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1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas (Parte 2)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 4 .

A soma de duas cargas é igual 0. Quando colocadas afastadas em {1 \ mm } a força electrostático entre elas fica igual a {100 \ mN}.

Determine o valor destas cargas .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 4 .

Dados

{ q_1+q_2=0 } .

{F=100 \ mN = 0,1 \ N } .

{ K= 9 \cdot 10^9 \dfrac{Nm^2}{C^2} } .

{ d=1 \ mm = \ 1 \cdot 10 ^{-3} \ m } .

{ q_1 \rightarrow ? } .

{ q_2 \rightarrow ? }

Este problema apresenta uma situação de aplicação directa da Lei de Coulomb.

São dadas duas cargas de valores desconhecidos, e definidas duas condições: soma algébrica das cargas e força electrostática.

Uma vez que não temos os valores das duas cargas eléctricas, mais temos a força é essa distância podemos criar um sistema de equação para encontrarmos as duas cargas.

O facto de a soma ser igual a zero, já implica que as cargas têm sinais opostos. Vamos pressupor que a carga {q_1} é positiva e que {q_2} é negativa. Este procedimento será relevante na eliminação do módulo na formula afecta a Lei de Coulomb.

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ k\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(r)^2}=0,1\\ \end{array}\right.

Nota que, a primeira equação deriva da condição de que a soma seja zero. A segundo equação provém da igualdade entre a relação da força pela Lei de Coulomb e o valor da força dado no enunciado.

Substituindo valores para as constantes e dos dados, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(1 \cdot 10 ^{-3})^2}=0,1 \\ \\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{1 \cdot 10 ^{-6}}=0,1\\ \end{array}\right.

Resolvendo, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^{15} | q_1 | | q_2 | =0,1\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{0,1}{9 \cdot 10^{15}}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{1 \cdot 10 ^{-1}}{9 \cdot 10^15}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1= -q_2 \\ \\ | q_1 \cdot q_2 | ==\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

Substituindo {q_1} da primeira equação na segunda, teremos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q_2 \cdot q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q^2_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

Eliminando o módulo, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q^2_2 = =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| = \sqrt{\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| \approx 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.

Eliminando o modulo de {q_2}, obtemos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q_2 = - 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.

Como {q_1= -q_2}, então:

\displaystyle q_1=3,33 \cdot 10^{-3} \ C

Exercício 5 Um conjunto de cargas colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de {50 \ \mu m} de aresta, tem todas {10 \ \mu C}. Qual é a força resultante em qualquer carga dos vértices?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .

Dados

{q_1=q_2=q_3=10 \ \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C }

{a=50 \ \mu m=50 \cdot 10^{-6} \ m }

{F_{r_{q3}}-? }

{K=9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2 }

O problema apresenta um sistema de 3 cargas (num plano). A disposição das cargas é tal que forma um Triângulo Equilátero.

Da geometria plana, sabemos que o triângulo equilátero tem todos os lados e ângulos internos iguais. O valor dos ângulos internos é sempre de {60^o}.

Devemos fazer a figura, inserir um sistema de coordenadas. escolher uma das cargas e indicar as interacções das forças nesta carga.

Como as cargas são todas do mesmo sinal a força entre elas é sempre de repulsão. Escolhemos a carga {q_3} para análise.

A partir da figura, observamos que actuam na carga {q_3} duas forças: {F_{13}} (Força de interacção entre as cargas 1 e 3) e {F_{23}} (força de interacção entre as cargas 2 e 3.

Essas forças estão na direcção da linha que une as cargas em questão e representamo-las como setas que saem da carga naquelas direcções. Como as forças são de repulsão, o sentido escolhido é o sentido que tende a afastar as cargas.

Como temos adição de dois vectores, podemos optar por um dos dois métodos: lei dos cossenos ou decomposição em projecções.

Neste exercício, faremos a decomposição em projecções (por livre escolha).

A força {\vec{F_{23}}} é um vector paralelo ao eixo {Ox}. Não precisa ser projectado.

A força {\vec{F_{13}}} , por não ser paralela ao eixo {Ox} nem ao eixo {Oy}, vamos projecta-la. Dá origem então as projecções {\vec{F_{13x}}} e {\vec{F_{13y}}}.

A partir da figura temos:

Sabemos que {F_{23}=F_{13}=F}, porque tem as mesma cargas e a mesmas distâncias. Então, pela lei de Coulomb, temos:

\displaystyle \Rightarrow F_{23}=\dfrac{K \cdot |q_2| \cdot |q_3|}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^{9} (10 \cdot 10^{-6})^2}{(50 \cdot 10^{-6})^2}

Resolvendo, temos:

\displaystyle F_{23}=36 \cdot 10^{10} \ N =F_{13}=F

Os ângulos da força {\vec{F_{13}}} se obtêm por análise gráfica. Considerando o axioma de rectas concorrentes, concluímos que o ângulo entre {\vec{F_{13}}} e o eixo {Ox} é {60^o}. O ângulo de {\vec{F_{13}}} com o eixo {Oy} é o complementar de {60^o}, portanto, {30^o}. Neste método, o vector resultante é obtido pelas resultantes em cada eixo.

Neste caso, a projecções resultantes são:

\displaystyle F_{Rx}=F_{23} + F_{13} \cdot \sin 30^o=F + F \cdot \cos 60^o

\displaystyle F_{Ry}=F_{13} \cdot \cos 30^o= \ F \cdot \sin 60^o

Neste caso, usando o teorema de Pitágoras, teremos:

\displaystyle F_{r_{q3}}=\sqrt{(F_{Rx} )^2 + (F_{Ry} )^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{(F + F \cdot \cos 60^o)^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[F(1 + \cos 60^o)]^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[36 \cdot 10^{10}(1 + \cos 60^o)]^2 + (36 \cdot 10^{10} \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle F_{r_{q3}}=62,35\cdot 10^{10} \ N

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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 4)

 — 1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 4) —

 

Exercício 10 A massa de um átomo de Urânio é de {4,0\cdot10^{-26} \ kg}. Quantos átomos de urânio existem em {8 \ g} de Urânio puro.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 10 .

É um problema cujo método de resolução é muito comum (3 simples).

Vamos começar por converter todas as grandezas para as mesmas unidades.

Neste caso, vamos converter a massa do átomo de urânio para gramas. Como é uma unidade com prefixo k (kilo), podemos converter de mondo simples, substituindo o prefixo pelo seu valor({k = 10^3}):

\displaystyle 4,0\cdot10^{-26} \ kg = 4,0 \cdot 10^{-26}\cdot 10^{3} \ g = \ 4,0\cdot10^{-23} \ g

Em seguida, fazemos a relação de proporção.

Chamamos de {x} ao número de átomos que pretendemos calcular. Neste caso:

\displaystyle 1 \ atomo \longrightarrow 4,0\cdot10^{-23} \ g

\displaystyle x \longrightarrow 8,0 \ g

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

\displaystyle x \cdot 4,0 \cdot10^{-23} \ g = 1 \ atomos(u) \cdot 8,0 \ g

Isolando o x, obtemos:

\displaystyle x = \frac{1 \ atomo(u)\cdot 8,0 \ g}{4,0\cdot10^{-23} \ g}

Resolvendo, temos:

\displaystyle x = 2,0\cdot 10^{23} \ atomos

Em {8 \ g} de urânio puro, existem {2,0\cdot 10^{23}} átomos de Urânio.

 

 

Exercício 12 Determine a partir da representação dada, o vector {\vec{c} \ = 3 \ \vec{a} \ + 2 \ \vec{b}} .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 12 .

Podemos resolver este exercício utilizando a regra do paralelogramo.

Temos uma adição de 2 vectores onde nos é dado graficamente os módulos dos vectores e o ângulo entre eles.

A resolução aqui é feita apenas graficamente.

Desta feita, aplicando a regra do paralelogramo, teremos:

  • Em primeiro lugar, vamos traçar os vectores {3 \ \vec{a} } e { 2 \ \vec{b}}. Para tal, vamos na extremidade de {\vec{a}}, traçar outro vector idênticos à {\vec{a}}. Na extremidade deste segundo {\vec{a}}, traçar outro vector idênticos à {\vec{a}}. Neste caso, teremos o vector {3 \ \vec{a} }. Para o caso do vector { 2 \ \vec{b}}, o procedimento é análogo. Vamos na extremidade de {\vec{b}}, traçar outro vector idênticos à {\vec{b}}.Neste caso, teremos o vector {2 \ \vec{b} }. Veja a figura a seguir.

  • Em seguida, na extremidade do vector {3\vec{a}} traçamos uma imagem do vector {2\vec{b}} e na extremidade do vector {2\vec{b}} traçamos uma imagem do vector {3\vec{a}}.Veja a figura a seguir.

  • Em seguida, traçamos o vector resultante que terá como origem o ponto onde ambas origem dos dois vectores ({3 \vec{a}} e {2 \vec{b}}) se encontravam, e terá como extremidade o ponto de intercessão das extremidades das imagens ({3 \vec{a'}} e {2 \vec{b'}}).

    Então, na figura anterior, obtemos o vector {\vec{c}}.

 

 

Exercício 13 Determine a distância entre os corpos A e B na figura:

Resolução 13

Este é um Problema simples de Geometria Analítica. Trazemos aqui, a titulo de exemplo para aplicação em movimentos, como veremos a seguir.

Para determinarmos a distância entre os dois pontos, usaremos a formula apresenta na Geometria Euclidiana, para distância entre dois pontos num sistema de coordenadas cartesiano.

A Relação é:

\displaystyle d(A;B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Neste caso, {x_A=5; \ y_A=15; \ x_B= 25; \ y_B=5}.

Então, substituindo os valores na relação anterior, teremos:

\displaystyle d(A;B)=\sqrt{(25-5)^2+(5-15)^2}

Resolvendo, teremos:

\displaystyle d(A;B) = \sqrt{(20)^{2} \ + \ (-10)^{2}}

\displaystyle d(A;B) = \ 22,36 \ m

Logo, a distância entre os corpos A e B é igual a {22,36 \ m}.

 

 

Exercício 14

Sendo {\vec{v_{1}} \ = \ 3 \vec{e_{x}} \ + \ 2 \vec{e_{y}} \ + \ 4 \vec{e_{z}}} e {\vec{v_{2}} \ = \ 5 \vec{e_{y}} \ - \ 2 \vec{e_{z}}} Determine o módulo de {\vec{v} \ = \ \vec{v_{1}} \ + \ \vec{v_{2}}}

.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 14 Para determinarmos o módulo do vector {\vec{v}}, é necessário que se conheça ou que se determine o vector {\vec{v}}

Sendo este vector{(\vec{v})} a soma entre os vectores {\vec{v_{1}}} e {\vec{v_{2}}}, teremos:

\displaystyle \vec{v} \ = \vec{v_{1}} \ + \ \vec{v_{2}}

Substituindo as componentes, obtemos:

\displaystyle \vec{v} \ = (\ 3 \vec{e_{x}} \ + \ 2 \vec{e_{y}} \ +?\ 4 \vec{e_{z}}) \ + \ (5 \vec{e_{y}} \ - \ 2 \vec{e_{z}})

Efectuando a operação, teremos:

\displaystyle \vec{v} \ = \ 3 \vec{e_{x}} \ + \ 7 \vec{e_{y}} + \ 2 \vec{e_{z}}

Nota: Lembre-se que, para obtermos esta expressão, somou-se os números da mesma coordenada de ambos os vectores, ou, se quisermos usar a linguagem da álgebra, os termos semelhantes.

Então, podemos determinar o módulo do vector {\vec{v}} a partir da seguinte relação:

\displaystyle |\vec{v}| \ = \ \sqrt{x^{2} \ + \ y^{2} \ + \ z^{2}}

Onde: x, y e z são os componentes deste vectores, portanto, substituindo os valores destes componentes do vector {\vec{v}} , teremos:

\displaystyle |\vec{v}| \ = \ \sqrt{(3)^{2} \ + \ (7)^{2} \ + (2)^{2}}

Resolvendo:

\displaystyle |\vec{v}| \ = \ 7,87

Logo, o vector {\vec{v}} tem o módulo igual a {7,87} unidades.

Note: No calculo do módulo de {\vec{v}} não usamos os vectores {e_{x}, \ e_{y}, \ e \ e_{z}}. Estes vectores são unitários. Só servem para indicar as direcções.

 

Exercício 15 A soma dos módulos de dois vectores é igual a 7 m. Quando colocados perpendicularmente, o módulo da soma destes vectores é de 5 m. Quais são os módulos destes vectores?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 15

Este exercício é um problema simples de Geometria Analítica.

Para resolve-lo, vamos atribuir duas variáveis aos modelos dos vectores, e usaremos as condições do enunciado para formarmos um sistema de equações.

Consideramos que {x \ } é o módulo de um dos vectores e {\ y}O módulo de outro vector, então:

  • {x \ + \ y \ = \ 7} De acordo com a primeira condição dada no problema.

Quando colocados perpendicularmente estes dois vectores, o vector resultante forma a hipotenusa de um triângulo rectângulo com esses dois vectores. Então, teremos a situação da figura.

Se { | \vec{v_{1}}|= \ x}, {|\vec{v_{2}} | = \ y} e o {|\vec{v}|=5}, então, pelo Teorema de Pitágoras, teremos :

{x^{2} \ + \ y^{2} \ = \ (5)^{2}}

Formando um sistema de equações com duas equações obtidas das condições, teremos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} x & + y & = & 7\\ x^{2} & + & y^{2} & = & 25\\ \end{array}\right.

Isolando {y} na equação 1 substituindo na equação 2, teremos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} y & = 7 & - & x\\ x^{2} & + & y^{2} & = & 25 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{cccccc} y & = 7 & - & x\\ x^{2} & + & (7 \ - \ x)^{2} & \ = \ & 25 \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow x^{2} \ + \ (7 \ - \ x)^{2} \ = \ 25

Desfazendo a diferença de quadrado e efectuando as operações, teremos:

\displaystyle x^{2} \ - \ 7 \ x \ + \ 12 \ = \ 0

Resolvendo esta equação utilizando a Fórmula de Resolvente, obtemos:

\displaystyle x_{1,2} \ = \dfrac{-b \pm \ \sqrt{b^{2} \ - \ 4 \ a \ c}}{2 \ a}

,onde {a \ = \ 1} , {b \ = \ - \ 7} e {c \ = \ 12}.

Substituindo os valores e resolvendo, teremos como resultado {x_{1} \ = \ 3} e {x_{2} \ = \ 4}

Substituindo os valores de {x_{1}} e de {x_{2}} na primeira equação do sistema, e calculando os valores correspondentes de {y}, teremos as seguintes valores para {y } : {y_1 \ = \ 4 \ e \ y_2 \ = \ 3}

Logo, temos como solução : s = { \left\{\begin{array}{cccccc} (x = 4, &y = 3)\\ (x = 3, &y = 4) \end{array}\right. }

Ambas as as soluções são aceitáveis e permutadas entre si.

Desta feita, dois vectores são: {4 \ m \ e \ 3 \ m}.

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OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 2)

 

Exercício 11 Três espelhos interceptam-se em ângulos rectos.Um feixe de luz atinge o primeiro deles com um ângulo {\theta} (ver figura ao lado) .a)Mostre que quando esse raio é refletido pelos outros dois espelhos e cruza o raio original,o ângulo entre esses dois raios será {\alpha = \ \ 180^{o}-2\theta} e determine o ângulo {\theta} para o qual os dois raios serão perpendiculares quando se cruzam?

.NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 11 .

Redesenhando a figura. Na figura o ponto de intersecção entre o raio incidente e o primeiro espelho espelho chamamos de {B}.

O raio que se reflecte deste ponto vai incidir no outro ponto do segundo espelho, que chamamos de {C}.

Raio reflectido do ponto {C} vai incidir no outro ponto do terceiro espelho que chamamos de {D}.

O raio reflectido do ponto {D} vai cruzar-se com o raio incidente num ponto que chamamos {A}.

O ângulo de incidência e reflexão no ponto {C} chamamos de {z}. O complementar de {z} chamamos de {\varphi}.

O ângulo de incidência e reflexão no ponto {D} chamamos de {\beta}. O complementar de {\beta} chamamos de {\Psi}.

O complementar de {\theta} chamas de {\chi}.

Marcamos ainda os .s é eficaz conforme indicado na figura.

Da figura, no ponto B, analisando entre o espelho e a sua normal, temos:

\displaystyle \chi \ + \theta = \ \ 90^{o}

pelo triângulo BHC, pelo teorema da soma dos ângulos internos, temos temos :

\displaystyle \chi \ + \varphi \ + \ 90^{o} = \ \ 180^{o}

\displaystyle \chi \ + \varphi = \ \ 90^{o}

Subtraindo ambas equações dos passos anteriores, obtemos :

\displaystyle \varphi = \ \theta

Pelo teorema de ângulos internos no triângulo CDG, temos :

\displaystyle \varphi \ + \Psi \ + \ 90^{o} = \ \ 180^{o}

\displaystyle \varphi \ + \Psi = \ \ 90^{o}

Pelo teorema de ângulos internos no triângulo ADF, temos :

\displaystyle y \ + \ 90^{o} \ + \Psi = \ \ 180^{o} \Rightarrow

\displaystyle y \ + \Psi = \ \ 90^{o}

Subtraindo esta última pela equação do passo anterior, obtemos :

\displaystyle y = \ \varphi

Como {\varphi = \ \theta}, obtermos:

\displaystyle y = \ \theta

No quadrilátero {ABCD} temos :

\displaystyle 2y \ + \alpha = \ \ 180^{o} \Rightarrow \alpha = \ \ 180^{o} \ - \ 2y

Substituindo {y = \ \theta}, obtemos:

\displaystyle \alpha = \ 180^{o} \ - \ 2\theta

Exercício 12 Um feixe de luz emitido por um laser,incide sobre a superfície da água de um aquário,como representado nesta figura :

O fundo desse aquário é espelhado ,a profundidade da agua é de 40 cm e o ângulo de incidência do feixe de luz é de {50^{o}}. Qual é a distância entre os pontos A e C da figura?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 12 .

Dados

{n_{agua} = \ \ 1,33}

{h = \overline{BO}= \ \ 40 \ cm}

{\varphi = \ \ 50^{o}}

{ \overline{AC} \rightarrow \ ?}

.

No problema, a luz incide a partir do ar para a água. Toca na água no ponto A e refracta-se na água. É reflectida no ponto B(no espelho que está no fundo) e retorna à superfície de separação água-ar. No ponto C, faz refracção novamente para o Ar.

Para acharmos a distância AC devemos calcular o ângulo que o feixe de luz faz com a normal na água (usando a lei de Snell-Descartes), e combinando estes valores com a profundidade, no triângulo ABC.

.

Redesenhando a figura,temos :

Pela lei de Snell, no ponto A, podemos determinar o ângulo de refração. Temos :

\displaystyle n_{ar} \ sen 50^{o} = \ \ n_{agua} \ . sen \theta

Isolando o seno, no membro esquerdo, temos:

\displaystyle sen \theta = \ \dfrac{n_{ar} \ sen 50^{o}}{n_{agua}} = \ \dfrac{1. \ sen 50^o}{1,33}

\displaystyle \Rightarrow \theta =\ arcsen({ \dfrac{1. \ sen 50^o}{1,33}}) = \ 35,15^{o}

Se considerarmos o ponto médio do segmento {\overline{AB}}, que chamamos de {D}, então o triângulo ABD é rectângulo. O ângulo interno do vértice B é igual a {\theta } e {\overline{AD}=\overline{AC}/2}. Então:

\displaystyle tg \theta= \ \dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}} = \ \dfrac{\dfrac{\overline{AC}}{2}}{h} = \ \dfrac{\overline{AC}}{2h}

\displaystyle \Rightarrow \overline{AC} = \ 2h \ . \ tg \theta

Substituindo valores, obtemos:

\displaystyle \overline{AC} = \ 2 \ . \ 40 \ cm \ . \ tg \ (35,15^o) \Rightarrow \overline{AC} = \ 56,37 \ cm

.

Exercício 13 Um rapaz em repouso na rua,vê sua imagem reflectida por um espelho plano preso verticalmente na traseira de um autocarro que se afasta com a velocidade escalar constante de {20 \ m/s}. Qual é a velocidade de afastamento da imagem em relação ao rapaz?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 13 Neste problema temos de analisar não só a velocidade com o espelho se afasta do rapaz, mas também a velocidade com que a sua imagem (que o espelho produz) se afasta dele.

O melhor raciocínio mais simplificado, consiste em estabelecer o espelho como referencial de analise e depois achar a velocidade relativa.

A medida que o autocarro se move para a direita, automaticamente o espelho também se move para a direita. como o movimento é relativo, podemos considerar que o autocarro e o espelho estão em repouso e o rapaz ({AB}) é que se está a mover no sentido oposto (para a esquerda), com a mesma velocidade.

Se o rapaz, que é o nosso objecto óptico({AB}), se move para esquerda com velocidade v, então a sua imagem formada pelo espelho ({A'B'}) se afasta do espelho para direita com velocidade {v'}.

Vamos estabelecer as equações do movimento no 1ª referencial (com origem no espelho) e depois amos fazer a transformação de Galileu par o 2º Referencial (com origem no rapaz). Veja a figura.

Pela lei da reflexão, em qualquer momento:

\displaystyle \Delta x_{e} = \Delta x_{i}

Portanto :

\displaystyle -v \cdot t = v' \cdot t

\displaystyle \Rightarrow -v = v'

\displaystyle \Rightarrow |v| = |v'|

Então , neste referencial (Referencial 1), temos:

\displaystyle x_{Rap-Ref1}=x_{0Rap} - v. t

\displaystyle x_{Esp-Ref1}=0

\displaystyle x_{Rap-Ref1}=x_{0Rap} + v.t

.

Se estabelecermos um novo referencial (no rapaz), então este referencial 1 (com origem no espelho) está em movimento em relação ao novo referencial 2 (com origem no rapaz), com velocidade v.

A transformação de galileu diz que: {x_{Ref2}=x_{Ref 1} - v. t}.

Então para o rapaz( que no referencial 1 estava em movimento regressivo com velocidade v) teremos:

\displaystyle x_{Rap-Ref2}=x_{Rap-Ref 1} + v. t

\displaystyle x_{Rap-Ref2}=(x_{0Rap}-v.t) + v. t

\displaystyle x_{Rap-Ref2}=x_{0Rap}

Neste novo referencial, o rapaz está repouso.

.

Para o espelho/autocarro( que no referencial 1 estava em repouso na origem) teremos:

\displaystyle x_{Esp-Ref2}=x_{Esp-Ref 1} + v. t

\displaystyle x_{Esp-Ref2}=0 + v. t

\displaystyle x_{Esp-Ref2}= v. t

Neste novo referencial, o espelho/autocarro estão em movimento com velocidade v (conforme enunciado).

Para a imagem (que no referencial 1 estava em movimento progressivo com velocidade v) teremos:

\displaystyle x_{Im-Ref2}=x_{Im-Ref 1} + v. t

\displaystyle x_{Im-Ref2}=(x_{0Im}+v.t) + v. t

\displaystyle x_{Im-Ref2}= x_{0Im} + 2 v t

Neste novo referencial,imagem está em movimento com velocidade 2v .

Neste caso, a velocidade da imagem é:

\displaystyle v_{im}= \ 2.v= \ 2.20=40 \ m/s

Exercício 14 Um nativo de uma aldeia pesca em uma lagoa de água transparente. Para isso usa uma lança. Ao observar um peixe, ele atira a sua lança na direcção em que o observa. O jovem está fora da água e o peixe está em 1 m abaixo da superfície. O peixe está a uma distancia horizontal de {0,9 \ m} do ponto aonde a lança atinge a superfície da água. Para essas condições determine :

a)O ângulo {\alpha},de incidência da luz na superfície da agua-ar.

b)O ângulo {\beta} que a lança faz com a superfície da água quando tenta alcançar o peixe.

c)A profundidade aparente y,da superfície da água em que o nativo vê o peixe.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 14

Dados

{n_{ar} = \ \ 1}

{n_{agua} = \ \ 1,33}

{\alpha \ - \ ?}

{\beta \ - \ ?}

{y = \ \overline{DE} - \ ?}

Neste problema, temos analise baseadas na refracção da luz. O Peixe está no Ponto O nativo, na beira do rio, vê como se o peixe estivesse no ponto D (que é a imagem virtual do ponto C) formada pela refracção da luz na superfície. O ponto A é o ponto onde ocorre a refracção. O ângulo {\alpha} é o ângulo de incidência da luz que sai do peixe e incide no ponto A. O ângulo {\theta } é o ângulo de refracção da luz no ponto A. ângulo {\beta } é complementar de {\theta}

  1. Para encontramos o ângulo {\alpha}, vamos aplicar a relação para as razões trigonométricas no triângulo rectângulo ABC. Sendo {\overline{AB}} cateto adjacente, {\overline{BC}} cateto oposto e{\overline{AC}} a hipotenusa, teremos:

    \displaystyle tg \alpha = \ \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \ \dfrac{0,9}{1}

    \displaystyle \Rightarrow \alpha =arctg ( \ \dfrac{0,9}{1})= \ 41,99^{o}

    \displaystyle \alpha = \ 41,99^{o}

  2. Como {\beta} é o complementar de {\theta}, então, acharemos primeiro o {\theta} e com ele acharemos o {\beta}. O {\theta} será obtido pela lei da refracção:

    \displaystyle n_{ar} \ sen \theta = \ \ n_{agua} \ sen \alpha

    Insolando o seno de { \theta }, temos:

    \displaystyle \ sen \theta = \ \ \dfrac{ \ n_{agua} \ . \ sen \alpha}{n_{ar}} = \ \dfrac{ \ 1,33. \ sen(41,99)}{1}

    Neste caso:

    \displaystyle \theta = arcsen ( \dfrac{1,33. \ sen(41,99)}{1})

    \displaystyle \Rightarrow \theta = \ \ 62,85^{o}

    Como {\theta \ + \beta = \ \ 90^{o}}, então:

    \displaystyle \beta = \ \ 90^{o} \ - \theta = \ \ 90^{o} \ - \ 62,85^{o}

    \displaystyle \Rightarrow \beta = \ 27,15^{o}

  3. A profundidade aparente do peixe, neste caso, corresponde ao segmento {\overline{DE}}. Para achar o seu valor, usaremos o triângulo ADE. Para este triângulo, temos:

    \displaystyle tg \beta = \ \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} \ \dfrac{y}{x}

    \displaystyle \Rightarrow y = \ x \ tg \ (\beta)

    \displaystyle \Rightarrow y = \ 0,9\ tg \ ( 27,15^{o})

    \displaystyle y = \ 0,46 \ m

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1.1. Exercícios sobre Generalidades do MHS (Parte 1)

— 1. Oscilações —

— 1.1. Generalidades do MHS —

Exercício 1 .

A equação de um MHS é dada por { x=0,5 \sin 10 \pi t (SI)}.

Determina o número de ciclos feitos em { 10 \ s } de oscilação.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

A equação de um MHS é geralmente dada na forma { x= A \cdot \sin (\omega \cdot t+\varphi_0 }. .

Comparando, termo a termo, com a equação dada no enunciado, temos que:

\displaystyle A=0,5 \ m

\displaystyle w=10 \ \pi \ rad/s

\displaystyle \varphi_0=0 \ rad

As unidades dos resultados estão no SI pois o enuanciado assim indica.

Para conseguir calcular o número de ciclos feitos em { 10 \ s} precisasse saber quantas oscilações são feitas em {1 \ s} (a frequência da oscilação).

Para o MHS, {\omega} é dado por:

\displaystyle \omega=2 \pi \cdot f

Logo:

\displaystyle \omega=2 \cdot \pi \cdot f

Substituindo o valor de {\omega} dos dados, obtemos:

\displaystyle 10 \pi = 2 \cdot \pi \cdot f

Isolando {f}:

\displaystyle f= \frac{10 \pi}{2 \pi}=5 \ Hz

Ou seja, em cada segundo são realizadas 5 oscilações. Para o MHS, a frequência é definida por:

\displaystyle f= \frac{N}{t}

\displaystyle \Rightarrow N= f \cdot t

substituindo valores, obtemos:

\displaystyle N=5 \cdot 10

Em { 10 \ s} de oscilações são realizados 50 ciclos.

.

Exercício 2 Uma partícula realiza um MHS, cuja equação horária é { x=5 \cos (\dfrac{\pi}{4} t } SI.

  1. Determine o período do MHS.
  2. Esboce o gráfico da velocidade em função do tempo.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 2 .

Este exercício está relacionado com o movimento harmónico simples. Determinaremos o período pela relação entre período e frequência angular. Determinaremos a velocidade derivando a equação da posição, dada no enunciado.

  1. A equação horária de um MHS pode ser dada na forma { x=A \cos(\omega t+\varphi_0)}.Comparando, termo a termo, com a equação dada no enunciado ({x=5 \cos (\dfrac{\pi}{4} t }), obtemos:

    \displaystyle \omega=\frac{\pi}{4} \ rad/s

    Sabendo que { \omega=\frac{2\pi}{T} },logo:

    \displaystyle T=\frac{2\pi}{\omega}

    Substituindo os dados:

    \displaystyle t= \frac{2\pi}{\pi /4}

    \displaystyle T=8 \ s

  2. Para se esboçar o gráfico da velocidade em função do tempo precisamos construir uma tabela que relaciona as duas grandezas({v} e {t}).Para isso, precisamos escrever a equação da velocidade em função do tempo.
    Sabe-se que a velocidade é dada pela derivada da posição em função do tempo, temos:

    \displaystyle v=\frac{dx}{dt}

    \displaystyle \Rightarrow v=\frac{d}{dt} [5 \cos(\frac{\pi}{4}t)]

    \displaystyle \Rightarrow v= -5 \cdot \frac{\pi}{4} \sin ( \frac{\pi}{4}t)

    \displaystyle v= -1,25\pi \sin (\frac{\pi}t)

A tabela será construida atribuindo diversos valores a {t} e calculando os valores correspondentes de {v}. Escolhemos os valores de {t} de 0, 2, 4, 6, 8 e 10 s.

Lançando os valores num sistema de coordenadas cartesianos {(t;v)} e interpolando os pontos, obtemos um gráfico similar ao da figura abaixo:

Nota: Ao interpolarmos os pontos, fazemos um ajuste sinusoidal, pois sabemos que a dependência de {v} em relação a {t} é .

Exercício 3 .

Uma partícula descreve um MHS segundo a equação {x=0,5 \cos( \pi / 3+2 \pi t) }, no SI.Obtenha.

  1. A correspondente equação da velocidade.
  2. O módulo da máxima velocidade atingida por essa partícula.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 3 .

Este exercício está relacionado com o Movimento Harmónico Simples. Nos é dada a equação horária do MHS para acharmos a equação horária da velocidade e a velocidade máxima. A equação horária da velocidade será obtida pela derivada da função horária da posição. A velocidade máxima é obtida na amplitude da função horária da velocidade.

  1. A equação da velocidade de uma partícula em MHS é dada pela derivada da equação da posição em função do tempo, ou seja:

    \displaystyle v(t)=\frac{d}{dt}x

    \displaystyle \Rightarrow v(t)=\frac{d}{dt}[0,5 \cos(\frac{\pi}{3} +2 \pi t)]

    Derivando, obtemos:

    \displaystyle v{t}=-0,5 \cdot 2 \pi \sin( \frac{\pi}{3} +2 \pi t)

    \displaystyle \Rightarrow v_{t}=-\pi \sin(\frac{\pi}{3} +2 \pi t)

  2. A velocidade num MHS é máxima quando { \sin( \varphi_0+ \omega)=1}. Logo:

    \displaystyle v_{max}=\pi \ m/s

Exercício 4 .

Considere o MHS dado no gráfico. Escreva sua equação.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 4 .

O Problema ilustra o gráfico de {x(t)} de um MHS. Para escrevermos a equação deste MHS, devemos determinar em primeiro lugar os seus parâmetros ({A}, {\omega} e {\varphi_0}). Estes parâmetros são determinados no gráfico.

A amplitude é a distancia vertical máxima entre o maior valor e o valor de equilíbrio (ou médio). No caso, como a função é simétrica em relação ao eixo de {t} (valor de equilíbrio é 0), então a amplitude é o maior valor de x a se registar na curva.

O período pode ser determinado como o tempo entre duas passagens sucessivas num máximo ou num mínimo. Como o gráfico não ilustra nem duas passagens pelo máximo, nem duas passagens pelo mínimo, então, então vamos usar o semi-período (metade do período)que é o tempo de passagem de um máximo para um mínimo ou vice-versa. á fase é obtida pela relação do valor inicial é relação ao valor máximo (considerando o momento de oscilação: subida ou descida.

A equação do movimento de um MHS é dada na forma { x = A \sin (\omega t + \varphi_0)}.

Com base na análise, é possível concluir que:

A amplitude { A=3 \ cm} ou { A=0,03 \ m} .

No momento inicial, o corpo se encontra no máximo positivo, e como estamos a considerar uma função seno. Neste caso, a função seno atinge exactamente o valor máximo quando o argumento é {90^o=\pi / 2 \ Rad}. Neste caso, para obter a fase inicial, teremos:

\displaystyle \omega t + \varphi_0= \pi/2

\displaystyle \Rightarrow \omega \cdot 0 + \varphi_0= \pi/2

\displaystyle \Rightarrow \ \varphi_0= \pi/2

O corpo demora 4 segundos para sair de um extremo ao outro, ou seja, demorou 4 segundos para percorrer metade do percurso de oscilação.

Logo, os 4 segundos correspondem à metade do período da oscilação. Com isso, pode-se dizer que:

\displaystyle T/2= 4 s

\displaystyle \Rightarrow \ T= 4\cdot 2

\displaystyle \Rightarrow \ T= \ 8 \ s

Sabendo que { \Rightarrow=2 \pi /T}, logo:

\displaystyle \omega =2 \pi /8

\displaystyle \Rightarrow \omega = \frac{1}{4} \pi \ rad/s

Por fim, substituindo os dados na equação da oscilação ({ x = A \sin (\omega t + \varphi_0)}), obtemos:

\displaystyle x = 0,03 \sin (\frac{1}{4} \pi t + \dfrac{\pi }{2})

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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 1)

— 2. Exercícios sobre Geométrica —

— 2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos —

Exercício 7 Supondo que o objecto B,no instante inicial está em movimento com a velocidade de {1 \ m/s},na direcção indicada. Após quanto tempo será visível pelo espelho de vidro,pelo observador no ponto A?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 7 .

O problema a seguir trata de um problema de Campo de Visão. Pretendemos determinar após quanto tempo o corpo B é visível ao observador do ponto A, pelo espelho na parede.

.

Considerando as dimensões indicadas pelos quadriculados, e a posição do ponto A, podemos traçar os raios luminosos que partem do ponto A e se reflectem no espelho. Os raios que vão definir o campo de visão serão os raios que incidem nas extremidades do espelho. No caso os raios (1) e (2).

Traçamos os seus raios reflectidos pelo espelho, obedecendo a lei da reflexão, de modos que formem os mesmos ângulos. Neste caso, traçamos os raios (1′) e (2′) respeitando a simetria do problema. Veja a figura a seguir:

.

Neste caso, o campo de visão do observador A é a região compreendida entre os raios (1′) e (2′).

.

O Corpo B será visível pelo observador A no momento em que entra no campo de visão de A. Considerando que o corpo B se move e direcção horizontal, ele entrará no campo de visão de A, quando atingir o ponto P, que é o ponto de intercessão entre a linha da sua trajectória e o raio reflectido (1′).

Para calcularmos o tempo, devemos achar primeiramente a distancia percorrida por ele (corpo B) até chegar ao ponto P. No gráfico, podemos observar que esta distancia igual a 2 metros. Então:

{\Delta x = \ 2 m.}

Então, como estamos a avaliar o movimento como um todo, usamos as equações do MRU. Logo:

\displaystyle v = \ \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow \Delta t = \ \dfrac{\Delta x}{v} = \

\displaystyle \Rightarrow \Delta t = \dfrac{2 \ m}{1 \ m/s} \Rightarrow \Delta t = \ \ 2 s

Exercício 8 Dois espelhos planos estão dispostos de modo a formar um ângulo de {30^o} entre eles, conforme a figura abaixo. Um raio luminoso incide sobre um dos espelhos, formando um ângulo de {70^o} com a superfície. Este raio reflecte-se neste espelho e depois se reflecte no outro espelho, e cruza o raio incidente formando um ângulo {\alpha}. Qual é o valor deste ângulo{\alpha}?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8

Em primeiro lugar, devemos devemos dar nome aos pontos de referência:

  • O raio incidente identificamo-lo por 1;
  • O raio reflectido do primeiro espelho, que vai para o segundo espelho, identificamo-lo por 2;
  • O raio que sai do segundo espelho e cruza novamente com raio 1, identificamo-lo por 3;
  • O ponto de intersecção do raio 1 com o primeiro espelho, identificamo-lo por A;
  • O ponto intersecção do raio 2 com o segundo espelho, identificamo-lo por B;
  • O ponto de intersecção do raio 3 com raio 1, identificamo-lo por D;
  • O ponto de cruzamento dos dois espelhos, identificamo-lo por C.
  • O ângulo formado entre o raio 1 e o raio 2, identificamo-lo por {\beta};
  • O ângulo formado entre o raio 2 2 o espelho 1, identificamo-lo por {\varphi};
  • O ângulo formado entre o raio 2 e o segundo espelhos, identificamo-lo por {\gamma};
  • o ângulo formado entre o raio 2 e o raio 3, identificamo-lo por {\delta};
  • o ângulo formado entre o raio 3 e o espelho 2, identificamo-lo por {\gamma '}.

Queremos determinar {\alpha}, pela geometria sabemos que rectas concorrentes(rectas que se cruzam) formam dois ângulos iguais e opostos, então:

\displaystyle \alpha = \ \alpha'

Podemos determinar {\alpha'} pelo triângulo ABD. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual à {180^o}, então:

\displaystyle \alpha' + \beta + \delta = \ 180^o

O raio 1 forma um ângulo de {70^o} com o espelho {E_1} e pela lei da reflexão, por analogia, o raio 2 também forma um ângulo de {70^o} com o mesmo espelho( {\varphi = \ 70^o}).

A soma destes três ângulos {(\varphi, \ \beta \ e \ 70^o} dá um ângulo de {180^0}, então:

\displaystyle \varphi + \beta+ 70^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \beta = \ 180^o - 70^o - \varphi = \ 180^o - 70^o - 70^o \Rightarrow \beta = \ 40^o

No triângulo ABC, {\gamma} é um dos ângulos do mesmo triângulo e, como já sabemos, a soma dos três ângulos deste triângulo é igual a {180^o}. Assim podemos determinar {\gamma}:

\displaystyle \varphi + \gamma + 30^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \gamma = \ 180^o-30^o- \varphi = \ 180^o-30^o-70^o \Rightarrow \gamma = \ 80^o

Como {\gamma} é o ângulo formado pelo raio 2 e o espelho 2, pela lei de reflexão, por analogia, este ângulo é igual ao ângulo formado pelo raio 3 e o espelho 2 {\gamma'}. Desta forma podemos determinar {\delta};

\displaystyle \gamma + \delta + \gamma ' = \ 180^o \Rightarrow \delta = \ 180^o - \gamma -\gamma ' = \ 180^o - 80^o - 80^o \Rightarrow \delta = \ 20^o

Tendo já conhecido os valores de {\beta} e {\delta} podemos determinar {\alpha '} que consequentemente será igual à {\alpha}.

\displaystyle \alpha ' + \delta + \beta = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \alpha ' = \ 180^o - \delta - \beta = \ 180^o - 20^o - 40^o \Rightarrow \alpha ' = \ 120^o

\displaystyle \alpha ' = \ \alpha, \ logo: \ \alpha = \ 120^o

Exercício 9

Considere a figura baixo em que um ponto A está situado em frente de um espelho plano. Qual é a distância entre a imagem do ponto A e o ponto B, na figura, considerando as dimensões da escala indicada?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 9

E primeiro lugar, devemos localizar a imagem de A. Para esboçar a imagem, seguimos o seguinte raciocínio:

  1. Tracemos dois raios incidentes partindo do ponto A, que incidem no espelho 1 e 2;
  2. Sabemos que por ser um espelho plano os raios vão se reflectir sob o mesmo ângulo. Traçamos então os raios reflectidos 1′ e 2′;
  3. A partir da prolongação dos raios reflectidos pelo espelho podemos determinar a posição da imagem. Está imagem, de acordo com a formação da imagem me espelhos planos, estará à mesma distancia do espelho a que o objecto A se encontra. Neste caso a imagem estará a {1 m} de distância do espelho.

.

A distância entre a imagem de A (A’) e o ponto B é o segmento:{\overline{A'B}}.

Considerando a escala em quadriculado, podemos considerar o triângulo rectângulo (A’BP). Neste caso, {\overline{A'B}} é a hipotenusa do triângulo rectângulo.

Então:

\displaystyle \overline{A'B}^2 = \ \overline{A'P}^2+\overline{PB}^2

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{8^2+3^2}

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{73}

\displaystyle \overline{A'B} = \ 8,544 m

Exercício 10 A distância entre A e o espelho plano {E_1} é de 20 cm. A distância entre o mesmo ponto e o outro espelho plano {E_2} é de 40 cm. Sendo o ângulo {\theta = \ 30^o}. Determine a distância entre a posição da imagem do ponto A formada pelo espelho {E_1} e a imagem do mesmo ponto formada pelo espelho {E_2}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 10

Em primeiro lugar devemos encontrar as imagens formadas pelos espelhos {E_1} e {E_2}.

Sabemos que, nos espelhos planos, a imagem é formada no lado oposto ao espelho, na direcção da perpendicular ao espelho que passa pelo objecto em causa (A) e fica situada a uma distância igual a distância entre objecto e o espelho.

Usando isso, podemos encontrar uma imagem do objecto a ser formado pelo espelho {E_1} (que designamos de {4}) e pelo espelho {E_2} (que designamos {C}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem B (Segmento {\overline{AB}}) e o próprio espelho {E_1} identificamos por {B'}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem C (Segmento {\overline{AC}}) e o próprio espelho {E_2} identificamos por {C'}.

Então pela formação de imagens em espelhos planos sabemos que {\overline{AB'}=\overline{B'B}} e que {\overline{AC'}=\overline{C'C}}.

A distância que deseja determinar corresponde ao segmento {\overline{BC}}.

Consideremos {\overline{AB} = \ a}, distância entre o objecto e a imagem formada pelo espelho {E_1}, e {\overline{BC} = \ d}, distância entre as duas imagens.

As imagens são formadas pela prolongação dos raios incididos perpendicularmente aos espelhos. Neste caso o ângulo entre cada espelho e o seu respectivo raio incidido é igual à {90^o}.

Por se tratar de espelhos planos, a distância entre cada imagem e o espelho que forma esta imagem é igual à distância entre o objecto e o respectivo espelho. Então:

\displaystyle \overline{BB'} = \ \overline{AB'} = \ 20 \ cm \Rightarrow \overline{AB} = \ a = \ 2\overline{AB'} = \ 2 \cdot 20 \ cm = \ 40 \ cm

\displaystyle \overline{CC'} = \ \overline{AC'} = \ 40 \ cm \Rightarrow \overline{AC} = \ b = \ 2\overline{AC'} = \ 2 \cdot 40 \ cm = \ 80 \ cm

Podemos determinar {\overline{BC} = \ d} pela lei dos cossenos:

\displaystyle d^2 = \ a^2+b^2-2ab \cos \alpha

Mas precisamos antes determinar {\alpha}. {\alpha} é um dos ângulos internos do quadrilátero AB’C’D. Pela geometria, sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual à {360^o}. Então:

\displaystyle \theta + 90^o + \alpha + 90^o = \ 360^o \Rightarrow \alpha = \ 360^o - 180^o - \theta

Sabendo que {\theta = \ 30^o}, teremos:

\displaystyle \alpha = \ 360^o - 180^o -30^o \Rightarrow \alpha = \ 150^o

Assim, já podemos calcular o valor da distância entre as imagens formadas pelos dois espelhos:

\displaystyle d^2 = \ a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha\Rightarrow d = \ \sqrt{a^2+b^2-2ab \cos \alpha}

\displaystyle a = \ 40 \ cm, \ b = \ 80 \ cm , \ \alpha = \ 150^o

Então:

\displaystyle d = \ \sqrt{(40)^2 + (80)^2 - 2 \cdot 40 \cdot 80 \ \cdot (\cos 150^o)}= 116,37 \ cm

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 5)

Exercício 20 Uma chita pode acelerar de {0} a {96 \ km} em {2 \ s}, enquanto um carro, em média atinge a mesma velocidade final em {4,5 \ s}. Calcular as acelerações média dos dois. NÍVEL DE DIFICULDADE: Elemntar.
Resolução 20 .

A conversão de {96 \ km} para {m/s}, é feita pela regra de 3 simples conforme os exercícios anteriores.

Para a Chita, temos:

{v_o = 0}.

{v = 96 \ km/h \approx 26,7 \ m/s}.

{\Delta t = 2 \ s}.

Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos:

\displaystyle a_{med} = \frac{v-v_0}{\Delta t} = \frac{26,7-0}{2}=13,4 \ m/s^2

Para o carro,temos:

{v_o = 0}.

{v = 96 \ km/h \approx 26,7 \ m/s}.

{\Delta t = 4,5 \ s}.

Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos:

\displaystyle a_{med} = \frac{v-v_0}{\Delta t} = \frac{26,7-0}{4,5} = 5,9 \ m/s^2

.

Exercício 21 Um móvel fazendo a trajectória rectilínea {A-B-C}, tem a velocidade dada no gráfico ao lado.

Determinar:

  1. A velocidade média deste movimento.
  2. A aceleração média do mesmo.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 21 .

Diante de um problema gráfico ({v\cdot t}), é válido lembrar que área de baixo da curva determina o espaço total percorrido pelo móvel. No gráfico {v\cdot t}, a inclinação da recta, determina à aceleração.

  1. Para determinar a velocidade média, precisamos conhecer o deslocamento total e o tempo total. O tempo pode ser obtido directamente no gráfico. Para o deslocamento, ele deve ser calculado. Podemos usar dois raciocínios: o calculo da área ou a determinação dos parâmetros cinemáticos deste movimento. Para efeitos de familiarização, dado que temos dois tempos de movimentos ( Um MRUV acelerado de A para B e um MRUV retardado de B para C), vamos usar os dois métodos. Vamos usar a determinação de parâmetros para o movimento de A para B e vamos usar o cálculo de área de B para C. Em qualquer dos casos, os dois métodos são válidos. Cabe a quem resolve escolher.
    1. Determinando a aceleração de {A\longrightarrow B} (Determinação dos parâmetros):

      \displaystyle \left.\begin{array}{cccccccc} t_o = 0 \ s, v_o = 20 \ m/s\\ t= 40 \ s, v = 60 \ m/s\\ \end{array}\right\} \Rightarrow a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{60 - 20}{40 - 0} = 0,5 \ m/s^2

    2. Determinando do correspondente deslocamento {A\longrightarrow B}:

      \displaystyle s = s_o + v_o\cdot t + \frac{1}{2}a\cdot t^2

      \displaystyle s = (20)(40) + \frac{1}{2}(0,5)(40)^2

      \displaystyle s = 1200 \ m

    3. Determinando o espaço percorrido {B\longrightarrow C} (cálculo de área):

      \displaystyle s_{\Delta} = Area = \frac{20\cdot 40}{2} = 600 \ m

    4. Neste caso, o deslocamento total é:

      \displaystyle \Delta s = 1200 + 600 = 1800 \ m

    5. Logo, a velocidade média será:

      \displaystyle v_{med} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{1800}{60} = 30 \ m/s

  2. Aceleração média.

    \displaystyle a_{med} = \frac{v_{final}-v_{0}}{\Delta t} = \frac{0-20}{60} \approx -0,33 \ m/s^2

Exercício 22 Uma pessoa caminha {100 \ m} em {12 \ s} numa certa direcção e depois caminha na direção oposta passando {50 \ m} durante {30 \ s}. Calcule (a) a velocidade média definida pelo caminho percorrido e (b) a velocidade média definida pelo deslocamento. NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.
Resolução 22 .

Para o problema em questão, devemos entender a diferença entre deslocamento e distância percorrida. O deslocamento é o vector que une a posição inicial à posição final de um móvel, sem se importar pelo trajecto do mesmo. O seu modulo equivale a distancia entre a origem e o destino do móvel. A distancia percorrida é o somatório escalar de todo o caminho percorrido pelo móvel, levando em conta a sua trajectoria e eventuais mudanças de direcção.

Na figura, observamos que o móvel sai da posição {x_1}, vai para a posição {x_2} e depois vai (em sentido oposto) para a posição {x_3}. Se tomarmos {x_1=0}, então {x_2=100 \ m} e {x_3=50 m} (recuando 50 m a partir de {x_2}).

Neste caso o deslocamento será {\Delta x= x_3 - x_1 = \ 50 - 0= \ 50m}.

A distancia percorrida será: {d= \ d_1+d_2= \ 100+50= \ 150 \ m}.

  • A velocidade média definida pelo caminho percorrido será:

    \displaystyle v_{med} = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{150}{30 + 12}

    \displaystyle v_{med} = 3,75 \ m/s

  • A velocidade média definida pelo deslocamento será:

    \displaystyle v_{med} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{50}{30+12}

    \displaystyle v_{med} \approx 1,19 \ m/s

.. Note que é a duração de todo o movimento, e como o tempo não recua, então sempre {\Delta t = \ 30+12= \ 42 \ s}. Estes tempos refere-se a intervalos de tempo, por isso somamos. Se fossem instantes de tempo, deveríamos subtrair.

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 4)

Exercício 13 .

A velocidade de um móvel é tal que ele percorre {5 \ m} a cada {2 \ s},em MRU. Determine a posição final no MRU se a posição inicial for { 5 \ m} e o tempo do movimento for de {25 \ s }.

.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 13 .

Dados .

{ v= \dfrac {5 \ m}{2 \ s}= 2,5 \ m/s } .

{x_0=5 \ m } .

{t=25 \ s } .

{x=? }

Para determinarmos a posição final x do móvel no tempo t precisamos da equação de movimento ( função horária) do móvel.
Para este caso, de movimento retilíneo e uniforme(MRU), a equação de movimento é:

\displaystyle \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x_0}= + \overrightarrow{v} \cdot t \ \ \ \ \ (1)

Na forma escalar, temos:

\displaystyle x= x_0+v \cdot t \ \ \ \ \ (2)

Substituindo {x_0} e {v}, obtemos:

\displaystyle x= 5 + 2,5 \cdot t \ \ \ \ \ (3)

A posição final {x} para { t=25 \ s} é:

\displaystyle x= 5 + 2,5 \cdot 25= 67,5 \ m

\displaystyle x=67,5 \ m

Exercício 17 .

Um atleta de corrida percorre { 1,5 \ m } em cada segundo. Quanto tempo demora fazer um percurso de { 10 \ km }. .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 17 .

Dados

{ v= 1.5 \ m/s } .

{ \Delta s = 10 \ km= 10.000 \ m } .

{\Delta t \rightarrow ? }

Por definição, no MRU, a velocidade é dada por:

\displaystyle v= \dfrac {\Delta s}{\Delta t}

Isolando o espaço percorrido:

\displaystyle \Delta t = \dfrac {\Delta s}{v}

Substituindo os dados na fórmula anterior, obtemos:

\displaystyle \Delta t = \dfrac {10,000 \ m}{1,5 \ m/s} = 6,66 \cdot 10^3 \ s \ \ \ \ \ (7)

Transformando { 6,66 \cdot 10^3 \ s } em horas usando a regra de três simples:

\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ h \rightarrow 3600 \ s \\ x \rightarrow 6,66 \cdot 10^3 \ s\\ \end{array}

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

\displaystyle x \cdot 3600 \ s= 1 \ h \cdot 6,66 \cdot 10^3 \ s

\displaystyle \Rightarrow x = \dfrac {1 \ h \cdot 6,66 \cdot 10^3 \ s }{3600 \ s}

\displaystyle \Rightarrow x = 1,85 \ h

Logo, o atleta leva { 1,85 \ h } para percorrer { 10 \ km }.

Exercício 19 Um corpo está se deslocando diretamente para o sol. No instante {t_1} está {x_1 = 3,0\cdot 10^{12} \ m}, em relação ao sol. Um ano depois, está em {x_2 = 2,1\cdot 10^{12} \ m}. Achar o seu deslocamento e a sua velocidade média.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 19 .

Este problema envolve apenas parâmetros cinemáticos. Não se engane confundindo com gravitação universal.

\displaystyle Deslocamento

\displaystyle \Delta x = x_1 - x_2

\displaystyle \Delta x = 3,0\cdot 10^{12} - 2,1\cdot 10^{12}

\displaystyle \Delta x = 0,9\cdot 10^{12} \ m

\displaystyle \Delta x = 9,0\cdot 10^{8} \ km

\displaystyle Intervalo \ de \ tempo

\displaystyle \Delta t = 1 \ ano = 365 \ dia

\displaystyle \Delta t = 8760 \ h

A velocidade média será:

\displaystyle v_{med} = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{9,0\cdot 10^8 \ km}{8760 \ h}

\displaystyle v_{med} = 1,02\cdot 10^5 \ km/h

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1.1. Exercícios sobre Equações Ondas Electromagnéticas e Propagação (Parte 2)

— 1. Exercícios sobre Natureza da Luz e Propagação de Ondas Electromagnéticas —

— 1.1. Exercícios sobre Equações Ondas Electromagnéticas e Propagação —

Exercício 4 Dois trens de pulso de certa radiação electromagnética são criados simultaneamente, propagam-se paralelamente e atravessam o sistema composto por materiais transparentes com comprimento de {L_1 = \ 125 \ m} e {L_2 = \ 70 \ m}. O trem de pulso 1 passa pelo material de índice de refração {n_1}. O trem de pulso 2 passa pelo material de índice {n_2}.

  1. Sendo que a parte externa é o ar, e { n_1 = \ 1,5}, qual deverá ser o valor de {n_2} para que os pulsos cheguem ao mesmo tempo na tela.
  2. Qual é a diferença entre o tempo de chegada dos dois pulsos no caso em que {n_2 = \ 1,5}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

 

Resolução 4

    1. .
  1. Para que os trens de pulsos das ondas cheguem na tela ao mesmo tempo é os caminhos ópticos sejam iguais. Como temos 3 materiais, é necessário apenas comparar o trajecto aonde há diferença de índices de refração. Neste caso, o trem pulso 1 passa pelo material de índice de refração {n_1}. Analisaremos o trajecto de B-E. O trem de pulso 2 passa pelo material de índice {n_2} e depois passa por um percurso de ar, até chegar ao ponto D que está alinhado com o ponto E. Analisaremos o trajecto B-C-D.

    A condição para que cheguem ao mesmo tempo é que os caminhos ópticos sejam iguais. Note que o caminho óptico é defino pela relação:

    \displaystyle \textless AB \textgreater = \int_{A}^{B} n \cdot dl

    Para meios em que { n=const \ \Rightarrow \textless AB \textgreater = \bar{AB} \cdot n }.

    Então:

    \displaystyle \textless AE \textgreater = \textless BD \textgreater \Rightarrow \textless AE \textgreater = \textless BC \textgreater + \textless CD \textgreater

    \displaystyle \Rightarrow \bar{AE} n_1 = \bar{BC} n_2 + \bar{CD} n_{Ar}

    onde: {n_{Ar} = \ 1}. Logo, isolando {n_2}, obtemos:

    \displaystyle n_2= \frac{\bar{AE} n_1 - \bar{CD} n_{Ar}}{ \bar{BC}}= \frac{ L_1 n_1 - (L_1 - L_2 )}{ L_2}

    \displaystyle n_2 = \frac{ 125 \cdot 1,5 - (125 - 50 )}{ 50}=1,89

     

  2. Para este caso, o tempo de passagem no troço em análise será determinada pela equação do MRU, considerando a velocidade de propagação {c} e o caminho óptico..

    Neste caso, para o trem 1:

  3. \displaystyle c= \frac{ \textless AE \textgreater }{t_1}

    \displaystyle \Rightarrow t_1 = \frac{\bar{AE} n_1}{c}= \frac{125*1,5}{3\cdot10^8}= \frac{125*1,5}{3\cdot10^8}=6,25 \cdot 10^{7} s

    Para o trem 2:

    \displaystyle c= \frac{ \textless BD \textgreater }{t_1} \Rightarrow t_1 = \frac{ \textless BC \textgreater + \textless CD \textgreater }{t_1}

    \displaystyle \Rightarrow t_1 = \frac{L_2 n_2 + (L_1 - L_2) n_{Ar} }{c}= \frac{70 \cdot 1,5 + (150 - 70) \cdot 1}{3 \cdot 10^8} =5,33 \cdot 10^{7} s

    Neste caso, diferença de tempos é:

    \displaystyle |t_2 - t_1 |= | 6,25 \cdot 10^{7} - 5,33 \cdot 10^{7} | = 0,92 \cdot 10^{7} s

    Como a seguir aos pontos D e E o material é comum aos dois trens de pulsos, então esta diferença mantém-se até o final.

Exercício 5 Na figura a seguir, dois pulsos electromagnéticos são criados em simultâneo, propagam-se paralelamente e atravessam o sistema composto por materiais transparentes com índice de refração {n_{1} = \ 1,4; \ n_{2} = \ \ 1,7; \ n_{3} = \ \ 1,95; \ n_{4} = \ \ n_{5} = \ \ 1,2; \ n_{6} = \ \ 1; \ n_{7} = \ \ 1,3}.O valor de L é 25 m.Qual pulso chegará primeiro e qual é a diferença entre o tempo de chegada dos dois pulsos?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 5 \vspace{0,3cm}

Para não termos de calcular o tempo em cada porção, podemos usar o conceito de caminho óptico. Neste conceito, em vez de se considerar que o índice de refração afecta a velocidade, ele será visto como afectando apenas o percurso. Pelo que, podemos considerar que a luz sempre se propaga com a mesma velocidade {c}. Neste caso, temos apenas de calcular os dois caminhos ópticos e depois calcular os temos.

Para o pulso 1:

\displaystyle \textless l_1 \textgreater = L \cdot n_1 +L \cdot n_2 + L \cdot n_3 + L \cdot n_4 = \ L \cdot (n_1 + n_2 + n_3 + n_4)

\displaystyle \Rightarrow \textless l_1 \textgreater = \ 25 \cdot (1,4 + 1,7 + 1,95 + 1,2)=156,25 \ m

Neste caso, o tempo será obtido a seguir:

\displaystyle c= \frac{ \textless l_1 \textgreater }{t_1} \Rightarrow t_1 = \frac{ \textless l_1 \textgreater }{c}= \frac{156,25}{3\cdot10^8}=5,21 \cdot 10^{7} s

Para o pulso 2:

\displaystyle \textless l_2 \textgreater = 2L \cdot n_5 +L \cdot n_6 + L \cdot n_7 = \ L \cdot (2 n_5 + n_6 + n_7)

\displaystyle \Rightarrow \textless l_2 \textgreater = \ 25 \cdot (2 \cdot 1,2 + 1 + 1,3)=117,5 \ m

Neste caso, o tempo deste pulso será obtido a seguir:

\displaystyle c= \frac{ \textless BD \textgreater }{t_2} \Rightarrow t_2 = \frac{ \textless l_2 \textgreater }{c} = \frac{117,5}{3 \cdot 10^8} =3,92 \cdot 10^{7} s

Como a seguir a este trecho, o material é comum aos dois pulsos, então esta diferença mantém-se até o final.

Neste caso, diferença de tempos é:

\displaystyle |t_2 - t_1 |= | 3,92 \cdot 10^{7} - 5,21 \cdot 10^{7}| = 1.29 \cdot 10^{7} s

Como {t_1 \textgreater t_2 }, significa que o pulso 2 leva menos tempo a percorrer o trecho. Portanto, o pulso 2 chega primeiro.

— 1.2. Exercícios sobre Energia e Potência da Radiação —

Exercício 6 Uma onda electromagnética de frente plana de intensidade de {6 \ W/m^2} inside sobre uma superfície totalmente refletora de {40 \ cm^2} de área, posicionado perpendicularmente à direcção de propagação da onda.

Determine a força que a onda exerce sobre esta superfície.NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 6 .

Quando uma OEM incide sobre uma superfície totalmente reflectora como o espelho, sua pressão de radiação será:

\displaystyle P_r = \ \frac{2I}{c} \ \ \ \ \ (3)

Por definição, a pressão é a força por unidade de área:

\displaystyle P = \ \frac{F}{A} \ \ \ \ \ (4)

Então:

\displaystyle P_r = \ \frac{2I}{c} \Rightarrow \frac{F}{A} = \ \frac{2I}{c} \Rightarrow F = \ \frac{2AI}{c}

Substituindo:

  • \displaystyle F = \ \frac{2 \cdot 40 \cdot 10^{-4} \cdot 6}{3 \cdot 10^8} = \ 1,6 \cdot 10^{-10} N

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1.1. Exercícios sobre Equações Ondas Electromagnéticas e Propagação

— 1. Exercícios sobre Natureza da Luz e Propagação de Ondas Electromagnéticas —

— 1.1. Exercícios sobre Equações Ondas Electromagnéticas e Propagação —

Exercício 1 Uma onda electromagnética com frequência de 65 Hz desloca-se em um material magnético isolante que possui constante dieléctrica relativa é igual à 3,64 e a permeabilidade magnética relativa é igual à 5,18 nessa frequência. o campo eléctrico possui amplitude de {7,2 \cdot 10^{-3} \ V/m}.

  1. Calcule a velocidade de propagação da onda?
  2. Qual é o comprimento de onda?
  3. Qual é a amplitude do campo magnético?NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.
Resolução 1

Dados

{f = \ 65 Hz}

{\varepsilon_r = \ 3,64}

{\mu_r = \ 5,18}

{E_0 = \ 7,2 \cdot 10^{-12} \ v/m}

{\varepsilon_0 = \ 8,85 \cdot 10^{-12} \ C^2/Nm^2}

{\mu_0 = \ 4\Pi \cdot 10^{-7} \ Wb/Am}

{\textbf{a)}v-? \ \ textbf{b)} \lambda-? \ \textbf{c)}H_0-?}

  • {v-?}Conhecemos a equação duma onda electromagnética que é:

    {\frac{\partial ^2B}{\partial t^2} = \ \frac{1}{\mu \varepsilon} \cdot \frac{\partial ^2B}{\partial x^2}}, onde {\frac{1}{\mu \varepsilon} = \ v^2} é a velocidade de propagação da onda.

\displaystyle v^2 = \ \frac{1}{\mu \ \varepsilon} \Rightarrow v = \ \sqrt{\frac{1}{\mu \varepsilon}}

{\mu} e {\varepsilon} são as constantes magnéticas e eléctricas do meio, respectivamente.

A relação entre estas e as constantes magnéticas e eléctricas relativa é a seguinte:

{\mu = \ \mu_0 \mu_r} e {\varepsilon = \ \varepsilon_0 \varepsilon_r}.

Então a velocidade de propagação da onda será:

{v = \ \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}} = \ \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \mu_r \varepsilon_0 \varepsilon_r}} = \ \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}}}.

Sabe-se que:

\displaystyle c = \ \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \cdot 10^8 \ m/s

Logo:

\displaystyle v = \ \frac{1}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} \cdot c = \ \frac{c}{\sqrt{\mu_r \varepsilon_r}} = \ \frac{3 \cdot 10^8 \ m/s}{\sqrt{5,18 \cdot 3,64}} = \ 0,7 \cdot 10^8 \ m/s

  1. {\lambda-?}A onda electromagnética em questão é uma onda sinusoidal e periódica que pode ser expressa em termos dos seus campos eléctricos e magnéticos da seguinte forma:

    \displaystyle \overrightarrow {E}(x,t) = \ E_0 \cdot \cos(\omega t+ Kx) \overrightarrow{j}

    O comprimento de onde é

    \displaystyle \overrightarrow{B}(x,t) = \ B_0 \cdot \cos(\omega t+ Kx) \overrightarrow{k}

    Para as ondas, a velocidade obedece a relação:

    {v = \ \dfrac{\lambda}{T}}, e sabemos que {T = \ \frac{1}{f}}

    \displaystyle \Rightarrow \lambda = \ \frac{v}{f}

    \displaystyle \Rightarrow \lambda = \ \frac{0,7 \cdot 10^8 \ m/s}{65 \ s^{-1}} = \ 0,011 \cdot 10^8 \ m = \ 1,1 \cdot 10^6 \ m = \ 1100 \ Km

     

  2. {H_0-?}Utilizando a relação das amplitudes dos campos eléctricos e magnéticos na Onda Electromagnética (O.E.M.), temos:
  3. \displaystyle \sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon_r} \cdot E_0 = \ \sqrt{\mu_0\mu_r} \cdot H_0

    \displaystyle H_0 = \ \frac{\sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon_r} E_0}{\sqrt{\mu}_0 \mu_r} = \ \frac{\sqrt{\varepsilon_0 \varepsilon_r}}{\sqrt{\mu_0 \mu_r}} \cdot E_0

    \displaystyle \Rightarrow H_0 = \ \sqrt{\frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r}{\mu_0 \mu_r}} \cdot E_0 = \ \sqrt{\frac{8,85 \cdot 10^{-12} \ \cdot 3,64}{4 \pi \cdot 10^{-7} \cdot 5,18}} \cdot 7,2 \cdot 10^{-3}

    \displaystyle \Rightarrow H_0 = \ 9,43 \cdot 10^{-3} \ A/m

Exercício 2 A potência irradiada pela antena de uma estação radiofónica é de 4 kW. A 4 km do transmissor foi colocada uma antena de recepção de 65 cm de comprimento. Qual é o valor de pico da f.e.m induzida por esse sinal entre as extremidades da antena receptora.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 2

Dados

{P = \ 4 \ kW = \ \ 4 \cdot 10^3 \ W }

{l = \ 65 \ cm = \ \ 0,65 \ m}

{r = \ 4Km = \ 4 \cdot 10^3 \ m}

{\varepsilon_{ind}-?} {\varepsilon_0 = \ 8,85 \cdot 10^{-12} \ C^2/Nm^2}

{\mu_0 = \ 4\pi \cdot 10^{-7} \ Wb/Am}

{C = \ 3\cdot 10^8 \ m/s}

{\varepsilon = \ \oint \overrightarrow{E}d\overrightarrow{l}}

O módulo ou amplitude da f.e.m é:

\displaystyle \varepsilon_{ind} = \ E_0 \cdot l \ \ \ \ \ (1)

 

Precisamos antes determinar a amplitude do campo eléctrico {(E_0)}. Em seguida poderemos determinar {\varepsilon_ind}. A intensidade da onda é:

\displaystyle I = \ \frac{1}{2}E_0H_0 = \ \frac{1}{2}E_0(\frac{B_0}{\mu,_0}) = \ \frac{E,_0 B_0}{2\mu,_0}

Como {c = \ \frac{E_0}{B_0}\Rightarrow B_0 = \ \frac{E_0}{c}}. Então:

\displaystyle I = \ \frac{E_0 \frac{E_0}{c}}{2 \mu_0}\Rightarrow I = \ \frac{\frac{E_0}{c}}{2\mu_0} = \ \frac{E_0^2}{2c \cdot \mu_0}

Isolando {E_0}, temos:

\displaystyle E_0^2 = \ 2 \mu_0 c I \Rightarrow E_0 = \ \sqrt{2 \mu_0 c I}

A intensidade da OEM é : {I = \ \frac{P}{A} = \ \frac{P}{4 \pi r^2}}, então:

\displaystyle E_0 = \ \sqrt{2 \mu_0 c \frac{P}{4\pi \cdot r^2}} = \ \sqrt{\frac{ \mu_0 c P}{2\pi r^2}} \ \ \ \ \ (2)

 

Substituindo esta formula na equação 1, temos:

\displaystyle \varepsilon_{ind} = \ E_0 \cdot l = \ \sqrt{\frac{ \mu_0 c P}{2\pi r^2}} \cdot l

\displaystyle \Rightarrow \varepsilon_{ind} = \ \frac{l}{r} \sqrt{\frac{ \mu \cdot c\cdot P}{2\pi}} = \frac{0,65 \ m}{4 \cdot 10^3 \ m} \sqrt{\dfrac{4 \pi 10^{-7} \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 4 \cdot 10^3}{2 \pi}}

\displaystyle \Rightarrow \varepsilon_ind = \ 0,0796 \ V

 

Exercício 3 Um condutor de resistência de 150 {\Omega} e conduz uma corrente contínua de 1 A, e emite ondas electromagnéticas, devido o aquecimento. O condutor tem 8 cm de comprimento e 0,9 nm de raio.

  1. Calcule o vector de Poynting na superfície do filamento?.
  2. Encontre as magnitudes dos campos eléctricos e magnéticos na superfície do filamento;.NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.
Resolução 3

Dados {R = \ 150 \Omega}

{i = \ 1A}

{l = \ 8 \ cm}

{r = \ 0,3 \ n m = \ 0,3 \cdot 10^{-3} \ m}

{\varepsilon_0 = \ 8,85 \cdot 10^{-12} \ C^2/Nm^2}

{\mu_0 = \ 4 \pi \cdot 10^{-7} \ Wb/Am}

{c = \ 3 \cdot 10^8 \ m/s}

.
OBS: Para distinguir intensidade da radiação da intensidade de corrente eléctrica, nomeamos {I} para Intensidade da Radiação e {i} para intensidade de corrente eléctrica.

  1. A intensidade duma O.E.M. corresponde ao valor médio do vector de poynting, assim:

    \displaystyle I = \ \frac{1}{2}|\overrightarrow{S}| \Rightarrow |\overrightarrow{S}| = \ 2I

    A intensidade duma OEM tem relação com a potência desta onda e com a área:

    \displaystyle I = \ \frac{P}{A}

    Sabemos que a potência pode ser dada por :

    \displaystyle P = \ U \cdot i = \ (i \cdot R)i\Rightarrow P = \ i^2 \cdot R

    Para área, vamos considerar a área lateral. Modelamos o condutor como um cilindro. Então, a área lateral será: {A = \ 2 \pi \cdot r \cdot l}.

    Substituindo estas duas relações na fórmula da intensidade , temos:

    \displaystyle I = \ \frac{P}{A} = \ \frac{i^2 \cdot R}{2 \pi \cdot r \cdot l}

    Substituindo na equação do módulo vector de Poyting, obtemos:

    \displaystyle |\overrightarrow{S}| = \ 2I = \ \frac{2R \cdot i^2}{2 \pi \cdot r \cdot l} = \ \frac{2 \cdot 150 \ \Omega \cdot (1 A)^2}{2 \pi \cdot 0,9 \cdot 10^{-9} \cdot 8 \cdot 10^{-2}} = \ 1989,4 \cdot 10^3 \ W/m^2

     

  2. Sabemos que para as O.E.M.:

    \displaystyle I = \ \frac{1}{2}E_0H_0

    Mas {c = \ \frac{E_0}{B_0} \Rightarrow B_0 = \ \frac{E_0}{c}} e {H_0 = \ \frac{B_0}{\mu_0} = \ \frac{\frac{E_0}{c}}{\mu_0} = \ \frac{E_0}{\mu_0 \cdot C}}

    Então:

    \displaystyle I = \ \frac{1}{2}E_0 \cdot \frac{E_0}{\mu_0 \cdot c} = \ \frac{E_0^2}{2c \cdot \mu_0}

    . Isolando {E_0} nesta equação anterior, obtemos :

    \displaystyle E_0^2 = \ 2c \cdot \mu_0 \cdot I \Rightarrow E_0 = \ \sqrt{2c \cdot \mu_0 \cdot I}

    Já sabemos que a intensidade é:

    \displaystyle I = \ \frac{1}{2}|\overrightarrow{S}| = \ \frac{1}{2} \cdot 1989,4 \cdot 10^3 \ W/m^2 = \ 994,7 \cdot 10^3 \ W/m^2

    Logo a amplitude do vector campo magnético será:

    \displaystyle E_0 = \ \sqrt{2c \cdot \mu_0 \cdot I} = \ \sqrt{2 \cdot 3 \cdot 10^8 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 994,7 \cdot 10^3}

    \displaystyle E_0 = \ 27,386 \cdot 10^3 \ V/m

    Então, a intensidade do campo magnético é:

    \displaystyle H_0 = \ \frac{B_0}{\mu_0} = \ \frac{\frac{E_0}{c}}{\mu_0} = \ \frac{E_0}{c \cdot \mu_0} = \ \frac{27,386 \cdot 10^3}{3 \cdot 10^8 \cdot 4\pi \cdot 10^{-7}} = 72,64 \ A/m

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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 3)

Exercício 8 Se uma grandeza fictícia {K} tem unidade {\dfrac{ab^2}{c}} num certo sistema de unidade: Se as correspondências no SI são:

{1 \ a = 95 \ x}

{1 \ b = 57 \ y}

{1 \ c = 0,5 \ z}

Qual é o valor de {K = 18 \dfrac{ab^2}{c}} no SI ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 8 .

O objectivo do exercício é converter a unidade de {K} para o SI.

Vamos converter para o SI, substituindo o valor de {a}, {b}, {c} na expressão de {K = 18\dfrac{ab^2}{c}}.

.

\displaystyle K = 18\dfrac{ 95x \cdot (57y)^2}{0,5z}

\displaystyle \Rightarrow K = \dfrac{18 \cdot 95 \cdot (57)^2}{0,5} \cdot \dfrac{x \cdot y^2}{z}

\displaystyle K = 11111580\dfrac{x \cdot y^2}{z}

Exercício 9 Duas forças {\vec{F_1}} e {\vec{F_2}} de {10 \ N} e {20 \ N} respectivamente actuam sobre um corpo.

Qual deverá ser o modulo e a direcção da 3ª força ({\vec{F_3}}) para que a resultante seja nula?.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 9 .

Teremos que inicialmente que a resultante entre as forças {\vec{F_1}}, {\vec{F_2}} e {\vec{F_3}} deve ser nula. Quer dizer que as três forças fazem parte do mesmo sistema bidimensional. A nível de análise gráfica, poderíamos determinar a resultante (parcial) das forças {F_{1}} e {F_{2}}. Chamamos ela de {F_{1/2}}. A força três, neste caso, terá sentido contrário ao vector força {F_{1/2}}, para que equilibre este resultante.

Neste caso:

\displaystyle \vec{F_3} = -\vec{F_{2/1}} \ ; \ F_3 = F_{1/2}

Para calcular a força {F_{1/2}}, vamos aplicaras componentes:

\displaystyle F_{1/2x} = F_{1x} + F_{2x}= F_{1} + 0 = F_{1} = 10 N

\displaystyle F_{1/2y} = F_{1y} + F_{2y}= 0 + F_{2} = F_{2} = 20 N

Então:

\displaystyle \vec{F_{1/2}} = F_{1/2x} \vec{i} + F_{1/2y} \vec{j} = 10 \vec{i} + 20 \vec{j} [N]

Logo:

\displaystyle \vec{F_3} = -\vec{F_{2/1}}= - 10 \vec{i} - 20 \vec{j} [N]

Em modulo:

\displaystyle F_3 = \sqrt{(-10)^2 + (-20)^2} = \sqrt{500} [N]

\displaystyle F_3 = 22,36 \ N

A direcção é definida pelos ângulos:

\displaystyle \alpha_1 = \arctan \frac{F_{3y}}{F_{3x}}

\displaystyle \alpha_2 = 180^o + \arctan \frac{F_{3y}}{F_{3x}}

Calculando:

\displaystyle \alpha_1 = \arctan{(\frac{-20}{-10})}=63 ^o

\displaystyle \alpha_2 = 180^o + \arctan{(\frac{-20}{-10})}= 243^o

Como o vector pertence ao 3º quadrante (as componentes são ambas negativas), a direcção e sentido são definidas por:

\displaystyle \alpha_2 = 243^o

Exercício 10 Um móvel percorre um troço de {400 \ km} em {2 \ dias}. Qual é a velocidade média desta viagem ? NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.
Resolução 10 .

Dados

{v_m = \ ?}

{\Delta s = 400 \ km}

{\Delta t = 2 \ dias}

O exercício trate de um movimento genérico. Quando queremos analisar o movimento como um todo, usamos a velocidade e aceleração média. Então, a análise do movimento assemelha-se a um M.R.U, onde que a velocidade média é:

\displaystyle v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}

Antes de calcular a {v_m}, vamos converter os {2 \ dias} para {h}, para usarmos unidades habituais em movimentos desta natureza. Vamos utilizar o sistema de “3 simples”:

\displaystyle 1 \ dia \longrightarrow 24 \ h

\displaystyle 2 \ dias \longrightarrow t

Multiplicado de forma cruzada, obtemos:

\displaystyle t \cdot 1 \ dia = 2 \ dias \cdot 24 \ h

\displaystyle t = 48 \ h

Agora podemos calcular a {v_m}:

\displaystyle v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{400 \ km}{48 \ h}

\displaystyle v_m = 8,33 \ km/h

Também poderíamos apresentar o valor da {v_m} em {m/s}, basta para isso dividir o valor em {km/h} por 3,6 e teremos em {m/s}.

\displaystyle v_m = \dfrac{8,33}{3,6} \ m/s

\displaystyle v_m = 2, 31 \ m/s

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