Curso de Astronomia – 1º Programa – Luso Academia
Desde tempos imemoriais que a Humanidade olha para o céu noturno numa tentativa de dar sentido ao mundo que temos à nossa volta. Os padrões, a regularidade, a beleza e elegância dos movimentos dos corpos celestes e as suas interacções sempre cativaram a nossa
imaginação e impeliram o nosso esforço para encontrar explicações para os factos observados.
Ainda hoje em plena era espacial, onde não só o nosso conhecimento avançou de forma inegável, e até já navegamos várias vezes para o espaço sideral, continuamos a olhar para o céu noturno com o mesmo sentimento de assombro. Este sentimento advém, tal como para os
nossos antepassados longínquos, da ordem e organização que observamos no firmamento.
Nesse sentido a Luso Academia, em conjunto com o Acelera Angola, vai ministrar um curso de astronomia onde todos os interessados poderão conhecer um pouco melhor os métodos da ciência da astronomia e quais são os seus principais contributos para aquela que é talvez a maior aventura do intelecto humano: conhecer o Cosmos à nossa volta.
No link a seguir pode consultar o evento de facebook e fazer a sua marcação: Curso de Astronomia – 1º Programa – Luso Academia. O link para a marcação de lugares no evento é Curso de Astronomia.
Os nossos leitores de fora de Angola podem também fazer a sua inscrição pois iremos transmitir o evento via livestreaming (o link relevante irá ser partilhado oportunamente)
Exercício 1 Prove que as funções dadas abaixo são soluções das equações diferenciais:
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Exercício 2 Achar os valores de para os quais é uma solução das equações diferenciais abaixo:
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Exercício 3 Se . Demonstrar que:
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Exercício 4 A tangente de uma familia de curvas em qualquer ponto do plano está dada por .
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Exercício 5 Se e são duas soluções de . Mostre que:
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— 1.2. Teorema de Existência e Unicidade, Interpretações Gráficas —
Na última aula, deparamo-nos com uma equação diferencial que tinha solução, apenas não era única. Hoje começaremos por enunciar o teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem.
Teorema 1 Dada uma equação diferencial ordinária de primeira ordem , se satisfaz as seguintes condições:
Então, existe uma e só uma solução em tal que , quando , isto é, . |
Demonstração: Consulte um bom livro de Análise Funcional.
Uma interpretação gráfica deste teorema é que se é uma região na qual as condições especificadas se cumprem, então por qualquer ponto em passará uma e só uma curva cuja tangente em qualquer ponto de está dada por . A solução representa a equação desta curva em .
Exemplo 10 Este exemplo foi retirado do livro Murray Spiegel (Equações Diferenciais Aplicadas). Determine se existe uma solução única para o problema de valor inicial
Demonstração: Temos , . Podemos observar então que o conjunto solução se encontra no interior do círculo e inclui o ponto , então pelo teorema de existÊncia e unicidade ela é única.
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— 1.3. Isoclinas ou Campos de Direcções —
Consideremos a equação diferencial
onde a função à direita depende tanto de quanto de , e saisfaz as condições do teorema de existência e unicidade. Para resolvermos esta equação, se poderia pensar em integrar ambos lados de (4) com respeito a e , i.e., , infelizmente esta abordagem não conduz à uma solução de (4) porque o integral envolve a mesma função que se quer determinar .
Exemplo 11 A equação não pode ser solucionada de modo directo. |
Mas, existe um caminho geométrico mais simples para obtermos as soluções da equação diferencial dada .
Em cada ponto da região podemos construir uma linha com tangente igual a , ao qual geralmente se chama elemento de linha. Ao fazermos isto para um número suficientemente grande de pontos (campos de direcções da EDO), os elementos de linha representam linhas tangentes a curva solução em cada ponto.
Desta maneira poderemos obter uma representação gráfica da solução sem mesmo resolver a equação. As isoclinas correspondem assim aos pontos onde a iclinação, ou tangente, é constante.
Análise Funcional -Aula 3
— 1.4. Solução dos Problemas Propostos da aula 2 —
Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça. Para o bem do leitor, muitas vezes darei apenas soluções parciais aos problemas para que dessa forma possas preencher os detalhes que faltam e completar os argumentos.
5.(solução) Basta tomarmos e e substituirmos na desigualdade de Cauchy.
6.(solução) Podemos tomar e aplicarmos o critério da razão, i.e., para provarmos que ela tende a zendo basta calcularmos o limite da razão com uma sequência que tende a zero. Ao solucionarmos este problema é importante lembrarmo-nos dos conceitos de série e convergência de séries.
7.(solução) Basta tomarmos a conhecida sequencia .
8.(solução) Para a parte a) basta usarmos o facto de que é uma cota superior do conjunto e usarmos a propriedade .
b)A primeira implicação é facíl, já que se . A segunda implicação é trivial.
9.(solução) a) Vamos demonstrar apenas que satisfaz a desigualdade triângular.
Sejam temos:
no ultimo passo usamos a desigualdade .
b) Para a segunda métrica também provaremos apenas a desigualdade triângular:
Uma dica do Kreyszig, basta aplicar o seguinte,
10.(solução) Muito simples….
11.(solução) Para a desigualdade triângular use a a desigualdade .
— 1.5. Topologia Básica dos Espaços Métricos —
Em geral, existem duas maneiras de se introduzir uma extrutura topologica num conjunto. A primeira, usando o conceito primitivo de conjunto aberto e a segunda pelo conceito de distância ou métrica. Nós vamos seguir a segunda abordagem.
Definição 6 Dado e , temos as seguintes definições:
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Comentário 7 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em . Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., , para isso, basta tomarmos . |
Exemplo 7 Em , as bolas abertas e fechadas são os intervalos abertos (resp. fechados), i.e., da forma: . |
— 1.5.1. Propiedades das Bolas Abertas —
Seja um espaço métrico, então:
Proposição 2 Dadas duas bolas abertas e , então : |
Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja então
logo, .
Proposição 3 Seja um ponto em tal que , então existe uma bola (), tal que |
Demonstração: Seja , se tomarmos teremos:
Proposição 4 Sejam e , tais que . Se , então existe uma bola aberta de centro contida na intersecção . |
Demonstração: Seja , então pela Proposição anterior existe , tal que e . Seja , então
Proposição 5 Sejam e duas bolas abertas. Se , então |
Demonstração: Suponhamos pelo contrário que , então , logo
Proposição 6 O diâmetro de uma bola satisfaz: |
Demonstração: Sejam e , então
que é uma cota superior do conjunto das distâncias entre dois pontos, logo:
Definição 7 Dado um conjunto . Dizemos que é um ponto interior de se para todo existe uma bola tal que:
O conjunto de todos os pontos interiores de , denotado por ou , ou seja, . Um conjunto é fechado se o seu complementar é aberto. |
Teorema 7 A colecção de todos os subconjuntos abertos de é uma topologia em . |
Demonstração: Deixada para o leitor.
Comentário 8 Muitos estudantes, pelas definições acima podem ser levados a pensar que se um conjunto não é fechado então deve ser aberto. Infelizmente este é um grande absurdo, e.g., e são ao mesmo tempo abertos e fechados. |
— 1.5.2. Propriedades dos Conjuntos Abertos —
Proposição 8 Toda bola aberta é um conjunto aberto. |
Demonstração: Ver a Proposição 1.3.
Proposição 9 A intersecção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto. |
Demonstração: Sejam e dois conjuntos abertos e . Se , basta tomarmos , daí .
Uma generalização da proposição acima é a seguinte:
Proposição 10 Sejam abertos, então é um aberto. |
Demonstração: Seja para todo . Então existem tais que . Se então e é um aberto.
Comentário 9 Em geral, a intersecção arbitrária de abertos não é um aberto, basta tomarmos, por exemplo, em o conjunto . |
Proposição 11 Sejam abertos, então é um aberto, onde é um conjunto enumerável. |
Demonstração: Deixada como presente para o leitor.
Definição 8 Sejam e dois espaços métricos. Uma aplicação é contínua no ponto se para todo existe um tal que para todo satisfazendo , f é dita ser contínua se é contínua em cada ponto de . |
Teorema 12 Uma aplicação de um espaço métrico em um espaço métrico é contínua se e só se a imagem inversa de qualquer subconjunto aberto de é um subconjunto aberto de . |
Demonstração: Deixada para o leitor.
Definição 9 Seja . (pode ou não pertencer a ) é chamado ponto de acumulação ou ponto limite de se em toda vizinhança de existe pelo menos um ponto distinto de . O conjunto formado por todos os pontos de acumulação de é chamado de fecho de e é denotado por . Um subconjunto de um espaço métrico é denso em se |
Um espaço métrico é separavel se contém um subconjunto denso enumerável. Como recomendação final, propomos que o leitor consulte um bom livro de Análise Funcional e resolva todos os problemas propostos relacionados ao tema tratado hoje.
1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica
Séries Numéricas
— 1. Conceitos Fundamentais —
Definição 1 Uma sucessão de números reais é simplesmente uma sequência infinita de números. Tipicamente utilizamos letras minúsculas para designar sucessões (a,u,v, e assim sucessivamente) e referimo-nos ao n-ésimo termo da sucessão u como . como designa o segundo termo da sucessão . |
Exemplo 1 As seguintes sequências são exemplos de sucessões reais.
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Teste da Convergencia das Sucessões Uma Sucessão infinita é convergente, se existe o limite da sucessão , quando .
onde é um número.
Exemplo 2 |
avaliando para ,
{}
. Portanto, para é convergente. avaliando para , {}
. Portanto, para é divergente.
Definição 2 Seja uma sucessão chama-se sucessão das somas parciais de à sucessão tal que
chama-se série a expressão formal que denota a soma de todos os termos de , |
e se , existir e for finito, dizemos que a série é somável ou convergente e que o seu valor é esse limite. caso contrário diz-se a série é divergente. tal como a definimos, o valor de uma série(também chamado a soma da série)é simplesmente um limite de uma sucessão, a sucessão ds somas parciais doutra sucessão. É precisamente esta definição intuitiva de série como a soma de todos os termos das sucessão: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, então faz sentido dizer que esse limite é a soma de todos esses valores.
Critérios Para Conferir a Convergência das Séries Numéricas
Definição 3 Critério de Cauchy, Para que a série numérica seja convergente, é necessário e suficiente que para todo , exista , tal que para todos os n>1 e p=1,2,…, cumpra-se a desigualdade critério necessário de convergência: se a série converge, então
. Este critério é necessário, mas não é suficiente. Quer dizer que quando uma série não o cumpre, então a série é divergente. Mas se uma série o cumpre, então não pode-se dizer nada sobre a convergência.
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Este exemplo é muito especial, porque é relativamente fácil determinar a soma da série
. Nem sempre é possível achar uma expressão para a soma de uma série. Daí que geralmente o mais importante é apenas conferir se a série é ou não é convergente.
Análise Funcional – aula 2
— 1.2. Solução dos Problemas Propostos da aula 1 —
Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça.
1.(solução)
Os dois primeiros axiomas são de facíl verificação, passemos agora para a demonstração da desigualdade triângular,i.e., devemos mostrar que:
Se tomarmos , temos que , então fazendo uso da desigualdade triângular nos reais e da desigualdade , temos:
Assim provamos que a aplicação definida por é uma métrica sobre .
2.(solução)
a) À primeira vista a aplicação parece ser uma métrica,mas é facil notar que ela não satisfaz a segunda parte do primeiro axioma da definição de métrica, ou daí concluimos que a aplicação não é uma métrica em , mas é facíl verificar que é uma métrica se tomarmos os subconjuntos ou .
b)Seja então logo não é uma métrica.
c)É facíl verificar que os primeiros axiomas são satisfeitos. Para demonstrarmos a desigualdade triângular consideremos primeiramente a função , é de facil verificação que a função é crescente (usando Cálculo elementar), logo se , então
Tomando e , temos o que queremos.
3.(solução)
(i) Se tomarmos , é facíl vermos que:
e que as restantes propriedades são facilmente satisfeitas.
(ii)Do mesmo modo é simples verificar que é uma métrica sse .
4.(solução) Podemos escrever a desigualdade triângular do seguinte modo:
e a desigualdade contrária segue de
— 1.3. Outros Exemplos de Espaços Métricos —
Bem-vindos a segunda aula de análise funcional, hoje vamos explorar com um pouco mais de profundidade alguns espaços métricos que são de etrema importância para a análise funcional. Para começarmos introduziremos algumas desigualdades famosas e muito úteis, que não serão demonstradas.
Definição 2 Dois expoentes e são dito conjugados sse: |
Sejam e dois expoentes conjugados têm-se a seguinte desigualdade de Holder:
Se tomarmos na desigualdade (2) teremos a chamada desigualdade de Cauchy-Buniakovsky-Schwarz:
A desigualdade de Holder (2) é geralmente obtida da desigualdade de Young:
onde e são conjugados.
Comentário 5 Um corolário trivial da desigualdade acima é o facto de que a média geometrica entre dois números não excede sua média aritmética, para mostrarmos esse facto basta tomarmos . |
E por último temos a desigualdade de Minkovsky:
Comentário 6 É importante notarmos que a desigualdade de Mimkovsky não é verdadeira para , e que quando temos uma simples desigualdade que exprime o facto de que o modulo da soma não excede a soma dos modulos. |
Exemplo 4 Retomaremos um exemplo da aula anterior, relacionado à métrica em , onde e . Demonstração: O objectivo é provarmos que o par é um espaço métrico. De facto, os dois primeiros axiomas são de facil verificação e são deixados ao leitor como exercícios, passemos então a demonstração da desigualdade triângular, para tal faremos uso da desigualdade (3). Sejam então e tais que e , fazendo então a substituição temos:
|
Consideremos agora o espaço ou espaço das sequências -somaveis definido da seguinte forma:
Reparem que os elementos do espaço são sequências com infinitos pontos, fazendo desse espaço um espaço discreto. É facil verificarmos que a aplicação
é de facto uma métrica, onde e . A demonstração desse facto é deixada ao leitor, para a desigualdade triângular basta aplicar a desigualdade (5).
Quando o espaço resultante, , é geralmente conhecido por espaço de Hilbert ou espaço da sequências de quadrado somaveis. Definido da seguinte maneira:
com a métrica definida da seguinte forma:
Além das mencionadas acima, existem muitas outras métricas de extrema importância, até podemos formar metricas de métricas, por exemplo, no primeiro exercício dos problemas propostos na aula passada, nós podemos generalizar, obtendo assim o facto de que se é uma métrica sobre então a aplicação
também é uma métrica sobre .
Exemplo 5 Consideremos a métrica definida por
sobre o espaço das funções continuas em torna esse conjunto um espaço métrico. Deixamos para o leitor a demonstração desse facto, como sugestão, lembre-se das suas aulas de Cálculo e as propriedades das funções continuas e séries (mostrar antes que a métrica estábem definida, em caso de duvidas contacte-nos atráves do blog deixando sua questão). |
Mostraremos agora que o produto cartesiano de dois espaços métricos e , também pode ser transformado em um espaço métrico.
Exemplo 6 Consideremos o conjunto onde e são espaços métricos, definimos nele a métrica
vamos mostrar que o par é um espaço métrico, onde e . Demonstração: (i) É evidente que já que é a soma de duas metricas não negativas. Se como as métricas são não negativas então para a soma ser zero ambas tem de ser zero,i.e., e , o inverso é facil de mostrar assim como o axioma (ii). (iii)Para demonstrarmos a desigualdade triângular,tomemos reagrupando a desigualdade obtemos
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Como verificamos pelos exemplos acima, a partir de uma métrica podemos formar ou construir outras métricas, passemos agora para novos conceitos.
Definição 3 Seja um espaço e (). Dizemos que o conjunto é limitado se tal que
Se é limitado, denotamos o diâmetro de por onde |
Da definição acima segue-se imediatamente que um conjunto é limitado sse .
Definição 4 Seja um espaço métrico e () e . Chama-se distância de ao conjunto o número |
A ideia de se calcular a distância de um ponto aum conjunto pode ser tornado mais intuitivo ao lembrarmos um pouco de Geometria Análitica, onde calculamos a distância de um ponto a uma recta, que nada mais é que um conjunto infinito de pontos.
Podemos verificar ainda que:
- A definição 1.3 está bem definida, pois o ínfimo existe pois , .
- Se , então (porque aí bastaria toar ).
Proposição 1 Seja um espaço métrico e . Então para todo temos |
Demonstração: Como é uma cota inferior então para todo temos:
assim é uma cota inferior do conjunto , logo:
a segunda desigualdade segue multiplicando-se a expressão acima por e fazendo .
Definição 5 Seja um espaço métrico e , e . A distância entre e é definida do seguinte modo: |
Da definição podemos notar que:
- Se , então .
- Se , não implica .
Por hoje ficaremos por aqui,não se esqueçam de resolver os problemas propostos e em cao de duvida nos contactem, como sempre no inicio da proxima aula resolveremos os problemas propostos.
Problemas Propostos
Exercício 5 Mostre que a desigualdade de Cauchy (3) implica |
Exercício 6 Encontre uma sequência que converge para , mas que não esteja em nenhum espaço , onde . |
Exercício 7 Encontre uma sequência que esteja em mas não esteja em . |
Exercício 8 Mostre que:
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Exercício 9 Sejam onde , são espaços métricos. Mostre que as seguintes aplicações são métricas em :
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Exercício 10 Seja o conjunto das funções limitadas em , com a aplicação
Mostre que é um espaço métrico se . |
Exercício 11 Mostre que se é um espaço métrico, então
também o é. |