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Category Archives: 07 Termodinâmica

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Exercícios resolvidos

Vamos acompanhar a resolução de alguns exercícios.

Exercício 1

    Um calorímetro de alumínio, de {200g}, contem {500g} de água a {20^0C}. Um pedaço de alumínio de {300g} é aquecido até {100^0C} e colocado no calorímetro. Determine a temperatura final do sistema, supondo que não haja transferência de calor para o ambiente. ( { c_{agua}=4190 J/kg.K, c_{Al}=0,9 kJ/kg.K }).

  1. R: Como dados, temos:{m_{cal} = 200g = 0,2 kg,}{ m_{A} = 500g = 0,5 kg , }

    {m_{Al} = 300 g = 0,3 kg, }

    { T_{A} = 20 ^0C = 293 K = T_{cal},}

    { T_{Al} = 100^0C = 373 K , }

    { c_{A} = 4190 J/kg.K, }

    {c_{Al} = 900 J/kg.K}

    Como sabemos, ao juntarmos estes materiais, haverá troca de calor entre eles, ou seja, o calorímetro e a água, por estarem mais frios, vão receber calor do pedaço de alumínio, que está mais quente. Pelos valores das temperaturas do problema, e considerando as massas envolvidas, sabemos logo que o equilíbrio termodinâmico será atingido em uma temperatura entre {293 K} e {373 K}

    Partindo do princípio que não se perde calor para o exterior, a soma das quantidades de calor do sistema tem de ser nulas [o calor cedido por um corpo é sempre absorvido por outro corpo no sistema). Como o problema não envolve mudança de fase (mudança de estado de agregação), então teremos apenas três quantidades de calor:

    { Q_{A} = m_{A} . c_{A} . (T_F - T_{A}) }

    { Q_{Cal} = m_{Cal} . c_{Al} . (T_F - T_{Cal}) }

    { Q_{Al} = m_{Al} . c_{Al} . (T_F - T_{Al})}

    Como {Q_{A} + Q_{Cal} + Q_{Al} = 0}

    { \Rightarrow m_{A}. c_{A} . (T_F-T_{A}) + m_{Cal}. c_{Al} . (T_F-T_{Cal}) + m_{Al}. c_{Al} . (T_F - T_{Al})=0}

    Aplicando a propriedade distributiva, temos:

    {m_{A}. c_{A} . T_F-m_{A}. c_{A} .T_{A}+m_{Cal}. c_{Al} . T_F-m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal}}

    {+m_{Al}. c_{Al} . T_F-m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}=0}

    { \Rightarrow}

    {m_{A}. c_{A} . T_F +m_{Cal}. c_{Al} . T_F +m_{Al}. c_{Al} . T_F = m_{A}. c_{A} .T_{A}  }

    { + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}

    Factorizando a temperatura de equilíbrio {T_F} e isolando-a, obtemos:

    { T_F= \frac{m_{A}. c_{A} .T_{A} + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}{m_{A}. c_{A} +m_{Cal}. c_{Al} +m_{Al}. c_{Al} }=301,5K=28,5^0C }

Exercício 2

    Uma amostra de 0,5 mol de Hélio (gasoso), expande-se adiabaticamente desde uma pressão inicial de {5 atm} e uma temperatura de {500 K} para uma pressão de {1 atm}. Determine:

  1. a)A temperatura final do gás.
  2. b)O volume final do gás.
  3. c)O trabalho realizado pelo gás.
  4. a)R: Temos como dados: {n=0,5 mol,}{ i=3 \Rightarrow \gamma=\frac{i+2}{i}=\frac{5}{3}=1,67 }

    (Hélio é um gás monoatómico),

    { p_1= 5 atm = 5,065.10^5 Pa,}

    { T_1=500K,}

    { p_2=1 atm = 1,013.10^5 Pa,}

    { R=8,31 J/mol. K}
    O processo realizado é uma expansão adiabática. A equação para um processo adiabático com pressões e temperaturas pode ser obtida dividindo a equação {p_1. V_1^\gamma=p_2.V_2^\gamma} pela equação {\frac{p_1^\gamma. V_1^\gamma}{T_1^\gamma} =\frac{p_2^\gamma. V_2^\gamma}{T_2^\gamma}}.

    A equação resultante será:

    { p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma= p_2^{1-\gamma}. T_2^\gamma. }

    Isolando {T_2}, ficamos com: { T_2=({\frac{p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma}{p_2^{1-\gamma}}})^{\frac{1}{\gamma}}=262,1K }

  5. b)R: como conhecemos a temperatura e a pressão do estado 2, podemos determinar o seu volume aplicando a equação de estado para um gás ideal: {V_2=n.R.T_2/p_2 = 0,01075 m^3}.
  6. c)R: Podemos calcular o trabalho aplicando a primeira lei da termodinâmica. {\Delta U= Q - W}. Como o processo é adiabático, então {Q=0}, logo {W=-\Delta U = -\frac{i}{2}.n.R.(T_2-T_1)=1482,7 J}
Exercício 3

Uma maquina térmica que opera com o ciclo reversível de Carnot, recebe calor de um depósito térmico a alta temperatura e conta com uma eficiência térmica de { 57,89\% } produzindo {2932 J} de trabalho em cada ciclo. Se o calor cedido vais para o ambiente que está a {27^0C}, Determine:

  1. a) A temperatura da fonte quente.
  2. b) A máquina cumpre com a desigualdade de Clausius? Justifique.
  3. a)R:Temos como dados:{W=2932 J,}

    {T_C=27^0C=300K,}

    {\eta=57,89\%=0,5789}

    Para o ciclo de Carnot, sabemos que {\eta=1-\frac{T_C}{T_H}}. Isolando {T_H}, temos: {T_H=\frac{T_C}{1-\eta}=712,4K=439,4^0C}

     

  4. b) R: O ciclo de Carnot é composto por dois processos isotérmicos e dois processos adiabáticos. Para o caso de motor, recebe calor na fonte quente e sede calor a fonte fria. Considerando os processos 1-2 expansão isotérmica, 2-3 expansão adiabática, 3-4 compressão isotérmica e 4-1 compressão adiabática, então a variação de entropia no ciclo será {\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{23} + \Delta S_{34} + \Delta S_{41}}. Nos processos 2-3 e 4-1 não há variação de entropia. Logo: {\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{34}= \frac{Q_H}{T_H}+\frac{(-Q_C)}{T_C}.} Para o ciclo de Carnot {\frac{Q_C}{Q_H} =\frac{T_C}{T_H} \Rightarrow \frac{Q_C}{T_C} =\frac{Q_H}{T_H}}, então {\Delta S= 0}, o que cumpre com a desiguldade de Clausius, que diz {\Delta S\geq 0}.
Exercício 4

      Um bloco de madeira de volume {V=60cm^3}, totalmente submerso está atado ao fundo de um recipiente com agua por meio de um fio inextensível de massa desprezável. quando o fio é cortado e o bloco emerge à superfície com {\frac{1}{4}} do seu volume fora da água. Sendo a densidade da água de {1g/cm^3}, determine:
  • a) A massa específica do bloco.
  • b) A tensão no fio, antes de ser cortado.
  1. a) R: Primeiro devemos tirar todos os dados e passa-los para o Sistema Internacional (S.I.).{V=60cm^3=60.10^{-6} m^3}{\rho_{agua}=1g/cm^3=1000kg/m^3}

    Quando o bloco flutua, o volume da parte imersa é {V_{im}=\frac{3.V}{4}=\frac{3.60.10^{-6}}{4}=45.10^{-6}m^3} De acordo com o princípio de Arquímedes, para o bloco flutuar é necessário que o Empuxo compense o peso do bloco, ou seja, {E=P\Rightarrow \rho_{liq}.V_{im}.g=\rho_{bloco}.V_{bloco}.g} Isolando a densidade do bloco, obtemos: {\rho_{bloco}=\frac{\rho_{liq}.V_{im}}{V}=750 Kg/m^3}.

  2. b) R: Quando o corpo está preso no fundo do recipiente por um fio, actuam nele três forças: Peso ou Força de gravidade, Força de Arquimedes ou Empuxo e Força de Tensão (no fio). O peso e a tensão actuam verticalmente de cima para baixo, enquanto que a força de Empuxo actua verticalmente de baixo para cima. Neste caso temos: { P+T=E\Rightarrow T=E-P=\rho_{liq}.V_{im}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g } Como, nesta situação, o bloco está completamente submerso, então {V_{bloco}=V_{im}} logo, { T=\rho_{liq}.V_{bloco}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g =0,147N}

 

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1.3. Expansão térmica

Como vimos, o funcionamento do termómetro a gás baseia-se no princípio de expansão térmica… Mas, o que é isso de expansão térmica?

A expansão térmica está associada com o aumento das dimensões (comprimento, área ou volume) de um corpo ou substância qualquer, devido ao aumento de temperatura.

Os mais atentos já puderam observar no dia-a-dia muitas situações de expansão térmica… A expansão térmica vai explicar porquê é que não podemos acelerar demasiado o motor do nosso carro; porquê é que a água quando guardada num recipiente fechado e cheio rebenta após congelar e reduzir consideravelmente de temperatura; porquê é que os balões de ar aquecido voam; etc.

A consequência da dilatação térmica é que a maioria das substâncias, quando submetidas a um aumento de temperatura aumentam também o seu volume.

“Algumas”, porquê? Porque há algumas substâncias que , em certas condições violam este princípio… O exemplo mais simples e comum destas substâncias é a água, que, para temperaturas inferiores a 4ºC, invés de ter uma dilatação térmica, tem uma compressão térmica, isto é, a medida que a temperatura aumenta, o volume diminui. Isto para já explica a razão de que o gelo flutue sobre a água, visto que é menos denso do que ela (para uma mesma massa de água e gelo, o gelo ocupará um volume maior do que a água).

Isto também explica o porquê é que a água quando guardada num recipiente fechado e cheio, rebenta, após reduzir consideravelmente de temperatura (convertendo-se em gelo, e esfriando mais, consequentemente, dilatando mais).
Nota: por isso é que os fabricantes de refrigerantes e outras bebidas líquidas deixam um pequeno espaço sem liquido no interior da garrafa.

A dilatação térmica está, na realidade, associada ao significado microscópico da temperatura e tem dois sentidos de interpretação diferentes: no caso dos sólidos e líquidos, e no caso dos gases.

Como sabemos, a matéria é formada por átomos agregados em moléculas que ficam ligadas umas com as outras (no caso de sólidos e líquidos) ou que se movem quase que livremente (no caso dos gases).

Num sólido ou num líquido, ao aumentarmos a temperatura, estamos aumentando a energia de vibração das moléculas. Lembra-te de que o modelo físico de um sólido é o de um conjunto de moléculas ligadas entre si, mas com pequenos espaços intermoleculares, onde cada molécula vibra em torno de um ponto fixo.

Figura 4: Modelo físico do sólido. [7]

Naturalmente, o aumento das vibrações entre as moléculas levará a que as moléculas sedam parte da sua energia para as moléculas vizinhas, afastando-a mais (para ganhar mais espaço para poder vibrar mais). Isto conduzirá a um aumento das distâncias intermoleculares, conduzindo assim num aumento das dimensões (volume, comprimento, ária) do sólido. Nos líquidos, apesar de a distâncias intermoleculares serem maiores e as interacções intermoleculares também, mas o processo se dá por motivos muito semelhantes.

Nos gases, a dilatação térmica ocorre também, mais por razões diferentes. O modelo de um gás é o de um conjunto de moléculas (monoatómicas, diatómicas ou poliatómicas) que se movem quase que livremente, e que chocam sucessivamente umas com as outras. Explicar com palavras, por vezes é difícil, mas aprendi com um aluno numa das minhas aulas de Física 2, que para imaginarmos o comportamento de um gás monoatómico devemos observar a animação de protecção de ecrã “bolinhas coloridas” ou “bolhas” que vem em algumas edições do sistema operativo Windows.

Portanto, num gás, quando aumentamos a temperatura, estamos aumentando a energia cinética das moléculas que o constituem, ou seja, estamos aumentando a velocidade do movimento de translação (e, eventualmente, de rotação) das suas moléculas. Com isso, aumentarão significativamente as colisões intermoleculares, o que conduzirá a um aumento de pressão, e se as paredes que contêm o gás forem facilmente móveis, conduzira a um aumento de volume. Vale lembrar que o facto de os gases serem muito mais compressíveis do que os líquidos e sólidos, faz com que nem sempre um aumento de temperatura conduza a um aumento de pressão.

— 1.3.3. Dilatação Linear —

A dilatação linear é abordada com mais ênfase nos sólidos, pois , como sabemos, os sólidos têm forma própria. Nos líquidos e nos gases não tem muito de se falar de dilatação linear, visto que eles não têm forma própria, e portanto, quando aquecidos, dilatam- se por onde encontram “espaço livre”.

Imaginemos um corpo sólido qualquer . Vamos supor que uma das suas dimensões (comprimento, largura ou altura) será {L_0} para uma dada temperatura {T}. Se aumentarmos a sua temperatura em {\Delta T}, cada uma das suas dimensões também sofrerá um aumento, no caso de {L_0}, será {\Delta L}. Poderíamos pensar que este aumento é aleatório, mas não. Poderíamos também pensar que toda a elevação de temperatura igual em diferentes barras, mas feitas de um mesmo material ocasionariam um mesmo aumento de tamanho, mas também não. A dilatação linear vai depender da matéria que se dilata, da magnitude da grandeza que se dilata e das diferenças de temperatura.

A dependência da matéria de que é constituída o material que se dilata é descrita através do coeficiente de dilatação linear ({ \alpha}) que vai caracterizar o aumento de magnitude em função da diferença de temperaturas e do comprimento inicial. A unidade de {\alpha} no SI é o {(^0C)^(-1)}.

Figura 5: Coeficientes de dilatação linear de algumas substâncias. [7]

A dependência do comprimento é vista do seguinte modo: se pegarmos em duas barras do mesmo material, mas onde o comprimento da primeira é igual ao dobro do comprimento da segunda e submetermos ambas a uma mesma variação de temperatura, iremos observar que o aumento de comprimento da primeira barra será também igual ao dobro da segunda barra.

A dependência da variação da temperatura é vista do seguinte modo: A mesma barra de comprimento {L_0}, se for submetida a um aquecimento ou arrefecimento que produza uma variação de temperatura “absoluta” {\Delta T_1} ou em outra circunstância for submetida a uma variação de temperatura {\Delta T_2} que seja igual ao dobro de {\Delta T_1}, então veremos que na segunda situação a barra terá uma dilatação igual ao dobro da dilatação da primeira.

Portanto,os diversos parâmetros da dilatação linear estão relacionados a partir da seguinte equação:

\displaystyle \Delta L = L_0 . \alpha . \Delta T \ \ \ \ \ (7)

Vale notar que esta equação é a equação para o aumento de comprimento e não para o comprimento final… O comprimento final (após a dilatação ou compressão térmica) será:

\displaystyle L= L_0+ \Delta L = L_0 + L_0 . \alpha . \Delta T = L_0 ( 1 + \alpha . \Delta T) \ \ \ \ \ (8)

Quando se diminui a temperatura, a luz do que foi postulado anteriormente, as dimensões do corpo também diminuem, mas relações continuam a ser exactamente as mesmas.

Esta formula para a dilatação linear não é exacta, visto que o coeficiente de dilatação linear da maioria das substâncias sofre também variações com a temperatura, mas ela é válida para pequenas variações de temperatura, e, em geral é aplicada deste modo nos estudos mais simples de Física.

— 1.3.4. Dilatação volumétrica —

A dilatação volumétrica ocorre segundo as mesmas leis que a dilatação linear, mas é o um conceito que pode ser aplicado tanto em sólidos, líquidos ou gases. Na realidade é o único que se pode aplicar em líquidos , visto que nestes não se pode falar de dilatação linear.

Quando submetemos um sólidos ou líquido a um aquecimento (ou esfriamento), o seu volume aumenta (ou diminui). Este aumento ou diminuição de volume é, de igual modo como na dilatação linear, directamente proporcional ao volume inicial, ao coeficiente de dilatação volumétrica e a variação de temperatura.

Imaginemos uma substância qualquer (solida ou líquida) . Vamos supor que o seu volume inicial seja {V_0} para uma dada temperatura {T}. Se aumentarmos a sua temperatura em {\Delta T}, o seu volume sofrerá um aumento {\Delta V}.

O aumento de volume será dado pela seguinte equação:

\displaystyle \Delta V = V_0 . \beta . \Delta T \ \ \ \ \ (9)

Vale notar que esta equação é a equação para o aumento de volume e não para o volume final… O volume final (após a dilatação ou compressão térmica) será:

\displaystyle V= V_0+ \Delta V = V_0 + V_0 . \beta . \Delta T = V_0 ( 1 + \beta . \Delta T) \ \ \ \ \ (10)

O parâmetro {\beta} é chamado de coeficiente de dilatação volumétrica, o seu valor varia de substância para substância.

Figura 6: Coeficientes de dilatação volumétrica de algumas substâncias. [7]

É necessário recordar que, para os sólidos, o coeficiente de dilatação volumétrica é igual ao triplo do coeficiente de dilatação linear.

\displaystyle \beta = 3 . \alpha \ \ \ \ \ (11)

Nos sólidos, alem de se falar de dilatação linear e volumétrica, também pode se falar em dilatação superficial, que obedecerá a princípios semelhantes, e cujo coeficiente {\gamma} obedecerá à relação:

\displaystyle \gamma = 2 . \alpha \ \ \ \ \ (12)

— Referências Bibliográficas —

 

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F.  F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday  & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

[7] Young & Freedman. FÍSICA 2: TERMODINÂMICA E ONDAS, 10ª ed (2003)

Introdução à termodinâmica

— 1. Calor e Temperatura —

— 1.1. Introdução —

A temperatura é um parâmetro muito importante para qualquer sistema, e tem influência na maioria dos sistemas, desde organismos vivos a sistemas eléctricos.

O corpo humano é um exemplo. A temperatura corporal permite-nos obter muitas informações importantes, incluindo o próprio estado de saúde. Dependendo da temperatura corporal, os nossos sentidos podem acabar por ficar também baralhados. Há situações em que uma pessoa sente frio enquanto que as outras sentem calor e vice-versa.

A ideia de temperatura acaba por ser sempre associada a ideia do “quente” e do “frio”, ou a ideia do “calor” e “frio”… Quando sentimos calor, dizemos que o dia está quente.

Quando se fala de calor, pensa-se sempre na sensação que temos quando o ambiente exterior está á uma temperatura maior do que a nossa, e acabamos por achar absurdo falar de calor quando a temperatura ambiente está abaixo da nossa temperatura corporal.

Vê-se logo que há uma ligação intrínseca entre calor e temperatura. Nesta secção procuraremos clarificar os conceitos de calor e temperatura e procuraremos analisar as suas influências na matéria e nos sistemas.

— 1.2. Temperatura —

O termo temperatura geralmente é associado ao calor… Consideramos temperatura alta, quando o nosso corpo recebe calor e consideramos temperatura baixa quando o nosso corpo sede calor. Isto pode conduzir-nos a um engano, visto que há situações em que algumas pessoas sentem calor e outras sentem frio. O corpo humano, na realidade não é um bom termómetro, pois ele é mais sensível ao calor do que a temperatura.

Por exemplo, uma pessoa com febre alta, com temperatura corporal na ordem dos {40^0C}, num ambiente a {37^0C} sente frio, enquanto que uma pessoa com temperatura corporal de a {34^0C} no mesmo ambiente sente calor.

Apesar de as sensações variarem de pessoa para pessoa, a temperatura do ambiente é a mesma, logo devem usar-se dispositivos próprios para determinar a temperatura.

Apesar de o corpo humano não ser um bom termómetro, existem muitas propriedades da matéria que variam com a temperatura… Interessam mais aquelas que variam linearmente com a temperatura. Estas são empregues para a fabricação de termómetros (dispositivos usados para medir a temperatura).

Dentre as propriedades dos sistemas que variam com a temperatura, podemos destacar a pressão de um gás encerrado em um recipiente rígido (por isso é que não devemos queimar os recipientes de desodorizantes, mesmo após estarem “vazios”), o volume de um gás, liquido ou sólido, o comprimento de um sólido (principalmente dos metais), a condutibilidade eléctrica e parâmetros associados a ela (resistividade e resistência eléctrica), etc.

Como toda a grandeza, a temperatura precisa de uma unidade, e esta pode variar de acordo com a escala usada para a sua medição.

A definição de temperatura acaba por ser um bocado complexa e difícil de descrever a partida, pois ela engloba aspectos ligados ao comportamento das partículas que constituem um dado sistema. Na realidade, não vamos agora definir a temperatura, mas devemos saber que ela está associada à energia do movimento das moléculas do sistema. Ela é um parâmetro macroscópico do sistema, mas que nos fornece informações acerca do comportamento microscópico do mesmo. O seu conceito será melhor entendido no estudo da teoria cinética do gás ideal.

A temperatura é uma propriedade do sistema, logo o seu valor não pode depender da forma como é medida (recorde-se do exemplo do corpo humano, que pode ter sensações diferentes para a mesma temperatura). A temperatura é, na realidade o parâmetro que dita o equilíbrio térmico entre dois sistemas. Sejam três sistemas A, B e C. Se o sistema A estiver em equilíbrio térmico com o sistema C, e o sistema B também estiver em equilíbrio térmico com o sistema C, então podemos concluir que o sistema A está em equilibrismo com o sistema B. Este resultado é o que chamamos de Lei zero da termodinâmica.

Figura 1 – Lei zero da termodinâmica. [7]

Apesar de parecer uma conclusão muito óbvia, a lei zero da termodinâmica é uma lei muito importante, necessita de ser comprovada experimentalmente. A sua importância só foi reconhecida mais tarde, depois de já estarem estabelecidas a primeira e a segunda lei, pelo que, por ser uma lei mais básica do que estas, recebe o nome de lei zero.

— 1.2.1. Medição de temperatura. Escalas de temperatura —

A medição de temperatura é feita através da medição dos parâmetros que variam directamente com a temperatura, como a resistência eléctrica dos metais, o volume de um gás, etc.

Para se medir qualquer grandeza, é necessário um valor padrão que é denominado de unidade e o mesmo é válido para a temperatura.

Durante o desenvolvimento da ciência, foram sendo apresentadas várias formas de medir a temperatura, sendo a escala de “Celcius” e a escala de “Fahrenheit” as mais populares, em diferentes partes do mundo (em alguns países a primeira, e noutros a segunda).

A escala de Celcius foi estabelecida atribuindo o valor de {0} para o ponto de fusão da água (à pressão atmosférica normal) e {100} ao ponto de ebulição da água. O resultado foi a escala de temperatura cuja unidade é o grau Celciu ({^0C}) usada em Angola, Brasil e em muitos outros países.

A escala de Fahrenheit é a escala que atribui o valor {32} para o ponto de fusão da água e {212} para o ponto de ebulição da água, sendo a sua unidade o grau Fahrenheit ({^0F}).

A relação entre a escala de Celsius e a escala de Fahrenheit pode ser deduzida a partir da figura 2.

Figura 2: Equivalência entre as escalas de Celcius e de Fahrenheit.

A relação entre {t_C} e {t_F} será:

\displaystyle \frac{t_C-0^0C}{100^0C-0^0C}=\frac{t_F-32^0F}{212^0F-32^0F} \Rightarrow \frac{t_C}{100}=\frac{t_F-32}{180} \Rightarrow \frac{t_C}{5}=\frac{t_F-32}{9} \ \ \ \ \ (1)

Daqui, retiramos as expressões:

\displaystyle t_F=\frac{9t_C}{5}+32 \ \ \ \ \ (2)

\displaystyle t_C=\frac{5.t_F-160}{9} \ \ \ \ \ (3)

— 1.2.2. Escala Absoluta. Zero absoluto —

Quando se faz a análise cinética da temperatura, vemos que a temperatura está associada com a velocidade média do movimento de vibração das moléculas num sólido, ou com a velocidade média do movimento livre das moléculas de um gás. Sendo assim, deve existir um valor de temperatura em que este movimento cessa. Este valor seria o zero absoluto de temperatura. A escala de Celsius e a escala de Fahrenheit não apresentam um zero absoluto de temperatura, deixando parecer para alguns que a temperatura pode reduzir até {-\infty}. Mas este raciocínio não é correto. Na realidade é impossível fazer com que a temperatura de um sistema chegue à {-300^0C}, por exemplo. Esta temperatura nem existe…

Analisando o termómetro a gás, que baseia-se no princípio de que a pressão e o volume de um gás variam consoante a temperatura, e que para o gás mantido em volume constante, a pressão é directamente proporcional com a temperatura, chegamos a conclusão que existem um valor de temperatura mínima possível, que é aquela em que a pressão atinge o valor de {0Pa}. Este é o zero absoluto de temperatura, e a escala de temperatura traçada a partir deste princípio é a Escala de Kelvin, que é uma escala que nos permite interpretar de forma mais correcta o significado de temperatura.

Esta conclusão baseou-se na relação:

\displaystyle \frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2} \ \ \ \ \ (4)

A escala de Kelvin fornece-nos o zero absoluto de temperatura, que é de {0K}, que corresponde a {-273,15^0C}. A unidade da escala de Kelvin é o Kelvin (K), e a relação entre a temperatura em Kelvin e em graus Celcius pode ser representada por:

\displaystyle T_K=T_C+273,15 \ \ \ \ \ (5)

A escala de Kelvin é idêntica a escala de Celsius, mais deslocada em 273,15 graus. Para um dado processo, a variação da temperatura em Kelvin é igual a variação da temperatura em graus Celcius. A variação das temperaturas é que é igual, apesar de que os valores das temperaturas não o são.

\displaystyle \Delta T_K=\Delta T_C \ \ \ \ \ (6)

OBS: A unidade da temperatura para a escala de Kelvin é o Kelvin(K) e não o grau Kelvin (^0K). E esta é a unidade de temperatura no Sistema Internacional de unidades.

Figura 3: Equivalência entre as escalas de Celcius e de Kelvin.

— 3. Hidrodinâmica. —

 

— 3.1. Introdução. —

A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento. É um dos ramos mais complexos da Mecânica dos Fluidos, como se pode ver nos exemplos mais corriqueiros de fluxo, como um rio que transborda, uma barragem rompida, o vazamento de petróleo e até a fumaça retorcida que sai da ponta acesa de um cigarro. Embora cada gota água ou partícula de fumaça tenha o seu movimento determinado pelas leis de Newton, as equações resultantes podem ser complicadas demais. Felizmente, muitas situações de importância prática podem ser representadas por modelos idealizados, suficientemente simples para permitir uma análise detalhada e fácil compreensão. [2]

O movimento de fluidos reais é muito complexo e difícil de analisar, dado os vários parâmetros envolvidos. A sua análise fica matematicamente muito complexa. Por isso, para analisar o movimento de um fluido, muitas vezes recorre-se a simplificações, de modos a reduzir a sua complexidade. A simplificação mais comum é a de considerar o movimento (escoamento) de um fluido ideal. Um fluido ideal é um fluido incompressível (a sua densidade não varia, {\rho= const.}), que não possui viscosidade ({\eta =0}). Os líquidos são poucos compressíveis, pelo que, no geral podem ser considerados incompressíveis. Os gases também podem ser considerados incompressíveis, desde que as diferenças de pressão nos diferentes pontos do escoamento em questão não sejam muito elevadas. O atrito interno de um fluido (viscosidade) pode originar tensões de cisalhamento quando este fluido escoa em um tubo ou escoa em torno de um obstáculo. Mas esta tensão de cisalhamento pode ser desprezada quando são muito menores em comparação com as diferenças de pressão ou com forças oriundas da gravidade. Os diferentes tipos de escoamento podem ser vistos na figura 14.

Figura 14: Classificação do Escoamento. [1]

— 3.2. Linhas de Fluxo. —

Quando um fluido escoa, as várias partículas do fluidos se movimentam em trajectórias distintas, denominadas linhas de corrente. As linhas de correntes ou linha de fluxo são as linhas descritas pela trajectória das partículas de fluido.

Figura 15: Linhas de corrente de um fluido que escoa em torno de uma bola. [1]

Na figura 15, ilustramos as diversas linhas de corrente ou linhas de fluxo de um fluido que escoa em torno de uma bola. Neste exemplo há um fluxo laminar.

Quando as linhas de corrente de um determinando escoamento não se alteram ao longo do tempo, ou seja, em cada ponto, os parâmetros do fluxo ou escoamento (como velocidade, pressão, etc. ) têm sempre o mesmo valor, o escoamento é chamado de escoamento estacionário ou escoamento permanente. Ao dizermos que os parâmetros do fluxo em cada ponto é igual, não queremos dizer que cada partícula de fluido movimenta-se com velocidade ou pressão constante. Estamos apenas a dizer que todas as partículas de uma certa linha de corrente, quando passam no mesmo ponto A (cada uma num momento diferente) têm a mesma velocidade e pressão. Quando estas mesmas partículas passarem por um ponto B qualquer, poderão ter uma velocidade diferente da que tinham no ponto A.

É importante reconhecer também como a posição das linhas de corrente pode mudar com o tempo – isto é o caso de escoamento não-estacionário. No escoamento permanente a posição das linhas de corrente não muda no tempo.[1]

A velocidade da partícula em cada ponto é sempre tangente à linha de corrente.

Uma técnica útil na análise do escoamento de fluidos consiste em considerar unicamente uma parte do fluido isolado do resto. Isto pode ser feito imaginando uma superfície tubular formada por linhas de corrente onde o fluido escoa (Figura 16). Esta superfície tubular é conhecida como tubo de corrente. Num escoamento bidimensional temos um tubo de corrente plano (no plano do papel):

Figura 16: Tubo de corrente tridimensional e bidimensional. [1]

As “paredes” de um tubo de corrente são constituídas de linhas de corrente. Como visto, o fluido não pode escoar atravessando uma linha de corrente, assim o fluido não pode cruzar uma parede do tubo de corrente. O tubo de corrente pode frequentemente ser visto como um tubo de parede sólida. Um tubo de corrente não é um tubo, no sentido material. É diferente, porque neste caso a “parede” (tubo de corrente) está movendo-se com o fluido.

— 3.3. Escoamento Laminar e Turbulento. Número de Reynolds. —

Dependendo de certas condições, o escoamento pode ser laminar ou turbulento.

Escoamento laminar é aquele que ocorre como se as camadas de fluido deslizassem uma sobre as outras. O escoamento laminar se caracteriza pelo movimento suave e em lâminas ou camadas de fluidos. É um escoamento estacionário. É o escoamento típico de fluidos viscosos. Exemplo: Retirada suave do óleo de um recipiente para o outro, uma esfera movendo-se suavemente sobre o óleo, etc.

Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, apresentando lâminas ou camadas (daí o nome laminar) cada uma delas preservando sua característica no meio. No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência. Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade. [5]

Figura 17: Escoamento laminar. A água saindo leve e suavemente na torneira. [6]

Figura 18: Escoamento laminar de um fluido em torno de um obstáculo. Visualização das linhas de corrente. [6]

O escoamento turbulento é caraterizado por movimentos aleatórios, tridimensionais de partículas fluidas adicionadas ao movimento principal. Neste caso, são observados turbilhões no fluxo do fluido. As linhas de corrente se cruzam e dão origem há um movimento desordenado das partículas de fluido. Um exemplo disto são as correnteza fortes de água nos rios, as ondas do mar, etc.

Ocorre quando as partículas de um fluido não movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, ou seja, as partículas descrevem trajetórias irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa líquida. Este escoamento é comum na água, cuja a viscosidade e relativamente baixa.

As flutuações aleatórias e tridimensionais da velocidade transportam quantidade de movimento através das linhas de corrente do escoamento aumentando a tensão de cisalhamento efetiva. Desta forma nos escoamentos turbulentos não existe uma relação universal entre o campo de tensões e o campo de velocidades.

Figura 19: Escoamento turbulento. Fluxo de água com alta velocidade. [5]

O cientista britânico Osborne Reynolds realizou experiências que permitiram visualizar os diferentes regimes de escoamento numa tubulação. Ele introduziu uma grandeza adimensional, denominada número de Reynolds, que se estabelece como condição para existência de turbulência em um escoamento. O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de aviões.

Para o escoamento de um fluido num tubo de secção transversal circular, o número de Reynolds é determinado pela equação:

\displaystyle Re= \frac{\rho \cdot v \cdot D}{\eta} \ \ \ \ \ (17)

Onde: { \rho} é a massa específica. {v} é a velocidade do escoamento. {d} é o diâmetro do tubo. {\eta} é a viscosidade dinâmica.

Dependendo do valor do Número de Reynolds, no escoamento em tubos podemos ter:

  • Escoamento Laminar – Re Escoamento de Transição – 2000<Re Escoamento Turbulento – Re>2400.

Figura 20 :a) Escoamento laminar da água. b) Escoamento turbulento da água. c) Escoamento da Fumaça. Começa laminar, mas depois torna-se turbulento. [7]

— 3.4. Equação de Continuidade —

Se partirmos do principio que no escoamento num dado sistema a massa do fluido se conserva, então poderemos deduzir, a partir deste princípio um equação muito importante denominada equação de continuidade. Se consideramos um escoamento de um fluido ideal (não viscoso), incompressível e irrotacional, cujo fluxo seja laminar, então as partículas de fluido não poderão atravessar as paredes de um tubo de corrente, visto que a sua velocidade é sempre tangente a estas.

Figura 21: Tubo de corrente com área de secção transversal variável.  [7]

Pelas hipóteses consideradas acima, a massa que entra no tubo de corrente {dm_1}, numa região onde a área é {A_1} num certo intervalo de tempo {dt} deve ser igual à massa que sai do tubo {dm_2} no mesmo intervalo de tempo, mas numa outra região onde a área é {A_2}. Neste caso podemos escrever:

\displaystyle dm_1=dm_2 \Rightarrow \rho dV_1 = \rho dV_2 \ \ \ \ \ (18)

O volume do fluido que entra e que sai pode ser determinado pela velocidade do movimento do fluido, logo:

\displaystyle dV_1 = A_1 \cdot v_1 \cdot dt , dV_2 = A_2 \cdot v_2 \cdot dt \ \ \ \ \ (19)

. Então, como {\rho dV_1 = \rho dV2 \Rightarrow dV_1=dV_2} então {A_1 \cdot v_1 \cdot dt = A_2 \cdot v_2 \cdot dt}. Eliminando {dt}, ficamos com:

\displaystyle A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \qquad \textrm{} \ \ \ \ \ (20)

O parâmetro, chamado de vazão volumétrica, é definido por:

\displaystyle R_v = \frac{dV}{dt}=A\cdot v \ \ \ \ \ (21)

Ele representa a taxa de volume que atravessa uma secção transversal de um tubo por unidade de tempo. A vazão mássica é a taxa de variação da massa por unidade de tempo e é definida como sendo o produto da vazão volumétrica pela densidade:

\displaystyle R_m = \frac{dm}{dt}= \rho \cdot A\cdot v \ \ \ \ \ (22)

Para o caso de um fluido compressível, a densidade pode variar ao longo do escoamento. Neste caso, a equação de continuidade fica:

\displaystyle \rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 = \rho_2 \cdot A_2 \cdot v_2 \qquad \textrm{} \ \ \ \ \ (23)

— 3.5. Equação de Bernoulli —

Como vimos anteriormente, a equação 11, que se refere à variação no interior de um fluido, só é aplicável quando o fluido é estático, o que nos pode levar a pensar: como varia a pressão no interior de um fluido em movimento?

A resposta a esta questão pode ser deduzida a partir da equação de continuidade e é denominada Equação de Bernoulli.

Figura 22: Tubo de corrente com área de secção transversal variável. Equação de Bernoulli . [7]

Se considerarmos que as duas regiões {a} e {c} têm pressões diferentes {p_1} e {p_2}, então o trabalho realizado por estas forças sobre o fluido será:

\displaystyle dW= F_1 ds_1 - F_2 ds_2 \ \ \ \ \ (24)

A força {F_2} é negativa porque ela tende a opor-se ao deslocamento (ver figura 22). Como {F = p\cdot A} então:

\displaystyle dW=p_1 \cdot A_1 ds_1 - p_2 \cdot A_2 ds_2 = (p_1 - p_2 ) dV. \ \ \ \ \ (25)

O trabalho {dW} realizado pelas forças não conservativas, de acordo com a lei do trabalho-energia, deve ser igual à variação da energia mecânica do sistema.

A energia mecânica tem duas componentes: a energia cinética ({K}) e a Energia potencia ({U}).

A variação da energia cinética num intervalo de tempo {dt} será: {dK= \frac{m_2 . (v_2)^2}{2} - \frac{m_1 . (v_1)^2}{2}}. Para fluidos incompressíveis, e tendo em conta a equação de continuidade, teremos:

\displaystyle dK= \frac{1}{2} \rho dV (v_2^2-v_1^2) \ \ \ \ \ (26)

A variação da energia potencial será

\displaystyle dU= dm.g(y_2-y_1)=\rho.dV.g.(y_2-y_1) \ \ \ \ \ (27)

A lei trabalho-energia impõe que {dW=dK+dU \Rightarrow (p_1 - p_2 ) dV = \frac{1}{2} \rho dV (v_2^2-v_1^2) + \rho.dV.g.(y_2-y_1) }. Eliminando {dV}, temos:

\displaystyle p_1 - p_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2-v_1^2) + \rho.g.(y_2-y_1) \qquad \textrm{} \ \ \ \ \ (28)

A Equação de Bernoulli estabelece a variação da pressão em um fluido em movimento em função da variação da velocidade e da variação da altura.

Num tubo horizontal com áreas diferentes {A_1} e {A_2}, onde um fluido se move com uma vazão constante, a pressão será maior nos pontos onde a área for menor, pois onde a área for menor, a velocidade será maior ( de acordo com a equação de continuidade).

 

 

— Referências Bibliográficas —

 

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F.  F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday  & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

[7] Young & Freedman. FÍSICA 2: TERMODINÂMICA E ONDAS, 10ª ed (2003)

Pressão absoluta e pressão manométrica

— 2.6. Pressão absoluta. Pressão Manométrica. Manómetros, Barómetros. —

Para algumas grandezas em hidrostática, tais como em algumas grandezas em Mecânica, muitas vezes o que tem importância é a variação de uma grandeza, ou seja, a diferença entre o valor desta grandeza em dois pontos diferentes e não o valor da grandeza em si. Um exemplo é a consideração de que a energia potencial de um corpo é {E_p=m.g.h}. O mesmo ocorre com a pressão: em muitos fenómenos, o que realmente nos interessa é a diferença entre os valores de pressão dos dois pontos e não o valor efectivo da pressão em cada ponto. Por isso, introduzimos o conceito de pressão absoluta e de pressão manométrica.

A pressão absoluta é a pressão total de um certo ponto ou lugar, ou seja, é o somatório de todas as contribuições para o aumento da mesma. A sua determinação depende de diversos factores que podem provocar um aumento de pressão no sistema. Para um ponto no interior de um fluido, já vimos que {p_{abs} = p_{ext} + \rho . g . \Delta h }. Se a parte externa for o meio ambiente, então {p_{ext}=p_a}.

O princípio de Stevin estabelece a diferença de pressão entre dois ponto de um fluido: {\Delta p = \rho . g . \Delta h }. Este valor é conhecido como pressão manométrica, pois é a pressão indicada pelos manómetros. A pressão manométrica entre dois pontos de um mesmo fluido, mas com profundidades diferentes {h_1} e {h_2} é:

\displaystyle p_{m}=\rho.g.\Delta h \ \ \ \ \ (15)

Podemos então afirmar que:

\displaystyle p_{abs}=p_a+p_m \ \ \ \ \ (16)

A pressão absoluta sempre é positiva ({p_{abs}\geq 0}), mas a pressão manométrica pode ser positiva (em locais com pressão superior à pressão atmosférica), ou negativa (em locais onde a pressão é inferior à pressão atmosférica).

Para determinar a diferença de pressão entre dois pontos de um sistema qualquer, são muitas vezes empregues os manómetros de líquido. Um manómetro de líquido muito simples pode ser um tubo é U contendo um líquido. Usando um tubo em U, podemos medir a pressão de líquidos e gases.

O manómetro em U é conectado como na figura 2, sendo preenchido com um fluido chamado fluido manométrico. O fluido cuja pressão será medida deve ter uma massa específica menor que a do fluido manométrico. Os fluidos não devem misturar-se. Como vimos, uma das consequências da variação da pressão em um fluido, é que a pressão em dois pontos do fluido com mesma profundidade (ou quota) é igual. Portanto, na figura 12, a pressão manométrica do fluido no ponto B será: {p_B=p_C}. Sabemos que: {p_C=p_a + \rho_{man}.g.h_2}

Figura 12: Manômetro em U.[1]

Neste caso, se quisermos saber o valor da pressão no ponto A, começaremos por estabelecer a relação entre as pressões nos pontos A e B:

{p_B=p_A+\rho.g.h_1 \Rightarrow p_A=p_B - \rho. g .h_1}.

Como {p_B=p_C} e {p_C= p_a +\rho_{man}.g.h_2}, então:

{p_A=p_a +\rho_{man}.g.h_2 - \rho. g .h_1}.

Se quiséssemos somente a pressão relativa, esta seria: {p_A=\rho_{man}.g.h_2 - \rho. g .h_1}.

A experiência de Torricelli possibilitou a construção de outro instrumento para medição de pressão atmosférica, ou para medição da pressão num dado local, que é o barómetro, que é na verdade uma variante do manómetro. Ele foi obtido pegando-se um tubo capilar aberto em apenas uma extremidade. Enche-se o tubo capilar com mercúrio e tapa-se. Em seguida coloca-se o tubo capilar invertido num outro recipiente com mercúrio e retira-se a tampa. Vai se observar que o nível de mercúrio no capilar vai descer um bocado, originando um vácuo na extremidade fechada do capilar.

Figura 13: Barómetro. [2]

A diferença entra a pressão da parte fechada do capilar ({p=0Pa}, Vácuo) e a pressão no local será definida pela altura da camada de mercúrio desde a superfície livre (no ambiente exterior) até ao ponto onde se fez o vácuo (no capilar).

Na sua experiência, Torricelli obteve o valor de {p_a = 1 atm = 760 mmHg = 1,01 \times 10^5 Pa}.

 

— Referências Bibliográficas —

 

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F.  F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday  & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

[7] Young & Freedman. FÍSICA 2: TERMODINÂMICA E ONDAS, 10ª ed (2003)

Hidrostática

— 2. Hidrostática —

A Hidrostática, como já foi citado anteriormente, trata de estudar os fluidos em equilíbrio. Vamos caracterizar, agora, algumas das propriedades dos fluidos em equilíbrio, dando ênfase especial aos líquidos.

— 2.1. Propriedades gerais dos líquidos —

  • A superfície livre de um líquido em equilíbrio é plana e horizontal. 
  • A força exercida por um líquido sobre uma superfície qualquer é sempre perpendicular (normal) a essa superfície. Isto pode ser constatado quando furamos um vaso que contém líquidos e observamos que este se projeta (derrama, escoa) perpendicularmente à parede do vaso.
  • Líquidos de diferentes densidades, quando em equilíbrio, apresentam uma superfície de separação plana e horizontal.
  • Nos líquidos, em particular e num fluido, em geral, a pressão aumenta a medida que aumenta a profundidade (distância medida desde a superfície livre). Esta propriedade será estudada com mais detalhes mais adiante.

Figura 8 (a): Superfície livre de um líquido. [2]

Figura 8 (b): Superfície de Separação entre dois líquidos de densidade diferente. [2]

— 2.2. Fluidos estáticos —

As regras principais que regem o comportamento de um fluido estático derivam das leis do equilíbrio mecânico, estudadas na estática. São estas:

  • Nos fluidos estáticos não pode agir nenhuma força de cisalhamento.
  • Qualquer força entre o fluido e a fronteira deve ser normal (perpendicular) em relação à fronteira.

— 2.3. Variação da Pressão num Fluido Estático —

A experiência prática já mostra que, a medida que descemos mais quando efectuamos um mergulho na água, a pressão que a água exerce sobre o nosso corpo aumenta. Num fluido estático, a pressão em qualquer ponto está relacionada directamente com a profundidade deste ponto e com a densidade deste fluido. Se pensarmos que a pressão é a força por unidade de área, então, veremos que a medida que a profundidade aumenta, aumenta também a quantidade de fluido por cima de um dado ponto.

Suponhamos que temos um fluido num tanque. Imaginemos dois pontos de diferentes profundidades 1 e 2.

Figura 9: Pressão no interior de um fluido.  [6]

A pressão entre nos pontos 1 e 2 serão diferentes devido a ao peso da camada de fluido que existe acima do ponto 2. O seu valor é determinado pelo princípio de Stevin: “A variação da pressão entre dois pontos quaisquer de um fluido incompressível é igual ao produto de sua massa específica pela diferença de nível entre os dois pontos e pela aceleração da gravidade “.

\displaystyle \Delta p= p_2 - p_1 = \rho . g . h \ \ \ \ \ (11)

Neste caso, podemos dizer que a pressão num interior de recipiente aberto, contendo um fluido será:

\displaystyle p= p_{ext} + \rho . g . h \ \ \ \ \ (12)

Onde {h} representa a profundidade e {p} é a pressão absoluta.

A pressão atmosférica é a pressão normal do ar atmosférico ao nível do mar. Essa pressão é devido ao efeito da massa de ar por cima de nós, dentre outros factores. Torricelli, através de seus experimentos conseguiu determinar o seu valor:

{p_a = 1 atm = 760 mmHg = 1,01 \times 10^5 Pa}

 

Algumas observações importantes:

  • O Teorema de Stevin só se aplica a fluidos em repouso.
  • {\Delta h} é a diferença de cotas e não a distância entre os dois pontos considerados.
  • Todos os pontos de um fluido num plano horizontal tem a mesma pressão.
  • A pressão num ponto qualquer não depende da área, ou seja, do formato do recipiente.

— 2.4. Princípio de Pascal. Prensas hidráulicas —

O princípio de Pascal pode ser enunciado da seguinte maneira: “Um acréscimo de pressão, num ponto qualquer de um líquido em equilíbrio, transmite- se integralmente a todos os pontos do líquido”.

Isto significa que, quando aumentamos de uma quantidade P a pressão exercida na superfície livre de um líquido em equilíbrio, todos os pontos do líquido sofrerão o mesmo acréscimo de pressão P. Uma aplicação prática do princípio de Pascal é a da prensa hidráulica, ilustrada na figura abaixo. [2]

A força {F_1} exercida no êmbolo de área {A_1} provoca um acréscimo de pressão no líquido: {p = F / A = F_1 / A_1}. Pelo princípio de Pascal, este acréscimo de pressão transmite-se pelo líquido, atingindo, neste caso, o êmbolo de área {A_2}. Se a área aumentou, a força {F_2} exercida sobre o êmbolo também crescerá a fim de manter constante a pressão. Este é o princípio de funcionamento da prensa hidráulica.

Figura 10: Prensa hidráulica. Princípio de Pascal. [2]

— 2.5. Princípio de Arquimedes. Empuxo —

Você já deve ter observado que os corpos, quando imersos em água, perdem, aparentemente, um pouco de seu peso, ou seja, é mais fácil levantar um corpo dentro da água do que fora dela. Podemos presumir, portanto, que a água exerce uma força sobre o corpo, de modo a reduzir o peso aparentes. Esta força exercida pelo fluido sobre o corpo é chamada de empuxo.

Arquimedes enunciou então, o seguinte princípio: “Todo corpo imerso em um fluido, está sujeito à ação de uma força vertical de baixo para cima (empuxo), cujo módulo é igual ao peso da quantidade de fluido deslocada”.

O valor da força de empuxo é:

\displaystyle F_E = \rho .g . V_{imersa} \ \ \ \ \ (13)

Figura 11: Princípio de Arquimedes. [2]

Portanto, quando um corpo está imerso é um fluido, ele sofrerá acção desta força denominada Empuxo. Dependendo do valor desta força, o corpo poderá: afundar (quando {P > F_E }), permanecer imponderável (quando {P = F_E}) ou flutuar sobre o fluído (quando {P < F_E}, o que vai fazer o fluido subir até que se cumpra a condição {P = F_E}).

Podemos dizer então que o peso aparente de um corpo imerso em um líquido é

\displaystyle P_{aparente} = P_{Ar} - F_E = m_{corpo}.g - \rho_{liq} .g . V_{imersa} \ \ \ \ \ (14)

 

(mais…)

Introdução à Mecânica dos Fluidos

 

— 1. Introdução —

A Mecânica dos Fluídos é uma parte da Física que, por vezes aparece como uma ciência autónoma, mas por vezes é ligada à Mecânica ou mesmo à Termodinâmica. O seu objecto de estudo são os fluidos (que podem ser líquidos ou gases) e suas interacções, e é a base fundamental da Hidráulica. O movimento dos fluidos pode ser estudado de forma semelhante ao movimento de corpos sólidos, usando-se as leis fundamentais da física juntamente com as propriedades físicas dos fluidos.

A mecânica dos fluidos também encontra muita aplicação em diversas áreas da engenharia, sendo uma ferramenta muito útil para qualquer engenheiro, químico ou físico. Os seus conhecimentos são também muito úteis para a biologia e medicina, propriamente no estudo do movimento dos fluidos no nosso corpo ou em qualquer ser vivo. A hidráulica encontra aplicações em diversas área, sendo aplicada profundamente na aeronáutica, na náutica, na indústria petrolífera, no estudo do meio ambiente, etc. Alguns dados históricos da mecânica dos fluidos podem ser vistos na figura 1.

Figura 1: historia da mecânica dos fluidos.[1]

 

Para [1],  algumas aplicações típicas da Mecânica dos Fluidos na Engenharia são:

  • Redes de distribuição de fluidos – água, combustíveis (gás natural, gases de petróleo liquefeito, petróleo), de vapor de água (em fábricas); Ventilação em edifícios urbanos e industriais, túneis e outras infra-estruturas;
  • Máquinas de conversão de energia (turbinas hidráulicas, turbinas eólicas, turbinas a vapor e gás, compressores, ventiladores e bombas hidráulicas);
  • Transferência de calor e massa em equipamentos térmicos (caldeiras, trocadores de calor, fornalhas, queimadores, motores de combustão interna);
  • Transporte de veículos (resistência ao avanço, sustentação de aeronaves, propulsão de aeronaves e de navios, segurança aerodinâmica e conforto – controle de ruído e circulação de ar no interior de veículos);
  • Vibrações e esforços de origem aerodinâmica em estruturas; (edifícios, chaminés, estádios, aeroportos).
  • Estudos de qualidade de água e de qualidade de ar (poluição atmosférica).

As leis básicas que governam os problemas de Mecânica dos Fluidos são:

  • Lei de conservação da massa.
  • A segunda lei de Newton.
  • O princípio do momento da quantidade de movimento.
  • A primeira lei da termodinâmica.
  • A segunda lei da termodinâmica .

A Mecânica é a parte da Física que trata das leis do movimento e do equilíbrio. Está subdividida em diversas partes: Cinemática, Estática, Dinâmica, Energia e interacções, Mecânica dos fluidos, etc. A Estática trata das relações das forças que produzem equilíbrio entre corpos materiais. A Dinâmica é parte da Mecânica que trata do movimento dos corpos sob a influência de forças. A Mecânica dos Fluidos trata das leis de forças e movimentos de fluidos, isto é, líquidos e gases. A mecânica dos fluidos, por sua vez, está dividida em:

  • A Estática dos Fluidos ou Hidrostática estuda as condições de equilíbrio dos líquidos sob a ação de forças exteriores, principalmente da gravidade. Fundamenta-se na segunda lei de Newton para corpos sem aceleração.
  • A dinâmica dos fluidos ou Hidrodinâmica estuda os fluidos em movimento e se fundamenta principalmente na segunda lei de Newton para corpos com aceleração.

Para entendermos melhor a mecânica do fluido, vamos começar por entender o seu objecto de estudo.

— 1.1. Fluído —

De certeza que todos nós já vimos, mexemos e usamos um fluído. No nosso corpo temos muitos fluídos. Então, o que é um fluido?

Definição 1 Fluído é uma substância que não resiste a tensão de cisalhamento.

Fluidos é o nome que se dá a categoria de substâncias tais como os líquidos, os gases, os plasmas e, de certa maneira, os sólidos plásticos. A sua principal característica está relacionada a propriedade de não resistir a deformação e apresentam a capacidade de fluir, ou seja, possuem a habilidade de tomar a forma de seus recipientes.

Segundo [3], podemos ainda definir um fluido da seguinte forma:

Definição 2 Fluidos são substâncias que se deformam continuamente quando submetidas a uma tensão de cisalhamento, não importando quão pequena possa ser esta “tensão”.

Parece que a definição é muito complexa, mas não. A chave está em percebermos o que uma tensão de cisalhamento.

Uma força de cisalhamento é a componente tangencial da força que age sobre a superfície. Quando dividida pela área da superfície, dá origem à tensão média de cisalhamento. Pode-se dizer assim que a tensão de cisalhamento em um ponto é o valor limite da razão entre a força de cisalhamento e a área, quando esta tende a um ponto. [3]

\displaystyle \tau=\frac{F_{tang}}{A} \ \ \ \ \ (1)

Onde: {\tau} é a tensão de cisalhamento, {F_{tang}} é o módulo da força tangencia e {A} é o valor da área.

Isto significa que num fluido, a mínima força aplicada tangecialmente a uma superfície é capaz de movimentar este fluido, desde que não haja forças que se oponha a este movimento. Esta característica dá ao fluido a capacidade de fluir, por acção de qualquer força. Esta propriedade é proveniente da sua incapacidade de suportar uma tensão de cisalhamento em equilíbrio estático.

Se o fluido permanece estático não existirão forças de cisalhamento atuando. Todas as forças devem ser perpendiculares ao plano que atuam.[1]

Figura 2: Força de cisalhamento.[2]

Figura 3: Estados de agregação básicos e suas características.[2]

Para entendermos a diferença entre sólidos e fluidos, vejamos a figura 4.

Figura 4: Força de cisalhamento num fluido em forma de paralelepípedo. [1]

Quando aplicamos uma força tangencial, como a força {F} da figura 4, à um sólido, três coisas podem acontecer: ou todas as partes do sólido movimenta com mesma velocidade, ou o sólido se mantém em repouso, devido ao atrito, ou o sólido parte-se e uma parte movimenta-se e outra não. Quando a mesma força actua sobre um fluido, o angulo de deformação {\phi} aumenta, e as diversas camadas do fluido se movimenta com velocidades diferentes conforme indicado na figura, e o fluido escoa.

Os fluidos são formados por moléculas em constante movimento e com ocorrência de colisões entre elas. Na teoria cinética dos gases e na Mecânica Estatística realiza-se a análise dos fluidos considerando a acção de cada molécula ou grupos de moléculas. Nas aplicações de engenharia se estudam as manifestações médias mensuráveis de um conjunto de moléculas. Desta forma, consideram-se os fluidos como sendo formados por pequenas partículas, cada uma contendo muitas moléculas. Trata-se o fluido como um meio contínuo composto de partículas fluidas que interagem entre si e com o meio.

Na Mecânica dos Fluidos estuda-se o movimento das partículas de fluido e não o movimento das moléculas do fluido.

Neste sentido, os parâmetros usados para descrever um sólido já são, em alguns casos, inconvenientes para aplicar a fluidos. Parâmetros como massa, força, etc, têm de ser descritos de outra forma. Isso deve-se ao facto de o fluido poder mudar a forma de organização das moléculas ao longo do tempo, bem como por haver um contínuo movimento das suas moléculas. Analisando o movimento de um mesmo fluido, um certo volume do fluido pode ter diferentes massas, dependendo de outros parâmetros do mesmo. Acontece algo parecido ao aplicarmos uma força.

— 1.1.1. Massa Específica ou Densidade —

A massa especifica de um fluido qualquer é a razão entre a massa contida num volume infinitesimal deste fluido pelo valor deste volume infinitesimal, ou seja:

\displaystyle \rho=\frac{dm}{dV} \qquad [\rho]=kg/m^3 \ \ \ \ \ (2)

Se considerarmos que a massa específica de um fluido é igual em todos os pontos, então poderemos escrever:

\displaystyle \rho=\frac{m}{V} \qquad [\rho]=kg/m^3 \ \ \ \ \ (3)

Onde: {m} é a massa da amostra e {V} é o seu volume. A densidade relativa de uma substância é a razão entre a densidade desta substância e a densidade da água:

\displaystyle {\rho}_r = \frac{{\rho}_{subst}}{\rho_{Agua}} \ \ \ \ \ (4)

Nota: { \rho_r } é adimensional.

Massa específica de algumas substâncias:

  • Água: {1000 kg / m^3 = 1 g / cm^3}
  • Mercúrio: {13600 kg/ m^3 = 13,6 g/ cm^3}
  • Ar: {1,2 kg /m^3 = 0,0012 g/ cm^3}

Vale recordar que a massa especifica (densidade) dos sólidos e dos líquidos sofre pequenas variações com a temperatura. Já a massa específica dos gases sofre maior variação com a temperatura devido à dilatação térmica que é maior nos gases do que nos líquidos (em geral).

— 1.1.2. Pressão —

Quando aplicamos uma força perpendicularmente a uma superfície, esta força é distribuída em toda a área da superfície em questão. A força por unidade de área é definida como pressão. Por definição a pressão {p} é:

\displaystyle p=\frac{dF}{dA} \ \ \ \ \ (5)

ou

\displaystyle p=\frac{\Delta F}{\Delta A} \ \ \ \ \ (6)

Se a força for constante e distribuída uniformemente em toda a superfície, e aplicada em uma superfície plana de área {A}, então poderemos dizer que:

\displaystyle p = \frac{F}{A} \qquad [p]=N/m^2=Pa (Pascal) \ \ \ \ \ (7)

As observações experimentais permitiram ver que a pressão exercida por um sistema sobre o outro é sempre a mesma, independentemente da direcção em que esta é medida, o que levou-nos a concluir que a pressão é uma grandeza escalar. O seu efeito é independente da direcção e do sentido em que a força é aplicada. Por exemplo: uma força de {10N} aplicada perpendicularmente a superfície de um êmbolo vertical transmite a este fluido a mesma pressão que uma força de {10N} aplicada perpendicularmente por um êmbolo horizontal ou oblíquo. Quando aplicamos uma força obliquamente, esta força terá duas componentes: a componente tangencial, que origina a tensão de cisalhamento e a força normal que origina a pressão.

Figura 5: Força aplicada obliquamente.[2]

 

Portanto, a pressão será criada pela componente normal ({F_X})da força aplicada. A unidade SI é também conhecida pelo nome PASCAL, abreviando-se {Pa}.

{1 N/m^2 = 1 Pa}

Outras unidades utilizadas:

  • Libras força por polegada quadrada {Lbf/pol^2}
  • Atmosfera técnica métrica {atm}
  • Milímetros de mercúrio { mmHg}

As unidades {atm} e o {mmHg} surgiram das experiências realizadas por TORRICELLI (físico italiano), para medir a pressão atmosférica.[2]

{ 1 atm = 760 mmHg = 1,01 \times 10^5 Pa}

{ 1 bar = 10^5 Pa}

{ 1 torr = 1 mmHg}

 

O valor da pressão de um fluído, principalmente nos gases, pode ser influenciado pela temperatura, mas estes casos serão analisados com mais profundidade em termodinâmica.

— 1.1.3. Viscosidade —

É óbvio que {1dm^3} ({1 litro}) de ferro pesa mais que {1 litro} de água.

Agora pensemos: Entre a água e o óleo, qual é mais a mais densa (mais pesado em iguais circunstâncias de volume)? Reformulando. Tens um litro de água e um litro de óleo. Qual pesa mais?

Esta pergunta parece simples, mas a sua resposta vai contrariar a ideia de muitos. É óbvio que um litro de água pesa mais, por ser mais densa. Lembra-te que ao colocares a água e o óleo num recipiente, a água fica por baixo e o óleo por cima. O parâmetro que origina o engano de pensar que o óleo é mais denso que a água é a viscosidade. O óleo é mais “Viscoso”, ou se quisermos, pegajoso do que a água, mas a água é mais densa do que o óleo. A Viscosidade é a propriedade de um fluido, devido à coesão e interação entre moléculas, que oferece resistência para deformação de cisalhamento. Fluidos diferentes deformam com valores diferentes para uma mesma tensão de cisalhamento. Fluidos com uma alta viscosidade, deformam mais lentamente que fluidos com uma viscosidade baixa.

Se imaginarmos o escoamento do fluido como um conjunto de camadas horizontais de fluido que deslizam uma sobre a outra, então a viscosidade vai representar o atrito entre estas camadas.[1]

A viscosidade dinâmica, {\eta} , é definida como a força de cisalhamento, por unidade de área, (ou tensão de cisalhamento {\tau} ), requerido para arrastar uma camada de fluido com velocidade unitária para outra camada afastada a uma distância unitária.

\displaystyle \eta=\frac{\tau}{\frac{du}{dy}} \qquad [Pa.s] \ \ \ \ \ (8)

A Viscosidade cinemática, {\nu} , é definida como a relação entre a viscosidade dinâmica e a massa específica.

\displaystyle \nu=\frac{\eta}{\rho} \qquad [m^2/s] \ \ \ \ \ (9)

As moléculas de líquidos e gases são mantidas na sua posição unidas por uma coesão molecular. Nos líquidos, as moléculas estão muito próximas e as forças moleculares são grandes afetando diretamente a resistência ao escoamento. Nos gases as moléculas estão muito mais espaçadas e estas forças moleculares são desprezíveis. Neste caso a resistência ao movimento deve-se a trocas de quantidade de movimento entre camadas adjacentes de fluido.

Viscosidade nos gases – Quando as camadas adjacentes movem-se existe uma troca contínua de moléculas. As moléculas de uma camada mais lenta movem-se para camadas mais rápidas causando um arrasto. Desta forma quando as moléculas movem-se exercem uma força que aceleram as partículas arrastadas. Se a temperatura de um gás aumenta, a sua atividade molecular aumenta e também sua quantidade de movimento. Isto provoca um aumento da troca entre camadas de fluidos. Desta forma aumenta a sua viscosidade dinâmica. [1]

A viscosidade também muda com a pressão – mas sob condições normais esta mudança é desprezível nos gases.

Viscosidade nos Líquidos – O espaçamento entre moléculas de líquido é pequeno (comparadas com gases) e as forças coesivas entre moléculas é grande. Esta coesão joga um importante papel na viscosidade de líquidos já que existe uma troca molecular entre camadas adjacentes de fluido no escoamento. Se aumentamos a temperatura de um líquido reduzimos as forças coesivas e aumentamos o intercâmbio molecular. Reduzindo as forças coesivas reduzimos a resistência ao movimento. A viscosidade dinâmica é um indicativo desta resistência, verificando-se uma redução da viscosidade dinâmica ({\eta}) com o aumento da temperatura.

Figura 6: Variação da Viscosidade com a temperatura(neste gráfico, { \mu} representa a viscosidade dinámica).[1]

— 1.1.4. Diferenças entre Líquidos e Gases —

Apesar dos líquidos e gases serem classificados como fluidos, há algumas diferenças entre eles que podemos destacar.

Uma primeira diferença é que os gases, por serem expansíveis, ocupam o volume total dentro de um recipiente, qualquer que seja sua capacidade(volume), já quando colocamos um certo volume de líquido num vaso de maior capacidade, ele ocupará somente uma parte do vaso, igual ao seu próprio volume. O gás não tem volume próprio, mas o líquido tem. Como consequência, podemos encerrar, num mesmo recipiente de 1 litro preenchido com um gás ,uma quantidade muito maior de gás do que a quantidade que ele já tinha. Nos líquidos isso não ocorre.

Uma diferença muito importante entre líquido e gás é a imiscibilidade. Os líquidos, como já vimos, nem sempre são miscíveis entre si, como no caso do óleo e da água, visto anteriormente. Os gases, ao contrário, sempre se misturam homogeneamente entre si. Um exemplo típico é o ar atmosférico, constituído de nitrogénio, oxigénio e outros gases em menor proporção.[2]

Há ainda muitas outras diferenças entre fluido líquido e fluido gasoso, que vamos percebendo a medida que estudamos a Mecânica dos Fluidos.

 

— 1.2. Tipos de Fluidos —

Até mesmo fluidos que são aceites como tais podem ter grandes diferenças de comportamento quando submetidos a tensões de cisalhamento. Fluidos que obedecem a Lei de Newton, onde o valor de { \eta } é constante são conhecidos como fluidos newtonianos. Se { \eta} é constante a tensão é linearmente dependente do gradiente de velocidade. Isto é verdadeiro para a maioria dos fluidos. Os fluidos em que o valor de {\eta} não é constante são conhecidos como fluidos não-newtonianos. Há várias categorias destes, sendo apresentados brevemente abaixo. Essas categorias são baseadas nas relações entre a tensão e o gradiente de velocidade (variação da tensão de cisalhamento) no fluido. Tais relações podem ser vistas no gráfico abaixo para várias categorias de fluidos.

Figura 7:Tensão de cisalhamento em função da taxa de deformação.[1]

Cada uma das linhas pode ser representada pela equação:

\displaystyle \tau = A + B . (\frac{du}{dy})^n \ \ \ \ \ (10)

onde A e B e n são constantes. Para fluidos newtonianos {A = 0, B =\eta} e {n = 1.}

Como fluidos não-newtonianos independentes do tempo temos os seguintes:

  • Plásticos: A tensão aplicada deve atingir certo valor mínimo antes de iniciar o escoamento. Um exemplo típico é a pasta de dentes que não flui para o exterior até apertar o tubo e superar certo esforço (nestes fluidos {n=1}, {A,B\neq 0}).
  • Plástico tipo Bingham: Tal como o plástico (n=1) deve atingir a tensão um valor mínimo. Como exemplo: chocolate, mostarda, ketchup, maionese, tintas, asfalto, sedimentos de águas residuais.
  • Pseudoplásticos: Não é necessária uma tensão mínima para se dar o escoamento. A viscosidade diminui com o aumento da taxa de tensão. Exemplos: plasma sanguíneo, polietileno fundido, soluções polímeras e polpa de papel em água. {(n < 1)}. São também conhecidos como não dilatantes.
  • Fluidos Dilatantes; A viscosidade aumenta com a taxa de deformação {(n >1)} . No gráfico a tensão de corte se encontra por baixo da tensão de corte dos fluidos newtonianos. Inicia com uma inclinação baixa o que indica baixa viscosidade aparente. Por exemplo, temos suspensões de amido e de areia.
  • Fluidos Tixotrópicos: Existem também fluidos não-newtonianos dependentes do tempo, os quais são complicados de analisar e denominados fluidos tixotrópicos, nestes o gradiente de velocidade varia com o tempo. Exemplo: a tinta de impressão, o nylon, a massa de farinha e várias soluções de polímeros.

Também em Mecânica dos Fluidos lidamos com o caso de fluidos que não são reais, conhecidos como fluidos ideais. Um fluido ideal é aquele que não tem nenhuma viscosidade. Trata-se de um conceito útil nas soluções teóricas para as posteriores soluções reais. No gráfico dado na figura 7, a curva sobre o eixo dos x representaria aos fluidos ideais, isso é com viscosidade nula {(\eta=0)}. No caso de um sólido real seria representando na figura sofrendo uma mínima deformação, e dentro do limite de proporcionalidade (lei de Hooke). A curva é uma linha reta quase vertical passando pela origem.

 

 

 

— Referências Bibliográficas —

 

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F.  F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday  & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

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