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Como se formam as cores na bolha de sabão? Interferência.

— 3. Interferência —

— 3.1. Introdução —

A questão da natureza da luz, se era onda ou partícula, durante décadas e séculos animou diversos debates e discussões sobre a n esta, estando a comunidade científica dividida entre a teoria corpuscular de Newton e a teoria ondulatória de Hyugens. Esta calorosa discussão foi depois esclarecida com a teoria de dualidade onda-partícula de “De Broglie”. A concepção actual é de que a luz é onda e partícula. Na realidade, enquadra-se no grupo de ondas electromagnéticas, ocupando uma parte do espectro denominada espectro da luz visível. (Para mais esclarecimentos, ver nos post´s antigos ). Neste artigo , estudaremos o fenómeno de interferência das onda eletromagnéticas, com mais ênfase para a luz. Este é um fenómeno tipicamente ondulatório, e não pode ser analisado segundo os princípios estudados na óptica geométrica. Em vez dela, temos que empregar óptica ondulatória baseada no princípio de Huygens e nos conceitos de ondas electromagnéticas, que foi visto em temas anteriores.

Sugerimos que faça uma recapitulação sobre ondas electromagnéticas.

Quanto a classificação as ondas podem ser mecânicas ou electromagnéticas. As ondas elásticas que se propagam nos corpos sólidos, líquidos ou gasosos são ondas mecânicas.

A luz visível que é objecto do estudo da Óptica é uma espécie de onda electromagnética cujo comprimento de onda vai de {0,40 \mu m} a {0,76 \mu m}. Ela pode se propagar no vácuo bem como nos meios materiais transparentes como ar, o vidro, a água, etc. A luz e as outras espécies de ondas electromagnéticas (ondas de rádio-frequência, raios ultra-violeta,, etc.) são ondas transversais.

Quando a grandeza ou partícula que sofre perturbação oscila perpendicularmente à direcção de propagação do movimento ondulatório , então, as ondas são chamadas de ondas transversais.

Para as ondas electromagnéticas, são os vectores intensidade do campo eléctrico e do campo magnético que oscilam nos planos perpendiculares à direcção de propagação da onda e perpendiculares entre si como mostra a figura.

Figura 71: Onda electromagnética monocromática

As ondas electromagnéticas incluindo a luz visível propagam-se no vácuo (e também no ar) com velocidade aproximadamente igual a: {c = 3\cdot 10^8m/s}.

Quando as grandezas ou partículas oscilam na mesma direcção de propagação do movimento ondulatório as suas oscilações propagam-se por compressões e dilatações originando ondas longitudinais. Por exemplo, quando um som é transmitido no ar, as camadas do ar realizam periodicamente as compressões e dilatações ao longo da direcção de propagação da onda e em torno de suas posições de equilíbrio, criando assim uma onda sonora longitudinal.

As principais característica da onda são:

  • A amplitude de onda define-se como valor máximo da oscilação do movimento oscilatório.
  • O período {T} de uma onda é o intervalo de tempo necessário para que um elemento oscilatório da onda efectue uma vibração completa.
  • A frequência de uma onda é o número de oscilações completas realizadas numa unidade de tempo; depende apenas da frequência da fonte ou centro de abalo.A frequência mede-se em Hertz (Hz). O Hertz é também referido vulgarmente como ciclo por segundo.
  • O comprimento de onda é a distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos na onda. Ela representa a distância percorrida pela onda no intervalo de tempo de um período. Por isso, ele é igual ao produto da velocidade de propagação da onda pelo período da onda.
  • A fase caracteriza a posição da partícula (ou o valor da grandeza) que oscila no ciclo. Pode ser medida em graus ou em radianos. a unidades no {SI} é o radiano.

— 3.2. Sobreposição de ondas e interferência —

O princípio de sobreposição é um princípio muito básico e já notamos o seu efeito várias vezes na nossa vida. Nós nos comunicamos através do som, que é uma onda mecânica. Quando duas pessoas falam ao mesmo tempo, as duas estão produzindo ondas mecânicas, e estas estão se propagando pelo ar. O nosso ouvido, pela sua própria característica de constituição e funcionamento não consegue separar uma da outra. O cérebro pode concentra-se em processar mais uma do que a outra, mas o ouvido, não. Portanto, se muitas pessoas falarem ao mesmo tempo, e com volumes de som aproximadamente iguais, não conseguimos distinguir um som do outro. Isto é consequência do princípio de sobreposição.

Outro exemplo clássico, é quando, por defeito de filtragem ou outra falha técnica, duas ou mais estações de rádio emitam na mesma frequência. O receptor não consegue receber o sinal de cada uma delas, mas sim o sinais, sobrepostos um num outro. O resultado disso é ouvirmos duas emissoras ao mesmo tempo.

Sempre que isso acontece, dizemos que há interferência. Então, a interferência é um fenómeno muito comum na nossa vida, e ela ocorre devido ao princípio de sobreposição. Vamos analisar com mais detalhe a interferência electromagnética, com mais ênfase para a luz.

A interferência da luz já era observada há muito tempo apesar de não ser considerada de grande importância. Viu-se muitas vezes um quadro de interferência quando na infância se entretínhamos a soltar bolas de sabão ou observamos os tons irisados das películas finas de querosene ou petróleo à superfície da água. A bola de sabão, ao voltar do ar, reveste-se de todas as cores que existem nos objectos que a rodeia. É a interferência da luz que torna as bolas de sabão tão dignas de admiração.

Foi Thomas Young, cientista inglês que pela primeira vez teve a ideia genial de explicar as cores das películas finas através da soma das ondas, uma das quais é reflectida pela superfície exterior da película e outra pela interior.

No electromagnetismo aprendemos que quando dois ou mais campos eléctricos (ou magnéticos) se sobrepõem, então o campo eléctrico (ou magnético) resultante é igual a soma vectorial de cada um dos campos eléctricos (ou magnéticos) que actua nesta região. Este princípio é conhecido como princípio de sobreposição.

A interferência é um fenómeno tipicamente ondulatório que ocorre quando duas ou mais ondas passam pelo mesmo ponto no espaço no mesmo instante. Através do princípio de superposição, que vale tanto para ondas mecânicas, quanto para ondas eletromagnéticas: o deslocamento resultante é determinado somando-se os deslocamentos provocados pelas ondas individuais como se elas estivessem presentes sozinhas. O termo “deslocamento” tem sentido genérico: (1) no caso das ondas mecânicas, trata-se do deslocamento das partículas do meio em relação à posição de equilíbrio, (2) no caso das ondas eletromagnéticas, trata-se do valor dos vetores dos campos elétricos e magnéticos.

Podemos dizer que a interferência de duas ondas luminosas é a sobreposição de duas ou mais ondas, em consequência da qual se observa o reforço ou o enfraquecimento estável no tempo das oscilações luminosas resultantes em diversos pontos do espaço.

Vale recordar, que, a luz do princípio de independência dos raios luminosos, a sobreposição das ondas não provoca nenhuma transformação nas características das ondas no geral, ou seja, no ponto onde ocorre a sobreposição, é válido o princípio de sobreposição, mas nos pontos posteriores e anteriores, as ondas continuam os seus percursos como se a outra nunca tivesse existido. Vamos então centrar a nossa atenção no ponto de sobreposição.

A sobreposição de dois movimentos harmónicos simples de frequências diferentes, poderá produzir um movimento variado, com presença das duas harmónicas.

Figura 72: a) Sinal sinusoidal com frequência de {50Hz}, b) Sinal sinusoidal com frequência de {28Hz}, c) sinal resultante da soma do sinal a) com o sinal b).

Mas a soma de duas sinusoides com mesma frequência, vai produzir uma terceira sinusoide com frequência igual as duas primeiras.

Figura 73: a) Sinal sinusoidal com frequência de {50Hz}, b) Sinal sinusoidal com frequência de {28Hz}, c) sinal resultante da soma do sinal a) com o sinal b).

Podemos ver que a amplitude do sinal resultante da figura 73 não é exatamente igual á soma da amplitude dos dois sinais somados. À semelhança da soma entre vectores, a amplitude da soma de duas ondas harmónicas que se propagam no mesmo sentido não é igual à soma aritmética das duas amplitudes, ou seja, somando uma onda sinusoidal de amplitude de {100V/m} com outra também de {100V/m}, não dará necessariamente uma onda com amplitude de {200V/m}. O resultado depende da diferença de fase. Dependendo da diferença entre as fases das ondas, o resultado pode variar entre {0} e {200V/m}.

Os casos extremos desta sobreposição são dois:

  • Quando as ondas que se sobrepõem têm mesma fase, então a onda resultante amplitude máxima. No caso de duas onda de amplitude igual, a onda resultante terá amplitude igual ao dobro da amplitude cada. Esta interferência é denominada interferência construtiva.
  • Quando as ondas que interferem estão em oposição de fases, ou seja, têm um desfasamento de {180^0}, então, a onda resultante terá amplitude mínima. No caso de ondas com mesma amplitude, está amplitude será zero. Esta interferência é chamada de interferência destrutiva

Figura 74: a) Interferência construtiva, b) interferência destrutiva.

Podemos deduzir a equação da onda resultante da sobreposição e aí, ver em que condições ocorre a interferência. Considere que duas fontes que estejam sincronizadas uma com a outra e emitam ambas ondas com mesma frequência e fase {E_1(r,t)=E_0 \cdot \cos (\omega t-k \cdot r_1)} e {E_2(r,t)=E_0 \cdot \cos (\omega t-k \cdot r_2)} e que estas se encontrem num ponto qualquer {P}.

Figura 75: Interferência de fontes coerentes

Da sobreposição delas vai resultar uma onda {E_R(r,t)=E_1(r,t)+E_2(r,t)=E_0 \cdot \cos (\omega t-k \cdot r_1)+E_0 \cdot \cos (\omega t-k \cdot r_2)}. Factorizando {E_0}, teremos: {E_R(r,t)= E_0 \cdot ( \cos (\omega t-k \cdot r_1)+ \cos (\omega t-k \cdot r_2))}. Aplicando a fórmula do co-seno da soma, teremos: { E_R(r,t)= E_0 \cdot 2 \cdot ( \cos ( \frac{\omega t - k \cdot r_1 + \omega t - k \cdot r_2}{2})) \cdot (\cos ( \frac{ \omega t - k \cdot r_1 - \omega t + k \cdot r_2}{2}))}. A equação da onda resultante será:

\displaystyle E_R(r,t)= 2E_0 \cdot \cos (\omega t-\frac{k \cdot(r_1+r_2)}{2})\cdot \cos (\frac{k \cdot (r_2-r_1)}{2}) \ \ \ \ \ (82)

 

No ponto de sobreposição, o tipo de interferência obtido será construtiva ou destrutiva dependendo da fase com que as ondas chegam neste ponto. Quando a diferença de fase for {0} teremos interferência construtiva, e quando a diferença de fase for {180^0} teremos interferência destrutiva. Nas situações intermédias a estas. teremos também ondas com amplitudes intermédias.

A fase da onda ao chegar neste ponto, é por sua vez, dependente do caminho percorrido pela onda. Neste caso, podemos dizer de outro modo: a amplitude da onda resultante, no caso de duas fontes coerentes (em fase), vai depender da diferença de percurso { \vert r_2-r_1 \vert} das duas ondas. Sempre que {\vert r_2-r_1 \vert =m\cdot\lambda}, a interferência será construtiva e sempre que {\vert r_2-r_1 \vert =(2m-1)\cdot \frac{\lambda}{2}} a interferência será destrutiva.

No caso de fontes policromáticas emitindo ondas coerentes, o tipo de interferência não vai depender só da diferença de percurso, mas também do comprimento de onda, visto que cada raio tem um conjunto de ondas com vários comprimentos de onda, ocorrendo que, para um feixe policromático incidindo num material,haverá interferência de modos que algumas ondas façam interferência construtivas e outras façam interferência destrutiva, permitindo-nos ver cores diferentes da cor da luz que incidiu.

No exemplo da bolha de sabão, quando a luz branca incide numa película da bolha de sabão, algumas cores sofrem interferência construtiva e outras sofrem interferência destrutiva, resultando daí, que só observaremos o comprimento de onda médio das ondas que sofreram interferência construtiva.

Figura 76: Interferência na bolha de sabão.

Num local escuro, quando a luz incidente é monocromática, a interferência num obstáculo vai apresentar-se na forma de franjas ( ou riscas) claras e franjas escuras. As franjas claras correspondem aos pontos onde ocorre interferência construtiva (resultando num máximo de intensidade luminosa) e as franjas escuras ocorrem onde há interferência destrutiva (resultando em um mínimo de intensidade luminosa.

Figura 77: Franjas claras e escuras na interferência.

 

 

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

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Porquê ocorrem falhas na formação da imagem em lentes? Aberrações.

— 2.8. Erros e defeitos da formação da imagem em lentes. Aberrações —

As aberrações na realidade não são produzidas por defeitos de um sistema óptico. Elas ocorrem sim, pela não convergência dos raios para um único ponto imagem.

As superfícies esféricas só formam imagem na aproximação paraxial, isto é, para raios que incidam formando angulos muito pequenos com o eixo principal. Quando saímos da condição de validade desta aproximação começamos a observar muitas aberrações.

Podemos definir como aberração de um sistema óptico, todos os efeitos que atrapalham a formação de imagem (convergência perfeita dos raios). Assim, podemos dividir as aberrações em dois grupos: cromáticas e geométricas.

— 2.8.20. Aberrações cromáticas —

São as aberrações de uma lente, que vão surgir devido a dependência do índice de refracção com o comprimento de onda. Como já vimos em posts anteriores, a passagem da luz por material transparente depende na realidade do comprimento de onda deste raio luminoso. Dois raios Luminosos de diferentes CDOs passam de forma diferente num sistema óptico. Então, se um feixe policromático incide sobre uma lente, vai ocorrer este fenómeno, na qual os raios luminosos que atravessam a lente vão ser desviados de forma diferente em função do seu comprimento de onda. A diferença no desvio dos raios luminosos dá-se porque os materiais através dos quais a luz pode passar têm um índice de refração cujo valor é maior para comprimentos de onda menores (apresenta dispersão), aumentando do vermelho para o azul, o que faz desviar mais os raios luminosos, focando-os mais perto da lente e fazendo com que a imagem apresente manchas coloridas. A figura abaixo ilustra o fenómeno da aberração cromática em uma lente simples:

Figura 66: Fenómeno de aberração cromática

Com essa diferença de comportamento para cada cor, fica difícil fazer com que toda imagem seja focalizada no mesmo plano.

Figura 67: Imagem com e sem aberração cromática

Para corrigir este problema, utiliza-se a combinação de duas lentes, uma convergente o outra divergente, com vidros de diferentes índices de refração. Nas lentes menores elas são coladas uma à outra, mas em lentes maiores elas são apenas justapostas. Essas lentes recebem o nome de “lentes acromáticas”. [1]

Com lentes acromáticas consegue-se que pelo menos duas cores sejam focalizadas no mesmo plano e que apenas o verde fique ligeiramente deslocado, eliminando grande parte da incomoda aberração cromática. A correção da aberração cromática melhora muito a qualidade da imagem e, hoje em dia, praticamente todos os instrumentos de qualidade razoável possuem correção acromática. O que difere um do outro é o nível de correção que cada um oferece e que certamente está relacionada com o preço do instrumento.[1]

— 2.8.21. Aberrações Geométricas —

Excepto a aberração cromática, todos os outros tipos de aberrações são chamadas de aberrações geométricas. Para se descrever as aberrações geométricas, pode se recorre a diversas técnicas, desde a descrição da passagem real dos raios no sistema até a teoria das perturbações.

A forma de corrigi-las, entretanto, é sempre a mesma: aumentando o número de graus de liberdade através do uso de diversas lentes ao invés de uma só. Assim, balanceando-se as curvaturas das superfícies de cada lente e utilizando-se diferentes tipos de vidros ópticos podemos eliminar ou reduzir significativamente as aberrações geométricas. Entretanto, as aberrações geométricas são muito mais difíceis de se corrigir que as aberrações cromáticas, utilizando-se para isto sistemas com até dezenas de lentes. [1]

Aberração esférica:

Os raios luminosos provenientes de um objeto pontual são desviados de maneira diferente por uma lente ou espelho e não convergem apenas num ponto, o que provoca uma desfocagem da imagem obtida. Nos espelhos a aberração pode ser eliminada fazendo-se a superfície parabólica e não esférica. Nas lentes a aberração pode ser minimizada se ambas as superfícies (dióptros) da lente refratarem de igual forma os raios luminosos ou pode ser diminuída utilizando diafragmas que restrinjam os raios luminosos apenas à zona paraxial (central) da lente, mas que por outro lado diminuem a nitidez e a quantidade de luz proveniente da imagem.

Quando os raios luminosos provenientes de um ponto no eixo óptico passam pela região mais exterior da lente e são focados mais perto do que os raios que passam na zona paraxial da lente, a lente tem aberração esférica negativa. Quando os se dá o contrário a lente tem uma aberração positiva. No primeiro caso diz-se que a lente está subcorrigida e no segundo caso que está sobrecorrigida.

Figura 68: Exemplo de aberração esférica.[1]

Astigmatismo

Esta aberração, no caso de um sistema óptico sem outras aberrações, surge para pontos da imagem que estejam fora do eixo óptico, pois nessa situação o cone de raios que se pode traçar a partir desse ponto vai incidir na lente de um modo assimétrico o que faz com que sejam focados em pontos diferentes. Neste caso, as imagens fora do eixo principal, dificilmente apresentam-se focalizadas.

O astigmatismo é talvez o defeito mais frequentes da visão humana, devido a alterações na curvatura da córnea que a tornam assimétrica (por exemplo, os braços perpendiculares de uma cruz estão nitidamente representados em duas superfícies diferentes). George B. Airy, um astrônomo, utilizou em 1825 uma lente côncava, esférica numa direção e cilíndrica na direção perpendicular para reduzir o seu próprio astigmatismo óptico, sendo provavelmente a primeira vez que o astigmatismo foi compensado.

Figura 69: Exemplo de Astigmatismo.[1]

Coma:

Quando os raios de luz atingem a lente de modo oblíquo, o que acontece quando o objeto observado não está exatamente na área central do campo de visão, eles acabam não convergindo corretamente para o plano focal da lente e causam a coma. Esta aberração faz com que a imagem fique borrada quando próxima da borda do campo de visão e estrelas fiquem parecendo cometas.[1]

Distorção:

Aberração de uma lente, devido ao facto de que a distância focal varia radialmente a partir do centro a lente. Na ausência de qualquer outra aberração, a distorção manifesta-se por uma deformação da imagem como um todo, mas em que cada ponto da imagem é perfeito.

A distorção faz com que um objeto formado por linhas retas apareça na imagem como curvas, o que origina também a designação de distorção curvilínea. Na distorção negativa um objeto com a forma quadrada será deformado na forma de um barril porque a ampliação transversal diminui com a distância o que faz com que cada ponto da imagem se aproxime mais do centro quanto mais afastado estiver no objeto. Na distorção positiva um objeto com a forma quadrada será deformado na forma de uma almofada porque a ampliação transversal aumenta com a distância, o que faz com que cada ponto da imagem se afaste mais do centro quanto mais afastado estiver no objeto.

Figura 70: a)imagem normal; b) imagem com distorção negativa; c)imagem com distorção positiva.[1]

Se tiveres uma lupa, poderás facilmente observar a distorção. Se pegares um papel quadriculado qualquer, e observares a sua imagem pela lupa, conseguirás facilmente notar a distorção.

O conhecimento destes defeitos e erros na formação da imagem são importantes para que consigamos analisar as imagens formadas pelos sistemas ópticos, sem nos deixarmos enganar por estas “aberrações”.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

 

 

Fundamentos de Mecânica Clássica

— 1. Introdução —

A Física é, acima de tudo, uma ciência exacta e experimental. Assim sendo o seu objectivo deve ser a codificação de um conjuntos de dados experimentais por meio de modelos que permitam uma interpretação dos fenómenos que se decide estudar.

Um facto extraordinário é que a partir da codificação e interpretação de um certo conjunto de dados iniciais por parte de um modelo podemos utilizar esse mesmo modelo para prevermos uma nova classe de fenómenos. É o confronto destas previsões com resultados experimentais que permitirá concluir qual o domínio de validade da teoria construída.

Uma coisa que temos que distinguir desde já é a maneira como a a Física se descobre e a maneira como a Física se apresenta.

O processo de descoberta é errático e muitas vezes altamente não-linear. Do meu ponto de vista o processo de se apresentar a física pode seguir duas rotas diferentes, mas complementares.

A primeira rota é uma que segue de perto o processo histórico de como uma descoberta foi feita, apresentando os seus erros e sucessos de uma forma simplificada e esquemática.

Como exemplo do método anterior temos os cursos normais de electromagnetismo que apresentam os passos experimentais e teóricos que finalmente culminaram nas equações de Maxwell (Na verdade são as equações de Maxwell-Heaviside-Gibbs-Hertz).

O segundo processo de se apresentar a Física é um processo ordenado, consistente, e elegante. Normalmente segue de perto o modo de apresentação da Matemática onde em primeiro lugar se fazem as definições dos termos que entrarão na teoria, depois se enunciam os axiomas/postulados que regem o comportamento dos termos anteriores e finalmente se derivam conclusões sobre a forma de teoremas que explicam e preveem resultados experimentais.

Como exemplo do método anterior temos o excelente livro Mechanics.

Obviamente que cada processo tem as suas vantagens e desvantagens e basicamente é uma questão de gosto/necessidade qual processo é que cada autor segue.

Neste texto a rota seguida será a segunda, mas acho que antes serão necessárias umas quantas palavras iniciais em jeito de justificação.

Em primeiro lugar devo dizer que sou bastante picuinhas relativamente à linguagem que se usa e muitas coisas que são frequentes ler/ouvir de físicos me deixam um bocado enervado.

Essencialmente existe um desleixo relativamente aos termos que se utiliza que não faz sentido nenhum.

  • Leis: O termo Lei aparece muito em Física e tem dois significados diferentes. Às vezes usa-se como um sinónimo do termo Axioma (As Leis de Newton) e às vezes utiliza-se como um sinónimo do termo Teorema (Lei da conservação da energia). Uma vez que Axioma e Teorema são duas palavras cujo sentido é radicalmente diferente tal costume parece-me ser despropositado.Das poucas vezes que utilizar a palavra Lei será sempre como um resultado que se demonstra e utilizarei os termos Postulado e Teorema com os seus sentidos usuais.
  • Princípio. Para dizer a verdade nunca sei bem o que as pessoas querem dizer com isso, mas parece-me ser mais ou menos semelhante a Postulado mas com conotações filosóficas/metafísicas baratas. Talvez esteja enganado, mas seja como for esse disparate de se dizer Princípio muito raramente irá ocorrer nos meus posts (a não ser que tenha mesmo que ser).Em jeito de comentário quero só dizer que o muito badalado Princípio da Incerteza não é um princípio. De acordos com os postulados usuais da Mecânica Quântica este é um resultado facilmente demonstrável e como tal uma melhor denominação seria Desigualdade de Heisenberg.Sim podemos construir uma axiomática da Mecânica Quântica em que o resultado anterior é uma das suposições iniciais da teoria e outra coisa qualquer passaria a ser deduzida, mas neste caso o que teríamos seria o Postulado da Incerteza e nunca o Princípio da Incerteza.

A diatribe atrás apresentada pode não parecer mas tem de facto um objectivo: pretende clarificar a linguagem não usual que vou utilizar ao longo deste texto.

— 2. Fundamentos da Mecânica —

Após as considerações iniciais atrás apresentadas penso que é chegado ao momento de abordar o que este post se propõe a discutir, mas antes de mais é necessário fazer uma pequena introdução e definir os termos que fazem parte da Mecânica.

— 2.1. Definições Preliminares —

É objectivo da Mecânica descrever e explicar os movimentos observados. Como tal iremos em primeiro lugar definir as grandezas que construirão os conceitos necessários para tal.

Todas as grandezas mecânicas podem ser expressas em unidades que derivam das unidades das três grandezas seguintes:

  • Comprimento que se representa pela letra {L}.
  • Tempo que se representa pela letra {T}.
  • Massa que se representa pela letra {M}. Na mecânica clássica a massa de um corpo é uma indicação da sua resistência a alterar o seu estado de movimento. Esta característica tem o nome de inércia.

As unidades que utilizámos para expressar estas grandezas não têm nada de essencial e são puramente convencionais. Nos cursos de Física é usual utilizar-se o Sistema Internacional o que permite uma coerência que é muito bem vinda, mas por outro lado quando prosseguimos nos nossos estudos da Física vemos que essa coerência nem sempre faz sentido.

De modo a podemos descrever o movimento de uma partícula material devemos introduzir o conceito de referencial.

Definição 1 Um referencial é um conjunto de eixos que permitem representar os graus de liberdade do sistema em estudo e um ponto arbitrário que serve como origem.

Convém dizer que embora seja prático utilizarmos referencias em que os eixos em questão sejam ortogonais entre si nada nos obriga, em princípio, a fazê-lo.

Para além disso existe uma classe de referenciais que é muito útil para nós. Estes referenciais têm o nome de referenciais inerciais e como iremos ver adiante é neste tipo de referencias que os Axiomas do movimento têm a sua forma mais simples.

Definição 2 Um referencial diz-se inercial quando possui as seguintes propriedades:

  • Espaço é homogéneo (todos os pontos são equivalentes) e isotrópico (não existem direcções privilegiadas).
  • Tempo é homogéneo (todos os instantes de tempo são equivalentes).

Para podermos estudar e descrever o movimento de uma partícula devemos antes de mais clarificar o que queremos dizer com o termo posição.

Definição 3 Posição é o lugar geométrico que a partícula ocupa num dado instante de tempo num referencial.

Ou seja após escolhermos um referencial devemos em primeiro lugar marcar a posição que a partícula ocupa num instante de tempo.

Se seguirmos este procedimento para um intervalo de tempo teremos a trajectória da partícula.

Definição 4 Trajectória é o lugar geométrico das sucessivas posições que a partícula ocupa num intervalo de tempo.

Cabe-nos agora introduzir um ouro conceito. Já sabemos o que é posição, e sabemos também que a trajectória está relacionada com a variação da posição para um dado intervalo de tempo. No entanto convém precisarmos o que é esta variação da posição recorrendo ao conceito seguinte:

Definição 5 Deslocamento é a diferença entre a posição final e a posição inicial de uma partícula. Normalmente representamos o deslocamento através do símbolo {\Delta \vec{x}=\vec{x_f}-\vec{x_i}}.

Sabemos pela experiência que os corpos se deslocam percorrendo deslocamentos diferentes em intervalos de tempo diferentes. O conceito que relaciona a variação da posição de uma partícula com o intervalo de tempo necessário para essa variação ocorrer é chamado de velocidade. Mas em física convém sermos mais rigorosos e definirmos dois tipos diferentes de velocidade.

Definição 6 Velocidade média: grandeza vectorial que permite calcular a taxa de variação da posição para um dado intervalo de tempo.

\displaystyle \vec{v}_m=\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t} \ \ \ \ \ (1)

Definição 7 Velocidade instantânea: grandeza vectorial que permite calcular a variação da posição para um dado instante de tempo.

\displaystyle \vec{v}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{x}}{\Delta t}=\dfrac{d\vec{x}}{dt} \ \ \ \ \ (2)

Uma vez que a velocidade das partículas também varia podemos introduzir as seguintes definições:

Definição 8 Aceleração média: grandeza vectorial que permite calcular a taxa de variação da velocidade para um dado intervalo de tempo.

\displaystyle \vec{a}_m=\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} \ \ \ \ \ (3)

Definição 9 Aceleração instantânea: grandeza vectorial que permite calcular a variação da velocidade para um dado instante de tempo.

\displaystyle \vec{a}=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}=\dfrac{d\vec{v}}{dt} \ \ \ \ \ (4)

Convém ainda dizer que normalmente diz-se apenas velocidade (aceleração) em vez de velocidade instantânea (aceleração instantânea).

Associado ao conceito de velocidade temos dois conceitos físicos. Um deles escalar, e portanto fornece menos informação sobre o movimento da partícula, e o outro vectorial.

Definição 10 Energia cinética: energia associada ao movimento de uma partícula e defini-se como sendo:

\displaystyle K=\dfrac{1}{2}m\vec{v}\cdot\vec{v}=\dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}m\left( \dfrac{d\vec{x}}{dt}\right)^2 \ \ \ \ \ (5)

Definição 11 Momento linear: grandeza vectorial associada ao movimento de uma partícula.

\displaystyle \vec{p}=m \vec{v}=m \dfrac{d\vec{x}}{dt} \ \ \ \ \ (6)

Vemos então o porquê da afirmação da energia cinética conter menos informação sobre o movimento da partícula do que o movimento linear. Pela sua definição a energia cinética não nos dá informação sobre a direcção da velocidade da partícula enquanto que o momento linear nos diz tanto a direcção e a magnitude da velocidade.

Em termos mais prosaicos: o momento linear diz para onde vai a partícula e com que velocidade vai. A energia cinética apenas nos diz com que velocidade vai a partícula.

— 3. Axiomas de Newton —

Até ao momento temos os intervenientes da nossa peça mas ainda não temos as regras que deverão guiar as suas interacções. Estas regras são dadas pelos três Axiomas de Newton.

Na verdade é claro que Newton não escreveu as suas Leis com a terminologia que vou utilizar e podemos até dizer que o segundo Axioma de Newton é na verdade um misto do Axioma de Euler e do Axioma de Newton.

Axioma 1 Existe um referencial inercial onde o momento linear de uma partícula livre mantém sempre o mesmo valor.

Este enunciado não é o que habitualmente se apresenta como a Primeira Lei de Newton. Convém então dar uma explicação do porquê da forma deste enunciado.

Anteriormente definimos um referencial inercial, mas a definição que demos é de carácter puramente matemático. Nada neste mundo implica a existência da estrutura matemática que definimos e a função da Primeira Lei de Newton é exactamente estipular a existência de um tal referencial no mundo em que habitamos.

A justificação desta arrojada hipótese é o espectacular acerto das previsões que a teoria de Newton faz e os resultados obtidos em experiências.

De notar que o habitual enunciado da Primeira Lei de Newton está errado em referenciais não inerciais. Uma vez que o habitual enunciado não especifica a que tipo de referencial se refere também ele está, consequentemente, errado.

Outro pormenor interessante é que o Axioma 1 apenas exige a existência de um referencial inercial, mas podemos concluir que existe um número infinito de referenciais inercias.

Sabemos que num referencial inercial o espaço é homogéneo e isotrópico e que o tempo é homogéneo. Assim sendo o ponto que escolhemos como origem nada tem de especial e podemos efectuar uma translação para um outro ponto qualquer e passar a considerar esse novo ponto como sendo a origem de um novo referencial inercial.

Para além disso podemos rodar todos os nossos eixos em simultâneo e obter novos eixos. Estes novos eixos apenas se distinguem dos antigos por terem novas direcções. Uma vez que o espaço é isotrópico tal facto não acarreta nada de novo e assim este novo referencial continua a ser inercial.

Outra transformação que podemos fazer é obter um referencial que se mova com velocidade constante relativamente ao primeiro referencial. Novamente este situação nada tem de novo e os referenciais continuam a ser equivalentes.

Uma vez que o tempo é homogéneo o instante de tempo que se convencionou ser {0} nada tem de especial. Ou seja um referencial que se obtém de um referencial inercial, alterando o que se considera como sendo o instante inicial, também é um referencial inercial.

Para finalizar temos ainda que dizer que qualquer composição destas transformações também produz um referencial inercial.

As quatro transformações anteriores recebem o nome de transformações de Galileu e no seu conjunto formam um grupo.

Axioma 2 Se o momento linear de uma partícula varia num referencial inercial diz-se que essa partícula foi actuada por uma força, {\vec{F}}, que se calcula utilizando a seguinte expressão: {\vec{F}= \dfrac{d\vec{p}}{dt}}.

Este axioma reduz-se a {\vec{F}=m\vec{a}} quando a massa da partícula é constante.

Este axioma pode funcionar como uma definição do conceito Força e para além disso permite-nos prever e explicar o comportamento de uma partícula de massa {m} quando sujeita a uma força {\vec{F}}.

Para além disso com recurso a este axioma podemos dar uma definição rigorosa do conceito de massa.

Axioma 3 Quando dois objectos interagem entre si a força {\vec{F}_{12}} (força que o objecto 1 exerce sobre o objecto 2) tem a mesma direcção, é igual em intensidade à força {\vec{F}_{21}} (força que o objecto 2 exerce sobre o objecto 1), mas tem o sentido oposto. {\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}}

Este axioma é do meu ponto de vista o Axioma de Newton com o conteúdo mais fraco.

Acho que por questões de simplicidade Newton assumiu que as forças de interacçao deveriam ser sempre aos pares e ter a direcção do vector que une as duas partículas.

No entanto hoje em dia sabemos que nem sempre estas duas assunções são válidas. Seja como for o domínio de válido desta hipótese é suficientemente válido para atestar o sucesso retumbante do corpo de conhecimento estabelecido por Newton.

 

Como se forma a imagem na lupa, microsópio e telescópio?

— 2.7.19. Instrumentos ópticos principais —

Lupa (Microscópio simples)

Lupa, microscópio simples ou lente de aumento são nomes que uma lente convergente pode receber. Ela é, também, o instrumento óptico mais simples. É um instrumento óptico que serve para melhor observação dos objectos pequenos situados próximos de nós. Muitas vezes são usadas para leitura. Ela é normalmente uma lente convergente simples. O objecto a estudar {AB} fica no intervalo entre o foco objecto {F} e a lente.

Figura 62: Formação da imagem na lupa. [7]

A lente amplia este objecto numa imagem {A'B'} maior e de mesmo sentido que o objecto. A ampliação da imagem é simplesmente igual a:

\displaystyle k=-\frac{d'}{d} \ \ \ \ \ (78)

 

Microscópio Composto (Microscópio óptico)

O Microscópio óptico é um instrumento usado para ampliar, com uma série de lentes, estruturas pequenas impossíveis de visualizar a olho nu.

É constituído por um componente mecânico que suporta e permite controlar um sistema óptico que amplia as imagens.

Figura 63: Aspecto construtivo simples do microscópio composto. [1]

O sistema óptico é constituído por dois sistemas de lentes convergentes. A primeira lente que fica mais próxima do objecto é uma lente de distância focal da ordem de alguns milímetros e é denominada objectiva. A segunda lente de distância focal da ordem de alguns centímetros e é chamada ocular. Estas lentes são, geralmente, associadas coaxialmente (com o mesmo eixo óptico),

O esquema da constituição e da formação da imagem no microscópio é dado pela figura 64:

Figura 64: Esquema do sistema óptico do microscópio composto. [7]

O objecto a observar {AB} é colocado da Lamina, que fica próxima do foco da objectiva {L_1}. Os raios incidentes deste objecto formarão a imagem real {A_1B_1}, já ampliada, num ponto situado entre o foco objecto da ocular e a ocular. Esta imagem real será o objecto real para a ocular, que, devido a sua posição, formará a imagem virtual ampliada {A'B'}, num ponto situado a uma distância da ocular aproximadamente igual á distância de melhor visão ({d_2'\approx 25 cm}).

Assim, a ocular actua como uma lupa, ampliando a imagem fornecida pela objectiva, que já era ampliada em relação ao objecto.

A ampliação da imagem final em relação ao objecto é definida como sendo igual a:

\displaystyle k=\frac{A'B'}{AB} \ \ \ \ \ (79)

 

É claro que: {k=\frac{A'B'}{AB}=\frac{A'B'}{A_1B_1}\cdot\frac{A_1B_1}{AB}= k_1 \cdot k_2} em que {k_1} e {k_2} são respectivamente as ampliações produzidas pela objectiva {L1} e a ocular {L2}: {k_2= \frac{A'B'}{A_1B_1}} e {k_1=\frac{A_1B_1}{AB}}

Os aumentos dos microscópios variam entre {300} e {2.000} vezes. Não pode ser maior que estes valores porque quando as dimensões, a serem observadas, forem da ordem do comprimento de luz, ocorre o fenómeno da difração (de que iremos falar em secções adiantes), fazendo com que se perca a nitidez da imagem.

Existem, entretanto, muitas estruturas que possuem tamanhos inferiores que {4000\cdot10^{-10} m}, como as moléculas complexas que formam a matéria viva. Para tornar possível a observação dessas estruturas, os cientistas criaram um aparelho, denominado ? microscópio electrónico?, que utiliza feixes de electrões (em vez de feixes luminosos) para formar a imagem daquelas minúsculas estruturas. Esses feixes de electrões são focalizados (desviados) por dispositivos que criam campos eléctricos ou magnéticos, que funcionam como uma espécie de lente. Os microscópios electrónicos produzem aumentos superiores a {100.000} vezes.

Telescópio e Luneta

A luneta é um instrumento óptico utilizado para a observação de objectos a grandes distâncias do sistema óptico. De modo análogo ao microscópio, são utilizadas duas lentes convergentes, a objectiva e a ocular. No caso da luneta, os raios paralelos provenientes de um astro são focados no foco imagem {F_1'} da objectiva. A segunda lente, a ocular, amplia a imagem anterior para imagem final.

Figura 65: Esquema do sistema óptico da luneta. [7]

A ampliação da luneta é definida pela razão entre o ângulo de visão através da luneta {\beta} e o ângulo de visão directa {\alpha}:

\displaystyle G=\frac{\beta}{\alpha} \ \ \ \ \ (80)

 

O aumento visual de um luneta depende das condições de observação da imagem. Em condições usuais, o aumento visual é expresso pela relação entre as distâncias focais da objetiva ({f_1}) e da ocular ({f_2}):

\displaystyle G=\frac{f_1}{f_2} \ \ \ \ \ (81)

 

O inconveniente da utilização da luneta astronómica para observar objetos na Terra é que a imagem é invertida. As denominadas lunetas terrestres são adaptadas para tornar a imagem final directa. O modo de proceder à inversão da imagem é variável. Havendo então diversos tipos de lunetas terrestres.

Os telescópios diferem das lunetas pela substituição da lente objetiva por um espelho parabólico côncavo. A vantagem desses é que os espelhos parabólicos apresentam menos defeitos (aberrações) que as lentes. Por isso, os grandes observatórios preferem, na atualidade, utilizar telescópios em vez de lunetas. Por vezes a luneta é denominada telescópio de refração, reservando-se em termo de telescópio de reflexão para o telescópio propriamente dito.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

 

Como saber a distância focal de uma lente?

— 2.7.18. Equação da Lente —

Quando fabricamos uma lente, o índice de refração do material e os parâmetros da superfície que limitam a lente devem ser escolhidos adequadamente para que a lente tenha uma distância focal apropriada. Para entendermos isto, temos de perceber como estão relacionados estes parâmetros.

Vamos considerar uma lente côncavo-convexa (veja figura 62).

Figura 62: Dedução da fórmula da lente. [5] Adaptado

Considere o objecto {PQ} que está a uma distância {d_1} da lente. A refração dos seus raios na superfície convexa com centro {C_1} formará a imagem {P'Q'}. Como os índices de refração dos meios são {n_a} e {n_b}, pela formula 58 da refração numa superfície esférica, a relação entre os parâmetros de {PQ} e {P'Q'} será:

\displaystyle \frac{n_a}{ d_1 } + \frac{n_b}{ d_1' } =\frac{n_b-n_a}{ R_1 } \ \ \ \ \ (69)

 

A imagem {P'Q'} é o objecto virtual para a refracção na segunda superfície, com centro em {C_2} e raio {R_2}. Portanto, de acordo com a formação da imagem na refração numa superfície esférica, obteremos:

\displaystyle \frac{n_b}{ d_2 } + \frac{n_c}{ d_2' } =\frac{n_c-n_b}{ R_2 } \ \ \ \ \ (70)

 

Como o meio exterior é o ar, então {n_a=n_c=1} e como o meio {b} é a lente então {n_b=n}. A distância {d_2} é igual, em modulo, a {d_1'}, mas com sinais opostos, visto que a imagem {P'Q'} é real ({d_1'}>0), e esta mesma imagem é o objecto virtual para a segunda superfície ({d_2<0}). Neste caso, {d_2=-d_1'}, logo, as relações 69 e 70 ficam :

\displaystyle \frac{1}{ d_1 } + \frac{n}{ d_1' } =\frac{n-1}{ R_1 } \ \ \ \ \ (71)

 

\displaystyle -\frac{n}{ d_1 } + \frac{1}{ d_2' } =\frac{1-n}{ R_2 } \ \ \ \ \ (72)

 

Se somarmos as equações 71 e 72, obteremos:

\displaystyle \frac{1}{ d_1 } + \frac{1}{ d_2' } =\frac{n-1}{ R_1 }+\frac{1-n}{ R_2 } \ \ \ \ \ (73)

 

Organizando melhor a equação, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{ d_1 } + \frac{1}{ d_2' } =(n-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }-\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (74)

 

Considerando a lente delgada, então {t\rightarrow 0}, logo {d_1} representa a distância entre o objecto e a lente, chamada de distância do objecto ({d}) e {d_2'} representa a distância entre a imagem e a lente, chamada de distância da imagem ({d'}). A relação 74 pode então ser escrita por:

\displaystyle \frac{1}{ d } + \frac{1}{ d' } =(n-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }-\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (75)

 

Se substituirmos os valores da equação de pontos conjugado (equação 67) nesta equação, obtemos:

\displaystyle \frac{1}{ f } =(n-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }-\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (76)

 

A equação 76 foi deduzida para o caso de uma lente em particular, sendo a superfície de raio {R_1} convexa e a superfície de raio {R_2} côncava. Mas, de modo geral, adoptando a convenção de sinais apropriada, podemos escrever uma formula válida para qualquer situação:

\displaystyle \frac{1}{ f } =(n_{21}-1)\cdot(\frac{1}{ R_1 }+\frac{1}{ R_2 }) \ \ \ \ \ (77)

 

Onde: {n_{21}} é o índice de refração relativo do material de que é feito a lente em relação ao material que constitui o exterior (geralmente, o ar).

A convenção de sinais válida, continua sendo :

  • Se o objecto é real, {d>0}.
  • Se o objecto é virtual, {d<0}.
  • Se a imagem é real, {d'>0}.
  • Se a imagem é virtual, {d'<0}.
  • Se a superfície é convexa, então {R>0}.
  • Se a superfície é côncava, então {R<0}.
  • Se a lente é convergente, então {f>0}.
  • Se a lente é divergente, então {f<0}.

A dedução desta fórmula baseou-se na utilização de raios paraxiais, ou seja, raios que incidem quase que paralelamente ao eixo óptico da lente, formando com este ângulos muito pequenos. Porém, para raios que não seja paraxiais, isto é, para imagens que não estejam perto do eixo óptico da lente, o foco pode ficar numa posição diferente da calculada pela relação 77, observando-se nestes casos muitas aberrações cromáticas.

Para o caso é que o meio exterior seja mais denso do que o material de que é feito a lente, as lentes apresentam um comportamento muito curioso: A lente aparentemente convergente (que a espessura diminui do centro aos bordos) comporta-se como divergente e as lentes aparentemente divergentes (que a espessura aumenta do centro aos bordos) comportam-se como convergente. Isto pode ser explicado pela relação 77, mas deixaremos esta análise para que você a faça.

 

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

 

Como se forma a imagem numa lente?

— 2.7.17. Obtenção da imagem de uma lente. Relação objecto-imagem para lente delgada —

Quando observamos a imagem de um objecto atravessar de uma lupa ou luneta, por exemplo, a imagem observada poderá ser maior ou menor do que o tamanho real do objecto. Na realidade, ao movimentarmos esta lente para frente ou para trás, observamos que o tamanho da imagem muda. Esta mudança de tamanho da imagem está associada à três parâmetros principais: distância da lente ao objecto {d}, distância da lente á imagem {d'} e distância focal da lente {f}. Isto é válido para qualquer lente.

Tudo pode ser entendido, se compreendermos como os raios de luz passam pela lente e como se forma a sua imagem.

Como já vimos, qualquer raio que incida paralelamente ao eixo principal de uma lente convergente, ao emergir dela, passará pelo foco imagem. Usando o princípio de reversibilidade dos raios luminosos, descrito em secções anteriores, podemos afirmar que qualquer raio que incida passando pelo foco objecto, ao emergir da lente, sairá paralelo ao eixo principal. Um raio que incida no centro da lente, passará por ela sem desvio (veja figura 60). Para se formar a imagem de um ponto {Q}, devemos traçar ao menos dois raios que incidam na lente vindos do ponto {Q}. Os raios escolhidos devem ser aqueles cujo raio emergente correspondente já conhecemos. No exemplo, usa-se o raio que incide paralelamente ao eixo principal e o raio que incide passando pelo centro. Após escolhermos estes raios, representamos os raios emergentes correspondentes. Onde os raios emergentes se cruzarem, aí é a imagem real do ponto {Q} que é designado {Q'}. Quando os raios emergentes não se cruzam, para encontrar a imagem procede-se ao prolongamento dos raios emergentes. A intercessão destes prolongamentos será então a imagem virtual {Q'} do ponto {Q}.

Figura 60: Formação da imagem de um objecto numa lente convergente. [5] Adaptado

Para obter a imagem de um objecto extenso {PQ}, é apenas necessário obter a imagem de um conjunto de pontos suficientemente representativo deste objecto. No exemplo se obteve a imagem de dois ponto {P} e {Q}.

O número de ponto a escolher variam de acordo com a complexidade do objecto a analisar.

No caso de formação de imagem de um objecto atravessar de uma lente divergente, o procedimento é idêntico, mas devemos recordar que na lente divergente, o raio que incide paralelamente ao eixo principal, após refratar-se na lente, emerge como se tivesse vindo do foco imagem, e o raio que incide na lente, mas apontado para o foco objecto, após refratar-se, emerge paralelamente ao eixo principal. O raio que incide passando pelo centro de uma lente divergente, tal como na lente convergente, passa sem desvio.

Podemos generalizar algumas situações importantes de formação da imagem. Para lentes convergentes:

  • Quando a distância do objecto real à lente ({d}) é maior que o dobro da distância focal ({d>2f}). Características da imagem: real, invertida em relação ao objecto, menor que o objecto e está situada numa distância superior a distância focal, ou seja, depois do foco imagem {F'}.
  • Quando o objecto está situado entre o foco objecto {F} e o dobro da distância focal ({f<d< 2f}). Características da imagem: real, invertida em relação ao objecto, maior que o objecto e está situada numa distância superior ao dobro da distância focal,tambem depois do foco imagem {F'}.
  • Quando o objecto está situado no plano focal objecto ({d = f}). Neste caso os raios refratados são paralelos e a imagem forma-se no infinito.
  • Quando o objecto está situado entre o centro óptico {0} e o foco objecto {F}. Características da imagem: virtual, direita em relação ao objecto e maior que o objecto.

Para lentes divergentes:

  • Para qualquer situação, as características da imagem são: sempre virtual, direita em relação ao objecto e menor que o objecto.

A equação das lentes delgadas (equação de Gauss) relaciona entre si as grandezas seguintes: a distância {d} do objecto à lente, a distância {d'} da imagem à lente e a distância focal {f} da lente. A equação pode ser deduzida da figura 60.

Os ângulos para os triângulos rectângulos {OPQ} e {OPQ'} são iguais. Logo a sua tangente é {\tan \alpha = \frac{y}{d}=-\frac{y'}{d'}}. o sinal negativo deve-se ao facto de a imagem ser invertida. Neste poderemos obter:

\displaystyle \frac{y'}{y}=-\frac{d'}{d} \ \ \ \ \ (65)

 

De modo análogo, no triângulos rectângulos {OAF'} e {F'PQ}, o ângulo {\beta} é igual. Então: {\tan \beta= \frac{y}{f}=-\frac{y'}{d'-f}}. Isto nos dá:

\displaystyle \frac{y'}{y}=-\frac{d'-f}{f} \ \ \ \ \ (66)

 

Igualando as equações 65 e 66, separando a fracção, simplificando e isolando a fracção {\frac{1}{f}}, fica:

\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{d'} \ \ \ \ \ (67)

 

Esta é a equação que relaciona as distâncias do objecto e da imagem em relação a lente com a sua distância focal.

A partir da relação 65 obtemos a ampliação da imagem formada por uma lente:

\displaystyle k=-\frac{d'}{d} \ \ \ \ \ (68)

 

Estas relações são válidas que para lentes convergentes como para lentes divergentes, desde que se respeite a convenção de sinais.

Convenção de sinais:

  • Se o objecto é real, {d} é positiva: {d> 0}.
  • Se o objecto é virtual, {d} é negativa: {d <0}.
  • Se a imagem é real, {d'} é positiva: {d'> 0 }.
  • Se a imagem é virtual, {d'} é negativa: {d' <0}.
  • Se a lente é convergente, {f } é positiva: {f> 0}
  • Se a lente é divergente, {f } é negativa: {f <0}

Portanto, {d} e {d'} podem ser positivas ou negativas dependendo do facto do objecto e da imagem serem reais ou virtuais.

A ampliação é positiva se a imagem é direita (quer dizer do mesmo sentido que o objecto) e, negativa se a imagem é invertida (quer dizer, de sentido contrário ao objecto).

 

— Referências Bibliográficas —

[1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
[2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
[3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
[4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
[5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
[6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
[7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

Equações diferenciais homogéneas.Exercícios resolvidos

— 2. Equações diferenciais homogéneas.Exercícios resolvidos —

No artigo passado apresentamos exercícios resolvidos sobre equações diferenciais com variáveis separáveis, neste artigo vamos tratar de resolver exercícios relacionados a equações diferenciais homogéneas.Aconselhamos ao caro leitor a fazer uma revisão sobre a resolução de integrais.

Exercício 1 Cada uma das equações diferenciais apresentada é homogénea.Resolva as equações diferenciais dadas usando as substituições adequadas.

  1. {(y^{2}+yx)dx+x^{2}dy=0}

    Solução:Usando {y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}, teremos:

    \displaystyle (u^{2}x^{2}+ux^{2})dx+x^{2}(udx+xdu)=0

    dividindo por {x^{2}} temos:

    \displaystyle (u^{2}+u)dx+(udx+xdu)=0 \Rightarrow (u^{2}+2u)dx+xdu)=0

    separando as variáveis,

    \displaystyle \dfrac{dx}{x}+\dfrac{du}{(u^{2}+2u)}

    integrando:

    \displaystyle \ln |x|+\dfrac{1}{2}\ln |u|-\dfrac{1}{2}\ln |u+2|=C

    \displaystyle 2\ln |x|+\ln |u|-\ln |u+2|=2C

    \displaystyle \ln\left|\dfrac{x^{2}u}{u+2}\right|=2C \Rightarrow \dfrac{x^{2}u}{u+2}=C_{1}

    como {u=\dfrac{y}{x}}, então:

    \displaystyle \dfrac{x^{2}\dfrac{y}{x}}{\dfrac{y}{x}+2}=C_{1}\Rightarrow x^{2}y=C_{1}(y+2x)

     

  2. {\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+3y}{3x+y}}

    Solução:podemos escrever a equação da seguinte maneira:

    \displaystyle (x+3y)dx-(3x+y)dy=0

    Usando {y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}, teremos:

    \displaystyle (x+3ux )dx-(3x+ux )(udx+xdu)=0

    dividindo por {x} temos:

    \displaystyle (1+3u )dx-(3+u)(udx+xdu)=0

    multiplicando as variáveis e organizando temos

    \displaystyle (u^{2}-1)dx+x(u+3)du=0

    separando as variáveis,

    \displaystyle \dfrac{dx}{x}+\dfrac{u+3}{(u-1)(u+1)}du=0

    integrando

    \displaystyle \ln|x|+2\ln|u-1|-\ln|u+1|=C \Rightarrow \ln\left|\dfrac{x(u-1)^{2}}{u+1}\right|=C

    \displaystyle \dfrac{x(u-1)^{2}}{u+1}=C_{1}

    sabemos que {u=\dfrac{y}{x}}, então:

    \displaystyle \dfrac{x\left(\dfrac{y}{x}-1\right)^{2}}{\dfrac{y}{x}+1}=C_{1}\Rightarrow (y-x)^{2}=C_{1}(y+x)^{2}

     

  3. {xdx+(y-2x)dy=0}

    Solução:Usando {x=vy \Rightarrow dx=vdy+ydv}, teremos:

    \displaystyle vy(vdy+ydv)+(y-2vy)dy=0

    dividindo por {y} temos:

    \displaystyle v(vdy+ydv)+(1-2v)dy=0

    multiplicando as variáveis e organizando temos:

    \displaystyle vydv+(v^{2}-2v+1)dy=0

    separando as variáveis temos

    \displaystyle \dfrac{vdv}{(v-1)^{2}}+\dfrac{dy}{y}=0\Rightarrow \dfrac{(v-1)dv}{(v-1)^{2}}+\dfrac{dv}{(v-1)^{2}}+\dfrac{dy}{y}=0

    integrando

    \displaystyle \ln |v-1|-\dfrac{1}{v-1}+\ln |y|=C

    sabemos que {v=\dfrac{x}{y}} então:

    \displaystyle \ln \left|\dfrac{x}{y}-1\right|-\dfrac{1}{\dfrac{x}{y}-1}+\ln |y|=C

    podemos escrever a solução da seguinte maneira

    \displaystyle (x-y)\ln |x-y|-y=C(x-y)

     

  4. {[x-y\arctan (y/x)]dx+x\arctan (y/x)dy=0}

    Solução:se {y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}, substituindo na equação temos:

    \displaystyle [x-ux\arctan u]dx+x\arctan u(udx+xdu)=0

    simplificando as variáveis temos:

    \displaystyle dx+x\arctan u du=0

    separando as variáveis tem-se

    \displaystyle \dfrac{dx}{x}+\arctan udu=0

    integrando,

    \displaystyle \ln|x|+u\arctan u-\dfrac{1}{2}\ln |1+u^{2}|=\ln C

    como {u=\dfrac{y}{x}}, então:

    \displaystyle \ln|x|+\dfrac{y}{x}\arctan \left(\dfrac{y}{x}\right)-\dfrac{1}{2}\ln \left|1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}\right|=\ln C

    organizando a solução tem-se:

    \displaystyle 2y\arctan \left(\dfrac{y}{x}\right)=x\ln \left|\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{4}}\right|+C_{1}

    onde {C_{1}=\ln C^{2}}

     

  5. {[y\cos (y/x)+x\sin (y/x)]dx=x\cos (y/x)dy}

    Solução:se {y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}, substituindo na equação dada obtemos:

    \displaystyle (ux\cos u+x\sin u)dx=x\cos u (udx+xdu)

    agrupando os termos semelhantes e simplificando obtém-se:

    \displaystyle \sin udx=x\cos udu

    separando as variáveis,

    \displaystyle \dfrac{dx}{x}=\dfrac{\sin u}{\cos u}du

    integrando,

    \displaystyle \ln x=\ln \sin u +\ln C\Rightarrow x=C\sin u

    como {u=\dfrac{y}{x}}, então:

    \displaystyle x=C\sin \dfrac{y}{x}

     

  6. {x\dfrac{dy}{dx}=y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}

    Solução:A equação diferencial dada pode ser escrita da seguinte maneira:

    \displaystyle (y+\sqrt{x^{2}+y^{2}})dx-xdy=0

    se {y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}, substituindo na equação acima obtemos:

    \displaystyle (ux+\sqrt{x^{2}+u^{2}x^{2}})dx-x(udx+xdu)=0

    agrupando os termos e simplificando temos:

    \displaystyle x\sqrt{1+u^{2}}dx-x^{2}du=0

    separando as variáveis:

    \displaystyle \dfrac{dx}{x}-\dfrac{du}{\sqrt{1+u^{2}}}=0

    integrando,

    \displaystyle \ln |x|-\ln \left|u+\sqrt{1+u^{2}}\right|= C \Rightarrow \dfrac{x}{(u+\sqrt{1+u^{2}})}=e^{C}

    como {u=\dfrac{y}{x}}, então:

    \displaystyle \dfrac{x}{\dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}}=C_{1}

    simplificando a equação temos

    \displaystyle x^{2}=C_{1}(y+\sqrt{y^{2}+x^{2}})

Exercício 2 Resolva os problemas com os valores iniciais dados usando substituições apropriadas

  1. {ydx+x(\ln x-\ln y-1)dy=o, \quad y(1)=e}

    Solução:Se {x=vy \Rightarrow dx=vdy+ydv} substituirmos na equação, teremos:

    \displaystyle y(vdy+ydv)+vy(\ln vy-\ln y-1)dy=o

    \displaystyle (vdy+ydv)+v(\ln v+ \ln y-\ln y-1)dy=o

    \displaystyle vdy+ydv+v\ln v dy-vdy=o\Rightarrow ydv+v\ln v dy=0

    separando as variáveis:

    \displaystyle \dfrac{dv}{v\ln v}+\dfrac{dy}{y}=0

    integrando

    \displaystyle \ln|\ln |v||+\ln |y|=C \Rightarrow \ln |y\ln |v||=C\Rightarrow y\ln |v|=C_{1}

    sabemos que {v=\dfrac{x}{y}} então:

    \displaystyle y\ln \left|\dfrac{x}{y}\right|=C_{1}

    usando {y(1)=e} nos encontramos

    \displaystyle e\ln \left|\dfrac{1}{e}\right|=C_{1}\Rightarrow C_{1}=-e

    a solução do problema de valor inicial será:

    \displaystyle y\ln \left|\dfrac{x}{y}\right|=-e

     

  2. {(x+ye^{y/x})dx-xe^{y/x}dy=0, \quad y(1)=0}

    Solução:Usando {y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}, teremos:

    \displaystyle (x+uxe^{u})dx-xe^{u}(udx+xdu)=0

    dividindo por {x} temos:

    \displaystyle (1+ue^{u})dx-e^{u}(udx+xdu)=0

    multiplicando e organizando as variáveis teremos:

    \displaystyle dx-xe^{u})du=0

    agora vamos separar as variáveis

    \displaystyle \dfrac{dx}{x}-e^{u}du=0

    integrando a equação temos

    \displaystyle \ln |x|-e^{u}=C

    sabemos que {u=\dfrac{y}{x}}, então:

    \displaystyle \ln |x|-e^{\frac{y}{x}}=C

    usando {y(1)=0}, obtemos

    \displaystyle \ln |1|-e^{\frac{0}{1}}=C \Rightarrow C=-1

    A solução do problema de valor inicial é:

    \displaystyle \ln |x|-e^{u}=-1

     

  3. {(x^{2}+2y^{2})dx-xydy=0, \quad y(-1)=1}

    Solução:Usando {y=ux \Rightarrow dy=udx+xdu}, teremos:

    \displaystyle (x^{2}+2u^{2}x^{2})dx-ux^{2}(udx+xdu)=0

    vamos dividir por {x^{2}} e depois multiplicamos e simplificamos os termos semelhantes:

    \displaystyle (1+u^{2})dx-uxdu=0

    separando as variáveis,

    \displaystyle \dfrac{dx}{x}-\dfrac{udu}{1+u^{2}}=0

    integrando,

    \displaystyle \ln |x|-\dfrac{1}{2}\ln |1+u^{2}|=C\Rightarrow \dfrac{x^{2}}{1+u^{2}}=e^{2C}

    como {u=\dfrac{y}{x}}, então:

    \displaystyle \dfrac{x^{2}}{1+\left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}}=C_{1}

    organizando a equação,

    \displaystyle x^{4}=C_{1}(y^{2}+x^{2})

    usando a condição inicial {y(-1)=1} temos:

    \displaystyle (-1)^{4}=C_{1}(1^{2}+(-1)^{2})\Rightarrow C_{1}=\dfrac{1}{2}

    A solução do problema de valor inicial é:

    \displaystyle x^{4}=\dfrac{1}{2}(y^{2}+x^{2})

No próximo artigo vamos apresentar exercícios resolvidos sobre as equações diferenciais exatas.

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