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Interacção de corpos carregados. Força Eléctrica. Lei de Coulomb. Princípio de superposição.

03/20/2022 10:08 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Interacção de corpos carregados. Força Eléctrica. Lei de Coulomb —

Os corpos carregados interagem, ou seja, exercem forças um no outro.

A força eléctrica é uma grandeza vectorial com intensidade, direcção e sentido. A direcção coincide com a recta que une as duas cargas, e o sentido é estabelecido pelo sinal das cargas em presença.

As intersecções podem ser atração ou repulsão. As cargas eléctricas de sinais contrários atraem-se (puxam-se simultaneamente, uma em direcção a outra), e cargas eléctricas de um mesmo sinal repelem-se (empurra-se simultaneamente, uma em direcção oposta a outra). Este princípio é denominado Princípio impírico de Du Fay.

As forças eléctricas provocadas por objetos carregados foram medidas quantitativamente por Charles Coulomb a partir de uma balança de torção, da qual ele mesmo inventou.

A força de interacção electrostática entre dois corpos carregados e fixos, é diretamente proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

O módulo da força electrostática entre as cargas é igual e é dada por:

$\displaystyle F_{12}=F_{21}=k \cdot \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}$

Onde:
${ k= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}}$
${ \varepsilon= \varepsilon_{r} \cdot \varepsilon_{0}}$
${ \varepsilon_{0}=8,85 \cdot 10^{-12} \ \ F/m}$
${ {\varepsilon} \rightarrow}$ Permissividade eléctrica do meio;
${ \varepsilon_{r} \rightarrow }$ Permissividade relativa do meio;
${ r \rightarrow }$ módulo de distância entre as cargas;
${ q \rightarrow }$ Carga eléctrica;

Vectorialmente:

$\displaystyle \vec{F_{21}}=-\vec{F_{12}}=k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^3} \cdot \vec{r}$

$\displaystyle \vec{F_{21}}=-\vec{F_{12}}=k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \cdot \vec{u_r}$

Onde:
${\vec{u_r}}$ é o unitário do vector ${\vec{r}}$ .

— 1.3. Princípio de Sobreposição das forças eléctricas —

A superposição ou sobreposição de efeitos é o efeito de obtido quando um conjunto de elementos causadores do efeito se sobrepõem. É um princípio muito usado na Física, nas mais diversas áreas.

O princípio de sobreposição postula que o efeito criado por um conjunto de causas aplicado num corpo é igual á soma ou superposição dos efeitos que cada das causas iria gerar quando aplicada separadamente sobre esse mesmo corpo.

De acordo com o princípio da supersposição, a força resultante na carga ${q_1}$ será:

$\displaystyle \vec{F_1}=\vec{F_{12}}+\vec{F_{13}}+...+\vec{F_{1n}}$

A forma de calcular a resultante, vai depender do número de vectores que se sobreposurem.

Exemplo 2

Consideremos o sistema de três cargas. Determinemos a expressão para a força resultante na carga ${q_3}$ .

Para tal, devemos representar as forças de interacção entre as cargas, sendo de atracção ou de repulsão, dependendo de as cargas terem mesmos sinais ou sinais opostos. As forças entre ${q_1}$ e ${q_2}$ são de atracção, as forças entre ${q_1}$ e ${q_3}$ são de repulsão e as forças entre ${q_2}$ e ${q_3}$ são de atracção. Assim, representamos as forças neste sistema:

Neste caso, actuarão em ${q_3}$ duas forças ( ${F_{31}}$ e ${F_{32}}$ ). Então, de acordo com o princípio de sobreposição, a força resultante será:

$\displaystyle \vec{F_3}= \vec{F_{31}} + \vec{F_{32}}$

Em módulo, sendo uma soma entre dois vectores, podemos usar a fórmula do triângulo (lei dos co-senos). Mas para tal, deveremos antes determinar os ângulos ${\alpha}$ e ${\beta}$ . Após determinação dos ângulos, teremos:

$\displaystyle F_3= \sqrt{F_{31}^2 + F_{32}^2+2 \cdot F_{31} F_{32} \cdot \cos (\alpha+\beta)}$

Neste caso, o cálculo da resultante pode fazer-se em uma única expressão porque apresenta a soma de apenas dois vectores.

Para um caso em que se sobreponham mais de dois vectores, a resultante deverá ser calculada pelo método de componentes.

Exemplo 3 Consideremos o sistema de quatro cargas abaixo. Determinemos a expressão para a força resultante na carga ${q_1}$ .

Para tal, devemos representar as forças de interacção entre as outras cargas com a carga ${q_1}$ , sendo de actracção ou de repulsão, dependendo de as cargas terem mesmos sinais ou sinais opostos. As forças entre ${q_1}$ e ${q_2}$ são de repulsão, as forças entre ${q_1}$ e ${q_3}$ são de atração e as forças entre ${q_1}$ e ${q_4}$ são de repulsão.

Neste caso, actuarão em ${q_1}$ três forças ( ${F_{12}}$ , ${F_{13}}$ e ${F_{14}}$ ). Então, de acordo com o princípio de sobreposição, a força resultante será:

$\displaystyle \vec{F_1}= \vec{F_{12}} + \vec{F_{13}}+ \vec{F_{14}}$

Devemos agora notar que pretendemos somar mais de dois vectores ( três no caso), e todos de direcção diferente. Para tal, como ${\vec{F_{12}}}$ e ${\vec{F_{14}}}$ são horizontal e vertical, respectivamente, e ${\vec{F_{13}}}$ é oblíquo, então se projectará o ${\vec{F_{13}}}$ na horizontal e na vertical, obtendo assim ${\vec{F_{13x}}}$ e ${\vec{F_{13y}}}$ . Mas para tal, deveremos antes determinar o ângulo ${\alpha}$ .

Neste caso, teremos:

$\displaystyle F_{13x}= F_{13} \cos \alpha$

$\displaystyle F_{13y}= F_{13} \sin \alpha$

Neste caso, calcularemos as componentes do vector resultante em cada eixo:

$\displaystyle \ F_{1x}= F_{12}-F_{13x}$

$\displaystyle \ F_{1y}=F_{14}- F_{13y}$

Em seguida, se poderá calcular o vector resultante:

$\displaystyle F_1= \sqrt{(F_{1x})^2+(F_{1y})^2}$

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1. Electrostática (Introdução). Carga Eléctrica. Electrização dos corpos.

03/18/2022 11:45 pm / Deixe um comentário

1.1. Introdução O conhecimento de fenómenos eléctricos e magnéticos vem já da Antiguidade Clássica: na Grécia de Aristóteles, descobriu-se que o âmbar (‘elektron’) atrai penas ou pós e que a pedra de Magnésia atrai pequenos pedaços de ferro; na China desses tempos já o compasso magnético era usado na navegação. Contudo, o estudo sistemático destes fenómenos só viria a ocorrer nos séculos XVIII e XIX: Charles Du Fay (1733) reconhece haver dois tipos de electricidade (‘vítrea’ e ‘resinosa’), mas seria Benjamim Franklin a propor a existência de cargas positivas e negativas. A electrostática é a parte do electromagnetismo que estuda os fenómenos eléctricos resultantes de cargas eléctricas em repouso. A carga eléctrica, é uma propriedade intrínseca da matéria e está associada a existência da matéria. A unidade de medida da grandeza carga eléctrica no Sistema Internacional de Unidades é o Coulomb, representado por C, que recebeu este nome em homenagem ao físico francês Charles Augustin de Coulomb. Não podemos ver a carga eléctrica, mas podemos sentir os seus efeitos. Podemos dizer que a carga eléctrica representa acumulação de electricidade. Nas suas experiências, os cientistas Milikan e Jofre, concluíram que a carga eléctrica é quantizada, isto é, os seus valores apenas podem ser múltiplos inteiros de um mesmo valor mínimo de carga, denominado carga elementar.

$\displaystyle q= n \cdot e$

Onde: ${n \rightarrow }$ número de partículas. ${e \rightarrow }$ carga elementar (que corresponde a carga de um electrão). A carga eléctrica elementar é a menor quantidade de carga que pode ser encontrada na natureza. A carga eléctrica é uma propriedade fundamental da matéria. As partículas elementares detentoras desta propriedade são o electrão e o protão, ambas constituintes do átomo, localizando-se os protões no núcleo e os electrões em órbitas envolventes do mesmo. Além dos protões, o núcleo dos átomos é também constituído por neutrões, neutros do ponto de vista eléctrico. O modelo atómico simples é ilustrado na figura abaixo, onde os electrões se movem em torno do núcleo do átomo.

Um protão tem uma carga ${q_p=+e}$ e um electrão tem uma carga ${q_e=-e}$ . Um neutrão tem carga eléctrica nula ( ${q_n=0}$ ).

$\displaystyle \vert q_p \vert= \vert q_e \vert= e = 1,602 \cdot 10^{-19} \ C$

Um corpo possui carga positiva se tiver na sua constituição defeito de electrões (ou seja, possui mais protões do que electrões) e possui carga negativa se tiver na sua constituição excesso de electrões (ou seja, possui mais electrões do que protões). O átomo, no estado fundamental é electricamente neutro (ou seja, possui o mesmo número de electrões e de protões, logo a sua carga total é nula ${q_t=0}$ ). Os átomos neutros contêm o mesmo número de electrões e de protões. Os átomos não neutros são designados por iões. Um átomo torna-se num ião negativo(anião) quando captura electrões numa das suas órbitas, e positivo (catião) quando os perde. Os protões, os electrões e em geral os iões são as entidades responsáveis pelo fenómeno da força eléctrica. A figura abaixo apresenta o modelo de um ião positivo. Claramente se nota na figura que o número de protões no núcleo é diferente e maior que o número de electrões em orbita.

Chamamos de carga pontual a qualquer corpo cujas dimensões do corpo seja muito menor do que as distâncias envolvidas no fenómeno, ou seja, as suas dimensões podem ser desprezadas na análise dos problemas. Em um sistema isolado, a carga total permanece constante. Esta afirmação é conhecida como a Lei de Conservação da Carga eléctrica. Existem, dois tipos de materiais. De acordo com a descoberta de Stephen Gray, as cargas eléctricas podiam ser transmitidas através de determinados materiais, mas permaneciam retidas em outros. Aqueles materiais nos quais as cargas fluíam foram chamados de condutores e aqueles nos quais ficavam retidas de isolantes.

Exemplo 1 Consideremos dois corpos condutores carregados inicialmente com cargas ${q_1}$ e ${q_2}$ . Ao colocarmos elas em contacto, elas trocam carga eléctrica (por serem condutoras). Em função disso, a carga de cada uma delas altera-se. Se deixarmos elas em contacto por tempo suficiente, no final a carga equilibra-se. Mas a carga total conserva-se.

$\displaystyle q_1 + q_2= \ q'_1 + q'_2$
Sabemos que: ${ q'_1=q'_2}$ . Logo:
$\displaystyle q_1+q_2=2 \ q'_1$

$\displaystyle \Rightarrow q'_1= \ \frac{q_1+q_2}{2}$

Para se obterem iões, pode se realizar a electrização dos corpos. A electrização são fenómenos em que electrões são transferidos de um corpo para outro devido a uma diferença na quantidade de cargas eléctricas existente os corpos, ou, pela aquisição de energia advinda do atrito entre os corpos. A electrização por atrito (ou fricção) acontece principalmente quando dois ou mais corpos isolantes são friccionados (esfregados) um contra o outro. O processo de esfregar ou friccionar os corpos fornece energia aos electrões desses materiais. Os electrões dos materiais isolantes geralmente encontram-se fortemente atraídos pelos núcleos de seus próprios átomos, por isso, precisam de uma energia extra para saltar de um corpo para outro. Durante a electrização por atrito, um dos corpos perde electrões e o outro ganha . Deste modo, ao final do processo, os dois corpos estarão com cargas de módulo igual, mas de sinais opostos. Nem todos os corpos vão se electrizar quando esfregados. Para se saber quais são os pares de materiais que, quando friccionados, ficam electrizados, é preciso conhecer sua afinidade eléctrica, uma vez que existem materiais que tendem a ganhar electrões, quanto outros tendem a perde-los. A electrização por contacto, diferentemente da electrização por atrito, necessita de pelo menos um dos corpos carregado electricamente. Por exemplo, considere um condutor carregado positivamente e outro condutor neutro. Aproxima-se o condutor positivo do condutor neutro até que ocorra o contacto entre eles. Quando isso acontece, haverá uma transferência de electrões do corpo neutro para o corpo carregado positivamente. Essa transferência irá ocorrer de maneira bem rápida até que ambos os condutores fiquem com o mesmo potencial eléctrico.

Na electrização por atrito (fricção) e por contacto, há obrigatoriamente a necessidade do contacto físico entre os corpos que electriza e o electrizado. Na electrização por indução isso já não é necessário e é por isso que esse processo recebe esse nome de indução. Considere três condutores, um carregado electricamente e ou outros dois neutros e encostados um no outro. Aproxima-se o condutor carregado dos condutores neutros. O condutor carregado será o indutor e os condutores neutros, os induzidos. Durante essa aproximação, observa-se uma separação de cargas nos condutores neutros. Como o indutor é negativo, o induzido mais próximo do indutor ficará carregado positivamente e o induzido mais afastado ficará carregado negativamente. Com o indutor ainda próximo, separam-se os dois condutores que estão juntos. E por fim retira-se o indutor das proximidades dos outros dois corpos. Teremos como resultado os dois condutores que inicialmente eram neutros, agora carregados com cargas de sinais a opostos. Note que em momento algum houve o contacto entre o condutor carregado e os condutores inicialmente neutros.

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas (Parte 4)

08/03/2020 4:52 pm / Deixe um comentário

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 10 Um conjunto de 4 cargas iguais, de ${5 \ \mu C}$ estão dispostas da base de uma pirâmide de base quadrada, dada na figura.

${a= \ h= \ 20 \ mm}$ .

Qual deverá ser a massa da carga de prova (de valor igual) para que ela flutue em equilíbrio dinâmico?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 10 .

O exercício nos apresenta uma carga de prova ${(q_{o})}$ que está acima de um arranjo quadrado de cargas, formando assim uma pirâmide. As cargas se encontram nos vértices da pirâmide.

A carga flutua por interacção electrostática. Sendo que todas as cargas são positivas, existem forças repulsivas constantes entre as cargas.Dados

${K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}$

${H= \ a= \ 20 \ mm= \ 20 \cdot 10^{-3} m}$

${q_0=q_1=q_2=q_3=q_4= \ 5 \ \mu C= \ 5 \cdot 10^{-6} \ C}$

${m-?}$

Sendo que a figura geométrica é regular e simétrica, a distancia entre a carga ${q_0}$ com as outras cargas é igual. Chamamos a esta distancia de ${d}$ .

Veja a figura abaixo.

Considerando o triângulo rectângulo formado entre as cargas ${q_1}$ , ${q_2}$ e o centro do quadrado da base ${O}$ , teremos:

$\displaystyle b^2+b^2=a^2$

$\displaystyle \Rightarrow 2 \cdot b^2=a^2$

$\displaystyle \Rightarrow \cdot b^2=\dfrac{a^2}{2}$

Isolando ${b}$ , teremos:

$\displaystyle b=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}$

Analisando o triângulo rectângulo formado pelas cargas ${q_1}$ , ${q_0}$ e o centro do quadrado da base ${O}$ , teremos:

$\displaystyle b^2+h^2=d^2$

Ou:

$\displaystyle d^2=b^2+h^2$

$\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{a^2}{2}+a^2$

$\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{3a^2}{2}$

Na carga ${q_0}$ actuam ao todo 4 forças repulsivas, da sua interacção com as outras cargas (1, 2, 3 e 4).

Chamamos a estas forças ${F_{01}}$ , ${F_{02}}$ , ${F_{03}}$ e ${F_{04}}$ .

Então:

$\displaystyle F_{01}=F_{02}=F_{03}=F_{04}$

O facto de as distâncias serem todas iguais e de as cargas terem o mesmo valor absoluto, pela lei de Coulomb, nos leva a concluir que as forças electrostáticas de repulsão entre ${q_0}$ e as outras cargas (1, 2, 3 e 4) são todas iguais.

Os seus módulos serão:

$\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{d^{2}}$

Substituindo ${d^2}$ , teremos:

$\displaystyle F_{01} = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{3a^{2}/2}$

Calculando:

$\displaystyle F_{01} = \ 9 \cdot 10^9 \dfrac{5 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}{3(20 \cdot 10^{-3}) ^{2}/2}$

$\displaystyle \longleftrightarrow F_{01} = 375 \ N$

Lembre que:

$\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = 375 \ N$

As forças ${F_{01}}$ , ${F_{02}}$ , ${F_{03}}$ e ${F_{04}}$ , além de terem o mesmo modulo, são todas respectivamente paralelas a diagonal formada pelo segmento que une as cargas que as originam. Neste caso, pela simetria do problema, todas estas diagonais formam o mesmo ângulo ${\theta}$ com o plano horizontal ${xOy}$ .

Neste caso, todas estas forças formarão também o mesmo ângulo ${\theta}$ com o plano horizontal ${xOy}$ .

Se inserirmos um sistema de coordenadas cartesiano em ${q_0}$ e projectarmos as forças, as projecções destas forças no plano ${xOy}$ vão anular-se mutuamente.

Na figura, só representamos as projecções para ${F_{03}}$ e para ${F_{04}}$ . Pela simetria do problema, poderemos deduzir as outras.

O eixo ${x}$ foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem ${q_1}$ e ${q_3}$ .

O eixo ${y}$ foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem ${q_4}$ e ${q_2}$ .

O eixo ${x}$ foi traçado de modo a ser paralelo a vertical que contem o ponto O e ${q_0}$ .

Neste caso:

${F_{01}}$ pertence ao plano ${xOz}$ ,
${F_{02}}$ pertence ao plano ${yOz}$ ,,
${F_{03}}$ pertence ao plano ${xOz}$ ,
${F_{04}}$ pertence ao plano ${zOz}$ .

As componentes horizontais (no plano ${xOy}$ ) anulam-se:

${F_{01x}}$ anula ${F_{03x}}$ ,
${F_{02y}}$ anula ${F_{04y}}$ .

Sobram apenas as componentes verticais. As projecçõpes verticais das forças ${F_{01}}$ , ${F_{02}}$ , ${F_{03}}$ e ${F_{04}}$ podem ser calculadas pelas seguintes relação:

$\displaystyle F_{01z}=F_{01z} \sin \theta$

Temos de obter o ângulo ${\theta}$ . Considerando o triângulo rectângulo formado pelas cargas ${q_1}$ , ${q_0}$ e o centro do quadrado da base ${O}$ , teremos:

$\displaystyle tg \theta = \dfrac{h}{b} \Rightarrow \theta = arctg \dfrac{h}{b}$

Substituindo ${h}$ e ${b}$ pelos seus valores, obtemos:

$\displaystyle \theta = arctg \dfrac{a}{a/\sqrt{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow \theta = arctg \sqrt{2}$

$\displaystyle \Rightarrow \theta = 54,7^o$

Sabemos que, pela simetria do problema ${F_{01z}=F_{02z}=F_{03z}=F_{04z}}$ . Então:

$\displaystyle F_{01z}=F_{01} \sin \theta = 375 cos 54,7^o$

$\displaystyle F_{01z}=216,7 \ N$

As resultante das componentes verticais será igual a força eléctrica resultante em ${q_0}$ , que chamamos de ${F_{el}}$ .

Neste caso:

$\displaystyle F_{el}=F_{01z} + F_{02z} +F_{03z} + F_{04z}$

$\displaystyle F_{el}=4 \cdot F_{01z}$

$\displaystyle F_{el}=4 \cdot 216,7$

$\displaystyle F_{el}=866,8 \ N$

Para quê a carga de prova flutue em equilíbrio dinâmico é necessário que a força eletrostática resultante que atua nela seja igual a força de gravidade:

$\displaystyle F_{el} \ = \ F_{g}$

Então:

$\displaystyle F_{el} \ = \ m \ . \ g$

Ou:

$\displaystyle \ m \ . \ g = F_{el}$

$\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{F_{el}}{g}$

$\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{866,8}{9,8}$

$\displaystyle \Rightarrow m \ = \ 88,44 \ kg$

Exercício 11 Uma carga de prova ${q_0= \ 10 \ \mu C}$ de massa depressível, esta presa numa mola também de massa depressível, com constante ${K'= \ 10 \ N/m}$ , conforme a figura abaixo.

Uma outra carga ${q_1 \ =50 \ \mu C}$ é fixada abaixo desta. qual devera ser a distância entre as cargas para que a mola seja comprimida em 3 cm.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 11 .

O sistema apresenta um arranjo de cargas, onde a carga ${q_0}$ está presa a uma mola. Actuam nela a força eléctrica ${F_{01}}$ e a força elástica ${(F_k)}$ .

A mola está comprimida devido a força de repulsão. A massa da mola é depressível. ${K'}$ -constante elástica e ${K}$ – constante electrostática. O uso de ${K'}$ em vez do habitual ${K}$ para a constante elástica da mola é para distingui-lo da constante electrostática do meio ${K}$ .

As duas cargas são positivas, logo a força de interacção entre elas é de repulsão. Esta força tenderá a comprimir a mola. A compressão termina quando se atinge o equilíbrio entre a força deformadora (força eléctrica) e a força restauradora (força elástica).

Aplicaremos a condição de equilíbrio, substituiremos a força eléctrica pela relação obtida da lei de Coulomb, e isolaremos a distância d.

Dados

${K'= \ 10 \ N/m}$

${K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}$

${x= \ 3 \ cm= \ 3 \cdot 10^{-2}}$

${q_0= \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}$

${q_1= \ 50 \ \mu C= \ 50 \cdot 10^{-6} \ C}$

${d-?}$

Sabemos que, pela lei de Hook:

$\displaystyle F_{k}=K' \cdot x ($

Sabemos também, pela Lei de Coulomb, que:

$\displaystyle F_{01}=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}$

Considerando que na carga ${q_0}$ as duas forças estão em equilíbrio, temos:

$\displaystyle \vec{F_{k}}+\vec{F_{01}}=0$

Em módulo, teremos:

$\displaystyle F_{k}-F_{01}=0$

$\displaystyle \Rightarrow F_{k}=F_{01}$

Substituindo as forças pelas suas relações, temos:

$\displaystyle K' \cdot x=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}$

Passando o ${d^2}$ no membro esquerdo e a ${K' \cdot x}$ para o membro direito, obtemos:

$\displaystyle d^2=\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}$

$\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}}$

Substituindo os valores:

$\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 50 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot (3 \cdot 10^{-2})}}$

$\displaystyle d= \ 3, 87 \ m$

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1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas e Campo Eléctrico(Parte 3)

08/01/2020 6:46 pm / Deixe um comentário

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 7 .

O sistema abaixo mostra três cargas ${ q_1= \ -1,5 \ \mu C }$ ; ${ q_2= \ 5 \ \mu C }$ e ${ q_3= \ 10 \ \mu C }$ .

Qual é a força resultante sobre ${q_2}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 7

Dados .

${ q_1= \ -1,5 \ \mu C = \ -1,5 \cdot 10 ^{-6} \ C }$ .

${ q_2= \ 5 \ \mu C = \ 5 \cdot 10^6 \ C }$ .

${ q_3= \ 10 \ \mu C = \ 10 \cdot 10 ^{-6} \ C }$

O exercícios nós pede para calcular a força resultante ${ q_2}$ .

O sistema apresenta um conjunto de 3 cargas. Neste caso, as forças na carga em questão surgem devido a interacção com as outras duas cargas.

Então, temos 2 forças de interacção. A natureza da interacção depende do sinal das cargas. A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ é de atracção, pois ambas têm sinais opostos. A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ é de repulsão, pois ambas têm sinais iguais.

Denotamos por ${\vec{F_{12}}}$ e ${\vec{F_{21}}}$ as forças de interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ .

Denotamos por ${\vec{F_{32}}}$ e ${\vec{F_{23}}}$ as forças de interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ .

Veja a figura.

neste caso calculamos em cada caso:

Então, observamos que em ${ q_2}$ actua duas forças: ${\vec{F_{21}}}$ e ${\vec{F_{23}}}$ .

Para calcular o valor dos módulos destas forças vamos usar a formula obtida pela lei de Coulomb.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_3}$ temos:

$\displaystyle F_{23}= K \dfrac{| q_2 | | q_3 |}{r_{23}^2}= \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(3 \cdot 10 ^{-3} )^2}$

$\displaystyle F_{23}= \ 5 \cdot 10^4 \ N$

A distancia ${r_{23}}$ foi obtida pela diferença das coordenadas de cada carga: ${r_{23}= \ |x_3-x_2|= \ 7-4= \ 3 m}$ .

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_1}$ temos:

$\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{r_{12}^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 1,5 \cdot 10 ^{-6} \cdot 5 \cdot 10 ^{-6}}{(6 \cdot 10 ^{-3} )^2}$

$\displaystyle F_{21}= 0,1875 \cdot 10^{-4} \ N$

Como tem duas forças que interagem em ${q_2}$ podemos calcular a força resultante em ${q_1}$ .

No caso, as duas forças têm mesmo sentido e mesma direcção. Então, não existe necessidade de projectarmos ou usarmos a lei dos cossenos. A força resultante será obtida pela soma dos módulos dos vectores obtidos:

$\displaystyle F_{r2}=F_{23} + F_{21}=50.000+1.875=51.184 \ N$

Exercício 8 Um sistema apresenta três cargas dispostas nos vértices de um quadrado de aresta a=0,02 mm. Sendo: ${q_1=q_2=q_3= \ 10 \ \mu C}$ , qual será:

O campo eléctrico no outro vértice?
A força na carga ${q_2}$ ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 8

O problema nos pede para determinar o Campo eléctrico no ponto O e a força eléctrica resultante na carga ${q_2}$ .

Para obter o campo eléctrico no ponto ${O}$ , devemos ter em conta que o campo eléctrico obedece ao principio de super posição. Neste caso, o campo eléctrico provocado por um sistemas de cargas é igual á soma (vectorial, visto que o campo eléctrico é uma grandeza vectorial dos campos produzidos por cada carga. (Nota: aqui, quando nos referimos ao campo eléctrico, estamos a falar da sua intensidade).
Para o efeito, temos de achar o campo eléctrico produzidos por cada carga no ponto ${O}$ , para termos o campo resultante neste ponto.

No caso de forças, temos de analisar todas as interacções de ${q_2}$ . Neste caso, são duas: A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ , e a interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ .

Então, temos 2 forças de interacção. A natureza da interacção depende do sinal das cargas. A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ é de repulsão, pois ambas têm mesmo sinal. A interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ também é de repulsão, pois ambas têm sinais iguais.

Denotamos por ${\vec{F_{12}}}$ e ${\vec{F_{21}}}$ as forças de interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_1}$ .

Denotamos por ${\vec{F_{32}}}$ e ${\vec{F_{23}}}$ as forças de interacção entre ${ q_2}$ e ${ q_3}$ .

Dados

${a = 0,02 \ mm = 0,02 \cdot 10^{-3} }$

${q_1 = q_2 = q_3 = 10 \ \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C}$

${ K=8,99 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}$

${ E_{R}-? }$

${F_{q_{2}}-? }$

Para calcularmos o campo eléctrico resultante no ponto ${O}$ , vamos calcular o campo produzido por cada carga e fazer a soma vectorial deles. Como as direcções e sentidos têm importância na soma vectorial, devemos, além de calcular os módulos, representar e determinar geometricamente os ângulos entre estes vectores. Traçando os campos eléctricos no ponto ${O}$ , todos apontando para o sentido oposto as cargas que os origina (visto que as cargas são positivas), observamos que teremos neste 3 campos eléctricos: ${\vec{E_1}}$ , ${\vec{E_2}}$ e ${\vec{E_3}}$ , sendo que o primeiro é vertical e apontando para baixo, o segundo é oblíquo, dirigido paralelamente a diagonal do quadrado e o terceiro é horizontal apontando para a direita. Veja figura.

A diagonal de um quadrado faz um ângulo de ${45^o}$ com as suas arestas.

Pela relação do campo criado por uma carga pontual temos:

$\displaystyle E= K \dfrac{q}{r^2}$

Então para o caso da carga ${q_1}$ , temos:

$\displaystyle E_1=K \dfrac{q_1}{r_1^2}=K \dfrac{q_1}{a^2}$

$\displaystyle \Rightarrow E_1 =9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{10 \cdot 10^{-6}}{(0,02 \cdot 10^{-3})^2}= 2,25 \cdot 10^{14} \ N/C$

Para o caso da carga ${q_3}$ , não precisamos fazer o cálculo, pois ${ E_3 = E_1 }$ , por ter mesmo valor de carga e mesmas distâncias.

Para o caso da carga ${q_2}$ , temos:

$\displaystyle E_2 = K \cdot \dfrac{q_2}{r_2^2} = K \cdot \dfrac{q_2}{b^2}$

Para tal, temos de obter uma relação para ${b}$ .

Usando o teorema de Pitágoras,temos:

$\displaystyle b^2=a^2 + a^2$

$\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{a^2 + a^2}$

$\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{2 \cdot a^2}= \sqrt{2} a$

Logo, voltando a ${E_2}$ , temos:

$\displaystyle E_2 = K \cdot \dfrac{q_2}{(\sqrt{2} a)^2}$

$\displaystyle \Rightarrow E_2=9 \cdot 10^9 \cdot \dfrac{10 \cdot 10^{-6}}{(0,02 \cdot 10^{-3} \cdot \sqrt{2})^2}=1,125 \cdot 10^{14} \ N/C$

Para calcularmos o campo resultante, trabalharemos com o método de projecções. Como s campo eléctrico ${E_2}$ , vamos obter as suas projecções em ${Ox}$ e em ${Oy}$ .

$\displaystyle E_{Rx}=E_3+E_{2x}$

$\displaystyle E_{Ry}=E_1 + E_{2y}$

Substituindo as projecções pelos seus equivalentes, obtemos:

$\displaystyle E_{Rx}=E_3+E_{2} \cdot \cos 45^o$

$\displaystyle E_{Ry}=E_1 + E_{2} \cdot \sin 45^o$

Neste caso, o módulo do vector resultante será:

$\displaystyle E_R=\sqrt{ E_{Rx}^{2} + E_{Ry}^{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow E_R=\sqrt{(E_3+E_{2} \cdot \cos 45^o)^2 + (E_1 + E_{2} \cdot \sin 45^o)^2}$

Substituindo os valores obtidos anteriormente, obtemos:

$\displaystyle E_{R}=\sqrt{( 2,25 \cdot 10^{14}+1,125 \cdot 10^{14} \cdot \cos 45^o)^2 + ( 2,25 \cdot 10^{14} + 1,125 \cdot 10^{14} \cdot \sin 45^o)^2}$

$\displaystyle E_{R}= \ 4,31 \cdot 10^{14} \ N/C$
Para determinamos a Forças resultante na carga ${q_2}$ , devemos representar as forças que actuam nela, conforme explicação anterior. Veja a figura.
De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_1}$ temos:

$\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 10 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(0,02 \cdot 10 ^{-3} )^2}$

$\displaystyle F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N$

Para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_3}$ , não é necessário calcular, pois as cargas que interagem são iguais e estão colocadas a igual distância. Neste caso, temos:

$\displaystyle F_{23}= F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N$

Para achar a força resultante, visto que temos a soma de dois vectores perpendiculares entre si, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

$\displaystyle F_{q_{2}}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{21}}$

Como ${F_{23}= F_{21}}$ , então:

$\displaystyle F_{q_{2}}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2 \ F^{2}_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2} \ F_{23}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=\sqrt{2} \ 2,25 \cdot 10^9$

$\displaystyle \Rightarrow F_{q_{2}}=3,18 \cdot 10^9$

Exercício 9 Um sistema apresenta três cargas dispostas nos vértices de um quadrado de aresta a=0,02 mm. As cargas são: ${q_1=q_2=q_3=10 \ \mu C}$ .

Qual carga(módulo e sinal) deve ser colocado no vértice do quadrado para que a força eléctrica resultante em ${q_2}$ seja igual a zero?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 9 .

Dados

${q_1 =q_2 =q_3 = \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}$

${q_4-? }$

${F_{q_{2}}=0}$
A resolução deste problema possui dois caminhos e dois modos:

Modo 1: Calcular a força eléctrica que as cargas actuais exercem no na carga ${q_2}$ . Em seguida calcular, pela lei de Coulomb, qual carga provocaria uma força tal que anulasse esta força.

Modo 1: Representar o sistema de 4 cargas e representar as 3 forças na carga ${q_2}$ . Aplicar a resultante na carga ${q_2}$ , através das componentes e com a condição de que a força deve ser nula, calcular essa carga desconhecida.

Além dos dois modos, há ainda duas variantes de parâmetros: Podemos resolver considerando a Força eléctrica ou considerando o campo eléctrico.

Vamos resolver este problema considerando o 1º modo e usando a força eléctrica.

Primeiro, vamos calcular a força eléctrica resultante na carga ${q_2}$ no sistema, antes da adição da carga ${q_4}$

Para determinamos a força resultante na carga ${q_2}$ dos efeitos de ${q_1}$ e ${q_3}$ ( ${F_{2,13}}$ ), devemos representar as forças que actuam nela, conforme explicação anterior. Veja a figura.

De acordo com a lei de Coulomb, para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_1}$ temos:

$\displaystyle F_{21}= K\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^9 \ 10 \cdot 10 ^{-6} \cdot 10 \cdot 10 ^{-6}}{(0,02 \cdot 10 ^{-3} )^2}$

$\displaystyle F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N$

Para interacção da carga ${q_2}$ em ${q_3}$ , não é necessário calcular, pois as cargas que interagem são iguais e estão colocadas a igual distância. Neste caso, temos:

$\displaystyle F_{23}= F_{21}= 2,25 \cdot 10^9 \ N$

Para achar a força resultante dos efeitos de ${q_1}$ e ${q_3}$ , visto que temos a soma de dois vectores perpendiculares entre si, aplicaremos o teorema de Pitágoras. Pelo teorema de Pitágoras, temos:

$\displaystyle F_{2,13}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{21}}$

Como ${F_{23}= F_{21}}$ , então:

$\displaystyle F_{2,13}=\sqrt{F^{2}_{23} + F^{2}_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2 \ F^{2}_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2} \ F_{23}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=\sqrt{2} \ 2,25 \cdot 10^9$

$\displaystyle \Rightarrow F_{2,13}=3,18 \cdot 10^9$

Portanto, ${F_{2,13}}$ é a força resultante dos efeitos de ${q_1}$ e ${q_3}$ sobre ${q_2}$ .

Para que a resultante em ${q_2}$ seja zero, é necessário adicionar no vértice ${O}$ uma carga ${q_4}$ que produza em ${q_2}$ uma força ( ${F_{24}}$ ) de igual módulo, mas de sentido oposto.

Neste caso, já concluímos que a carga ${q_4}$ deve ser negativa.

O seu módulo dever ser:

$\displaystyle F_{24} = F_{2,13}$

$\displaystyle K\dfrac{| q_2 | | q_4|}{b^2} = F_{2,13}$

A diagonal do quadrado ${b}$ é obtida da aplicação do Teorema de Pitágoras no triângulo que ele forma com as duas arestas do quadrado.

$\displaystyle b^2=a^2 + a^2$

$\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{a^2 + a^2}$

$\displaystyle \Rightarrow b=\sqrt{2 \cdot a^2}= \sqrt{2} a$

Então:

$\displaystyle K\dfrac{| q_2 | | q_4|}{(\sqrt{2} a )^2} = F_{2,13}$

Então, isolando o modulo de ${q_4}$ , obtemos:

$\displaystyle | q_4| = \dfrac{ F_{2,13}(\sqrt{2} a )^2}{K \cdot| q_2 | }$

$\displaystyle \Rightarrow | q_4| = \dfrac{ 3,18 \cdot 10^9 (\sqrt{2} 0,02 \ \ \cdot 10^{-3} )^2}{ 9 \cdot 10^{9}\cdot 10 \cdot 10^{-6} }$

$\displaystyle \Rightarrow | q_4| = 2,83 \cdot 10^{-5} \ C$

Então:

$\displaystyle q_4 = \ - 2,83 \cdot 10^{-5} \ C$

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1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas (Parte 2)

07/28/2020 9:12 pm / Deixe um comentário

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 4 .

A soma de duas cargas é igual 0. Quando colocadas afastadas em ${1 \ mm }$ a força electrostático entre elas fica igual a ${100 \ mN}$ .

Determine o valor destas cargas .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 4 .

Dados

${ q_1+q_2=0 }$ .

${F=100 \ mN = 0,1 \ N }$ .

${ K= 9 \cdot 10^9 \dfrac{Nm^2}{C^2} }$ .

${ d=1 \ mm = \ 1 \cdot 10 ^{-3} \ m }$ .

${ q_1 \rightarrow ? }$ .

${ q_2 \rightarrow ? }$

Este problema apresenta uma situação de aplicação directa da Lei de Coulomb.

São dadas duas cargas de valores desconhecidos, e definidas duas condições: soma algébrica das cargas e força electrostática.

Uma vez que não temos os valores das duas cargas eléctricas, mais temos a força é essa distância podemos criar um sistema de equação para encontrarmos as duas cargas.

O facto de a soma ser igual a zero, já implica que as cargas têm sinais opostos. Vamos pressupor que a carga ${q_1}$ é positiva e que ${q_2}$ é negativa. Este procedimento será relevante na eliminação do módulo na formula afecta a Lei de Coulomb.

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ k\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(r)^2}=0,1\\ \end{array}\right.$

Nota que, a primeira equação deriva da condição de que a soma seja zero. A segundo equação provém da igualdade entre a relação da força pela Lei de Coulomb e o valor da força dado no enunciado.

Substituindo valores para as constantes e dos dados, temos:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(1 \cdot 10 ^{-3})^2}=0,1 \\ \\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{1 \cdot 10 ^{-6}}=0,1\\ \end{array}\right.$

Resolvendo, temos:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^{15} | q_1 | | q_2 | =0,1\\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{0,1}{9 \cdot 10^{15}}\\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{1 \cdot 10 ^{-1}}{9 \cdot 10^15}\\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1= -q_2 \\ \\ | q_1 \cdot q_2 | ==\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.$

Substituindo ${q_1}$ da primeira equação na segunda, teremos:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q_2 \cdot q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q^2_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.$

Eliminando o módulo, temos:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q^2_2 = =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| = \sqrt{\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}}\\ \end{array}\right.$

$\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| \approx 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.$

Eliminando o modulo de ${q_2}$ , obtemos:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q_2 = - 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.$

Como ${q_1= -q_2}$ , então:

$\displaystyle q_1=3,33 \cdot 10^{-3} \ C$

Exercício 5 Um conjunto de cargas colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de ${50 \ \mu m}$ de aresta, tem todas ${10 \ \mu C}$ . Qual é a força resultante em qualquer carga dos vértices?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .

Dados

${q_1=q_2=q_3=10 \ \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C }$

${a=50 \ \mu m=50 \cdot 10^{-6} \ m }$

${F_{r_{q3}}-? }$

${K=9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2 }$

O problema apresenta um sistema de 3 cargas (num plano). A disposição das cargas é tal que forma um Triângulo Equilátero.

Da geometria plana, sabemos que o triângulo equilátero tem todos os lados e ângulos internos iguais. O valor dos ângulos internos é sempre de ${60^o}$ .

Devemos fazer a figura, inserir um sistema de coordenadas. escolher uma das cargas e indicar as interacções das forças nesta carga.

Como as cargas são todas do mesmo sinal a força entre elas é sempre de repulsão. Escolhemos a carga ${q_3}$ para análise.

A partir da figura, observamos que actuam na carga ${q_3}$ duas forças: ${F_{13}}$ (Força de interacção entre as cargas 1 e 3) e ${F_{23}}$ (força de interacção entre as cargas 2 e 3.

Essas forças estão na direcção da linha que une as cargas em questão e representamo-las como setas que saem da carga naquelas direcções. Como as forças são de repulsão, o sentido escolhido é o sentido que tende a afastar as cargas.

Como temos adição de dois vectores, podemos optar por um dos dois métodos: lei dos cossenos ou decomposição em projecções.

Neste exercício, faremos a decomposição em projecções (por livre escolha).

A força ${\vec{F_{23}}}$ é um vector paralelo ao eixo ${Ox}$ . Não precisa ser projectado.

A força ${\vec{F_{13}}}$ , por não ser paralela ao eixo ${Ox}$ nem ao eixo ${Oy}$ , vamos projecta-la. Dá origem então as projecções ${\vec{F_{13x}}}$ e ${\vec{F_{13y}}}$ .

A partir da figura temos:

Sabemos que ${F_{23}=F_{13}=F}$ , porque tem as mesma cargas e a mesmas distâncias. Então, pela lei de Coulomb, temos:

$\displaystyle \Rightarrow F_{23}=\dfrac{K \cdot |q_2| \cdot |q_3|}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^{9} (10 \cdot 10^{-6})^2}{(50 \cdot 10^{-6})^2}$

Resolvendo, temos:

$\displaystyle F_{23}=36 \cdot 10^{10} \ N =F_{13}=F$

Os ângulos da força ${\vec{F_{13}}}$ se obtêm por análise gráfica. Considerando o axioma de rectas concorrentes, concluímos que o ângulo entre ${\vec{F_{13}}}$ e o eixo ${Ox}$ é ${60^o}$ . O ângulo de ${\vec{F_{13}}}$ com o eixo ${Oy}$ é o complementar de ${60^o}$ , portanto, ${30^o}$ . Neste método, o vector resultante é obtido pelas resultantes em cada eixo.

Neste caso, a projecções resultantes são:

$\displaystyle F_{Rx}=F_{23} + F_{13} \cdot \sin 30^o=F + F \cdot \cos 60^o$

$\displaystyle F_{Ry}=F_{13} \cdot \cos 30^o= \ F \cdot \sin 60^o$

Neste caso, usando o teorema de Pitágoras, teremos:

$\displaystyle F_{r_{q3}}=\sqrt{(F_{Rx} )^2 + (F_{Ry} )^2 }$

$\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{(F + F \cdot \cos 60^o)^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }$

$\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[F(1 + \cos 60^o)]^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }$

$\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[36 \cdot 10^{10}(1 + \cos 60^o)]^2 + (36 \cdot 10^{10} \cdot \sin 60^o)^2 }$

$\displaystyle F_{r_{q3}}=62,35\cdot 10^{10} \ N$

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1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas (Parte 1)

07/14/2020 7:14 pm / Deixe um comentário

— 1. Exercícios sobre Electrostática —

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 1 .

Uma esfera metálica carregada negativamente tem ${ -25 \ \mu C }$ quantos eletrões em excesso foram adicionados a esta esfera? ( ${ q_e=-1,6 \cdot 10 ^{19} \ C }$ ).
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

Dados .

${ q= -25 \ \mu5=-25 \cdot 10 ^{-6} \ 6 }$ .

${ q_e=-1,6 \cdot 10 ^{-19} \ 6 }$ .

${ n \rightarrow ? }$ .

. A carga total é dada por:

$\displaystyle q=n \cdot q_c$

Onde:

${q-}$ é a carga eléctrica total.

${n-}$ é o numero de electrões em excesso ou defeito.

${q_e}$ = é a carga eléctrica elementar

Neste caso, isolando ${n}$ , obtemos:

$\displaystyle q= n \cdot q_c \Rightarrow n= \frac{q}{q_c}= \frac{-25 \cdot 10 ^{-6} \ 6}{-1,6 \cdot 10 ^{-19} \ 6}$

$\displaystyle n= \frac{25 \cdot 10 ^{-6}}{1,6 \cdot 10 ^{-19}}$

$\displaystyle n=1562,5 \cdot 10^{11}$

Neste caso a esfera tem ${1562,5 \cdot 10^{11}}$ electrões.

Exercício 2 .

Qual é a força da interação entre o núcleo e o electrão de um átomo de Hidrogénio, se o raio atómico é de ${ 53 \ pm}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 2 .

Dados .
${ q_p= 1,6 \cdot 10 ^{-19} \ C }$ .

${ q_e= -1,6 \cdot 10 ^{-19} \ C }$ .

${ r= 53 \ pm = 53 \cdot 10 ^{-12} \ C}$ .

${ k \approx \ 9 \cdot 10 ^{9} \ N \cdot m^2/C^2 }$

De acordo com a lei do coulomb temos:

$\displaystyle \overrightarrow{F}=k \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r^2} \overrightarrow{u_r}$

Em módulo:

$\displaystyle F=k \cdot \frac{|q_1| \cdot |q_2|}{r^2}$

O átomo de Hidrogénio, no estado fundamental, tem contem duas cargas (um electrão e um protão) e a distância entre elas é igual ao raio da orbita. Então:

$\displaystyle F=k\frac{ | q_e| \cdot |q_p | }{ r^2}= 9 \cdot 10 ^{9} \frac{( 1,6 \cdot 10 ^{-19} )^2}{( 53 \cdot 10 ^{-12})^2}$

$\displaystyle F= 8,2 \cdot 10 ^{-8} \ N$

A força de interação é de ${ 8,2 \cdot 10 ^{-8} \ N }$ .

Exercício 3 Quando duas esferas(A e B), carregadas e condutoras, com respectivamente ${10 \ nC }$ e ${-5 \ nC}$ e inicialmente num,a distância d, uma da outra, apresentam uma força de ${50 \ m N}$ . Se colocadas em contacto e separadas novamente à distância inicial, qual será a força e a natureza da mesma (actração ou repulsão)?

NÍVEL DE DIFICULDADE: regular.

Resolução 3 .

Dados .

${q_{dA}=10 \ nC= \ 10 \cdot 10^{-9} \ C }$

${q_{dB}=-5 \ nC= \-5 \cdot 10^{-9} \ C}$

${d=d_0=d_1}$

${F_0=50 \ nN= \ 50 \cdot 10^{-3} \ N}$

${F_{1}-?}$

Natureza ${-?}$ .

.
Se trata de duas situações, onde a distância inicial ${(d_0) }$ é igual a distância final ${(d_1)}$ logo: ${d=d_0=d_1}$ .

Ao colocar as esferas juntas, a carga total será a soma das cargas de cada um deles. Como ambas são condutoras, ocorre transferência de electrões de um material para outro. Esta transferência cessa quando as cargas dos dois ficam, iguais. Ao separa-los, cada uma fica com a carga obtida do equilíbrio, que no caso, é igual a metade da carga resultante. Logo:

$\displaystyle q_{1A}=q_{1B}=\frac{q_{A} + q_{B}}{2}=\frac{10 \ nC \ + \ (-5 \ nC)}{2}=\frac{5 \ nC)}{2}= \ 2,5 \ nC = \ 2,5 \cdot 10^{-9} \ C$

No inicio (situação 0), a força de que actua entre as cargas é:

$\displaystyle F_0=k \frac{|q_A| \cdot |q_B|}{d^2} \Rightarrow k=\frac{d^2 \cdot F_0}{2 \cdot |q_A| \cdot |q_B|} \ \ \ \ \ (1)$

Após contacto, os valores das cargas mudam e consequentemente, a força muda. A força de que actua entre as cargas nesta situação 1 é:

$\displaystyle F_{1}=k \frac{(|q_{0A}| \cdot |q_{0B}|}{d^2}= k\frac{|q_{0A}| \cdot |q_{0B}|}{d^2} \ \ \ \ \ (2)$

Substituindo ${k}$ da equação 1 na equação 2, temos:

$\displaystyle F_{1}=\frac{d^2 \cdot F_0}{|q_A| \cdot |q_B|} \cdot \frac{|q_{0A}| \cdot |q_{0B}|}{d^2}$

$\displaystyle F_{1}=\frac{50 \cdot 10^{-3}}{|10 \cdot 10^{-9}| \cdot |-5 \cdot 10^{-9}|} \cdot \frac{ (2,5 \cdot 10^{-9} )^2}{1}$

Nota: Simplificamos as distâncias, pois são iguais.

$\displaystyle F_{1}=6,25 \cdot 10^{-3} \ N$

$\displaystyle F_{1}=6,25 \ mN$

Sendo que as cargas são iguais, a natureza da Força será de Repulsão.

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Introdução ao Electromagnetismo.

07/07/2015 10:46 pm / 1 comentário em Introdução ao Electromagnetismo.

– Carga Eléctrica –

Não podemos afirmar que a carga eléctrica é, podemos apenas descrever o seu comportamento e suas propriedades porque ela está associada à existência das partículas.

No ano 600 a.C os gregos descobriram que friccionando com o lã o âmbar (resina vegetal) adquiria propriedades que atraia certos objectos, ou seja adquiria carga eléctrica.

O termo “eléctrico” vem da palavra grega “elektron” que quer dizer “âmbar”.

A carga eléctrica é uma das propriedades que constituem a matéria. Tal como se caracteriza a interacção gravitacional, em que atribui-se a cada corpo uma massa gravitacional idêntica à massa inercial, também caracterizamos o estado de electrização de um corpo definindo também a sua carga eléctrica. Assim, uma partícula é caracterizada tanto pela sua massa, como pela sua carga.

Existem, no entanto, dois tipos de cargas eléctricas: positiva e negativa. Um corpo que tem igual quantidade de carga positiva e negativa (isto é, carga total igual a zero) designa-se electricamente neutro. É este o caso que acontece com o átomo.

Cargas de mesmo sinal repelem-se e cargas de sinais contrários atraem-se.

Nas experiências de Jofre e Milikan, foi mostrado que a carga eléctrica está quantizada (discreta), isto é, aparece apenas como múltiplo inteiro da carga elementar ${e = 1,6.10^{-19}}$ C.

${ q = n.e }$

Quanto ao valor absoluto, as cargas do electrão e do protão (que constituem os átomos) são exactamente iguais. Por esta razão, o átomo é electricamente neutro.

– Lei de Conservação da Carga Eléctrica –

Quando friccionamos uma barra de plástico com um pedaço de lã, ambos inicialmente carregados, a barra de plástico adquire uma carga negativa (uma vez que ela retira electrões do pedaço de lã), por sua vez, a lã adquire carga eléctrica positiva (uma vez que ela perde electrões).

Portanto, a carga eléctrica total do sistema constituído pelos dois corpos permanece constante, ou seja, a soma algébrica de todas as cargas eléctricas existentes em um sistema isolado permanece constante. Este é o princípio de conservação da carga eléctrica, que foi enunciada pela primeira vez pelo físico Michael Faraday.

As cargas eléctricas podem ser medidas (ou detectadas) com electroscópios devidamente calibrados a que se dá o nome de electrómetros.

A carga eléctrica diz-se pontual quando as dimensões do corpo onde ela se localiza são desprezíveis comparadas com a distância em que o corpo se localiza em relação à outros corpos electrizados (carregados).

Category Archives: 08 Electromagnetismo

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