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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas II

Recordando o Teorema 77 vamos agora introduzir a noção de resto de uma série.

Definição 50 Seja {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} convergente. Para cada {m>p} a série {\displaystyle \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n} também converge. Podemos então definir:

\displaystyle   r_m=\sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (80)

como sendo o resto de ordem {m} da série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n}

Como

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n

vem que

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + r_m

Assim é

\displaystyle  r_m =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n - \sum_{n=p}^m u_n

Fazendo {m \rightarrow +\infty} vem que {\displaystyle \lim r_m=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n- \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=0 }

Usando métodos apropriados podemos ainda enquadrar o resto de ordem {m}.

\displaystyle  \zeta^-_m < r_m < \zeta^+_m

Fazendo

\displaystyle  r_m \approx \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}

Podemos definir

\displaystyle  \varepsilon _m=r_m - \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}

vem que

\displaystyle  \varepsilon _m < \zeta^+_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

e

\displaystyle  \varepsilon _m > \zeta^-_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^-_m - \zeta^+_m}{2}=- \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Assim

\displaystyle  - \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} < \varepsilon _m < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Ou seja

\displaystyle  |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Temos assim

\displaystyle  r_m=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}+ \varepsilon _m

com

\displaystyle  |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

e portanto

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^m u_n + \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} + \varepsilon _m

Teorema 78

Uma série de termo geral não negativo converge sse a respectiva sucessão das séries parciais for majorada.

Demonstração:

Seja {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} onde {u_n \geq 0\, \forall n \geq p} e seja {S_m} a respectiva sucessão das somas parciais.

Por definição é

\displaystyle  S_m=\sum_{n=p}^m u_n

Logo

\displaystyle  S_{m+1}-S_m = \sum_{n=p}^{m+1} u_n - \sum_{n=p}^m u_n = u_{m+1} \geq 0

Assim {S_m} é crescente.Se {S_m} converge, {S_m} é limitada (Teorema 13), logo é majorada.

Reciprocamente, se {S_m} é majorada, como é crescente sabemos também que é minorada também é minorada. Logo é limitada.

Então {S_m} converge pelo Teorema da Sucessão Monótona (20).

Assim {S_m} converge sse {S_m} for majorada.

Mas {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge sse {S_m} converge.

Assim {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge sse {S_m} tem majorante.

\Box

Ainda que o teorema anterior seja um teorema bastante útil convém notar que não providencia em si próprio um critério de convergência.

Teorema 79 {Critério da Comparação}

Sejam {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} v_n} duas séries de termos gerais não negativos. Se {u_n = O(v_n)}

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (81)

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (82)

Demonstração:

Como 82 é o contra-recíproco de 81 vamos somente provar a equação 81.

Suponha-se {v_n} convergente. Como {u_n= O(v_n)} existe uma sucessão {h_n} limitada e um índice {k} tais que {u_n=h_n v_n \quad \forall n\geq k}.

Sendo então {L} um majorante de {h_n} vem que

\displaystyle   u_n \leq L v_n \ \ \ \ \ (83)

Por outro lado como

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} v_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n

vem que {v_n} converge. Pelo Teorema 78 {v_n} tem as somas parciais majoradas. Assim {\exists n \geq 0 } tal que {\displaystyle\sum_{n=k}^m v_n \leq M\, \forall n \geq k} .

De 83 vem então

\displaystyle  \sum_{n=k}^m u_n \leq \sum_{n=k}^m L v_n= L\sum_{n=k}^m v_n \leq LM \quad \forall n \geq k

Assim a série {\displaystyle \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n } também as somas parciais majoradas, logo é convergente (Teorema 78).

Como

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+ \infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n

(Teorema 76) vem que {\displaystyle\sum_{n=p}^{+ \infty} u_n} converge.

\Box

Corolário 80

Nas condições do teorema anterior, se existe uma ordem {k} tal que {u_n \leq v_n \quad \forall n \geq k} então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (84)

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (85)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Corolário 81

Nas condições do teorema anterior, se

\displaystyle  \lim \frac{u_n}{v_n} \in ]0, + \infty[

então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (86)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Corolário 82

Nas condições do teorema anterior, se

\displaystyle  u_n \sim v_n

então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (87)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Podemos então resumir o resultado anterior com o seguinte:

Em séries de termos gerais não negativos podemos substituir o termo geral por outro assimptoticamente igual sem alterar a natureza da série.

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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas

— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —

Teorema 73 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge e {\alpha \in \mathbb{R}}, então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} converge e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n = \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (76)

Demonstração: Temos efectivamente

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m \alpha u_n \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \alpha \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \end{aligned}}

\Box

Corolário 74

Se {\alpha \neq 0} as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} têm a mesma natureza.

Demonstração: Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente vem, pelo Teorema 73, que a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} também é convergente.

Reciprocamente, suponha-se que {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente. Então, pelo pelo Teorema 73, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \frac{1}{\alpha}\alpha u_n} também é convergente. Ou seja, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente \Box

Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo {\leftrightarrow } como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.

Assim quando escrevermos {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} queremos dizer que as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n}} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} têm a mesma natureza.

Teorema 75 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n} são ambas convergentes então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)} é convergente e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (77)

Demonstração: {\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m(u_n+v_n) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=p}^m u_n+ \sum_{n=p}^m v_n \right) \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m u_n+ \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m v_n \\ &= \sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \end{aligned}} \Box

Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p}} têm a mesma natureza e em caso de convergência a mesma soma.

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p} \ \ \ \ \ (78)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Como aplicação do teorema anterior vamos calcular

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n

Onde temos que {|r|<1}.

Temos então

{\begin{aligned} \sum_{n=p}^{+\infty} r^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^{n+p} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cdot r^p \\ &= r^p \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \\ &= r^p \dfrac{1}{1-r} \end{aligned}}

Assim fica

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n=\frac{r^p}{1-p} \quad |r|<1

Teorema 77 Dada uma série {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}, um índice {k>p}, as séries {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\sum_{n=k}^{+\infty} u_n} têm a mesma natureza, e em caso de convergência é válido

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (79)

Demonstração: Vamos apenas apresentar a ideia da demonstração e deixamos para o leitor a sua correcta formalização.

Sugerimos ao leitor começar a partir da identidade:

\displaystyle  \sum_{n=p}^m u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^m u_n

e tomar o limite {m \rightarrow +\infty} \Box

Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} \quad \forall k>p

Podemos então dizer o seguinte:

A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.

Cálculo I – Somas de Mengoli

— 8.1. Somas de Mengoli —

Nesta subsecção vamos introduzir as somas de Mengoli, também chamadas de somas telecópicas.

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1}) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^{m}(v_n-v_{n+1}) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty}(v_p-v_{m+1})\\ &= v_p-\lim v_{m+1} \\ &=v_p -\lim v_n \end{aligned}}

Assim sendo,

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})

converge sse a sucessão {v_n} é convergente e temos

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})=v_p -\lim v_n

Exemplo 4

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} \ \ \ \ \ (74)

 

Ora para a equação 74 é válido a seguinte igualdade:

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)

Assim fica

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\ &= \dfrac{1}{1}-\lim\dfrac{1}{n}\\ &=1 \end{aligned}}

Ou seja, o que nós temos é

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots =1

Exemplo 5

Vamos agora olhar para outro exemplo de uma série de Mengoli

\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) \ \ \ \ \ (75)

 

Podemos reescrever a equação 75 da seguinte forma:

{\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n}{n}-\frac{1}{n} \right) \\ &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n-1}{n} \right) \\ &=\sum_{n=2}^{+\infty}\left( \log (n-1)- \log n \right) \end{aligned}}

que é uma série de Mengoli divergente.

Em geral é muito difícil achar o valor de uma série. É então preciso construirmos métodos que nos possibilitem obter conhecimento sobre a natureza de uma série mesmo que não sejamos capazes de calcular o seu valor.

Vamos então começar a construir uma teoria que nos permita obter conhecimento sobre uma série sem ser necessário efectuar cálculos.

Teorema 71

Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente então {\lim u_n=0}

Demonstração:

Seja {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} convergente e seja {a \in \mathbb{R}} a sua soma.

Pondo {S_m=sum_{n=p}^m u_n} {\forall m \geq p} temos então {\lim S_m =a}.

Assim também é {\lim S_{m-1}=a}. Logo {\lim (S_m-S_{m-1})=0}

Ou seja

\displaystyle \lim \left( \sum_{n=p}^m u_n - \sum_{n=p}^{m-1} u_n =0\right)

E portanto {\lim u_n=0}

\Box

Corolário 72

Se {\lim u_n \neq 0}, a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é divergente.

Demonstração: É o contra-recíproco do Teorema 71 \Box

Tomemos

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n

Se {|r|\geq 1}, {|r^n|=|r|^n}. Ora {|r|^n} não tende para {0}. Logo {r^n} também não tende para {0}. Assim {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n } diverge.

 

Cálculo I – Introdução às Séries Numéricas

— 8. Introdução às Séries Numéricas —

Tomemos os termos de uma sucessão {u_n} onde {n \geq p} para um certo {p}. Ou seja temos {u_p}, {u_{p+1}}, , {u_{p+2}}, …, , {u_n},…

Uma questão que podemos colocar de forma bastante natural é qual é o resultado da soma destes termos:

\displaystyle u_p+ u_{p+1}+ u_{p+2}+ \cdots + u_n+ \cdots =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n

A soma que contém um número infinito de termos acima definida tem o nome de: série de termo geral {u_n}.

Seja {m \geq p}.

{\displaystyle \sum_{n=p}^m u_n = u_p+ u_{p+1}+\cdots + u_m}

Tomando o limite

\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n

podemos definir de forma matematicamente rigorosa o valor da soma da série.

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n =\lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n

Podemos ainda definir a sucessão das somas parciais de uma série, {S_m}

\displaystyle S_m=\sum_{n=p}^m u_n

e escrever

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n =\lim_{m \rightarrow +\infty} S_m

Dizemos que a série converge se e só se {S_m} é convergente.

Após estas definições iniciais referentes à séries numéricas vamos olhar para um dos paradoxos de Zenão como motivação para a introdução da teoria das séries numéricas.

Imaginemos que temos um corpo que vai percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade constante de {1 m/s}.

Se alguém nos perguntar qual será o intervalo de tempo necessário para percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade de 1 {m/s} não precisamos de ser grandes físicos para responder que o tempo total será de 2 segundos.

No entanto sabemos que o corpo em questão antes de percorrer a totalidade do seu percurso terá que percorrer antes de mais a sua metade. E antes de percorrera metade terá que percorrer a metade da metade. E assim sucessivamente. A expressão que permitirá expressar a soma dos intervalos de tempo referentes às distâncias parciais face à distância total é:

\displaystyle T=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^n}+\cdots

Na altura em que este paradoxo foi proposto a teoria matemática não era tão avançada como é hoje em dia e questão de qual seria o resultado desta soma era também uma questão de debate filosófico.

Assim sendo a resposta a esta questão tinha duas possibilidades.

Por um lado, Zenão argumenta que o resultado da soma {\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}} era infinito pois estávamos a somar um número infinito de parcelas que são sempre maior do que {0}, e por outro lado toda a gente sabia que do ponto de vista experimental a resposta deveria ser {2 \, s}.

É precisamente esta tensão entre as duas respostas que dá o nome a este argumento de um paradoxo. Por um lado nós sabemos qual é a resposta correcta, mas não somos capazes de providenciar um argumento que a justifique de uma forma matematicamente rigorosa.

Definição 49 Uma série geométrica de razão {r} é definida através da seguinte expressão:

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \ \ \ \ \ (73)

Para as series geométricas é válido o seguinte:

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n &= \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{n=0}^m r^n \\ &= \lim_{m \rightarrow \infty} \dfrac{1- r^{m+1}}{1-r} \end{aligned}}

Se {|r|<1} vem que {r^{m+1}\rightarrow 0} quando {m \rightarrow +\infty}.

Assim vem que

\displaystyle \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1- r^{m+1}}{1-r}= \frac{1}{1-r}

Assim podemos escrever com todo o rigor matemático

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n= \frac{1}{1-r}

Caso se tenha {|r|>1} a série diverge.

Voltando então ao paradoxo de Zenão e utilizando este simples resultado derivado por nós vem que:

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^n} &= \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \\ &= \dfrac{1}{1-1/2}\\ &= \dfrac{1}{1/2} \\ &=2 \end{aligned}}

Que é a resposta que nós sabemos estar correcta!

Exercícios Resolvidos

— 1. Introdução —

A pedido de um dos nossos leitores vamos publicar alguns exercícios resolvidos para ajudá-lo a ele e aos seus colegas na compreensão da matéria de Cálculo I para o curso de Gestão e Economia.

— 2. Exercícios —

Exercício 1 Considera a sucessão {U_n} definida por: {U_n=\frac{n+1}{n}}.

  1. Calcule os 4 primeiro termos de {U_n}

    {U_1=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2}

    {U_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}}

    {U_3=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}}

    {U_4=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{4}}

  2. Verifica se {\frac{6}{5}} é um termo da sucessão

    Para que {\frac{6}{5}} seja um termo da sucessão {U_n} tem que existir um {n} pertencente a {\mathbb{N}} tal que {U_n=\frac{6}{5}}.

    {\begin{aligned} \displaystyle \frac{6}{5}&= \frac{n+1}{n} \\ 6n &= 5n+5\\ 6n-5n &= 5\\ n &= 5 \end{aligned}}

    Como {n=5} é uma afirmação válida podemos concluir que {\frac{6}{5}} é um termo da sucessão.

  3. {\exists N \in \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}

    {\begin{aligned} \displaystyle \frac{7}{8}&= \frac{n+1}{n} \\ 7n &= 8n+8\\ 7n-8n &= 8\\ -n &= 5 \\ n &= -8 \end{aligned}}

    Como {n=-8} é uma afirmação que não é válida podemos que concluir que {n \nexists \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}

  4. Mostre que {a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{(n+1)n}}. Que monotonia se trata?

    {\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{(n+2)n-(n+1)^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{n^2-2n-n^2-2n-1^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{-1}{(n+1)n} \\ &= -\frac{1}{(n+1)n} \end{aligned}}

    Uma vez que a diferença entre termos sucessivos da sucessão {U_n} é negativa temos a seguinte relação:

    \displaystyle  a_{n+1}-a_n < 0

    Ora isto implica que

    \displaystyle  a_{n+1} < a_n

    Assim sendo vemos que os termos sucessivos são sempre menores que os termos anteriores, logo a sucessão {U_n} tem uma monotonia decrescente.

Exercício 2 Prove que a sucessão de termo geral

\displaystyle  a_n=\frac{3n-4}{2n-1}

é uma sucessão crescente.

Tal como vimos no exercício anterior para calcularmos a monotonia de uma função temos que calcular o termo

\displaystyle  a_{n+1}-a_n

{\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{3(n+1)-4}{2(n+1)-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n+3-4}{2n+2-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n-1}{2n+1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{(3n-1)(2n-1)-(3n-4)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-(6n^2+3n-8n-4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-6n^2-3n+8n+4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{5}{4n^2-1} \end{aligned}}

Uma vez que

\displaystyle  a_{n+1}-a_n=\frac{5}{4n^2-1}

E que

\displaystyle \frac{5}{4n^2-1}>0

Temos que

\displaystyle  a_{n+1}-a_n>0

E assim é

\displaystyle  a_{n+1}> a_n

Logo {a_n} é uma sucessão crescente.

Exercício 3

Dada a sequência do exemplo anterior, justifique que são limitadas as seguintes sucessões

  • {a_n=10+\frac{1}{n}}

    Ora {a_1=10+\frac{1}{1}=10+1=11}

    Por outro lado vamos calcular o limite da sucessão.

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim a_n &= \lim 10+\frac{1}{n}\\ &= 10+0\\ =10 \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  10 \leq a_n \leq 11

    A sucessão diz-se limitada.

  • {u_n=\frac{n+1}{n}}

    {u_1=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2}

    Por outro lado

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim u_n &= \lim \frac{n+1}{n}\\ &= 1 \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  1 \leq u_n \leq 2

    A sucessão diz-se limitada.

  • {d_n=\frac{3-n}{n+1}}

    {d_0=\frac{3-0}{0+1}=\frac{3}{1}=3}

    Por outro lado

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim d_n &= \lim \frac{3-n}{n+1}\\ &= \lim \frac{-n}{n}\\ &= -1 \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  -1 \leq u_n \leq 3

    A sucessão diz-se limitada.

  • {d_n=n+\frac{1}{n}}

    {d_1=1+\frac{1}{1}=1+1=2}

    Por outro lado

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim d_n &= n+\frac{1}{n}\\ &=\lim n+0\\ &= +\infty \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  \lim d_n=+\infty

    A sucessão diz-se não limitada.

  • Como se formam as cores na bolha de sabão? Interferência.

    — 3. Interferência —

    — 3.1. Introdução —

    A questão da natureza da luz, se era onda ou partícula, durante décadas e séculos animou diversos debates e discussões sobre a n esta, estando a comunidade científica dividida entre a teoria corpuscular de Newton e a teoria ondulatória de Hyugens. Esta calorosa discussão foi depois esclarecida com a teoria de dualidade onda-partícula de “De Broglie”. A concepção actual é de que a luz é onda e partícula. Na realidade, enquadra-se no grupo de ondas electromagnéticas, ocupando uma parte do espectro denominada espectro da luz visível. (Para mais esclarecimentos, ver nos post´s antigos ). Neste artigo , estudaremos o fenómeno de interferência das onda eletromagnéticas, com mais ênfase para a luz. Este é um fenómeno tipicamente ondulatório, e não pode ser analisado segundo os princípios estudados na óptica geométrica. Em vez dela, temos que empregar óptica ondulatória baseada no princípio de Huygens e nos conceitos de ondas electromagnéticas, que foi visto em temas anteriores.

    Sugerimos que faça uma recapitulação sobre ondas electromagnéticas.

    Quanto a classificação as ondas podem ser mecânicas ou electromagnéticas. As ondas elásticas que se propagam nos corpos sólidos, líquidos ou gasosos são ondas mecânicas.

    A luz visível que é objecto do estudo da Óptica é uma espécie de onda electromagnética cujo comprimento de onda vai de {0,40 \mu m} a {0,76 \mu m}. Ela pode se propagar no vácuo bem como nos meios materiais transparentes como ar, o vidro, a água, etc. A luz e as outras espécies de ondas electromagnéticas (ondas de rádio-frequência, raios ultra-violeta,, etc.) são ondas transversais.

    Quando a grandeza ou partícula que sofre perturbação oscila perpendicularmente à direcção de propagação do movimento ondulatório , então, as ondas são chamadas de ondas transversais.

    Para as ondas electromagnéticas, são os vectores intensidade do campo eléctrico e do campo magnético que oscilam nos planos perpendiculares à direcção de propagação da onda e perpendiculares entre si como mostra a figura.

    Figura 71: Onda electromagnética monocromática

    As ondas electromagnéticas incluindo a luz visível propagam-se no vácuo (e também no ar) com velocidade aproximadamente igual a: {c = 3\cdot 10^8m/s}.

    Quando as grandezas ou partículas oscilam na mesma direcção de propagação do movimento ondulatório as suas oscilações propagam-se por compressões e dilatações originando ondas longitudinais. Por exemplo, quando um som é transmitido no ar, as camadas do ar realizam periodicamente as compressões e dilatações ao longo da direcção de propagação da onda e em torno de suas posições de equilíbrio, criando assim uma onda sonora longitudinal.

    As principais característica da onda são:

    • A amplitude de onda define-se como valor máximo da oscilação do movimento oscilatório.
    • O período {T} de uma onda é o intervalo de tempo necessário para que um elemento oscilatório da onda efectue uma vibração completa.
    • A frequência de uma onda é o número de oscilações completas realizadas numa unidade de tempo; depende apenas da frequência da fonte ou centro de abalo.A frequência mede-se em Hertz (Hz). O Hertz é também referido vulgarmente como ciclo por segundo.
    • O comprimento de onda é a distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos na onda. Ela representa a distância percorrida pela onda no intervalo de tempo de um período. Por isso, ele é igual ao produto da velocidade de propagação da onda pelo período da onda.
    • A fase caracteriza a posição da partícula (ou o valor da grandeza) que oscila no ciclo. Pode ser medida em graus ou em radianos. a unidades no {SI} é o radiano.

    — 3.2. Sobreposição de ondas e interferência —

    O princípio de sobreposição é um princípio muito básico e já notamos o seu efeito várias vezes na nossa vida. Nós nos comunicamos através do som, que é uma onda mecânica. Quando duas pessoas falam ao mesmo tempo, as duas estão produzindo ondas mecânicas, e estas estão se propagando pelo ar. O nosso ouvido, pela sua própria característica de constituição e funcionamento não consegue separar uma da outra. O cérebro pode concentra-se em processar mais uma do que a outra, mas o ouvido, não. Portanto, se muitas pessoas falarem ao mesmo tempo, e com volumes de som aproximadamente iguais, não conseguimos distinguir um som do outro. Isto é consequência do princípio de sobreposição.

    Outro exemplo clássico, é quando, por defeito de filtragem ou outra falha técnica, duas ou mais estações de rádio emitam na mesma frequência. O receptor não consegue receber o sinal de cada uma delas, mas sim o sinais, sobrepostos um num outro. O resultado disso é ouvirmos duas emissoras ao mesmo tempo.

    Sempre que isso acontece, dizemos que há interferência. Então, a interferência é um fenómeno muito comum na nossa vida, e ela ocorre devido ao princípio de sobreposição. Vamos analisar com mais detalhe a interferência electromagnética, com mais ênfase para a luz.

    A interferência da luz já era observada há muito tempo apesar de não ser considerada de grande importância. Viu-se muitas vezes um quadro de interferência quando na infância se entretínhamos a soltar bolas de sabão ou observamos os tons irisados das películas finas de querosene ou petróleo à superfície da água. A bola de sabão, ao voltar do ar, reveste-se de todas as cores que existem nos objectos que a rodeia. É a interferência da luz que torna as bolas de sabão tão dignas de admiração.

    Foi Thomas Young, cientista inglês que pela primeira vez teve a ideia genial de explicar as cores das películas finas através da soma das ondas, uma das quais é reflectida pela superfície exterior da película e outra pela interior.

    No electromagnetismo aprendemos que quando dois ou mais campos eléctricos (ou magnéticos) se sobrepõem, então o campo eléctrico (ou magnético) resultante é igual a soma vectorial de cada um dos campos eléctricos (ou magnéticos) que actua nesta região. Este princípio é conhecido como princípio de sobreposição.

    A interferência é um fenómeno tipicamente ondulatório que ocorre quando duas ou mais ondas passam pelo mesmo ponto no espaço no mesmo instante. Através do princípio de superposição, que vale tanto para ondas mecânicas, quanto para ondas eletromagnéticas: o deslocamento resultante é determinado somando-se os deslocamentos provocados pelas ondas individuais como se elas estivessem presentes sozinhas. O termo “deslocamento” tem sentido genérico: (1) no caso das ondas mecânicas, trata-se do deslocamento das partículas do meio em relação à posição de equilíbrio, (2) no caso das ondas eletromagnéticas, trata-se do valor dos vetores dos campos elétricos e magnéticos.

    Podemos dizer que a interferência de duas ondas luminosas é a sobreposição de duas ou mais ondas, em consequência da qual se observa o reforço ou o enfraquecimento estável no tempo das oscilações luminosas resultantes em diversos pontos do espaço.

    Vale recordar, que, a luz do princípio de independência dos raios luminosos, a sobreposição das ondas não provoca nenhuma transformação nas características das ondas no geral, ou seja, no ponto onde ocorre a sobreposição, é válido o princípio de sobreposição, mas nos pontos posteriores e anteriores, as ondas continuam os seus percursos como se a outra nunca tivesse existido. Vamos então centrar a nossa atenção no ponto de sobreposição.

    A sobreposição de dois movimentos harmónicos simples de frequências diferentes, poderá produzir um movimento variado, com presença das duas harmónicas.

    Figura 72: a) Sinal sinusoidal com frequência de {50Hz}, b) Sinal sinusoidal com frequência de {28Hz}, c) sinal resultante da soma do sinal a) com o sinal b).

    Mas a soma de duas sinusoides com mesma frequência, vai produzir uma terceira sinusoide com frequência igual as duas primeiras.

    Figura 73: a) Sinal sinusoidal com frequência de {50Hz}, b) Sinal sinusoidal com frequência de {28Hz}, c) sinal resultante da soma do sinal a) com o sinal b).

    Podemos ver que a amplitude do sinal resultante da figura 73 não é exatamente igual á soma da amplitude dos dois sinais somados. À semelhança da soma entre vectores, a amplitude da soma de duas ondas harmónicas que se propagam no mesmo sentido não é igual à soma aritmética das duas amplitudes, ou seja, somando uma onda sinusoidal de amplitude de {100V/m} com outra também de {100V/m}, não dará necessariamente uma onda com amplitude de {200V/m}. O resultado depende da diferença de fase. Dependendo da diferença entre as fases das ondas, o resultado pode variar entre {0} e {200V/m}.

    Os casos extremos desta sobreposição são dois:

    • Quando as ondas que se sobrepõem têm mesma fase, então a onda resultante amplitude máxima. No caso de duas onda de amplitude igual, a onda resultante terá amplitude igual ao dobro da amplitude cada. Esta interferência é denominada interferência construtiva.
    • Quando as ondas que interferem estão em oposição de fases, ou seja, têm um desfasamento de {180^0}, então, a onda resultante terá amplitude mínima. No caso de ondas com mesma amplitude, está amplitude será zero. Esta interferência é chamada de interferência destrutiva

    Figura 74: a) Interferência construtiva, b) interferência destrutiva.

    Podemos deduzir a equação da onda resultante da sobreposição e aí, ver em que condições ocorre a interferência. Considere que duas fontes que estejam sincronizadas uma com a outra e emitam ambas ondas com mesma frequência e fase {E_1(r,t)=E_0 \cdot \cos (\omega t-k \cdot r_1)} e {E_2(r,t)=E_0 \cdot \cos (\omega t-k \cdot r_2)} e que estas se encontrem num ponto qualquer {P}.

    Figura 75: Interferência de fontes coerentes

    Da sobreposição delas vai resultar uma onda {E_R(r,t)=E_1(r,t)+E_2(r,t)=E_0 \cdot \cos (\omega t-k \cdot r_1)+E_0 \cdot \cos (\omega t-k \cdot r_2)}. Factorizando {E_0}, teremos: {E_R(r,t)= E_0 \cdot ( \cos (\omega t-k \cdot r_1)+ \cos (\omega t-k \cdot r_2))}. Aplicando a fórmula do co-seno da soma, teremos: { E_R(r,t)= E_0 \cdot 2 \cdot ( \cos ( \frac{\omega t - k \cdot r_1 + \omega t - k \cdot r_2}{2})) \cdot (\cos ( \frac{ \omega t - k \cdot r_1 - \omega t + k \cdot r_2}{2}))}. A equação da onda resultante será:

    \displaystyle E_R(r,t)= 2E_0 \cdot \cos (\omega t-\frac{k \cdot(r_1+r_2)}{2})\cdot \cos (\frac{k \cdot (r_2-r_1)}{2}) \ \ \ \ \ (82)

     

    No ponto de sobreposição, o tipo de interferência obtido será construtiva ou destrutiva dependendo da fase com que as ondas chegam neste ponto. Quando a diferença de fase for {0} teremos interferência construtiva, e quando a diferença de fase for {180^0} teremos interferência destrutiva. Nas situações intermédias a estas. teremos também ondas com amplitudes intermédias.

    A fase da onda ao chegar neste ponto, é por sua vez, dependente do caminho percorrido pela onda. Neste caso, podemos dizer de outro modo: a amplitude da onda resultante, no caso de duas fontes coerentes (em fase), vai depender da diferença de percurso { \vert r_2-r_1 \vert} das duas ondas. Sempre que {\vert r_2-r_1 \vert =m\cdot\lambda}, a interferência será construtiva e sempre que {\vert r_2-r_1 \vert =(2m-1)\cdot \frac{\lambda}{2}} a interferência será destrutiva.

    No caso de fontes policromáticas emitindo ondas coerentes, o tipo de interferência não vai depender só da diferença de percurso, mas também do comprimento de onda, visto que cada raio tem um conjunto de ondas com vários comprimentos de onda, ocorrendo que, para um feixe policromático incidindo num material,haverá interferência de modos que algumas ondas façam interferência construtivas e outras façam interferência destrutiva, permitindo-nos ver cores diferentes da cor da luz que incidiu.

    No exemplo da bolha de sabão, quando a luz branca incide numa película da bolha de sabão, algumas cores sofrem interferência construtiva e outras sofrem interferência destrutiva, resultando daí, que só observaremos o comprimento de onda médio das ondas que sofreram interferência construtiva.

    Figura 76: Interferência na bolha de sabão.

    Num local escuro, quando a luz incidente é monocromática, a interferência num obstáculo vai apresentar-se na forma de franjas ( ou riscas) claras e franjas escuras. As franjas claras correspondem aos pontos onde ocorre interferência construtiva (resultando num máximo de intensidade luminosa) e as franjas escuras ocorrem onde há interferência destrutiva (resultando em um mínimo de intensidade luminosa.

    Figura 77: Franjas claras e escuras na interferência.

     

     

     

     

    — Referências Bibliográficas —

    [1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
    [2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
    [3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
    [4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
    [5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
    [6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
    [7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

    Porquê ocorrem falhas na formação da imagem em lentes? Aberrações.

    — 2.8. Erros e defeitos da formação da imagem em lentes. Aberrações —

    As aberrações na realidade não são produzidas por defeitos de um sistema óptico. Elas ocorrem sim, pela não convergência dos raios para um único ponto imagem.

    As superfícies esféricas só formam imagem na aproximação paraxial, isto é, para raios que incidam formando angulos muito pequenos com o eixo principal. Quando saímos da condição de validade desta aproximação começamos a observar muitas aberrações.

    Podemos definir como aberração de um sistema óptico, todos os efeitos que atrapalham a formação de imagem (convergência perfeita dos raios). Assim, podemos dividir as aberrações em dois grupos: cromáticas e geométricas.

    — 2.8.20. Aberrações cromáticas —

    São as aberrações de uma lente, que vão surgir devido a dependência do índice de refracção com o comprimento de onda. Como já vimos em posts anteriores, a passagem da luz por material transparente depende na realidade do comprimento de onda deste raio luminoso. Dois raios Luminosos de diferentes CDOs passam de forma diferente num sistema óptico. Então, se um feixe policromático incide sobre uma lente, vai ocorrer este fenómeno, na qual os raios luminosos que atravessam a lente vão ser desviados de forma diferente em função do seu comprimento de onda. A diferença no desvio dos raios luminosos dá-se porque os materiais através dos quais a luz pode passar têm um índice de refração cujo valor é maior para comprimentos de onda menores (apresenta dispersão), aumentando do vermelho para o azul, o que faz desviar mais os raios luminosos, focando-os mais perto da lente e fazendo com que a imagem apresente manchas coloridas. A figura abaixo ilustra o fenómeno da aberração cromática em uma lente simples:

    Figura 66: Fenómeno de aberração cromática

    Com essa diferença de comportamento para cada cor, fica difícil fazer com que toda imagem seja focalizada no mesmo plano.

    Figura 67: Imagem com e sem aberração cromática

    Para corrigir este problema, utiliza-se a combinação de duas lentes, uma convergente o outra divergente, com vidros de diferentes índices de refração. Nas lentes menores elas são coladas uma à outra, mas em lentes maiores elas são apenas justapostas. Essas lentes recebem o nome de “lentes acromáticas”. [1]

    Com lentes acromáticas consegue-se que pelo menos duas cores sejam focalizadas no mesmo plano e que apenas o verde fique ligeiramente deslocado, eliminando grande parte da incomoda aberração cromática. A correção da aberração cromática melhora muito a qualidade da imagem e, hoje em dia, praticamente todos os instrumentos de qualidade razoável possuem correção acromática. O que difere um do outro é o nível de correção que cada um oferece e que certamente está relacionada com o preço do instrumento.[1]

    — 2.8.21. Aberrações Geométricas —

    Excepto a aberração cromática, todos os outros tipos de aberrações são chamadas de aberrações geométricas. Para se descrever as aberrações geométricas, pode se recorre a diversas técnicas, desde a descrição da passagem real dos raios no sistema até a teoria das perturbações.

    A forma de corrigi-las, entretanto, é sempre a mesma: aumentando o número de graus de liberdade através do uso de diversas lentes ao invés de uma só. Assim, balanceando-se as curvaturas das superfícies de cada lente e utilizando-se diferentes tipos de vidros ópticos podemos eliminar ou reduzir significativamente as aberrações geométricas. Entretanto, as aberrações geométricas são muito mais difíceis de se corrigir que as aberrações cromáticas, utilizando-se para isto sistemas com até dezenas de lentes. [1]

    Aberração esférica:

    Os raios luminosos provenientes de um objeto pontual são desviados de maneira diferente por uma lente ou espelho e não convergem apenas num ponto, o que provoca uma desfocagem da imagem obtida. Nos espelhos a aberração pode ser eliminada fazendo-se a superfície parabólica e não esférica. Nas lentes a aberração pode ser minimizada se ambas as superfícies (dióptros) da lente refratarem de igual forma os raios luminosos ou pode ser diminuída utilizando diafragmas que restrinjam os raios luminosos apenas à zona paraxial (central) da lente, mas que por outro lado diminuem a nitidez e a quantidade de luz proveniente da imagem.

    Quando os raios luminosos provenientes de um ponto no eixo óptico passam pela região mais exterior da lente e são focados mais perto do que os raios que passam na zona paraxial da lente, a lente tem aberração esférica negativa. Quando os se dá o contrário a lente tem uma aberração positiva. No primeiro caso diz-se que a lente está subcorrigida e no segundo caso que está sobrecorrigida.

    Figura 68: Exemplo de aberração esférica.[1]

    Astigmatismo

    Esta aberração, no caso de um sistema óptico sem outras aberrações, surge para pontos da imagem que estejam fora do eixo óptico, pois nessa situação o cone de raios que se pode traçar a partir desse ponto vai incidir na lente de um modo assimétrico o que faz com que sejam focados em pontos diferentes. Neste caso, as imagens fora do eixo principal, dificilmente apresentam-se focalizadas.

    O astigmatismo é talvez o defeito mais frequentes da visão humana, devido a alterações na curvatura da córnea que a tornam assimétrica (por exemplo, os braços perpendiculares de uma cruz estão nitidamente representados em duas superfícies diferentes). George B. Airy, um astrônomo, utilizou em 1825 uma lente côncava, esférica numa direção e cilíndrica na direção perpendicular para reduzir o seu próprio astigmatismo óptico, sendo provavelmente a primeira vez que o astigmatismo foi compensado.

    Figura 69: Exemplo de Astigmatismo.[1]

    Coma:

    Quando os raios de luz atingem a lente de modo oblíquo, o que acontece quando o objeto observado não está exatamente na área central do campo de visão, eles acabam não convergindo corretamente para o plano focal da lente e causam a coma. Esta aberração faz com que a imagem fique borrada quando próxima da borda do campo de visão e estrelas fiquem parecendo cometas.[1]

    Distorção:

    Aberração de uma lente, devido ao facto de que a distância focal varia radialmente a partir do centro a lente. Na ausência de qualquer outra aberração, a distorção manifesta-se por uma deformação da imagem como um todo, mas em que cada ponto da imagem é perfeito.

    A distorção faz com que um objeto formado por linhas retas apareça na imagem como curvas, o que origina também a designação de distorção curvilínea. Na distorção negativa um objeto com a forma quadrada será deformado na forma de um barril porque a ampliação transversal diminui com a distância o que faz com que cada ponto da imagem se aproxime mais do centro quanto mais afastado estiver no objeto. Na distorção positiva um objeto com a forma quadrada será deformado na forma de uma almofada porque a ampliação transversal aumenta com a distância, o que faz com que cada ponto da imagem se afaste mais do centro quanto mais afastado estiver no objeto.

    Figura 70: a)imagem normal; b) imagem com distorção negativa; c)imagem com distorção positiva.[1]

    Se tiveres uma lupa, poderás facilmente observar a distorção. Se pegares um papel quadriculado qualquer, e observares a sua imagem pela lupa, conseguirás facilmente notar a distorção.

    O conhecimento destes defeitos e erros na formação da imagem são importantes para que consigamos analisar as imagens formadas pelos sistemas ópticos, sem nos deixarmos enganar por estas “aberrações”.

     

     

    — Referências Bibliográficas —

    [1] Lilia Coronato Courrol & André de Oliveira Preto. APOSTILA TEÓRICA: ÓPTICA TÉCNICA I, FATEC-SP , [s.d.].
    [2] Jaime Frejlich. ÓPTICA: TRANSFORMAÇÃO DE FOURIER E PROCESSAMENTO DE IMAGENS, Universidade Federal de Campinas – SP, [2010].
    [3] Sérgio C. Zilio. ÓPTICA MODERNA: FUNDAMENTOS E APLICAÇÕES, [2010].
    [4] Renan Schetino de Souza. ÓPTICA GEOMÉTRICA, [2012].
    [5] Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA IV: ÓPTICA E FÍSICA MODERNA, [2009].
    [6]Hugh D. Young & Roger Freedman. FÍSICA III: ELECTROMAGNETISMO, [2009].
    [7] Julião de Sousa Leal. TRABALHO DE FIM DE CURSO: MANUAL DE ÓPTICA, FACULDADE DE CIÊNCIAS DA UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO, [s.d.]

     

     

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