse momento o sistema só tem a energia potencial elástica.

Usando a descrição acima, para a situação 1, a energia do sistema será:

$\displaystyle E_1=E_{c1}+E_{pel1}+E_{pgrav1}$

$\displaystyle \Rightarrow E_1=0+0+E_{pgrav1}$

$\displaystyle \Rightarrow E_1= m \cdot g \cdot (h+A)$

Para a situação 2, a energia do sistema será:

$\displaystyle E_2=E_{c2}+E_{pel2}+E_{pgrav2}$

$\displaystyle \Rightarrow E_2=E_{c2}+0+E_{pgrav2}$

$\displaystyle \Rightarrow E_2=\dfrac{m \cdot v_2^2}{2}+0+m \cdot g \cdot A$

$\displaystyle \Rightarrow E_2=\dfrac{m \cdot v_2^2}{2}+m \cdot g \cdot A$

Para a situação 3, a energia do sistema será:

$\displaystyle E_3=E_{c3}+E_{pel3}+E_{pgrav3}$

$\displaystyle \Rightarrow E_3=0+E_{pel3}+0$

$\displaystyle \Rightarrow E_3=E_{pel3}$

$\displaystyle \Rightarrow E_3=\dfrac{k \cdot A^2}{2}$

Sabemos que neste movimento apenas actuam as forças de gravida e elástica, que são ambas conservativas. Então, a energia mecânica deste sistema permanece constante:

$\displaystyle E_1=E_2=E_3=E$

Obtemos a partir desta análise um sistema de 3 equações. Resolvendo-o, podemos obter todos os valores desconhecidos ( ${v_2}$ , ${A}$ e ${E}$ ). Para obter a amplitude, podemos igualar as equações de ${E_1}$ e ${E_3}$ . Neste caso, obteremos:

$\displaystyle E_1=E_3$

$\displaystyle \Rightarrow m \cdot g \cdot (h+A)=\dfrac{k \cdot A^2}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow m \cdot g \cdot h+m \cdot g \cdot A=\dfrac{k \cdot A^2}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow 0=\dfrac{k \cdot A^2}{2} - m \cdot g \cdot A - m \cdot g \cdot h$

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{k \cdot A^2}{2} - m \cdot g \cdot A - m \cdot g \cdot h =0$

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow \dfrac{20 \cdot A^2}{2} - 0,1 \cdot 9,8 \cdot A - 0,1 \cdot 9,8 \cdot 0,1 =0$

$\displaystyle \Rightarrow 10 \cdot A^2 - 0,98 \cdot A - 0,098 =0$

Em seguida, resolvemos a equação do segundo grau obtida pela fórmula resolvente ou por qualquer outro método conveniente.

Obtemos os seguintes resultados: ${A_1=0,159 \ m}$ e ${A_2=-061 \ m}$ .

como sabemos, a amplitude não pode ser negativa, então o valor aceite para amplitude deste MHS é:

$\displaystyle A=0,159 \ m$

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1.1. Exercícios sobre Generalidades do MHS (Parte 4)

08/31/2020 6:01 pm / Deixe um comentário

Exercício 12 .
Uma partícula realiza um MHS de período ${ 8 \ s}$ e amplitude ${ 10 \ cm}$ .
Determine:

A equação da posição.
A equação da velocidade.
A aceleração ${ 1 \ s}$ após ela ter passado pelo extremo negativo.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 12 .

O exercício apresenta um problema simples de MHS. O objectivo é determinar as equações da posição e da velocidade, bem como a posição num instante dado. Para obter as equações da posição e da velocidade, basta encontras as constantes destas equações ( ${A}$ , ${\omega}$ e ${\varphi_0}$ ) e substitui-las.

Para obter a aceleração no instante dado, primeiro vamos obter o instante, por análise gráfica, e em seguida vamos substituir este instante na equação da aceleração.

Dados

${A= \ 10 \ cm = \ 0,1 \ m}$

${ T= \ 8 \ s}$

A equação da posição de uma partícula em MHS pode ser dada na forma:

$\displaystyle x= A sen ( \omega t + \varphi_0)$

Como o enunciado não diz nada sobre a situação da partícula no instante inicial ${ ( t=0 \ s)}$ , então podemos considerar que:

$\displaystyle \varphi_0= 0 \ rad$

Sabendo que ${ T= 8 \ s}$ e que ${\omega =\dfrac{2\pi }{T}}$ , então:

$\displaystyle \omega =\dfrac{2 \pi}{8} = \dfrac{1}{4} \pi \ rad/s$

Então, substituindo os valores obtidos na equação do MHS, teremos:

$\displaystyle x=0,1 sen (\dfrac{\pi}{4}t+0)$

$\displaystyle x=0,1 sen (\dfrac{\pi}{4}t)$
A velocidade de uma partícula é definida como a derivada da sua posição em função do tempo,ou seja:
$\displaystyle v=\dfrac{d}{dt}[0,1 sen (\dfrac{\pi}{4}t)]$

$\displaystyle v=0,1 \dfrac{d (\dfrac{\pi}{4}t)}{dt} cos (\dfrac{\pi}{4}t)$

$\displaystyle v=0,1 \cdot \dfrac{\pi}{4} \cdot \cos(\dfrac{\pi}{4}t)$

$\displaystyle v= 0,079 \cos(\dfrac{\pi}{4}t)$
Para saber essa aceleração, primeiro precisamos saber quanto tempo a partícula demora, para chegar até à posição do extremo negativo, partindo da posição de equilíbrio.
Sabemos que um movimento oscilatório é um movimento de sucessivas aproximação e afastamentos de uma posição fixa chamada de posição de equilíbrio. Então, num MHS o corpo move-se ciclicamente do seguinte modo:
- Sai da posição de equilíbrio para um dos extremos (1º Extremo).
- Sai deste 1º extremo para a posição de equilíbrio.
- Sai da posição de equilíbrio para o outro extremo (2º extremo, no lado oposto).
- Sai deste 2º extremo para a posição de equilíbrio.
Esta é a descrição de um ciclo completo.

O tempo que a partícula leva a completar o ciclo acima é o período ( ${T}$ ).

Cada um dos movimentos descritos acima tem a mesma duração, para o MHS. Esta duração é de ${0,25 \cdot T}$ ou seja, ${\dfrac{T}{4}}$ .

Do estudo generalizado da função seno, conhecemos o gráfico genérico da figura a seguir.

Observamos então que, para atingir o extremo negativo, partindo da posição de equilíbrio, passa 3/4 do ciclo. Neste caso, o tempo que leva a completar este movimento até ao extremo negativo é ${3T/4}$ .

Neste caso, o instante referido no enunciado (1 segundo após passar pelo extremo negativo) será:

$\displaystyle t= \ \dfrac{3T}{4}+1 = \ \dfrac{3 \cdot 8}{4}+1 = \ 7 \ s$

Agora basta determinarmos a equação da aceleração que por definição,é a derivada da velocidade da partícula.

$\displaystyle a=\dfrac{d}{dt}[0,07 \cos(\dfrac{\pi}{4}t)]$

$\displaystyle a=[0,07 \dfrac{d(\dfrac{\pi}{4}t)}{dt} sen (\dfrac{\pi}{4}t)]$

$\displaystyle a=-0,079 \cdot \dfrac{\pi}{4} sen (\dfrac{\pi}{4}t)$

Fazendo ${ t=7 \ s}$ , temos:

$\displaystyle a=-0,079 \cdot \dfrac{\pi}{4} sen (\dfrac{\pi}{4} \cdot 7)$

$\displaystyle a=-0,043 \ m/s^2$

Exercício 13 .
Uma partícula em MHS oscila com frequência de ${ 10 \ Hz}$ entre os pontos ${L}$ e ${-L}$ de uma reta. No instante ${ t_{0}}$ , a partícula está no ponto ${ \dfrac{\sqrt{3}}{2}L}$ caminhando em direcção a valores inferiores, e atinge o ponto ${ - \dfrac{\sqrt{2}}{2}L}$ , no instante t. Determine o tempo gasto neste deslocamento.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 13 .

O problema apresenta-nos um MHS onde é conhecida a frequência e a amplitude. Nos é pedido para determinarmos o tempo que a partícula leva para sair de uma posição para outra.

A resolução deste problema consiste em escrever a equação do MHS, e para as duas posições, formar duas equações. Em seguida, resolvemos o sistema de equações de acordo com a regra escolhida.\

Para calcularmos esse tempo, primeiro, precisamos saber como a partícula se move ao longo dessa recta. Para isso, temos que escrever a sua equação da posição.

Como a escolha do referencial de tempo não tem influência sobre os cálculos, e o problema não oferece referencial de tempo nenhum, consideraremos o instante inicial como sendo nulo: ${t_0 = \ 0 \ s}$ .

Dados
${A= \ L}$

.
${ t_0=0 }$ ; ${ x_0=\dfrac{\sqrt{3}}{2}L }$

${ t_1 \Rightarrow ?}$ ; ${ x_1=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

${ f=10 \ Hz}$

A equação da posição de uma partícula em MHS pode ser dada na forma:

$\displaystyle x= A sen(\omega t + \varphi_{0})$

Sabemos que ${\omega =2 \pi \cdot f }$ . Logo:

$\displaystyle \omega =2 \pi \cdot 10=20 \pi \ rad/s$

Logo ,temos:

$\displaystyle x=A sen( \omega t + \varphi_{0})$

$\displaystyle x=L sen( \varphi_0 +20 \pi t)$

Resta sabermos o valor de ${ \varphi_0 }$ . Apesar de não definir o valor de ${ \varphi_0 }$ , mas o problema nos dá informações da posição em certo instante. Logo, isso define o valor de ${ \varphi_0 }$ .

O exercício informa que, no instante inicial ${ t_0(t=0 \ s)}$ , a partícula se encontrava na posição ${ x= \dfrac{\sqrt{3}}{2}L}$ . Colocando na equação da posição, isso quer dizer que:

$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}L= L sen( 20 \pi \cdot 0 + \varphi_0)$

Simplificando ${L}$ , obtemos:

$\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}= sen( 20 \pi \cdot 0 + \varphi_0)$

$\displaystyle \Rightarrow sen(\varphi_0)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow \varphi_0= \ arcsen(\dfrac{\sqrt{3}}{2}) \ ou \ \varphi_0 = 180^o - \ arcsen(\dfrac{\sqrt{3}}{2})$

$\displaystyle \Rightarrow \varphi_0= 60^o \ ou \ \varphi_0= 120^o$

Como, no instante ${t_0}$ a partícula caminhava para posições negativas, ou seja, a sua posição diminuía, então escolhemos o ângulo de ${120^o= \ \dfrac{2 \pi}{3} }$ , pois esse é que conscide a um decrescimento no gráfico da função seno.

Logo, temos que:

$\displaystyle x=L sen( 20 \pi t + \dfrac{2 \pi}{3})$

Agora precisamos saber o tempo t que a partícula demora para chegar até ${ x= - \dfrac{\sqrt{2}}{2}L}$ . Vamos usar a equação da posição:

$\displaystyle -\dfrac{\sqrt{2}}{2} L=L sen( 20 \pi t + \dfrac{2 \pi}{3})$

$\displaystyle \Rightarrow sen (20 \pi t + \dfrac{2 \pi}{3})=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle 20 \pi t + \dfrac{2 \pi}{3} =arcsen(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})$

Note: ${arcsen(-\dfrac{\sqrt{2}}{2})= 225^o \ ou \ 315^o}$ . Neste caso, como estamos a analisar um movimento oscilatório, e queremos o menor tempo, usaremos o ${225^o=\dfrac{5 \pi}{4} rad}$ .

$\displaystyle \Rightarrow 20 \pi t + \dfrac{2 \pi}{3}=\dfrac{5}{4} \pi$

Isolando t, obtemos:

$\displaystyle t =\dfrac{\dfrac{5 \pi}{4} - \dfrac{2 \pi}{3}}{20 \pi}$

$\displaystyle t=\dfrac{7}{240}$

$\displaystyle t=0,029 \ s$

Exercício 14 O diagrama representa a elongação de um corpo em MHS em função do tempo.

Determine a amplitude e o período para esse movimento.
Escreva a função elongação, usando função cosseno.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 14 .
O problema apresenta um gráfico da posição de um MHS e nos pede a amplitude, período e equação da posição deste MHS.

A amplitude é lida directamente no gráfico. O período é obtido por interpretação do gráfico, escolhendo dois pontos especiais da oscilação (extremos, posições de equilíbrio, etc.). Com estes dados, após determinação da fase inicial ( ${\varphi_0}$ ), é possível escrever a equação deste MHS.

Precisamos primeiro recolher os dados a partir do gráfico. Observe a figura:

No gráfico, observamos claramente que ${A= \ 5 \ m}$ .

Também podemos notar o tempo que o corpo leva a sair de um extremo ao outro. Ele está num extremo no instante ${t= \ 2 \ s}$ e no outro no instante ${t= \ 6 \ s}$ . Neste caso, o corpo demorou ${4\ s}$ para sair de um extremo ao outro. Sabemos que, num MHS, o tempo que o corpo leva a sair de um extremo para o outro é igual a metade do período. Logo:

$\displaystyle \dfrac{T}{2} = 4\ s$

$\displaystyle \Rightarrow T = 4\cdot2$

$\displaystyle \Rightarrow T = 8\ s$
A função da elongação pode ser dada na forma ${x = A .sen (\omega t + \varphi_0)}$ ou ${x = A .cos(\omega t + \varphi_0)}$ .
Sabemos que ${\omega =2 \pi / T }$ . Logo:

$\displaystyle \omega =2 \pi / 8= \ \pi / 4 \ rad/s$

Sendo que em ${t = 0}$ , o corpo se encontra na posição de equilíbrio,então, substituindo na equação da posição (o enunciado pede para usarmos função cosseno), obtemos:

$\displaystyle x = A .cos(\omega t + \varphi_0)$

$\displaystyle \Rightarrow 0 = 5 .cos(\dfrac{\pi}{4} .0 + \varphi_0)$

$\displaystyle \Rightarrow 0 = 5 .cos( \varphi_0)$

$\displaystyle \Rightarrow cos( \varphi_0)=0$

$\displaystyle \Rightarrow \varphi_0= \ arccos(0) \ ou \ \varphi_0= \ 360^o - \ arccos(0)$

$\displaystyle \Rightarrow \varphi_0= 90^o \ ou \ \varphi_0= 270^o$

Considerando que no gráfico dado, na posição inicial e nos instantes imediatamente a seguir, o corpo desce (movimenta-se para o sentido negativo), então, com base no gráfico genérico da função cosseno, escolheremos o valor de ${90^o= \dfrac{\pi}{2} rad }$ .

Então, substituindo na equação do MHS, temos:

$\displaystyle x = A .cos(\omega t + \varphi_0)$

$\displaystyle x = 5 .cos(\dfrac{\pi}{4} t + 90^o)$

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1.1. Exercícios sobre Generalidades do MHS (Parte 3)

08/12/2020 7:03 pm / Deixe um comentário

Exercício 8 .

Um corpo em MHS desloca-se entre as posições extremas ${ -50 \ cm}$ e ${ +50 \ cm}$ de sua trajectória, gastando 10 segundos para ir de um extremo à outro.
Considerando que, no instante inicial, o móvel estava na posição de equilíbrio e em movimento retrogrado, determine:

O período;
A equação da elongação do movimento;

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8

O problema nos apresenta um corpo em MHS. Nos é dada a amplitude deste movimento, através do valor das posições dos extremos. É dado o tempo que o corpo leva a sair de um extremo para o outro.

Sabemos que um movimento oscilatório é um movimento de sucessivas aproximações e afastamentos de uma posição fixa chamada de posição de equilíbrio. Então, num MHS o corpo move-se ciclicamente do seguinte modo:

Sai da posição de equilíbrio para um dos extremos (1º Extremo).
Sai deste 1º extremo de volta para a posição de equilíbrio.
Sai da posição de equilíbrio para o outro extremo (2º Extremo, no lado oposto).
Sai deste 2º extremo para a posição de equilíbrio.

Esta é a descrição de um ciclo completo.

O tempo que a partícula leva a completar o ciclo acima é o período ${T}$ .

Cada um dos movimentos descritos acima tem a mesma duração. Para o MHS estaéesta duração é de ${0,25 \cdot T}$ ou seja, ${\dfrac{T}{4}}$ .

Para sair de um extremo ao outro, a partícula deve fazer dois destes movimentos. Então, o tempo que a partícula leva a sair de um extremo para outro corresponde então a metade do período.

Quanto a fase, este problema nos dá informação sobre sentido do movimento e posição da partícula no momento inicial. Como vamos usar a função seno, podemos observar o gráfico generalizado da função seno.

–

Observamos que a função seno atinge o valor zero (posição de equilíbrio, no MHS) quando ${\varphi = 0^o}$ , ${\varphi = 180^o}$ , ${\varphi = 360^o}$ , etc.

No caso em análise, não poderemos adoptar ${\varphi = 0^o}$ . Porquê? A reposta está no movimento descrito no enunciado. Se repararmos no gráfico genérico da função seno, observamos que, a seguir ${\varphi = 0^o}$ o valor da função começa a subir. Em movimento, isso equivale a um movimento progressivo.

Como o enunciado diz que a partícula está na posição de equilíbrio, mas em movimento retrógrado, então, o ângulo de fase para este momento deve ser ${\varphi = 180^o}$ .

O gráfico esboçado do movimento do exercício é o seguinte:

Se o corpo demora ${10 \ s}$ para ir de um extremo ao outro, então esses ${ 10 \ s}$ correspondem à metade do período, ou seja:
$\displaystyle \dfrac{T}{2}=10$

$\displaystyle \Rightarrow T=10 \cdot 2$

$\displaystyle \Rightarrow T=20 \ s$
A equação da elongação (ou equação horária) de um MHS pode ser dada na forma:
$\displaystyle x=A \cos(\varphi_0+ \omega t) \ ou \ x=A sen (\varphi_0+ \omega t)$

O uso de seno ou cosseno é opcional. Usaremos a função seno, conforme descrito na análise.

Já ficou mostrado que ${ \varphi_0=180^o}$ .

A amplitude do movimento é definida pela coordenada do extremo. Neste caso:

$\displaystyle A= \ 50 \ cm= \ 0,5 \ m$

Com o valor do período, podemos determinar a frequência angular:

$\displaystyle \omega =\dfrac{2 \pi}{T}=\dfrac{2 \pi}{20 }\ rad/s$

$\displaystyle \omega = \dfrac{\pi}{10 }\ rad/s$

Então, para equação do movimento, teremos:

$\displaystyle x=A sen (\omega t+ \varphi)$

$\displaystyle x=0,5 sen (\dfrac{\pi }{10 }t+ 180^o)$

Exercício 9 .

Considere o gráfico da oscilação abaixo. Determine a amplitude deste MHS.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 9 .

O problema nos apresenta o gráfico da velocidade de um MHS.

Pela ilustração, nota-se que o período de oscilação é ${T=4 \ s }$ e a velocidade máxima da oscilação é ${ 5 \ m/s}$ .

Logo, sabemos que a velocidade máxima de um corpo em oscilação é dada por:

$\displaystyle v_{max}=A \omega$

Sabemos também que:

$\displaystyle \omega =2 \pi /T$

Então, combinado as duas relações, temos:

$\displaystyle v_{max}=A \cdot \dfrac{2\pi}{T}$

$\displaystyle \Rightarrow 5=A \cdot \dfrac{2\pi}{4}$

$\displaystyle \Rightarrow 5=A \cdot \dfrac{\pi}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow 2 \cdot 5= A \pi$

Invertendo a igualdade, temos:

$\displaystyle A \pi=2 \cdot 5$

$\displaystyle \Rightarrow A= \dfrac{2 \cdot 5}{\pi}$

$\displaystyle A=3,2 \ m$

Exercício 10 .

Um corpo executa um MHS ao longo do eixo x, oscilando em torno da posição de equilíbrio ${ x=0 }$ .
Abaixo está o gráfico de sua aceleração em função do tempo.

Determine:

A frequência do movimento.
A amplitude do movimento.
O módulo da velocidade do corpo em ${ t=2 \ s }$

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 10 .

O período e a amplitude da aceleração (ou aceleração máxima) deste MHS podem ser obtidos no gráfico abaixo:

Com isso conclui-se que:

$\displaystyle a_{max}=10 \ m/s^2$

$\displaystyle T=4 \ s$

Por definição, a frequência de um MHS é igual ao inverso do seu período, ou seja, ${ f=\dfrac{1}{T}}$ . Logo:
$\displaystyle f=\dfrac{1}{4}=0,25 \ Hz$
Com os dados que temos, podemos calcular a amplitude (A ) do movimento partindo da equação da aceleração máxima ${ a_{max}}$ do movimento. Sabendo que:
$\displaystyle a_{max}=A \cdot \omega ^2$

$\displaystyle \omega = \dfrac{2 \pi}{T}$

Logo:

$\displaystyle a_{max}=A \cdot ( \dfrac{2 \pi}{T})^2$

$\displaystyle A= a_{max} \cdot (\dfrac{T}{2\pi})^2$

$\displaystyle A=10 \cdot (\dfrac{4}{2\pi})^2$

$\displaystyle A=4,053 \ m$
Para calcularmos o módulo da velocidade no instante ${ t=2 \ s}$ , precisamos saber primeiro a equação da velocidade dessa partícula em MHS. Podemos fazer isso com base nos dados gráficos e nos valores já calculados.
No instante ${ t=0}$ , a aceleração é a ${ a=-10 \ m/s^2}$ , logo percebe-se que a partícula iniciou a sua oscilação quando estava no extremo, pois a aceleração de um MHS é máxima nos extremos. O movimento inicia-se no extremo positivo, pois a aceleração é negativa. Uma sinusoide atinge os extremos quando ${\varphi = 90^o}$ , ${\varphi = 270^o}$ , ${\varphi = 450^o}$ , etc. Veja gráfico da função seno.

–

Como o nosso caso é o caso em que a partícula se encontra no extremo positivo, então a fase inicial ${ \varphi_0= \ 90^o= \ \pi /2 \ rad}$ .

A equação da aceleração é dada por ${ a= -A \omega ^2 sen (\varphi_0+ \omega t)}$ ou então por ${ a=-A \omega ^2 \cos(\varphi_0+ \omega t)}$ . Estamos a trabalhar com a função seno.

Logo temos que:

$\displaystyle a=-A \omega ^2 sen (\omega t + \varphi_0)$

Para um MHS em que a posição é descrita por uma função seno, a velocidade tem a seguinte equação:

$\displaystyle v=A \omega \cos(\omega t + \varphi_0)$

Sabemos também que:

$\displaystyle \omega =2 \pi /T$

Então:

$\displaystyle \omega =2 \pi / 4$

$\displaystyle \Rightarrow \omega = \pi / 2$

Sabendo que ${ A=4,053 \ m }$ , ${ \omega =\dfrac{\pi}{2} \ rad/s}$ ; ${\varphi_0= \pi/2}$ , então, substituindo estes valores na equação da velocidade, teremos:

$\displaystyle v=4,053 \cdot \dfrac{\pi}{2}\cos(\dfrac{\pi}{2} \cdot t+\dfrac{\pi}{2})$

Como foi pedido para determinar a velocidade no instante ${t=2 \ s}$ , então:

$\displaystyle v=4,053 \cdot \dfrac{\pi}{2}\cos(\dfrac{\pi}{2} \cdot 2+\dfrac{\pi}{2})$

$\displaystyle \Rightarrow v=-6,37 \ m/s$

Exercício 11 .

Uma partícula realiza um MHS segundo a equação ${ x=0,2 \cos( \pi t /2+\pi /2 )}$ , no SI. A partir da posição de elongação máxima, determine o menor tempo que está partícula gastará para passar pela posição de equilíbrio.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 11 .

Apesar de parecer complexo, mas o problema é Elementar . Muito elementar mesmo.
O problema nos apresenta a equação de um MHS e nos pede para determinarmos o menor tempo que a partícula leva a sair da posição de desvio máximo para a posição de equilíbrio.

Sabemos que um movimento oscilatório é um movimento de sucessivas aproximação e afastamentos de uma posição fixa chamada de posição de equilíbrio. Então, num MHS o corpo move-se ciclicamente do seguinte modo:

Sai da posição de equilíbrio para um dos extremos (1º Extremo).
Sai deste 1º extremo para a posição de equilíbrio.
Sai da posição de equilíbrio para o outro extremo (2º Extremo, no lado oposto).
Sai deste 2º extremo para a posição de equilíbrio.

Esta é a descrição de um ciclo completo.

O tempo que a partícula leva a completar o ciclo acima é o período ${T}$ .

Cada um dos movimentos descritos acima tem a mesma duração. Para o MHS, esta duração é de ${0,25 \cdot T}$ ou seja, ${\dfrac{T}{4}}$ .

Com a descrição acima, percebemos que, para sair de um extremo para a posição de equilíbrio, a partícula leva um tempo igual a um quarto do período.

O período pode ser obtido a partir de ${\omega}$ . O ${\omega}$ pode ser obtido na equação da oscilação. Olhando na equação, vemos que:

$\displaystyle \omega= \dfrac{\pi}{2}$

Sabemos também que:

$\displaystyle \omega =2 \pi /T$

Então:

$\displaystyle \dfrac{2 \pi}{T}= \dfrac{\pi}{2}$

Fazendo multiplicação cruzada, obtemos:

$\displaystyle 2 \pi \cdot 2= \pi \cdot T$

Ou:

$\displaystyle \pi \cdot T = 2 \pi \cdot 2$

Então:

$\displaystyle T = \dfrac{2 \pi \cdot 2}{\pi}$

$\displaystyle \Rightarrow T = \ 4 \ s$

Como o tempo de passagem, do extremos para a posição de equilíbrio é ${t=T/4}$ , então:

$\displaystyle t=T/4= 4/4$

$\displaystyle \Rightarrow t= \ 1 \ s$

Com isso, percebe-se que, para sair da posição de elongação máxima ${ x=\pm 0,2}$ para a posição de equilíbrio ${ (x=0)}$ , a partícula demora ${1}$ segundo.

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