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Category Archives: 17 Mecânica Quântica

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Mecânica Quântica – Exercícios de Probabilidade e Estatística


Exercício 1

  1. Para o exemplo dado no artigo Mecânica Quântica – Revisão de Probabilidade e Estatística calcule {<j>^2} e {<j^2>}:

    { {<j>^2=\left(\sum j \dfrac{N(J)}{N}\right)^2=441}}

    { {<j^2>=\sum j^2 \dfrac{N(J)}{N} =\dfrac{6434}{14}=459.6}}

  2. Determine { {\Delta j}} para cada {j}.
    { {j}} { {\Delta j=j-<j>}}
    14 { {14-21=-7}}
    15 { {15-21=-6}}
    16 { {16-21=-5}}
    22 { {22-21=1}}
    24 { {24-21=3}}
    25 { {25-21=4}}

    Assim para a variância temos

    { {\sigma ^2=\sum (\Delta j)^2 \dfrac{N(J)}{N}=\dfrac{260}{14}=18.6}}

    Logo o desvio padrão é

    { \displaystyle \sigma =\sqrt{18.6}=4.3}

    Calcule a variância e o desvio padrão usando as definições alternativas

    { {\sigma^2=<j^2>-<j>^2=459.6-441=18.6}}

    E para o desvio padrão é

    { \displaystyle \sigma =\sqrt{18.6}=4.3}

  3. Considere os primeiros { {25}} dígitos na expansão decimal de { {\pi}}. Qual é a probabilidade de obtermos cada um dos {10} dígitos assumindo que a distribuição é aleatória. Determine também o dígito mais provável, mediana, média e desvio padrão.

    Os primeiros {25} dígitos da expansão decimal de { {\pi}} são

    \displaystyle  \{3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3\}

    Assim para os dígitos temos

    { {N(0)=0}} { {P(0)=0}}
    {{N(1)=2}} { {P(1)=2/25}}
    { {N(2)=3}} { {P(2)=3/25}}
    { {N(3)=5}} { {P(3)=1/5}}
    { {N(4)=3}} { {P(4)=3/25}}
    { {N(5)=3}} { {P(5)=3/25}}
    { {N(6)=3}} { {P(6)=3/25}}
    { {N(7)=1}} { {P(7)=1/25}}
    { {N(8)=2}} { {P(8)=2/25}}
    { {N(9)=3}} { {P(9)=3/25}}

    O dígito mais provável é { {5}}. A mediana é { {4}}. A média é { {\sum P(i)N(i)=4.72}}.

    { {\sigma=2.47}}

  4. A agulha de um velocímetro é totalmente livre nas suas oscilações e ressalta perfeitamente em ambos extremos de tal modo que após sofrer um impulso a sua posição final está entre { {0}} e { {\pi}} sem qualquer preferência.
    • Qual é a densidade de probabilidade {\rho (\theta)}? Trace o gráfico de {\rho (\theta)} para {-\pi/2 \leq \theta \leq 3\pi/2}. Assegure-se que a probabilidade total é igual a {1}.

      No intervalo { {\left[0,\pi\right]}} a probabilidade da agulha cair num ângulo { {d\theta}} é { {d\theta/\pi}}. Dada a definição de densidade de probabilidade temos { {\rho(\theta)=1/\pi}}.

      Para além disso a densidade de probabilidade necessita de ser normalizada:

      \displaystyle  \int_0^\pi \rho(\theta)d\theta=1\Leftrightarrow\int_0^\pi 1/\pi d\theta=1

      que é trivialmente válido.

      O gráfico para a densidade de probabilidade é

    • Calcule { {\left\langle\theta \right\rangle}}, { {\left\langle\theta^2 \right\rangle}} e{ {\sigma}}.

      { {\begin{aligned} \left\langle\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi}{2} \end{aligned}}}

      Para { {\left\langle\theta^2 \right\rangle}} é

      { {\begin{aligned} \left\langle\theta^2 \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\theta^2}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \frac{\theta^3}{3} \right]_0^\pi\\ &= \frac{\pi^2}{3} \end{aligned}}}

      A variância é { {\sigma^2=\left\langle\theta^2 \right\rangle-\left\langle\theta\right\rangle^2 =\dfrac{\pi^2}{3}-\dfrac{\pi^2}{4}=\dfrac{\pi^2}{12}}}.

      O desvio padrão é { {\sigma=\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}}}}.

    • Calcule { {\left\langle\sin\theta\right\rangle}}, { {\left\langle\cos\theta\right\rangle}} e { {\left\langle\cos^2\theta\right\rangle}}.

      { {\begin{aligned} \left\langle\sin\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\sin\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\sin\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ -\cos\theta \right]_0^\pi\\ &= \frac{2}{\pi} \end{aligned}}}

      e

      { {\begin{aligned} \left\langle\cos\theta \right\rangle &= \int_0^\pi\frac{\cos\theta}{\pi}d\theta\\ &= \frac{1}{\pi}\int_0^\pi\cos\theta d\theta\\ &= \frac{1}{\pi} \left[ \sin\theta \right]_0^\pi\\ &= 0 \end{aligned}}}

      Deixamos { {\left\langle\cos^2\theta \right\rangle}} como um exercício para o leitor. Lembre-se que { {\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}}.

  5. Considere a densidade de probabilidade

    \displaystyle  \rho(x)=\frac{1}{2\sqrt{hx}}

    • Calcule {\left\langle x \right\rangle} , {\left\langle x^2 \right\rangle}, {s^2} e {s}.

      Para {\left\langle x \right\rangle} temos

      { {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{h}{3} \end{aligned}}}

      Para { {\left\langle x^2 \right\rangle}} temos

      { {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \int_0^h\frac{x}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\int_0^h x^{3/2}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[\frac{2}{5}x^{5/2} \right]_0^h\\ &= \frac{h^2}{5} \end{aligned}}}

      Assim a variância é

      { \displaystyle \sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{h^2}{5}-\frac{h^2}{9}=\frac{4}{45}h^2 }

      e o desvio padrão é

      { \displaystyle \sigma=\frac{2h}{3\sqrt{5}} }

    • Calcule a probabilidade de encontrarmos valores mais afastados do que um desvio padrão.

      Para a distância ser superior a dois desvios padrões temos duas possibilidades. A primeira é { {\left[0,\left\langle x \right\rangle+\sigma\right]}} e a segunda é { {\left[\left\langle x \right\rangle+\sigma,h\right]}}.

      Assim a probabilidade total é a soma das probabilidades associadas aos intervalos anteriores.

      Seja { {P_1}} a probabilidade associada ao primeiro intervalo e { {P_2}} a probabilidade associada ao segundo intervalo.

      { {\begin{aligned} P_1 &= \int_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \frac{1}{2\sqrt{h}}\left[2x^{1/2} \right]_0^{\left\langle x \right\rangle-\sigma}\\ &= \frac{1}{\sqrt{h}}\sqrt{\frac{h}{3}-\frac{2h}{3\sqrt{5}}}\\ &=\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}

      Para o segundo intervalo é

      { {\begin{aligned} P_2 &= \int_{\left\langle x \right\rangle+\sigma}^h\frac{1}{2\sqrt{hx}}dx\\ &= \ldots\\ &=1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}} \end{aligned}}}

      Assim a probabilidade total { {P}} é { {P=P_1+P_2}}

      { {\begin{aligned} P&=P_1+P_2\\ &= \sqrt{\frac{1}{3}-\frac{2}{3\sqrt{5}}}+1-\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{2}{3\sqrt{5}}}\\ &\approx 0.3929 \end{aligned}}}

  6. Para a seguinte densidade de probabilidade { {\rho(x)=Ae^{-\lambda(x-a)^2}}}
    • Determine { {A}}.

      Fazendo a mudança de variável { {u=x-a}} ({ {dx=du}}) a condição de normalização fica

      { {\begin{aligned} 1 &= A\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &= A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \end{aligned}}}

      Assim para { {A}} é

      { \displaystyle A=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}}

    • Determine { {\left\langle x \right\rangle}}, { {\left\langle x^2 \right\rangle}} e { {\sigma}}.

      { {\begin{aligned} \left\langle x \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du+a\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &=\sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( 0+a\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &= a \end{aligned}}}

      Para entender porque { {\displaystyle\int_{-\infty}^\infty ue^{-\lambda u^2}du=0}} veja o artigo variáveis mudas

      Para { {\left\langle x^2 \right\rangle}} é

      { {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right) \end{aligned}}}

      ora { {\displaystyle 2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du=0}} como já vimos.

      Para o terceiro termo é { {\displaystyle a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du=a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}}}.

      O primeiro integral é o mais difícil mas podemos utilizar uma técnica especial para o resolver:

      { {\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du &= \int_{-\infty}^\infty-\frac{d}{d\lambda}\left( e^{-\lambda u^2} \right)du\\ &= -\frac{d}{d\lambda}\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du\\ &=-\frac{d}{d\lambda}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}\\ &=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}} \end{aligned}}}

      Assim é

      { {\begin{aligned} \left\langle x^2 \right\rangle &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\int_{-\infty}^\infty (u+a)^2e^{-\lambda u^2}du\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left(\int_{-\infty}^\infty u^2e^{-\lambda u^2}du+2a\int_{-\infty}^\infty u e^{-\lambda u^2}du+a^2\int_{-\infty}^\infty e^{-\lambda u^2}du \right)\\ &= \sqrt{\frac{\lambda}{\pi}}\left( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\pi}{\lambda^3}}+0+a^2\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}} \right)\\ &=a^2+\frac{1}{2\lambda} \end{aligned}}}

      A variância é

      \displaystyle  \sigma^2=\left\langle x^2 \right\rangle-\left\langle x \right\rangle^2=\frac{1}{2\lambda}

      Logo o desvio padrão é

      \displaystyle  \sigma=\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}

— 1. Ficheiro Mathematica —

A resolução do segundo exercício foi feita com recurso ao software Mathematica. De forma a ajudar os leitores que eventualmente usam esse mesmo software publico aqui o código utilizado:

 // N[Pi, 25]

piexpansion = IntegerDigits[3141592653589793238462643]

digitcount = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitcount, Count[A, i]]]

digitcount

digitprobability = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitprobability, Count[A, i]/25]]

digitprobability

digits = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digits, i]]

digits

j = N[digits.digitprobability]

digitssquared = {}

For[i = 0, i <= 9, i++, AppendTo[digitssquared, i^2]]

digitssquared

jsquared = N[digitssquared.digitprobability]

sigmasquared = jsquared - j^2

std = Sqrt[sigmasquared]

deviations = {}

deviations = piexpansion - j

deviationssquared = (piexpansion - j)^2

variance = Mean[deviationssquared]

standarddeviation = Sqrt[variance] 

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Mecânica Quântica – Revisão de Probabilidade e Estatística

align=”center”> — 22. Revisão de Probabilidade e Estatística —

— 22.1. Probabilidade —

No final do artigo anterior vimos o papel fundamental que os conceitos de probabilidades e estatística têm na construção e interpretação da Mecânica Quântica. Uma vez que estes conceitos têm um papel tão fundamental em Mecânica Quântica é então necessário fazer uma breve revisão para que possamos melhor entender e manejar ateoria que vamos construir.

— 22.1.1. Variáveis discretas —

Vamos imaginar que temos uma sala de aulas com o seguinte conjunto de alunos:

  • uma pessoas de 14 anos de idade
  • uma pessoa com 15 anos de idade
  • 3 pessoas com 16 anos de idade
  • 2 pessoas com 22 anos de idade
  • 5 pessoas com 25 anos de idade

(e por favor não nos perguntem porque encontramos pessoas com idades tão díspares na mesma sala de aulas)

Seja { {N(j)}} o número de pessoas com idade { {j}}. Então

  • { {N(14)=1}}
  • { {N(15)=1}}
  • { {N(16)=3}}
  • { {N(22)=2}}
  • { {N(25)=5}}

Adoptando a definição anterior podemos calcular o número total de alunos na sala de aula através da seguinte expressão:

\displaystyle N=\sum_{j=0}^{\infty}N(j) \ \ \ \ \ (27)

 

Podemos representar os dados anterior com recurso a um histograma

Adoptando uma definição frequencista do conceito de probabilidade podemos fazer as seguintes definições:

Definição 8 A probabilidade de um evento { {j}}, { {P(j)}} é proporcional ao número de elementos que têm a propriedade { {j}} e inversamente proporcional ao número de elementos ({ {N}}) sob estudo.

\displaystyle P(j)=\frac{N(j)}{N} \ \ \ \ \ (28)

É fácil ver que a partir das equações 28 e 27 vem que

\displaystyle \sum_{j=0}^{\infty}P(j)=1 \ \ \ \ \ (29)

 

Após definirmos { {P(j)}} podemos também definir o valor mais provável para { {j}}.

Definição 9 O valor mais provável de {j} é aquele para o qual {P(j)} tem um máximo.
Definição 10 o valor médio de {j}, representado por , é

\displaystyle <j>=\sum_{j=0}^{\infty}jP(j) \ \ \ \ \ (30)

Caso estejamos interessados em calcular o valor médio de { {j^2}} a expressão apropriada é

\displaystyle <j^2>=\sum_{j=0}^{\infty}j^2P(j)

Podemos escrever com toda a generalidade que o valor médio para uma função de { {j}}, denotada por { {f(j)}} é dado por

\displaystyle <f(j)>=\sum_{j=0}^{\infty}f(j)P(j) \ \ \ \ \ (31)

 

De modo a avançarmos no nosso estudo da probabilidades temos agora que introduzir algumas definições que se debruçam sobre questões de simetria das distribuições de probabilidades

Definição 11 A mediana é o valor de {j} para o qual a probabilidade de ter um valor maior que {j} é o mesma que a probabilidade de ter um valor menor que {j}.

Vimos então uma definição que discorre sobre a simetria de uma distribuição. Temos então que introduzir uma nova definição que nos dá indicações sobre a forma de uma distribuição.

Mas antes vamos olhar para dois exemplos que servirão como motivação:

e

Como podemos ver ambos os histogramas têm a mesma mediana, a mesma média, o mesmo valor mais provável e o mesmo número de elementos. Não obstante é visualmente óbvios que os histogramas representam dois tipos diferentes de fenómenos.

O primeiro histograma representa um fenómeno onde os valores disponíveis apresentam uma forte concentração em torno do valor central.

O segundo histograma representa por outro lado uma fenómeno com uma distribuição mais alargada.

A existência desta diferença em duas distribuições que de outro modo seriam iguais indica-nos a necessidade de introduzirmos uma definição que sirva para medir o espalhamento de uma distribuição.

Uma primeira ideia seria utilizarmos a diferença relativamente à média para cada valor individual:

\displaystyle \Delta j=j-<j>

Tal abordagem não iria funcionar uma vez que para distribuições aleatórias estaríamos a espera de encontrar valores igualmente positivos para { {\Delta j}} e como tal uma medida global seria sempre {0} ou muito próxima de {0}.

Uma maneira de evitarmos este problema seria utilizarmos { {|\Delta j|}} e embora este abordagem funcione tem a desvantagem de estarmos a utilizar uma função que não é diferenciável.

Se utilizarmos o quadrado dos desvios na nossa definição conseguimos evitar estes dois problemas.

Definição 12 A variância de uma distribuição (assumindo que a distribuição tem um valor médio), { {\sigma ^2}}, é dada pela expressão

\displaystyle \sigma ^2=<(\Delta j)^2> \ \ \ \ \ (32)

Definição 13 O desvio padrão, { {\sigma}}, de uma distribuição é dado pela raíz quadrada da sua variância.

Para a variância temos também a seguinte expressão

\displaystyle \sigma ^2=<j^2>-<j>^2 \ \ \ \ \ (33)

 

Uma vez que pela definição 12 a variância é sempre não-negativa é válido

\displaystyle <j^2> \geq <j>^2 \ \ \ \ \ (34)

 

Onde a igualdade é válida quando a distribuição é composta por eventos que têm sempre o mesmo valor.

— 22.1.2. Variáveis contínuas —

Até agora assumimos sempre que as variáveis que estamos a estudar assumem somente valores discretos. Para generalizarmos as nossas definições e resultados para o caso contínuo temos somente que ter em atenção que as probabilidades para eventos individuais assumem sempre valores nulos e como tal só faz sentido falarmos de probabilidades para intervalos.

Com isso em mente e assumindo que estamos a lidar com distribuições suficientemente bem comportadas sabemos que a probabilidade de um evento estar entre { {x}} e { {x+dx}} é

\displaystyle \rho(x)dx \ \ \ \ \ (35)

 

A quantidade { {\rho (x)}} é chamada de densidade de probabilidade.

Consequentemente as generalizações para os outros resultados são:

\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x)dx=1 \ \ \ \ \ (36)

 

\displaystyle <x>=\int_{-\infty}^{+\infty}x\rho(x)dx \ \ \ \ \ (37)

 

\displaystyle <f(x)>=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\rho(x)dx \ \ \ \ \ (38)

 

\displaystyle \sigma ^2=<(\Delta x)^2>=<x^2>-<x>^2 \ \ \ \ \ (39)

 

 

Mecânica Quântica – Introdução II

Como vimos no artigo Mecânica Quântica – Introdução uma série de resultados experimentais inesperados e em franco desacordo com a vigente toeria clássica forçou os físicos do final do séc. {XIX} e princípio do séc. {XX} a repensarem os princípios e axiomas das teorias física que até então tinham utilizado. Para além disso foi também bastante aparente que o formalismo matemático utilizado até então era desajustado à descrição dos fenómenos que se apresentavam. O objectivo deste artigo é fazer uma introdução a estes novos princípios e concepções.

— 20.5. Observação e medição em Mecânica Quântica —

Já vimos que no domínio de validade da Mecânica Quântica devemos sempre tomar em conta as possibilidades reais de medição dos sistemas em estudo. Neste campo devemos ter em atenção duas características importantes. Por um lado o sistema responsável por executar o acto de medição é na maior parte das vezes um sistemas descrito pelas habituais leis clássicas da Física. Por outro lado o sistema em estudo é regido pelas leis da Mecânica Quântica e é da interacção entre o sistema de medição e o sistema em estudo que resulta o nosso conhecimento sobre o mundo quântico.

Assim sendo para sistematizarmos os resultados experimentais numa teoria coerente necessitamos de tecer considerações gerais sobre as propriedades dos sistemas em estudo que resultam do estudo das interacções citadas acima. O sucesso ou fracasso da teoria por nós construida será então medido pelo acerto das nossas previsões teóricas quando confrontadas com resultados experimentais.

Recorrendo novamente ao tema das medições em mecânica quântica é fácil deduzirmos desde já algumas entidades matemáticas que terão que forçosamente fazer parte da nossa teoria Física:

  1. Operadores: Pelo que vimos atrás uma medição permite-nos discernir o valor de uma grande física e podemos sempre realizar as operações de medição de uma uma forma sequencial. Sabemos também que o próprio acto de medição perturba de forma imprevisível o sistema em estudo. Imaginemos então que vamos realizar duas medições que vamos representar pelos símbolos {A} e {B}. Vamos agora pensar que qual será o resultado de realizarmos em primeiro lugar a medição {A} e em segundo lugar a medição {B}. Podemos representar tal como sendo {BA}. Por outro lado podemos tomar a via inversa e em primeiro lugar medir {B} e depois medir {A}, que vamos representar por {AB}.

    Visto que cada medição perturba o sistema de uma forma imprevisível sabemos que em geral não teremos {AB=BA}. Em primeiro lugar temos que dizer que tal acto está em total desacordo com a Mecânica Clássica onde temos sempre {AB=BA}. Em segundo lugar temos que discernir qual é o objecto matemático que nos permite representar as grandezas físicas para que possamos ter {AB \neq BA}.

    Tal desigualdade é perfeitamente possível quando usamos operadores em vez de utilizarmos números reais . Para além disso vimos também que para as experiências realizadas era sempre válido o Princípio de Sobreposição. Assim sendo os operadores que vamos utilizar serão operadores lineares.

  2. Probabilidades: como já foi visto o resultado das medições é imprevisível. Ora isto indica que a teoria quântica irá utilizar de forma extensiva o formalismo de probabilidades e estatística.

  3. Funções de estado: Já vimos que vamos utilizar operadores para representar o acto de medição. Sabemos também da matemática que os operadores agem sobre funções. Por último já vimos que o acto de medição perturba o estado físico de um dado sistema. Assim sendo vemos que é necessário a introdução de funções que descrevam o estado físico de um sistema. Estas funções são chamadas de funções de estado (ou ainda funções de onda).

— 21. Algumas experiências fundamentais —

Antes de apresentarmos de uma forma sistemática as definições iniciais e os axiomas com que vamos construir a Mecânica Quântica pretendemos apresentar um conjunto de experiências que tornam plausíveis a introdução destas novas definições e axiomas.

— 21.1. Existência e estabilidade dos átomos —

De acordo com a teoria clássica do Electromagnetismo uma carga eléctrica que descrevesse um movimento acelerado deveria perder energia sobre a forma de radiação electromagnética. Uma vez que o electrão descreve um movimento curvilíneo em torno do núcleo ele deveria emitir radiação diminuindo a sua distância ao núcleo num processo contínuo até que embatesse no núcleo. Se tal acontece os átomos não seriam estáveis.

No entanto o que nós observamos é que os electrões não podem ocupar uma distância qualquer face ao núcleo estando limitados a distâncias definidas sendo que só podiam transitar de uma distância para outra distância emitindo ou absorvendo um quantum de energia electromagnética.

Empiricamente foi determinado por Balmer que a fórmula que descreve a energia de transição entre diferentes níveis atómicos é

\displaystyle  E_{nm}\propto \left( \frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2} \right)

Sendo que a energia é positiva quando o electrão absorve energia e transita para um nível de energia mais elevado e é negativa quando o electrão emite energia e transita para um nível de energia mais baixo.

Por forma a explicar a estabilidade dos átomos no contexto da Teoria Quântica Inicial temos os postulados de BohrSommerfeld:

  1. As trajectórias permitidas aos electrões em torno do núcleo de um átomo são discretas.
  2. Nestas trajectórias os invariantes adiabáticos são quantizados.

    \displaystyle  \oint \vec{p}\cdot d\vec{r}=2\pi\hbar n

  3. Uma transição de um electrão de um nível de energia para outro nível de energia só pode ocorrer se o fotão absorvido ou emitido tiver uma energia igual à diferença de energia entre os níveis.

— 21.2. Efeito Fotoeléctrico —

Como já foi dito Einstein foi capaz de demonstrar que a variação de entropia de um corpo negro era análoga á variação de entropia de um gás ideal composto por partículas independentes. Deste modo é perfeitamente natural concluir que a energia associada à luz é composta por pacotes de energia e não só que é emitida e absorvida em pacotes de energia discretos como tinha assumido Planck aquando da sua derivação para a equação de distribuição de energia de um corpo negro.

Ora esta conclusão de Einstein permitia explicar de uma forma muito elegante o efeito fotoeléctrico. Sabemos que Hertz estabeleceu que placas metálicas quando iluminadas por luz ultravioleta emitiam cargas eléctricas negativas. Posteriormente J.J. Thomson demonstrou que as partículas carregadas negativamente eram electrões.

Finalmente temos Lenard que através de várias experiências conseguiu descobrir um conjunto de factos experimentais muito importantes sobre os electrões emitidos através do efeito foto-eléctrico. Ele descobriu que os electrões eram emitidos com um conjunto contínuo de valores possíveis para a energia cinética e que a energia cinética máxima, {K_{\mathrm{max}}}, dos electrões não dependia da intensidade da luz. Lenard foi também capaz de discernir que a energia cinética máxima era directamente proporcional à frequência da luz. Finalmente para cada material estudado havia uma frequência mínima abaixo da qual não se observava a libertação de electrões. Finalmente Lenard observou também que o intervalo de tempo entre a radiação da placa metálica com a luz e o início de medição de uma corrente é muito inferior às previsões clássicas.

Do ponto de vista da teoria electromagnética que via a luz como sendo uma onda que se propagava tais resultados experimentais não faziam sentido. No entanto Einstein tomou como ponto de partida os seguintes factos:

  1. A luz é constituída por corpúsculos
  2. A energia de cada corpúsculo depende da frequência da luz (conceito este que é inerentemente ondulatório) através da seguinte relação

    \displaystyle E=\hbar\omega

Se tomarmos como hipótese o facto de que os electrões estão ligados à placa por uma energia de ligação e que para vencer essa energia de ligação a energia do fotão que incide tem que ser superior à energia de ligação, {W} também chamada de função de trabalho, (na linguagem do átomo de Bohr-Sommerfeld dizemos que o electrão transita para {m=+\infty}) do electrão ao material imediatamente entendemos que no contexto em que a luz é composta por corpúsculos a explicação dos três factos citados é imediata.

Em primeiro lugar percebemos logo porque não há libertação de electrões quando a frequência está abaixo de um determinado valor. Em segundo lugar entendemos também que uma vez que a libertação de um electrão se dá devido a um choque com um fotão e não à absorção de radiação que se consiga medir imediatamente a corrente eléctrica desde que a frequência seja suficientemente alta.

Resumindo a equação que explica o efeito fotoeléctrico segundo Einstein é

\displaystyle K=\hbar\omega-W

— 21.3. Experiência de Stern-Gerlach —

Após discutirmos de forma breve os resultados experimentais anteriores vamos agora olhar para a experiência de SternGerlach. Esta experiência foi realizada em 1922 e de certa forma é a experiência mais simples que podemos fazer e que mais nos revela sobre o que é a Mecânica Quântica.

Na experiência original átomos de prata eram aquecidos dentro de um forno para que a sua distribuição de momentos magnéticos fosse aleatória. Após isso as partículas eram expelidas do forno sendo sujeitadas a um colimador para que tivessem a mesma direcção {z}. Após passarem pelo colimador as partículas eram sujeitadas a um campo magnético não homogéneo. A interacção com este campo electromagnético não homogéneo fazia com que aparecesse uma força resultante não nula que interagia com o momento magnético dos átomos de prata de tal forma que cada átomo sofreria uma deflexão. Finalmente as partículas deflectidas atingiam um alvo e a sua posição final era determinada.

De acordo com a teoria clássica estamos a espera que os átomos de prata tenham uma distribuição perfeitamente aleatória dos seus momentos magnéticos após saírem do forno. Assim sendo esperamos que os momentos magnéticos tenham valores desde o perfeito alinhamento com a força magnética resultante até ao perfeito anti-alinhamento com a força magnética. Se isto fosse verdade veríamos que no alvo final os átomos estariam distribuídos ao longo de uma mancha:

No entanto a Natureza tem uma surpresa para nós e o resultado observado é

Ao invés de observarmos uma distribuição contínua vemos que os átomos estão dispostos em duas manchas, como se os únicos valores permitidos para os seus momentos magnéticos fossem estar paralelos ao campo magnético não homogéneo ou então serem anti-paralelos ao campo magnético não homogéneo.

— 21.3.1. Análise matemática à experiência de Stern-Gerlach —

Após a discussão qualitativa da secção anterior à experiência de Stern-Gerlach vamos agora fazer uma análise mais quantitativa.

Um átomo de prata é constituído por um núcleo de protões e neutrões e {47} electrões. Destes electrões sabemos que {46} formam uma nuvem electrónica esfericamente simétrica com um momento angular globalmente nulo.

Assim sendo o momento angular total de um átomo de prata deve-se ao spin do último electrão, que vamos representar por {S} (nesta discussão podemos desprezar o spin do núcleo). Deste modo podemos dizer que o momento magnético do átomo, que vamos representar por {\mu}, se deve ao momento magnético do spin do electrão isolado:

\displaystyle  \mu \propto S

Sabemos que a energia de interacção do momento magnético com o campo magnético {B} é

\displaystyle  -\mu \cdot B

Uma vez que as partículas se deslocam ao longo do eixo {z} a componente da força segundo esse eixo é

\displaystyle  F_z=\frac{\partial}{\partial z}(-\mu \cdot B)\approx \mu _z \frac{\partial B_z}{\partial z}

De acordo com o aparato experimental que discutimos a experiência de Stern-Gerlach mede a componente {z} de {\mu}, ou, dito de forma perfeitamente equivalente, mede a componente {z} de {S} a menos de uma factor de proporcionalidade.

Vemos então que na perspectiva clássica estaríamos a espera de ver que os valores de {\mu _z} distribuídos entre {-|\mu|} e {|\mu|}, o que é a banda contínua que vemos na primeira figura.

No entanto o que observamos é que os valores tomados pelos átomos de prata somente podem ser {-|\mu|} e {|\mu|} (fenómeno chamado de quantização do espaço na Primeira Teoria Quântica). Visto que {\mu} pode ser identificado com {S} a menos de uma factor de proporcionalidade isto quer dizer que o spin de um electrão {S} só pode tomar dois valores distintos para a sua componente {z}.

Claro que o facto de termos escolhido o eixo {z} nada tem de especial e como tal podíamos ter escolhido {x} ou {y} como sendo a direcção de propagação dos átomos. Assim sendo podíamos ter analisado as componentes {S_x} ou {S_y} do spin do electrão e ter chegado à conclusão que a interacção com o campo magnético separaria as componentes em análise em somente duas opções.

Assim sendo a experiência de Stern-Gerlach permite-nos deduzir uma propriedade muito importante do spin do electrão:

O spin do electrão é uma grandeza quantizada.

— 21.3.2. Experiências de Stern-Gerlach sequenciais —

De forma a podermos ganhar mais conhecimento sobre os fenómenos quânticos vamos agora analisar o que acontece a um feixe de átomos após ser sujeito a passar por várias experiências de Stern-Gerlach (ESG) que estão dispostas de forma sequencial.

Vamos supor que após realizarmos a primeira ESG utilizamos uma barreira que não permite a passagem de átomos que estejam no estado {S_{z^-}}. Assim sendo, se realizarmos uma segunda ESG no feixe de átomos resultante segundo o eixo {z} estamos à espera de somente observar {S_{z^+}}. E o resultado experimental é:

o que confirma a nossa suspeita.

Queremos agora analisar o que acontece quando fazemos duas ESG sequenciais mas sendo que elas dizem respeito a leitura do spin do electrão segundo eixos diferentes. Em primeiro lugar vamos fazer o feixe do de átomos passar por uma ESG segundo o eixo {z} para depois passar por uma ESG segundo o eixo {x}. Neste caso assumimos que os eixos {x} e {z} são independentes entre si e como tal esperamos encontrar {S_{x^+}} e {S_{x^-}}, sendo que ambas as hipóteses são equiprováveis. Após realizarmos a experiência é este o resultado:

Para terminar vamos alisar o que acontece após realizarmos {3} ESG sequenciais. As duas primeiras ESG são as que realizámos no exemplo anterior com o pormenor adicional que desta vez bloqueamos a componente {S_{x^+}} após a segunda ESG. Uma vez que tínhamos inicialmente bloqueado a componente {S_{z^-}} estamos a espera do só encontrarmos {S_{z^+}} após a terceira ESG.

No entanto é isto o que a Natureza nos reserva:

Este resultado é totalmente surpreendente. Como podemos nós estar novamente a observar {S_{z^-}}?!

Segundo parece a Mecânica Quântica está a dizer-nos que não podemos determinar {S_z} e {S_x} simultaneamente (à semelhança de não podermos determinar simultaneamente a posição e momento linear de uma partícula), pois o facto de termos determinado de forma absoluta qual a componente de {S_x} destruiu a informação que tínhamos sobre {S_z}.

É claro nos exemplos apresentados que a situação retratada não se deve à limitações experimentais e é sim uma característica fundamental da Mecânica Quântica.

Para além disso podemos também ver com estas experiências que nunca somos capazes de determinar exactamente qual será a componente de {S_z} que vamos observar para um átomo individual. O que podemos sim é determinar que cada componente tem uma probabilidade de {50 \%} de ser medida.

Mecânica Quântica – Introdução

— 20. Introdução à Mecânica Quântica —

Ao perscrutarem o que se escondia nas escalas mais pequenas da Natureza os físicos do final do século XIX foram obrigados a repensar muito sobre o que achavam que sabiam sobre o mundo que os rodeava.

É sempre difícil escolher o ponto de viragem no que diz respeito a mudanças de paradigma, mas acho que não é muito errado se associarmos o início da Teoria Quântica à função {J(T,\nu)} derivada por Planck.

No que segue vamos fazer uma muito breve introdução histórica à Mecânica Quântica.

— 20.1. Breve História da Mecânica Quântica —

— 20.1.1. Radiação de Corpo Negro —

Por argumentos puramente termodinâmicos Kirchhoff havia sido capaz de demonstrar que para um corpo negro a energia total emitida dependia somente da temperatura e frequência. Simbolicamente {E=J(T,\nu)}.

Após este primeiro avanço, que apesar de ser parcial não pode de modo algum ser menosprezado, ficou como trabalho para a comunidade de físicos derivar qual a expressão analítica de {J(T,\nu)}.

Aqui as coisas complicaram-se ligeiramente porque os físicos tinham duas expressões analíticas. Uma, a Lei de Rayleigh-Jeans, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito baixos e a Lei de Wien, que na verdade não era uma lei, mas sim um palpite, que tinha um excelente acordo com os resultados experimentais para valores de frequência muito altos.

Este estado de coisas não era satisfatório para a comunidade de físicos e a busca de uma única expressão analítica que descrevesse a radiação de corpo negro em ambos os regimes de frequência assim como nos regimes intermédios continuava.

Posteriormente temos a entrada em cena de Max Planck que consegue derivar uma única expressão que se adequava a todos os resultados experimentais. Para conseguir tal feito Planck teve que admitir que um corpo negro era composto por osciladores cuja energia só podia ser emitida ou absorvida em múltiplos de uma quantidade universal.

Não obstante este brilhante resultado teórico, nos primeiros tempos Planck pensava que a sua arrojada hipótese nada mais era que um truque matemático que lhe permitia derivar a expressão correcta e que os osciladores por ele introduzidos eram meros auxiliares de cálculo e não tinham uma existência física real.

— 20.1.2. Efeito Fotoeléctrico —

Através de estudos experimentais por Hertz ficou demonstrado sem qualquer margem para dúvidas que quando a radiação electromagnética incide num material metálico é possível libertar cargas eléctricas da superfície do material. Pouco tempo depois Hallwachs comprovou que as cargas emitidas eram negativas e finalmente Thompson demonstrou que as cargas emitidas eram electrões.

O último passo dado na compreensão experimental do efeito fotoeléctrico foi dado por Lenard que demonstrou que os electrões libertados pela radiação electromagnética tinham as seguintes propriedades:

  • A energia cinética dependia da frequência da radiação emitida.
  • A energia cinética não dependia da intensidade da radiação emitida
  • Existia um valor mínimo de frequência que permitia a libertação de electrões.

Segundo os preceitos da teoria clássica do electromagnetismo todas estas propriedades são totalmente incompreensíveis. A resolução deste conflito entre teoria e resultados experimentais era, sem dúvida alguma, algo que necessitaria da introdução de novas ideias na Física Teórica.

Inspirado no trabalho de Planck, Einstein demonstrou em primeiro lugar que a variação de entropia na radiação de um corpo negro era análoga à variação de entropia de um gás ideal composto por partículas independentes. Ou seja, a radiação electromagnética tinha para algumas das suas manifestações um carácter granular. Isto quer dizer que não só a radiação electromagnética era emitida e absorvida discretamente, como Planck tinha suposto, mas que também se propagava em pacotes discretos de energia.

Após isto Einstein assume como válida a hipótese de Planck que a energia de cada oscilador de radiação electromagnética é múltipla de uma constante universal e torna a explicação de todos os resultados experimentais associados ao efeito fotoeléctrico um exercício trivial.

Podemos resumir a contribuição de Einstein para a resolução desta questão dizendo que deu um carácter corpuscular a uma entidade que até então tinha um carácter ondulatório (como sempre a história verdadeira é um bocado mais complicada, mas por questões de brevidade vamos fingir que de facto é assim).

Estes resultados inspiraram um jovem físico francês, de Broglie, que propôs que se entidades físicas que tinham um carácter ondulatório podiam ter um carácter corpuscular, também entidades físicas que tinham um carácter corpuscular poderiam ter um carácter ondulatório.

Esta previsão foi comprovada experimentalmente através da observação de padrões de difracção obtidos com feixes de electrões.

— 20.2. Primeira Teoria Quântica —

A chamada Primeira Teoria Quântica era na verdade semi-clássica: um sistema de proposições ad hoc que incorporavam pressupostos clássicos e a sua respectiva modificação de modo a que os resultados experimentais da escala atómica pudessem ser compreendidos no novo esquema teórico que estava a nascer.

A figura mais marcante é sem dúvida alguma Niels Bohr, e as prescrições mais marcantes dessa altura são os seus princípios.

Dos vários que ele formulou vamos apenas concentrar-nos no chamado Princípio da Complementaridade que diz que ao medir as propriedades de um dado sistema físico se observa o seu carácter ondulatório ou então se observa o seu carácter corpuscular.

Este princípio é necessário uma vez que sempre que se tentava observar experimentalmente simultaneamente o carácter ondulatório e corpuscular de uma entidade quântica tal era impossível ainda que teoricamente nada havia que impedisse isso.

— 20.3. Novos resultados, novas concepções —

Após a introdução de carácter mais popular que fizemos nas secções anteriores à Teoria Quântica vamos agora expor de forma mais estruturada a génese da teoria quântica.

Sabemos que quando realizamos uma experiência com um sistema físico de forma a determinarmos qual o valor de uma determinada grandeza o que nós estamos de facto a fazer é a interagir com o sistema. De uma forma ligeiramente mais formal vamos dizer:

O acto de efectuarmos uma medição num sistema físico introduz uma perturbação nos sistema.

Até agora nós temos utilizado o conceito de sistema mecânico na nossa análise de sistemas físicos. Olhando de forma crítica para esse conceito apercebem-nos do seguinte:

  1. Em alguns casos a perturbação pode tornar-se tão pequena quanto se queira. Ou seja, facto de existir um limite de exactidão para o aparelho de medição que estamos a usar é inerente ao aparelho que está a ser utilizado e não à teoria física que sustenta a motivação para a nossa experiência.
  2. Existem algumas perturbações cujo efeito não pode ser desprezado. Ainda assim podemos calcular exactamente qual o valor dessa perturbação e compensá-lo no valor da quantidade que está a ser medida.

Assim podemos dizer que a nossa Teoria da Mecânica Clássica é causal e determinista.

Não obstante os seus inúmeros sucessos a nossa teoria clássica deparou-se com algumas nuvens negras:

  1. Radiação do corpo negro.
  2. Efeito fotoeléctrico.
  3. O princípio de combinação de Rydberg?Ritz.
  4. A existência e estabilidade dos átomos
  5. A experiência de Stern-Gerlach.
  6. A difracção de electrões.

A persistência destes resultados experimentais e o falhanço em acomodá-los na teoria clássica indicava que era necessário efectuar uma revolução dos conceitos utilizados na Física:

  1. Entidades corpusculares evidenciavam um comportamento aleatório.
  2. Entidades ondulatórias evidenciavam um comportamento corpuscular.
  3. A existência de um comportamento estatístico em fenómenos atómicos e sub-atómicos que parecia ser inerente à Natureza.
  4. A necessidade de se repensar o acto de medição visto começar a ser mais evidente que algumas perturbações não se podiam fazer tão pequenas quanto se queria.

— 20.4. A Experiência da Dupla Fenda —

Para tornar mais concreta a discussão anterior vamos olhar com mais cuidado para uma experiência que demonstra muito bem o choque entre as duas concepções que temos vindo a discutir.

— 20.4.3. Duas Fendas e Partículas —

Imaginemos que temos uma situação como a retratada na figura abaixo mas desta vez o que incide nas fendas não são ondas mas sim partículas.

Nesta situação as partículas passam pela fenda 1 ou pela fenda 2. As partículas que passam pela fenda 1 são responsáveis pela curva de probabilidades {P_1} enquanto que as partículas que passam pela fenda 2 são responsáveis pela curva de probabilidades {P_2}. A curva de probabilidades resultante {P_{12}} é simplesmente a soma das curvas {P_1} e {P_2}.

— 20.4.4. Duas Fendas e Ondas —

Se fizermos passar uma onda por duas fendas o que se obtém é:

Neste caso a intensidade das ondas é a quantidade que interessa estudar. Temos a curva de intensidades {I_1} que é causado pela fenda 1 e a curva de intensidades {I_2} que é causada pela fenda 2. A intensidade resultante no entanto é {I_{12}=|h_1+h_2|^2= I_1+2I_1I_2 \cos \theta}. O último termo é responsável pela interacção da onda proveniente da fenda 1 com a onda proveniente da fenda 2. Assim sendo é este termo que é responsável pelo padrão de interferência.

— 20.4.5. Duas Fendas e Electrões —

Agora que estamos familiarizados com o comportamento de ondas e partículas vamos estudar o movimento de raios de electrões a passar por duas fendas. Pelo que se sabe dos electrões eles são partículas e como tal esperamos encontrar um comportamento igual ao representado na figura abaixo. No entanto isto é o que a Natureza tem para nós:

No caso dos electrões temos novamente que pensar em termos de curvas de probabilidades e curvas de probabilidades são inerentes ao conceito de partículas. Contudo o que nós observamos é um padrão de interferências e isso é inerente a ondas…

Para podermos explicar os padrões que vemos temos que assumir que a cada probabilidade {P_i} está associada uma amplitude de probabilidade {\phi_i}. Para calcularmos a probabilidade devemos calcular o módulo quadrado da amplitude de probabilidade {P_i=\phi_i^2}. Assim antes de mais devemos calcular a soma da amplitude de probabilidades de passar pela fenda ou de passar pela fenda 2 e só depois devemos calcular o módulo quadrado desta amplitude para obtermos a probabilidade de um electrão passar pela fenda 1 ou de passar pela fenda 2: {P_{12}=|\phi_1+\phi_2|^2}.

Mecânica Quântica – Revisões VI

— 19. Resolução de Exercícios —

Exercício 2 Escolha o conjunto de coordenadas generalizadas que especifica totalmente o estado mecânico de cada um dos sistemas:

  1. Uma partícula de massa {m} que se move ao longo de uma elipse.

    Seja { {x=a\cos\theta}} e { {y=b\sin\theta}}. Então a coordenada generalizada é { {\theta}}. Para o caso do leitor ter ficado surpreso com o facto de só precisarmos de uma coordenada para descrevermos um sistema que aparentemente é bidimensional lembre-se que a nossa partícula está restringida a mover-se ao longo de uma linha que ainda que seja curva não deixa de ser unidimensional. Outra maneira de ver é pensando que temos {2} coordenadas originais e {1} equação de ligação. Assim pelo que vimos em Mecânica Quântica Revisões IV isto quer dizer que temos {2-1=1} graus de liberdade, logo só precisamos de uma coordenada generalizada para descrever os estado mecânico do sistema.

  2. Um cilindro que se move num plano inclinado.

    Se o cilindro descreve um movimento de rotação precisamos de { {x}} a distância percorrida e { {\theta}} que é o ângulo de rotação. Se o cilindro não tem um movimento de rotação só precisamos de { {x}}.

  3. Duas massas num pêndulo duplo

    As coordenadas generalizadas são { {\theta_1}} e { {\theta_2}}.

Exercício 3 Derive as transformações de equações para um pêndulo duplo.

Temos:

  • { {x_1=l_1\cos\theta_1}}
  • { {x_2=l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2}}
  • { {y_1=l_1\sin\theta_1}}
  • { {y_2=l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2}}

Exercício 4 Mostre que é:

\displaystyle  {\dfrac{\partial \dot{\vec{r}}_\nu}{\partial \dot{q}_\alpha}=\dfrac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}}

Temos

{ {\begin{aligned} \vec{r}_\nu&=\vec{r}_\nu(q_1,q_2,\cdots,q_n,t)\Rightarrow \\ \dot{\vec{r}_\nu}&=\dfrac{\partial\vec{r}_\nu }{\partial q_1}\dot{q}_1+\cdots+\dfrac{\partial\vec{r}_\nu }{\partial q_n}\dot{q}_n+\dfrac{\partial\vec{r}_\nu}{\partial t} \Rightarrow \\ \dfrac{\partial \dot{\vec{r}}_\nu}{\partial\dot{q}_\alpha}&=\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha} \end{aligned}}}

Que é o resultado pretendido

Exercício 5 Considere um conjunto de partículas que descrevem um incremento { {dq_j}} nas suas coordenadas generalizadas. Derive a seguinte expressão { {dW=\displaystyle \sum_\alpha \Phi_\alpha dq_\alpha}} para o trabalho total realizado pela força que actua no sistema e interprete fisicamente o factor { {\Phi_\alpha}}.

Primeiro vamos notar que é

\displaystyle \displaystyle d\vec{r}_\nu =\sum_{\alpha=1}^n \dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}dq_\alpha

Para { {dW}} é

{ {\begin{aligned} dW &=\sum_{\nu=1}^N\vec{F}_\nu\cdot d\vec{r}_\nu\\ &=\sum_{\nu=1}^N\left( \sum_{\alpha=1}^n \vec{F}_\nu\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha} \right) dq_\alpha\\ &= \sum_{\alpha=1}^n \Phi_\alpha dq_\alpha \end{aligned}}}

e { {\displaystyle \Phi_\alpha=\sum_{\nu=1}^N \vec{F}_\nu\cdot\dfrac{\partial \vec{r}_\nu}{\partial q_\alpha}}} é a força generalizada.

Exercício 6 Mostre que { {\Phi_\alpha=\dfrac{\partial W}{\partial q_\alpha}}}.

Temos

\displaystyle  {\displaystyle dW=\sum_\alpha\frac{\partial W}{\partial q_\alpha}dq_\alpha}

e

\displaystyle  {\displaystyle dW=\sum_\alpha\Phi_\alpha dq_\alpha}

Logo

\displaystyle {\displaystyle \sum_\alpha\left( \Phi_\alpha- \frac{\partial W}{\partial q_\alpha}\right)dq_\alpha=0}

Uma vez que { {dq_\alpha}} são linearmente independentes (ou se preferir, são arbitrários) vem que { {\Phi_\alpha=\dfrac{\partial W}{\partial q_\alpha}}}.

Exercício 7 Derive o lagrangiano de um pêndulo simples e obtenha as equações de movimento

A coordenada generalizada para o pêndulo simples é { {\theta}} e as equações de transformação de coordenadas são { {x=l\sin\theta}} and { {y=-l\cos\theta}}.

A energia cinética é { {K=1/2mv^2=1/2m(l\dot{\theta})^2=1/2ml^2\dot{\theta}^2}}.

A energia potencial é { {V=mgl(1-\cos\theta)}}.

Assim o lagrangiano é

\displaystyle {L=K-V=1/2ml^2\dot{\theta}^2-mgl(1-\cos\theta)}

Uma vez que temos

\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=-mgl\sin\theta}

e

\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=ml^2\dot{\theta}}

E a equação de Euler-Lagrange fica

{ {\begin{aligned} \frac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}-\dfrac{\partial L}{\partial \theta}&=0\Rightarrow\\ ml^2\dot{\theta}+mgl\sin\theta&=0\Rightarrow\\ \ddot{\theta}+g/l\sin\theta &=0 \end{aligned}}}

Exercício 8

Duas partículas de massa { {m}} estão ligadas entre si e a duas paredes por molas de constante { {k}}. As partículas deslocam-se ao longo de uma direcção. Use as equações de Euler-Lagrange para descrever o movimento das massas.

A energia cinética é { {K=1/2m\dot{x}^2_1+1/2m\dot{x}^2_2}}.

A energia potencial é { {V=1/2kx^2_1+1/2k(x_2-x_1)^2+1/2kx^2_2}}.

Logo o lagrangiano é { {L=K-V=1/2m\dot{x}^2_1+1/2m\dot{x}^2_2-1/2kx^2_1-1/2k(x_2-x_1)^2-1/2kx^2_2}}.

As derivadas parciais do lagrangiano são:

  • { {\dfrac{\partial L}{\partial x_1}=k(x_2-x_1)}}
  • { {\dfrac{\partial L}{\partial x_2}=k(x_1-x_2)}}
  • { {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_1}}=m\dot{x}_1}}
  • { {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x_2}}=m\dot{x}_2}}

E as equações de Euler-Lagrange ficam:

  • { {m\ddot{x}_1=k(x_2-x_1)}}
  • { {m\ddot{x}_2=k(x_1-2x_2)}}

Exercício 9

Uma partícula de massa { {m}} move-se sob a acção de um campo central e conservativo. Use coordenadas cilíndricas para derivar:

  1. O lagrangiano A energia cinética é { {K=1/2m(1/2m\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\phi}^2+\dot{z^2})}}. A energia potencial é { {V=V(\rho,\phi,z)}}. Logo o lagrangiano é

    \displaystyle  L=\frac{1}{2}m(1/2m\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\phi}^2+\dot{z^2})-V(\rho,\phi,z)

  2. As equações de movimento
    • { {m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\phi}^2)=-\dfrac{\partial v}{\partial \rho}}}
    • { {m\dfrac{d}{dt}\left(\rho^2\dot{\phi}\right)=-\dfrac{\partial V}{\partial \phi}}}
    • { {m\ddot{z}=-\dfrac{\partial V}{\partial z}}}

Exercício 10 Para um duplo pêndulo calcule:

  1. O lagrangiano

    As equações para as transformações de coordenadas são

    • { {x_1=l_1\cos\theta_1}}
    • { {y_1=l_1\sin\theta_1}}
    • { {x_2=l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2}}
    • { {y_2=l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2}}

    Aplicando { {\dfrac{d}{dt}}} às equações anteriores

    • { {\dot{x}_1=-l_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1}}
    • { {\dot{y}_1=l_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1}}
    • { {\dot{x}_2=-l_1\dot{\theta}_1\sin\theta_1-l_2\dot{\theta}_2\sin\theta_2}}
    • { {\dot{y}_2=l_1\dot{\theta}_1\cos\theta_1+l_2\dot{\theta}_2\cos\theta_2}}

    Logo a energia cinética é

    \displaystyle  K=1/2m_1l^2_1\theta^2_1+1/2m\left[ l^2_1\dot{\theta}^2_1+l^2_2\dot{\theta}^2_2+2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2) \right]

    E a energia potencial é

    \displaystyle V=m_1g(l_1+l_2-l_1\cos\theta_1)+m_2g\left[l_1+l_2-(l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2)\right]

    Como sempre o lagrangiano é { {L=K-V=\cdots}}

  2. As equações de movimento
    • { {\dfrac{\partial L}{\partial \theta_1}=-m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_1gl_1\sin\theta_1-m_2gl_1\sin\theta_1}}
    • { {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_1}}=m_1 l_1^2\dot{\theta}_1^2+m_2l_1^2\dot{\theta}_1+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\cos(\theta_1-\theta_2)}}
    • { {\dfrac{\partial L}{\partial \theta_2}=m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_2gl_2\sin\theta_2}}
    • { {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta_2}}=m_2l_2^2\dot{\theta}_2^2+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)}}

    Assim é

    \displaystyle  {(m_1+m_2)l_1\ddot{\theta}_1+m_2l_1l_2\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_1l_2\dot{\theta}_2\sin(\theta_1-\theta_2)=-(m_1+m_2)gl\sin\theta_1}

    e

    \displaystyle  {m_2l_2\ddot{\theta}_2+m_2l_1l_2\ddot{\theta}_1\cos(\theta_1-\theta_2)+m_2l_1l_2\dot{\theta}_1^2\sin(\theta_1-\theta_2)=-m_2gl_2\sin\theta_2}

  3. Faça { {m_1=m_2=m}} e { {l_1=l_2=l}} e escreva as equações de movimento.

    Fica como um exercício para o leitor.

  4. Escreva as equações anteriores no limite das pequenas oscilações.

    Se { {\theta\ll 1}} sabemos que { {\sin \theta\approx\theta}} e { {\cos \theta\approx1}}.

    E as equações de movimento ficam

    { {2l\ddot{\theta}_1+l\ddot{\theta}_2=-2g\theta_1}}

    { {l\ddot{\theta}_1+l\ddot{\theta}_2=-g\theta_2}}

Exercício 11 Uma partícula move-se no plano { {xy}} sujeita a uma força central que é uma função da distância entre a partícula e a origem.

  1. Calcule o Hamiltoniano do sistema.

    As coordenadas generalizadas são { {r}} e { {\theta}}.

    A energia potencial é da forma { {V=V(r)}}.

    O lagrangiano é { {L=1/2m(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2)-V(r)}}.

    Os momentos conjugados são:

    \displaystyle  {p_r=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{r}}=m\dot{r}}

    \displaystyle  {p_\theta=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}}

    O Hamiltoniano fica

    { {\begin{aligned} H&=\displaystyle \sum_{\alpha=n}^np_\alpha\dot{q}_\alpha\\ &=p_r\dot{r}+p_\theta\dot{\theta}-(1/2m(\dot{r^2}+r^2\dot{\theta}^2)-V(r))\\ &=\dfrac{p_r^2}{2m}+\dfrac{p_theta^2}{2mr^2}+V(r) \end{aligned}}}

  2. Escreva as equações de movimento:
    • { {\dot{r}=\dfrac{\partial H}{\partial p_r}=\dfrac{p_r}{m}}}
    • { {\dot{\theta}=\dfrac{\partial H}{\partial p_\theta}=\dfrac{p_\theta}{mr^2}}}
    • { {\dot{p}_r=-\dfrac{\partial H}{\partial r}=\dfrac{p_\theta}{mr^3}-V'(r)}}
    • { {\dot{p}_\theta=-\dfrac{\partial H}{\partial \theta}=0)}}

Exercício 12

Uma partícula descreve um movimento unidimensional sujeita a uma força da forma

\displaystyle F(x,t)= \frac{k}{x^2}e^{-t/\tau}

Onde { {k}} e { {\tau}} são constantes positivas. Calcule o lagrangiano e hamiltoniano. Compare o hamiltoniano com a energia total e discuta se existe conservação de energia para este sistema.

Uma vez que { {F(x,t)= \frac{k}{x^2}e^{-t/\tau}}} vem que { {U=\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}}}.

Para a energia cinética é { {K=1/2m\dot{x}^2}}. Assim o lagrangiano é

\displaystyle L=1/2m\dot{x}^2-\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}

Ora { {p_x=m\dot{x}\Rightarrow\dot{x}=\dfrac{p_x}{m}}}.

E o hamiltoniano é

\displaystyle  {H=p_x\dot{x}-L=\dfrac{p_x^2}{2m}+\dfrac{k}{x}e^{-t/\tau}}

Uma vez que { {\dfrac{\partial L}{\partial t}\neq 0}} o sistema não é conservativo.

Uma vez que { {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}}=0}} sabemos que é { {H=E}}.

Exercício 13

Considere duas funções das coordenadas generalizadas e os momentos generalizados, { {g(q_k,p_k)}} e { {h(q_k,p_k)}}. O parênteses de Poisson é definido como:

\displaystyle  [g,h]=\sum_k \left(\frac{\partial g}{\partial q_k}\frac{\partial h}{\partial p_k}-\frac{\partial g}{\partial p_k}\frac{\partial h}{\partial q_k}\right)

Mostre que as seguintes propriedades do parênteses de Poisson são válidas:

  1. { {\dfrac{dg}{dt}=[g,H]+\dfrac{\partial g}{\partial t}}}.

    Fica como um exercício para o leitor.

  2. { {\dot{q}_j=[q_j,H]}} e { {\dot{p}_j=[p_j,H]}}.

    Fica como um exercício para o leitor.

  3. { {[p_k,p_j]=0}} e { {[q_k,q_j]=0}}.

    Fica como um exercício para o leitor.

  4. { {[q_k,p_j]=\delta_{ij}}}.

    Fica como um exercício para o leitor.

  5. Mostre que se uma função { {f}} não depende explicitamente de {t} então { {[f,H]=0}}. {f} diz-se uma constante de movimento.

    Fica como um exercício para o leitor.

Se o parênteses de Poisson entre duas funções é nulo então dizemos que as duas funções comutam.

Mecânica Quântica – Revisões V

— 16. Formalismo newtoniano e Equações de Euler-Lagrange —

Como vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões IV ao utilizar as equações de Euler-Lagrange que descrevem um sistema mecânico chegamos às mesmas equações do formalismo newtoniao.

O objectivo deste secção é demonstrar de uma forma mais rigorosa que ambas as formulações da mecânica clássica são de facto equivalentes (ou dizendo de forma mais exacta: quais são as condições que tornam o formalismo newtoniano e o formalismo lagrangiano equivalentes para a mecânica clássica).

Já sabemos que é { {\dfrac{\partial L}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0 }} para { {i=1,2,3}}. Usando a definição de {L} podemos reescrever a equação do lagrangiano:

{ \displaystyle \dfrac{\partial (K-U)}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial (K-U)}{\partial \dot{x}_i}=0}

Uma vez que a nossa análise não depende do conjunto de coordenadas utilizado vamos escolher trabalhar com coordenadas rectangulares pois são matematicamente mais cómodas. Assim temos { {K=K(\dot{x}_i}} e { {U=U(x)}}. Uma vez que é { {\dfrac{\partial T}{\partial x_i}=0}} e { {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}_i}}} vem que { {-\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}_i}=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}}}. Para um sistema conservativo temos { {-\dfrac{\partial U}{\partial \dot{x}_i}=F_i}}.

Logo para { {F_i=\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i}}} é válido

{ {\begin{aligned} \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial T}{\partial \dot{x}_i} &= \dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial \sum_j(1/2m\dot{x}_j^2)}{\partial \dot{x}_i} \\ &= \dfrac{d}{dt}(m\dot{x}_i) \\ &= \dot{P}_i \end{aligned}}}

Assim é { {F_i=\dot{P}_i}} que é a Segunda Lei de Newton (Segundo Axioma ou Segundo Postulado de Newton seriam nomes mais correctos…). No formalismo newtoniano da Mecânica Clássica o que dita a dinâmica de uma partícula é a segunda Lei de Newton, assim sendo acabámos de demonstrar que ambas as formulações são equivalentes.

— 17. Introdução à Simetria —

O leitor certamente notou no último exemplo que a ausência de uma coordenada generalizada no lagrangiano de um sistema implicaca a conservação de um momento (seja ele linear ou angular). Estas coordenadas que não aparecem no lagrangiano recebem o nome de coordenadas cíclicas.

Obviamente que a presença ou ausência de coordenadas cíclicas num lagrangiano depende da escolha de coordenadas. No entanto o facto de um momento ser conservado ou não, não pode depender da escolha do conjunto de coordenadas que se faz. Uma vez que a escolha acertada do conjunto de coordenadas nos permite revelar a simetria que os sistema exibe podemos concluir que que simetria e quantidades conservadas estão intimamente ligadas.

Nesta secção vamos entender por que motivo considerações de simetria são tão importantes na Física contemporânea e qual é a relação entre simetria e as leis de conservação.

Se um sistema exibe um qualquer tipo de simetria contínua então esta simetria irá sempre manifestar-se na forma de uma quantidade que se conserva. A demonstração matemática deste teorema (e as suas múltiplas generalizações) é o Teorema de Noether, mas não nos vamos debruçar sobre a demonstração neste texto. Ao invés vamos somente entender as consequências de três tipos de simetria contínua e o estudante interessado pode consultar os seguintes links para aprofundar o seu conhecimento mais teórico sobre este teorema:

— 17.1. Simetria contínua para translações no tempo —

Como sabemos da Mecânica Clássica um referencial diz-se inercial se o tempo é homogéneo. Quando dizemos que o tempo é homogéneo estamos a dizer que podemos fazer uma translação contínua ( formalmente dizemos { {t \rightarrow t+\delta t}}) no tempo e que as características mecânicas não sofrerão alterações.

Seja { {L}} o lagrangiano de um sistema isolado. Uma vez que o sistema é isolado sabemos que as suas características mecânicas deverão permanecer invariantes no tempo. Isto é equivalente a dizermos que o seu lagrangiano não depende do tempo

\displaystyle {\dfrac{\partial L}{\partial t}=0}

Assim a derivada total é

\displaystyle  \displaystyle \frac{dL}{dt}= \sum_j \frac{\partial L}{\partial q_j}\dot{q}_j+ \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ddot{q}_j

Usando a equação de Euler-Lagrange 18 para coordenadas generalizadas fica:

{ {\begin{aligned} \frac{dL}{dt} &= \sum_j \dot{q}_j\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}+ \sum_j \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\ddot{q}_j \Rightarrow \\ &\Rightarrow \frac{dL}{dt}-\sum_j\frac{d}{dt}\left( \dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right)= 0 \\ &\Rightarrow \frac{d}{dt} \left( L-\sum_j\dot{q}_j\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}\right)=0 \end{aligned}}}

Ou seja

\displaystyle   \displaystyle L-\sum_j\dot{q}_j\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=-H \ \ \ \ \ (19)

Onde { {-H}} (o porquê de termos um sinal { {-}} será evidente dentro de momentos) é uma constante.

Vamos admitir que { {U=U(x_{\alpha,i})}} e { {x_{\alpha,i}=x_{\alpha,i}(q_j)}}. Então é { {U=U(q_j)}} e { {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q}_j}=0}}. Logo { {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=\dfrac{\partial (K-U)}{\partial \dot{q}_j}=\dfrac{\partial K}{\partial \dot{q}_j}}}

Então podemos escrever a equação 19 na forma

\displaystyle  {\displaystyle (K-U)-\sum_j\dot{q}_j\dfrac{\partial K}{\partial \dot{q}_j}=-H}

Donde vem que { {K+U=H}}.

A função { {H}} é o Hamiltoniano do sistema e a sua definição é dada pela equação 19.

Para além disso podemos identificar o Hamiltoniano com a energia total de um sistema quando as seguintes condições são respeitadas:

  1. As equações para as transformações de coordenadas são independentes do tempo. Isto implica que a energia cinética é uma função quadrática homogénea em { {\dot{q}_j}}
  2. A energia potencial não depende da velocidade. Desse modo os termos { {\dfrac{\partial U}{\partial \dot{q}_j}}} podem ser eliminados

— 17.2. Simetria contínua para translações no espaço —

Sabemos também da Mecânica Clássica que para um referencial inercial o espaço é homogéneo. Quer isto dizer que todos os pontos do espaço são equivalentes e como tal o lagrangiano é invariante para translações no espaço. Formalmente escrevemos { {\delta L=0}} para { {\vec{r}_\alpha \rightarrow \vec{r}_\alpha+\delta\vec{r}}}.

Sem perda de generalidade vamos somente considerar uma partícula. Neste caso é { {L=L(x_i),\dot{x_i}}} e { {\displaystyle \delta \vec{r} = \sum_i\delta x_i \vec{e}_i}}. Calculando a variação em { {L}} devido a { {\delta \vec{r}}} é

\displaystyle  \displaystyle \delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i}\delta x_i + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i=0

Ora { {\delta x_i=\delta\dfrac{dx_i}{dt}=\frac{d}{dt}\delta x_i=0}} e a expressão para a variação fica

\displaystyle  \displaystyle \delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i}\delta x_i=0

Para a expressão anterior ser identicamente nula temos que ter { {\dfrac{\partial L}{\partial x_i}=0}}, uma vez que { {\delta x_i}} são variações arbitrárias.

De acordo com a Equação de Euler-Lagrange 18 temos { {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=c}}.

Logo é

{ {\begin{aligned} \frac{\partial (K-U)}{\partial \dot{x}_i} &= \frac{\partial K}{\partial\dot{x}_i}\\ &= \frac{\partial}{\partial \dot{x}_i}\left( 1/2m\sum_j\dot{x}_j^2 \right) \\ &= m\dot{x}_i \\ &= P_i \end{aligned}}}

Assim a homogeneidade do espaço para translações implica a conservação do momento linear para um sistema isolado.

— 17.3. Simetria contínua para rotações no espaço —

Sabemos também da Mecânica Clássica que para um referencial inercial o espaço é isotrópico. Quando dizemos que o espaço é isotrópico estamos a dizer que não existem direcções privilegiadas. Ora isto quer dizer que o lagrangiano é invariante para rotações no espaço: { {\delta L=0}} para { {\vec{r}_\alpha \rightarrow \vec{r}_\alpha+\delta\vec{r}}} onde { {\delta\vec{r}=\delta \vec{\theta} \times \vec{r}}}.

Considerando novamente uma só partícula sabemos que é { {\delta\vec{\dot{r}}=\delta \vec{\theta} \times \vec{\dot{r}}}}

Para além disso também é

{ \displaystyle \delta L = \sum_i \frac{\partial L}{\partial x_i}\delta x_i + \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}\delta \dot{x}_i=0}

De { {p_i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}}} e { {\dot{p}_i=\dfrac{\partial L}{\partial x_i}}} segue que

{ {\begin{aligned} \delta L &= \sum_i\dot{p}_i\delta x_i+ \sum_i p_i\delta\dot{x}_i\\ &= \dot{\vec{p}}\cdot\delta\vec{r}+ \vec{p}\cdot\delta\dot{\vec{r}} \\ &= \dot{\vec{p}}\cdot(\delta \vec{\theta} \times \vec{r})+ \vec{p}\cdot(\delta \vec{\theta} \times \dot{\vec{r}}) \\ &= \delta\vec{\theta}\cdot(\vec{r}\times\dot{\vec{p}}) + \delta\vec{\theta}\cdot(\dot{\vec{r}}\times\vec{p})\\ &= \delta\vec{\theta}\cdot (\vec{r}\times\dot{\vec{p}} + \dot{\vec{r}}\times\vec{p}) \end{aligned}}}

Uma vez que

\displaystyle  {\delta\vec{\theta}\cdot (\vec{r}\times\dot{\vec{p}} + \dot{\vec{r}}\times\vec{p})=\delta\vec{\theta}\cdot\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})}

e { {\delta L=0}}, segue { {\delta\vec{\theta}\cdot\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=0}}.

Uma vez que { {\delta\vec{\theta}}} é um vector arbitrário segue que { {\dfrac{d}{dt}(\vec{r}\times\vec{p})=0}}. Logo { {\vec{r}\times\vec{p}}} é constante.

Em conclusão podemos dizer que a isotropia do espaço implica a conservação do momento angular. Outro resultado importante é que sempre que um sistema mecânico exibe um eixo de simetria o momento angular em torno desse eixo é uma quantidade conservada.

— 18. Dinâmica Hamiltoniana —

Como já vimos, se a energia potencial de um sistema não depende da velocidade então { {p_i=\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}}}. Consequentemente podemos definir

Definição 7

Num sistema descrito por coordenadas generalizadas { {q_j}} o momento generalizado é definido pela seguinte expressão:

\displaystyle   p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \ \ \ \ \ (20)

Como consequência da definição anterior temos { {\dot{p}_j=\frac{\partial L}{\partial q_j}}}.

E podemos escrever o Hamiltoniano como uma transformada de Legendre do Lagrangiano

\displaystyle   H=\sum_j p_j\dot{q}_j-L \ \ \ \ \ (21)

Uma vez que { {\dot{q}_j=\dot{q}_j(q_k,p_k,t)}} a equação 21 pode ser escrita na forma

\displaystyle   H(q_k,p_k,t)=\sum_j p_j\dot{q}_j-L(q_k,\dot{q}_k,t) \ \ \ \ \ (22)

Assim temos { {H=H(q_k,p_k,t)}} e { {L=L(q_k,\dot{q}_k,t)}}. O diferencial de { {H}} é

\displaystyle   dH=\sum_k\left( \frac{\partial H}{\partial q_k}dq_k+\frac{\partial H}{\partial p_k}dp_k \right) + \frac{\partial H}{\partial t}dt \ \ \ \ \ (23)

Calculando { {\dfrac{\partial H}{\partial q_k}}} e { {\dfrac{\partial H}{\partial p_k}}} via 22 e substituindo em 23 é

\displaystyle   dH=\sum_k (\dot{q}_kdp_k-\dot{p}_kdq_k)-\frac{\partial L}{\partial t}dt \ \ \ \ \ (24)

Igualando os coeficientes de { {dq_k}}, { {dt_k}} e { {dt}} vem:

\displaystyle   \dot{q}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k} \ \ \ \ \ (25)

e

\displaystyle   -\dot{p}=\frac{\partial H}{\partial q_k} \ \ \ \ \ (26)

Que são as equações canónicas de movimento. Quando usamos estas equações para estudar a evolução temporal de um sistema estamos a usar a Mecânica Hamiltoniana.

Temos { {-\dfrac{\partial L}{\partial t}=\dfrac{\partial H}{\partial t}}}. Para além disso temos também { {\dfrac{dH}{dt}=\dfrac{\partial H}{\partial t}}} o que implica que a função hamiltoniana não depende explicitamente de { {t}}. Logo { {H}} é uma quantidade conservada.

Exemplo 7

Uma partícula de massa { {m}} move-se na superfície de um cilindro sujeita a uma força que aponta para o centro do cilindro (a origem do nosso referencial) e é proporcional à distância entre a partícula e a origem. Faça um estudo da Dinâmica Hamiltoniana deste sistema.

De { {\vec{F}=-k\vec{r}}} vem que { {U=1/2kr^2=1/2k(R^2+z^2)}}.

Para a velocidade temos { {v^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2}}. Uma vez que { {r=R}} é constante vem { {K=1/2m(R^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)}}

Assim o lagrangiano é { {L=1/2m(R^2\dot{\theta}^2+\dot{z}^2)-1/2k(R^2+z^2)}}. As coordenadas generalizadas são { {\theta}} e { {z}}. Os momentos generalizados são:

\displaystyle p_\theta=\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mR^2\dot{\theta}

and

\displaystyle p_z=\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}=m\dot{z}

Uma vez que este sistema é conservativo e as equações de transformações de coordenadas não dependem do tempo { {H}} é a energia total do sistema e é uma função de { {\theta}}, { {p_\theta}}, { {z}} e { {p_z}}. Mas { {\theta}} não aparece no lagrangiano (é uma coordenada cíclica).

\displaystyle  H(z,p_\theta,p_z)=K+U= \frac{p_\theta^2}{2mR^2}+\frac{p_z^2}{2m} +1/2kz^2

As equações de movimento são:

  • { \displaystyle \dot{p}_\theta=-\frac{\partial H}{\partial \theta}=0 }
  • { \displaystyle \dot{p}_z=-\frac{\partial H}{\partial z}=-kz }
  • { \displaystyle \dot{\theta}=\frac{\partial H}{\partial p_\theta}=\frac{p_\theta}{mR^2} }
  • { \displaystyle \dot{z}=\frac{\partial H}{\partial p_z}=\frac{p_z}{m} }

Das relações anteriores vemos que o momento angular em torno de { {z}} é constante: { {p_\theta=mR^2\dot{\theta}}}. O que é equivalente a dizermos que { {z}} é um eixo de simetria do sistema.

Também temos { {m\ddot{z}=-kz\Rightarrow m \ddot{z}+kz=0\Rightarrow \ddot{z}+k/mz=0\Rightarrow\ddot{z}+\omega_0^2}} com { {\omega_0^2=k/m}}. O que quer dizer que a partícula tem um movimento harmónico ao longo do eixo { {z}}.

Para finalizar o nosso tratamento da Mecânica Clássica vamos só fazer um breve sumário da Dinâmica Lagrangiana e da Dinâmica Hamiltoniana:

  1. As coordenadas generalizadas e os respectivos momentos generalizados dizem-se coordenadas canónicas.
  2. Coordenadas que não aparecem explicitamente em { {K}} e { {U}} dizem-se coordenadas cíclicas.
  3. Uma coordenada que é cíclica implica sempre a existência de um momento generalizado conservado assim como um eixo de simetria.
  4. Simetrias de uma sistema estão sempre ligadas a uma lei de conservação

Mecânica Quântica – Revisões IV

— 13. Princípio de Hamilton —

Os princípios de minimização têm uma longa história de utilização em Ciência, e abaixo vemos alguns exemplos:

  • Heron explicou a reflexão da luz usando um princípio de distância mínima.
  • Fermat corrigiu o Princípio de Heron dizendo que a luz propaga-se entre dois pontos pelo trajecto que minimiza o tempo.
  • Maupertuis postulou que a dinâmica de uma partícula é sempre aquela que minimiza acção
  • Gauss postulou o princípio da ligação mínima
  • Hertz postulou o princípio da curvatura mínima

Na física moderna usamos um princípio mais geral onde tentamos encontrar extremos de uma quantidade a que chamamos acção e é o objectivo desta secção enunciar este princípio e deduzir as suas consequências.

Definição 2 O Lagrangiano (também chamado de função lagrangiana) de uma partícula é dado pela diferença entre a energia cinética, {K}, e a sua energia potencial, {U}.

\displaystyle L=K-U \ \ \ \ \ (4)

Definição 3 A Acção, {S}, do movimento de uma partícula é dado pela expressão

\displaystyle \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt \ \ \ \ \ (5)

Axioma 1 Dado um conjunto de caminhos que uma partícula pode tomar entre os pontos {x_1} e {x_2} no intervalo de tempo {\Delta t= t_2-t_1} ela toma sempre o caminho que torna a acção estacionária.

\displaystyle \displaystyle \delta S=\delta \int_{t_1}^{t_2}(K-U)dt=0 \ \ \ \ \ (6)

Para coordenadas rectangulares temos {K=K(x_i)}, {U=U(x_i)}, assim {L=K-U=L(x_i,\dot{x}_i)} (onde {\dot{x}_i=\dfrac{dx_i}{dt}} é a notação de Newton para representarmos derivadas em ordem ao tempo).

A função {L} pode ser identificada com a função {f} que vimos no artigo Mecânica Quântica Revisões III desde que façamos as seguintes substituições:

  • {x \rightarrow t}
  • {y_i(x) \rightarrow x_i(t)}
  • {y\prime_i(x) \rightarrow x\prime_i(t)}
  • {f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(x_i,\dot{x}_i,t)}

Neste caso as equações de Euler passam a chamar-se de equações de Euler-Lagrange e temos:

\displaystyle \displaystyle \frac{\partial L}{\partial x_i}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0

Exemplo 3 Vamos estudar o Oscilador Harmónico usando o formalismo Lagrangiano:

\displaystyle L=K-U=1/2m\dot{x}^2-1/2kx^2 \ \ \ \ \ (7)

Em primeiro lugar temos {\dfrac{\partial L}{\partial x_i}=-kx}.

Também temos {\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=\dfrac{d}{dt}m\dot{x}=m\ddot{x}}.

Assim fica

\displaystyle \dfrac{\partial L}{\partial x_i}-\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}_i}=0 \Rightarrow m\ddot{x}+kx=0 \Rightarrow m\ddot{x}=-kx

que é a conhecida equação que descreve a dinâmica de um oscilador harmónico.

Exemplo 4 Considere um pêndulo plano, escreva o seu lagrangiano e derive as equações de movimento.

O Lagrangiano para o pêndulo plano é

\displaystyle L=1/2ml^2\dot{\theta}^2-mgl(1-\cos \theta) \ \ \ \ \ (8)

Se considerarmos {\theta} como sendo uma coordenada rectangular (e nós sabemos que não é!) segue que a equação de movimento é

\displaystyle \displaystyle \ddot{\theta}+g/l\sin \theta=0

Esta equação é exactamente a equação de movimento de um pêndulo plano e este resultado é admirável porque até agora só analisamos o lagrangiano para coordenadas rectangulares e ainda assim ele foi capaz de dar o resultado correcto de um sistema expresso em coordenadas não rectangulares.

— 14. Coordenadas generalizadas —

Considere um sistema mecânico constituído por {n} partículas. Neste caso temos {3n} quantidades para descrever a posição de todas as partículas (uma vez que temos três graus de liberdade).

Se por acaso também tivermos algum tipo de ligações que restringem o movimento das partículas a quantidade necessária para descrever o movimento das partículas é menor do que {3n}. Vamos admitir que temos {m} ligações, nesse caso os graus de liberdade são {3n-m}.

Seja {s=3n-m} os graus de liberdade deste sistema. Estes graus de liberdade correspondem então a {s} coordenadas, e estas coordenadas não precisam de ser rectangulares, polares, cilíndricas nem esféricas. A única coisa que devem fazer é descrever de forma total o estado mecânico do sistema.

Definição 4

As {s} coordenadas que especificam totalmente o estado mecânico de um sistema de {n} partículas têm o nome de coordenadas generalizadas.

As coordenadas generalizadas são representadas por

\displaystyle q_1,q_2,\cdots,q_s \ \ \ \ \ (9)

Uma vez que definimos o conjunto de coordenadas generalizadas de um sistema de partículas podemos também definir as suas velocidades generalizadas.

Definição 5

As {s} velocidades de um sistema de {n} partículas descrito por coordenadas generalizadas têm o nome de velocidades generalizadas.

As velocidades generalizadas são representadas por

\displaystyle \dot{q_1},\dot{q_2},\cdots,\dot{q_s} \ \ \ \ \ (10)

Seja {\alpha} uma variável que denota uma partícula, {\alpha=1,2,\cdots,n}; {i} representa o número de graus de liberdade {i}, {i=1,2,3}; e {j} o número de coordenadas generalizadas {j=1,2,\cdots,s}.

\displaystyle x_{\alpha,i}=x_{\alpha,i}(q_1,q_2,\cdots,q_s,t)=x_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (11)

Para as velocidades generalizadas é

\displaystyle \dot{x}_{\alpha,i}=\dot{x}_{\alpha,i}(q_j,t) \ \ \ \ \ (12)

E as transformações inversas são

\displaystyle q_j=q_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (13)

e

\displaystyle \dot{q_j}=\dot{q}_j(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (14)

Finalmente vamos também dizer que precisamos de {m=3n-s} equações de ligação

\displaystyle f_k=f_k(x_{\alpha,i},t) \ \ \ \ \ (15)

com {k=1,2,\cdots,m}.

Exemplo 5 Considere uma partícula pontual que se move na superfície de uma semi-esfera de raio {R} cujo centro coincide com a origem do sistema de coordenadas.

As equações relevantes são {x^2+y^2+z^2-R^2\geq 0} e {z\geq 0}.

Vamos tomar {q_1=x/R}, {q_2=y/R} e {q_3=z/R} como as coordenadas generalizadas.

Para além disso também temos a ligação {q_1^2+q_2^2+q_3^2=1}. Assim {q_3=\sqrt{1-(q_1^2+q_2^2)}}

Definição 6

O Espaço de Configuração é o espaço vetorial definido pelo conjunto das coordenadas generalizadas.

A evolução no tempo de um sistema mecânico pode ser representado como uma curva no espaço de configuração.

— 15. As equações de Euler-Lagrange em coordenadas generalizadas —

Uma vez que {K} e {U} são funções escalares, {L} também é uma função escalar. Logo {L} é um invariante para transformações de coordenadas.

Assim é

\displaystyle L=K(\dot{x}_{\alpha,i})- U(x_{\alpha,i})=K(q_j,\dot{q}_j,t)-U(q_j,t) \ \ \ \ \ (16)

e {L=L(q_j,\dot{q}_j,t)}.

Logo, podemos escrever o Princípio de Hamilton (secção 13) na seguinte forma:

\displaystyle \delta \int_{t_1}^{t_2} L(q_j,\dot{q}_j,t) dt=0 \ \ \ \ \ (17)

E agora temos que fazer as seguintes substituições

  • {x \rightarrow t}
  • {y_i(x) \rightarrow q_j(t)}
  • {y\prime_i(x) \rightarrow q\prime_j(t)}
  • {f(y_i(x),y\prime_i (x),x) \rightarrow L(q_j,\dot{q}_j,t)}

E as equações de Euler-Lagrange ficam

\displaystyle \frac{\partial L}{\partial q_j}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}=0 \ \ \ \ \ (18)

Para {j=1,2,\cdots,s}

Para finalizar esta secção vamos apontar as condições de aplicabilidade das equações de Euler-Lagrange:

  • O sistema é conservativo.
  • As ligações são funções das coordenadas das partículas e também podem ser funções do tempo.
Exemplo 6 Considere o movimento de uma partícula de massa {m} ao longo de uma superfície de um cone sob a acção da gravidade.

Calcule o seu lagrangiano e as equações de movimento.

As equações para as coordenadas generalizadas são {z=r\cot\alpha} e {v^2=\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2}.

Para a energia potencial {U=mgz=mgr\cot\alpha}. E assim o lagrangiano é

\displaystyle \displaystyle L=1/2m(\dot{r}^2\csc^2\alpha+r^2\dot{\theta}^2)-mgr\cot\alpha

Uma vez que {\dfrac{\partial L}{\partial \theta}=0} vem que {\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=0}. Assim é {\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}=mr^2\dot{\theta}=\mathrm{const}}.

O momento angular em torno do eixo {z} é {mr^2\dot{\theta}=mr^2\omega}. Assim {mr^2\omega=\mathrm{const}} expressa a conservação do momento angular em torno de um eixo de simetria do sistema.

Fica como um exercício para o leitor determinar as equações de Euler-Lagrange para {r}.

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