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Mecânica Quântica – Introdução

07/31/2015 8:22 am / 1 comentário em Mecânica Quântica – Introdução

— 20. Introdução à Mecânica Quântica —

Ao perscrutarem o que se escondia nas escalas mais pequenas da Natureza os físicos do final do século XIX foram obrigados a repensar muito sobre o que achavam que sabiam sobre o mundo que os rodeava.

É sempre difícil escolher o ponto de viragem no que diz respeito a mudanças de paradigma, mas acho que não é muito errado se associarmos o início da Teoria Quântica à função ${J(T,\nu)}$ derivada por Planck.

No que segue vamos fazer uma muito breve introdução histórica à Mecânica Quântica.

— 20.1. Breve História da Mecânica Quântica —

— 20.1.1. Radiação de Corpo Negro —

Por argumentos puramente termodinâmicos Kirchhoff havia sido capaz de demonstrar que para um corpo negro a energia total emitida dependia somente da temperatura e frequência. Simbolicamente ${E=J(T,\nu)}$ .

Após este primeiro avanço, que apesar de ser parcial não pode de modo algum ser menosprezado, ficou como trabalho para a comunidade de físicos derivar qual a expressão analítica de ${J(T,\nu)}$ .

Aqui as coisas complicaram-se ligeiramente porque os físicos tinham duas expressões analíticas. Uma, a Lei de Rayleigh-Jeans, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito baixos e a Lei de Wien, que na verdade não era uma lei, mas sim um palpite, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito altos.

Este estado de coisas não era satisfatório para a comunidade de físicos e a busca de uma única expressão analítica que descrevesse a radiação de corpo negro em ambos os regimes de frequência assim como nos regimes intermédios continuava.

Posteriormente temos a entrada em cena de Max Planck que consegue derivar uma única expressão que se adequava a todos os resultados experimentais. Para conseguir tal feito Planck teve que admitir que um corpo negro era composto por osciladores cuja energia só podia ser emitida ou absorvida em múltiplos de uma quantidade universal.

Não obstante este brilhante resultado teórico, nos primeiros tempos Planck pensava que a sua arrojada hipótese nada mais era que um truque matemático que lhe permitia derivar a expressão correcta e que os osciladores por ele introduzidos eram meros auxiliares de cálculo e não tinham uma existência física real.

— 20.1.2. Efeito Fotoeléctrico —

Através de estudos experimentais por Hertz ficou demonstrado sem qualquer margem para dúvidas que quando a radiação electromagnética incide num material metálico é possível libertar cargas eléctricas da superfície do material. Pouco tempo depois Hallwachs comprovou que as cargas emitidas eram negativas e finalmente Thompson demonstrou que as cargas emitidas eram electrões.

O último passo dado na compreensão experimental do efeito fotoeléctrico foi dado por Lenard que demonstrou que os electrões libertados pela radiação electromagnética tinham as seguintes propriedades:

A energia cinética dependia da frequência da radiação emitida.
A energia cinética não dependia da intensidade da radiação emitida
Existia um valor mínimo de frequência que permitia a libertação de electrões.

Segundo os preceitos da teoria clássica do electromagnetismo todas estas propriedades são totalmente incompreensíveis. A resolução deste conflito entre teoria e resultados experimentais era, sem dúvida alguma, algo que necessitaria da introdução de novas ideias na Física Teórica.

Inspirado no trabalho de Planck, Einstein demonstrou em primeiro lugar que a variação de entropia na radiação de um corpo negro era análoga à variação de entropia de um gás ideal composto por partículas independentes. Ou seja, a radiação electromagnética tinha para algumas das suas manifestações um carácter granular. Isto quer dizer que não só a radiação electromagnética era emitida e absorvida discretamente, como Planck tinha suposto, mas que também se propagava em pacotes discretos de energia.

Após isto Einstein assume como válida a hipótese de Planck que a energia de cada oscilador de radiação electromagnética é múltipla de uma constante universal e torna a explicação de todos os resultados experimentais associados ao efeito fotoeléctrico um exercício trivial.

Podemos resumir a contribuição de Einstein para a resolução desta questão dizendo que deu um carácter corpuscular a uma entidade que até então tinha um carácter ondulatório (como sempre a história verdadeira é um bocado mais complicada, mas por questões de brevidade vamos fingir que de facto é assim).

Estes resultados inspiraram um jovem físico francês, de Broglie, que propôs que se entidades físicas que tinham um carácter ondulatório podiam ter um carácter corpuscular, também entidades físicas que tinham um carácter corpuscular poderiam ter um carácter ondulatório.

Esta previsão foi comprovada experimentalmente através da observação de padrões de difracção obtidos com feixes de electrões.

— 20.2. Primeira Teoria Quântica —

A chamada Primeira Teoria Quântica era na verdade semi-clássica: um sistema de proposições ad hoc que incorporavam pressupostos clássicos e a sua respectiva modificação de modo a que os resultados experimentais da escala atómica pudessem ser compreendidos no novo esquema teórico que estava a nascer.

A figura mais marcante é sem dúvida alguma Niels Bohr, e as prescrições mais marcantes dessa altura são os seus princípios.

Dos vários que ele formulou vamos apenas concentrar-nos no chamado Princípio da Complementaridade que diz que ao medir as propriedades de um dado sistema físico se observa o seu carácter ondulatório ou então se observa o seu carácter corpuscular.

Este princípio é necessário uma vez que sempre que se tentava observar experimentalmente simultaneamente o carácter ondulatório e corpuscular de uma entidade quântica tal era impossível ainda que teoricamente nada havia que impedisse isso.

— 20.3. Novos resultados, novas concepções —

Após a introdução de carácter mais popular que fizemos nas secções anteriores à Teoria Quântica vamos agora expor de forma mais estruturada a génese da teoria quântica.

Sabemos que quando realizamos uma experiência com um sistema físico de forma a determinarmos qual o valor de uma determinada grandeza o que nós estamos de facto a fazer é a interagir com o sistema. De uma forma ligeiramente mais formal vamos dizer:

O acto de efectuarmos uma medição num sistema físico introduz uma perturbação nos sistema.

Até agora nós temos utilizado o conceito de sistema mecânico na nossa análise de sistemas físicos. Olhando de forma crítica para esse conceito apercebem-nos do seguinte:

Em alguns casos a perturbação pode tornar-se tão pequena quanto se queira. Ou seja, facto de existir um limite de exactidão para o aparelho de medição que estamos a usar é inerente ao aparelho que está a ser utilizado e não à teoria física que sustenta a motivação para a nossa experiência.
Existem algumas perturbações cujo efeito não pode ser desprezado. Ainda assim podemos calcular exactamente qual o valor dessa perturbação e compensá-lo no valor da quantidade que está a ser medida.

Assim podemos dizer que a nossa Teoria da Mecânica Clássica é causal e determinista.

Não obstante os seus inúmeros sucessos a nossa teoria clássica deparou-se com algumas nuvens negras:

Radiação do corpo negro.
Efeito fotoeléctrico.
O princípio de combinação de Rydberg?Ritz.
A existência e estabilidade dos átomos
A experiência de Stern-Gerlach.
A difracção de electrões.
…

A persistência destes resultados experimentais e o falhanço em acomodá-los na teoria clássica indicava que era necessário efectuar uma revolução dos conceitos utilizados na Física:

Entidades corpusculares evidenciavam um comportamento aleatório.
Entidades ondulatórias evidenciavam um comportamento corpuscular.
A existência de um comportamento estatístico em fenómenos atómicos e sub-atómicos que parecia ser inerente à Natureza.
A necessidade de se repensar o acto de medição visto começar a ser mais evidente que algumas perturbações não se podiam fazer tão pequenas quanto se queria.
…

— 20.4. A Experiência da Dupla Fenda —

Para tornar mais concreta a discussão anterior vamos olhar com mais cuidado para uma experiência que demonstra muito bem o choque entre as duas concepções que temos vindo a discutir.

— 20.4.3. Duas Fendas e Partículas —

Imaginemos que temos uma situação como a retratada na figura abaixo mas desta vez o que incide nas fendas não são ondas mas sim partículas.

Nesta situação as partículas passam pela fenda 1 ou pela fenda 2. As partículas que passam pela fenda 1 são responsáveis pela curva de probabilidades ${P_1}$ enquanto que as partículas que passam pela fenda 2 são responsáveis pela curva de probabilidades ${P_2}$ . A curva de probabilidades resultante ${P_{12}}$ é simplesmente a soma das curvas ${P_1}$ e ${P_2}$ .

— 20.4.4. Duas Fendas e Ondas —

Se fizermos passar uma onda por duas fendas o que se obtém é:

Neste caso a intensidade das ondas é a quantidade que interessa estudar. Temos a curva de intensidades ${I_1}$ que é causado pela fenda 1 e a curva de intensidades ${I_2}$ que é causada pela fenda 2. A intensidade resultante no entanto é ${I_{12}=|h_1+h_2|^2= I_1+2I_1I_2 \cos \theta}$ . O último termo é responsável pela interacção da onda proveniente da fenda 1 com a onda proveniente da fenda 2. Assim sendo é este termo que é responsável pelo padrão de interferência.

— 20.4.5. Duas Fendas e Electrões —

Agora que estamos familiarizados com o comportamento de ondas e partículas vamos estudar o movimento de raios de electrões a passar por duas fendas. Pelo que se sabe dos electrões eles são partículas e como tal esperamos encontrar um comportamento igual ao representado na figura abaixo. No entanto isto é o que a Natureza tem para nós:

No caso dos electrões temos novamente que pensar em termos de curvas de probabilidades e curvas de probabilidades são inerentes ao conceito de partículas. Contudo o que nós observamos é um padrão de interferências e isso é inerente a ondas…

Para podermos explicar os padrões que vemos temos que assumir que a cada probabilidade ${P_i}$ está associada uma amplitude de probabilidade ${\phi_i}$ . Para calcularmos a probabilidade devemos calcular o módulo quadrado da amplitude de probabilidade ${P_i=\phi_i^2}$ . Assim antes de mais devemos calcular a soma da amplitude de probabilidades de passar pela fenda ou de passar pela fenda 2 e só depois devemos calcular o módulo quadrado desta amplitude para obtermos a probabilidade de um electrão passar pela fenda 1 ou de passar pela fenda 2: ${P_{12}=|\phi_1+\phi_2|^2}$ .

Análise Matemática – Limites e Continuidade VI

07/26/2015 9:48 am / 1 comentário em Análise Matemática – Limites e Continuidade VI

— 5. Exemplos de propriedades para funções contínuas —

Definição 36 Seja ${{D \subset \mathbb{R}}}$ ; ${{f: D\rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D'\setminus D}}$ . Se ${{\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=a\in \mathbb{R}}}$ , podemos definir o prolongamento por continuidade de ${f}$ , que se representa por ${{\tilde{f}}}$ como:

$\displaystyle \tilde{f}(x)=\begin{cases} f(x) \quad x \in D \\ a \quad x=c \end{cases} \ \ \ \ \ (47)$

Como uma aplicação da definição acima vamos estudar a função ${{f(x)= \sin x/x}}$ . Temos ${{D= \mathbb{R}\setminus \{0\}}}$ . Uma vez que ${{\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \sin x/x=1}}$ podemos definir ${{\tilde{f}}}$ como

$\displaystyle \tilde{f}(x)=\begin{cases} \sin x/x \quad x \neq 0 \\ 1 \quad x=0 \end{cases}$

Como segundo exemplo temos ${{f(x)=1/x}}$ . Uma vez que ${{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=+\infty}}$ e ${{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=-\infty}}$ não podemos definir ${{\tilde{f}}}$ para ${{1/x}}$ . Finalmente temos a função ${{f(x)=1/x^2}}$ . Sabemos que é ${{\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f(x)=+\infty}}$ . Ainda que os limites sejam iguais não podemos definir ${{\tilde{f}}}$ , visto que a função não é majorada. Em geral podemos dizer que dado ${{f: D\rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D'\setminus D}}$ ${{\tilde{f}}}$ existe, sse ${{\displaystyle\lim_{x \rightarrow c}f(x)}}$ existe e é finito.

Teorema 42 Seja ${{D \subset \mathbb{R}}}$ ; ${{f,g: D\rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D}}$ . Se ${{f}}$ e ${{g}}$ são funções contínuas, então ${{f+g}}$ , ${{fg}}$ e (se ${{g(c)\neq 0}}$ ) ${{f/g}}$ também são funções contínuas.

Demonstração: Vamos mostrar que ${{fg}}$ é contínua e deixar os outros casos para o leitor. Seja ${{x_n}}$ uma sucessão de pontos em ${{D}}$ tal que ${{x_n \rightarrow c}}$ . Então ${{f(x_n) \rightarrow f(c)}}$ e ${{g(x_n) \rightarrow c}}$ (dado que ${{f}}$ e ${{g}}$ são funções contínuas). Logo ${{f(x_n)g(x_n) \rightarrow f(x)g(x)}}$ da propriedade ${{6}}$ do Teorema 19. E isto é a nossa definição de uma função contínua. $\Box$

Seja ${{f(x)=5x^2-2x+4}}$ . Tomemos ${{f_1(x)=5}}$ , ${{f_2(x)=-2}}$ e ${{f_3(x)=4}}$ . Já sabemos que as funções anteriores são funções contínuas. Ora ${{f_4(x)=x^2}}$ e ${{f_5(x)=x}}$ também são funções contínuas. ${{f_6(x)=-2x}}$ é contínua visto ser o produto de ${{2}}$ funções contínuas. Finalmente ${{f(x)=5x^2-2x+4}}$ é contínua visto ser a soma de funções contínuas.

Teorema 43 (Continuidade da Função Composta) Seja ${{D, E \subset \mathbb{R}}}$ , ${{g: D\rightarrow E}}$ , ${{f: E \rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D}}$ . Se ${{g}}$ é contínua em ${{c}}$ e ${{f}}$ é contínua em ${{g(c)}}$ , então a função composta ${{f \circ g (x)=f(g(x)) }}$ é contínua em ${{c}}$ .

Demonstração: Seja ${{x_n}}$ uma sucessão de pontos em ${{D}}$ com ${{x_n \rightarrow c}}$ . Assim ${{\lim g(x_n)=g(c)}}$ . Se ${{f}}$ é contínua em ${{g(c)}}$ sabemos que ${{\lim f(g(x_n))=f(g(c))}}$ . Isto é ${{\lim (f \circ g)(x_n)= (f \circ g)(c)}}$ . Logo ${{f \circ g}}$ é contínua em ${{c}}$ . $\Box$

Como uma aplicação do teorema anterior vamos estudar a função ${{f(x)=a^x}}$ . Visto que ${{a^x=e^{\log a^x}=e^{x \log a}}}$ , podemos escrever ${{a^x=e^t \circ t=x\log a}}$ . ${{f(t)=e^t}}$ é contínua e ${{g(x)=x \log a}}$ também é contínua. Assim ${{a^x}}$ também é contínua visto resultar da composição de duas funções contínuas. Pelo mesmo argumento também podemos mostrar que para ${{\alpha \in \mathbb{R}}}$ , ${{x^\alpha}}$ (com ${{x \in \mathbb{R}^+}}$ ) é contínua em ${{\mathbb{R}^+}}$ .

Teorema 44 Seja ${{D, E \subset \mathbb{R}}}$ , ${{g: D\rightarrow E}}$ , ${{f: E \rightarrow \mathbb{R}}}$ e ${{c \in D'}}$ . Suponha que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=a}}$ e que ${{\displaystyle \lim_{t \rightarrow a}f(t)}}$ existe. Se ${{f}}$ é contínua então ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}f(g(x))=\lim_{t \rightarrow a}f(t)}}$ .

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Calcule ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin (1/x)}}$ . Podemos escrever ${{\sin (1/x)= \sin t \circ (t=1/x)}}$ . Uma vez que é ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty}(1/x)=0}}$ vem que, pelo Teorema 44 que, ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sin (1/x)=\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\sin t =0}}$ . Em geral podemos dizer que se ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)= a \in \mathbb{R}}}$ vem que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \sin (g(x))=\displaystyle\lim_{t \rightarrow a} \sin t = \sin a}}$ . Concluindo:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\sin (g(x))=\sin (\lim_{x \rightarrow c}g(x))$

Vamos admitir que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=0}}$ e seja ${{\tilde{f}}}$ a função que torna ${{\sin x/x}}$ contínua em ${{x=0}}$ . Temos ${{\sin x =x \tilde{f}(x)}}$ , logo também é ${{\sin g(x) = \tilde{f}(g(x))g(x)}}$ . Por definição ${{\tilde{f}}}$ é contínua. Logo pelo Teorema 44 ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c^+}f(g(x))=\displaystyle\lim_{t \rightarrow 0}\tilde{f}(t)=1}}$ . Assim podemos concluir que quando temos ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=0}}$ vem que

$\displaystyle \sin (g(x))\sim g(x)\quad (x \rightarrow c)$

Por exemplo ${{\sin (x^2-1) \sim (x^2-1)\quad (x \rightarrow 1)}}$ . Seja ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}g(x)=a \in \mathbb{R}}}$ . Pelo Teorema 44 é ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} e^{g(x)}=\lim_{t \rightarrow a}e^t=e^a}}$ (com as convenções ${{e^{+\infty}=+\infty}}$ e ${{e^{-\infty}=0}}$ ). Logo ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}e^{g(x)}=e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow c}g(x)}}}$ . De forma análoga podemos mostrar que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \log g(x)= \log (\lim_{x \rightarrow c}g(x))}}$ com as convenções ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \log g(x)=+\infty}}$ e ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \log g(x)=-\infty}}$ ). Seja ${{a>1}}$ . Temos ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}a^x =\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{x\log a}=e^{\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} x\log a}=+\infty }}$ (visto ${{\log a>0}}$ ). Por outro lado, para ${{\alpha > 0}}$ também é ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^\alpha =\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}e^{\alpha \log x}= e^{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\alpha \log x}=+\infty}}$ . O que nós queremos saber é qual é o valor de ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{a^x}{x^\alpha} }}$ , visto que a resposta a esta pergunta nos dirá qual das funções cresce mais rápido.

Teorema 45 Seja ${{ a<1}}$ e ${{\alpha > 0}}$ . Então

$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{x^\alpha}=+\infty \ \ \ \ \ (48)$

Demonstração: Seja ${{b=a^{1/(2\alpha)}}}$ ( ${{b>1}}$ ). É ${{a=b^{2\alpha}}}$ . Uma vez que ${{a^x=b^{2\alpha x}}}$ . Para além disso é ${{\dfrac{a^x}{x^\alpha}=\dfrac{b^{2\alpha x}}{x^\alpha}=\dfrac{b^{2\alpha x}}{\sqrt{x}^{2\alpha}}}}$ . que é

$\displaystyle \frac{a^x}{x^\alpha}=\left( \frac{b^x}{\sqrt{x}} \right)^{2\alpha} \ \ \ \ \ (49)$

Seja ${{[x]}}$ a parte inteira de ${x}$ e usando a desigualdade de Bernoulli ( ${{b^m\geq 1+ m(b-1)}}$ ) é ${{b^x\geq x^{}[x]\geq 1+[x](b-1)>[x](b-1)>(x-1)(b-1)}}$ . Assim ${{\dfrac{b^x}{\sqrt{x}}>\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}(b-1)=\left( \sqrt{x}-1/\sqrt{x}\right)(b-1)}}$ . Uma vez que ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left( \sqrt{x}-1/\sqrt{x}\right)(b-1)=+\infty}}$ segue do Teorema 32 que ${{\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{b^x}{\sqrt{x}}=+\infty}}$ . Usando 49 e tomando ${{t=b^x/\sqrt{x}}}$ vem que ${{\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{a^x}{x^\alpha}=\displaystyle\lim_{t \rightarrow +\infty}t^{2\alpha}=+\infty}}$ . $\Box$

Podemos sintetizar o conteúdo do teorema anterior na seguinte forma:

A exponencial de base ${>1}$ cresce mais rapidamente que qualquer potência do seu expoente.

Corolário 46 Seja ${{\alpha > 0}}$ , então

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{x^\alpha}{\log x}=+\infty$

Demonstração: Fica com um exercício para o leitor. Lembre-se de fazer a mudança de variável apropriada. $\Box$

Teorema 47 Seja ${{a>1}}$ , então ${{\displaystyle \lim \frac{a^n}{n!}}}$ =0.

Demonstração: Primeiro relembramos que ${{\log n!=n\log n -n + O(\log n)}}$ que é a aproximação de Stirling. Uma vez que ${{\dfrac{\log n}{n} \rightarrow 0}}$ também é ${{\dfrac{O(\log n)}{n} \rightarrow 0}}$ . e

$\displaystyle \dfrac{a^n}{n!}=e^{\log (a^n/n!)}=e^{n\log a - \log n!}$

Logo

$\displaystyle \lim \dfrac{a^n}{n!}=e^{\lim(n\log a - \log n!)}$

Para o argumento da função exponencial é ${{\begin{aligned} \lim(n\log a - \log n!) &= \lim n\log a-n\log n+n-O(\log n) \\ &=\lim \left(n\left(\log a -\log n+1 -\dfrac{O(\log n)}{n}\right)\right) \\ &=+\infty\times -\infty=-\infty \end{aligned}}}$

O que resulta em ${{\displaystyle \lim \frac{a^n}{n!}=e^{-\infty}=0}}$ . $\Box$

Lema 48

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\left( 1+\frac{1}{x}\right)^x=e \ \ \ \ \ (50)$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Teorema 49

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\log (1+x)}{x}=1 \ \ \ \ \ (51)$

Demonstração: Será demonstrado como um exercício. $\Box$

Corolário 50

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=1 \ \ \ \ \ (52)$

Demonstração: Deixado como um exercício para o leitor. Faça a mudança de variável ${{e^x=t+1}}$ e use o Teorema 49 $\Box$

Generalizando os resultados anteriores podemos escrever:

${{\sin g(x) \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}}$ se ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}$
${{\log (1+g(x)) \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}}$ se ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}$
${{e^{g(x)}-1 \sim g(x) \quad (x \rightarrow c)}}$ se ${{\displaystyle \lim_{x \rightarrow c} g(x)=0}}$

Mecânica Quântica – Revisões VI

07/25/2015 6:53 pm / 1 comentário em Mecânica Quântica – Revisões VI

— 19. Resolução de Exercícios —

Exercício 2 Escolha o conjunto de coordenadas generalizadas que especifica totalmente o estado mecânico de cada um dos sistemas:

Uma partícula de massa ${m}$ que se move ao longo de uma elipse.
Seja ${ {x=a\cos\theta}}$ e ${ {y=b\sin\theta}}$ . Então a coordenada generalizada é ${ {\theta}}$ . Para o caso do leitor ter ficado surpreso com o facto de só precisarmos de uma coordenada para descrevermos um sistema que aparentemente é bidimensional lembre-se que a nossa partícula está restringida a mover-se ao longo de uma linha que ainda que seja curva não deixa de ser unidimensional. Outra maneira de ver é pensando que temos ${2}$ coordenadas originais e ${1}$ equação de ligação. Assim pelo que vimos em Mecânica Quântica Revisões IV isto quer dizer que temos ${2-1=1}$ graus de liberdade, logo só precisamos de uma coordenada generalizada para descrever os estado mecânico do sistema.
Um cilindro que se move num plano inclinado.
Se o cilindro descreve um movimento de rotação precisamos de ${ {x}}$ a distância percorrida e ${ {\theta}}$ que é o ângulo de rotação. Se o cilindro não tem um movimento de rotação só precisamos de ${ {x}}$ .
Duas massas num pêndulo duplo

As coordenadas generalizadas são ${ {\theta_1}}$ e ${ {\theta_2}}$ .

Exercício 3 Derive as transformações de equações para um pêndulo duplo.

Temos:

${ {x_1=l_1\cos\theta_1}}$
${ {x_2=l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2}}$
${ {y_1=l_1\sin\theta_1}}$
${ {y_2=l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2}}$

Exercício 4 Mostre que é:

$\displaystyle {\dfrac{\partial \dot{\vec{r}}_\nu}{\partial \dot{q}_\alpha}=\dfrac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}}$

Temos

${ {\begin{aligned} \vec{r}_\nu&=\vec{r}_\nu(q_1,q_2,\cdots,q_n,t)\Rightarrow \\ \dot{\vec{r}_\nu}&=\dfrac{\partial\vec{r}_\nu }{\partial q_1}\dot{q}_1+\cdots+\dfrac{\partial\vec{r}_\nu }{\partial q_n}\dot{q}_n+\dfrac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial t} \Rightarrow \\ \dfrac{\partial \dot{\vec{r}}_\nu}{\partial\dot{q}_\alpha}&=\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha} \end{aligned}}}$

Que é o resultado pretendido

Exercício 5 Considere um conjunto de partículas que descrevem um incremento ${ {dq_j}}$ nas suas coordenadas generalizadas. Derive a seguinte expressão ${ {dW=\displaystyle \sum_\alpha \Phi_\alpha dq_\alpha}}$ para o trabalho total realizado pela força que actua no sistema e interprete fisicamente o factor ${ {\Phi_\alpha}}$ .

Primeiro vamos notar que é

$\displaystyle \displaystyle d\vec{r}_\nu =\sum_{\alpha=1}^n \dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}dq_\alpha$

Para ${ {dW}}$ é

${ {\begin{aligned} dW &=\sum_{\nu=1}^N\vec{F}_\nu\cdot d\vec{r}_\nu\\ &=\sum_{\nu=1}^N\left( \sum_{\alpha=1}^n \vec{F}_\nu\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha} \right) dq_\alpha\\ &= \sum_{\alpha=1}^n \Phi_\alpha dq_\alpha \end{aligned}}}$

e ${ {\displaystyle \Phi_\alpha=\sum_{\nu=1}^N \vec{F}_\nu\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}}}$ é a força generalizada.

Exercício 6 Mostre que ${ {\Phi_\alpha=\dfrac{\partial W}{\partial q_\alpha}}}$ .

Temos

$\displaystyle {\displaystyle dW=\sum_\alpha\frac{\partial W}{\partial q_\alpha}dq_\alpha}$

$\displaystyle {\displaystyle dW=\sum_\alpha\Phi_\alpha dq_\alpha}$

Logo

$\displaystyle {\displaystyle \sum_\alpha\left( \Phi_\alpha- \frac{\partial W}{\partial q_\alpha}\right)dq_\alpha=0}$

Uma vez que ${ {dq_\alpha}}$ são linearmente independentes (ou se preferir, são arbitrários) vem que ${ {\Phi_\alpha=\dfrac{\partial W}{\partial q_\alpha}}}$ .

Exercício 7 Derive o lagrangiano de um pêndulo simples e obtenha as equações de movimento

A coordenada generalizada para o pêndulo simples é ${ {\theta}}$ e as equações de transformação de coordenadas são ${ {x=l\sin\theta}}$ and ${ {y=-l\cos\theta}}$ .

A energia cinética é ${ {K=1/2mv^2=1/2m(l\dot{\theta})^2=1/2ml^2\dot{\theta}^2}}$ .

A energia potencial é ${ {V=mgl(1-\cos\theta)}}$ .

Assim o lagrangiano é

$\displaystyle {L=K-V=1/2ml^2\dot{\theta}^2-mgl(1-\cos\theta)}$

Uma vez que temos

$\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=-mgl\sin\theta}$

$\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=ml^2\dot{\theta}}$

E a equação de Euler-Lagrange fica

${ {\begin{aligned} \frac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\dfrac{\partial L}{\partial \theta}&=0\Rightarrow\\ ml^2\dot{\theta}+mgl\sin\theta&=0\Rightarrow\\ \ddot{\theta}+g/l\sin\theta &=0 \end{aligned}}}$

Exercício 8

Duas partículas de massa ${ {m}}$ estão ligadas entre si e a duas paredes por molas de constante ${ {k}}$ . As partículas deslocam-se ao longo de uma direcção. Use as equações de Euler-Lagrange para descrever o movimento das massas.

A energia cinética é ${ {K=1/2m\dot{x}^2_1+1/2m\dot{x}^2_2}}$ .

A energia potencial é ${ {V=1/2kx^2_1+1/2k(x_2-x_1)^2+1/2kx^2_2}}$ .

Logo o lagrangiano é ${ {L=K-V=1/2m\dot{x}^2_1+1/2m\dot{x}^2_2-1/2kx^2_1-1/2k(x_2-x_1)^2-1/2kx^2_2}}$ .

As derivadas parciais do lagrangiano são:

${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_1}=k(x_2-x_1)}}$
${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_2}=k(x_1-x_2)}}$
${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}=m\dot{x}_1}}$
${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_2}}=m\dot{x}_2}}$

E as equações de Euler-Lagrange ficam:

${ {m\ddot{x}_1=k(x_2-x_1)}}$
${ {m\ddot{x}_2=k(x_1-2x_2)}}$

Exercício 9

Uma partícula de massa ${ {m}}$ move-se sob a acção de um campo central e conservativo. Use coordenadas cilíndricas para derivar:

O lagrangiano A energia cinética é ${ {K=1/2m(1/2m\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\phi}^2+\dot{z^2})}}$ . A energia potencial é ${ {V=V(\rho,\phi,z)}}$ . Logo o lagrangiano é
$\displaystyle L=\frac{1}{2}m(1/2m\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\phi}^2+\dot{z^2})-V(\rho,\phi,z)$
As equações de movimento
- ${ {m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^2)=-\dfrac{\partial v}{\partial \rho}}}$
- ${ {m\dfrac{d}{dt}\left(\rho^2\dot{\phi}\right)=-\dfrac{\partial V}{\partial \phi}}}$
- ${ {m\ddot{z}=-\dfrac{\partial V}{\partial z}}}$

Exercício 10 Para um duplo pêndulo calcule:

O lagrangiano
As equações para as transformações de coordenadas são
- ${ {x_1=l_1\cos\theta_1}}$
- ${ {y_1=l_1\sin\theta_1}}$
- ${ {x_2=l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2}}$
- ${ {y_2=l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2}}$
Aplicando ${ {\dfrac{d}{dt}}}$ às equações anteriores
- ${ {\dot{x}_1=-l_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1}}$
- ${ {\dot{y}_1=l_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1}}$
- ${ {\dot{x}_2=-l_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1-l_2\dot{\theta}_2\sin\theta_2}}$
- ${ {\dot{y}_2=l_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1+l_2\dot{\theta}_2\cos\theta_2}}$
Logo a energia cinética é

$\displaystyle K=1/2m_1l^2_1\theta^2_1+1/2m\left[ l^2_1\dot{\theta}^2_1+l^2_2\dot{\theta}^2_2+2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) \right]$

E a energia potencial é

$\displaystyle V=m_1g(l_1+l_2-l_1\cos\theta_1)+m_2g\left[l_1+l_2-(l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2)\right]$

Como sempre o lagrangiano é ${ {L=K-V=\cdots}}$
As equações de movimento
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \theta_1}=-m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_1gl_1\sin\theta_1-m_2gl_1\sin\theta_1}}$
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}}=m_1 l_1^2\dot{\theta}_1^2+m_2l_1^2\dot{\theta}_1+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)}}$
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \theta_2}=m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_2gl_2\sin\theta_2}}$
- ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}}=m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)}}$
Assim é

$\displaystyle {(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)=-(m_1+m_2)gl\sin\theta_1}$

e

$\displaystyle {m_2l_2\ddot{\theta}_2+m_2l_1l_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-m_2gl_2\sin\theta_2}$
Faça ${ {m_1=m_2=m}}$ e ${ {l_1=l_2=l}}$ e escreva as equações de movimento.
Fica como um exercício para o leitor.
Escreva as equações anteriores no limite das pequenas oscilações.
Se ${ {\theta\ll 1}}$ sabemos que ${ {\sin \theta\approx\theta}}$ e ${ {\cos \theta\approx1}}$ .

E as equações de movimento ficam

${ {2l\ddot{\theta}_1+l\ddot{\theta}_2=-2g\theta_1}}$

${ {l\ddot{\theta}_1+l\ddot{\theta}_2=-g\theta_2}}$

Exercício 11 Uma partícula move-se no plano ${ {xy}}$ sujeita a uma força central que é uma função da distância entre a partícula e a origem.

Calcule o Hamiltoniano do sistema.
As coordenadas generalizadas são ${ {r}}$ e ${ {\theta}}$ .

A energia potencial é da forma ${ {V=V(r)}}$ .

O lagrangiano é ${ {L=1/2m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r)}}$ .

Os momentos conjugados são:

$\displaystyle {p_r=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r}}$

$\displaystyle {p_\theta=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}}$

O Hamiltoniano fica

${ {\begin{aligned} H&=\displaystyle \sum_{\alpha=n}^np_\alpha\dot{q}_\alpha\\ &=p_r\dot{r}+p_\theta\dot{\theta}-(1/2m(\dot{r^2}+r^2\dot{\theta}^2)-V(r))\\ &=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_theta^2}{2mr^2}+V(r) \end{aligned}}}$
Escreva as equações de movimento:
- ${ {\dot{r}=\dfrac{\partial H}{\partial p_r}=\dfrac{p_r}{m}}}$
- ${ {\dot{\theta}=\dfrac{\partial H}{\partial p_\theta}=\dfrac{p_\theta}{mr^2}}}$
- ${ {\dot{p}_r=-\dfrac{\partial H}{\partial r}=\dfrac{p_\theta}{mr^3}-V'(r)}}$
- ${ {\dot{p}_\theta=-\dfrac{\partial H}{\partial \theta}=0)}}$

Exercício 12

Uma partícula descreve um movimento unidimensional sujeita a uma força da forma

$\displaystyle F(x,t)= \frac{k}{x^2}e^{-t/\tau}$

Onde ${ {k}}$ e ${ {\tau}}$ são constantes positivas. Calcule o lagrangiano e hamiltoniano. Compare o hamiltoniano com a energia total e discuta se existe conservação de energia para este sistema.

Uma vez que ${ {F(x,t)= \frac{k}{x^2}e^{-t/\tau}}}$ vem que ${ {U=\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}}}$ .

Para a energia cinética é ${ {K=1/2m\dot{x}^2}}$ . Assim o lagrangiano é

$\displaystyle L=1/2m\dot{x}^2-\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}$

Ora ${ {p_x=m\dot{x}\Rightarrow\dot{x}=\dfrac{p_x}{m}}}$ .

E o hamiltoniano é

$\displaystyle {H=p_x\dot{x}-L=\dfrac{p_x^2}{2m}+\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}}$

Uma vez que ${ {\dfrac{\partial L}{\partial t}\neq 0}}$ o sistema não é conservativo.

Uma vez que ${ {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0}}$ sabemos que é ${ {H=E}}$ .

Exercício 13

Considere duas funções das coordenadas generalizadas e os momentos generalizados, ${ {g(q_k,p_k)}}$ e ${ {h(q_k,p_k)}}$ . O parênteses de Poisson é definido como:

$\displaystyle [g,h]=\sum_k \left(\frac{\partial g}{\partial q_k}\frac{\partial h}{\partial p_k}-\frac{\partial g}{\partial p_k}\frac{\partial h}{\partial q_k}\right)$

Mostre que as seguintes propriedades do parênteses de Poisson são válidas:

${ {\dfrac{dg}{dt}=[g,H]+\dfrac{\partial g}{\partial t}}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
${ {\dot{q}_j=[q_j,H]}}$ e ${ {\dot{p}_j=[p_j,H]}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
${ {[p_k,p_j]=0}}$ e ${ {[q_k,q_j]=0}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
${ {[q_k,p_j]=\delta_{ij}}}$ .
Fica como um exercício para o leitor.
Mostre que se uma função ${ {f}}$ não depende explicitamente de ${t}$ então ${ {[f,H]=0}}$ . ${f}$ diz-se uma constante de movimento.
Fica como um exercício para o leitor.

Se o parênteses de Poisson entre duas funções é nulo então dizemos que as duas funções comutam.

CONCEITO DE FUNÇÃO

07/25/2015 1:09 am / Deixe um comentário

— 1. Conceito de funções —

Definição 1

Sejam dois conjuntos ${A}$ e ${B}$ , ambos diferentes do conjunto vazio e ${f}$ uma relação de ${A}$ em ${B}$ , diz-se que ${f}$ é uma função definida de ${A}$ em ${B}$ se, e somente se, para todo ${x}$ que pertence ao conjunto ${A}$ existe um, e só um elemento ${y}$ que pertence ao conjunto ${B}$ de maneira que o par ordenado ${(x,y)}$ pertença a função ${f}$ .

Em simbolos, temos:

${ f }$ é uma função de ${ A }$ em ${ B }$

$\displaystyle \leftrightarrow \forall_x \in A,\exists y \in B \ tal \ que \ (x,y) \in f . \ \ \ \ \ (1)$

Nota: podemos dizer que ${ f }$ é uma função ou ${ f }$ é uma aplicação.

Exercício 1 Dados os conjuntos ${A= (-2, 1, 2, 3) }$ e ${ B=(-2,-1,1,5,6,13)}$ e a seguinte relação ${ D= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=( x+1)^2 -3 \rbrace}$ de ${A}$ em ${B}$ . É uma função? Resolução

Vamos começar a resolver: Como ${ x \in A }$ segundo a definição, então temos:

Para ${x=-2}$ , temos ${ y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( -2+1)^2 -3\rightarrow y=-2\rightarrow y\in B }$ , logo ${(-2,-3)\in f }$ .

Para ${x=1}$ , temos ${y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 1+1)^2 -3\rightarrow y=1\rightarrow y\in B }$ , logo ${(1,1)\in f }$ .

Para ${x=2}$ , temos ${y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 2+1)^2 -3\rightarrow y=6\rightarrow y\in B }$ , logo ${(3,6)\in f }$ .

Para ${x=3}$ , temos ${ y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 3+1)^2 -3\rightarrow y=13 \rightarrow y \in B }$ , logo ${(3,13)\in f}$ . como todos elementos de ${A}$ correspondem a um, e só um elemento de ${B}$ , então a relação ${D= \lbrace(x,y) f \rbrace \in A \times B \mid y=( x+1)^2 -3 \rbrace}$ é uma função.

Exercício 2 Dados os conjuntos ${ A=\lbrace 0,1,3,4,5\rbrace }$ e ${ B=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid 1\leq x\leq 2\rbrace }$ pela lei de transformação ${y=\dfrac{x+3}{x+2}}$ . Mostre que é uma função de ${A}$ em ${B}$ . Resolução: Como ${x}$ é do conjunto ${A}$ , então temos:

Para ${ x=0 \rightarrow y=\dfrac{0+3}{0+2} \rightarrow y=\dfrac{3}{2} \rightarrow y\in B\rightarrow (0,\dfrac{3}{2})\in f }$ . Para ${ x=1 \rightarrow y=\dfrac{1+3}{1+2} \rightarrow y=\dfrac{4}{3}\rightarrow y\in B\rightarrow (1,\dfrac{4}{3})\in f }$ .

Para ${ x=3\rightarrow y=\dfrac{3+3}{3+2} \rightarrow y=\dfrac{6}{5}\rightarrow y\in B\rightarrow (3,\dfrac{6}{5})\in f}$ .

Para ${ x=4 \rightarrow y=\dfrac{4+3}{4+2} \rightarrow y=\dfrac{7}{6} \rightarrow y\in B\rightarrow (4,\dfrac{7}{6})\in f}$ .

Para ${ x=5 \rightarrow y=\dfrac{5+3}{5+2} \rightarrow y=\dfrac{8}{7} \rightarrow y\in B\rightarrow (5,\dfrac{8}{7})\in f}$ .

vimos que todos elementos do conjunto ${A}$ correspondem a um, e somente um elemento do conjunto ${B}$ , então ${y=\dfrac{x+3}{x+2}}$ é uma aplicação de ${A}$ em ${B}$ .

Exercício 3 Seja a relação ${ f(x)=26-x^2 }$ aplicada de ${ A }$ em ${ \mathbb{N}}$ , onde ${ =\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\leq0\rbrace }$ , mostre que não é uma aplicação de ${A}$ em ${ \mathbb{N} }$ Resolução: Vamos lá resolver esse exercício:

Segundo a linguagem do exercício, garante-nos, seguramente, que não é uma função(ou não é uma aplicação) de ${A}$ em ${\mathbb{N}}$ , logo temos que provar que existe um elemento ${x}$ do conjunto ${A}$ que não corresponde a um elemento ${y}$ do conjunto ${\mathbb{N}}$ ou,que corresponde mais de um elemento de conjunto ${\mathbb{N}}$ .

Como o conjunto de partida ${A}$ é infinito, o processo que fizemos nos exemplos anteriores é trabalhoso demais que é, analisar um elemento por cada elemento correndo risco de fazê-lo ${-l0 }$ cem vezes. Sendo assim, é suficiente mostrar que existe um elemento ${x}$ de ${A}$ que não corresponde a ${y}$ de ${\mathbb{N} }$ ou, que corresponde mais de um elemento de ${\mathbb{N}}$ . Temos:

Para ${ x=-6 \rightarrow f(6)=26-(-6)^2 \rightarrow f(6)=26-36 \rightarrow f(6)=-10 }$ Como ${-10}$ não pertence ao conjunto dos números natural ${ \mathbb{N} }$ , implica que ${ f(x)=26-x^2}$ não é uma função ${A}$ em ${ \mathbb{N}}$ .

Exercício 4 Dados os conjuntos ${ A=(-2, 1, 2, 3)}$ e ${B=(-2,1,4,5,7,9)}$ definida por ${y=-2x+3}$ de ${A}$ em ${B}$ . É uma função?

Resolução: Como ${x \in A }$ , então temos:

Para ${ x=-2 \rightarrow y=-2x+3 \rightarrow y=4+3 \rightarrow y=7 \rightarrow y \in B }$ , logo ${(-2,7)\in f}$ .

Para ${x=1}$ , temos ${ y=-2x+3 \rightarrow y=-2+3\rightarrow y=1\rightarrow y\in B}$ , logo ${(1,1) \in f }$ .

Para ${ x=2 }$ , temos ${y=-2x+3\rightarrow y=-4+3\rightarrow y=-1}$ , ${y}$ não pertence a função.

Como existe um elemento do conjunto ${ A}$ que não corresponde a nenhum elemento de ${B}$ , então a relação dada não é uma função de ${A}$ em ${B}$ . Não precisas terminar o processo, basta indicar um elemento do conjunto ${ A }$ cujo resultado não é de ${ B }$ é suficiente dizer que não é uma função.

Exercício 5 Seja a relação ${ y^2 =(x-2)^2 +x }$ de ${\mathbb{R}^+}$ em ${\mathbb{R}}$ . Mostre se é uma aplicação.

Resolução:

Vamos mostrar ao contrário que não é uma aplicação, isto equivale dizer, existe um elemento ${x}$ de ${\mathbb{R}^+}$ que não se relaciona com um, ou que se relaciona com mais de um elemento ${y}$ de ${\mathbb{R}}$ . A relação ${y^2 =(x-2)^2 +x }$ de ${\mathbb{R}^+}$ em ${\mathbb{R}}$ para ${x=3}$ ,temos: ${ y^2 =(3-2)^2 +3 \rightarrow y^2 =(1)^2 +3 \rightarrow y^2 =1+3 \rightarrow y^2 =4 \rightarrow y=\pm2}$ , logo não é uma função porque para ${3}$ de ${ \mathbb{R}^+ }$ , existem ${ -2 }$ e ${ 2 }$ em ${\mathbb{R}}$ . Apenas um elementos em ${\mathbb{R}}$ neste caso.

Exercício 6 A relação ${ f(x)=\frac{x^3}{3} }$ é uma função de ${A}$ em ${\mathbb{R}}$ , onde ${ A=\lbrace x\in\mathbb{R}\mid -2\leq x \leq2\rbrace}$ ? Resolução:

Como é impossível numerar os elementos do conjunto ${A}$ é mais fácil provar ao contrário que não é uma aplicação indicando um elemento de ${A}$ que não resulta um elemento de ${\mathbb{R} }$ ou que resulta dois ou mais elementos de ${\mathbb{R}}$ .

É evidente que não existe nenhum elemento de ${A}$ cujo o resultado de ${f(x)}$ não seja real ou seja, para todos os elementos de ${A}$ existe, claramente, um numero real, por isso é uma aplicação ou é uma função de ${A}$ em ${ \mathbb{R}}$ .

Exercício 7 Dados os conjuntos ${ A= (-2, 1, 2, 3) }$ e ${ B=(-3 ,-2,-1,1,4,5,6,9)}$ e a lei definida por ${ C= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=7-x \rbrace }$ de ${A}$ em ${B}$ , prove se é uma função.

Resolução:

Como ${ x \in A }$ , então temos:

Para ${ x=-2 }$ , temos ${y=7-x\rightarrow y=7+2 \rightarrow y=9 \rightarrow y \in B }$ , logo ${(-2,9)\in f }$ .

Para ${ x=1 }$ , temos ${ y=7-x \rightarrow y=7-1 \rightarrow y=6 \rightarrow y\in B }$ , logo ${(1,6) \in f }$ .

Para ${ x=2 }$ , temos ${ y=7-x\rightarrow y=7-2 \rightarrow y=5\rightarrow y\in B }$ , logo ${(2,5)\in f }$ .

Para ${ x=3 }$ , temos ${ y=7-x\rightarrow y=7-3 \rightarrow y=4\rightarrow y\in B }$ , logo ${(3,4)\in f }$ . Vimos que para todos elementos de ${x}$ que pertencem ao conjunto ${A}$ , pela lei de transformação ${y=7-x}$ , corresponde a um único elemento do conjunto ${B}$ , logo a relação ${ C= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=7-x \rbrace }$ de ${A}$ em ${B}$ é uma função ou é uma aplicação de ${A}$ em ${B}$ .

Mecânica Quântica – Revisões V

07/24/2015 10:19 pm / Deixe um comentário

— 16. Formalismo newtoniano e Equações de Euler-Lagrange —

Como vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões IV ao utilizar as equações de Euler-Lagrange que descrevem um sistema mecânico chegamos às mesmas equações do formalismo newtoniao.

O objectivo deste secção é demonstrar de uma forma mais rigorosa que ambas as formulações da mecânica clássica são de facto equivalentes (ou dizendo de forma mais exacta: quais são as condições que tornam o formalismo newtoniano e o formalismo lagrangiano equivalentes para a mecânica clássica).

Já sabemos que é ${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0 }}$ para ${ {i=1,2,3}}$ . Usando a definição de ${L}$ podemos reescrever a equação do lagrangiano:

$\dfrac{\partial (K-U)}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial (K-U)}{\partial \dot{x}_i}=0$

Uma vez que a nossa análise não depende do conjunto de coordenadas utilizado vamos escolher trabalhar com coordenadas rectangulares pois são matematicamente mais cómodas. Assim temos ${ {K=K(\dot{x}_i}}$ e ${ {U=U(x)}}$ . Uma vez que é ${ {\dfrac{\partial T}{\partial x_i}=0}}$ e ${ {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}_i}}}$ vem que ${ {-\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}_i}=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}}}$ . Para um sistema conservativo temos ${ {-\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}_i}=F_i}}$ .

Logo para ${ {F_i=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}}}$ é válido

${ {\begin{aligned} \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i} &= \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial \sum_j(1/2m\dot{x}_j^2)}{\partial \dot{x}_i} \\ &= \dfrac{d}{dt}(m\dot{x}_i) \\ &= \dot{P}_i \end{aligned}}}$

Assim é ${ {F_i=\dot{P}_i}}$ que é a Segunda Lei de Newton (Segundo Axioma ou Segundo Postulado de Newton seriam nomes mais correctos…). No formalismo newtoniano da Mecânica Clássica o que dita a dinâmica de uma partícula é a segunda Lei de Newton, assim sendo acabámos de demonstrar que ambas as formulações são equivalentes.

— 17. Introdução à Simetria —

O leitor certamente notou no último exemplo que a ausência de uma coordenada generalizada no lagrangiano de um sistema implicaca a conservação de um momento (seja ele linear ou angular). Estas coordenadas que não aparecem no lagrangiano recebem o nome de coordenadas cíclicas.

Obviamente que a presença ou ausência de coordenadas cíclicas num lagrangiano depende da escolha de coordenadas. No entanto o facto de um momento ser conservado ou não, não pode depender da escolha do conjunto de coordenadas que se faz. Uma vez que a escolha acertada do conjunto de coordenadas nos permite revelar a simetria que os sistema exibe podemos concluir que que simetria e quantidades conservadas estão intimamente ligadas.

Nesta secção vamos entender por que motivo considerações de simetria são tão importantes na Física contemporânea e qual é a relação entre simetria e as leis de conservação.

Se um sistema exibe um qualquer tipo de simetria contínua então esta simetria irá sempre manifestar-se na forma de uma quantidade que se conserva. A demonstração matemática deste teorema (e as suas múltiplas generalizações) é o Teorema de Noether, mas não nos vamos debruçar sobre a demonstração neste texto. Ao invés vamos somente entender as consequências de três tipos de simetria contínua e o estudante interessado pode consultar os seguintes links para aprofundar o seu conhecimento mais teórico sobre este teorema:

— 17.1. Simetria contínua para translações no tempo —

Como sabemos da Mecânica Clássica um referencial diz-se inercial se o tempo é homogéneo. Quando dizemos que o tempo é homogéneo estamos a dizer que podemos fazer uma translação contínua ( formalmente dizemos ${ {t \rightarrow t+\delta t}}$ ) no tempo e que as características mecânicas não sofrerão alterações.

Seja ${ {L}}$ o lagrangiano de um sistema isolado. Uma vez que o sistema é isolado sabemos que as suas características mecânicas deverão permanecer invariantes no tempo. Isto é equivalente a dizermos que o seu lagrangiano não depende do tempo

$\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial t}=0}$

Assim a derivada total é

$\displaystyle \displaystyle \frac{dL}{dt}= \sum_j \frac{\partial L}{\partial q_j}\dot{q}_j+ \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ddot{q}_j$

Usando a equação de Euler-Lagrange 18 para coordenadas generalizadas fica:

${ {\begin{aligned} \frac{dL}{dt} &= \sum_j \dot{q}_j\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}+ \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ddot{q}_j \Rightarrow \\ &\Rightarrow \frac{dL}{dt}-\sum_j\frac{d}{dt}\left( \dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right)= 0 \\ &\Rightarrow \frac{d}{dt} \left( L-\sum_j\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)=0 \end{aligned}}}$

Ou seja

$\displaystyle \displaystyle L-\sum_j\dot{q}_j\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=-H \ \ \ \ \ (19)$

Onde ${ {-H}}$ (o porquê de termos um sinal ${ {-}}$ será evidente dentro de momentos) é uma constante.

Vamos admitir que ${ {U=U(x_{\alpha,i})}}$ e ${ {x_{\alpha,i}=x_{\alpha,i}(q_j)}}$ . Então é ${ {U=U(q_j)}}$ e ${ {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q}_j}=0}}$ . Logo ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=\dfrac{\partial (K-U)}{\partial \dot{q}_j}=\dfrac{\partial K}{\partial \dot{q}_j}}}$

Então podemos escrever a equação 19 na forma

$\displaystyle {\displaystyle (K-U)-\sum_j\dot{q}_j\dfrac{\partial K}{\partial \dot{q}_j}=-H}$

Donde vem que ${ {K+U=H}}$ .

A função ${ {H}}$ é o Hamiltoniano do sistema e a sua definição é dada pela equação 19.

Para além disso podemos identificar o Hamiltoniano com a energia total de um sistema quando as seguintes condições são respeitadas:

As equações para as transformações de coordenadas são independentes do tempo. Isto implica que a energia cinética é uma função quadrática homogénea em ${ {\dot{q}_j}}$
A energia potencial não depende da velocidade. Desse modo os termos ${ {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q}_j}}}$ podem ser eliminados

— 17.2. Simetria contínua para translações no espaço —

Sabemos também da Mecânica Clássica que para um referencial inercial o espaço é homogéneo. Quer isto dizer que todos os pontos do espaço são equivalentes e como tal o lagrangiano é invariante para translações no espaço. Formalmente escrevemos ${ {\delta L=0}}$ para ${ {\vec{r}_\alpha \rightarrow \vec{r}_\alpha+\delta\vec{r}}}$ .

Sem perda de generalidade vamos somente considerar uma partícula. Neste caso é ${ {L=L(x_i),\dot{x_i}}}$ e ${ {\displaystyle \delta \vec{r} = \sum_i\delta x_i \vec{e}_i}}$ . Calculando a variação em ${ {L}}$ devido a ${ {\delta \vec{r}}}$ é

$\displaystyle \displaystyle \delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i}\delta x_i + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i=0$

Ora ${ {\delta x_i=\delta\dfrac{dx_i}{dt}=\frac{d}{dt}\delta x_i=0}}$ e a expressão para a variação fica

$\displaystyle \displaystyle \delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i}\delta x_i=0$

Para a expressão anterior ser identicamente nula temos que ter ${ {\dfrac{\partial L}{\partial x_i}=0}}$ , uma vez que ${ {\delta x_i}}$ são variações arbitrárias.

De acordo com a Equação de Euler-Lagrange 18 temos ${ {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=c}}$ .

Logo é

${ {\begin{aligned} \frac{\partial (K-U)}{\partial \dot{x}_i} &= \frac{\partial K}{\partial\dot{x}_i}\\ &= \frac{\partial}{\partial \dot{x}_i}\left( 1/2m\sum_j\dot{x}_j^2 \right) \\ &= m\dot{x}_i \\ &= P_i \end{aligned}}}$

Assim a homogeneidade do espaço para translações implica a conservação do momento linear para um sistema isolado.

— 17.3. Simetria contínua para rotações no espaço —

Sabemos também da Mecânica Clássica que para um referencial inercial o espaço é isotrópico. Quando dizemos que o espaço é isotrópico estamos a dizer que não existem direcções privilegiadas. Ora isto quer dizer que o lagrangiano é invariante para rotações no espaço: ${ {\delta L=0}}$ para ${ {\vec{r}_\alpha \rightarrow \vec{r}_\alpha+\delta\vec{r}}}$ onde ${ {\delta\vec{r}=\delta \vec{\theta} \times \vec{r}}}$ .

Considerando novamente uma só partícula sabemos que é ${ {\delta\vec{\dot{r}}=\delta \vec{\theta} \times \vec{\dot{r}}}}$

Para além disso também é

$\delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i}\delta x_i + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i=0$

De ${ {p_i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}}}$ e ${ {\dot{p}_i=\dfrac{\partial L}{\partial x_i}}}$ segue que

${ {\begin{aligned} \delta L &= \sum_i\dot{p}_i\delta x_i+ \sum_i p_i\delta\dot{x}_i\\ &= \dot{\vec{p}}\cdot\delta\vec{r}+ \vec{p}\cdot\delta\dot{\vec{r}} \\ &= \dot{\vec{p}}\cdot(\delta \vec{\theta} \times \vec{r})+ \vec{p}\cdot(\delta \vec{\theta} \times \dot{\vec{r}}) \\ &= \delta\vec{\theta}\cdot(\vec{r}\times\dot{\vec{p}}) + \delta\vec{\theta}\cdot(\dot{\vec{r}}\times\vec{p})\\ &= \delta\vec{\theta}\cdot (\vec{r}\times\dot{\vec{p}} + \dot{\vec{r}}\times\vec{p}) \end{aligned}}}$

Uma vez que

$\displaystyle {\delta\vec{\theta}\cdot (\vec{r}\times\dot{\vec{p}} + \dot{\vec{r}}\times\vec{p})=\delta\vec{\theta}\cdot\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})}$

e ${ {\delta L=0}}$ , segue ${ {\delta\vec{\theta}\cdot\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=0}}$ .

Uma vez que ${ {\delta\vec{\theta}}}$ é um vector arbitrário segue que ${ {\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=0}}$ . Logo ${ {\vec{r}\times\vec{p}}}$ é constante.

Em conclusão podemos dizer que a isotropia do espaço implica a conservação do momento angular. Outro resultado importante é que sempre que um sistema mecânico exibe um eixo de simetria o momento angular em torno desse eixo é uma quantidade conservada.

— 18. Dinâmica Hamiltoniana —

Como já vimos, se a energia potencial de um sistema não depende da velocidade então ${ {p_i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}}}$ . Consequentemente podemos definir

Definição 7

Num sistema descrito por coordenadas generalizadas ${ {q_j}}$ o momento generalizado é definido pela seguinte expressão:

$\displaystyle p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \ \ \ \ \ (20)$

Como consequência da definição anterior temos ${ {\dot{p}_j=\frac{\partial L}{\partial q_j}}}$ .

E podemos escrever o Hamiltoniano como uma transformada de Legendre do Lagrangiano

$\displaystyle H=\sum_j p_j\dot{q}_j-L \ \ \ \ \ (21)$

Uma vez que ${ {\dot{q}_j=\dot{q}_j(q_k,p_k,t)}}$ a equação 21 pode ser escrita na forma

$\displaystyle H(q_k,p_k,t)=\sum_j p_j\dot{q}_j-L(q_k,\dot{q}_k,t) \ \ \ \ \ (22)$

Assim temos ${ {H=H(q_k,p_k,t)}}$ e ${ {L=L(q_k,\dot{q}_k,t)}}$ . O diferencial de ${ {H}}$ é

$\displaystyle dH=\sum_k\left( \frac{\partial H}{\partial q_k}dq_k+\frac{\partial H}{\partial p_k}dp_k \right) + \frac{\partial H}{\partial t}dt \ \ \ \ \ (23)$

Calculando ${ {\dfrac{\partial H}{\partial q_k}}}$ e ${ {\dfrac{\partial H}{\partial p_k}}}$ via 22 e substituindo em 23 é

$\displaystyle dH=\sum_k (\dot{q}_kdp_k-\dot{p}_kdq_k)-\frac{\partial L}{\partial t}dt \ \ \ \ \ (24)$

Igualando os coeficientes de ${ {dq_k}}$ , ${ {dt_k}}$ e ${ {dt}}$ vem:

$\displaystyle \dot{q}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k} \ \ \ \ \ (25)$

$\displaystyle -\dot{p}=\frac{\partial H}{\partial q_k} \ \ \ \ \ (26)$

Que são as equações canónicas de movimento. Quando usamos estas equações para estudar a evolução temporal de um sistema estamos a usar a Mecânica Hamiltoniana.

Temos ${ {-\dfrac{\partial L}{\partial t}=\dfrac{\partial H}{\partial t}}}$ . Para além disso temos também ${ {\dfrac{dH}{dt}=\dfrac{\partial H}{\partial t}}}$ o que implica que a função hamiltoniana não depende explicitamente de ${ {t}}$ . Logo ${ {H}}$ é uma quantidade conservada.

Exemplo 7

Uma partícula de massa ${ {m}}$ move-se na superfície de um cilindro sujeita a uma força que aponta para o centro do cilindro (a origem do nosso referencial) e é proporcional à distância entre a partícula e a origem. Faça um estudo da Dinâmica Hamiltoniana deste sistema.

De ${ {\vec{F}=-k\vec{r}}}$ vem que ${ {U=1/2kr^2=1/2k(R^2+z^2)}}$ .

Para a velocidade temos ${ {v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2}}$ . Uma vez que ${ {r=R}}$ é constante vem ${ {K=1/2m(R^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)}}$

Assim o lagrangiano é ${ {L=1/2m(R^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-1/2k(R^2+z^2)}}$ . As coordenadas generalizadas são ${ {\theta}}$ e ${ {z}}$ . Os momentos generalizados são:

$\displaystyle p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mR^2\dot{\theta}$

and

$\displaystyle p_z=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z}$

Uma vez que este sistema é conservativo e as equações de transformações de coordenadas não dependem do tempo ${ {H}}$ é a energia total do sistema e é uma função de ${ {\theta}}$ , ${ {p_\theta}}$ , ${ {z}}$ e ${ {p_z}}$ . Mas ${ {\theta}}$ não aparece no lagrangiano (é uma coordenada cíclica).

$\displaystyle H(z,p_\theta,p_z)=K+U= \frac{p_\theta^2}{2mR^2}+\frac{p_z^2}{2m} +1/2kz^2$

As equações de movimento são:

$\dot{p}_\theta=-\frac{\partial H}{\partial \theta}=0$
$\dot{p}_z=-\frac{\partial H}{\partial z}=-kz$
$\dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\frac{p_\theta}{mR^2}$
$\dot{z}=\frac{\partial H}{\partial p_z}=\frac{p_z}{m}$

Das relações anteriores vemos que o momento angular em torno de ${ {z}}$ é constante: ${ {p_\theta=mR^2\dot{\theta}}}$ . O que é equivalente a dizermos que ${ {z}}$ é um eixo de simetria do sistema.

Também temos ${ {m\ddot{z}=-kz\Rightarrow m \ddot{z}+kz=0\Rightarrow \ddot{z}+k/mz=0\Rightarrow\ddot{z}+\omega_0^2}}$ com ${ {\omega_0^2=k/m}}$ . O que quer dizer que a partícula tem um movimento harmónico ao longo do eixo ${ {z}}$ .

Para finalizar o nosso tratamento da Mecânica Clássica vamos só fazer um breve sumário da Dinâmica Lagrangiana e da Dinâmica Hamiltoniana:

As coordenadas generalizadas e os respectivos momentos generalizados dizem-se coordenadas canónicas.
Coordenadas que não aparecem explicitamente em ${ {K}}$ e ${ {U}}$ dizem-se coordenadas cíclicas.
Uma coordenada que é cíclica implica sempre a existência de um momento generalizado conservado assim como um eixo de simetria.
Simetrias de uma sistema estão sempre ligadas a uma lei de conservação

Análise Matemática – Limites e Continuidade V

07/20/2015 6:17 am / 2 comentários em Análise Matemática – Limites e Continuidade V

A condição ${\epsilon\delta}$ , por si só, é algo que não é fácil de entender pela primeira vez para a maior parte das pessoas. Se a isso adicionarmos a semelhança entre a definição ${\epsilon\delta}$ para limites e a definição ${\epsilon\delta}$ para continuidade pode aumentar a incompreensão deste conceito tão importante nos alunos.

De forma a tentarmos contrariar essa tendência vamos apresentar alguns exemplos da condição ${\epsilon\delta}$ .

— 4.7. ${\epsilon\delta}$ para continuidade —

Vamos iniciar o nosso estudo com um exemplo muito simples.

Seja ${f(x)=\alpha}$ (que é uma função obviamente contínua!).

O ponto de utilizarmos o argumento ${\epsilon\delta}$ para este caso é tornarmos os alunos confortáveis com este tipo de raciocínio. Em termos técnicos o que nós pretendemos fazer é mostrar que independentemente do ${\delta}$ escolhido conseguimos sempre encontrar um ${\epsilon}$ que satisfaz o critério de Heine para a continuidade.

Voltando à nossa função ${f(x)=\alpha}$ vem que ${|f(x)-f(c)| < \delta}$ . Neste caso temos ${f(x)=f(c)=\alpha}$ . Assim

${\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha-\alpha| &< \delta \\ |0| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}$

Que é trivialmente válido, uma vez que ${\delta > 0}$ por hipótese. Assim qualquer valor positivo de ${\epsilon}$ satisfaz o critério de Heine para a continuidade e ${f(x)=\alpha}$ é contínua em ${c}$ .

Uma vez que nunca fizemos qualquer assunção relativamente a ${c}$ para além de que ${c \in {\mathbb R}}$ podemos concluir que ${f(x)=\alpha}$ é contínua em todos os pontos do seu domínio.

Vamos agora analisar ${f(x)=x}$ e novamente vamos estudar a continuidade no ponto ${c}$ ( ${f(c)=c}$ ):

${\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |x-c| &< \delta \end{aligned}}$

A última expressão é exactamente o que queremos: uma expressão da forma ${x-c}$ (a primeira parte do critério ${\epsilon\delta}$ ).

Se tomarmos ${\epsilon=\delta}$ fica então ${|x-c| < \epsilon}$ o que completa a nossa demonstração que ${f(x)=x}$ é contínua em ${c}$ .

Mais uma vez não fizemos nenhuma assunção relativamente à natureza de ${c}$ para além de que ${c \in {\mathbb R}}$ e como tal concluímos que ${f(x)=x}$ é contínua no seu domínio.

Vamos agora olhar para funções da forma ${f(x)=\alpha x + \beta}$ e estudar a continuidade de ${f(x)}$ em ${c}$ .

${\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\alpha x + \beta-(\alpha c + \beta)| &< \delta \\ |\alpha x -\alpha c| &< \delta \\ |\alpha||x-c| &< \delta \\ |x-c| &< \dfrac{\delta}{|\alpha|} \end{aligned}}$

Se tomarmos ${\epsilon=|\delta|/ |\alpha|}$ vem que ${|x-c|< \epsilon}$ e ${f(x)=\alpha x + \beta}$ é contínua em ${c}$ .

Como um exemplo final do critério de Heine para a continuidade vamos olhar para a função ${f(x)=\sin x}$ .

${\begin{aligned} |f(x)-f(c)| &< \delta \\ |\sin x-\sin c| &< \delta \end{aligned}}$

Uma vez que queremos algo da forma ${|x-c| < g(\delta)}$ a última expressão não nos é útil.

Neste caso temos que tomar uma alternativa que ainda assim tem o mesmo espírito que temos usado até agora.

Dada à novidade deste método pedimos aos leitores que prestem muita atenção à dedução e que se certifiquem que percebem todos os passos.

${\begin{aligned} |\sin x-\sin c| &= 2\left| \cos\left( \dfrac{x+c}{2}\right)\right| \left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right|\\ &< 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| \end{aligned}}$

Uma vez que ${x \rightarrow c}$ sabemos que em algum momento ${\dfrac{x-c}{2}}$ vai estar no primeiro quadrante. Assim

${\begin{aligned} 2\left| \sin\left( \dfrac{x-c}{2}\right)\right| &< 2\left|\dfrac{x-c}{2}\right| \\ &= |x-c|\\ &< \epsilon \end{aligned}}$

Onde a última desigualdade é válida por hipótese.

Quer isto dizer que se tomarmos ${\epsilon=\delta}$ fica ${|x-c|<\epsilon \Rightarrow | \sin x - \sin x | < \delta}$ que é a condição ${\epsilon\delta}$ para a continuidade.

— 4.8. ${\epsilon\delta}$ para limites —

Nesta subsecção vamos utilizar o mesmo procedimento que utilizámos na subsecção anterior, mas com as devidas adaptações para o caso dos limites.

Seja ${f(x)=2}$ . Queremos mostrar que $\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=2$ .

${\begin{aligned} |f(x)-2| &< \delta \\ |2-2| &< \delta \\ 0 &< \delta \end{aligned}}$

Que é trivialmente válido para qualquer valor de ${\delta}$ , assim ${\epsilon}$ pode ser um número positivo qualquer.

Seja ${f(x)=2x+3}$ . Queremos mostrar que $\lim_{x \rightarrow 1}f(x)=5$ .

${\begin{aligned} |f(x)-5| &< \delta \\ |2x+3-5| &< \delta \\ |2x-2| &< \delta \\ 2|x-1| &< \delta \\ |x-1| &< \dfrac{\delta}{2} \end{aligned}}$

Com ${\epsilon=\delta/2}$ satisfazemos a condição ${\epsilon\delta}$ para limites.

Como um exemplo final vamos olhar para a função de Dirichlet modificada que foi introduzida em Análise Matemática Limites e Continuidade III.

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} o \quad x \in \mathbb{Q}\\ x \quad x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$

Nesse artigo demonstrámos que para ${a \neq 0}$ o limite ${\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}f(x)}$ não existe e prometemos que num artigo futuro iríamos mostrar que ${\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0}$ usando a condição ${\epsilon\delta}$ :

${\begin{aligned} |f(x)-f(0)| &< \delta \\ |f(x)-0| &< \delta \end{aligned}}$

Uma vez que ${f(x)=0}$ ou ${f(x)=x}$ vamos atacar este problema usando estas duas possibilidades.

No primeiro caso é ${|0-0|<\delta}$ que é trivialmente válido e assim ${\epsilon}$ pode ser um número positivo qualquer.

No segundo caso é ${|x-0|<\delta}$ . Tomando ${\epsilon=\delta}$ faz com que se respeite o critério de Heine.

Uma vez que mostramos que ${\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}f(x)=0=f(0)}$ a conclusão é que a função de Dirichlet modificada é somente contínua em ${x=0}$ .

Mecânica Quântica – Revisões IV

07/19/2015 11:03 am / 2 comentários em Mecânica Quântica – Revisões IV

— 13. Princípio de Hamilton —

Os princípios de minimização têm uma longa história de utilização em Ciência, e abaixo vemos alguns exemplos:

Heron explicou a reflexão da luz usando um princípio de distância mínima.
Fermat corrigiu o Princípio de Heron dizendo que a luz propaga-se entre dois pontos pelo trajecto que minimiza o tempo.
Maupertuis postulou que a dinâmica de uma partícula é sempre aquela que minimiza acção
Gauss postulou o princípio da ligação mínima
Hertz postulou o princípio da curvatura mínima

Na física moderna usamos um princípio mais geral onde tentamos encontrar extremos de uma quantidade a que chamamos acção e é o objectivo desta secção enunciar este princípio e deduzir as suas consequências.

Definição 2 O Lagrangiano (também chamado de função lagrangiana) de uma partícula é dado pela diferença entre a energia cinética, ${K}$ , e a sua energia potencial, ${U}$ .

$\displaystyle L=K-U \ \ \ \ \ (4)$

Definição 3 A Acção, ${S}$ , do movimento de uma partícula é dado pela expressão

$\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt \ \ \ \ \ (5)$

Axioma 1 Dado um conjunto de caminhos que uma partícula pode tomar entre os pontos ${x_1}$ e ${x_2}$ no intervalo de tempo ${\Delta t= t_2-t_1}$ ela toma sempre o caminho que torna a acção estacionária.

$\displaystyle \displaystyle \delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt=0 \ \ \ \ \ (6)$

Para coordenadas rectangulares temos ${K=K(x_i)}$ , ${U=U(x_i)}$ , assim ${L=K-U=L(x_i,\dot{x}_i)}$ (onde ${\dot{x}_i=\dfrac{dx_i}{dt}}$ é a notação de Newton para representarmos derivadas em ordem ao tempo).

A função ${L}$ pode ser identificada com a função ${f}$ que vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões III desde que façamos as seguintes substituições:

${x \rightarrow t}$
${y_i(x) \rightarrow x_i(t)}$
${y\prime_i(x) \rightarrow x\prime_i(t)}$
${f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(x_i,\dot{x}_i,t)}$

Neste caso as equações de Euler passam a chamar-se de equações de Euler-Lagrange e temos:

$\displaystyle \displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0$

Exemplo 3 Vamos estudar o Oscilador Harmónico usando o formalismo Lagrangiano:

$\displaystyle L=K-U=1/2m\dot{x}^2-1/2kx^2 \ \ \ \ \ (7)$

Em primeiro lugar temos ${\dfrac{\partial L}{\partial x_i}=-kx}$ .

Também temos ${\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=\dfrac{d}{dt}m\dot{x}=m\ddot{x}}$ .

Assim fica

$\displaystyle \dfrac{\partial L}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0 \Rightarrow m\ddot{x}+kx=0 \Rightarrow m\ddot{x}=-kx$

que é a conhecida equação que descreve a dinâmica de um oscilador harmónico.

Exemplo 4 Considere um pêndulo plano, escreva o seu lagrangiano e derive as equações de movimento.

O Lagrangiano para o pêndulo plano é

$\displaystyle L=1/2ml^2\dot{\theta}^2-mgl(1-\cos \theta) \ \ \ \ \ (8)$

Se considerarmos ${\theta}$ como sendo uma coordenada rectangular (e nós sabemos que não é!) segue que a equação de movimento é

$\displaystyle \displaystyle \ddot{\theta}+g/l\sin \theta=0$

Esta equação é exactamente a equação de movimento de um pêndulo plano e este resultado é admirável porque até agora só analisamos o lagrangiano para coordenadas rectangulares e ainda assim ele foi capaz de dar o resultado correcto de um sistema expresso em coordenadas não rectangulares.

— 14. Coordenadas generalizadas —

Considere um sistema mecânico constituído por ${n}$ partículas. Neste caso temos ${3n}$ quantidades para descrever a posição de todas as partículas (uma vez que temos três graus de liberdade).

Se por acaso também tivermos algum tipo de ligações que restringem o movimento das partículas a quantidade necessária para descrever o movimento das partículas é menor do que ${3n}$ . Vamos admitir que temos ${m}$ ligações, nesse caso os graus de liberdade são ${3n-m}$ .

Seja ${s=3n-m}$ os graus de liberdade deste sistema. Estes graus de liberdade correspondem então a ${s}$ coordenadas, e estas coordenadas não precisam de ser rectangulares, polares, cilíndricas nem esféricas. A única coisa que devem fazer é descrever de forma total o estado mecânico do sistema.

Definição 4

As ${s}$ coordenadas que especificam totalmente o estado mecânico de um sistema de ${n}$ partículas têm o nome de coordenadas generalizadas.

As coordenadas generalizadas são representadas por

$\displaystyle q_1,q_2,\cdots,q_s \ \ \ \ \ (9)$

Uma vez que definimos o conjunto de coordenadas generalizadas de um sistema de partículas podemos também definir as suas velocidades generalizadas.

Definição 5

As ${s}$ velocidades de um sistema de ${n}$ partículas descrito por coordenadas generalizadas têm o nome de velocidades generalizadas.

As velocidades generalizadas são representadas por

$\displaystyle \dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_s} \ \ \ \ \ (10)$

Seja ${\alpha}$ uma variável que denota uma partícula, ${\alpha=1,2,\cdots,n}$ ; ${i}$ representa o número de graus de liberdade ${i}$ , ${i=1,2,3}$ ; e ${j}$ o número de coordenadas generalizadas ${j=1,2,\cdots,s}$ .

$\displaystyle x_{\alpha,i}=x_{\alpha,i}(q_1,q_2,\cdots,q_s,t)=x_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (11)$

Para as velocidades generalizadas é

$\displaystyle \dot{x}_{\alpha,i}=\dot{x}_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (12)$

E as transformações inversas são

$\displaystyle q_j=q_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (13)$

$\displaystyle \dot{q_j}=\dot{q}_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (14)$

Finalmente vamos também dizer que precisamos de ${m=3n-s}$ equações de ligação

$\displaystyle f_k=f_k(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (15)$

com ${k=1,2,\cdots,m}$ .

Exemplo 5 Considere uma partícula pontual que se move na superfície de uma semi-esfera de raio ${R}$ cujo centro coincide com a origem do sistema de coordenadas.

As equações relevantes são ${x^2+y^2+z^2-R^2\geq 0}$ e ${z\geq 0}$ .

Vamos tomar ${q_1=x/R}$ , ${q_2=y/R}$ e ${q_3=z/R}$ como as coordenadas generalizadas.

Para além disso também temos a ligação ${q_1^2+q_2^2+q_3^2=1}$ . Assim ${q_3=\sqrt{1-(q_1^2+q_2^2)}}$

Definição 6

O Espaço de Configuração é o espaço vetorial definido pelo conjunto das coordenadas generalizadas.

A evolução no tempo de um sistema mecânico pode ser representado como uma curva no espaço de configuração.

— 15. As equações de Euler-Lagrange em coordenadas generalizadas —

Uma vez que ${K}$ e ${U}$ são funções escalares, ${L}$ também é uma função escalar. Logo ${L}$ é um invariante para transformações de coordenadas.

Assim é

$\displaystyle L=K(\dot{x}_{\alpha,i})- U(x_{\alpha,i})=K(q_j,\dot{q}_j,t)-U(q_j,t) \ \ \ \ \ (16)$

e ${L=L(q_j,\dot{q}_j,t)}$ .

Logo, podemos escrever o Princípio de Hamilton (secção 13) na seguinte forma:

$\displaystyle \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_j,\dot{q}_j,t) dt=0 \ \ \ \ \ (17)$

E agora temos que fazer as seguintes substituições

${x \rightarrow t}$
${y_i(x) \rightarrow q_j(t)}$
${y\prime_i(x) \rightarrow q\prime_j(t)}$
${f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(q_j,\dot{q}_j,t)}$

E as equações de Euler-Lagrange ficam

$\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=0 \ \ \ \ \ (18)$

Para ${j=1,2,\cdots,s}$

Para finalizar esta secção vamos apontar as condições de aplicabilidade das equações de Euler-Lagrange:

O sistema é conservativo.
As ligações são funções das coordenadas das partículas e também podem ser funções do tempo.

Exemplo 6 Considere o movimento de uma partícula de massa ${m}$ ao longo de uma superfície de um cone sob a acção da gravidade.

Calcule o seu lagrangiano e as equações de movimento.

As equações para as coordenadas generalizadas são ${z=r\cot\alpha}$ e ${v^2=\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2}$ .

Para a energia potencial ${U=mgz=mgr\cot\alpha}$ . E assim o lagrangiano é

$\displaystyle \displaystyle L=1/2m(\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2)-mgr\cot\alpha$

Uma vez que ${\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=0}$ vem que ${\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=0}$ . Assim é ${\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}=\mathrm{const}}$ .

O momento angular em torno do eixo ${z}$ é ${mr^2\dot{\theta}=mr^2\omega}$ . Assim ${mr^2\omega=\mathrm{const}}$ expressa a conservação do momento angular em torno de um eixo de simetria do sistema.

Fica como um exercício para o leitor determinar as equações de Euler-Lagrange para ${r}$ .

Análise Matemática – Exercícios III

07/18/2015 9:44 pm / 1 comentário em Análise Matemática – Exercícios III

a) Calcule $\sum_{k=p}^{m}(u_{k+1}-u_k)$ e ${\displaystyle\sum_{k=p}^{m}(u_k - u_{k+1})}$

$\sum_{k=p}^{m}(u_{k+1}-u_k)=u_{p+1}-u_{p}+u_{p+2}-u_{p+1}+\ldots +u_{m+1}-u_{m}$

Como podemos ver o primeiro termo cancela o quarto, o terceiro cancela o sexto e assim por diante. Deste modo ficamos somente com o segundo e último termo:

$\sum_{k=p}^{m}(u_{k+1}-u_k) = u_{m+1}-u_p$

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=p}^{m}(u_k - u_{k+1})&= - \sum_{k=p}^{m}(u_{k+1}-u_k)\\ &= - (u_{m+1}-u_p)\\ &= u_p-u_{m+1} \end{aligned}}$

b) Calcule $\lim \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}$ Usando o resultado anterior.

$\lim \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}= \lim \sum_{k=1}^n \left( \frac{1}{k}-\frac{1}{k+1} \right)$

Definindo ${u_k=1/k}$ podemos reescrever a soma anterior como

${\begin{aligned} \displaystyle \lim \sum_{k=1}^n \left( u_k-u_{k+1} \right)&=\lim (u_1 - u_{n+1})\\ &= \lim \left(1-\frac{1}{n+1}\right)\\ &=1 \end{aligned}}$

Aparentemente este resultado tem uma história engraçada. Mengoli foi o primeiro a conseguir calcular $\lim \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=1$ . Na altura em que tal aconteceu a investigação em Matemática tinha um cariz ligeiramente diferente do que temos agora. Muitas vezes as pessoas escondiam os seus resultados ou então as derivações dos seus resultados durante anos enquanto atormentavam os seus rivais devido à inépcia destes.

E foi isto que Mengoli fez. Na altura em que ele conseguiu somar esta série a teoria das séries não estava desenvolvida como está hoje em dia, e este resultado que acabamos de demonstrar, sem sermos particularmente brilhantes em Matemática, era algo digno de nota.

Mengoli escreveu cartas a algumas pessoas dizendo que $\lim \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k(k+1)}=1$ , sem nunca mostrar como foi que ele chegou a este resultado. Uma vez que os matemáticos a quem ele enviou o resultado não sabiam dos seus métodos tudo o que podiam fazer era somar explicitamente e ver que o resultado da soma era cada vez mais próximo de ${1}$ .

Claro está que eles sabiam que isso não provava nada pois podiam até somar um milhão de termos que ainda assim faltaria somar um infinidade de termos para sabermos o resultado real.

c) Calcule $\sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)$

Neste exercício vamos calcular a soma de ${n}$ números primos consecutivos. Este resultado já era conhecido na Grécia Antiga e o valor da sua soma era algo que os matemáticos gregos achavam especialmente apelativo.

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1)&=\sum_{k=0}^{n-1}\left[ (k+1)^2-k^2\right]\\ &= \sum_{k=0}^{n-1}(u_{k+1}-u_k) \end{aligned}}$

Com ${u_k=k^2}$

Usando a fórmula que já nos é familiar por esta altura

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}(2k+1) &= (n-1+1)^2-0^2\\ &= n^2 \end{aligned}}$

Um resultado que realmente tem algo de mágico estético, tal como os gregos diziam!

a) Usando 1.a) e ${a^k=a^k\dfrac{a-1}{a-1}\quad (a \neq 1)}$ calcule $\sum_{k=0}^{n-1} a^k$

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} a^k &= \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \left[ a^k\frac{a-1}{a-1}\right]\\ &= \displaystyle \frac{1}{a-1}\sum_{k=0}^{n-1}\left( a^{k+1}-a^k\right)\\ &= \displaystyle\frac{1}{a-1}(a^n-1)\\ &= \displaystyle\frac{a^n-1}{a-1} \end{aligned}}$

b) Usando a) estabeleça a desigualdade ${a^n-1 \geq n(a-1)}$ se ${a > 0}$ e ${n \in \mathbb{Z}^+}$ (se bem se lembram usamos esse resultado no artigo Análise Matemática ? Sucessões III

Se ${a=1}$ é ${1-1=n(1-1) \Rightarrow 0=0}$ que é trivialmente válido.

Se ${n=1}$ é ${a-1=a-1}$ que é trivialmente válido.

Para ${n \geq 2 }$ e ${a>1}$ é:

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}a^k&= 1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}\\ &> 1+1+\ldots+1\\ &= n \end{aligned}}$

Assim

${\begin{aligned} \dfrac{a^n-1}{a-1} & > n \\ a^n-1 &> n(a-1) \end{aligned}}$

Uma vez que ${a > 1}$

Finalmente, se ${0 < a <1 }$ é

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}a^k&= 1+a+a^2+\ldots+a^{n-1}\\ &< 1+1+\ldots+1\\ &= n \end{aligned}}$

Assim

${\begin{aligned} \dfrac{a^n-1}{a-1} &< n \\ a^n - 1 &> n(a-1) \end{aligned}}$

Uma vez que ${a < 1}$

c) Use b) para calcular ${\lim a^n}$ se ${a > 1}$ e depois conclua que ${\lim a^n=0}$ se ${|a| < 1}$ .

por b) é

${\begin{aligned} a^n &> n(a-1)+1 \\ \lim a^n &\geq \lim \left( n(a-1)+1 \right)= +\infty \end{aligned}}$

Logo ${\lim a^n = +\infty \quad (a>1)}$

Para a segunda parte vamos calcular antes ${\lim |a^n|}$ uma vez que sabemos que ${ u_n \rightarrow 0 \Leftrightarrow |u_n| \rightarrow 0}$ pelo artigo Análise Matemática ? Exercícios II

Vamos fazer a mudança de variável ${t=1/a}$ . O que implica ${|a|=|1/t|}$ e

${\begin{aligned} \lim |a^n| &= \lim |1/t|^n\\ &= \dfrac{1}{\lim |t|^n}\\ &= \dfrac{1}{+\infty}\\ &=0 \end{aligned}}$

3. Considere as sucessões ${u_n=\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n }$ e ${v_n=\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^{n+1}}$

a) Calcule ${\dfrac{v_n}{v_{n+1}}}$ e ${\dfrac{u_{n+1}}{u_n}}$ . Use a desigualdade de Bernoulli para mostrar que ${v_n}$ é estritamente decrescente e que ${u_n}$ é estritamente crescente.

${\begin{aligned} \dfrac{v_n}{v_{n+1}} &= \dfrac{\left( 1+1/n \right)^{n+1}}{\left(1+1/(n+1)\right)^{n+2}}\\ &=\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+1}}{\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+2}}\\ &= \dfrac{n}{n+1}\dfrac{\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n+2}}{\left( \dfrac{n+2}{n+1} \right)^{n+2}}\\ &=\dfrac{n}{n+1}\left( \dfrac{(n+1)^2}{n(n+2)} \right)^{n+2}\\ &= \dfrac{n}{n+1}\left( \dfrac{n^2+2n+1}{n(n+2)} \right)^{n+2}\\ &=\dfrac{n}{n+1}\left( \dfrac{n(n+2)+1}{n(n+2)} \right)^{n+2}\\ &= \dfrac{n}{n+1}\left( 1+\dfrac{1}{n(n+2)} \right)^{n+2} \end{aligned}}$

Após calcularmos ${v_n/v_{n+1}}$ podemos usar a Desigualdade de Bernoulli com ${a=1+\dfrac{1}{n(n+2)}}$ , para vermos que ${v_n}$ é estritamente decrescente.

${\begin{aligned} \dfrac{n}{n+1}\left( 1+\dfrac{1}{n(n+2)} \right)^{n+2} &> \dfrac{n}{n+1}\left(1 + \dfrac{n+2}{n(n+2)} \right)\\ &= \dfrac{n}{n+1}(1+1/n)\\ &= \dfrac{n}{n+1}\dfrac{n+1}{n}\\ &= 1 \end{aligned}}$

Assim ${v_n}$ é estritamente decrescente.

Como uma técnica semelhante podemos mostrar que

$u_{n+1}/u_n=\dfrac{n+1}{n}\left( 1- \dfrac{1}{(n+1)^2}\right)^{n+1}$

E após isso novamente usamos a Desigualdade de Bernoulli para mostrar que ${u_{n+1}/u_n>1}$ o que implica que ${u_n}$ é estritamente crescente.

c) Usando a), b) e ${\lim u_n = e}$ mostre que são válidas as seguintes desigualdades ${(1+1/n)^n < e <(1+n)^{n+1}}$ .

${\begin{aligned} \lim v_n&= \lim(1+1/n)^n(1+1/n)\\ &= e\times 1\\ &= e \end{aligned}}$

Já sabemos que ${v_n}$ é decrescente por isso é ${v_n<(1+1/n)^{n+1}}$

Por outro lado ${u_n}$ é crescente e ${\lim u_n=e}$ por isso ${(1+1/n)^n<e}$ .

Logo ${(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^{n+1}}$

d) Use c) para mostrar que $\frac{1}{n+1}<\log (n+1)-\log n <\frac{1}{n}$ .

${ \begin{aligned} (1+1/n)^n &< e \\ n \log \left( \dfrac{n+1}{n} \right) &< 1 \\ \log(n+1) - \log n &< \dfrac{1}{n} \end{aligned} }$

E agora para a segunda parte da desigualdade:

${ \begin{aligned} e &< \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^{n+1} \\ 1 &< (n+1)\log \left(\dfrac{n+1}{n}\right) \\ \dfrac{1}{n+1} &< \log (n+1) -\log n \end{aligned}}$

Em conclusão é ${ \dfrac{1}{n+1}<\log (n+1)- \log n < \dfrac{1}{n} }$

a) Usando 3d) mostre que $1+\log k < (k+1)\log (k+1)-k\log k < 1+ \log(k+1)$ .

Em primeiro lugar é

${ \begin{aligned} \dfrac{1}{k+1} &< \log (k+1) - \log k \\ 1 &< (k+1)\log(k+1) - (k+1)\log k \\ 1+ \log k &< (k+1)\log(k+1)-k \log k \end{aligned}}$

Com um raciocínio semelhante também podemos mostrar que ${(k+1)\log(k+1)-l\log k < 1+ \log(k+1)}$ .

Logo é ${1+\log k < (k+1)\log(k+1)-k\log k < 1+ \log(k+1)}$

b) Some as desigualdades anteriores entre ${1 \leq k \leq n-1}$ .

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(1+ \log k) &< \sum_{k=1}^{n-1} ((k+1)\log(k+1)-k \log k)\\ &< \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}(1+\log(k+1)) \end{aligned}}$

Ora

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1} (1+ \log k) &= \sum_{k=1}^{n-1}1+\sum_{k=1}^{n-1}\log k\\ &= n-1 +\sum_{k=1}^{n-1}\log k \end{aligned}}$

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}\log k &= \log 1 + \log2 +\ldots+\log(n-1)\\ &=\log((n-1)!) \end{aligned}}$

E também temos

${\begin{aligned} \displaystyle \sum_{k=1}^{n-1}((k+1)\log(k+1) - k\log k)&= m\log n -\log 1\\ &=n\log n \end{aligned}}$

E $\sum_{k=1}^{n-1}(1+\log(k+1))=n-1+\log n!$

Em conclusão é ${n-1+\log(n-1)! < n\log n < n-1 \log n!}$

c) Conclua as seguintes desigualdades ${ n \log n -n +1 < \log n! < n \log n -n+1+\log n}$ e estabeleça a Aproximação de Stirling $\log n! = n\log n -n +r_n$ com ${e < C_n < en}$

${ \begin{aligned} n-1 + \log (n-1)! &< n\log n \\ \log (n-1)! &< n\log n -n+1 \\ \log n! &< n\log n -n +1+\log n \end{aligned}}$

Por outro lado

${\begin{aligned} n\log n &< n-1 + \log n! \\ n\log n -n +1 &< \log n! \end{aligned} }$

Logo

${\begin{aligned} n\log n -n +1 &< \log n! \\ &< n\log n -n +1 +\log n \end{aligned}}$

E daqui temos ${1 < \log n! -n\log n+n < 1+\log n}$

Definindo ${r_n=\log n! -n\log n+n}$ vem que ${\log n! = n\log n-n+r_n}$ com ${1 < r_n < 1+\log n}$

Mostre que ${\log \left(1+\dfrac{1}{n}\right)\sim \dfrac{1}{n}}$ e que ${\log \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\sim \dfrac{1}{n^2}}$

Sabemos que

${ \begin{aligned} \dfrac{1}{n+1} &< \log(n+1)-\log n < \dfrac{1}{n} \\ \dfrac{1}{n+1} &< \log\left( \dfrac{n+1}{n}\right) < \dfrac{1}{n} \\ \dfrac{1}{n+1} &< \log\left( 1+\dfrac{1}{n}\right) <\dfrac{1}{n} \\ \dfrac{1/(n+1)}{1/n} &< \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n}<1 \\ \lim \dfrac{n}{n+1} &\leq \lim \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n} \leq \lim 1 \\ 1 &\leq \lim \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n} \leq 1 \end{aligned}}$

Logo ${\lim \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n}=1}$ e isto é equivalente a ${\log \left(1+\dfrac{1}{n}\right)\sim \dfrac{1}{n}}$ .

Seja ${u_n = \dfrac{\log (1+1/n)}{1/n}}$ . Neste caso é ${\dfrac{\log (1+1/n^2)}{1/n^2}=u_{n^2}}$ . Uma vez que ${u_{n^2}}$ é uma subsucessão de ${u_n}$ sabemos que é ${\lim u_{n^2}= \lim u_n}$ e assim também é ${\log \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)\sim \dfrac{1}{n^2}}$ .

6. Mostre que ${u_n \sim v_n}$ e ${v_n \sim w_n \Rightarrow u_n \sim w_n }$

Por hipótese é ${u_n=h_n v_n}$ , ${v_n=t_n w_n}$ com ${h_n,t_n \rightarrow 1}$ .

Substituindo a segunda igualdade na primeira obtemos ${u_n = h_n t_n w_n}$ .

Seja ${s_n = h_n t_n}$ e ${u_n =s_n w_n }$ com ${\lim s_n = \lim h_n \lim t_n =1\times 1=1}$ .

Logo ${u_n \sim w_n}$

7. Seja ${u_n = O\left(1/n\right)}$ e ${v_n = O (1/ \sqrt{n})}$ . Mostre que ${u_n v_n = o ( 1/n^{4/3})}$ .

${u_n = h_n 1/n}$ and ${v_n = t_n 1/ \sqrt{n}}$ com ${h_n}$ e ${t_n}$ sendo sucessões limitadas.

${\begin{aligned} u_n v_n &= \dfrac{h_n}{n} \dfrac{t_n}{\sqrt{n}}\\ &= \dfrac{h_n t_n}{n^{3/2}}\\ &=\dfrac{h_n t_n}{n^{1/6}}\dfrac{1}{n^{4/3}} \end{aligned}}$

Seja ${s_n = \dfrac{h_n t_n}{n^{1/6}}}$ . Então ${\lim s_n = \lim \dfrac{h_n t_n}{n^{1/6}} = 0}$ uma vez que ${h_n t_n}$ é limitada.

Logo ${u_n v_n = o (1/n^{4/3})}$

8.Usando a Aproximação de Stirling mostre que ${\log n! = n\log n -n + O(\log n)}$

Sabemos que é ${\log n! = n\log n -n + +r_n}$ com ${ 1< r_n < 1+\log n}$ . Logo

${\begin{aligned} 0 &<\dfrac{1}{\log n}\\ &< \dfrac{r_n}{\log n}\\ &< \dfrac{1}{\log n} +1\\ &\leq \dfrac{1}{\log 2}+1 \end{aligned}}$

Onde usámos o facto que ${ \dfrac{1}{\log n}+1}$ é uma função decrescente.

Logo ${\dfrac{r_n}{\log n}}$ é limitada e assim ${r_n=O(\log n)}$ como desejado.

Análise Matemática – Limites e Continuidade IV

07/18/2015 1:58 pm / Deixe um comentário

Como uma aplicação do Teorema 35 vamos estudar as funções ${f(x)=e^x}$ e ${g(x)=\log x}$ .

Ora ${f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R^+}}$ é uma função estritamente crescente e ${g:\mathbb{R^+} \rightarrow \mathbb{R}}$ também é uma função estritamente crescente.

Pelo Teorema 35 é então $\lim_{x \rightarrow +\infty}e^x = \mathrm{sup} [\mathbb{R^+}] = +\infty$ e $\lim_{x \rightarrow -\infty} e^x= \mathrm{inf} [\mathbb{R^+}] = 0$ .

Quanto a ${g(x)}$ vem que $\lim_{x \rightarrow +\infty} \log x=\sup [\mathbb{R}]=+\infty$ e $\lim_{x \rightarrow 0} \log x = \inf [\mathbb{R}]=-\infty$ .

Definição 34 Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f,g: D \rightarrow \mathbb{R}}$ ,e ${c \in D^\prime}$ . Vamos admitir que existe ${h: D \rightarrow \mathbb{R}}$ tal que ${f(x) = h(x)g(x) }$ .

Se $\lim_{x \rightarrow c} h(x)=1$ dizemos que ${f(x)}$ é assimptoticamente igual a ${g(x)}$ quando ${x \rightarrow c}$ e escrevemos ${f(x) \sim g(x)\,\, (x \rightarrow c)}$ .
Se $\lim_{x \rightarrow c} h(x) = 0$ dizemos que ${f(x)}$ é desprezável relativamente a ${g(x)}$ quando ${x \rightarrow c}$ e escrevemos ${ f(x) = o (g(x)) \,\, (x \rightarrow c)}$ .
Se ${h(x)}$ é limitada em alguma vizinhança de ${c}$ dizemos que ${f(x)}$ é dominada por ${g(x)}$ quando ${x \rightarrow c}$ e escrevemos ${f(x)=O(g(x)) \;(x \rightarrow c)}$ .

Se ${g(x)\neq 0}$ é:

${ f(x) \sim g(x) \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 1}$ .
${ f(x) = o (g(x)) \,\, (x \rightarrow c) \Leftrightarrow \displaystyle \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)}{g(x)} = 0}$ .
${ f(x) = O(g(x)) \,\, (x \rightarrow c) \Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{g(x)} }$ é limitada em alguma vizinhança de ${c}$ .

Esta noções têm uma interpretação exactamente igual à interpretação oferecida aquando do nosso estudo das sucessões e dão o mesmo tipo de informação referente ao comportamento de duas funções.

Teorema 36

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f,g,f_0,g_0: D \rightarrow \mathbb{R}}$ , e ${c \in D^\prime}$ . Então:

Se ${f(x) \sim g(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ e $\lim_{x \rightarrow c}g(x) = a$ , então $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$
Se ${f(x) \sim f_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ e ${g(x) \sim g_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ , então ${f(x)g(x) \sim f_0(x)g_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ e ${f(x)/g(x) \sim f_0(x)/f_0(x) \,\, (x \rightarrow c)}$ .

Demonstração: Deixada como um exercício para o leitor. $\Box$

Para as funções polinomiais podemos dizer com toda a generalidade o seu comportamento é ditado pelo termo de maior grau se nos estivermos a aproximar de ${\pm \infty}$ . No entanto, se a aproximação for para ${0}$ o seu comportamento é ditado pelo termo de menor grau.

Para vermos que de facto as coisas são como enunciamos vamos analiser o simples exemplo:

$\displaystyle f(x) = x^2+x$

Ora ${x^2+x=(x+1)x}$ . Seja ${h(x)=x+1}$ . então $\lim_{x \rightarrow 0} h(x)=1$ e assim é ${x^2+x=O(x) \,\, (x \rightarrow 0)}$ .

Outro exemplo com bastante interesse para nós é:

$\displaystyle \sin x \sim x \,\, (x \rightarrow 0)$

Podemos ver que é assim uma vez que é $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

— 4.6. Condição Epsílon-Delta —

Após este preâmbulo está na hora de introduzirmos o conceito de limite e continuidade utilizando a condição ${ \varepsilon\delta }$ .

Mais uma vez o que estamos a fazer é usar conceitos cada vez mais abstractos por forma a conseguirmos atingir níveis de rigor e generalização cada vez maiores. A partir deste ponto temos perfeita consciência que a compreensão desta matéria será mais difícil, especialmente para quem não está habituado a este tipo de argumentos, mas temos também sabemos que ao fazerem o devido esforço serão recompensados intelectualmente.

O ponto da condição ${ \varepsilon\delta }$ é que nos permite evitar conceitos nebulosos como perto de, sinais de entrada, sinais de saída, ou ainda a relativamente fraca definição de limite que temos usado até agora.

Teorema 37 (Teorema de Heine)

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f: D \rightarrow \mathbb{R}}$ , ${c \in D^\prime}$ e ${a \in \overline{\mathbb{R}}}$ . Dizemos que $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$ sse

$\displaystyle \forall \delta > 0 \, \exists \varepsilon >0 : \; x \in V(c,\varepsilon) \cap (D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow f(x) \in V(a, \delta)$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Caso a parafernália de símbolos faz com que os nossos leitores fiquem a pensar “Mas afinal isto quer dizer o quê?!” a resposta é que isto somente uma correcta formalização da noção intuitiva de limite.

Mais uma vez temos que ver isto como se fosse um jogo entre duas pessoas. A primeira escolhe os valores de ${\delta}$ enquanto que a segunda escolhe os valores de ${\varepsilon}$ que façam com que a condição seja válida.

Se o segundo jogador conseguir encontrar uma expressão geral de ${\varepsilon}$ para todos os valores de ${\delta}$ ele ganha o jogo e podemos afirmar que função realmente tem limite ${a}$ no ponto ${c}$ .

Teorema 38

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f: D \rightarrow \mathbb{R}}$ , e ${c \in D^\prime}$ . Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x)$ existe e é finito, então existe uma vizinhança de ${c }$ onde ${f(x)}$ é limitada.

Demonstração:

Seja $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a \in \mathbb{R}$ . Pelo Teorema 37 com ${\delta=1}$ existe ${\varepsilon > 0}$ tal que

$\displaystyle \begin{aligned} x \in V(c,\varepsilon)\cap(D\setminus\left\lbrace c \right\rbrace ) &\Rightarrow f(x) \in V(a,1) \\ &\Rightarrow f(x) \in \left] a-1, a+1\right[ \end{aligned}$

Assim ${x\in V(c,\varepsilon)\cap(D\setminus\left\lbrace c \right\rbrace)\Rightarrow a-1 < f(x) < a+1}$ .

Logo

$\displaystyle x \in V(c,\varepsilon) \cap D \Rightarrow f (x) \begin{cases} \leq \mathrm{max} \left\lbrace a+1,f(c)\right\rbrace \\ \geq \mathrm{max}\left\lbrace a+1,f(c)\right\rbrace \end{cases}$

e ${f(x)}$ é limitada em ${V(c,\varepsilon)}$ $\Box$

Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x)/g(x)$ existe, então ${f(x)= O(g(x))\,\, (x \rightarrow c)}$ uma vez que neste caso é ${h(x)=f(x)/g(x)}$ e existe uma vizinhança de ${c}$ onde ${h(x)}$ é limitada.

Após isto estamos interessados em saber como é que podemos traduzir $\lim_{x \rightarrow c^+} f(x) = a$ para uma condição ${\varepsilon\delta}$ .

Neste caso estamos a considerar ${f(x)}$ apenas no conjunto ${D_{c^+}}$ e temos:

$\displaystyle \forall \delta > 0 \exists \varepsilon > 0: \, x \in V(c,\varepsilon)\cap D_{c^+} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)$

Teorema 39

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f:D \rightarrow \mathbb{R}}$ , e ${c \in D^\prime}$ . Se $\lim_{x \rightarrow c^-}f(x)=\lim_{x \rightarrow c^+}f(x)=a$ , então $\lim_{x \rightarrow c}f(x)=a$ .

Demonstração:

Seja ${\delta > 0}$ . Pela condição ${\varepsilon\delta}$ é:

$\displaystyle \exists \varepsilon_1>0:x \in V(c,\varepsilon_1)\cap D_{c^+} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)$

$\displaystyle \exists \varepsilon_2>0:x \in V(c,\varepsilon_2)\cap D_{c^-} \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)$

Tomando ${\varepsilon =\mathrm{min} \left\lbrace \varepsilon_1, \varepsilon_2 \right\rbrace }$ Vem que ${x \in V(c,\varepsilon) \cap (D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow x \in V(c,\varepsilon) \cap D_{c^+}}$ ou ${x \in V(c,\varepsilon) \cap D_{c^- }\Rightarrow f(x) \in V(a,\delta)}$

Em conclusão:

${ \forall \delta > 0 \exists \varepsilon > 0: x \in V(c,\varepsilon)\cap (D\setminus \left\lbrace c \right\rbrace ) \Rightarrow f(x) \in V(a,\delta) }$ que é equivalente a $\lim_{x \rightarrow c} f(x)=a$ . $\Box$

Definição 35

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f: D \rightarrow \mathbb{R}}$ e ${c \in D}$ . Dizemos que ${f(x)}$ é contínua em ${c}$ se para todas as sucessões ${x_n}$ de pontos em ${D}$ , tal que ${\lim x_n = c}$ é ${\lim f(x_n)=f(c)}$ .

A função diz-se contínua se é contínua em todos os pontos de ${D}$ .

Vamos agora usar alguns exemplos para clarificar a Definição 35.

$\displaystyle f(x)=|x| \quad \forall x \in \mathbb{R}$

Seja ${c \in \mathbb{R}}$ e ${x_n}$ uma sucessão tal que ${x \rightarrow c}$ . Então ${f(x_n)=|x_n|}$ e ${\lim f(x_n) = \lim |x_n| = |c|}$ .

Ou seja dizer que ${f(x_n) \rightarrow f(c)}$ é equivalente a dizer que ${f}$ é contínua em ${c}$ . Uma vez que ${c}$ pode ser um ponto qualquer ${f(x)=|x|}$ é contínua em ${\mathbb{R}}$ .
Seja ${f(x)= \sin x}$ e ${x_n}$ uma sucessão tal que ${x_n \rightarrow \theta}$ . Temos ${\lim \sin x= \sin \theta}$ e usando o mesmo argumento que no exemplo anterior podemos dizer que ${\sin x}$ é contínua.
Em geral podemos dizer que se ${x_n \rightarrow c}$ é ${\lim f(x_n)=f(c)=f(\lim x_n)}$ . Logo para ${\exp (x)}$ é ${\lim \exp (x_n)=\exp (\lim x_n)}$ .
Se ${x_n \rightarrow +\infty }$ vem que ${\lim \exp(x_n)=+\infty }$ . Para ${x_n \rightarrow -\infty}$ vem que ${\lim \exp(x_n)=0}$ .

Se definirmos ${\exp (+\infty)=+\infty}$ e ${\exp (-\infty)=0}$ vem que é sempre ${\lim \exp (x_n)=\exp (\lim x_n)}$ .
De forma análoga podemos definir ${\log +\infty= +\infty}$ e ${\log 0 = -+\infty}$ para que seja sempre ${\lim \log x_n = \log (\lim x_n)}$ .

Teorema 40 (Teorema de Heine para a continuidade)

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f:D \rightarrow \mathbb{R}}$ e ${c \in D}$ . ${f}$ é contínua em ${D}$ sse

$\displaystyle \forall \delta>0 \,\,\exists \, \varepsilon > 0: \, x \in D \wedge |x-c| < \varepsilon \Rightarrow |f(x)-f(c)| < \delta$

Que também podemos escrever na forma de vizinhanças:

$\displaystyle \forall \delta>0 \,\,\exists \, \varepsilon > 0: \, x \in V(c,\varepsilon) \cap D \Rightarrow f(x) \in V(f(c),\delta)$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Como podemos ver a condição ${\varepsilon\delta}$ para a continuidade no ponto ${c}$ é muito semelhante à condição ${\varepsilon\delta}$ para o limite ${a}$ no ponto ${c}$ .

Para terminarmos este artigo vamos só enunciar um teorema que torna mais explícita a relação entre continuidade e limite.

Teorema 41 Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ , ${f:D \rightarrow \mathbb{R}}$ e ${c \in D \cap D^\prime}$ . Então ${f}$ é contínua em ${c}$ sse $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = f(c)$ .

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Análise Matemática – Limites e Continuidade III

07/18/2015 6:08 am / 1 comentário em Análise Matemática – Limites e Continuidade III

O conceito de limite é um conceito local.

Em linguagem matemática quando dizemos que o conceito de limite é local estamos a dizer que para uma função ter um limite num dado ponto, $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$ , não interessa como é que a função se comporta quando estamos longe do ponto em questão. O que interessa é como a função se comporta quando estamos na vizinhança do ponto.

A linguagem que estamos a usar até pode ser satisfatória para o dia-a-dia, mas para os padrões de rigor da Matemática deixa muito a desejar.

O que nós, de facto, estamos a fazer com o conceito de limite é formalizar o que queremos dizer quando usamos expressões como longe e na vizinhança.

Como exemplo, vamos introduzir a função

$\displaystyle f(x) = \begin{cases} o \quad x \in \mathbb{Q}\\ x \quad x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \end{cases}$

Esta função não é das mais sofisticadas, mas é o suficiente para a ideia que queremos passar.

Antes de mais vamos representar graficamente esta função para termos uma visualização do seu comportamento:

Onde representámos ${x \in \mathbb{Q}}$ com a cor azul e ${x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}}$ a vermelho.

É fácil ver que para todos os pontos ${c}$ diferentes de ${0}$ a função não tem limite.

Para ${c \neq 0}$ $\lim_{x \in \mathbb{Q} \rightarrow c} f(x) = 0$ e ${ \displaystyle\lim_{x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\rightarrow c} f(x) = c }$ . Logo $\lim_{x \in \mathbb{Q} \rightarrow c} f(x) \neq \lim_{x \in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\rightarrow c} f(x)$ , e assim podemos concluir que este limite não existe.

Para ${c=0}$ é possível mostrar (faremos isso quando o conceito de limite for formalizado usando a condição ${ \epsilon-\delta }$ ) que $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$ .

Quase que apetece dizer que “Não se pode ser mais local do que isto! Esta função só tem limite no ponto ${x=0}$ !”.

De uma forma intuitiva podemos entender este resultado da seguinte forma. O conceito de limite basicamente expressa o quão bem-comportada uma função é. Uma vez que esta função está sempre a saltar de ponto para ponto dependendo se estamos numa ordenada racional ou numa ordenada irracional podemos dizer que esta função é malcomportada.

A asserção anterior é verdadeira em quase todo o domínio da função. O único ponto em que ela deixa de ser aplicável é em ${x=0}$ .

Isto é assim porque embora a função seja malcomportada ela é cada vez menos malcomportada à medida que nos aproximamos da origem.

Teorema 32

Seja ${D \subset \mathbb{R} }$ , ${f,g : D \rightarrow \mathbb{R}}$ , ${c \in D^\prime}$ e ${r > 0}$ tal que

$\displaystyle f(x) \leq g(x)\, \forall x \in V(c,r) \cap \left( D \setminus \left\lbrace c\right\rbrace \right)$

Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x)= +\infty$ então também é $\lim_{x \rightarrow c} g(x)= +\infty$ . Se $\lim_{x \rightarrow c} g(x)= -\infty$ então também é $\lim_{x \rightarrow c} f(x)= -\infty$

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Tal como noutros casos que já vimos o teorema anterior expressa um facto bastante prosaico, mas, tal como nos outros casos, aqui o que interessa é vermos que podemos demonstrar estas asserções rigorosamente.

O que devemos reter deste teorema é que ele nos permite saber o resultado do limite algumas funções sem termos que calcular o limite.

Teorema 33 (Teorema da função enquadrada)

Seja ${D \subset \mathbb{R} }$ , ${f,g : D \rightarrow \mathbb{R}}$ , ${c \in D^\prime}$ e ${r > 0}$ tal que ${g(x) \leq f(x) \leq h(x)\quad \forall x \in V(c,r) \cap D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace }$ . Se $\lim_{x \rightarrow c} g(x) = \lim_{x \rightarrow c} h(x) = a$ também é $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$ .

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

E temos mais um teorema que continua a tendência de possibilitar que saibamos o limite de funções sem termos que o calcular!

Como exemplo vamos ver o limite:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sin x}{x}$

Temos

$\displaystyle -1 \leq \sin x \leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$

Logo

$\displaystyle \displaystyle -\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x} \quad \forall x > 0$

Uma vez que é $\lim_{x \rightarrow +\infty}-\frac{1}{x}=\lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{1}{x}= 0$ vem que $\lim_{x \rightarrow +\infty}-\frac{\sin x}{x}=0$ .

Como segundo exemplo vamos olhar para:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}$

Uma vez que

$\displaystyle \displaystyle \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1\quad \forall x \in \left] -\frac{\pi}{2},0 \right[ \cup \left] 0,\frac{\pi}{2}\right[$

Temos $\lim_{x \rightarrow 0}1=1$ e $\lim_{x \rightarrow 0} \cos x = \cos 0 = 1$ . Assim também é $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$

— 4.5. Propriedades algébricas dos limites de funções —

Tal como fizemos para as sucessões vamos agora enunciar algumas regras algébricas que nos permitem calcular o limite de algumas expressões matemáticas mais complexas.

Teorema 34 (Propriedades algébricas dos limites de funções)

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f,g:D \rightarrow \mathbb{R}}$ e ${c \in D^\prime}$ . Então:

$\lim_{x \rightarrow c} f(x)=a \Rightarrow \lim_{x \rightarrow c} |f(x)|=|a|$
$\lim_{x \rightarrow c} f(x)=a$ e $\lim_{x \rightarrow c} g(x)=b$ , então $\lim_{x \rightarrow c} \left( f(x)+g(x)\right) = a+b$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = +\infty$ e ${g}$ é minorada, então $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)+g(x))= +\infty$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = -\infty$ e ${g}$ é minorada, então $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)+g(x))= -\infty$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = 0$ e ${g}$ é limitada, então $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)g(x))= 0$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a$ e $\lim_{x \rightarrow c} g(x) = b$ , então $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)g(x))= ab$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = +\infty$ e $\lim_{x \rightarrow c} g(x) = a \neq 0$ , então $\lim_{x \rightarrow c} |f(x)g(x)|= +\infty$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = a \neq 0$ , então $\lim_{x \rightarrow c} 1/f(x)= 1/a$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = +\infty$ , então $\lim_{x \rightarrow c} 1/f(x)= 0$
Se $\lim_{x \rightarrow c} f(x) = 0$ , então $\lim_{x \rightarrow c} 1/|f(x)|= +\infty$

Demonstração:

Só vamos demonstrar a segunda proposição uma vez que o raciocínio pode ser facilmente adaptado aos outros casos.

Seja ${x_n}$ uma sucessão em ${D \setminus \left\lbrace c \right\rbrace }$ tal que ${x_n \rightarrow c}$ . Então ${f(x_n) \rightarrow a}$ e ${g(x_n) \rightarrow b}$ . Pelo que já vimos em sucessões é ${f(x_n)+g(x_n) \rightarrow a+b}$ .

Por definição de limite isto é $\lim_{x \rightarrow c} (f(x)+g(x)) = a + b$ . $\Box$

Teorema 35 (Teorema da função Monótona)

Seja ${D \subset \mathbb{R}}$ ; ${f: D \rightarrow \mathbb{R}}$ , ${ \alpha = \inf D}$ e ${ \beta = \sup D}$ .

Então:

Se ${ \alpha \in D^\prime }$ , $\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x)$ existe e temos: $\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{inf}f \left[ D_{\alpha^+} \right]$ se ${f}$ é crescente.
$\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{sup}f \left[ D_{\alpha^+} \right]$ se ${f}$ é decrescente.
Se ${ \beta \in D^\prime }$ , $\lim_{x \rightarrow \beta} f(x)$ existe e temos: $\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{sup}f \left[ D_{\beta^-} \right]$ se ${f}$ é crescente.
$\lim_{x \rightarrow \alpha} f(x) = \mathrm{inf}f \left[ D_{\beta^-} \right]$ se ${f}$ é decrescente.

Demonstração:

Não vamos dar uma demonstração formal deste resultado, mas vamos providenciar uma evidência gráfica da sua veracidade.

Como exemplo vamos tomar a função crescente:

$\displaystyle f(x) = \sin x \quad \forall x \in \left] -\pi/2, \pi/2\right[$

Neste caso é ${ \alpha = -\pi/2 }$ e ${ \beta = \pi/2 }$ ; $\lim_{x \rightarrow -\pi/2} \sin x = \sin(-\pi/2)= -1$ .

${ D_{\alpha^+}}$ representa ${D\cap \left] \alpha, +\infty \right[}$ de tal modo que ${f \left[ D_{\alpha^+} \right] }$ representa o transformado de ${f}$ por ${ D \cap \left] \alpha, +\infty \right[ }$ . Isto é mesmo que dizer que ${f \left[ D_{\alpha^+} \right] = \left] -1, 1 \right[ }$ e ${ \mathrm{inf}\left] -1, 1 \right[=-1 }$ como já havíamos visto ao calcular o limite.