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Equações Diferenciais Ordinárias – aula 1

Equações Diferenciais Ordinárias

Com a descoberta do cálculo de forma independente no século 17 por Newton e Leibniz, seguiu-se uma nova abordagem a certos problemas que anteriormente pareciam insoluveis. Notou-se que estes problemas levavam a certos de equações em que as taxas de variação das grandezas a determinar dependiam de outras (geralmente do tempo), assim surgiram as primeiras equações diferenciais ordinárias.

Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas de uma função desconhecida de uma ou mais variáveis. As equações diferencias ordinárias (EDOs) são equações diferencias que dependem de uma única variável. Elas são enormemente útilizadas em Modelagem na industria, principalmente nas áreas de Engenharia, Física, Ciências da Computação, Biologia, Medicina, Ciências Ambientais, Química, Economia e em outros campos que traduzem uma determinada situação física ou um conjunto de observações para um “modelo matemático”.

Existem numerosos exemplos da Engenharia (e.g. problemas de mistura), Física (e.g. lei de resfriamento de Newton, equação de Darcy para meios porosos), Biologia (e.g. sistemas predador-presa ou modelo de Lotka-Volterra) etc..

— 1. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem —

— 1.1. Definição e Conceitos Iniciais —

Definição 1 Uma EDO é uma equação com uma ou mais derivadas de uma função desconhecida {y=y(x)} até a ordem {n}, i.e.,

\displaystyle  F(x,y,y^{'},\cdots,y^{n})=0 \ \ \ \ \ (1)

onde {F} é continua definida num aberto {X} de {\mathbb{R}^{n+2}}.

O termo ordinária significa que todas as derivadas são tomadas em relação a uma única variável independente “{x}“.

Exemplo 1 {y^{''}+5y=x^{6}}, {y^{(IV)}+y^{'''}+2xy^{'}=0}.
Comentário 1 É conhecida do cálculo a notação {y^{'}=\frac{dy}{dx}}, que será muito utilizada nestas notas.

Ao contrário das EDOs, as EDPs (Equações Diferenciais Parciais) são equações onde ocorrem as derivadas de uma função desconhecida de uma ou mais variáveis.

Exemplo 2 A equação do calor

\displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=c^{2}\frac{\partial u}{\partial t}

onde {u=u(x,t)} representa a distribuição do calor numa barra ao longo do tempo.

Uma EDO é dita ser de ordem {n} se a {n}-ésima derivada da função a determinar {y} é de ordem {n}.

Exemplo 3

  • {\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+2\frac{dy}{dx}=x} é uma EDO de ordem 3 porque a maior derivada na equação é de terceira ordem.
  • {y^{'}+y+x=0}, a equação é de ordem 1 ou primeira ordem.
Comentário 2 Em geral, uma EDO estabelece a relação entre duas grandezas, mas existem casos em que para relacionarmos estas duas grandezas existe uma terceira, nestes casos a identidade a seguir é bastante útil

\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}.\frac{dx}{dt}

onde {y=y(x)} e {x=x(t)}.

Muitas vezes, uma EDO como a (Equação 1) pode ser apresentada da seguinte forma, chamada de forma normal:

\displaystyle  y^{n}=f(x,y,...,y^{n-1}). \ \ \ \ \ (2)

Exemplo 4 A équação {y^{''}=y^{'}+2x} está na forma normal.
Definição 2 Uma EDO é dita ser linear se pode ser escrita na forma

\displaystyle  c_{0}(x)y^{n}+c_{1}(x)y^{n-1}+\cdots+c_{n}(x)y=G(x) \ \ \ \ \ (3)

onde {c_{0}(x)\neq 0}. Se a equação não poder ser reduzida a forma (3), então ela é dita ser não-linear.

Exemplo 5 {y^{''}+2xy^{'}=0}.
Definição 3 Uma solução de uma EDO de ordem {n}, é qualquer função {n} vezes derivável que satisfaça a equação, i.e., lhe reduza a uma identidade.
Exemplo 6 Verifique que {y=Ce^{x}}, onde {c\neq 0}, é uma solução da equação {y'=y}. Demonstração: Para solucionarmos este problema basta lembrarmo-nos das nossas aulas de Cálculo Diferencial, mais precisamente da regra de derivação do produto de uma constante por uma função, obtemos assim {y'=Ce^{x}} já que a derivada de {e^{x}} é igual a ela mesma, logo substituindo na equação verificamos que ela se transforma numa identidade, assim {y=Ce^{x}} é uma solução da equação {y'=y}. \Box

Comentário 3 A curva (ou gráfico) da solução de uma EDO é geralmente chamada de curva solução.
Exemplo 7 Seja a equação {y'=\sin x}, a solução pode ser obtida directamente integrando ambos lados, ou seja, {y'=\frac{dy}{dx}=\sin x \Longrightarrow \int dy=\int \sin x dx \Longrightarrow y=-\cos x+c}. Obtemos desse modo uma solução dependendo de uma constante {c}, a este tipo de solução denominamos familia de soluções, a Fígura 1 a seguir mostra algumas curvas solução para essa equação para diferentes valores de {c}.

Normalmente uma EDO possui infinitas soluções aparecendo geralmente como uma função dependente de uma constante, a qual chamamos de solução geral. Mas em problemas prácticos nós estamos interessados simplesmente em soluções que satisfaçam certas condições iniciais, chamadas de soluções particulares.

Definição 4 Um Problema de Valor Inicial, ou condições iniciais, é um problema que busca determinar uma solução de uma EDO sujeita a condições sobre a função desconhecida e suas derivadas especificadas em um valor da variável independente.
Exemplo 8 A equação diferencial do exemplo anterior pode ser simplificada se nós buscarmos apenas as soluções que satisfaçam determinada condição (dita condição inicial), e.g., {y(\pi)=1}, isto pode ser interpretado geometricamente como, encontrar a curva solução que passa pelo ponto {A(\pi,1)}. No exemplo anterior fica portanto, {y=-\cos x+c \Longrightarrow y(0)=1=-\cos \pi +c \Longrightarrow c=0}, a Fígura 2 mostra a solução final {y=\cos x}.

Cada vez que se formula um PVI, existem três perguntas em relação a este que devem ser feitas:

  1. Existência.Existe uma solução da equação diferencial que satisfaça as condições dadas?
  2. Unicidade.Se existe uma solução que satisfaça a equação, ela é única?
  3. Estabilidade. A solução depende continuamente dos dados?

As condições acima são chamadas de condições de Hadamard, qualquer PVI que satisfaça as três condições acima é dito ser um problema bem proposto.

Exemplo 9 Consideremos o famoso PVI

\displaystyle y'=3y^{\frac{2}{3}},\text{ } y(2)=0

temos que a solução geral é {y=(x+c)^3}. Da condição inicial {y(2)=0} obtemos {c=-2}, assim obtemos uma solução dada por {y=(x-2)^3}.

Podemos observar que {y=0} é também uma solução da equação acima e que ela não pode ser obtida da a partir da solução geral {y=(x+c)^3} para qualquer valor da constante {c}, de modo que não é uma solução particular. Mostramos assim que a solução da equação acima não é única.

Comentário 4 As soluções que não podem ser obtidas mediante uma escolha qualquer de {c} designam-se soluções singulares. Estas soluções aparecem normalmente em certas aplicações que envolvem equações extremamente não lineares.

Por hoje nós ficamos por aqui, a partir da proxima aula vamos analisar algumas consequências derivadas do exemplo acima e também o método das isoclinas e outras interpretações geométricas, lista de problemas para esta aula vem a seguir a este post, qualquer duvida ou comentário contacte-nos.

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Análise Funcional – Aula I

Introdução à Análise Funcional

A Análise Funcional é um ramo da Matemática abstracta que é basicamente uma junção de Teória da Medida e Integração, Topologia e Álgebra Linear em espaços de dimensão infinita. Ela originou-se a partir de trabalhos em equacções diferenciais Parciais, Equações Integrais e da necessidade de se dar um tratamento mais rigoroso ao estudo dos espaços de funções no século XX.

Ela oferece-nos uma generalização de muitos conceitos de análise em {\mathbb{R}} e de outros espaços topológicos e têm servido de base para muitas outras áreas da Matemática Moderna. Durante o século XX matemáticos observaram que problemas de diferentes áreas muitas vezes exibiam propriedades comuns, este facto foi usado para a criação de uma abordagem unificada abstendo-se de uma análise local para a obtenção de resultados gerais dos quais os resultados particulares seguiriam.

Uma das maiores descobertas (ou criação de preferirem) do século XX foi a noção de espaço abstracto em Matemática, devido principalmente a M. Fréchet e F. Hausdorff, que pode ser visto como o culminar de uma onda crescente de abstracção que invadira a Matemática já algum tempo e que teve o seu climax, com justeza, na criação das maiores joias da Matemática.

— 1. Espaços Métricos —

Desde os pimordios da civilização moderna, o homem vem se aperfeiçoando na criação de instrumentos de medida como meios de ajuda na execução de tarefas as quais se propõe realizar. Dentre estes, o cálculo de distâncias sempre foi um dos principais objectivos. Hoje, nós geralmente usamos uma fita métrica para medirmos a distância entre dois objectos, ou podemos fazer uso do teorema de Pitágoras que basicamente nos permite medir a distância entre dois pontos num plano Cartesiano com eixos {x} e {y}, ou ainda generalizarmos ao introduzirmos uma componente {z}, passando a ser uma fórmula para medirmos distâncias no espaço (pelo menos o nosso espaço!).

Mas nós nos perguntamos, afinal o que é o espaço? Muitas pessoas normalmente confudem o espaço sideral, isto é, a zona onde se encontram as estrelas e outros corpos celestes com a noção de espaço em si, uma definição simples e um pouco baseada no senso comum é a de que o espaço é o local onde se encontram os objectos, ele é tomado essencialmente como algo no qual estamos imersos, é uma estrutura invisivel que nos engloba não somente a nós, como também todo o universo, uma imagem mental seria a de uma esfera na qual tudo está contido, até porque o universo seria a propria esfera.

No século XX, em Física, com a teoria da geral da relatividade de A. Einstein surge a noção de espaço-tempo, i.e., uma entidade quadridimensional, mostrando assim que as noções de espaço e tempo são essencialmente as mesmas, elas são inseparáveis, conceito esse que é muitas vezes mal compreendido pelas pessoas.

Para um Matemático, o espaço é um conjunto de pontos, é importante notarmos que, embora nós olhemos para o vazio, aparentemente sem nada, na verdade ele está prenchido por pontos, esta noção embora primitiva pode nos ajudar a ganharmos uma pequena intuição para uma generalização.

De uma forma mais rigorosa, em Matemática, um espaço é um conjunto arbitrário {X\neq \emptyset} munido de uma estrutura. De maneira mais informal, é um conjunto de objectos de qualquer natureza no qual definimos uma estrutura. É importante notarmos que não importa a natureza dos objectos que constituam o conjunto, desde que definamos nele uma estrutura, ele passará a ser um “espaço”.

Exemplo 1 É bem conhecida a noção em Álgebra Linear de Espaço Vectorial, i.e., um conjunto {V\neq \emptyset} com duas operações definidas nele, a adição {+:V\times V\rightarrow V} e a multiplicação por um escalar {\cdot:V\times \mathbb{K}\rightarrow V}, onde {\mathbb{K}} é um corpo. Não importa qual seja a natureza do conjunto {V}, desde que satisfaça os 8 axiomas da definição chamaremos ele de “espaço vectorial”, e aos seus elementos chamaremos pontos desse espaço ou vectores (isto mesmo, vectores), portanto do ponto de vista da Álgebra Linear, uma função como {f(x)=x^{2}} pertencente ao espaço vectorial das funções continuas em {C_{[a,b]}} é um vector, pois ele é um ponto ou elemento desse espaço.

É importante notarmos bem os conceitos acima, em Matemática conceitos que nos parecem muito corriqueiros muitas vezes não são o que parecem! Desta forma podemos passar ao passo seguinte que é a introdução da noção de espaço métrico.

Definição 1 Um espaço métrico {(X,d)} é um conjunto {X\neq \emptyset} juntamente com uma função distância {d:X\times X\rightarrow\mathbb{R^+}} que obedece as seguintes propriedades ou axiomas:

  1. (Não-degeneramento) Para todo {x,y \in X}, temos {d(x,y)\geq 0}, com igualdade se e somente se {x=y}.
  2. (Simétria) Para todo {x,y \in X}, temos {d(x,y)=d(y,x)}.
  3. (Desigualdade Triângular) Para todo {x,y,z \in X}, temos {d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}.
Comentário 1 Muitas vezes com um abuso de notação obvio, se diz que {X} é um espaço métrico ao invés do par {(X,d)} supondo-se que a distância ou métrica é conhecida.

É importante o leitor notar que um espaço métrico não é um conjunto, mas é uma “estrutura”, de tal maneira que em um mesmo conjunto podemos definir métricas diferentes, i.e., { d\neq \rho \Rightarrow (X,d)\neq (X,\rho)}. Aos elementos de um espaço métrico chamaremos pontos, independentemente da natureza destes ojectos, sejam eles objectos do nosso mundo físico ou abstractos.

O axioma 1 na definição estabelece o facto evidente que a distância entre dois objectos nunca é negativa, e se ela é igual a zero é porque estes dois objectos são iguais. O axioma 2 também é intuitivo, quer dizer, a distância entre dois objectos {A} e {B} é a mesma que a distância entre {B} e {A}.

Já o axioma 3 é bastante conhecido desde a Geométria elementar e dos três é o menos intuitivo.

Do axioma 3 obtemos por indução a desigualdade triângular generalizada:

\displaystyle  d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+\cdots+d(x_{n-1},x_{n}) \ \ \ \ \ (1)

Um subespaço {(Y,\rho)} de um espaço métrico {(X,d)} é obtido se tomarmos o subconjunto {Y\subset X} e restringirmos {d} a {Y\times Y}, assim a métrica em {Y} é a restrição

\displaystyle \rho=d\mid _{Y\times Y}

Comentário 2 A partir de agora, quando não houver perigo de confusão designaremos o espaço métrico pela letra {X}.

— 1.1. Exemplos de Espaços Métricos —

Consideremos alguns exemplos de espaços métricos.

Exemplo 2 1. O conjunto dos Números Reais {\mathbb{R}}. Munido com a distância:

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid

Esta é com certeza a distância mais famosa em matemática, pois quase toda a análise elementar é feita usando esta métrica e é também bastante intuitiva, vamos provar que os números reais com essa distância é de facto um espaço métrico. Demonstração: (i) Vamos verificar o primeiro axioma, {d(x,y)\geq 0} e {x=y \Longleftrightarrow d(x,y)=0}. Então temos,

\displaystyle d(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow d(x,y)=\mid x-y\mid \geq 0

o que é evidente pela definição de módulo. Resta demosntrar a segunda parte do axioma 1, temos então

\displaystyle d(x,y)= 0 \Longleftrightarrow \mid x-y \mid =0

\displaystyle \Longleftrightarrow x-y=0

\displaystyle \Longleftrightarrow x=y

a reciproca é evidentemente verdadeira, se tomarmos {x=y} então {d(x,x)=0}.

(ii)O segundo axioma também é simples de demontrar,

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid =\mid (-1).(y-x)\mid = \mid (-1)\mid \mid y-x\mid =\mid y-x\mid = d(y,x)

(iii)Para demosntrarmos a desigualdade triângular vamos precisar da desigualdade triângular nos reais, i.e.,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid x\mid + \mid y\mid

Fazendo uso de um pequeno artifício temos,

\displaystyle (x-y)=(x-z)+(z-y)

Então,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid (x-z)+(z-y)\mid \leq \mid x-z\mid +\mid z-y\mid

assim demosntramos que o par {(\mathbb{R},d)} é um espaço métrico. \Box

Por exemplo se tomarmos dois números quaisquer na recta real, {x=1} {y=2.5} a distância entre eles é de {d(1,2.5)=\mid 1-2.5\mid =1.5}, esta métrica tabém pode ser chamada de métrica da régua, pois ela nos permite calcular a distância entre dois pontos numa régua.

2. O espaço métrico discreto {X}. Ao tomarmos qualquer conjunto {X\neq \emptyset} podemos definir nele a seguinte métrica,

\displaystyle  \rho(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.

Vamos mostrar que {\rho} é de facto uma métrica. Demonstração: De facto, os axiomas (i) e (ii) da definição de espaço métrico são evidentemente satisfeitos pela maneira como {\rho} está definida.Resta-nos apenas provar o axioma 3 da definição. Dados {x, y \in X} temos duas alternativas:

  • Se {x=y}\, então\, {\rho(x,y)=0}. Substituindo este resultado no axioma 3 da definição devemos provar que

    \displaystyle 0\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    como por definição {\rho(x,z)\geq 0} e {\rho(z,y)\geq 0} temos que a desigualdade é satisfeita trivialmente.

  • Se {x\neq y} então ou {x\neq z} ou {z\neq y} (caso contrário, i.e., se {x=y} e {z=y} então {x=y}, contrariando a hipótese); Sendo assim temos {\rho(x,y)=1} e ou {\rho(x,z)=1} ou {\rho(z,y)=1}.Em qualquer situação a desigualdade

    \displaystyle \rho(x,y)\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    \displaystyle 1\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    estará satisfeita

\Box

Comentário 3 É importante tomarmos nota de que a métrica discreta se definida em qualquer conjunto, independentemente da natureza de seus objectos, torna-o num espaço métrico, e.g., se tomarmos {Y=\{y\mid y\text{ é uma banana}\}} o conjunto formado por todas as bananas existentes em todos os universos possiveis, então o par {(Y,\rho)} é um espaço métrico.

3. Métricas sobre o {\mathbb{R}^2}. Como haviamos dito mais acima, sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas, vamos agora construir três métricas muito famosas em {\mathbb{R}^2} mas a demonstração de que elas de facto são métricas deixamos para o leitor (em caso de duvida podes nos contactar).

  • Consideremos a aplicação {d_{1}: \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+} onde {d_{1}} está definida da seguinte forma:

    \displaystyle d_{1}(x,y)=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^2 +(x_{2}-y_{2})^2}

    onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. A fórmula acima nada mais é que a fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos no plano, reparem que {x,y \in \mathbb{R}^2} e por isso eles são pares ordenados, isto é, têm duas componentes, já que {\mathbb{R}^2=\{(x,y)\mid x\in \mathbb{R} \text{ e } y \in \mathbb{R} \}}. Deixamos ao leitor a tarefa de provar que o par {(\mathbb{R}^2,d_{1})} é um espaço métrico.

  • Consideremos agora a aplicação {d_{2}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}, definida por

    \displaystyle d_{2}(x,y)=\mid x_{1}-y_{1}\mid + \mid x_{2}-y_{2}\mid

    onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. A métrica {d_{2}} é conhecida como métrica do taxi.

  • Em último lugar a aplicação {d_{3}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}, definimos a métrica do máximo da seguinte forma:

    \displaystyle d_{3}(x,y)=max \{\mid x_{1}-y_{1}\mid, \mid x_{2}-y_{2}\mid\}

4. O espaço {\mathbb{R}^n}. A métrica {d_{1}} é uma generalização da métrica em {\mathbb{R}}, já a métrica em {\mathbb{R}^n} é uma generalização para qualquer {n\geq 1} natural, e é formado pelas sequências de {n} números reais {x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})} munidos da distância:

\displaystyle  d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}

O par {(\mathbb{R}^n,d_{n})} denomina-se espaço euclidiano de dimensão {n}. A demonstração desse facto será feita na proxíma aula.

5. O espaço das sequências limitadas {l^{\infty}}. Seja {X} o conjunto de todas sequências limitadas de números complexos {\mathbb{C}}; Isto é cada elemento de {X} é uma sequência

\displaystyle  x=(x_{1},x_{2},\cdots)\text{ ou } x=\{x_{i}\}_{i=1}^\infty

tal que {\forall i} temos,

\displaystyle \mid x_{i}\mid \leq k_{x}

onde {k_{x}} é um número real que depende de {x} mas não de {i}. Definimos a métrica da seguinte forma:

\displaystyle d(x,y)=\sup_{i\in \mathbb{N}}\mid x_{i}-y_{i}\mid

onde {y=\{y_{i}\}_{i=1}^\infty} e {\sup} denota o supremo. O espaço {l^\infty} é um espaço de sequências e portanto discreto, este facto será muito importante quando falarmos da noção de separabilidade.

6. O espaço {C[a,b]}. No conjunto {X} tomamos o conjunto de todas as funções com valores reais {x,y,z,\cdots} de uma variável independente {t} definidas num intervalo fechado {[a,b]}. Escolhemos a métrica definida por

\displaystyle  d(x,y)=\max_{t\in [a,b]}\mid x(t)-y(t)\mid

onde {\max} denota o máximo do modulo da diferença. Este é um espaço de funções já que os pontos desse espaço são funções.

É claro que existem muitos espaços métricos, e como já sabemos sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas. Temos também exemplos de como provar se uma aplicação é ou não uma métrica, resta-nos emfim mostrar uma maneira simples de mostrarmos que uma dada aplicação não é uma métrica.

Comentário 4 Em geral, ao tentarmos provar que uma dada aplicação não é uma métrica sobre um conjunto, devemos tentar dar um contraexemplo que demonstre que pelo menos um dos axiomas da (Definição 1.1) não é satisfeita.
Exemplo 3 Demonstrar que a aplicação {d:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^+} definida por

\displaystyle d(x,y)=(x-y)^2

não é uma métrica sobre {\mathbb{R}}. Demonstração: À primeira vista a aplicação acima parece-nos estranha, e é evidente fazendo simples cálculos que ela satisfaz os dois primeiros axiomas da definição de espaços métricos,mas ao chegarmos na desigualdade triângular é facíl notarmos que não parece existir uma maneira dela ser satisfeita, desta forma devemos brincar um pouco com os números, basta encotrarmos três números reais (já que nesse caso {X=\mathbb{R}}) e mostrarmos que a desigualdade triângular não é satisfeita. Dessa forma, sejam {x=1}, {y=4} e {z=3}, logo {d(1,4)=(1-4)^2=9}, {d(1,3)=4} e {d(3,4)=1}, substituindo na desigualdade triângular temos

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\Longleftrightarrow 9\leq 4+1=5

o que é obviamente falso, logo {d} não é uma métrica sobre {\mathbb{R}}. \Box

Assim chegamos ao fim de nossa primeira aula de Introdução à Análise Funcional, não se esqueçam de resolver os problemas abaixo e em caso de dúvidas nos contactar a partir do blog deixando um comentário, antes da próxima aula postaremos a solução dos problemas.

Problemas Propostos

Exercício 1 Mostre que a aplicação {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}} define uma métrica sobre {\mathbb{R}}.(Sugestão: use a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}})
Exercício 2 Das aplicações definidas abaixo, demonstre quais delas define uma métrica e para as que não definem dê um contraexemplo:

  • {d_{1}(x,y)=\mid x^2 - y^2\mid}.
  • {d_{2}(x,y)=\mid 3x^2 -2y\mid }.
  • {d_{3}(x,y)=\frac{\mid x-y\mid}{1-\mid x-y\mid}}.
Exercício 3 Seja {d} uma métrica em {X}. Determine todas as constantes {k} tais que (i){kd}, (ii){d+k} sejam métricas em {X}.
Exercício 4 Usando a desigualdade triângular mostre que

\displaystyle \mid d(x,z)-d(y,z)\mid \leq d(x,y)

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