Curso de Astronomia – 1º Programa – Luso Academia
Desde tempos imemoriais que a Humanidade olha para o céu noturno numa tentativa de dar sentido ao mundo que temos à nossa volta. Os padrões, a regularidade, a beleza e elegância dos movimentos dos corpos celestes e as suas interacções sempre cativaram a nossa
imaginação e impeliram o nosso esforço para encontrar explicações para os factos observados.
Ainda hoje em plena era espacial, onde não só o nosso conhecimento avançou de forma inegável, e até já navegamos várias vezes para o espaço sideral, continuamos a olhar para o céu noturno com o mesmo sentimento de assombro. Este sentimento advém, tal como para os
nossos antepassados longínquos, da ordem e organização que observamos no firmamento.
Nesse sentido a Luso Academia, em conjunto com o Acelera Angola, vai ministrar um curso de astronomia onde todos os interessados poderão conhecer um pouco melhor os métodos da ciência da astronomia e quais são os seus principais contributos para aquela que é talvez a maior aventura do intelecto humano: conhecer o Cosmos à nossa volta.
No link a seguir pode consultar o evento de facebook e fazer a sua marcação: Curso de Astronomia – 1º Programa – Luso Academia. O link para a marcação de lugares no evento é Curso de Astronomia.
Os nossos leitores de fora de Angola podem também fazer a sua inscrição pois iremos transmitir o evento via livestreaming (o link relevante irá ser partilhado oportunamente)
Exercício 1 Prove que as funções dadas abaixo são soluções das equações diferenciais:
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Exercício 2 Achar os valores de
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Exercício 3 Se
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Exercício 4 A tangente de uma familia de curvas em qualquer ponto
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Exercício 5 Se
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— 1.2. Teorema de Existência e Unicidade, Interpretações Gráficas —
Na última aula, deparamo-nos com uma equação diferencial que tinha solução, apenas não era única. Hoje começaremos por enunciar o teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem.
Teorema 1 Dada uma equação diferencial ordinária de primeira ordem
Então, existe uma e só uma solução |
Demonstração: Consulte um bom livro de Análise Funcional.
Uma interpretação gráfica deste teorema é que se é uma região na qual as condições especificadas se cumprem, então por qualquer ponto
em
passará uma e só uma curva
cuja tangente em qualquer ponto de
está dada por
. A solução
representa a equação desta curva em
.
Exemplo 10 Este exemplo foi retirado do livro Murray Spiegel (Equações Diferenciais Aplicadas). Determine se existe uma solução única para o problema de valor inicial
Demonstração: Temos
|
— 1.3. Isoclinas ou Campos de Direcções —
Consideremos a equação diferencial
onde a função à direita depende tanto de quanto de
, e saisfaz as condições do teorema de existência e unicidade. Para resolvermos esta equação, se poderia pensar em integrar ambos lados de (4) com respeito a
e
, i.e.,
, infelizmente esta abordagem não conduz à uma solução de (4) porque o integral envolve a mesma função que se quer determinar
.
Exemplo 11 A equação |
Mas, existe um caminho geométrico mais simples para obtermos as soluções da equação diferencial dada .
Em cada ponto da região
podemos construir uma linha com tangente igual a
, ao qual geralmente se chama elemento de linha. Ao fazermos isto para um número suficientemente grande de pontos (campos de direcções da EDO), os elementos de linha representam linhas tangentes a curva solução em cada ponto.
Desta maneira poderemos obter uma representação gráfica da solução sem mesmo resolver a equação. As isoclinas correspondem assim aos pontos onde a iclinação, ou tangente, é constante.
Análise Funcional -Aula 3
— 1.4. Solução dos Problemas Propostos da aula 2 —
Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça. Para o bem do leitor, muitas vezes darei apenas soluções parciais aos problemas para que dessa forma possas preencher os detalhes que faltam e completar os argumentos.
5.(solução) Basta tomarmos e
e substituirmos na desigualdade de Cauchy.
6.(solução) Podemos tomar e aplicarmos o critério da razão, i.e., para provarmos que ela tende a zendo basta calcularmos o limite da razão com uma sequência que tende a zero. Ao solucionarmos este problema é importante lembrarmo-nos dos conceitos de série e convergência de séries.
7.(solução) Basta tomarmos a conhecida sequencia .
8.(solução) Para a parte a) basta usarmos o facto de que é uma cota superior do conjunto
e usarmos a propriedade
.
b)A primeira implicação é facíl, já que se . A segunda implicação é trivial.
9.(solução) a) Vamos demonstrar apenas que satisfaz a desigualdade triângular.
Sejam temos:
no ultimo passo usamos a desigualdade .
b) Para a segunda métrica também provaremos apenas a desigualdade triângular:
Uma dica do Kreyszig, basta aplicar o seguinte,
10.(solução) Muito simples….
11.(solução) Para a desigualdade triângular use a a desigualdade .
— 1.5. Topologia Básica dos Espaços Métricos —
Em geral, existem duas maneiras de se introduzir uma extrutura topologica num conjunto. A primeira, usando o conceito primitivo de conjunto aberto e a segunda pelo conceito de distância ou métrica. Nós vamos seguir a segunda abordagem.
Definição 6 Dado
|
Comentário 7 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em |
Exemplo 7 Em |
— 1.5.1. Propiedades das Bolas Abertas —
Seja um espaço métrico, então:
Proposição 2 Dadas duas bolas abertas |
Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja então
logo, .
Proposição 3 Seja |
Demonstração: Seja , se tomarmos
teremos:
Proposição 4 Sejam |
Demonstração: Seja , então pela Proposição anterior existe
, tal que
e
. Seja
, então
Proposição 5 Sejam |
Demonstração: Suponhamos pelo contrário que , então
, logo
Proposição 6 O diâmetro de uma bola |
Demonstração: Sejam e
, então
que é uma cota superior do conjunto das distâncias entre dois pontos, logo:
Definição 7 Dado um conjunto O conjunto de todos os pontos interiores de |
Teorema 7 A colecção de todos os subconjuntos abertos de |
Demonstração: Deixada para o leitor.
Comentário 8 Muitos estudantes, pelas definições acima podem ser levados a pensar que se um conjunto não é fechado então deve ser aberto. Infelizmente este é um grande absurdo, e.g., |
— 1.5.2. Propriedades dos Conjuntos Abertos —
Proposição 8 Toda bola aberta é um conjunto aberto. |
Demonstração: Ver a Proposição 1.3.
Proposição 9 A intersecção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto. |
Demonstração: Sejam e
dois conjuntos abertos e
. Se
, basta tomarmos
, daí
.
Uma generalização da proposição acima é a seguinte:
Proposição 10 Sejam |
Demonstração: Seja para todo
. Então existem
tais que
. Se
então
e
é um aberto.
Comentário 9 Em geral, a intersecção arbitrária de abertos não é um aberto, basta tomarmos, por exemplo, em |
Proposição 11 Sejam |
Demonstração: Deixada como presente para o leitor.
Definição 8 Sejam |
Teorema 12 Uma aplicação |
Demonstração: Deixada para o leitor.
Definição 9 Seja |
Um espaço métrico é separavel se contém um subconjunto denso enumerável. Como recomendação final, propomos que o leitor consulte um bom livro de Análise Funcional e resolva todos os problemas propostos relacionados ao tema tratado hoje.
1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica
Séries Numéricas
— 1. Conceitos Fundamentais —
Definição 1 Uma sucessão de números reais é simplesmente uma sequência infinita de números. Tipicamente utilizamos letras minúsculas para designar sucessões (a,u,v, e assim sucessivamente) e referimo-nos ao n-ésimo termo da sucessão u como |
Exemplo 1 As seguintes sequências são exemplos de sucessões reais.
|
Teste da Convergencia das Sucessões Uma Sucessão infinita é convergente, se existe o limite da sucessão , quando
.
onde é um número.
Exemplo 2
|
avaliando para ,
{}
. Portanto, para é convergente. avaliando para
, {
}
. Portanto, para é divergente.
Definição 2 Seja chama-se série a expressão formal que denota a soma de todos os termos de |
e se , existir e for finito, dizemos que a série é somável ou convergente e que o seu valor é esse limite. caso contrário diz-se a série é divergente. tal como a definimos, o valor de uma série(também chamado a soma da série)é simplesmente um limite de uma sucessão, a sucessão ds somas parciais doutra sucessão. É precisamente esta definição intuitiva de série como a soma de todos os termos das sucessão: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, então faz sentido dizer que esse limite é a soma de todos esses valores.
Critérios Para Conferir a Convergência das Séries Numéricas
Definição 3 Critério de Cauchy, Para que a série numérica seja convergente, é necessário e suficiente que para todo . Este critério é necessário, mas não é suficiente. Quer dizer que quando uma série não o cumpre, então a série é divergente. Mas se uma série o cumpre, então não pode-se dizer nada sobre a convergência.
|
Este exemplo é muito especial, porque é relativamente fácil determinar a soma da série
. Nem sempre é possível achar uma expressão para a soma de uma série. Daí que geralmente o mais importante é apenas conferir se a série é ou não é convergente.
Análise Funcional – aula 2
— 1.2. Solução dos Problemas Propostos da aula 1 —
Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça.
1.(solução)
Os dois primeiros axiomas são de facíl verificação, passemos agora para a demonstração da desigualdade triângular,i.e., devemos mostrar que:
Se tomarmos , temos que
, então fazendo uso da desigualdade triângular nos reais
e da desigualdade
, temos:
Assim provamos que a aplicação definida por é uma métrica sobre
.
2.(solução)
a) À primeira vista a aplicação parece ser uma métrica,mas é facil notar que ela não satisfaz a segunda parte do primeiro axioma da definição de métrica,
ou
daí concluimos que a aplicação não é uma métrica em
, mas é facíl verificar que é uma métrica se tomarmos os subconjuntos
ou
.
b)Seja então
logo não é uma métrica.
c)É facíl verificar que os primeiros axiomas são satisfeitos. Para demonstrarmos a desigualdade triângular consideremos primeiramente a função , é de facil verificação que a função
é crescente (usando Cálculo elementar), logo se
, então
Tomando e
, temos o que queremos.
3.(solução)
(i) Se tomarmos , é facíl vermos que:
e que as restantes propriedades são facilmente satisfeitas.
(ii)Do mesmo modo é simples verificar que é uma métrica sse
.
4.(solução) Podemos escrever a desigualdade triângular do seguinte modo:
e a desigualdade contrária segue de
— 1.3. Outros Exemplos de Espaços Métricos —
Bem-vindos a segunda aula de análise funcional, hoje vamos explorar com um pouco mais de profundidade alguns espaços métricos que são de etrema importância para a análise funcional. Para começarmos introduziremos algumas desigualdades famosas e muito úteis, que não serão demonstradas.
Definição 2 Dois expoentes |
Sejam e
dois expoentes conjugados têm-se a seguinte desigualdade de Holder:
Se tomarmos na desigualdade (2) teremos a chamada desigualdade de Cauchy-Buniakovsky-Schwarz:
A desigualdade de Holder (2) é geralmente obtida da desigualdade de Young:
onde e
são conjugados.
Comentário 5 Um corolário trivial da desigualdade acima é o facto de que a média geometrica entre dois números não excede sua média aritmética, para mostrarmos esse facto basta tomarmos |
E por último temos a desigualdade de Minkovsky:
Comentário 6 É importante notarmos que a desigualdade de Mimkovsky não é verdadeira para |
Exemplo 4 Retomaremos um exemplo da aula anterior, relacionado à métrica |
Consideremos agora o espaço ou espaço das sequências
-somaveis definido da seguinte forma:
Reparem que os elementos do espaço são sequências com infinitos pontos, fazendo desse espaço um espaço discreto. É facil verificarmos que a aplicação
é de facto uma métrica, onde e
. A demonstração desse facto é deixada ao leitor, para a desigualdade triângular basta aplicar a desigualdade (5).
Quando o espaço resultante,
, é geralmente conhecido por espaço de Hilbert ou espaço da sequências de quadrado somaveis. Definido da seguinte maneira:
com a métrica definida da seguinte forma:
Além das mencionadas acima, existem muitas outras métricas de extrema importância, até podemos formar metricas de métricas, por exemplo, no primeiro exercício dos problemas propostos na aula passada, nós podemos generalizar, obtendo assim o facto de que se é uma métrica sobre
então a aplicação
também é uma métrica sobre .
Exemplo 5 Consideremos a métrica definida por
sobre o espaço das funções continuas em |
Mostraremos agora que o produto cartesiano de dois espaços métricos
e
, também pode ser transformado em um espaço métrico.
Exemplo 6 Consideremos o conjunto vamos mostrar que o par
(i) É evidente que
(iii)Para demonstrarmos a desigualdade triângular,tomemos |
Como verificamos pelos exemplos acima, a partir de uma métrica podemos formar ou construir outras métricas, passemos agora para novos conceitos.
Definição 3 Seja Se |
Da definição acima segue-se imediatamente que um conjunto é limitado sse
.
Definição 4 Seja |
A ideia de se calcular a distância de um ponto aum conjunto pode ser tornado mais intuitivo ao lembrarmos um pouco de Geometria Análitica, onde calculamos a distância de um ponto a uma recta, que nada mais é que um conjunto infinito de pontos.
Podemos verificar ainda que:
- A definição 1.3 está bem definida, pois o ínfimo existe pois
,
.
- Se
, então
(porque aí bastaria toar
).
Proposição 1 Seja |
Demonstração: Como é uma cota inferior então para todo
temos:
assim é uma cota inferior do conjunto
, logo:
a segunda desigualdade segue multiplicando-se a expressão acima por e fazendo
.
Definição 5 Seja |
Da definição podemos notar que:
- Se
, então
.
- Se
, não implica
.
Por hoje ficaremos por aqui,não se esqueçam de resolver os problemas propostos e em cao de duvida nos contactem, como sempre no inicio da proxima aula resolveremos os problemas propostos.
Problemas Propostos
Exercício 5 Mostre que a desigualdade de Cauchy (3) implica
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Exercício 6 Encontre uma sequência que converge para |
Exercício 7 Encontre uma sequência que esteja em |
Exercício 8 Mostre que:
|
Exercício 9 Sejam |
Exercício 10 Seja Mostre que |
Exercício 11 Mostre que se também o é. |