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Category Archives: 17 Equações Diferenciais Ordinárias

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Exercício 1 Prove que as funções dadas abaixo são soluções das equações diferenciais:

  • {y''+y=x}, {y(0)=0}; onde {y=e^{-x}+x-1}.
  • {(y')^{3}=y}, {y(0)=0}; onde {8x^{3}+27y^{2}=0}.
  • {y''+25y=0}; onde {y=c_{1}\cos 5x}.
  • {y'=2xy+1}; onde {y=e^{x^{2}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}.
  • {xy'=y+x\sin x}; onde {y=x\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt}
Exercício 2 Achar os valores de {m} para os quais {y=e^{mx}} é uma solução das equações diferenciais abaixo:

  • {2y'''+y''-5y'+2y=0}.
  • {y'-2y=0}.
Exercício 3 Se {y'-xy^{\frac{1}{2}}=0}. Demonstrar que:

  • {y=(\frac{x^{2}}{4}+C)^{2}} é solução geral da equação acima.
  • Se {C=0}, mostrar que {y=\frac{x^{4}}{16}} é uma solução particular.
  • Explicar porque {y=0} é uma solução singular.
Exercício 4 A tangente de uma familia de curvas em qualquer ponto {(x,y)} do plano {xy} está dada por {4-2x}.

  • Estabeleça a equação diferencial da familia.
  • Determinar uma equação para aquela linha particular que passa pela origem.
  • Desenhe alguns membros da familia achada anteriormente.
Exercício 5 Se {y=Y_{1}(x)} e {y=Y_{2}(x)} são duas soluções de {y''+3y'-4y=0}. Mostre que:

  • {C_{1}Y_{1}(x)+C_{2}Y_{2}(x)} também é uma solução da equação, onde {C_{1}} e {C_{2}} são constantes arbitrárias.
  • Use os resultados anteriores para achar uma solução de uma equação diferencial que satisfaça as condições {y(0)=3}, {y'(0)=0}.

— 1.2. Teorema de Existência e Unicidade, Interpretações Gráficas —

Na última aula, deparamo-nos com uma equação diferencial que tinha solução, apenas não era única. Hoje começaremos por enunciar o teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem.

Teorema 1 Dada uma equação diferencial ordinária de primeira ordem {y'=f(x,y)}, se {f(x,y)} satisfaz as seguintes condições:

  • {f(x,y)} é real, finita, simples valorada e continua em todos os pontos de uma região {\omega} do plano {xy} (podendo conter todos os pontos).
  • {\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}} é real, finita, simples valorada e continua em {\omega}.

Então, existe uma e só uma solução {y=g(x)} em {\omega} tal que {y=y_{0}}, quando {x=x_{0}}, isto é, {y(x_{0})=y_{0}}.

Demonstração: Consulte um bom livro de Análise Funcional. \Box

Uma interpretação gráfica deste teorema é que se {\omega} é uma região na qual as condições especificadas se cumprem, então por qualquer ponto {(x_{0},y_{0})} em {\sigma} passará uma e só uma curva {C} cuja tangente em qualquer ponto de {\sigma} está dada por {y'=f(x,y)}. A solução {y=g(x)} representa a equação desta curva em {\sigma}.

Exemplo 10 Este exemplo foi retirado do livro Murray Spiegel (Equações Diferenciais Aplicadas). Determine se existe uma solução única para o problema de valor inicial

\displaystyle y'=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})},\text{ }y(1)=2.

Demonstração: Temos {f(x,y)=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}, {\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}}. Podemos observar então que o conjunto solução se encontra no interior do círculo {x^{2}+y^{2}=9} e inclui o ponto {(1,2)}, então pelo teorema de existÊncia e unicidade ela é única.

\Box

— 1.3. Isoclinas ou Campos de Direcções —

Consideremos a equação diferencial

\displaystyle  y'=f(x,y) \ \ \ \ \ (4)

onde a função à direita depende tanto de {x} quanto de {y}, e saisfaz as condições do teorema de existência e unicidade. Para resolvermos esta equação, se poderia pensar em integrar ambos lados de (4) com respeito a {x} e {y}, i.e., { y(x)=\int f(x,y)dx+C}, infelizmente esta abordagem não conduz à uma solução de (4) porque o integral envolve a mesma função que se quer determinar {y(x)}.

Exemplo 11 A equação {y'=x+y} não pode ser solucionada de modo directo.

Mas, existe um caminho geométrico mais simples para obtermos as soluções da equação diferencial dada {y'=f(x,y)}.

Em cada ponto {(x_{0},y_{0})} da região {\sigma} podemos construir uma linha com tangente igual a {f(x_{0},y_{0})}, ao qual geralmente se chama elemento de linha. Ao fazermos isto para um número suficientemente grande de pontos (campos de direcções da EDO), os elementos de linha representam linhas tangentes a curva solução em cada ponto.

Desta maneira poderemos obter uma representação gráfica da solução sem mesmo resolver a equação. As isoclinas correspondem assim aos pontos onde a iclinação, ou tangente, é constante.

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Equações Diferenciais Ordinárias – aula 1

Equações Diferenciais Ordinárias

Com a descoberta do cálculo de forma independente no século 17 por Newton e Leibniz, seguiu-se uma nova abordagem a certos problemas que anteriormente pareciam insoluveis. Notou-se que estes problemas levavam a certos de equações em que as taxas de variação das grandezas a determinar dependiam de outras (geralmente do tempo), assim surgiram as primeiras equações diferenciais ordinárias.

Uma equação diferencial é uma equação que envolve derivadas de uma função desconhecida de uma ou mais variáveis. As equações diferencias ordinárias (EDOs) são equações diferencias que dependem de uma única variável. Elas são enormemente útilizadas em Modelagem na industria, principalmente nas áreas de Engenharia, Física, Ciências da Computação, Biologia, Medicina, Ciências Ambientais, Química, Economia e em outros campos que traduzem uma determinada situação física ou um conjunto de observações para um “modelo matemático”.

Existem numerosos exemplos da Engenharia (e.g. problemas de mistura), Física (e.g. lei de resfriamento de Newton, equação de Darcy para meios porosos), Biologia (e.g. sistemas predador-presa ou modelo de Lotka-Volterra) etc..

— 1. Equações Diferenciais Ordinárias Lineares de 1ª Ordem —

— 1.1. Definição e Conceitos Iniciais —

Definição 1 Uma EDO é uma equação com uma ou mais derivadas de uma função desconhecida {y=y(x)} até a ordem {n}, i.e.,

\displaystyle  F(x,y,y^{'},\cdots,y^{n})=0 \ \ \ \ \ (1)

onde {F} é continua definida num aberto {X} de {\mathbb{R}^{n+2}}.

O termo ordinária significa que todas as derivadas são tomadas em relação a uma única variável independente “{x}“.

Exemplo 1 {y^{''}+5y=x^{6}}, {y^{(IV)}+y^{'''}+2xy^{'}=0}.
Comentário 1 É conhecida do cálculo a notação {y^{'}=\frac{dy}{dx}}, que será muito utilizada nestas notas.

Ao contrário das EDOs, as EDPs (Equações Diferenciais Parciais) são equações onde ocorrem as derivadas de uma função desconhecida de uma ou mais variáveis.

Exemplo 2 A equação do calor

\displaystyle \frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=c^{2}\frac{\partial u}{\partial t}

onde {u=u(x,t)} representa a distribuição do calor numa barra ao longo do tempo.

Uma EDO é dita ser de ordem {n} se a {n}-ésima derivada da função a determinar {y} é de ordem {n}.

Exemplo 3

  • {\frac{d^{3}y}{dx^{3}}+2\frac{dy}{dx}=x} é uma EDO de ordem 3 porque a maior derivada na equação é de terceira ordem.
  • {y^{'}+y+x=0}, a equação é de ordem 1 ou primeira ordem.
Comentário 2 Em geral, uma EDO estabelece a relação entre duas grandezas, mas existem casos em que para relacionarmos estas duas grandezas existe uma terceira, nestes casos a identidade a seguir é bastante útil

\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{dy}{dx}.\frac{dx}{dt}

onde {y=y(x)} e {x=x(t)}.

Muitas vezes, uma EDO como a (Equação 1) pode ser apresentada da seguinte forma, chamada de forma normal:

\displaystyle  y^{n}=f(x,y,...,y^{n-1}). \ \ \ \ \ (2)

Exemplo 4 A équação {y^{''}=y^{'}+2x} está na forma normal.
Definição 2 Uma EDO é dita ser linear se pode ser escrita na forma

\displaystyle  c_{0}(x)y^{n}+c_{1}(x)y^{n-1}+\cdots+c_{n}(x)y=G(x) \ \ \ \ \ (3)

onde {c_{0}(x)\neq 0}. Se a equação não poder ser reduzida a forma (3), então ela é dita ser não-linear.

Exemplo 5 {y^{''}+2xy^{'}=0}.
Definição 3 Uma solução de uma EDO de ordem {n}, é qualquer função {n} vezes derivável que satisfaça a equação, i.e., lhe reduza a uma identidade.
Exemplo 6 Verifique que {y=Ce^{x}}, onde {c\neq 0}, é uma solução da equação {y'=y}. Demonstração: Para solucionarmos este problema basta lembrarmo-nos das nossas aulas de Cálculo Diferencial, mais precisamente da regra de derivação do produto de uma constante por uma função, obtemos assim {y'=Ce^{x}} já que a derivada de {e^{x}} é igual a ela mesma, logo substituindo na equação verificamos que ela se transforma numa identidade, assim {y=Ce^{x}} é uma solução da equação {y'=y}. \Box

Comentário 3 A curva (ou gráfico) da solução de uma EDO é geralmente chamada de curva solução.
Exemplo 7 Seja a equação {y'=\sin x}, a solução pode ser obtida directamente integrando ambos lados, ou seja, {y'=\frac{dy}{dx}=\sin x \Longrightarrow \int dy=\int \sin x dx \Longrightarrow y=-\cos x+c}. Obtemos desse modo uma solução dependendo de uma constante {c}, a este tipo de solução denominamos familia de soluções, a Fígura 1 a seguir mostra algumas curvas solução para essa equação para diferentes valores de {c}.

Normalmente uma EDO possui infinitas soluções aparecendo geralmente como uma função dependente de uma constante, a qual chamamos de solução geral. Mas em problemas prácticos nós estamos interessados simplesmente em soluções que satisfaçam certas condições iniciais, chamadas de soluções particulares.

Definição 4 Um Problema de Valor Inicial, ou condições iniciais, é um problema que busca determinar uma solução de uma EDO sujeita a condições sobre a função desconhecida e suas derivadas especificadas em um valor da variável independente.
Exemplo 8 A equação diferencial do exemplo anterior pode ser simplificada se nós buscarmos apenas as soluções que satisfaçam determinada condição (dita condição inicial), e.g., {y(\pi)=1}, isto pode ser interpretado geometricamente como, encontrar a curva solução que passa pelo ponto {A(\pi,1)}. No exemplo anterior fica portanto, {y=-\cos x+c \Longrightarrow y(0)=1=-\cos \pi +c \Longrightarrow c=0}, a Fígura 2 mostra a solução final {y=\cos x}.

Cada vez que se formula um PVI, existem três perguntas em relação a este que devem ser feitas:

  1. Existência.Existe uma solução da equação diferencial que satisfaça as condições dadas?
  2. Unicidade.Se existe uma solução que satisfaça a equação, ela é única?
  3. Estabilidade. A solução depende continuamente dos dados?

As condições acima são chamadas de condições de Hadamard, qualquer PVI que satisfaça as três condições acima é dito ser um problema bem proposto.

Exemplo 9 Consideremos o famoso PVI

\displaystyle y'=3y^{\frac{2}{3}},\text{ } y(2)=0

temos que a solução geral é {y=(x+c)^3}. Da condição inicial {y(2)=0} obtemos {c=-2}, assim obtemos uma solução dada por {y=(x-2)^3}.

Podemos observar que {y=0} é também uma solução da equação acima e que ela não pode ser obtida da a partir da solução geral {y=(x+c)^3} para qualquer valor da constante {c}, de modo que não é uma solução particular. Mostramos assim que a solução da equação acima não é única.

Comentário 4 As soluções que não podem ser obtidas mediante uma escolha qualquer de {c} designam-se soluções singulares. Estas soluções aparecem normalmente em certas aplicações que envolvem equações extremamente não lineares.

Por hoje nós ficamos por aqui, a partir da proxima aula vamos analisar algumas consequências derivadas do exemplo acima e também o método das isoclinas e outras interpretações geométricas, lista de problemas para esta aula vem a seguir a este post, qualquer duvida ou comentário contacte-nos.

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