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1.2. Exercícios sobre sistema massa-mola (Parte 2)

Exercício 1 Um móvel executa MHS e obedece a função horária {x = 3 \cdot cos(0,5 \pi t + \pi)}, no SI.
  1. Determine o tempo necessário para que este móvel vá da posição de equilíbrio para a posição de elongação máxima.
  2. Obtenha o valor da aceleração no instante {t = 1 \ s}.

Nível de dificuldade: Regular.

Resolução 1 .
  1. Sabemos que num MHS o tempo que o corpo leva a sair do extremo para a posição de equilíbrio ou vice-versa é igual a um quarto do período {t= \dfrac{T}{4}}. Neste caso, precisamos calcular o período e depois calcular o {t}.
    Na equação obtemos que:

    \displaystyle \omega=0,5 \pi \ rad/s

    Mas sabemos que { \omega= \dfrac{2 \pi}{T}}. Então:

    \displaystyle \omega=0,5 \pi

    \displaystyle \Rightarrow \dfrac{2 \pi}{T}=0,5 \pi

    \displaystyle \Rightarrow \dfrac{2}{T}=0,5

    \displaystyle \Rightarrow 2 = 0,5 T

    \displaystyle \Rightarrow T = \dfrac{2}{0,5}

    \displaystyle \Rightarrow T = 4 \ s

    Neste caso, o tempo é:

    \displaystyle t= \dfrac{T}{4}

    \displaystyle \Rightarrow t = 1 \ s

  2. Precisamos saber primeiro a função da aceleração desse movimento, que é dada pela segunda derivada da posição em função do tempo, ou seja

    \displaystyle a = \dfrac{d^2x}{dt^2}

    Logo:

    \displaystyle a = \dfrac{d}{dt} \Bigg[ \dfrac{d x}{dt} \Bigg]

    \displaystyle a = \dfrac{d}{dt} \Bigg[ \dfrac{d}{dt}[3 \cos(0,5 \pi t + \pi)] \Bigg]

    \displaystyle a = \dfrac{d}{dt} \Bigg [-3 \cdot 0,5 \pi sen (0,5 \pi t + \pi) \Bigg]

    \displaystyle a = \dfrac{d}{dt} \Bigg [-1,5 \cdot \pi sen (0,5 \pi t + \pi) \Bigg]

    \displaystyle a = -1,5 \pi \cdot0,5 \pi \cos(0,5 \pi t + \pi)

    \displaystyle a = -0,75 \pi^2 \cdot \cos(0,5 \pi t + \pi)

    Considerando {t = 1 \ s}, logo:

    \displaystyle a = -0,75 \pi^2 \cdot \cos(0,5 \pi \cdot 1 + \pi)

    \displaystyle a = 0

Exercício 2 Na figura ao lado, dois blocos ({m = 2 \ kg} e {M = 16 \ kg}) e uma mola ({k = 250 \ N/m}) estão dispostos em uma superfície horizontal sem atrito. O sistema oscila em MHS com amplitude de {10 \ cm}. Qual deverá ser o coeficiente de atrito mínimo para que o bloco menor fique na eminência de deslizar sobre o bloco maior ?

Nível de dificuldade: Regular.

Resolução 2 .

Dados:

{m=2 \ kg}

{M=16 \ kg}

{k=250 \ N/m}

{A=10 \ cm = 0,1 \ m}

{ \mu \longrightarrow ? } (eminência de cair).

Para que o bloco menor fique fique em repouso relativo ao bloco maior, deslizando conjuntamente com ele, (na iminência de deslizar sobre bloco maior, mas não deslizando) é necessário que haja uma igualdade entre a força que o bloco maior aplica ao bloco menor (determinada a partir da aceleração) e a força de atrito existente na superfície de contacto entre eles (1ª Lei de Newton).

\displaystyle Diagrama \ do \ corpo \ livre

Como estamos a tratar de um MHS, a força aplicada pelo bloco de baixo ao bloco de cima é:

\displaystyle F_M = m \cdot a_{mhs}

Onde {a_{mhs}} é a aceleração do MHS.

Logo:

\displaystyle F_M = F_a

\displaystyle m \cdot a_{mhs} = \mu \cdot N

Como o bloco {m} não está inclinado nem em relação a horizontal, logo:

\displaystyle N = m \cdot g

Então:

\displaystyle F_M = F_a

\displaystyle \Rightarrow m \cdot a_{mhs} = \mu \cdot m \cdot g

\displaystyle a_{mhs} = \mu \cdot g

Nota: O enunciado não sugere que o bloco deslize, mas sim que ele fique prestes a deslizar. Esta situação só pode ser analisada quando os dois blocos atingem o extremo. Neste ponto a força exercida pela mola é máxima e consequentemente a {a_{mhs}} também é máxima. logo:

\displaystyle a_{mhs} = A \cdot \omega^2

Num sistema massa-mola:

\displaystyle \omega^2 = { \dfrac{k}{m_{sist}}}

Além disso, a frequência angular não depende somente do bloco {m}, mas sim dos dois, pois a mola desloca os dois em conjunto. Então:

\displaystyle \omega^2 = { \dfrac{k}{m + M}}

\displaystyle a_{mhs} = \mu \cdot g

Voltando a igualdade entre as forças, teremos:

\displaystyle A \cdot \omega^2 = \mu \cdot g

\displaystyle A \cdot \dfrac{k}{m + M} = \mu \cdot g

\displaystyle \mu = \dfrac{A \cdot k}{g(m + M)}

\displaystyle \mu = \dfrac{0,1 \cdot 250}{9,8(16 + 2)}

\displaystyle \mu = 0,142

Exercicío 3 Um corpo de {60 \ g}, preso a uma extremidade de uma mola ideal ({k = 3,2 \ N/m}) comprimida de {32 \ cm}, é abandonado do repouso na posição “A” da figura. A partir desse instante o corpo inicia o MHS. Despreze o atrito e adote o ponto de equilíbrio do corpo (ponto O) e sentido para a direita como referencial. Nessas condições, determine a equação da posição e da velocidade desse MHS.

 

Nível de dificuldade: Regular.

Resolução 3 .

 

Dados

{k = 3,2 \ N/m}

{A = 32 \ cm = 0,32 \ m}

{m = 60 \ g = 0,06 \ kg}

O corpo inicialmente se encontra no extremo negativo (de acordo com a figura inicial). Estando neste extremo, de acordo com a situação (mola comprimida) ao ser solto vai movimentar-se para a posição de equilíbrio e continuar a oscilar. Veja o gráfico analítico abaixo:

A equação geral da posição de um MHS é:

\displaystyle x = Asen ( \omega t + \varphi_0)

Considere o gráfico genérico da função {x=sen (\varphi)}.

Para a função {sen} o extremo negativo é atingido para a fase {- \dfrac{ \pi}{2}} ou { \dfrac{3 \pi}{2}}.

Sendo que a oscilação começa a partir do extremo negativo (Ponto A), logo { \varphi_0 = - \dfrac{ \pi}{2}}.

Sabemos que, num sistema corpo-mola:

\displaystyle \omega = \sqrt{ \dfrac{k}{m}}

Então:

\displaystyle \omega = \sqrt{ \dfrac{3,2}{0,06}} = 7,30 rad/s

Logo, substituindo na equação geral, obtemos:

\displaystyle x = 0,32sen \ (7,30 \ t - \dfrac{ \pi}{2}) \ [SI]

A velocidade de um movimento é dada como a derivada da equação da posição, ou seja:

\displaystyle v = \dfrac{dx}{dt}

Logo:

\displaystyle v = \dfrac{d}{dt} \Big[0,32sen \ (7,30 \ t - \dfrac{ \pi}{2}) \Big]

\displaystyle v = 0,32 \cdot 7,30 \cdot \cos \ (7,30 \ t - \dfrac{ \pi}{2})

\displaystyle v = 2,337 \cos \ (7,3 \ t - \dfrac{ \pi}{2}) \ [SI]

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1.2 Exercícios sobre Calor de Transformação e Equilíbrio Térmico (Parte 1)

— 1.2. Calor de Transformação —

Exercício 1. Qual é a quantidade de calor necessária para levar {600\ g} de água da temperatura de {{40} \ ^oC} para o estado de vapor à {{100} \ ^oC}. Utilize o calor específico da água {4190\ J/(kg\cdot K)} e o calor latente de vaporização {2256 \cdot 10^3\ J/kg}.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.
Resolução 1 .

Trata-se de um exercício sobre calorimetria. Queremos saber qual é a quantidade de calor necessária para converter {600\ g} de água à {40 \ ^oC} em vapor.
Temos que converter as unidades das grandezas para o sistema internacional. A massa em {kg}. A temperaturas não precisa ser convertida, pois a variação de temperaturas em {^oC} e em {K} é igual.
Nota: o vapor de água na pressão atmosférica normal, está a uma temperatura de {100 \ ^oC}.

Dados
{Q \longrightarrow?}

{m = 600\ g}

{t_1 = 40 \ ^oC}

{t_2 = 100 \ ^oC}

{c = 4190\ J/(kg\cdot k)}

{l_V = 2256 \cdot 10^3\ J/kg}

Convertemos a massa para quilogramas ({kg}):

\displaystyle m = 600 \ g = 600 \cdot 10^{-3} \ kg

De acordo com o diagrama de transição de fases, na passagem de {40 \ ^oC} líquido {(1)} para vapor a {100 \ ^oC} {(2)} teremos duas quantidades de calor:

{Q_1 = m \cdot c \cdot \Delta t = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1)} – quantidade de calor para variar a temperatura;

{Q_2 = m \cdot l_{V}} – quantidade de calor necessária para evaporar uma massa {m} de substância.

A quantidade de calor necessária para elevar a água à uma certa temperatura para o estado de vapor à {100 \ ^oC} é igual a soma das duas quantidades de calor anteriores. Assim:

\displaystyle Q = Q_1 + Q_2

\displaystyle m \cdot c \cdot \Delta t + m \cdot l_V = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1) + m \cdot l_V

\displaystyle Q = m[c(t_2 - t_1) + l_V]

Substituindo os valores dados, obtemos:

\displaystyle Q = 600 \cdot 10^{-3} \cdot[4190 \cdot (100 - 40) + 2256 \cdot 10^3]

\displaystyle Q = 1504440

\displaystyle Q = 1,5\ MJ

— 1.3. Temperatura e Equilíbrio térmico —

Exercício 2. Mistura-se {25 \ g} de café a {90 \ ^oC} com {80 \ g} de leite a {25 \ ^oC}. Admitindo que não há troca de calor com o recipiente e que os líquidos têm o mesmo calor específico, determine a temperatura final do sistema (café+leite).
NÍVEL DE DIFICULDADE:Regular.
Resolução 2
Trata-se de um exercício de equilíbrio térmico (calorimetria) cujo o objectivo é determinar a temperatura final de um sistema (café-leite) dentro do recipiente.
Sempre que dois corpos são misturados, inicialmente a temperaturas diferentes, haverá sem troca de calor, até que os dois obtenham a mesma temperatura(temperatura de equilíbrio do sistema).
Aplicando o princípio de conservação de energia:

\displaystyle Q_1 + Q_2 + Q_3 + ... + Q_N=0

No caso, só temos quantidades de calor de mudança de temperatura:

\displaystyle Q_i = m \cdot c_i \cdot (t_2-t_1)

OBS: Não se considera a troca de calor com o recipiente pois o enunciado diz que não há troca de calor com o recipiente.

Dados

{m_c=25 \ g}

{t_{1C} = 90 \ ^oC}

{m_l = 80 \ g}

{t_{1l}= 25 \ ^oC}

{t_2-?}

{c_c = c_{l} = c_{agua} = 4190 \ J/(kg \cdot k)}

Como os dois trocam calor, teremos:

{Q_c = m_c \cdot c_c \cdot(t_2 - t_{1c})} – quantidade de calor do café.

{Q_l = m_l C_l \cdot (t_2 - t_{1l})} – quantidade de calor do leite.

Sabemos que:

\displaystyle Q_1+Q_2=0

\displaystyle \Rightarrow m_c \cdot c_c \cdot (t_2-t_{1c}) + m_l \cdot c_l \cdot (t_2-t_{1l})=0

\displaystyle \Rightarrow 25 \cdot 4190 \cdot (t_2- 90^o)+ 80 \cdot 4190 \cdot (t_2 - 25^o)=0

\displaystyle \Rightarrow 104750 t_2 - 9427500 + 335200t_2 - 8380000 = 0

\displaystyle \Rightarrow 104750 t_2 + 335200t_2 = 9427500 + 8380000

\displaystyle \Rightarrow 439950t_2 = 17807500

\displaystyle \Rightarrow t_2=\dfrac{17807500}{439950}

\displaystyle \Rightarrow t_2 = 40,5 \ ^oC

A temperatura de equilíbrio do sistema (café+leite) é igual a {T_f=41 \ ^oC}.

Exercício 3 .Quando {600 \ g} de substância {x} a {60 \ ^{o}C} são introduzidos num calorímetro contendo {80 \ g} de água a {15 \ ^{o}C} a temperatura de equilíbrio resultante é {19 \ ^{o}C}. Quando {90 \ g} de água a {50 \ ^{o}C} são vertidos sobre {500 \ g} de substância {x} a {15 \ ^{o}C} , contidos no mesmo calorímetro da situação anterior, a temperatura de e equilíbrio é de {36 \ ^{o}C}. Calcule o calor específico do substância {x}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução  3 .

O exercício em questão é sobre calorimetria. Inicialmente, em um calorímetro, com água com massa de { m_{AA} = 80 \ g } e temperatura { t_{1{AA}}= 15 \ ^{o}C }, é introduzido uma substância x, de massa { m_{Ax} = 600 \ g } e a temperatura de { t_{1Ax} = 60 \ ^{o}C }. Esta mistura atinge o equilíbrio térmico à temperatura de { \theta_{1}= 19 \ ^{o}C }.

Noutra situação, no mesmo calorímetro, tem a substância {x} de massa { m_{B{x}}=500 \ g } a temperatura de {t_{1{Bx}}=15 \ ^{o}C}, e nele verte-se água de massa { m_{B{A}}=90 \ g } e temperatura { t_{1{BA}}=50 \ ^{o}C } . A temperatura de equilíbrio desta mistura é {\theta_{2}=36 \ ^{o}C }.

Portanto, temos duas situações (A e B) de mistura de água com a substância {x}.

As grandezas associadas as substâncias, água e x, no inicio terão índice 1 e no fim índice 2. Mas como temos duas situações. Vamos usar A e ) para distingui-las.

No que o o exercício fala da existência do calorímetro e não pede para desprezar o seu efeito.

Dados

{ m_{Ax}=600 \ g = 0,6 \ kg}

{ t_{1Ax}=60 \ ^{o}C}

{ m_{AA}=80 \ g \ = 0,08 \ kg}

{ t_{1AA}= 15 \ ^{o}C}

{\theta_{1} = 19 \ ^{o}C }

{c_A = 4190 \ J / kg \cdot K }

{m_{BA} = 90 \ g = 0,09 \ kg}

{t_{1{Bx}}=50 \ ^{o}C}

{m_{2{Bx}}=500 \ g = 0,5 \ kg}

{t_{1{Bx}}=15 \ ^{o}C}

{\theta_{2}=36 \ ^{o}C}

Calcularemos o calor específico do substância.

Para ambas as situações (A e B), a lei de conservação de energia cumpre-se, considerando os sistema isolados. Como não se despreza a capacidade calorífica do calorímetro disponível, então consideremos também a quantidade de calor que este absorve em ambos os casos. Logo temos:

Situação A:

\displaystyle Q_{Ac}+ Q_{A{A}}+Q_{Ax}=0

{Q_{Ac}} – quantidade de calor do calorímetro na situação A ({ Q_{{Ac}}= C_c \cdot (\theta - t_{1{Ac}})}).

{Q_{A{A}}} – quantidade de calor da agua na situação A ({Q_{A{A}}= m_{A{A}} \cdot c_A \cdot (\theta - t_{1AA})}).

{Q_{Ax}} – quantidade de calor na substância x na situação A ({Q_{Ax}= m_{A{x}} \cdot c_x \cdot (\theta - t_{1{Ax}})}).

Onde:

{C_c} – Capacidade térmica do calorímetro.

{t_{1{Ac}}} – Temperatura inicial do calorímetro na situação A (que é a temperatura inicial na água, que estava inicialmente no calorímetro). Então: {t_{1{Ac}} = t_{1{AA}} = 15 \ ^oC}, (no caso B, estava inicialmente a substância x no calorímetro; {t_{1{Bc}} = t_{1{Bx}} = 15 \ ^oC} ).

Então, na situação A:

\displaystyle Q_{Ac}+ Q_{A{A}}+Q_{Ax}=0

\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (\theta-t_{1{Ac}})+ m_{A{A}} \cdot c_A \cdot (\theta-t_{1{AA}})+ m_{A{x}} \cdot c_x \cdot (\theta-t_{1{Ax}}) = 0

Há duas incógnitas: {C_c} e {c_x}.

Substituindo os dados, obtemos:

\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (19-15)+0,08 \cdot 4190 \cdot (19-15)+0,6 \cdot c_x \cdot (19-60) = 0

\displaystyle \Rightarrow 4C_c+1340,8-24,6 c_x = 0 \ \ \ \ \ (1)

Como é apenas uma equação e duas incognitas, precisamos formar mais uma equação.Neste caso, na situação B, temos:

\displaystyle Q_{Bc}+ Q_{B{A}}+Q_{Bx}=0

\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (\theta-t_{1{Bc}})+m_{B{A}} \cdot c_A \cdot (\theta-t_{1{BA}})+ m_{B{x}} \cdot c_x \cdot (\theta-t_{1{Bx}}) = 0

\displaystyle \Rightarrow C_c (30-15)+0,09 \cdot 4190 \cdot (30-50)+0,5 \cdot c_x (30-15) = 0

\displaystyle \Rightarrow 15C_c - 7542 + 7,5c_x = 0 \ \ \ \ \ (2)

Combinando as equações 1 e 2, obtemoS:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 4C_c + 1340,8 - 24,6 c_x = 0\\ 15C_c - 7542 + 7,5c_x = 0\\ \end{array}\right.

Para resolver este sistema , podemos usar o método de substituição. Isolaremos {C_c} na primeira equação e substituiremos na segunda:

\displaystyle 4C_c + 1340,8 - 24,6 c_x = 0

\displaystyle \Rightarrow 4C_c = 24,6 c_x - 1340,8

\displaystyle \Rightarrow C_c = \dfrac{24,6 c_x - 1340,8}{4}

\displaystyle \Rightarrow C_c = \dfrac{24,6}{4} \cdot {c_x} - \dfrac{1340,8}{4}

\displaystyle \Rightarrow C_c = 6,15 c_x - 335,2

Substituindo este resultado na segunda equação do sistema anterior, obtemos:

\displaystyle 15(6,15c_x - 335,2) - 7542 + 7,5c_x = 0

\displaystyle \Rightarrow 92,25c_x - 5028 - 7542 + 7,5c_x = 0

\displaystyle \Rightarrow 92,25c_x+7,5c_x = 5028 + 7542

\displaystyle \Rightarrow 99,75c_x = 12570

\displaystyle \Rightarrow c_x = \dfrac{12570}{99,75}

\displaystyle \Rightarrow c_x \approx 126 \ J / (kg \cdot \ ^oC)

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O início do processo registal de bens imóveis. (Parte I)

O início do processo registal depende do pedido das partes interessadas, artigo 4.º do CRP. Em regra os documentos apresentados para registo devem ter a força probatória legalmente exigida, excepto quando apenas se apresente para titular um facto judicial, isto é, através de uma simples fotocópia não autenticada de uma certidão judicial.

Os títulos para registo, juridicamente, são os documentos autenticados pela sua forma e conteúdo, podem considerar-se suficientes tanto para justificar a existência de um direito a favor de um sujeito sobre um imóvel, como para que seja lavrado o registo que respeite a esse bem e a esse direito. Art.º 93.º, Lei n.º 1/97).

Os documentos que servem de base para o registo devem ser anotados no Livro-Diário da Conservatória, ou seja, é através dessa anotação que os documentos constantes no impresso ganham força probatória, no qual a requisição é sempre mais rigorosa possível porque dela depende a realização do pedido de registo em conformidade com o que é requerido pelo interessado.

Com a anotação da apresentação fica definida a prioridade dos factos sujeitos a registo e os direitos que se pretendem inscrever, isto é, a anotação dos factos sujeitos a registo corresponde a uma apresentação por cada um dos factos, no entanto, cada acto titulado dever-se-á efectuar com a anotação no Diário. Sendo que, por cada registo lavrar-se-á uma inscrição ou um averbamento.

Inscrição: visa definir a situação jurídica dos prédios, ou seja, a essência da inscrição é a de recolher e publicitar a constituição, modificação, reconhecimento e transmissão de um direito real.

Averbamento: é uma declaração acessória feita à margem do registo e é destinada a actualizar o conteúdo do mesmo registo.

Por força do princípio da especialidade, as partes interessadas, na requisição dos actos de registo, devem discriminar os factos que pretendem submeter a registo de forma a possibilitar não só a apresentação de cada facto, mas também que se lavre uma inscrição por cada um desses factos. O princípio da especialidade em sede do sistema registal, estabelece que todo o imóvel objecto de registo deve estar perfeitamente individualizado ou descrito, permitindo desta forma a exacta localização e identificação do imóvel.

Cada negócio registável deve corresponder a uma inscrição própria e não deve acumular-se num único extracto sob pena de incorrer a uma desconformidade com os títulos que lhe serviram de base, podendo ser rectificado nos termos prescritos nos artigos 226.º e ss do CRP.

OBS.: na redacção das anotações de apresentação não são aconselháveis abreviaturas , aspas e/ou palavras iguais.

Nota: vários autores usam a forma “registral”, também correcta, mas com base ao Dicionário da Academia das Ciências diz ser a forma brasileira; e para este artigo utilizou-se a expressão “registal” que faz parte do português europeu.

Fonte bibliográfica: Decreto Lei N.º 47/611, De 28 de Março De 1967 (Código do Registo Predial Angolano), no qual 33 artigos foram revogados pela Lei N.º 1/97, De 17 De janeiro (Lei da Simplificação e Modernização do Registo Predial, Comercial e Serviços Notarial).

1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 2)

Exercício 4 Considere o micro-sistema abaixo formado por duas pequenas peças metálicas, I e II, presas em duas paredes laterais. Observamos que na temperatura de {16 \ ^oC}, a peça I, tem tamanho igual {2 \ cm}, enquanto que a peça II possui apenas {1 \ cm} de comprimento. Ainda nesta temperatura as peças estavam afastadas por uma pequena distância {d} igual à {6 \cdot 10^{-3}\ cm}. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear da peça I é igual a {4 \cdot 10^{-5}(^oC)^{-1}} e que o coeficiente de dilatação linear dada peça II é igual à {5 \cdot 10^{-5}(^oC)^{-1}}, qual deverá ser a temperatura do sistema, em graus Celsius, para que as duas peças estejam afastadas a uma distância igual ao dobro de {d}?

 

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 4 .
Trata-se de um exercício sobre dilatação linear, quando um corpo o sistema é submetido a variações de temperaturas.A figura do enunciado, na situação 1 apresenta o fenómeno quando o sistema estava em uma temperatura {t_o} e as peças tinham comprimentos {l_{o1}} e {l_{o2}}, respectivamente, e estavam separadas a uma distância {d}.

 

A situação 2, representada na figura a seguir, apresenta o fenómeno de dilatação, quando o sistema sofre variação de temperatura {t_o} para {t} e as dimensões das peças também variam de {l_{o1}} para {l_1} e de {l_{o2}} para {l_2}, respectivamente, e a distâncias entre as peças aumenta de {d} para {2d}.

Dados

{t_o =16 \ ^oC}

{l_{o1} = 2 \ cm}

{l_{o2} = 1 \ cm}

{d = 6 \cdot 10^{-3} \ cm}

{\alpha_1 = 4 \cdot 10^{-5} \ ^oC^{-1}}

{ \alpha_2 = 5 \cdot 10^{-5} \ ^o C^{-1}}

{t \longrightarrow ?} {d' = 2d}

Temos a equação de dilatação linear que é:

\displaystyle \Delta l = \alpha l_o\Delta t

A equação da dilatação para as peças será:

\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccccc} \Delta l_1 &=& \alpha_1 l_{o1}\Delta t\ \ (1)\\ \Delta l_2 &=& \alpha_2 l_{o2}\Delta t\ \ (2) \end{array} \right.

Para que as peças estejam separadas a uma distância igual ao dobro de {d}, é necessário que as duas peça se comprimam a uma distância total igual a {d}, como vimos na figura anterior.

Assim é suficiente que:

\displaystyle \Delta l_1 = l_1 - l_{o1}\ \ \ e\ \ \Delta l_2 = l_2 - l_{o2}

Sabemos que: {\Delta l_1+ \Delta l_2=-d}. A diminuição total de comprimento deve ser d. O sinal de menos (-) aparece devido ao facto de estarmos a lidar com uma diminuição de comprimento (variação negativa). Então:

\displaystyle -d = \alpha_1 l_{o1}\Delta t + \alpha_2 l_{o2}\Delta t

\displaystyle \Rightarrow -d = \Delta t (\alpha_1 l_{o1} + \alpha_2 l_{o2})

Isolando {\Delta t} na equação, obtemos:

\displaystyle \Delta t = \dfrac{-d}{\alpha_1 l_{o1} + \alpha_2 l_{o2}}

Substituindo os valores:

\displaystyle \Delta t = \dfrac{-6 \cdot 10^{-3} \cdot 10^{-2} }{4 \cdot 10^{-5} \cdot 2 \cdot 10^{-2} + 4 \cdot 10^{-5} \cdot 1 \cdot 10^{-2} }

\displaystyle \Delta t = -46,15 \ ^oC

Sabemos que a variação da temperatura é dada por:

\displaystyle \Delta t = t - t_o

\displaystyle ou \ t - t_o = \Delta t

Isolando {t}, tem-se:

\displaystyle t = \Delta t + t_o

Substituindo os valores de {\Delta t} e {t_o}, tem-se:

\displaystyle t = -46,15 \ ^oC + 16 \ ^oC

\displaystyle t = -30,15 \ ^oC

Exercício 5 Dois corpos, A e B, de massas { m_{A} = 600 \ g } e { m_{B} = 300 \ g }, são aquecidos separadamente por uma mesma fonte que lhes fornece calor a razão de { 300 \ cal/min}. O gráfico a seguir mostra a variação da temperatura { \theta } dos corpos em função do tempo {t} para o aumento dessa temperatura.

 

Determine:

  1. A relação entre os calores específicos das substâncias que constituem os corpos { (c_{B}/c_{A})} .
  2. Depois de quanto tempo o corpo A atinge a temperatura de { 90 \ ^{o}C }.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .O problema em questão está relacionado a calorimetria. São dados dois corpos A e B que são aquecidos separadamente através de uma mesma fonte que fornece calor a razão de { 300 \ cal/min }. Esta quantidade de calor por unidade de tempo que a fonte fornece aos corpos representa a potência da fonte, isto é: { P_{F}=300 \ cal/min }. Então temos os seguintes dados.

 

Dados

{ m_{A}=600 \ g}

{ m_{B}=300 \ g}

{ P_{F}=300 \ cal/min}

  1. Buscaremos as equações da quantidade de calor para os corpos A e B.Da calorimetria sabemos que:

    \displaystyle Q=m \cdot c \cdot \Delta \theta \ \ \ \ \ (9)

    Onde:
    m – massa da substância;
    c – calor específico da substância;
    { \Delta \theta} = {(\theta_{f} - \theta_{i})} – variação de temperatura.

    Então temos para o corpo A:

    \displaystyle Q_{A}=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA}) \ \ \ \ \ (10)

    Para o corpo B:

    \displaystyle Q_{B}=m_{B} \cdot c_{B} \cdot(\theta_{fB} - \theta_{iB}) \ \ \ \ \ (11)

    Por outro lado, sabe-se que ambos os corpos, A e B, são aquecidos por uma mesma fonte com potencia { P_{F}=300 \ cal/min}. De acordo com gráfico, os dois corpos são aquecidos durante um intervalo de tempo { \Delta t=10 \ minutos }.

    Sendo assim, os dois corpos recebem a mesma quantidade de calor, isto é, { Q_{A}=Q_{B}=P_F \cdot \Delta t}.

    Dividindo a equação 5 pela 5, obtemos:

    \displaystyle \dfrac{Q_{B}}{Q_{A}}= \dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{c_{B}}{c_{A}} \cdot (\dfrac{\theta_{fB}-\theta_{iB}}{\theta_{fA}-\theta_{iA}})

    \displaystyle \Rightarrow 1= \dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{c_{B}}{c_{A}} \cdot (\dfrac{\theta_{fB} - \theta_{iB}}{\theta_{fA} - \theta_{iA}})

    Isolando a razão { \dfrac{c_{B}}{c_{A}}}, obtemos:

    \displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_A}= \dfrac{1}{\dfrac{m_{B}}{m_{A}} \cdot \dfrac{\theta_{fB} - \theta_{iB}}{\theta_{fA} - \theta_{iA}}}

    Aplicando a regra de divisão de frações, obtemos:

    \displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}= \dfrac{m_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})}{m_{B} \cdot(\theta_{fB} - \theta_{iA})}

    O gráfico inicial dá-nos para o corpo A:

    \displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iA}=10 \ ^oC\\ \theta_{fA}=30 \ ^oC\\ \end{array}\right.

    Para o corpo B:

    \displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iB}=20 \ ^oC\\ \theta_{fB}=30 \ ^oC\\ \end{array}\right.

    Substituindo os dados, obtemos:{ \dfrac{c_{B}}{c_{A}}= \dfrac{600 \cdot(30-10)}{300 \cdot(30-20)}}

    \displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}=4

    Então, a razão entre os calores específicos das substâncias que constituem os corpos é:

    \displaystyle \dfrac{c_{B}}{c_{A}}=4

  2. Para determinamos o tempo em que o corpo A atinge a temperatura de {90 ^oC}, precisaremos conhecer em primeiro lugar o seu calor específico({c_A}). Vamos obter o valor de { c_{A}} (calor especifico do corpo A) fazendo a análise através do gráfico.Para o corpo A:

    \displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} \theta_{iA}=10 \ ^oC \\ \theta_{fA}=30 \ ^oC \\ \end{array}\right.

    Consideremos a equação:

    \displaystyle Q_{A}=m_{A} \cdot c_{a} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})

    Entretanto, sabemos que:

    \displaystyle P_{F}=\dfrac{Q_{A}}{\Delta t}

    Isolando {Q_{A}}, temos:

    \displaystyle Q_{A}=P_{F} \cdot \Delta t

    Neste caso:

    \displaystyle P_{F} \cdot \Delta t=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})

    Onde: { \Delta t=(t_{f} - t_{i})} – Intervalo de tempo.

    Então:

    \displaystyle P_{F} \cdot(t_{f} - t_{i})=m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})

    Isolando { c_{A}}:

    \displaystyle c_{A}= \dfrac{P_{F} \cdot(t_{f} - t_{i})}{m_{A}(\theta_{fA} - \theta_{iA})}

    Substituindo os dados, obtemos:

    \displaystyle c_{A}= \dfrac{300 \cdot(10-0)}{600 \cdot(30-10)}=0,25

    \displaystyle c_{A}=0,25 \ cal/g \cdot \ ^oC

    Obs: Não fizemos conversão pelo SI, mas determinamos a unidade equivalente.

    Agora, analisando para um novo intervalo de tempo desconhecido, buscamos o tempo necessário para que o corpo A atinja a temperatura de { 90 \ ^oC}, isto é, { \theta_{fA}=90 \ ^oC}.

    Sabemos que:

    \displaystyle Q_{A} =m_{A} \cdot c_{A} \cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})

    \displaystyle \Rightarrow P_{F} \cdot(t_{F} - t_{i})=m_{A} \cdot c_{A}\cdot(\theta_{fA} - \theta_{iA})

    Isolando o intervalo de tempo { t_{f} - t_{i}}, obtemos:

    \displaystyle (t_{f} - t_{i})= \dfrac{m_{A} \cdot c_{A}(\theta_{FA} - \theta_{iA})}{P_{F}}

    Substituindo os dados, obtemos:

    \displaystyle (t_{f} - t_{i})= \dfrac{600 \cdot 0,25 \cdot(90-10)}{300}

    \displaystyle ( t_{f} - t_{i})=40 \ min

    Como no inicio, de acordo ao gráfico, o corpo A em { t_{i}=0} tem temperatura { \theta_{iA}=10 \ ^oC}, como substituindo acima, então temos:

    \displaystyle t_{f}- 0 =40 \ min

    \displaystyle t_{f}=40 \ min

    Portanto, o corpo A atinge de { \theta_{fA}=90 \ ^oC} depois de { 40 \ min} sendo aquecido pela fonte de potencia { P_{F}=300 \ cal/min}.

Exercício 6 Como resultado de um aumento de temperatura de {36 \ ^oC}, uma barra com uma rachadura no centro dobra para cima (ver figura abaixo). Se a distância fixa {L_o} é de {3,78\ m} e o coeficiente de dilatação linear da barra é de {26 \cdot 10^{-6} \ ^oC^{-1}}, determine a altura {x} do centro da barra.

 

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 6Trata-se do fenómeno de dilatação térmica devido a variação de temperatura. Quando a barra se dilatar, o seu tamanho (comprimentos) aumenta. Fruto desse aumento de comprimento e do orifício já existente, a barra divide-se em duas partes iguais. Se a barra dilatada tem comprimento final { L }, então cada uma das partes (metades) da barra dilatada mede { \dfrac{L}{2} }.

 

Na figura acima, designamos:

A – ponto fixo de ligação da barra a uma extremidade:

B – centro da distancia fixa { L_o };

C – ponto onde, acima do centro, onde a barra se dobra.

{Dados}

{ \Delta t = 36 \ ^oC}

{ L_o = 3,78 \ m}

{ \alpha = 26 \cdot 10^{-6} \ ^oC^{-1}}

{ x \longrightarrow? }

Do triângulo ABC, é válido o Teorema de Pitágoras:

\displaystyle \Big( \dfrac{L}{2} \Big)^2 = x^2 + \Big( \dfrac{L_o}{2} \Big)^2

\displaystyle \Rightarrow \dfrac{L^2}{4} = x^2 + \dfrac{ L_o^2 }{4}

\displaystyle x^2 = \dfrac{L^2}{4} - \dfrac{L_o^2}{4} = \dfrac{L^2 - L_o^2 }{4}

Isolando {x}:

\displaystyle x = \sqrt{ \dfrac{ L^2 - L_o^2 }{4}} \Rightarrow x= \dfrac{ \sqrt{L^2 - L_o^2}}{\sqrt{4}}

\displaystyle x = \dfrac{\sqrt{L^2 - L_o^2}}{2} \ \ \ \ \ (12)

Antes da variação da temperatura a barra tinha o comprimento igual à {L_o}. Depois da variação da temperatura a barra passou a ter um comprimento igual à {L}.

Pela lei da dilatação linear, temos:

\displaystyle \Delta L = \alpha L_o \Delta T

Com { \alpha } em { ^oC^{-1}} e { \Delta t } em { ^o C }. A partir desta equação podemos determinar {L}.

Como { \Delta L = L - L_o }, então:

\displaystyle \Delta L = \alpha L_o \Delta T \Rightarrow L - L_o = \alpha L_o \Delta T

\displaystyle L = \alpha L_o \Delta t + L_o \Rightarrow L = L_o (\alpha\Delta t + 1) \ \ \ \ \ (13)

Substituindo 13 em 12, tem-se:

\displaystyle x = \dfrac{ \sqrt{L^2 - L_o^2} }{2} \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{[L_o (\alpha\Delta t + 1)]^2 - L_o^2}}{2}

\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{L_o^2(\alpha\Delta t + 1)^2 - L_o^2}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{\sqrt{L_o^2[(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1]}}{2}

\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{\sqrt{L_o^2}\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}}{2} \Rightarrow x= \dfrac{L_o\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}}{2}

\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac{L_o}{2}\cdot\sqrt{(\alpha\Delta t + 1)^2 - 1}

Substituindo os valores dados, obtemos:

\displaystyle x = \dfrac{3,78 \ m}{2} \cdot \sqrt{(26 \cdot 10^{-6} \cdot 36 \ + 1)^2 - 1}

\displaystyle \Rightarrow x = 0,082 \ m \ \Rightarrow x= 8,2 \ cm

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Noções fundamentais do registo predial.

O registo predial é um ramo especial do Direito Administrativo que rege a organização e o funcionamento dos serviços do Estado, incumbidos de assegurar a protecção de terceiros e a publicidade da situação jurídica de um imóvel. Tal como os demais sistemas de registo público, o registo predial faz parte da chamada Administração Pública de Direito Privado, inserindo-se no conjunto de normas jurídicas que certificam e dão boa-fé a determinados actos jurídicos de natureza privada.

Noção: o registo predial destina-se essencialmente em dar publicidade à situação jurídica do prédio ou a exteriorizar a existência de direitos reais, isto é, é através da informação disponibilizada pelas conservatórias do registo predial (órgão competente), que as partes interessadas poderão saber qual é a composição de um determinado prédio, a quem o pertence e que tipo de encargos incidem sobre ele. Mediante o ordenamento jurídico angolano, o registo predial tem como lei própria e aplicável o Decreto Lei n.º 47/611 de 28 de Março de 1967.

De acordo com Ataíde, (2018, p.14):

A noção de “prédio” no direito do registo predial não se deve basear no conceito civil do art. 204.º do CC. O conceito de prédio deve ser diferenciado do destino de prédio, isto é, prédio é uma parte delimitada do solo, juridicamente autónoma. Diferente do que acontece com o destino dos prédios onde são classificados da seguinte forma: prédios rústicos, os que se destinam a prática agrícola e pecuária; prédios urbanos, os que se destinam a fins habitacionais e comerciais; prédios mistos, os que partilham simultaneamente todas as utilizações mencionadas sem que nenhuma delas se assuma como principal.

É importante referir que, todo e qualquer sistema procedimental é regido por princípios que os norteiam e o registo predial não foge dessa realidade, no qual encontramos os seguintes princípios:

*Princípio da instância: o princípio da instância, tipificado no artigo 4.º do CRP, estabelece que o registo não deve ser feito de forma oficiosa, mas através do requerimento dos interessados, isto é, o processo de registo inicia-se com o correspondente pedido. O pedido é formulado por escrito, sendo efectuado pessoalmente pelas partes interessadas.

*Princípio da legalidade: o artigo 5.º do CRP, estabelece que os actos de registo são objecto de controlo do conservador, ou seja, é da responsabilidade do conservador apreciar a viabilidade do pedido à luz das normas legais aplicáveis, cabendo-lhe examinar os documentos apresentados que por sua vez podem ser recusados ou aceites provisoriamente por dúvidas.

*Princípio da prioridade do registo: o princípio da prioridade do registo transparece que o direito inscrito em primeiro lugar prevalece, por ordem da respectiva data, isto é, na ocorrência de inscrições de direitos incompatíveis incidentais sobre um mesmo prédio, prevalece o direito que foi inscrito em primeiro lugar, descartando qualquer título que tenha originado o segundo registo. Art. 9.º do CRP.

*Princípio do trato sucessivo: o princípio do trato sucessivo é o princípio primordial do registo predial, no qual propõe-se reflectir toda a história jurídica do prédio, desde a sua inscrição, titulação, alienação ou oneração. Art. 13.º, n.º1 do CRP.

O registo predial tem por objectivo os factos jurídicos que permitem a segurança do comércio jurídico imobiliário, cuja identificação de direitos relativos a ónus da prova constituem o objecto do registo. A sua finalidade baseia-se igualmente em dar publicidade aos direitos inerentes às coisas imóveis.

Que não nos pareça desajustado dizer que, quanto aos efeitos de inscrição o sistema português e o sistema angolano enquadram-se no sistema de inoponibilidade (sistema francês), que é caracterizado pelo registo de documentos ou registo declarativo. Este tipo de sistema consiste no facto do surgimento do direito real não estar intrínseco ao registo, mas sim, com o surgimento do título (documento que representa um valor imobiliário).

Nota: para a explanação desta matéria aplicou-se o direito comparado entre a doutrina portuguesa e a legislação angolana que assemelham-se à determinadas situações jurídicas.

Fonte bibliográfica:

ATAÍDE, Rui Paulo de, estudo de registo predial, noções fundamentais, efeitos substantivos do registo predial, Lisboa, AAFDL, 2018.

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