Início » 04 Ensino Superior » 02 Física » 1. Introdução as equações diferenciais

1. Introdução as equações diferenciais

— 1. Introdução as equações diferenciais —

Talvez a aplicação mais importante do calculo sejam as equações diferenciais.Quando os físicos ou cientistas sociais usam o calculo em geral, o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenómeno que eles estão estudando.

— 1.1. Definições e terminologia —

Definição 1.As equações diferenciais são aquelas que contem as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.

Exemplo 1.

${ \dfrac{dx}{dt}+\dfrac{dy}{dt}=x+y }$ onde: x e y são variáveis dependentes e t é variável independente.
${ \dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{\partial u}{\partial y}=x-2y }$ onde: u é a variável dependente e x e y são variáveis independentes

Definição 2. A ordem da derivada mais elevada que aparece na equação diferencial determina a ordem da equação.

Definição 3. O grau de uma equação diferencial que pode exprimir-se como um polinómio, na função incógnita e suas derivadas, é o maior expoente da derivada de mais alta ordem que aparece na equação.

— 1.1.1. Classificação das Equações Diferenciais —

As equações diferenciais são classificadas quanto ao tipo, ordem e linearidade.

Quanto ao tipo as equações diferenciais são classificadas em:ordinárias e parciais.
1. Equações diferenciais ordinárias (EDO) são aquelas que contem uma ou mais derivadas de variáveis dependentes em relação a uma variável independente.
2. As equações diferenciais parciais (EDP) são aquelas que envolve as derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes em relação a uma ou mais variáveis independentes.
Quanto a ordem uma equação diferencial pode ser de 1ª, 2ª,…,n-ésima ordem dependendo da derivada de maior ordem presente na equação.Uma equação ordinária de ordem n pode ser escrita na forma:
${F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0}$
Quanto a linearidade de uma equação diferencial ela pode ser linear e não linear.Ela é linear se as incógnitas e suas derivadas aparecem de forma linear.Por exemplo uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma equação que pode ser escrita como:
${ a_{n}(x)\dfrac{d^{n}y}{dx^{n}}+a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+...+a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=g(x) }$

As equações diferenciais ordinárias que não podem ser escritas nessa forma são não lineares.

Exemplo 2.

${ \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-\dfrac{dy}{dx}+3y=0}$ (EDO da 2ª ordem, 1º grau linear)
${ (y\prime\prime\prime)^{2}-y\prime\prime+y^{2}=0 }$ (EDO da 3ª ordem, 2º grau não linear)
${\dfrac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}=\dfrac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}-4\dfrac{\partial u}{\partial t}}$ (EDP da 2ª ordem, 1º grau linear)
${x^{2}y\prime\prime+xy\prime+y=0}$ (EDO da 2ª ordem, 1º grau linear)
${ \dfrac{\partial^{4}x}{\partial t^{4}}=kx(\dfrac{\partial^{2}m}{\partial n^{2}})^{2} }$ (EDP da 4ª ordem, 1º grau não linear)
${(\dfrac{dy}{dx})^{\frac{3}{2}} +y\prime =\dfrac{1}{x}}$ (EDO da 1ª ordem, não linear). OBS:Em virtude do expoente ${\frac{3}{2}}$ , a equação diferencial não pode exprimir-se como um polinómio na 1ª derivada e por isso, não se pode falar em grau da equação diferencial.
${\textrm{sen}\, y\prime +y=0}$ (EDO da 1ª ordem, não linear).

— 1.1.2. Solução de uma equação diferencial —

Definição 4. Toda função ${f}$ definida no intervalo I, que, quando substituída na equação diferencial reduz a equação a uma identidade,é chamada solução para a equação no intervalo.

Queremos dizer que uma solução de uma equação diferencial ordinária de n-ésima ordem

$\displaystyle F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0$

é uma uma função ${f}$ que possui pelo menos n derivadas e satisfaz a equação;isto é,

$\displaystyle F(x,f(x),f\prime (x),...f^{(n)}(x))=0$

para todo x no intervalo I

Exemplo 3.Verifique que a função indicada é uma solução da equação diferencial dada num intervalo (0,- ${\infty}$ )

$\displaystyle y\prime\prime -2y\prime +y=0 ; y=xe^{x}$

Solução:a partir das derivadas ${ y\prime =xe^{x}+e^{x} }$ e ${ y\prime\prime =xe^{x}+2e^{x} }$ teremos: ${ y\prime\prime -2y\prime +y=(xe^{x}+2e^{x})-2(xe^{x}+e^{x})+xe^{x}=0 }$

Observe que a função constante y=o também satisfaz a equação diferencial dada para todo x real.Uma solução para uma equação diferencial que é identicamente nula em um intervalo I é em geral referida como solução trivial.

Definição 5.Solução geral duma equação diferencial é toda função que verifica, identicamente, a equação diferencial e vem expressa em termos de n constantes arbitrarias.Se a equação é de 1ª ordem, aparece uma constante, se de 2ª ordem, duas constantes, etc.Geometricamente, a solução geral ou integral geral representa uma família de curvas (denominadas curvas integrais).

Definição 6.Solução particular é toda solução da equação diferencial que se obtém da solução geral,atribuindo-se valores as constantes.Geometricamente, representa uma das curvas da família de curvas integrais, correspondentes a solução geral.

Exemplo 4. A solução geral da equação diferencial ${ y\prime\prime +y\prime =0 }$ é

$\displaystyle y=C_{1}+C_{2}e^{-x}$

, visto que esta é uma função que depende de duas constantes arbitrarias e verifica identicamente a equação diferencial, pois ${ y\prime =-C_{2}e^{-x} }$ , ${ y\prime\prime =C_{2}e^{-x} }$ e ${ C_{2}e^{-x}-C_{2}e^{-x}=o }$

Se fizermos ${ C_{1}=1 }$ e ${ C_{2}=-1 }$ e substituirmos na solução geral, obtemos a solução particular ${ y=1-e^{-x} }$ .

Exemplo 5. Dada a equação diferencial ${ y=\dfrac{2xy\prime}{1+(y\prime)^{2}} }$ , a solução geral é

$\displaystyle y^{2}=4C(x-C)$

, pois esta é uma função que verifica identicamente a equação diferencial e vem expressa em termos de uma constante arbitraria.

Uma solução particular é a função ${ y^{2}=4(x-1) }$ ,obtida da solução geral, fazendo C=1 e geometricamente, corresponde a curva integral (parábola) que passa no ponto (1,0).

A função ${ y=x }$ também verifica a equação identicamente, não depende de constantes arbitrarias, ma não pode ser obtida da solução geral por particularização da constante.É um outro tipo de solução, designada por solução singular, e que representa geometricamente, a envolvente da família de curvas integrais correspondentes a solução geral.

As equações diferenciais de 1ª ordem e 1º grau nunca tem soluções singulares.

Definição 7. Uma solução em que a variável dependente é expressa em termos de variáveis e constantes independentes diz-se que é uma solução explicita.

Definição 8. Quando uma solução pode apenas ser escrita na forma ${G(x,y)=0}$ trata-se de uma solução implícita.

Exemplo 6. Para ${-2<x<2 }$ , a relação ${ x^{2}+y^{2}-4=0 }$ é uma solução implícita para a equação diferencial

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$

segue por derivação implícita, que

$\displaystyle \dfrac{d(x^{2})}{dx}+\dfrac{d(y^{2})}{dx}-\dfrac{d(4)}{dx}=0$

$\displaystyle 2x+2y\dfrac{dy}{dx}=0$

ou

$\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}$

A relação ${x^{2}+y^{2}-4=0}$ define duas funções diferenciais explicitas: ${ y=\sqrt{4-x^{2}} }$ e ${y=-\sqrt{4-x^{2}}}$ no intervalo (2;-2).

— 1.2. Problemas de valor inicial —

Um problema de valor inicial (PVI) consiste em: Resolver ${F(t,y,y^{\prime},y^{\prime \prime}...y^{(n)})=0}$

Sujeito a ${ y(x_{0})=y_{0}, y\prime (x_{0})=y_{1},...,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{n-1} }$

onde ${x_{0}\epsilon I}$ e ${y_{0}, y_{1},...,y^{(n-1)}(x_{0})=y_{(n-1)}}$ são condições inicias.

Se são conhecidas condições adicionais, podemos obter soluções particulares para a equação diferencial e se não são conhecidas condições adicionais poderemos obter a solução geral.

Exemplo 7. Mostre que ${ y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-2x} }$ é uma família de soluções de

$\displaystyle y\prime\prime +y\prime -2y=0.$

Ache uma solução particular que satisfaz as condições iniciais

$\displaystyle y(0)=1 , y\prime (0)=2.$

Solução:Para achar as constantes ${ C_{1} }$ e ${ C_{2} }$ calculamos ${ y\prime }$ para obter

$\displaystyle y\prime=C_{1}e^{x}-2C_{2}e^{-2x}.$

Ao substituir as condições iniciais obtemos o sistema de equações ${ C_{1}+C_{2}=1 }$

${ C_{1}-2C_{2}=2 }$

Ao se resolver esta equação obtém-se ${ C_{1}=\dfrac{4}{3} }$ e ${ C_{2}=-\dfrac{1}{3} }$ .Portanto a solução do PVI é ${ y=\dfrac{4}{3}e^{x}-\dfrac{1}{3}e^{-2x} }$ .

— 1.2.3. Existência e Unicidade de solução de uma EDO —

Três perguntas são importantes sobre soluções para uma EDO.

Dada uma equação diferencial, será que ela tem solução?
Se tiver solução, será que esta solução é única?
Existe uma solução que satisfaz a alguma condição especial? Para responder a estas perguntas, existe o teorema de existência e Unicidade de solução que nos garante resposta para algumas das questões desde que a equação tenha algumas caraterísticas. As condições suficientes para a existência de uma solução única de uma equação diferencial de primeira ordem são definidas pelo teorema de Picard:

Teorema 1 Considere o problema de valor inicial

${\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)}$ ;
$\displaystyle y(x_{0})=y_{0}$

se a função f e a derivada parcial de f em função de y são continuas numa vizinhança do ponto ${ (x_{0},y_{0}) }$ ,existe uma solução única ${y=g(x)}$ em certa vizinhança do ponto ${ (x_{0},y_{0}) }$ que verifica a condição inicial ${g(x_{0})=y_{0}}$ .

O intervalo onde existe a solução única pode ser maior ou menor que o intervalo onde a função f e a sua derivada parcial ${\frac{\partial f}{\partial y}}$ são continuas (o teorema não permite determinar o tamanho do intervalo).

OBS: As condições do teorema de Picard são condições suficiente,mas não necessárias para a existência de solução única.Quando f ou sua derivada parcial ${\frac{\partial f}{\partial y}}$ não sejam continuas, o teorema não nos permite concluir nada:Provavelmente existe solução única a pesar das duas condições não se verificarem.

Exemplo 8. O teorema 1 garante que existe um intervalo contendo ${x=0}$ no qual ${y=3e^{x}}$ é a única solução para o problema de valor inicial:

$\displaystyle y\prime =y, y(0)=3.$

isso segue-se do fato de que ${f(x,y)=y}$ e ${\partial f \diagup \partial y=1}$ são continuas em todo plano xy.Pode ser mostrado ainda que esse intervalo seja ${(-\infty,\infty)}$ .