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Exercícios resolvidos

11/27/2015 1:07 am / Deixe um comentário

Vamos acompanhar a resolução de alguns exercícios.

Exercício 1

${200g}$

${500g}$

${20^0C}$

${300g}$

${100^0C}$

${ c_{agua}=4190 J/kg.K, c_{Al}=0,9 kJ/kg.K }$

R: Como dados, temos: ${m_{cal} = 200g = 0,2 kg,}$ ${ m_{A} = 500g = 0,5 kg , }$
${m_{Al} = 300 g = 0,3 kg, }$

${ T_{A} = 20 ^0C = 293 K = T_{cal},}$

${ T_{Al} = 100^0C = 373 K , }$

${ c_{A} = 4190 J/kg.K, }$

${c_{Al} = 900 J/kg.K}$

Como sabemos, ao juntarmos estes materiais, haverá troca de calor entre eles, ou seja, o calorímetro e a água, por estarem mais frios, vão receber calor do pedaço de alumínio, que está mais quente. Pelos valores das temperaturas do problema, e considerando as massas envolvidas, sabemos logo que o equilíbrio termodinâmico será atingido em uma temperatura entre ${293 K}$ e ${373 K}$ …

Partindo do princípio que não se perde calor para o exterior, a soma das quantidades de calor do sistema tem de ser nulas [o calor cedido por um corpo é sempre absorvido por outro corpo no sistema). Como o problema não envolve mudança de fase (mudança de estado de agregação), então teremos apenas três quantidades de calor:

${ Q_{A} = m_{A} . c_{A} . (T_F - T_{A}) }$

${ Q_{Cal} = m_{Cal} . c_{Al} . (T_F - T_{Cal}) }$

${ Q_{Al} = m_{Al} . c_{Al} . (T_F - T_{Al})}$

Como ${Q_{A} + Q_{Cal} + Q_{Al} = 0}$

${ \Rightarrow m_{A}. c_{A} . (T_F-T_{A}) + m_{Cal}. c_{Al} . (T_F-T_{Cal}) + m_{Al}. c_{Al} . (T_F - T_{Al})=0}$

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

${m_{A}. c_{A} . T_F-m_{A}. c_{A} .T_{A}+m_{Cal}. c_{Al} . T_F-m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal}}$

${+m_{Al}. c_{Al} . T_F-m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}=0}$

${ \Rightarrow}$

${m_{A}. c_{A} . T_F +m_{Cal}. c_{Al} . T_F +m_{Al}. c_{Al} . T_F = m_{A}. c_{A} .T_{A} }$

${ + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}$

Factorizando a temperatura de equilíbrio ${T_F}$ e isolando-a, obtemos:

${ T_F= \frac{m_{A}. c_{A} .T_{A} + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}{m_{A}. c_{A} +m_{Cal}. c_{Al} +m_{Al}. c_{Al} }=301,5K=28,5^0C }$

Exercício 2

${5 atm}$

${500 K}$

${1 atm}$

a)A temperatura final do gás.
b)O volume final do gás.
c)O trabalho realizado pelo gás.
a)R: Temos como dados: ${n=0,5 mol,}$ ${ i=3 \Rightarrow \gamma=\frac{i+2}{i}=\frac{5}{3}=1,67 }$
(Hélio é um gás monoatómico),

${ p_1= 5 atm = 5,065.10^5 Pa,}$

${ T_1=500K,}$

${ p_2=1 atm = 1,013.10^5 Pa,}$

${ R=8,31 J/mol. K}$
O processo realizado é uma expansão adiabática. A equação para um processo adiabático com pressões e temperaturas pode ser obtida dividindo a equação ${p_1. V_1^\gamma=p_2.V_2^\gamma}$ pela equação ${\frac{p_1^\gamma. V_1^\gamma}{T_1^\gamma} =\frac{p_2^\gamma. V_2^\gamma}{T_2^\gamma}}$ .

A equação resultante será:

${ p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma= p_2^{1-\gamma}. T_2^\gamma. }$

Isolando ${T_2}$ , ficamos com: ${ T_2=({\frac{p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma}{p_2^{1-\gamma}}})^{\frac{1}{\gamma}}=262,1K }$
b)R: como conhecemos a temperatura e a pressão do estado 2, podemos determinar o seu volume aplicando a equação de estado para um gás ideal: ${V_2=n.R.T_2/p_2 = 0,01075 m^3}$ .
c)R: Podemos calcular o trabalho aplicando a primeira lei da termodinâmica. ${\Delta U= Q - W}$ . Como o processo é adiabático, então ${Q=0}$ , logo ${W=-\Delta U = -\frac{i}{2}.n.R.(T_2-T_1)=1482,7 J}$

Exercício 3

Uma maquina térmica que opera com o ciclo reversível de Carnot, recebe calor de um depósito térmico a alta temperatura e conta com uma eficiência térmica de ${ 57,89\% }$ produzindo ${2932 J}$ de trabalho em cada ciclo. Se o calor cedido vais para o ambiente que está a ${27^0C}$ , Determine:

a) A temperatura da fonte quente.
b) A máquina cumpre com a desigualdade de Clausius? Justifique.
a)R:Temos como dados: ${W=2932 J,}$
${T_C=27^0C=300K,}$

${\eta=57,89\%=0,5789}$

Para o ciclo de Carnot, sabemos que ${\eta=1-\frac{T_C}{T_H}}$ . Isolando ${T_H}$ , temos: ${T_H=\frac{T_C}{1-\eta}=712,4K=439,4^0C}$
b) R: O ciclo de Carnot é composto por dois processos isotérmicos e dois processos adiabáticos. Para o caso de motor, recebe calor na fonte quente e sede calor a fonte fria. Considerando os processos 1-2 expansão isotérmica, 2-3 expansão adiabática, 3-4 compressão isotérmica e 4-1 compressão adiabática, então a variação de entropia no ciclo será ${\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{23} + \Delta S_{34} + \Delta S_{41}}$ . Nos processos 2-3 e 4-1 não há variação de entropia. Logo: ${\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{34}= \frac{Q_H}{T_H}+\frac{(-Q_C)}{T_C}.}$ Para o ciclo de Carnot ${\frac{Q_C}{Q_H} =\frac{T_C}{T_H} \Rightarrow \frac{Q_C}{T_C} =\frac{Q_H}{T_H}}$ , então ${\Delta S= 0}$ , o que cumpre com a desiguldade de Clausius, que diz ${\Delta S\geq 0}$ .

Exercício 4

${V=60cm^3}$

${\frac{1}{4}}$

${1g/cm^3}$

a) A massa específica do bloco.
b) A tensão no fio, antes de ser cortado.

a) R: Primeiro devemos tirar todos os dados e passa-los para o Sistema Internacional (S.I.). ${V=60cm^3=60.10^{-6} m^3}$ ${\rho_{agua}=1g/cm^3=1000kg/m^3}$
Quando o bloco flutua, o volume da parte imersa é ${V_{im}=\frac{3.V}{4}=\frac{3.60.10^{-6}}{4}=45.10^{-6}m^3}$ De acordo com o princípio de Arquímedes, para o bloco flutuar é necessário que o Empuxo compense o peso do bloco, ou seja, ${E=P\Rightarrow \rho_{liq}.V_{im}.g=\rho_{bloco}.V_{bloco}.g}$ Isolando a densidade do bloco, obtemos: ${\rho_{bloco}=\frac{\rho_{liq}.V_{im}}{V}=750 Kg/m^3}$ .
b) R: Quando o corpo está preso no fundo do recipiente por um fio, actuam nele três forças: Peso ou Força de gravidade, Força de Arquimedes ou Empuxo e Força de Tensão (no fio). O peso e a tensão actuam verticalmente de cima para baixo, enquanto que a força de Empuxo actua verticalmente de baixo para cima. Neste caso temos: ${ P+T=E\Rightarrow T=E-P=\rho_{liq}.V_{im}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g }$ Como, nesta situação, o bloco está completamente submerso, então ${V_{bloco}=V_{im}}$ logo, ${ T=\rho_{liq}.V_{bloco}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g =0,147N}$

1. Introdução ao Eletromagnetismo

11/26/2015 9:25 pm / Deixe um comentário

— 1. Introdução ao Eletromagnetismo —

Estamos cercados de aparelhos cujo funcionamento depende de princípios e leis do eletromagnetismo, que é uma combinação de fenómenos elétricos e magnéticos.O eletromagnetismo também explica diversos fenómenos na natureza tais como a aurora, o arco íris, os relâmpagos,etc.

As interações eletromagnéticas envolvem partículas que possuem uma propriedade chamada carga elétrica, um atributo que é tão fundamental quanto a massa.Assim como os abjetos com massa são acelerados pela força gravitacional, os objetos eletricamente carregados são acelerados pelas força elétricas.

Iniciaremos o estudo do eletromagnetismo examinando a natureza da carga elétrica.Mostraremos que a carga elétrica é quantizada e obedece a um principio de conservação.

— 2. Cargas elétricas —

A carga elétrica é uma propriedade intrínseca das partículas de que é feita a matéria;em outras palavras é uma propriedade associada a própria existência das partículas.O termo “elétrico” deriva-se da palavra grega elektron, que significa âmbar.

A grande quantidade de cargas que existem em qualquer objeto raramente pode ser observada porque a maioria dos objetos contem quantidades iguais de dois tipos de cargas:cargas positivas e cargas negativas.Quando existe igualdade de cargas , dizemos que o objeto é eletricamente neutro, ou seja a carga total do objeto é zero.Quando as quantidades de dois tipos de cargas são diferentes, a carga total do objeto é diferente de zero e dizemos que o objeto esta eletricamente carregado.A diferença entre as quantidades dos dois tipos de cargas é sempre muito menor do que as quantidades de cargas positivas e de cargas negativas contidas no objeto.

OBS:Se o objeto possui um numero de protões maior que o de eletrões, o objeto esta eletrizado positivamente, se for ao contrario o objeto esta eletrizado negativamente.

Os objetos eletricamente carregados interagem exercendo uma força sobre outros objetos.Para observar essa força, podemos carregar um bastão de plástico friccionando uma das extremidades com um pedaço de lã.Quando o bastão de plástico é friccionado com um pedaço de lã, o plástico adquire uma quantidade de cargas negativas.Por outro lado quando um bastão de vidro é friccionado com um pedaço de seda, o vidro perde uma pequena quantidade de cargas negativas e, portanto, fica com uma pequena quantidade de cargas positivas.

Suponha que o bastão de plástico carregado seja suspenso por um fio para isolá-lo eletricamente dos outros objetos, impedindo que a carga elétrica se altere.Quando aproximamos do bastão de plástico suspenso o bastão de vidro eletricamente carregado (Figura 1a), os dois bastões são submetidos a uma força de atração.De outra forma, Quando aproximamos do bastão um segundo bastão de plástico eletricamente carregado(Figura 1b), os dois bastões são submetidos a uma força de repulsão.

cargas1

Figura: (a)Dois bastões carregados com cargas de sinais opostos se atraem.(b)Dois bastões de carga do mesmo sinal se repelem.}

As duas demonstrações revelam o seguinte:

Duas cargas positivas se repelem e duas cargas negativas também se repelem.Existe uma atração mutua entre uma carga positiva e uma carga negativa

OBS:A atração e a repulsão entre dois objetos carregados é geralmente resumida como cargas iguais se repelem e cargas contrarias se atraem.Contudo, devemos ter em mente que a expressão cargas iguais não significa que as duas cargas sejam idênticas, apenas que elas possuem o mesmo sinal algébrico (ambas são positivas ou ambas são negativas).Usar a expressão cargas contrarias significa que os objetos possuem cargas elétricas e que essas cargas possuem sinais algébricos opostos(uma positiva e a outra negativa).

— 2.1. Propriedades da carga elétrica —

Duas propriedades muito importantes da carga elétrica são a sua quantização e a conservação.

Quantização da carga.Todas as cargas observáveis ocorrem em quantidades que são múltiplos inteiros da unidade fundamental da carga elétrica ${e}$ ; ou seja, a carga elétrica é quantizada.Qualquer carga Q observável na natureza pode ser escrita como

${Q=\pm Ne}$ onde ${N=\pm 1,\pm 2,\pm 3...}$

A unidade fundamental da carga elétrica no SI é o coulomb, o qual é definido em termos da unidade da corrente elétrica, o Ampere (A).O coulomb (C) é a quantidade de carga que flui através da secção transversal de um fio em um segundo quando a corrente no fio é um ampere.A unidade fundamental de carga elétrica ${e}$ esta relacionada ao coulomb por

$\displaystyle e=1,602\times 10^{-19}C.$

Conservação da Carga.Quando objetos são atritados entre si, um objeto fica com excesso de elétrons e torna-se, portanto, carregado negativamente; o outro objeto fica com uma deficiência de elétrons e torna-se, portanto, carregado positivamente.A carga resultante dos dois objetos permanece constante; isto é, a carga elétrica é conservada.

Exemplo 1. Uma moeda de cobre (Z=29) tem massa de 3,10 gramas.Qual é a carga total de todos os elétrons da moeda?

Solução:A carga total Q é o numero de elétrons multiplicados pela carga:

$\displaystyle Q=N_{e}(-e)$

O numero de elétrons é o numero atómico do cobre Z multiplicado pelo numero de átomos ${ N_{at} }$ : ${ N_{e}=ZN_{at} }$

Para encontrar ${ N_{at} }$ em 3,10g de cobre, utilizamos o fato que um mol de qualquer substancia tem o numero de Avogadro ${ (N_{A}=6,02\times 10^{23}) }$ de partículas e o numero de gramas em um mol é a massa molar M, que é ${63,5g/mol}$ .Então, teremos:

${ N_{at}=\dfrac{m.N_{A}}{M}=(3,10g)\dfrac{6,02.10^{23}atomos/mol }{63,5g/mol}}$ =2,94 ${\times 10^{22}}$ átomos

O numero de elétrons ${N_{e}}$ será :

${N_{e}=ZN_{at}=}$ (29 elétrons/átomo)(2,94 ${\times10^{22}}$ átomos)

$\displaystyle N_{e}=8,53\times 10^{23}e.$

Vamos utilizar o numero de elétrons ${N_{e}}$ para determinar a carga total:

${Q=N_{e}(-e)}$ =(8,53 ${\times 10^{23}}$ e.)( ${-1,60\times 10^{-19}}$ C/e)

$\displaystyle Q=-1,37\times 10^{5}C$

1.3. Expansão térmica

11/20/2015 12:02 am / Deixe um comentário

Como vimos, o funcionamento do termómetro a gás baseia-se no princípio de expansão térmica… Mas, o que é isso de expansão térmica?

A expansão térmica está associada com o aumento das dimensões (comprimento, área ou volume) de um corpo ou substância qualquer, devido ao aumento de temperatura.

Os mais atentos já puderam observar no dia-a-dia muitas situações de expansão térmica… A expansão térmica vai explicar porquê é que não podemos acelerar demasiado o motor do nosso carro; porquê é que a água quando guardada num recipiente fechado e cheio rebenta após congelar e reduzir consideravelmente de temperatura; porquê é que os balões de ar aquecido voam; etc.

A consequência da dilatação térmica é que a maioria das substâncias, quando submetidas a um aumento de temperatura aumentam também o seu volume.

“Algumas”, porquê? Porque há algumas substâncias que , em certas condições violam este princípio… O exemplo mais simples e comum destas substâncias é a água, que, para temperaturas inferiores a 4ºC, invés de ter uma dilatação térmica, tem uma compressão térmica, isto é, a medida que a temperatura aumenta, o volume diminui. Isto para já explica a razão de que o gelo flutue sobre a água, visto que é menos denso do que ela (para uma mesma massa de água e gelo, o gelo ocupará um volume maior do que a água).

Isto também explica o porquê é que a água quando guardada num recipiente fechado e cheio, rebenta, após reduzir consideravelmente de temperatura (convertendo-se em gelo, e esfriando mais, consequentemente, dilatando mais).
Nota: por isso é que os fabricantes de refrigerantes e outras bebidas líquidas deixam um pequeno espaço sem liquido no interior da garrafa.

A dilatação térmica está, na realidade, associada ao significado microscópico da temperatura e tem dois sentidos de interpretação diferentes: no caso dos sólidos e líquidos, e no caso dos gases.

Como sabemos, a matéria é formada por átomos agregados em moléculas que ficam ligadas umas com as outras (no caso de sólidos e líquidos) ou que se movem quase que livremente (no caso dos gases).

Num sólido ou num líquido, ao aumentarmos a temperatura, estamos aumentando a energia de vibração das moléculas. Lembra-te de que o modelo físico de um sólido é o de um conjunto de moléculas ligadas entre si, mas com pequenos espaços intermoleculares, onde cada molécula vibra em torno de um ponto fixo.

Figura 4: Modelo físico do sólido. [7]

Naturalmente, o aumento das vibrações entre as moléculas levará a que as moléculas sedam parte da sua energia para as moléculas vizinhas, afastando-a mais (para ganhar mais espaço para poder vibrar mais). Isto conduzirá a um aumento das distâncias intermoleculares, conduzindo assim num aumento das dimensões (volume, comprimento, ária) do sólido. Nos líquidos, apesar de a distâncias intermoleculares serem maiores e as interacções intermoleculares também, mas o processo se dá por motivos muito semelhantes.

Nos gases, a dilatação térmica ocorre também, mais por razões diferentes. O modelo de um gás é o de um conjunto de moléculas (monoatómicas, diatómicas ou poliatómicas) que se movem quase que livremente, e que chocam sucessivamente umas com as outras. Explicar com palavras, por vezes é difícil, mas aprendi com um aluno numa das minhas aulas de Física 2, que para imaginarmos o comportamento de um gás monoatómico devemos observar a animação de protecção de ecrã “bolinhas coloridas” ou “bolhas” que vem em algumas edições do sistema operativo Windows.

Portanto, num gás, quando aumentamos a temperatura, estamos aumentando a energia cinética das moléculas que o constituem, ou seja, estamos aumentando a velocidade do movimento de translação (e, eventualmente, de rotação) das suas moléculas. Com isso, aumentarão significativamente as colisões intermoleculares, o que conduzirá a um aumento de pressão, e se as paredes que contêm o gás forem facilmente móveis, conduzira a um aumento de volume. Vale lembrar que o facto de os gases serem muito mais compressíveis do que os líquidos e sólidos, faz com que nem sempre um aumento de temperatura conduza a um aumento de pressão.

— 1.3.3. Dilatação Linear —

A dilatação linear é abordada com mais ênfase nos sólidos, pois , como sabemos, os sólidos têm forma própria. Nos líquidos e nos gases não tem muito de se falar de dilatação linear, visto que eles não têm forma própria, e portanto, quando aquecidos, dilatam- se por onde encontram “espaço livre”.

Imaginemos um corpo sólido qualquer . Vamos supor que uma das suas dimensões (comprimento, largura ou altura) será ${L_0}$ para uma dada temperatura ${T}$ . Se aumentarmos a sua temperatura em ${\Delta T}$ , cada uma das suas dimensões também sofrerá um aumento, no caso de ${L_0}$ , será ${\Delta L}$ . Poderíamos pensar que este aumento é aleatório, mas não. Poderíamos também pensar que toda a elevação de temperatura igual em diferentes barras, mas feitas de um mesmo material ocasionariam um mesmo aumento de tamanho, mas também não. A dilatação linear vai depender da matéria que se dilata, da magnitude da grandeza que se dilata e das diferenças de temperatura.

A dependência da matéria de que é constituída o material que se dilata é descrita através do coeficiente de dilatação linear ( ${ \alpha}$ ) que vai caracterizar o aumento de magnitude em função da diferença de temperaturas e do comprimento inicial. A unidade de ${\alpha}$ no SI é o ${(^0C)^(-1)}$ .

Figura 5: Coeficientes de dilatação linear de algumas substâncias. [7]

A dependência do comprimento é vista do seguinte modo: se pegarmos em duas barras do mesmo material, mas onde o comprimento da primeira é igual ao dobro do comprimento da segunda e submetermos ambas a uma mesma variação de temperatura, iremos observar que o aumento de comprimento da primeira barra será também igual ao dobro da segunda barra.

A dependência da variação da temperatura é vista do seguinte modo: A mesma barra de comprimento ${L_0}$ , se for submetida a um aquecimento ou arrefecimento que produza uma variação de temperatura “absoluta” ${\Delta T_1}$ ou em outra circunstância for submetida a uma variação de temperatura ${\Delta T_2}$ que seja igual ao dobro de ${\Delta T_1}$ , então veremos que na segunda situação a barra terá uma dilatação igual ao dobro da dilatação da primeira.

Portanto,os diversos parâmetros da dilatação linear estão relacionados a partir da seguinte equação:

$\displaystyle \Delta L = L_0 . \alpha . \Delta T \ \ \ \ \ (7)$

Vale notar que esta equação é a equação para o aumento de comprimento e não para o comprimento final… O comprimento final (após a dilatação ou compressão térmica) será:

$\displaystyle L= L_0+ \Delta L = L_0 + L_0 . \alpha . \Delta T = L_0 ( 1 + \alpha . \Delta T) \ \ \ \ \ (8)$

Quando se diminui a temperatura, a luz do que foi postulado anteriormente, as dimensões do corpo também diminuem, mas relações continuam a ser exactamente as mesmas.

Esta formula para a dilatação linear não é exacta, visto que o coeficiente de dilatação linear da maioria das substâncias sofre também variações com a temperatura, mas ela é válida para pequenas variações de temperatura, e, em geral é aplicada deste modo nos estudos mais simples de Física.

— 1.3.4. Dilatação volumétrica —

A dilatação volumétrica ocorre segundo as mesmas leis que a dilatação linear, mas é o um conceito que pode ser aplicado tanto em sólidos, líquidos ou gases. Na realidade é o único que se pode aplicar em líquidos , visto que nestes não se pode falar de dilatação linear.

Quando submetemos um sólidos ou líquido a um aquecimento (ou esfriamento), o seu volume aumenta (ou diminui). Este aumento ou diminuição de volume é, de igual modo como na dilatação linear, directamente proporcional ao volume inicial, ao coeficiente de dilatação volumétrica e a variação de temperatura.

Imaginemos uma substância qualquer (solida ou líquida) . Vamos supor que o seu volume inicial seja ${V_0}$ para uma dada temperatura ${T}$ . Se aumentarmos a sua temperatura em ${\Delta T}$ , o seu volume sofrerá um aumento ${\Delta V}$ .

O aumento de volume será dado pela seguinte equação:

$\displaystyle \Delta V = V_0 . \beta . \Delta T \ \ \ \ \ (9)$

Vale notar que esta equação é a equação para o aumento de volume e não para o volume final… O volume final (após a dilatação ou compressão térmica) será:

$\displaystyle V= V_0+ \Delta V = V_0 + V_0 . \beta . \Delta T = V_0 ( 1 + \beta . \Delta T) \ \ \ \ \ (10)$

O parâmetro ${\beta}$ é chamado de coeficiente de dilatação volumétrica, o seu valor varia de substância para substância.

Figura 6: Coeficientes de dilatação volumétrica de algumas substâncias. [7]

É necessário recordar que, para os sólidos, o coeficiente de dilatação volumétrica é igual ao triplo do coeficiente de dilatação linear.

$\displaystyle \beta = 3 . \alpha \ \ \ \ \ (11)$

Nos sólidos, alem de se falar de dilatação linear e volumétrica, também pode se falar em dilatação superficial, que obedecerá a princípios semelhantes, e cujo coeficiente ${\gamma}$ obedecerá à relação:

$\displaystyle \gamma = 2 . \alpha \ \ \ \ \ (12)$

— Referências Bibliográficas —

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F. F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

[7] Young & Freedman. FÍSICA 2: TERMODINÂMICA E ONDAS, 10ª ed (2003)

1. Introdução as equações diferenciais

11/19/2015 7:09 pm / 2 comentários em 1. Introdução as equações diferenciais

— 1. Introdução as equações diferenciais —

Talvez a aplicação mais importante do calculo sejam as equações diferenciais.Quando os físicos ou cientistas sociais usam o calculo em geral, o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenómeno que eles estão estudando.

— 1.1. Definições e terminologia —

Definição 1.As equações diferenciais são aquelas que contem as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

Exemplo 1.

${ \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{dy}{dt}=x+y }$ onde: x e y são variáveis dependentes e t é variável independente.
${ \dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}=x-2y }$ onde: u é a variável dependente e x e y são variáveis independentes

Definição 2. A ordem da derivada mais elevada que aparece na equação diferencial determina a ordem da equação.

Definição 3. O grau de uma equação diferencial que pode exprimir-se como um polinómio, na função incógnita e suas derivadas, é o maior expoente da derivada de mais alta ordem que aparece na equação.

— 1.1.1. Classificação das Equações Diferenciais —

As equações diferenciais são classificadas quanto ao tipo, ordem e linearidade.

Quanto ao tipo as equações diferenciais são classificadas em:ordinárias e parciais.
1. Equações diferenciais ordinárias (EDO) são aquelas que contem uma ou mais derivadas de variáveis dependentes em relação a uma variável independente.
2. As equações diferenciais parciais (EDP) são aquelas que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.
Quanto a ordem uma equação diferencial pode ser de 1ª, 2ª,…,n-ésima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equação.Uma equação ordinária de ordem n pode ser escrita na forma:
${F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0}$
Quanto a linearidade de uma equação diferencial ela pode ser linear e não linear.Ela é linear se as incógnitas e suas derivadas aparecem de forma linear.Por exemplo uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma equação que pode ser escrita como:
${ a_{n}(x)\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=g(x) }$

As equações diferenciais ordinárias que não podem ser escritas nessa forma são não lineares.

Exemplo 2.

${ \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-\dfrac{dy}{dx}+3y=0}$ (EDO da 2ª ordem, 1º grau linear)
${ (y\prime\prime\prime)^{2}-y\prime\prime+y^{2}=0 }$ (EDO da 3ª ordem, 2º grau não linear)
${\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-4\dfrac{\partial u}{\partial t}}$ (EDP da 2ª ordem, 1º grau linear)
${x^{2}y\prime\prime+xy\prime+y=0}$ (EDO da 2ª ordem, 1º grau linear)
${ \dfrac{\partial^{4}x}{\partial t^{4}}=kx(\dfrac{\partial^{2}m}{\partial n^{2}})^{2} }$ (EDP da 4ª ordem, 1º grau não linear)
${(\dfrac{dy}{dx})^{\frac{3}{2}} +y\prime =\dfrac{1}{x}}$ (EDO da 1ª ordem, não linear). OBS:Em virtude do expoente ${\frac{3}{2}}$ , a equação diferencial não pode exprimir-se como um polinómio na 1ª derivada e por isso, não se pode falar em grau da equação diferencial.
${\textrm{sen}\, y\prime +y=0}$ (EDO da 1ª ordem, não linear).

— 1.1.2. Solução de uma equação diferencial —

Definição 4. Toda função ${f}$ definida no intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial reduz a equação a uma identidade,é chamada solução para a equação no intervalo.

Queremos dizer que uma solução de uma equação diferencial ordinária de n-ésima ordem

$\displaystyle F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0$

é uma uma função ${f}$ que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação;isto é,

$\displaystyle F(x,f(x),f\prime (x),...f^{(n)}(x))=0$

para todo x no intervalo I

Exemplo 3.Verifique que a função indicada é uma solução da equação diferencial dada num intervalo (0,- ${\infty}$ )

$\displaystyle y\prime\prime -2y\prime +y=0 ; y=xe^{x}$

Solução:a partir das derivadas ${ y\prime =xe^{x}+e^{x} }$ e ${ y\prime\prime =xe^{x}+2e^{x} }$ teremos: ${ y\prime\prime -2y\prime +y=(xe^{x}+2e^{x})-2(xe^{x}+e^{x})+xe^{x}=0 }$

Observe que a função constante y=o também satisfaz a equação diferencial dada para todo x real.Uma solução para uma equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo I é em geral referida como solução trivial.

Definição 5.Solução geral duma equação diferencial é toda função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrarias.Se a equação é de 1ª ordem, aparece uma constante, se de 2ª ordem, duas constantes, etc.Geometricamente, a solução geral ou integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais).

Definição 6.Solução particular é toda solução da equação diferencial que se obtém da solução geral,atribuindo-se valores as constantes.Geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes a solução geral.

Exemplo 4. A solução geral da equação diferencial ${ y\prime\prime +y\prime =0 }$ é

$\displaystyle y=C_{1}+C_{2}e^{-x}$

, visto que esta é uma função que depende de duas constantes arbitrarias e verifica identicamente a equação diferencial, pois ${ y\prime =-C_{2}e^{-x} }$ , ${ y\prime\prime =C_{2}e^{-x} }$ e ${ C_{2}e^{-x}-C_{2}e^{-x}=o }$

Se fizermos ${ C_{1}=1 }$ e ${ C_{2}=-1 }$ e substituirmos na solução geral, obtemos a solução particular ${ y=1-e^{-x} }$ .

Exemplo 5. Dada a equação diferencial ${ y=\dfrac{2xy\prime}{1+(y\prime)^{2}} }$ , a solução geral é

$\displaystyle y^{2}=4C(x-C)$

, pois esta é uma função que verifica identicamente a equação diferencial e vem expressa em termos de uma constante arbitraria.

Uma solução particular é a função ${ y^{2}=4(x-1) }$ ,obtida da solução geral, fazendo C=1 e geometricamente, corresponde a curva integral (parábola) que passa no ponto (1,0).

A função ${ y=x }$ também verifica a equação identicamente, não depende de constantes arbitrarias, ma não pode ser obtida da solução geral por particularização da constante.É um outro tipo de solução, designada por solução singular, e que representa geometricamente, a envolvente da família de curvas integrais correspondentes a solução geral.

As equações diferenciais de 1ª ordem e 1º grau nunca tem soluções singulares.

Definição 7. Uma solução em que a variável dependente é expressa em termos de variáveis e constantes independentes diz-se que é uma solução explicita.

Definição 8. Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma ${G(x,y)=0}$ trata-se de uma solução implícita.

Exemplo 6. Para ${-2<x<2 }$ , a relação ${ x^{2}+y^{2}-4=0 }$ é uma solução implícita para a equação diferencial

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$

segue por derivação implícita, que

$\displaystyle \dfrac{d(x^{2})}{dx}+\dfrac{d(y^{2})}{dx}-\dfrac{d(4)}{dx}=0$

$\displaystyle 2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$

A relação ${x^{2}+y^{2}-4=0}$ define duas funções diferenciais explicitas: ${ y=\sqrt{4-x^{2}} }$ e ${y=-\sqrt{4-x^{2}}}$ no intervalo (2;-2).

— 1.2. Problemas de valor inicial —

Um problema de valor inicial (PVI) consiste em: Resolver ${F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0}$

Sujeito a ${ y(x_{0})=y_{0}, y\prime (x_{0})=y_{1},...,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1} }$

onde ${x_{0}\epsilon I}$ e ${y_{0}, y_{1},...,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{(n-1)}}$ são condições inicias.

Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.

Exemplo 7. Mostre que ${ y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x} }$ é uma família de soluções de

$\displaystyle y\prime\prime +y\prime -2y=0.$

Ache uma solução particular que satisfaz as condições iniciais

$\displaystyle y(0)=1 , y\prime (0)=2.$

Solução:Para achar as constantes ${ C_{1} }$ e ${ C_{2} }$ calculamos ${ y\prime }$ para obter

$\displaystyle y\prime=C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}.$

Ao substituir as condições iniciais obtemos o sistema de equações ${ C_{1}+C_{2}=1 }$

${ C_{1}-2C_{2}=2 }$

Ao se resolver esta equação obtém-se ${ C_{1}=\dfrac{4}{3} }$ e ${ C_{2}=-\dfrac{1}{3} }$ .Portanto a solução do PVI é ${ y=\dfrac{4}{3}e^{x}-\dfrac{1}{3}e^{-2x} }$ .

— 1.2.3. Existência e Unicidade de solução de uma EDO —

Três perguntas são importantes sobre soluções para uma EDO.

Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?
Se tiver solução, será que esta solução é única?
Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, existe o teorema de existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas caraterísticas. As condições suficientes para a existência de uma solução única de uma equação diferencial de primeira ordem são definidas pelo teorema de Picard:

Teorema 1 Considere o problema de valor inicial

${\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)}$ ;
$\displaystyle y(x_{0})=y_{0}$

se a função f e a derivada parcial de f em função de y são continuas numa vizinhança do ponto ${ (x_{0},y_{0}) }$ ,existe uma solução única ${y=g(x)}$ em certa vizinhança do ponto ${ (x_{0},y_{0}) }$ que verifica a condição inicial ${g(x_{0})=y_{0}}$ .

O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função f e a sua derivada parcial ${\frac{\partial f}{\partial y}}$ são continuas (o teorema não permite determinar o tamanho do intervalo).

OBS: As condições do teorema de Picard são condições suficiente,mas não necessárias para a existência de solução única.Quando f ou sua derivada parcial ${\frac{\partial f}{\partial y}}$ não sejam continuas, o teorema não nos permite concluir nada:Provavelmente existe solução única a pesar das duas condições não se verificarem.

Exemplo 8. O teorema 1 garante que existe um intervalo contendo ${x=0}$ no qual ${y=3e^{x}}$ é a única solução para o problema de valor inicial:

$\displaystyle y\prime =y, y(0)=3.$

isso segue-se do fato de que ${f(x,y)=y}$ e ${\partial f \diagup \partial y=1}$ são continuas em todo plano xy.Pode ser mostrado ainda que esse intervalo seja ${(-\infty,\infty)}$ .

Análise Matemática – Cálculo Diferencial III

11/15/2015 12:02 pm / 1 comentário em Análise Matemática – Cálculo Diferencial III

Teorema 65 {Teorema de Cauchy} Sejam ${ {[a,b]\subset\mathbb{R}}}$ e ${ {f}}$ , ${ {g}}$ contínua tal que ${ {f;g:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}}}$ . Se ${ {f}}$ e ${ {g}}$ são diferenciáveis em ${ {]a,b[}}$ e ${ {g'}}$ é diferente de ${0}$ em ${ {]a,b[}}$ , então existe ${ {c \in ]a,b[}}$ tal que

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} \ \ \ \ \ (66)$

Demonstração: Temos ${ {g(a)\neq g(b)}}$ uma vez que se fosse ${ {g(a)=g(b)}}$ , ${ {g'}}$ teria uma raiz em ${ {]a,b[}}$ .

Seja

$\displaystyle \lambda=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

e vamos definir ${ {\varphi}}$ como sendo ${ {\varphi:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}}$ (diferenciável em ${ {]a,b[}}$ e contínua em ${ {[a,b]}}$ ) tal que ${ {\varphi=f(x)-\lambda g(x)}}$ ${ {\forall x \in [a,b]}}$ . Assim

$\displaystyle \varphi(a)=f(a)-\lambda g(a)=\ldots=\varphi(b)$

Aplicando o teorema 63 em ${ {[a,b]}}$ existe ${ {c\in [a,b]}}$ tal que ${ {\varphi'=0}}$ . Isto é

$\displaystyle f'(c)-\lambda g'(c)=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{f'(c)}{g'(c)}$

$\Box$

O Teorema anterior de certa forma é mais um Lema do que propriamente um Teorema. Dizemos isso porque não obstante seja um resultado importante por si próprio ele é bastante útil para provarmos outros teoremas. Para além disso este resultado pode ainda ser interpretado com um algoritmo que nos permite obter aproximações (muito) locais para funções na vizinhança de um dado ponto.

Teorema 66 {Primeira regra de Cauchy} Sejam ${ {I \subset \mathbb{R}}}$ , ${ {c\in I'}}$ e ${ {f,g:I\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb{R}}}$ diferenciável. Vamos também assumir que ${ {g'}}$ não se anula em ${ {I\setminus \{c\}}}$ e que ${ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}g(x)=0}}$ .

Se ${ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$ existe temos que

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \ \ \ \ \ (67)$

Demonstração: Seja ${ {c\in\mathbb{R}}}$ . Uma vez que ${ {f,g}}$ são contínuas em ${ {I\setminus \{ c \}}}$ e ${ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}g(x)=0}}$ podemos definir ${ {f(c)=g(c)=0}}$ . Seja ${ {x_n: \mathbb{N}\rightarrow I\setminus \{c\}}}$ tal que ${ {x_n\rightarrow c^+}}$ .

Aplicando o Teorema 65 a cada intervalo ${ {[c,x_n]}}$ vem que

$\displaystyle \frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\frac{f(x_n)-f(c)}{g(x_n)-g(c)}=\frac{f'(u_n)}{g'(u_n)}$

Com ${ {c<u_n<x_n}}$ .

Então ${ {u_n\rightarrow c}}$ pelo Teorema da sucessão enquadrada 17

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(u_n)}{g'(u_n)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

pela definição de limite.

Então

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Assim pela definição de limite é

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c^+}\frac{f'(x)}{g'(x)} \ \ \ \ \ (68)$

Analogamente se para ${ {x_n}}$ temos

$\displaystyle x_n\rightarrow c^-$

Aplicando o Teorema 65 a cada intervalo ${ {[x_n,c]}}$ é

$\displaystyle \frac{f(x_n)}{g(x_n)}=\frac{f(x_n)-f(c)}{g(x_n)-g(c)}=\frac{f(c)-f(x_n)}{g(c)-g(x_n)}=\frac{f'(u_n)}{g'(u_n)}$

Com ${ {x_n<u_n<c}}$ .

Analogamente ao que vimos atrás fica

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c^-}\frac{f'(x)}{g'(x)} \ \ \ \ \ (69)$

Das equações 68 e 69 vem que

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

Finalmente façamos ${ {c=+\infty}}$ . Seja ${ {x=1/t}}$ . Temos que ${ {x\rightarrow \infty \Leftrightarrow t\rightarrow 0^+}}$ . Pelo que provámos até agora temos

${ {\begin{aligned} \displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{g(x)} &= \displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{f(1/t)}{g(1/t)}\\ &= \displaystyle\lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{(f(1/t))'}{(g(1/t))'}\\ &=\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{-1/t^2f'(1/t)}{-1/t^2g'(1/t)}\\ &=\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{f'(1/t)}{g'(1/t)}\\ &=\displaystyle \lim_{t \rightarrow 0^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}\\ \end{aligned}}}$

Assim, para este caso também é ${ {\displaystyle\lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$ .

O caso ${ {c=-\infty}}$ pode ser demonstrado de forma semelhante com a mudança de variável ${ {x=-1/t}}$ . $\Box$

Teorema 67 {Segunda regra de Cauchy} Sejam ${ {I \subset \mathbb{R}}}$ , ${ {c\in I'}}$ e ${ {f,g:I\setminus \{c\}\rightarrow \mathbb{R}}}$ diferenciável. Suponha-se ${ {g}}$ não se anula em ${ {I\setminus \{c\}}}$ e que ${ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}f(x)=\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}g(x)=+\infty}}$ . Então se existir limite ${ {\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}}$ tem-se

$\displaystyle \lim _{x\rightarrow c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim _{x\rightarrow c}\frac{f'(x)}{g'(x)} \ \ \ \ \ (70)$

Demonstração: Deixada como um exercício para o leitor. $\Box$

Os dois teoremas anteriores são conhecidos por uma variedade de nomes na literatura matemática e são sobejamente utilizados para calcularmos limites. Como sempre daremos alguns exemplos para demonstrar a sua utilidade.

Exemplo 1 As funções ${ {e^x}}$ and ${ {x}}$ tendem para infinito quando ${ {x}}$ tende para infinito. Já sabemos que a função exponencial tende para infinito mais rápido que qualquer polinómio de ${x}$ pelo teorema 45 no artigo Análise Matemática – Limites e Continuidade VI mas utilizando a Segunda regra de Cauchy podemos demonstrar esse resultado de forma mais rápida.

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{x} \ \ \ \ \ (71)$

Como sempre um método que consegue demonstrar um mesmo resultado de uma forma mais rápida e eficiente é um método mais poderoso.

${ {\begin{aligned} \displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{x} &= \displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\frac{(e^x)'}{x'}\\ &= \displaystyle \lim _{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{1}\\ &= \infty \end{aligned}}}$

Exemplo 2 As funções ${ {\cos x-1}}$ e ${ {x^2}}$ tendem para ${ {0}}$ quando ${ {x}}$ tende para ${ {0}}$ . A pergunta que se coloca é qual das funções tende para ${ {0}}$ de forma mais rápida?

${ {\begin{aligned} \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x-1}{x^2} &= \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\cos x-1)'}{(x^2)'}\\ &= \displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{-\sin x}{2x}\\ &= \ldots \end{aligned}}}$

No final dos cálculos anteriores chegamos mais uma vez a uma indeterminação do tipo ${ {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{g(x)}}}$ onde ${ {\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}g(x)=0}}$ .

No entanto ambas a regras de Cauchy podem ser utilizadas mais do que uma vez. Assim sendo vamos utilizar mais uma vez a regra de Cauchy (voltando ao ponto inicial para que não percamos o raciocínio)

Como exercício calcule:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1}{1}$

Vamos agora demonstrar mais um resultado matemático que é muito importante para a Física, a um nível conceptual pode ser interpretado tanto de forma geométrica como de forma cinemática e que tem o nome de teorema de Lagrange.

Teorema 68 {Teorema de Lagrange} Sejam ${ {[a,b]\subset\mathbb{R}}}$ e ${ {f:[a,b]\rightarrow\mathbb{R}}}$ contínua. Se ${ {f}}$ é diferenciável ${ {]a,b[}}$ existe ${ {c\in ]a,b[}}$ tal que

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c) \ \ \ \ \ (72)$

Demonstração: No teorema 65 faça-se ${ {g(x)=x}}$ e o resultado segue trivialmente. $\Box$

Como dissemos anteriormente este teorema pode ser interpretado de uma forma geométrica ou de uma forma cinemática.

Geometricamente podemos dizer que a secante a função ${ {f(x)}}$ que passa pelas extremidades de ${ {[a,b]}}$ tem um determinado declive e que podemos sempre encontrar uma tangente à função ${ {f}}$ no intervalo ${ {[a,b]}}$ cujo declive é o mesmo que o da recta secante. Assim podemos dizer que a recta tangente é paralela à recta secante.

A interpretação cinemática diz-nos que se ${ {x}}$ representa o tempo e que se ${ {f(x)}}$ representa a posição (num movimento unidimensional) então ${ {f(b)-f(a)}}$ representa a distância percorrida no intervalo de tempo ${ {b-a}}$ com uma velocidade média de

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Neste contexto sabemos que ${ {f'(x)}}$ é a velocidade instantânea e assim sendo o Teorema 68 diz-nos que existe um instante de tempo ${ {c}}$ para o qual a velocidade instantânea é igual à velocidade média em todo o intervalo de tempo.

Exemplo 3 Mostre que ${ {e^x-1>x\quad \forall x \neq 0}}$ .

Seja ${ {f(t)=e^t}}$ . Vamos assumir que ${ {x>0}}$ e aplicar o teorema 68 no intervalo ${ {[0,x]}}$ .

$\frac{e^x-e^0}{x-0}=\left( e^t \right)'_{t=c}$

com ${ {0<c<x}}$ .

Então

$\displaystyle \frac{e^x-1}{x}=e^c>1$

Vamos agora assumir que ${ {x<0}}$ e aplicar mais uma vez o teorema 68 no intervalo ${ {[x,0]}}$ .

$\displaystyle \frac{e^0-e^x}{0-x}=\left( e^t \right)'_{t=c}$

com ${ {x<c<0}}$ .

Então

$\displaystyle \frac{1-e^x}{-x}=e^c<e^0=1\Leftrightarrow 1-e^x<-x\Leftrightarrow e^x-1>x$

De notar que não tivemos que inverter o sinal da desigualdade quando multiplicámos por ${ {-x}}$ uma vez que ${ {x<0}}$ e consequentemente ${ {-x>0}}$ .

Vamos agora enunciar dois importantes corolários para o teorema anterior.

Corolário 69 Sejam ${ {I}}$ um intervalo em ${ {\mathbb{R}}}$ e ${ {f:I\rightarrow\mathbb{R}}}$ contínua. Se ${{f'}}$ existe e é identicamente nula no interior de ${ {I}}$ , então ${ {f}}$ é constante.

Demonstração: Por redução ao absurdo vamos assumir que ${ {f}}$ não é constante. Então existe ${ {a,b \in I}}$ tal que ${ {a<b}}$ e ${ {f(a)\neq f(b)}}$ . Uma vez que ${ {f}}$ é constante em ${ {[a,b]}}$ e diferenciável em ${ {]a,b[}}$ pelo teorema 68 vem que

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$

com ${ {c\in ]a,b[}}$ .

Assim ${ {\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0}}$ o que é absurdo pois tal implicaria que ${ {f(b)=f(a)}}$ , que é contrário à nossa hipótese. $\Box$

Corolário 70 Sejam ${ {I}}$ um intervalo em ${ {\mathbb{R}}}$ e ${ {f:I\rightarrow\mathbb{R}}}$ contínua. Se ${ {f'}}$ existe e é positiva (negativa) no interior de ${ {I}}$ , então ${ {f}}$ é estritamente crescente (decrescente).

Demonstração: Vamos analisar o caso ${ {f'>0}}$ . Dado ${ {a,b \in I}}$ tais que ${ {a<b}}$ . Do teorema 68 vem que

$\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)>0$

com ${ {c \in ]a,b[}}$ .

Uma vez que ${ {b-a>0}}$ vem que ${ {f(b)>f(a)}}$ e ${ {f}}$ é estritamente crescente. $\Box$

Com estes resultados terminamos o capítulo de Cálculo Diferencial no nosso curso de Análise Real. Os nossos próximos artigos teóricos irão debruçar-se sobre a Teoria das Séries Numéricas

Mecânica Quântica – Exercícios de Probabilidade e Estatística

11/08/2015 3:56 pm / Deixe um comentário

Exercício 1

Para o exemplo dado no artigo Mecânica Quântica – Revisão de Probabilidade e Estatística calcule ${<j>^2}$ e ${<j^2>}$ :
${ {<j>^2=\left(\sum j \dfrac{N(J)}{N}\right)^2=441}}$

${ {<j^2>=\sum j^2 \dfrac{N(J)}{N} =\dfrac{6434}{14}=459.6}}$
Determine ${ {\Delta j}}$ para cada ${j}$ .

${ {j}}$ ${ {\Delta j=j-<j>}}$

14 ${ {14-21=-7}}$

15 ${ {15-21=-6}}$

16 ${ {16-21=-5}}$

22 ${ {22-21=1}}$

24 ${ {24-21=3}}$

25 ${ {25-21=4}}$

Assim para a variância temos

${ {\sigma ^2=\sum (\Delta j)^2 \dfrac{N(J)}{N}=\dfrac{260}{14}=18.6}}$

Logo o desvio padrão é

$\sigma =\sqrt{18.6}=4.3$

Calcule a variância e o desvio padrão usando as definições alternativas

${ {\sigma^2=<j^2>-<j>^2=459.6-441=18.6}}$

E para o desvio padrão é

$\sigma =\sqrt{18.6}=4.3$
Considere os primeiros ${ {25}}$ dígitos na expansão decimal de ${ {\pi}}$ . Qual é a probabilidade de obtermos cada um dos ${10}$ dígitos assumindo que a distribuição é aleatória. Determine também o dígito mais provável, mediana, média e desvio padrão.
Os primeiros ${25}$ dígitos da expansão decimal de ${ {\pi}}$ são

$\displaystyle \{3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3\}$

Assim para os dígitos temos

${ {N(0)=0}}$ ${ {P(0)=0}}$

${{N(1)=2}}$ ${ {P(1)=2/25}}$

${ {N(2)=3}}$ ${ {P(2)=3/25}}$

${ {N(3)=5}}$ ${ {P(3)=1/5}}$

${ {N(4)=3}}$ ${ {P(4)=3/25}}$

${ {N(5)=3}}$ ${ {P(5)=3/25}}$

${ {N(6)=3}}$ ${ {P(6)=3/25}}$

${ {N(7)=1}}$ ${ {P(7)=1/25}}$

${ {N(8)=2}}$ ${ {P(8)=2/25}}$

${ {N(9)=3}}$ ${ {P(9)=3/25}}$

O dígito mais provável é ${ {5}}$ . A mediana é ${ {4}}$ . A média é ${ {\sum P(i)N(i)=4.72}}$ .

${ {\sigma=2.47}}$
A agulha de um velocímetro é totalmente livre nas suas oscilações e ressalta perfeitamente em ambos extremos de tal modo que após sofrer um impulso a sua posição final está entre e sem qualquer preferência.
- Qual é a densidade de probabilidade ${\rho (\theta)}$ ? Trace o gráfico de ${\rho (\theta)}$ para ${-\pi/2 \leq \theta \leq 3\pi/2}$ . Assegure-se que a probabilidade total é igual a ${1}$ .
  No intervalo ${ {\left[0,\pi\right]}}$ a probabilidade da agulha cair num ângulo ${ {d\theta}}$ é ${ {d\theta/\pi}}$ . Dada a definição de densidade de probabilidade temos ${ {\rho(\theta)=1/\pi}}$ .
  
  Para além disso a densidade de probabilidade necessita de ser normalizada:
  
  $\displaystyle \int_0^\pi \rho(\theta)d\theta=1\Leftrightarrow\int_0^\pi 1/\pi d\theta=1$
  
  que é trivialmente válido.
  
  O gráfico para a densidade de probabilidade é
- Calcule ${ {\left\langle\theta \right\rangle}}$ , ${ {\left\langle\theta^2 \right\rangle}}$ e ${ {\sigma}}$ .
  ${ {\begin{aligned} \left\langle\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}}}$
  
  Para ${ {\left\langle\theta^2 \right\rangle}}$ é
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle\theta^2 \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta^2}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^3}{3} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi^2}{3} \end{aligned}}}$
  
  A variância é ${ {\sigma^2=\left\langle\theta^2 \right\rangle-\left\langle\theta\right\rangle^2 =\dfrac{\pi^2}{3}-\dfrac{\pi^2}{4}=\dfrac{\pi^2}{12}}}$ .
  
  O desvio padrão é ${ {\sigma=\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}}}$ .
- Calcule ${ {\left\langle\sin\theta\right\rangle}}$ , ${ {\left\langle\cos\theta\right\rangle}}$ e ${ {\left\langle\cos^2\theta\right\rangle}}$ .
  ${ {\begin{aligned} \left\langle\sin\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\sin\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ -\cos\theta \right]_0^\pi\\ &= \frac{2}{\pi} \end{aligned}}}$
  
  e
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle\cos\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\cos\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \sin\theta \right]_0^\pi\\ &= 0 \end{aligned}}}$
  
  Deixamos ${ {\left\langle\cos^2\theta \right\rangle}}$ como um exercício para o leitor. Lembre-se que ${ {\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}}$ .
Considere a densidade de probabilidade
$\displaystyle \rho(x)=\frac{1}{2\sqrt{hx}}$
- Calcule ${\left\langle x \right\rangle}$ , ${\left\langle x^2 \right\rangle}$ , ${s^2}$ e ${s}$ .
  Para ${\left\langle x \right\rangle}$ temos
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{h}{3} \end{aligned}}}$
  
  Para ${ {\left\langle x^2 \right\rangle}}$ temos
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\int_0^h x^{3/2}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[\frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^h\\ &= \frac{h^2}{5} \end{aligned}}}$
  
  Assim a variância é
  
  $\sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{h^2}{5}-\frac{h^2}{9}=\frac{4}{45}h^2$
  
  e o desvio padrão é
  
  $\sigma=\frac{2h}{3\sqrt{5}}$
- Calcule a probabilidade de encontrarmos valores mais afastados do que um desvio padrão.
  Para a distância ser superior a dois desvios padrões temos duas possibilidades. A primeira é ${ {\left[0,\left\langle x \right\rangle+\sigma\right]}}$ e a segunda é ${ {\left[\left\langle x \right\rangle+\sigma,h\right]}}$ .
  
  Assim a probabilidade total é a soma das probabilidades associadas aos intervalos anteriores.
  
  Seja ${ {P_1}}$ a probabilidade associada ao primeiro intervalo e ${ {P_2}}$ a probabilidade associada ao segundo intervalo.
  
  ${ {\begin{aligned} P_1 &= \int_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[2x^{1/2} \right]_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\\ &= \frac{1}{\sqrt{h}}\sqrt{\frac{h}{3}-\frac{2h}{3\sqrt{5}}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}$
  
  Para o segundo intervalo é
  
  ${ {\begin{aligned} P_2 &= \int_{\left\langle x \right\rangle+\sigma}^h\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \ldots\\ &=1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}$
  
  Assim a probabilidade total ${ {P}}$ é ${ {P=P_1+P_2}}$
  
  ${ {\begin{aligned} P&=P_1+P_2\\ &= \sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}}+1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}}\\ &\approx 0.3929 \end{aligned}}}$
Para a seguinte densidade de probabilidade
- Determine ${ {A}}$ .
  Fazendo a mudança de variável ${ {u=x-a}}$ ( ${ {dx=du}}$ ) a condição de normalização fica
  
  ${ {\begin{aligned} 1 &= A\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &= A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \end{aligned}}}$
  
  Assim para ${ {A}}$ é
  
  $A=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}$
- Determine ${ {\left\langle x \right\rangle}}$ , ${ {\left\langle x^2 \right\rangle}}$ e ${ {\sigma}}$ .
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du+a\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( 0+a\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &= a \end{aligned}}}$
  
  Para entender porque ${ {\displaystyle\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du=0}}$ veja o artigo variáveis mudas
  
  Para ${ {\left\langle x^2 \right\rangle}}$ é
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right) \end{aligned}}}$
  
  ora ${ {\displaystyle 2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du=0}}$ como já vimos.
  
  Para o terceiro termo é ${ {\displaystyle a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du=a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}}}$ .
  
  O primeiro integral é o mais difícil mas podemos utilizar uma técnica especial para o resolver:
  
  ${ {\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du &= \int_{-\infty}^\infty-\frac{d}{d\lambda}\left( e^{-\lambda u^2} \right)du\\ &= -\frac{d}{d\lambda}\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &=-\frac{d}{d\lambda}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}} \end{aligned}}}$
  
  Assim é
  
  ${ {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}}+0+a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &=a^2+\frac{1}{2\lambda} \end{aligned}}}$
  
  A variância é
  
  $\displaystyle \sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{1}{2\lambda}$
  
  Logo o desvio padrão é
  
  $\displaystyle \sigma=\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}$

— 1. Ficheiro Mathematica —

A resolução do segundo exercício foi feita com recurso ao software Mathematica. De forma a ajudar os leitores que eventualmente usam esse mesmo software publico aqui o código utilizado:

 // N[Pi, 25]

piexpansion = IntegerDigits[3141592653589793238462643]

digitcount = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitcount, Count[A, i]]]

digitcount

digitprobability = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitprobability, Count[A, i]/25]]

digitprobability

digits = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digits, i]]

digits

j = N[digits.digitprobability]

digitssquared = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitssquared, i^2]]

digitssquared

jsquared = N[digitssquared.digitprobability]

sigmasquared = jsquared - j^2

std = Sqrt[sigmasquared]

deviations = {}

deviations = piexpansion - j

deviationssquared = (piexpansion - j)^2

variance = Mean[deviationssquared]

standarddeviation = Sqrt[variance]

Mecânica Quântica – Revisão de Probabilidade e Estatística

11/08/2015 12:57 pm / 1 comentário em Mecânica Quântica – Revisão de Probabilidade e Estatística

align=”center”> — 22. Revisão de Probabilidade e Estatística —

— 22.1. Probabilidade —

No final do artigo anterior vimos o papel fundamental que os conceitos de probabilidades e estatística têm na construção e interpretação da Mecânica Quântica. Uma vez que estes conceitos têm um papel tão fundamental em Mecânica Quântica é então necessário fazer uma breve revisão para que possamos melhor entender e manejar ateoria que vamos construir.

— 22.1.1. Variáveis discretas —

Vamos imaginar que temos uma sala de aulas com o seguinte conjunto de alunos:

uma pessoas de 14 anos de idade
uma pessoa com 15 anos de idade
3 pessoas com 16 anos de idade
2 pessoas com 22 anos de idade
5 pessoas com 25 anos de idade

(e por favor não nos perguntem porque encontramos pessoas com idades tão díspares na mesma sala de aulas)

Seja ${ {N(j)}}$ o número de pessoas com idade ${ {j}}$ . Então

${ {N(14)=1}}$
${ {N(15)=1}}$
${ {N(16)=3}}$
${ {N(22)=2}}$
${ {N(25)=5}}$

Adoptando a definição anterior podemos calcular o número total de alunos na sala de aula através da seguinte expressão:

$\displaystyle N=\sum_{j=0}^{\infty}N(j) \ \ \ \ \ (27)$

Podemos representar os dados anterior com recurso a um histograma

Adoptando uma definição frequencista do conceito de probabilidade podemos fazer as seguintes definições:

Definição 8 A probabilidade de um evento ${ {j}}$ , ${ {P(j)}}$ é proporcional ao número de elementos que têm a propriedade ${ {j}}$ e inversamente proporcional ao número de elementos ( ${ {N}}$ ) sob estudo.

$\displaystyle P(j)=\frac{N(j)}{N} \ \ \ \ \ (28)$

É fácil ver que a partir das equações 28 e 27 vem que

$\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty}P(j)=1 \ \ \ \ \ (29)$

Após definirmos ${ {P(j)}}$ podemos também definir o valor mais provável para ${ {j}}$ .

Definição 9 O valor mais provável de ${j}$ é aquele para o qual ${P(j)}$ tem um máximo.

Definição 10 o valor médio de ${j}$ , representado por , é

$\displaystyle <j>=\sum_{j=0}^{\infty}jP(j) \ \ \ \ \ (30)$

Caso estejamos interessados em calcular o valor médio de ${ {j^2}}$ a expressão apropriada é

$\displaystyle <j^2>=\sum_{j=0}^{\infty}j^2P(j)$

Podemos escrever com toda a generalidade que o valor médio para uma função de ${ {j}}$ , denotada por ${ {f(j)}}$ é dado por

$\displaystyle <f(j)>=\sum_{j=0}^{\infty}f(j)P(j) \ \ \ \ \ (31)$

De modo a avançarmos no nosso estudo da probabilidades temos agora que introduzir algumas definições que se debruçam sobre questões de simetria das distribuições de probabilidades

Definição 11 A mediana é o valor de ${j}$ para o qual a probabilidade de ter um valor maior que ${j}$ é o mesma que a probabilidade de ter um valor menor que ${j}$ .

Vimos então uma definição que discorre sobre a simetria de uma distribuição. Temos então que introduzir uma nova definição que nos dá indicações sobre a forma de uma distribuição.

Mas antes vamos olhar para dois exemplos que servirão como motivação:

Como podemos ver ambos os histogramas têm a mesma mediana, a mesma média, o mesmo valor mais provável e o mesmo número de elementos. Não obstante é visualmente óbvios que os histogramas representam dois tipos diferentes de fenómenos.

O primeiro histograma representa um fenómeno onde os valores disponíveis apresentam uma forte concentração em torno do valor central.

O segundo histograma representa por outro lado uma fenómeno com uma distribuição mais alargada.

A existência desta diferença em duas distribuições que de outro modo seriam iguais indica-nos a necessidade de introduzirmos uma definição que sirva para medir o espalhamento de uma distribuição.

Uma primeira ideia seria utilizarmos a diferença relativamente à média para cada valor individual:

$\displaystyle \Delta j=j-<j>$

Tal abordagem não iria funcionar uma vez que para distribuições aleatórias estaríamos a espera de encontrar valores igualmente positivos para ${ {\Delta j}}$ e como tal uma medida global seria sempre ${0}$ ou muito próxima de ${0}$ .

Uma maneira de evitarmos este problema seria utilizarmos ${ {|\Delta j|}}$ e embora este abordagem funcione tem a desvantagem de estarmos a utilizar uma função que não é diferenciável.

Se utilizarmos o quadrado dos desvios na nossa definição conseguimos evitar estes dois problemas.

Definição 12 A variância de uma distribuição (assumindo que a distribuição tem um valor médio), ${ {\sigma ^2}}$ , é dada pela expressão

$\displaystyle \sigma ^2=<(\Delta j)^2> \ \ \ \ \ (32)$

Definição 13 O desvio padrão, ${ {\sigma}}$ , de uma distribuição é dado pela raíz quadrada da sua variância.

Para a variância temos também a seguinte expressão

$\displaystyle \sigma ^2=<j^2>-<j>^2 \ \ \ \ \ (33)$

Uma vez que pela definição 12 a variância é sempre não-negativa é válido

$\displaystyle <j^2> \geq <j>^2 \ \ \ \ \ (34)$

Onde a igualdade é válida quando a distribuição é composta por eventos que têm sempre o mesmo valor.

— 22.1.2. Variáveis contínuas —

Até agora assumimos sempre que as variáveis que estamos a estudar assumem somente valores discretos. Para generalizarmos as nossas definições e resultados para o caso contínuo temos somente que ter em atenção que as probabilidades para eventos individuais assumem sempre valores nulos e como tal só faz sentido falarmos de probabilidades para intervalos.

Com isso em mente e assumindo que estamos a lidar com distribuições suficientemente bem comportadas sabemos que a probabilidade de um evento estar entre ${ {x}}$ e ${ {x+dx}}$ é

$\displaystyle \rho(x)dx \ \ \ \ \ (35)$

A quantidade ${ {\rho (x)}}$ é chamada de densidade de probabilidade.

Consequentemente as generalizações para os outros resultados são:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)dx=1 \ \ \ \ \ (36)$

$\displaystyle <x>=\int_{-\infty}^{+\infty}x\rho(x)dx \ \ \ \ \ (37)$

$\displaystyle <f(x)>=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\rho(x)dx \ \ \ \ \ (38)$

$\displaystyle \sigma ^2=<(\Delta x)^2>=<x^2>-<x>^2 \ \ \ \ \ (39)$

Análise Matemática – Cálculo Diferencial II

11/08/2015 10:58 am / Deixe um comentário

Teorema 60 {Diferenciabilidade da função composta} Seja ${ {D, E \in C}}$ , ${ {g:D\rightarrow E}}$ , ${ {f:E\rightarrow\mathbb{R}}}$ e ${ {c\in D\cap D'}}$ . Se ${ {g}}$ é diferenciável em ${ {c}}$ e ${ {f}}$ é diferenciável em ${ {g(c)}}$ , então ${ {f\circ g}}$ é diferenciável em ${ {c}}$ e é

$\displaystyle (f\circ g)'(c)=f'(g(c))g'(c) \quad\mathrm{se}\quad \varphi=f(t) \quad\mathrm{com}\quad t=g(x) \ \ \ \ \ (58)$

$\displaystyle f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x) \quad\mathrm{se}\quad \varphi=f(g(x)) \ \ \ \ \ (59)$

Usando a notação de Leibniz podemos escrever o teorema da seguinte maneira

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} \ \ \ \ \ (60)$

Que é uma forma bastante mais sugestiva de escrever o teorema anterior pois parece sugerir que podemos cortar os termos ${dt}$ .

Demonstração: Seja ${ {a=g(c)}}$ . Uma vez que ${ {f}}$ é diferenciável em ${ {a}}$ pelo teorema 57 vem

$\displaystyle f(t)=f(a)+(f'(a)+\varphi (t)(t-a)\quad \forall t \in E$

com ${ {\varphi}}$ contínua em ${ {a}}$ .

Tomando ${ {g(x)=t}}$ e ${ {g(c)=a}}$ vem que

$\displaystyle f(g(x))=f(g(c))+f'(g(c))+\varphi(g(x))(g(x)-g(c))\quad\forall x \in D$

Assim

$\displaystyle \frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c}=(f'(g(c))+\varphi(g(x)))\frac{g(x)-g(c)}{x-c } \ \ \ \ \ (61)$

Uma vez que ${ {g}}$ é diferenciável em ${ {c}}$ sabemos, pelo corolário 59, que ${g}$ também é contínua em ${ {c}}$ . Assim ${ {\varphi (g(x))}}$ também é contínua em ${ {c}}$ (pelo teorema 43).

Assim

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\varphi(g(x))=\varphi (g(c))=\varphi(a)=0$

Tomando o limite ${ {x\rightarrow c}}$ na equação 61 vem

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow c}\frac{f(g(x))-f(g(c))}{x-c}=f'(g(c))$

Que é equivalente a

$\displaystyle (f \circ g)'(c)=f'(g(c)g'(c)$

$\Box$

Como aplicação do teorema 60 vamos estudar alguns exemplos simples:

${ {\left( e^{g(x)} \right)'=?}}$
Ora ${ {e^{g(x)}=f(g(x))}}$ . Tomemos ${ {t=g(x)}}$ . Assim

${ {\begin{aligned} \left( e^{g(x)} \right)' &= \left(e^t\right)'g'(x)\\ &= e^t g'(x)\\ &= e^{g(x)}g'(x) \end{aligned}}}$

Temos então

$\left( e^{g(x)} \right)'=g'(x) e^{g(x)})$
Seja ${ {\alpha\in\mathbb{R}}}$ e ${ {x>0}}$ . Calcule ${ {\left( x^\alpha \right)'}}$ .
${ {\begin{aligned} \left( x^\alpha\right)'&=\left( e^{\alpha\log x}\right)'\\ &=(\alpha\log x)'e^{\alpha\log x}\\ &=\dfrac{\alpha}{x}e^{\alpha\log x}\\ &=\dfrac{\alpha}{x}x^\alpha\\ &=\alpha x^{\alpha -1} \end{aligned}}}$

Que é uma generalização para a regra da derivada da potência de expoentes inteiros.

Assim

$\displaystyle \left( x^\alpha\right)'= \alpha x^{\alpha -1}\quad \forall\alpha\in\mathbb{R},\forall x>0$
${ {(\log g(x))'=?}}$
Tal como no primeiro exemplo temos a seguinte estrutura que pretendemos derivar: ${ {\log g(x)=f(g(x))}}$ onde ${ {f(t)=\log t}}$ e ${ {t=g(x)}}$ .

Assim

${ {\begin{aligned} (\log g(x))'&=(\log t)'g'(x)\\ &= \dfrac{1}{t}g'(x)\\ &=\dfrac{g'(x)}{g(x)} \end{aligned}}}$

Assim para ${ {g(x)>0}}$ vem

$\displaystyle (\log g(x))'=\frac{g'(x)}{g(x)}$

Em particular podemos calcular ${ {(\log |x|)'}}$

$(\log |x|)'=\frac{|x|'}{|x|}=\begin{cases} \dfrac{1}{|x|}\quad x>0\\-\dfrac{1}{|x|}\quad x<0 \end{cases}$

Uma vez que ${ {-|x|=x}}$ sempre que ${ {x<0}}$ temos sempre

$\displaystyle (\log |x|)'=\frac{1}{x}\quad\forall x\neq 0$

Teorema 61 {Diferenciabilidade da função inversa} Seja ${ {D\subset\mathbb{R}}}$ , ${ {f:D\rightarrow\mathbb{R}}}$ injectiva e ${ {c\in D\cap D'}}$ . Se

${ {f}}$ é diferenciável em ${ {c}}$
${ {f'(c)\neq 0}}$
${ {f^{-1}}}$ é contínua

então ${ {f^{-1}}}$ é diferenciável e é

$\displaystyle \left( f^{-1} \right)'(f(c))=\frac{1}{f(c)} \ \ \ \ \ (62)$

Na notação de Leibniz é ${ {y=f(x)}}$ , ${ {x=f^{-1}(y)}}$ e a diferenciabilidade da função inversa expressa-se do seguinte modo

$\displaystyle \frac{dx}{dx}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} \ \ \ \ \ (63)$

Demonstração: Omitida. $\Box$

Tal como no teorema 60 vamos agora analisar um caso de interesse.

Seja ${ {y=\sin x}}$ e ${ {x\in [-\pi /2,\pi /2]}}$ , então podemos definir ${ {x=\arcsin y}}$ .

Ora

${ {f(x)}}$ é diferenciável
${ {f'(x)=\cos x\neq 0}}$ em ${ {[-\pi /2,\pi /2]}}$
${ {\arcsin y}}$ é contínua em ${ {[-1,1]}}$ é contínua

Então

${ {\begin{aligned} (\arcsin y)' &= \left( f^{-1}(y) \right)'\\ &=\dfrac{1}{f'(x)}\\ &=\dfrac{1}{\cos x}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1-\sin^2x}}\\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^2}} \end{aligned}}}$

Finalmente

$\displaystyle (\arcsin y)'=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \quad y \in [-1,1]$

Escrevendo de uma maneira mais normal

$\displaystyle (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \quad x \in [-1,1]$

Em geral podemos ainda definir derivadas de ordem superior através de uma definição recursiva.

Vamos denotar a derivada de ordem ${n}$ de ${ {f}}$ por ${ {f^{(n)}}}$ . Em primeiro lugar dizemos que ${ {f^{(0)}=f}}$ . Agora para ${ {f^{(n+1)}}}$ é

$\displaystyle f^{(n+1)}=\left( f^{(n)} \right)'$

Ou seja:

${ {f'=\dfrac{df}{dx}}}$
${ {f''=\dfrac{d}{dx}\dfrac{df}{dx}=\left( \dfrac{d}{dx} \right)^2 f=\dfrac{d^2}{dx^2}f}}$
${ {f'''=\dfrac{d}{dx}\dfrac{d^2}{dx^2}f=\dfrac{d^3}{dx^3}f}}$
…
${ {f^{(n)}=\left( \dfrac{d}{dx} \right)^n f=\dfrac{d^n f}{dx^n}}}$

Dado a exposição anterior faz sentido introduzir a seguinte definição:

Definição 43 Uma função ${ {f}}$ diz-se ${ {n}}$ vezes diferenciável em ${ {c}}$ se ${ {f^{(n)}}}$ existe para todas as ordens até ${n}$ e são finitas.

Já sabemos que uma função diferenciável é contínua mas será que a derivada de uma função diferenciável também é contínua?

A resposta a esta questão é um não e vamos apresentar o seguinte (contra)exemplo como evidência:

$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2\sin (1/x) \quad &x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}$

É fácil ver que ${ {f}}$ é diferenciável em ${ {\mathbb{R}}}$

$\displaystyle f'(x)=\begin{cases} 2x\sin (1/x)-\cos (1/x) & x\neq 0\\ 0 & x=0 \end{cases}$

Mas ${ {f'}}$ não é contínua em ${ {x=0}}$ . Fica como um exercício para o leitor calcular ${ {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}f'(x)}}$ e ${ {\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}f'(x)}}$ .

Aparentemente a derivada de uma função ou é contínua ou é fortemente descontínua.

Continuando a nossa exposição vemos que faz sentido introduzirmos uma definição que caracteriza as funções de acordo com as propriedades das suas funções derivadas.

Definição 44 Uma função ${ {f}}$ diz-se ser de classe ${ {C^n}}$ se é ${ {n}}$ vezes diferenciável e ${ {f^{(n)}}}$ é contínua.

É fácil ver que uma função de classe ${ {C^{n+1}}}$ também é uma função de classe ${ {C^n}}$ .

Uma função diz-se ser de classe ${ {c^\infty}}$ se tem derivadas finitas de todas as ordens (que são necessariamente contínuas).

Se ${ {f,g}}$ são ${ {n}}$ vezes diferenciáveis em ${ {c}}$ então ${ {f+g}}$ , ${ {fg}}$ , ${ {f/g\quad g(c)\neq 0}}$ também são ${ {n}}$ vezes diferenciáveis em ${ {c}}$ .

Definição 45 Seja ${ {D\subset\mathbb{R}}}$ , ${ {f:D\rightarrow\mathbb{R}}}$ e ${ {c\in D}}$ . ${ {c}}$ é um máximo relativo de ${ {f}}$ se

$\displaystyle \exists r>0:x\in V (c,r)\cap D \Rightarrow f(x)<f(c) \ \ \ \ \ (64)$

Definição 46 Seja ${ {D\subset\mathbb{R}}}$ , ${ {f:D\rightarrow\mathbb{R}}}$ e ${ {c\in D}}$ . ${ {c}}$ é um mínimo relativo de ${ {f}}$ se

$\displaystyle \exists r>0:x\in V (c,r)\cap D \Rightarrow f(x)>f(c) \ \ \ \ \ (65)$

Teorema 62 {Teorema do extremo interior} Seja ${ {I\in\mathbb{R}}}$ e ${ {c}}$ um ponto interior de ${ {I}}$ . Se ${ {f}}$ tem um extremo relativo em ${ {c}}$ e ${ {f'(c)}}$ existe, então ${ {f'(c)=0}}$

Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que ${ {f}}$ tem um máximo relativo em ${ {c}}$ . Uma vez que ${ {c}}$ é um ponto interior de ${ {I}}$ e ${ {f'(c)}}$ existe, ${ {f_+(c)}}$ e ${ {f_-(c)}}$ existem e são iguais.

Por definição é ${ {f_+'(c)=\displaystyle\lim_{x\rightarrow c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}}$

Por hipótese temos

$\displaystyle \exists r>0:x\in V (c,r)\cap D \Rightarrow f(x)<f(c)$

Assim

$\displaystyle x\in V(c,r)\cap I\quad\mathrm{e}\quad x>c \Rightarrow \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0$

Pelo corolário 31 (Análise Matemática – Limites e Continuidade II) vem

$\displaystyle f_+'(c)=\lim_{x\rightarrow c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\leq 0$

Da mesma forma

$\displaystyle x\in V(c,r)\cap I\quad\mathrm{e}\quad x<c \Rightarrow \frac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0$

Assim

$\displaystyle f_-'(c)=\lim_{x\rightarrow c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\geq 0$

Uma vez que ${ {f_+'(c)=f_-'(c)=f'(c)}}$ temos que ter ${ {f_+'(c)=f_-'(c)=0}}$ e consequentemente ${ {f'(c)=0}}$ . $\Box$

Teorema 63 {Teorema de Rolle} Seja ${ {[a,b]\subset\mathbb{R}}}$ e ${ {f}}$ contínua tal que ${ {f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}}}$ . Se ${ {f}}$ é diferenciável em ${ {]a,b[}}$ e ${ {f(a)=f(b)}}$ então existe um ponto ${ {c\in ]a,b[}}$ tal que ${ {f'(c)=0}}$ .

Demonstração: Uma vez que ${ {f}}$ é contínua no intervalo compacto ${ {[a,b]}}$ sabemos que tem um máximo e um mínimo em ${ {[a,b]}}$ (teorema 55 no artigo Análise Matemática – Limites e Continuidade VII ).

Se para ${ {c\in ]a,b[}}$ ${ {f(c)}}$ é um máximo ou um mínimo, então pelo teorema 62 ${ {f'(c)=0}}$ .

Seja agora ${ {m}}$ o mínimo e ${ {M}}$ o máximo. Vamos analisar o caso em que a função toma valores extremos ocorrem nas extremidades dos intervalos. Uma vez que por hipótese é ${ {f(a)=f(b)}}$ então ${ {m=M}}$ . Neste caso ${ {f}}$ é constante e é trivial que ${ {f'(c)=0\quad\forall c\in [a,b]}}$ . $\Box$

Corolário 64 Seja ${ {I\in\mathbb{R}}}$ , ${ {f}}$ contínua tal que ${ {f:I\rightarrow\mathbb{R}}}$ . Se ${ {f}}$ é diferenciável no interior de ${ {I}}$ e ${ {f'}}$ não se anula no interior de ${ {I}}$ , então ${ {f}}$ não tem mais que uma raíz em ${I}$ .

Demonstração: Usando o método de redução ao absurdo vamos assumir que ${ {f}}$ tem duas raízes em ${ {I}}$ ( ${ {a}}$ e ${ {b}}$ ). Aplicando o teorema 63 em ${ {[a,b]}}$ (uma vez que ${ {f(a)=f(b)}}$ ) existe ${ {c}}$ em ${ {]a,b[}}$ tal que ${ {f'(c)=0}}$ . Assim ${ {f'}}$ anula-se no interior de ${ {I}}$ o que é contrário à nossa hipótese. $\Box$

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