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Monthly Archives: Maio 2018

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Exercício 1 Prove que as funções dadas abaixo são soluções das equações diferenciais:

  • {y''+y=x}, {y(0)=0}; onde {y=e^{-x}+x-1}.
  • {(y')^{3}=y}, {y(0)=0}; onde {8x^{3}+27y^{2}=0}.
  • {y''+25y=0}; onde {y=c_{1}\cos 5x}.
  • {y'=2xy+1}; onde {y=e^{x^{2}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}.
  • {xy'=y+x\sin x}; onde {y=x\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt}
Exercício 2 Achar os valores de {m} para os quais {y=e^{mx}} é uma solução das equações diferenciais abaixo:

  • {2y'''+y''-5y'+2y=0}.
  • {y'-2y=0}.
Exercício 3 Se {y'-xy^{\frac{1}{2}}=0}. Demonstrar que:

  • {y=(\frac{x^{2}}{4}+C)^{2}} é solução geral da equação acima.
  • Se {C=0}, mostrar que {y=\frac{x^{4}}{16}} é uma solução particular.
  • Explicar porque {y=0} é uma solução singular.
Exercício 4 A tangente de uma familia de curvas em qualquer ponto {(x,y)} do plano {xy} está dada por {4-2x}.

  • Estabeleça a equação diferencial da familia.
  • Determinar uma equação para aquela linha particular que passa pela origem.
  • Desenhe alguns membros da familia achada anteriormente.
Exercício 5 Se {y=Y_{1}(x)} e {y=Y_{2}(x)} são duas soluções de {y''+3y'-4y=0}. Mostre que:

  • {C_{1}Y_{1}(x)+C_{2}Y_{2}(x)} também é uma solução da equação, onde {C_{1}} e {C_{2}} são constantes arbitrárias.
  • Use os resultados anteriores para achar uma solução de uma equação diferencial que satisfaça as condições {y(0)=3}, {y'(0)=0}.

— 1.2. Teorema de Existência e Unicidade, Interpretações Gráficas —

Na última aula, deparamo-nos com uma equação diferencial que tinha solução, apenas não era única. Hoje começaremos por enunciar o teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem.

Teorema 1 Dada uma equação diferencial ordinária de primeira ordem {y'=f(x,y)}, se {f(x,y)} satisfaz as seguintes condições:

  • {f(x,y)} é real, finita, simples valorada e continua em todos os pontos de uma região {\omega} do plano {xy} (podendo conter todos os pontos).
  • {\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}} é real, finita, simples valorada e continua em {\omega}.

Então, existe uma e só uma solução {y=g(x)} em {\omega} tal que {y=y_{0}}, quando {x=x_{0}}, isto é, {y(x_{0})=y_{0}}.

Demonstração: Consulte um bom livro de Análise Funcional. \Box

Uma interpretação gráfica deste teorema é que se {\omega} é uma região na qual as condições especificadas se cumprem, então por qualquer ponto {(x_{0},y_{0})} em {\sigma} passará uma e só uma curva {C} cuja tangente em qualquer ponto de {\sigma} está dada por {y'=f(x,y)}. A solução {y=g(x)} representa a equação desta curva em {\sigma}.

Exemplo 10 Este exemplo foi retirado do livro Murray Spiegel (Equações Diferenciais Aplicadas). Determine se existe uma solução única para o problema de valor inicial

\displaystyle y'=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})},\text{ }y(1)=2.

Demonstração: Temos {f(x,y)=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}, {\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}}. Podemos observar então que o conjunto solução se encontra no interior do círculo {x^{2}+y^{2}=9} e inclui o ponto {(1,2)}, então pelo teorema de existÊncia e unicidade ela é única.

\Box

— 1.3. Isoclinas ou Campos de Direcções —

Consideremos a equação diferencial

\displaystyle  y'=f(x,y) \ \ \ \ \ (4)

onde a função à direita depende tanto de {x} quanto de {y}, e saisfaz as condições do teorema de existência e unicidade. Para resolvermos esta equação, se poderia pensar em integrar ambos lados de (4) com respeito a {x} e {y}, i.e., { y(x)=\int f(x,y)dx+C}, infelizmente esta abordagem não conduz à uma solução de (4) porque o integral envolve a mesma função que se quer determinar {y(x)}.

Exemplo 11 A equação {y'=x+y} não pode ser solucionada de modo directo.

Mas, existe um caminho geométrico mais simples para obtermos as soluções da equação diferencial dada {y'=f(x,y)}.

Em cada ponto {(x_{0},y_{0})} da região {\sigma} podemos construir uma linha com tangente igual a {f(x_{0},y_{0})}, ao qual geralmente se chama elemento de linha. Ao fazermos isto para um número suficientemente grande de pontos (campos de direcções da EDO), os elementos de linha representam linhas tangentes a curva solução em cada ponto.

Desta maneira poderemos obter uma representação gráfica da solução sem mesmo resolver a equação. As isoclinas correspondem assim aos pontos onde a iclinação, ou tangente, é constante.

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Análise Funcional -Aula 3

— 1.4. Solução dos Problemas Propostos da aula 2 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça. Para o bem do leitor, muitas vezes darei apenas soluções parciais aos problemas para que dessa forma possas preencher os detalhes que faltam e completar os argumentos.

5.(solução) Basta tomarmos {x=(x_{1},\cdots,x_{n},0,0,\cdots)} e {y=(1,0,0,\cdots)} e substituirmos na desigualdade de Cauchy.

6.(solução) Podemos tomar {x_{n}=(\frac{1}{\ln 2},\frac{1}{\ln 3},\frac{1}{\ln 4},\cdots)=\{\frac{1}{\ln n}\}_{n=2}^{\infty}} e aplicarmos o critério da razão, i.e., para provarmos que ela tende a zendo basta calcularmos o limite da razão com uma sequência que tende a zero. Ao solucionarmos este problema é importante lembrarmo-nos dos conceitos de série e convergência de séries.

7.(solução) Basta tomarmos a conhecida sequencia {x_{n}=\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}}.

8.(solução) Para a parte a) basta usarmos o facto de que {\delta(A)} é uma cota superior do conjunto {\{d(x,y): x,y\in A\}} e usarmos a propriedade {A\subset B \Longrightarrow \sup A\leq \sup B}.

b)A primeira implicação é facíl, já que se {\sup \{d(x,y): x,y\in A\}=0\Longrightarrow x=y}. A segunda implicação é trivial.

9.(solução) a) Vamos demonstrar apenas que {d_{1}(x,y)} satisfaz a desigualdade triângular.

Sejam {x,y, z\in X} temos:

\displaystyle d(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq \sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},z_{1})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},z_{2})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq d(x,z)+d(z,y)

no ultimo passo usamos a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}.

b) Para a segunda métrica também provaremos apenas a desigualdade triângular:

Uma dica do Kreyszig, basta aplicar o seguinte,

\displaystyle \max_{k=1,2}d_{k}(x_{k},y_{k})

\displaystyle \leq \max_{k=1,2}[d_{k}(x_{k},z_{k})+d_{k}(z_{k},y_{k})]

\displaystyle \leq \max_{i=1,2} d_{i}(x_{i},z_{i})+\max_{j=1,2}d_{j}(x_{j},y_{j})

10.(solução) Muito simples….

11.(solução) Para a desigualdade triângular use a a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}.

— 1.5. Topologia Básica dos Espaços Métricos —

Em geral, existem duas maneiras de se introduzir uma extrutura topologica num conjunto. A primeira, usando o conceito primitivo de conjunto aberto e a segunda pelo conceito de distância ou métrica. Nós vamos seguir a segunda abordagem.

Definição 6 Dado {x \in (X,d)} e {r>0}, temos as seguintes definições:

  • (Bola aberta) {B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}.
  • (Bola fechada) {\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}
  • (Esfera){S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}}
Comentário 7 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em {\mathbb{R}^{3}}. Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., {S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}=\emptyset }, para isso, basta tomarmos {r\neq1}.
Exemplo 7 Em {\mathbb{R}}, as bolas abertas e fechadas são os intervalos abertos (resp. fechados), i.e., da forma: {B(x,r)=(x-r,x+r)}.

— 1.5.1. Propiedades das Bolas Abertas —

Seja {(X,d)} um espaço métrico, então:

Proposição 2 Dadas duas bolas abertas {B(x,r_{1})} e {B(x,r_{2})}, então :

\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja {y\in B(x,r_{1})} então

\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}

logo, {y\in B(x,r_{2})}. \Box

Proposição 3 Seja {y} um ponto em {(X,d)} tal que {y\in B(x,r)}, então existe uma bola {B(y,r_{1})} ({r_{1}>0}), tal que

\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)

Demonstração: Seja {y\in B(x,r)}, se tomarmos {r_{1}=r-d(x,y)} teremos:

\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.

\Box

Proposição 4 Sejam {B(x,r_{1})} e {B(y,r_{2})}, tais que {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})\neq \emptyset}. Se {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então existe uma bola aberta de centro {a} contida na intersecção {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}.

Demonstração: Seja {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então pela Proposição anterior existe {B(a,r_{3})}, tal que {B(a,r_{3})\subset B(x,r_{1})} e {B(a,r_{3})\subset B(y,r_{2})}. Seja {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, então

\displaystyle B(a,r)\subset B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2}).

\Box

Proposição 5 Sejam {B(x_{1},r_{1})} e {B(x_{2},r_{2})} duas bolas abertas. Se {r_{1}+r_{2}\leq d(x_{1},x_{2})}, então

\displaystyle B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})=\emptyset.

Demonstração: Suponhamos pelo contrário que {B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})\neq\emptyset}, então {\exists x\in B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})}, logo

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,x_{1})+d(x_{2},x)\leq r_{1}+r_{2}.

\Box

Proposição 6 O diâmetro de uma bola {B(x,r)} satisfaz:

\displaystyle \delta(B(x,r))\leq 2r

Demonstração: Sejam {y,z\in B(x,r)\Longrightarrow d(x,y)<r} e {d(z,x)<r}, então

\displaystyle d(y,z)\leq d(z,x)+d(y,x)<2r

que é uma cota superior do conjunto das distâncias entre dois pontos, logo:

\displaystyle \delta(B(x,r))=\sup_{y,z\in B}d(x,y)\leq 2r.

\Box

Definição 7 Dado um conjunto {A\subset(X,d)}. Dizemos que {x} é um ponto interior de {A} se para todo {r>0} existe uma bola {B(x,r)} tal que:

\displaystyle B(x,r)\subset A

O conjunto de todos os pontos interiores de {A}, denotado por {int(A)} ou {A^{\circ}}, ou seja, {A^{\circ}=\{x\mid x \text{ é um ponto interior de }A\}}. Um conjunto é fechado se o seu complementar é aberto.

Teorema 7 A colecção de todos os subconjuntos abertos de {X} é uma topologia em {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Comentário 8 Muitos estudantes, pelas definições acima podem ser levados a pensar que se um conjunto não é fechado então deve ser aberto. Infelizmente este é um grande absurdo, e.g., {\emptyset} e {X} são ao mesmo tempo abertos e fechados.

— 1.5.2. Propriedades dos Conjuntos Abertos —

Proposição 8 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Ver a Proposição 1.3. \Box

Proposição 9 A intersecção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Demonstração: Sejam {A_{1}} e {A_{2}} dois conjuntos abertos e {A_{3}=A_{1}\cap A_{2}}. Se {x\in A_{1}\cap A_{2}\Longrightarrow \exists B(x,r_{1}),B(x,r_{2})}, basta tomarmos {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, daí {B(x,r)\subset A_{1}\cap A_{2}=A_{3}}. \Box

Uma generalização da proposição acima é a seguinte:

Proposição 10 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto.

Demonstração: Seja {x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{k}} para todo {k}. Então existem {r_{k}>0} tais que {B(x,r_{k})\subseteq A_{k}}. Se {r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}} então {r>0} e {B(x,r)\subseteq\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto. \Box

Comentário 9 Em geral, a intersecção arbitrária de abertos não é um aberto, basta tomarmos, por exemplo, em {\mathbb{R}} o conjunto {A_{n}=\{x\in \mathbb{R}:-\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\}}.
Proposição 11 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cup_{i\in I}A_{i}} é um aberto, onde {I} é um conjunto enumerável.

Demonstração: Deixada como presente para o leitor. \Box

Definição 8 Sejam {(X,d)} e {(Y,\rho)} dois espaços métricos. Uma aplicação {f:X\longrightarrow Y} é contínua no ponto {x_{0}} se para todo {\epsilon >0} existe um {\delta >0} tal que {\rho(f(x),f(x_{0})<\epsilon} para todo {x} satisfazendo {d(x,x_{0})<\delta}, f é dita ser contínua se é contínua em cada ponto de {X}.
Teorema 12 Uma aplicação {f} de um espaço métrico {X} em um espaço métrico {Y} é contínua se e só se a imagem inversa de qualquer subconjunto aberto de {Y} é um subconjunto aberto de {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Definição 9 Seja {E\subset X}. {x_{0}\in X} (pode ou não pertencer a {E}) é chamado ponto de acumulação ou ponto limite de {E} se em toda vizinhança de {x_{0}} existe pelo menos um ponto {y\in E} distinto de {x_{o}}. O conjunto formado por todos os pontos de acumulação de {E} é chamado de fecho de {E} e é denotado por {\overline{E}}. Um subconjunto {E} de um espaço métrico {X} é denso em {X} se

\displaystyle  \overline{E}=X.

Um espaço métrico {X} é separavel se contém um subconjunto denso enumerável. Como recomendação final, propomos que o leitor consulte um bom livro de Análise Funcional e resolva todos os problemas propostos relacionados ao tema tratado hoje.

1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica

Séries Numéricas

— 1. Conceitos Fundamentais —

Definição 1 Uma sucessão de números reais é simplesmente uma sequência infinita de números. Tipicamente utilizamos letras minúsculas para designar sucessões (a,u,v, e assim sucessivamente) e referimo-nos ao n-ésimo termo da sucessão u como {u_n}. como {u_2} designa o segundo termo da sucessão {u}.
Exemplo 1 As seguintes sequências são exemplos de sucessões reais.

  • a) {\{1,2,3,4,5,6,7...\}}
  • b) {\{ 1,4,9,16,25,36...\}} Estas sucessões têm uma regularidade bastante clara. A primeira é a sucessão de números naturais, a Segunda é a Sucessão dos Quadrados Perfeitos.

Teste da Convergencia das Sucessões Uma Sucessão infinita é convergente, se existe o limite da sucessão {a_n}, quando {n \rightarrow } {\infty}.

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = L

onde {L} é um número.

Exemplo 2

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{2^n} = 0

avaliando para {x=1},

{{ 1, 1^2, 1^3, 1^4,..}} { = 1^n , n = 1, 2, 3,...}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 1^n = 1

. Portanto, para {x=1} é convergente. avaliando para {x=2}, {{2, 2^2, 2^3, 2^4,...}} { = {2,4,8,16,...} = 2^n}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 2^n = \infty

. Portanto, para {x=2} é divergente.

Definição 2 Seja {a} uma sucessão chama-se sucessão das somas parciais de {a} à sucessão {S_a} tal que

\displaystyle S(a)_n = a_0+a_1+a_2+...+a_n+... = \sum_{i = 0 }^n a_i

chama-se série a expressão formal que denota a soma de todos os termos de {a},

\displaystyle \sum_{n = 0 }^\infty a_n

e se {\lim S(a)_n}, existir e for finito, dizemos que a série é somável ou convergente e que o seu valor é esse limite. caso contrário diz-se a série é divergente. tal como a definimos, o valor de uma série(também chamado a soma da série)é simplesmente um limite de uma sucessão, a sucessão ds somas parciais doutra sucessão. É precisamente esta definição intuitiva de série como a soma de todos os termos das sucessão: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, então faz sentido dizer que esse limite é a soma de todos esses valores.

Critérios Para Conferir a Convergência das Séries Numéricas

Definição 3 Critério de Cauchy, Para que a série numérica seja convergente, é necessário e suficiente que para todo {\epsilon>0}, exista {N=N_\epsilon}, tal que para todos os n>1 e p=1,2,…, cumpra-se a desigualdade { \mid S_{n+p} - S_n\mid = \mid u_{n+1} + u_{n+2} + u_{n+3}+...+u_{n+p}\mid<\epsilon} critério necessário de convergência: se a série converge, então

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} u_n = 0

. Este critério é necessário, mas não é suficiente. Quer dizer que quando uma série não o cumpre, então a série é divergente. Mas se uma série o cumpre, então não pode-se dizer nada sobre a convergência.

Exemplo 3 Mostre que a série

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}

converge e ache sua soma. repare que a fracção {\frac{1}{x(x+1)}} pode-se representar também como {\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}}, dai que { S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1}},

  • { S_2 =\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}},
  • { S_3 = \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}}, e assim por diante. esta propriedadeda da série

    \displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

    chama-se de telescópica. daí que { S_n=1-\frac{1}{n+1}}. portanto,

    \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n+1}) = 1

    ; ou seja , a série é convergente e sua soma é igual a 1. Repare-se que neste caso, conferimos que a série é convergente, como consequência de ter determinado sua soma. Como provamos que a série tem soma, então a série é convergente.

Este exemplo é muito especial, porque é relativamente fácil determinar a soma da série

\displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

. Nem sempre é possível achar uma expressão para a soma de uma série. Daí que geralmente o mais importante é apenas conferir se a série é ou não é convergente.

 

Análise Funcional – aula 2

— 1.2. Solução dos Problemas Propostos da aula 1 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça.

1.(solução)

Os dois primeiros axiomas são de facíl verificação, passemos agora para a demonstração da desigualdade triângular,i.e., devemos mostrar que:

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

Se tomarmos {a=x-z, b=z-y}, temos que {a+b=x-y}, então fazendo uso da desigualdade triângular nos reais {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid} e da desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}, temos:

\displaystyle \sqrt{\mid x-y\mid}=\sqrt{\mid (x-z)+(z-y)\mid}\leq \sqrt{\mid x-z \mid +\mid z-y\mid }=\sqrt{a+b}

\displaystyle \Longleftrightarrow \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\mid x-z\mid}+\sqrt{\mid z-y\mid}

Assim provamos que a aplicação definida por {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}} é uma métrica sobre {\mathbb{R}}.

2.(solução)

a) À primeira vista a aplicação {d_{1}(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid} parece ser uma métrica,mas é facil notar que ela não satisfaz a segunda parte do primeiro axioma da definição de métrica, {d_{1}(x,y)=0\Longleftrightarrow \mid x^{2}-y^{2}\mid=0\Longleftrightarrow x=y} ou {x=-y} daí concluimos que a aplicação não é uma métrica em {\mathbb{R}}, mas é facíl verificar que é uma métrica se tomarmos os subconjuntos {\mathbb{R^{+}}\cup \{0\}} ou {\mathbb{R^{-}}\cup \{0\}}.

b)Seja {x=y=1} então {d_{2}(1,1)=1\neq0} logo não é uma métrica.

c)É facíl verificar que os primeiros axiomas são satisfeitos. Para demonstrarmos a desigualdade triângular consideremos primeiramente a função {f(a)=\frac{a}{1+a}}, é de facil verificação que a função {f} é crescente (usando Cálculo elementar), logo se {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid \Longrightarrow f(\mid a+b\mid)\leq f(\mid a\mid +\mid b\mid)}, então

\displaystyle \frac{\mid a+b\mid}{1+\mid a+b\mid}\leq\frac{\mid a\mid +\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}= \frac{\mid a\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}+\frac{\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}

Tomando {a=x-z} e {b=z-y}, temos o que queremos.

3.(solução)

(i) Se tomarmos {\rho(x,y)=kd(x,y)}, é facíl vermos que:

\displaystyle \rho(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow k> 0

e que as restantes propriedades são facilmente satisfeitas.

(ii)Do mesmo modo é simples verificar que {\rho(x,y)=d(x,y)+k} é uma métrica sse {k=0}.

4.(solução) Podemos escrever a desigualdade triângular do seguinte modo:

\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \Longleftrightarrow d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)

e a desigualdade contrária segue de

\displaystyle d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)

— 1.3. Outros Exemplos de Espaços Métricos —

Bem-vindos a segunda aula de análise funcional, hoje vamos explorar com um pouco mais de profundidade alguns espaços métricos que são de etrema importância para a análise funcional. Para começarmos introduziremos algumas desigualdades famosas e muito úteis, que não serão demonstradas.

Definição 2 Dois expoentes {p} e {q} são dito conjugados sse:

\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.

Sejam {p} e {q} dois expoentes conjugados têm-se a seguinte desigualdade de Holder:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{q})^{\frac{1}{q}} \ \ \ \ \ (2)

Se tomarmos {p=q=2} na desigualdade (2) teremos a chamada desigualdade de Cauchy-Buniakovsky-Schwarz:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}} \ \ \ \ \ (3)

A desigualdade de Holder (2) é geralmente obtida da desigualdade de Young:

\displaystyle  xy\leq \frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{q}}{q} \ \ \ \ \ (4)

onde {p} e {q} são conjugados.

Comentário 5 Um corolário trivial da desigualdade acima é o facto de que a média geometrica entre dois números não excede sua média aritmética, para mostrarmos esse facto basta tomarmos {p=q=2}.

E por último temos a desigualdade de Minkovsky:

\displaystyle  (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}+y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}\leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}+(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}} \ \ \ \ \ (5)

Comentário 6 É importante notarmos que a desigualdade de Mimkovsky não é verdadeira para {p<1}, e que quando {p=1} temos uma simples desigualdade que exprime o facto de que o modulo da soma não excede a soma dos modulos.
Exemplo 4 Retomaremos um exemplo da aula anterior, relacionado à métrica { d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}} em {\mathbb{R}^{n}}, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n})=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n})=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}}. Demonstração: O objectivo é provarmos que o par {(\mathbb{R}^{n},d_{n})} é um espaço métrico. De facto, os dois primeiros axiomas são de facil verificação e são deixados ao leitor como exercícios, passemos então a demonstração da desigualdade triângular, para tal faremos uso da desigualdade (3). Sejam {x,y,z\in \mathbb{R}^{n}} então {\exists \{x_{k}\}_{k=1}^{n}, \{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {\{z_{k}\}_{k=1}^{n}} tais que {x=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}, y=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {z=\{z_{k}\}_{k=1}^{n}}, fazendo então a substituição {a_{k}=x-z, b_{k}=z-y} temos:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{2}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}

\displaystyle \Longleftrightarrow\leq\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}.\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}=(\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}})^{2}

\Box

Consideremos agora o espaço {l^{p}(p\geq 1)} ou espaço das sequências {p}-somaveis definido da seguinte forma:

\displaystyle l^{p}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{p}<\infty\}

Reparem que os elementos do espaço {l^{p}} são sequências com infinitos pontos, fazendo desse espaço um espaço discreto. É facil verificarmos que a aplicação

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{p} )^{\frac{1}{p}}

é de facto uma métrica, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n},\cdots)} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n},\cdots)}. A demonstração desse facto é deixada ao leitor, para a desigualdade triângular basta aplicar a desigualdade (5).

Quando {p=2} o espaço resultante, {l^{2}}, é geralmente conhecido por espaço de Hilbert ou espaço da sequências de quadrado somaveis. Definido da seguinte maneira:

\displaystyle l^{2}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{2}<\infty\}

com a métrica definida da seguinte forma:

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{2} )^{\frac{1}{2}}

Além das mencionadas acima, existem muitas outras métricas de extrema importância, até podemos formar metricas de métricas, por exemplo, no primeiro exercício dos problemas propostos na aula passada, nós podemos generalizar, obtendo assim o facto de que se {d(x,y)} é uma métrica sobre {X} então a aplicação

\displaystyle \rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}

também é uma métrica sobre {X}.

Exemplo 5 Consideremos a métrica definida por

\displaystyle \rho(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}\frac{\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}{1+\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}

sobre o espaço das funções continuas em {(-\infty,\infty)} torna esse conjunto um espaço métrico. Deixamos para o leitor a demonstração desse facto, como sugestão, lembre-se das suas aulas de Cálculo e as propriedades das funções continuas e séries (mostrar antes que a métrica estábem definida, em caso de duvidas contacte-nos atráves do blog deixando sua questão).

Mostraremos agora que o produto cartesiano {X_{1}\times X_{2}} de dois espaços métricos {(X_{1},d_{1})} e {(X_{2},d_{2})}, também pode ser transformado em um espaço métrico.

Exemplo 6 Consideremos o conjunto {X=X_{1}\times X_{2}} onde {X_{1}} e {X_{2}} são espaços métricos, definimos nele a métrica

\displaystyle d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})

vamos mostrar que o par {(X,d)} é um espaço métrico, onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. Demonstração:

(i) É evidente que {d(x,y)\geq } já que é a soma de duas metricas não negativas. Se {d(x,y)=0 \Longleftrightarrow d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})=0} como as métricas são não negativas então para a soma ser zero ambas tem de ser zero,i.e., {d_{1}(x_{1},y_{1})=0\Longrightarrow x_{1}=y_{1}} e {d_{2}(x_{2},y_{2})=0\Longrightarrow x_{2}=y_{2}}, o inverso é facil de mostrar assim como o axioma (ii).

(iii)Para demonstrarmos a desigualdade triângular,tomemos {d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})\leq d_{1}(x_{1},z_{1})+d_{1}(z_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},z_{2})+d_{2}(z_{2},y_{2}) } reagrupando a desigualdade obtemos

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

\Box

Como verificamos pelos exemplos acima, a partir de uma métrica podemos formar ou construir outras métricas, passemos agora para novos conceitos.

Definição 3 Seja {(X,d)} um espaço e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}). Dizemos que o conjunto {A} é limitado se {\exists k>0} tal que

\displaystyle d(x,y)\leq k \text{ , } \forall x,y \in A

Se {A} é limitado, denotamos o diâmetro de {A} por {\delta(A)} onde

\displaystyle  \delta(A)=\sup_{x,y \in A}d(x,y)

Da definição acima segue-se imediatamente que um conjunto {A} é limitado sse {\delta(A)<\infty}.

Definição 4 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}) e {x\in X}. Chama-se distância de {x} ao conjunto {A} o número

\displaystyle d(x,A)=\inf_{y\in A}d(x,y).

A ideia de se calcular a distância de um ponto aum conjunto pode ser tornado mais intuitivo ao lembrarmos um pouco de Geometria Análitica, onde calculamos a distância de um ponto a uma recta, que nada mais é que um conjunto infinito de pontos.

Podemos verificar ainda que:

  • A definição 1.3 está bem definida, pois o ínfimo existe pois {d(x,y)\geq 0}, {\forall y\in A}.
  • Se {x\in A}, então {d(x,A)=0} (porque aí bastaria toar {x=y}).
Proposição 1 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X (A\neq \emptyset)}. Então para todo {x,y \in X} temos

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)

Demonstração: Como {d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)} é uma cota inferior então para todo {z\in A} temos:

\displaystyle d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)\leq d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)

assim {d(x,A)-d(x,y)\leq d(y,z)} é uma cota inferior do conjunto {\{d(y,z)\mid z\in A\}}, logo:

\displaystyle d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)

a segunda desigualdade segue multiplicando-se a expressão acima por {-1} e fazendo {x=y}. \Box

Definição 5 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A,B\subset X}, {A\neq \emptyset} e {B\neq \emptyset}. A distância entre {A} e {B} é definida do seguinte modo:

\displaystyle d(A,B)=\sup\{d(x,y)\mid x\in A, y\in B\}.

Da definição podemos notar que:

  • Se {A\cap B\neq \emptyset}, então {d(A,B)=0}.
  • Se {A\cap B= \emptyset}, não implica {d(A,B)>0}.

Por hoje ficaremos por aqui,não se esqueçam de resolver os problemas propostos e em cao de duvida nos contactem, como sempre no inicio da proxima aula resolveremos os problemas propostos.

Problemas Propostos

Exercício 5 Mostre que a desigualdade de Cauchy (3) implica

\displaystyle (\mid x_{1}\mid+\cdots+\mid x_{n}\mid)^{2}\leq n(\mid x_{1}\mid ^{2}+\cdots+\mid x_{n}\mid ^{2}).

Exercício 6 Encontre uma sequência que converge para {0}, mas que não esteja em nenhum espaço {l^{p}}, onde {1\leq p<\infty}.
Exercício 7 Encontre uma sequência que esteja em {l^{p}(p>1)} mas não esteja em {l^{1}}.
Exercício 8 Mostre que:

  1. Se {A\subset B},então {\delta(A)\leq \delta(B)}.
  2. {\delta(A)=0} se e somente se {A} consiste em um único ponto.
Exercício 9 Sejam {X=X_{1}\times X_{2}} onde {(X_{1},d_{1})}, {(X_{2},d_{2})} são espaços métricos. Mostre que as seguintes aplicações são métricas em {X}:

  • {d_{1}(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}}
  • {d_{2}(x,y)=\max\{d_{1}(x_{1},y_{1}),d_{2}(x_{2},y_{2})\}}
Exercício 10 Seja {B(A)} o conjunto das funções limitadas em {A}, com a aplicação

\displaystyle d(x,y)=\sup_{t\in A}\mid x(t)-y(t)\mid

Mostre que {(B(A),d)} é um espaço métrico se {A=[a,b]}.

Exercício 11 Mostre que se {(X,d)} é um espaço métrico, então

\displaystyle \rho(x,y)=\sqrt{d(x,y)}

também o é.

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