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Cálculo I – Volume I

Várias pessoas já o haviam solicitado e neste momento o primeiro volume de Cálculo I está preparado.

Deste modo já é possível aos nossos leitores estudarem de uma forma mais estruturada a primeira parte do conteúdo da disciplina de Cálculo I.

Uma vez que nossos leitores vêm de várias partes do mundo iremos disponibilizar várias modalidades de pagamento.

Os interessados deverão entrar em contacto através do email lusoacademia@gmail.com e solicitar uma cópia.

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Matemática, muito estranha?

“Eis uma questão que merece reflexão: existe mesmo um conhecimento que não dependa da experiência e das impressões dos sentidos?”

Immanuel Kant

Em 2006, o mundo Matemático explodiu, uma notícia aterrizou como uma nave na comunidade científica, a famosa conjectura de Poincaré acabara de ser resolvida, um problema que baralhara as melhores mentes por quase um século e que, embora provada ser verdadeira para muitas dimensões restava ainda uma última pedra a ser colocada no edifício, a terceira dimensão, a nossa, o problema, em linguagem comum ” quais são as formas que um espaço tridimensional imerso em um quadridimensional pode tomar?”, grosso modo, ” quais são as possiveis formas que o nosso universo pode ter?”, acabava de ser resolvida. Seu solucionador, Gricha Perelmam, matemático russo, brilhante, génial e simultaneamente, estranho, recluso, um eremita social, o típico estereótipo de um génio louco, insocial, que não se encaixa na sociedade moderna consumista e individualista, que além de ter ignorado os canais científicos apropriados para a publicação de tamanha descoberta também renunciou as glórias materias que tal descobeta lhe proporcionariam. A comunidade matemática, totalmente desconcertada com a solução quase incompreensível dada por ele, tinha ainda de lidar ao mesmo tempo com a imprensa, já que as lendas haviam começado e especulações surgiam sobre o significado real e práctico da prova de Perelmam. Para alguns, ele mostrava definitivamente qual era a forma do universo, para outros não tanto preocupados com os resultados em si ou com uma análise rigorosa deles, sublinhavam entretanto o facto de que Perelmam era um rebelde, anarquista científico, um Matemático punk, inconformado, que não se dobra as imposições materialistas do capitalismo.

Findo o frenesim, restava ainda uma questão a ser respondida, o que afinal este senhor fez? Qual é o real significado de seu trabalho? E talvez ainda de forma mais estranha, como é que ele um mero mortal, fruto do barro, conseguiu a partir da manipulação de simples rabiscos em um quadro negro inferir as possiveis formas que o universo pode ter? Será que de alguma forma aqueles símbolos estavam vivos? Se sim, o que lhes deu vida, que fogo divino incendiou aquelas fórmulas e as tornou capazes de nos desvendar a realidade? Afinal, porquê a matemática funciona, de uma maneira estranha e curiosa, eficazmente como ferramenta para se descrever o mundo?

Antes de pensarmos sequer em responder às questões acima levantadas, se é que existem respostas para elas, devemos recuar um pouco na história até a pré-história: a nossa história começa em uma gruta, em algum lugar no mundo. Os homens, sempre tiveram a necessidade de prever as coisas, e dessa maneira, o poder de reconhecer padrões na natureza sempre foi uma mais valia que ajudou o desenvolvimento do homem, ao mesmo tempo, as exigências do dia a dia, isto é, o simples acto de agrupamento de animais numa sociedade de colectores exigia deles cada vez mais o reconhecimento de certas relações que haviam entre elas. Não sabemos ao certo quando os homens começaram a contar, apenas podemos especular que o processo, seja a contagem de animais ou outras coisas úteis às comunidade primitivas, eram de certa forma conectadas com as pedras, cada uma delas representando um animal, ou riscos em um pedaço de pau, cada um deles representando um objecto que se quer contar, infelizmente, por mais simples que pareça para nós hoje, o passo decisivo, que era o de se abstrair de todos aqueles métodos o conceito de “número”, não foi feito e os questionamentos mais profundos, seja por limitações da linguagem que estava num processo de desenvolivimento ou por não ser útil, foram simplesmente inexistentes.

O próximo passo foi dado pelas civilizações do Oriente próximo e as sociedades que surgiram a partir delas, lá vemos as primeiras sociededas devotadas ao estudo de pequenas extruturas que lhes permitiam medir coisas, ciência essa que ficou sem nome e que consistia essencialmente numa série de procedimentos mecânicos e algorítimicos. Os Egípcios foram os verdadeiros mestres nisso, afinal as pirâmides exigiam conhecimentos de natureza númerica muito elevada e eles compilaram uma série de procedimentos para se facilitar o processo. Um facto muito interessante e um pouco desconcertante, é que tanto Egípcios, Babilônios, Incas, Aztecas, Chineses e até outros povos na África profunda, chegaram a descobrir as mesmas verdades e relações númericas fundamentais que existiam entre as diversas coisas, um exemplo muito interessante é o famoso teorema de Pitágoras que já era conhecido pelos Chineses e Egípcios, muito antes sequer de Pitágoras ter existido, o que suscita questionamentos profundos, como se de facto estas relações fundamentais sempre estivessem estado aí a espera de serem descobertas e que elas independem totalmente de nossas mentes.

O passo seguinte na evolução desses conhecimentos surge numa zona a que hoje chamamos Grécia, na época, um conjunto de estados vizinhos, que apesar de possuírem a mesma religião, isto é, venerarem os mesmos deuses, falarem a mesma língua e admirarem os mesmos heróis Homéricos, sempre estavam em guerra. Lá, uma classe de mercadores que ia constantemente ao Egipto e entrara em contacto com as descobertas e ideias da civilização faraônica, acabou por causar um renascimento intelectual e talvez a primeira grande revolução significativa no mundo Ocidetal, tomando emprestado os conhecimentos e procedimentos Egípcios para a solução numérica de certos problemas, atribuíram-lhe um nome especial, Matemática, que traduzido do grego significa mais ou menos algo como “inclinado a aprender”. Com os Gregos, levados pela revolução no pensamento que estavam a observar, esse corpo de conhecimentos foi expandido, estudado, sistematizado pela primeira vez, de uma série de procedimentos muitas vezes dispersos, isolou-se uma matriz comum, e criaram-se os axiomas, verdades indubitáveis e evidentes, que serviriam de bloco para a construção de conhecimentos mais complexos, não usando outra coisa, senão a razão, agora sujeita a regras claras de pensamento, a lógica. Nela se destacam dois pensadores geniais, Pitágoras, o famoso matemático, que também era místico e sacerdote de uma seita exotérica, acreditava, após observar o modo como a Matemática estava relacionada com o mundo, que a unidade fundamental da realidade é o número, tudo é número, e as coisas surgiriam pela combinaçâo destes, outro sucessor de Pitágoras, embora não alinhado com suas ideias pouco ortodoxas foi Platão que acreditava que esse mundo era apenas uma cópia imperfeita de uma realidade mais perfeita, o famoso mundo das ideias, acessível ao homem apenas depois da morte, porque o corpo manchado pela carne não podia pois ascender a perfeição, apenas a ideia pura, i.e., a alma, poderia atingir esse mundo, daí concluiu Platão que o que havia em comum, por exemplo, entre um par de sandálias e um outro de pães, era a ideia do número dois, desse modo a Matemática seria um modo de descrevermos a verdadeira realidade, esse mundo inteligivel, que não era aberto aos nossos olhos, assim, a matemática deve existir fora de nossa mente, pois ela faz parte do mundo das ideias, essa visã ficou conhecida como Platonismo e hoje eu posso afirmar com bastante certeza que ela é a visão de boa parte dos matemáticos.

Mas, a evolução levada a cabo pelos gregos, Pitágoras e Platão, por si só não respondeu de maneira satisfatória de o por que ela funcionar de um modo desconcertante, mais tarde Eugene Wigner diria que essa é uma dádiva que nós não merecemos, é que, escondido entre o emaranhado de símbolos algébricos existe um significado e nós sempre retiramos dalí mais do que nós colocamos. Seja com Newton e sua teoria da gravitação que foi verificada como certa em uma parte por milhão, ou as leis de Kepler deduzidas de simples observações pouco rigorosas e cheias de superstições astrológicas, até mesmo a moderna mecânica quântica, que pela natureza quase invisível dos objectos por ela tratados, e do deconhecimento aberrante do modo como eles funcionam, temos de cada vez mais confiar em equações para obtermos um conhecimento do modo como elas realmente se comportam, enfim, a matemática é realmente estranha, e mais estranha ainda é ela funcionar, infelizmente eu não sei as respostas todas, mas eu penso que uma compreensão sobre a estranheza da matemática é um primeiro passo para uma verdadeira compreensão do modo como a realidade funciona. No fundo, ela é o único meio que possuimos para desvendarmos o profundo e escondido no universo, e diriam alguns, talvez ela mesma seja a nossa realidade.

A Importância das CTEM

Ao longos dos séculos várias sociedades na história da humanidade procuraram perceber o mundo que está à nossa volta. Naturalmente as explicações encontradas eram muito simplistas no princípio, mas com o passar do tempo o nível de sofisticação foi aumentando. Isto equivale a dizer que os fenómenos a serem estudados foram se tornando cada vez mais complexos e consequentemente as ferramentas utilizadas foram se tornando também mais complexas.

Importa aqui realçar que a compreensão alcançada dos fenómenos naturais permitiu à espécie humana controlar o meio ambiente e com isso alcançar melhores condições de vida. Muitos exemplos podem ser dados para substanciar a afirmação anterior, mas iremos apenas indicar a Revolução Industrial. Esta aconteceu durante o princípio da primeira metade do Séc. XVIII e estendeu-se até ao final da primeira metade do Séc. XIX. Durante este período assistiu-se a uma intensa mecanização dos métodos de produção, a utilização crescente da energia a vapor e a fabricação de produtos químicos para os mais variados fins.

Estes progressos tiveram várias consequências positivas nos países onde foram implementados. Os volumes de produção aumentaram de uma forma incrível, um maior número de pessoas passou a ter acesso aos bens e o número de empregos aumentou pois as novas fábricas que estavam ser formadas precisavam de força de trabalho. Do lado demográfico também vimos avanços incontestáveis com a melhoria generalizada das condições de vida: aumento da população, aumento da esperança média de vida e diminuição da mortalidade infantil.

Na última década do Séc. XX surgiu nos EUA a sigla STEM que significa “Science, Technology, Engineering and Mathematics” que significa “Ciência, Tecnologia, Engenharia e Matemática” (em português vamos optar pela sigla CTEM). Muito mais que uma simples sigla esta é uma perspectiva integrada de olhar para todas as áreas que são responsáveis pelos avanços técnicos alcançados pelos seres humanos. No entanto, como já vimos, estes avanços de natureza mais técnica acarretam sempre progressos noutras áreas.

Deste modo é muito importante realçar as vantagens associadas a termos uma sociedade que aposta nas CTEM como forma de potenciar o seu desenvolvimento noutras áreas não directamente relacionadas com as CTEM. è bastante claro que o investimento aplicado em áreas mais experimentais como as engenharias acarretam várias vantagens para as sociedades e potenciam o seu crescimento económico. No entanto, vários estudos foram já feitos e todos eles comprovam que o investimento em áreas como a Física e a Química vêm um maior crescimento na sua Economia quando comparados com países que se focam somente nas ciências aplicadas.

Podemos então concluir que esforços devem ser envidados para apoiar a educação de base nas CTEM ao mesmo que se investe na produção investigação científica de natureza mais fundamental para alavancarmos o desenvolvimento económico em países de renda média (como é o caso de Angola.

Exercício 1 Prove que as funções dadas abaixo são soluções das equações diferenciais:

  • {y''+y=x}, {y(0)=0}; onde {y=e^{-x}+x-1}.
  • {(y')^{3}=y}, {y(0)=0}; onde {8x^{3}+27y^{2}=0}.
  • {y''+25y=0}; onde {y=c_{1}\cos 5x}.
  • {y'=2xy+1}; onde {y=e^{x^{2}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}.
  • {xy'=y+x\sin x}; onde {y=x\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt}
Exercício 2 Achar os valores de {m} para os quais {y=e^{mx}} é uma solução das equações diferenciais abaixo:

  • {2y'''+y''-5y'+2y=0}.
  • {y'-2y=0}.
Exercício 3 Se {y'-xy^{\frac{1}{2}}=0}. Demonstrar que:

  • {y=(\frac{x^{2}}{4}+C)^{2}} é solução geral da equação acima.
  • Se {C=0}, mostrar que {y=\frac{x^{4}}{16}} é uma solução particular.
  • Explicar porque {y=0} é uma solução singular.
Exercício 4 A tangente de uma familia de curvas em qualquer ponto {(x,y)} do plano {xy} está dada por {4-2x}.

  • Estabeleça a equação diferencial da familia.
  • Determinar uma equação para aquela linha particular que passa pela origem.
  • Desenhe alguns membros da familia achada anteriormente.
Exercício 5 Se {y=Y_{1}(x)} e {y=Y_{2}(x)} são duas soluções de {y''+3y'-4y=0}. Mostre que:

  • {C_{1}Y_{1}(x)+C_{2}Y_{2}(x)} também é uma solução da equação, onde {C_{1}} e {C_{2}} são constantes arbitrárias.
  • Use os resultados anteriores para achar uma solução de uma equação diferencial que satisfaça as condições {y(0)=3}, {y'(0)=0}.

— 1.2. Teorema de Existência e Unicidade, Interpretações Gráficas —

Na última aula, deparamo-nos com uma equação diferencial que tinha solução, apenas não era única. Hoje começaremos por enunciar o teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem.

Teorema 1 Dada uma equação diferencial ordinária de primeira ordem {y'=f(x,y)}, se {f(x,y)} satisfaz as seguintes condições:

  • {f(x,y)} é real, finita, simples valorada e continua em todos os pontos de uma região {\omega} do plano {xy} (podendo conter todos os pontos).
  • {\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}} é real, finita, simples valorada e continua em {\omega}.

Então, existe uma e só uma solução {y=g(x)} em {\omega} tal que {y=y_{0}}, quando {x=x_{0}}, isto é, {y(x_{0})=y_{0}}.

Demonstração: Consulte um bom livro de Análise Funcional. \Box

Uma interpretação gráfica deste teorema é que se {\omega} é uma região na qual as condições especificadas se cumprem, então por qualquer ponto {(x_{0},y_{0})} em {\sigma} passará uma e só uma curva {C} cuja tangente em qualquer ponto de {\sigma} está dada por {y'=f(x,y)}. A solução {y=g(x)} representa a equação desta curva em {\sigma}.

Exemplo 10 Este exemplo foi retirado do livro Murray Spiegel (Equações Diferenciais Aplicadas). Determine se existe uma solução única para o problema de valor inicial

\displaystyle y'=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})},\text{ }y(1)=2.

Demonstração: Temos {f(x,y)=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}, {\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}}. Podemos observar então que o conjunto solução se encontra no interior do círculo {x^{2}+y^{2}=9} e inclui o ponto {(1,2)}, então pelo teorema de existÊncia e unicidade ela é única.

\Box

— 1.3. Isoclinas ou Campos de Direcções —

Consideremos a equação diferencial

\displaystyle  y'=f(x,y) \ \ \ \ \ (4)

onde a função à direita depende tanto de {x} quanto de {y}, e saisfaz as condições do teorema de existência e unicidade. Para resolvermos esta equação, se poderia pensar em integrar ambos lados de (4) com respeito a {x} e {y}, i.e., { y(x)=\int f(x,y)dx+C}, infelizmente esta abordagem não conduz à uma solução de (4) porque o integral envolve a mesma função que se quer determinar {y(x)}.

Exemplo 11 A equação {y'=x+y} não pode ser solucionada de modo directo.

Mas, existe um caminho geométrico mais simples para obtermos as soluções da equação diferencial dada {y'=f(x,y)}.

Em cada ponto {(x_{0},y_{0})} da região {\sigma} podemos construir uma linha com tangente igual a {f(x_{0},y_{0})}, ao qual geralmente se chama elemento de linha. Ao fazermos isto para um número suficientemente grande de pontos (campos de direcções da EDO), os elementos de linha representam linhas tangentes a curva solução em cada ponto.

Desta maneira poderemos obter uma representação gráfica da solução sem mesmo resolver a equação. As isoclinas correspondem assim aos pontos onde a iclinação, ou tangente, é constante.

Análise Funcional -Aula 3

— 1.4. Solução dos Problemas Propostos da aula 2 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça. Para o bem do leitor, muitas vezes darei apenas soluções parciais aos problemas para que dessa forma possas preencher os detalhes que faltam e completar os argumentos.

5.(solução) Basta tomarmos {x=(x_{1},\cdots,x_{n},0,0,\cdots)} e {y=(1,0,0,\cdots)} e substituirmos na desigualdade de Cauchy.

6.(solução) Podemos tomar {x_{n}=(\frac{1}{\ln 2},\frac{1}{\ln 3},\frac{1}{\ln 4},\cdots)=\{\frac{1}{\ln n}\}_{n=2}^{\infty}} e aplicarmos o critério da razão, i.e., para provarmos que ela tende a zendo basta calcularmos o limite da razão com uma sequência que tende a zero. Ao solucionarmos este problema é importante lembrarmo-nos dos conceitos de série e convergência de séries.

7.(solução) Basta tomarmos a conhecida sequencia {x_{n}=\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}}.

8.(solução) Para a parte a) basta usarmos o facto de que {\delta(A)} é uma cota superior do conjunto {\{d(x,y): x,y\in A\}} e usarmos a propriedade {A\subset B \Longrightarrow \sup A\leq \sup B}.

b)A primeira implicação é facíl, já que se {\sup \{d(x,y): x,y\in A\}=0\Longrightarrow x=y}. A segunda implicação é trivial.

9.(solução) a) Vamos demonstrar apenas que {d_{1}(x,y)} satisfaz a desigualdade triângular.

Sejam {x,y, z\in X} temos:

\displaystyle d(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq \sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},z_{1})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},z_{2})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq d(x,z)+d(z,y)

no ultimo passo usamos a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}.

b) Para a segunda métrica também provaremos apenas a desigualdade triângular:

Uma dica do Kreyszig, basta aplicar o seguinte,

\displaystyle \max_{k=1,2}d_{k}(x_{k},y_{k})

\displaystyle \leq \max_{k=1,2}[d_{k}(x_{k},z_{k})+d_{k}(z_{k},y_{k})]

\displaystyle \leq \max_{i=1,2} d_{i}(x_{i},z_{i})+\max_{j=1,2}d_{j}(x_{j},y_{j})

10.(solução) Muito simples….

11.(solução) Para a desigualdade triângular use a a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}.

— 1.5. Topologia Básica dos Espaços Métricos —

Em geral, existem duas maneiras de se introduzir uma extrutura topologica num conjunto. A primeira, usando o conceito primitivo de conjunto aberto e a segunda pelo conceito de distância ou métrica. Nós vamos seguir a segunda abordagem.

Definição 6 Dado {x \in (X,d)} e {r>0}, temos as seguintes definições:

  • (Bola aberta) {B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}.
  • (Bola fechada) {\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}
  • (Esfera){S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}}
Comentário 7 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em {\mathbb{R}^{3}}. Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., {S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}=\emptyset }, para isso, basta tomarmos {r\neq1}.
Exemplo 7 Em {\mathbb{R}}, as bolas abertas e fechadas são os intervalos abertos (resp. fechados), i.e., da forma: {B(x,r)=(x-r,x+r)}.

— 1.5.1. Propiedades das Bolas Abertas —

Seja {(X,d)} um espaço métrico, então:

Proposição 2 Dadas duas bolas abertas {B(x,r_{1})} e {B(x,r_{2})}, então :

\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja {y\in B(x,r_{1})} então

\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}

logo, {y\in B(x,r_{2})}. \Box

Proposição 3 Seja {y} um ponto em {(X,d)} tal que {y\in B(x,r)}, então existe uma bola {B(y,r_{1})} ({r_{1}>0}), tal que

\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)

Demonstração: Seja {y\in B(x,r)}, se tomarmos {r_{1}=r-d(x,y)} teremos:

\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.

\Box

Proposição 4 Sejam {B(x,r_{1})} e {B(y,r_{2})}, tais que {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})\neq \emptyset}. Se {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então existe uma bola aberta de centro {a} contida na intersecção {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}.

Demonstração: Seja {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então pela Proposição anterior existe {B(a,r_{3})}, tal que {B(a,r_{3})\subset B(x,r_{1})} e {B(a,r_{3})\subset B(y,r_{2})}. Seja {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, então

\displaystyle B(a,r)\subset B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2}).

\Box

Proposição 5 Sejam {B(x_{1},r_{1})} e {B(x_{2},r_{2})} duas bolas abertas. Se {r_{1}+r_{2}\leq d(x_{1},x_{2})}, então

\displaystyle B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})=\emptyset.

Demonstração: Suponhamos pelo contrário que {B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})\neq\emptyset}, então {\exists x\in B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})}, logo

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,x_{1})+d(x_{2},x)\leq r_{1}+r_{2}.

\Box

Proposição 6 O diâmetro de uma bola {B(x,r)} satisfaz:

\displaystyle \delta(B(x,r))\leq 2r

Demonstração: Sejam {y,z\in B(x,r)\Longrightarrow d(x,y)<r} e {d(z,x)<r}, então

\displaystyle d(y,z)\leq d(z,x)+d(y,x)<2r

que é uma cota superior do conjunto das distâncias entre dois pontos, logo:

\displaystyle \delta(B(x,r))=\sup_{y,z\in B}d(x,y)\leq 2r.

\Box

Definição 7 Dado um conjunto {A\subset(X,d)}. Dizemos que {x} é um ponto interior de {A} se para todo {r>0} existe uma bola {B(x,r)} tal que:

\displaystyle B(x,r)\subset A

O conjunto de todos os pontos interiores de {A}, denotado por {int(A)} ou {A^{\circ}}, ou seja, {A^{\circ}=\{x\mid x \text{ é um ponto interior de }A\}}. Um conjunto é fechado se o seu complementar é aberto.

Teorema 7 A colecção de todos os subconjuntos abertos de {X} é uma topologia em {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Comentário 8 Muitos estudantes, pelas definições acima podem ser levados a pensar que se um conjunto não é fechado então deve ser aberto. Infelizmente este é um grande absurdo, e.g., {\emptyset} e {X} são ao mesmo tempo abertos e fechados.

— 1.5.2. Propriedades dos Conjuntos Abertos —

Proposição 8 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Ver a Proposição 1.3. \Box

Proposição 9 A intersecção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Demonstração: Sejam {A_{1}} e {A_{2}} dois conjuntos abertos e {A_{3}=A_{1}\cap A_{2}}. Se {x\in A_{1}\cap A_{2}\Longrightarrow \exists B(x,r_{1}),B(x,r_{2})}, basta tomarmos {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, daí {B(x,r)\subset A_{1}\cap A_{2}=A_{3}}. \Box

Uma generalização da proposição acima é a seguinte:

Proposição 10 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto.

Demonstração: Seja {x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{k}} para todo {k}. Então existem {r_{k}>0} tais que {B(x,r_{k})\subseteq A_{k}}. Se {r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}} então {r>0} e {B(x,r)\subseteq\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto. \Box

Comentário 9 Em geral, a intersecção arbitrária de abertos não é um aberto, basta tomarmos, por exemplo, em {\mathbb{R}} o conjunto {A_{n}=\{x\in \mathbb{R}:-\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\}}.
Proposição 11 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cup_{i\in I}A_{i}} é um aberto, onde {I} é um conjunto enumerável.

Demonstração: Deixada como presente para o leitor. \Box

Definição 8 Sejam {(X,d)} e {(Y,\rho)} dois espaços métricos. Uma aplicação {f:X\longrightarrow Y} é contínua no ponto {x_{0}} se para todo {\epsilon >0} existe um {\delta >0} tal que {\rho(f(x),f(x_{0})<\epsilon} para todo {x} satisfazendo {d(x,x_{0})<\delta}, f é dita ser contínua se é contínua em cada ponto de {X}.
Teorema 12 Uma aplicação {f} de um espaço métrico {X} em um espaço métrico {Y} é contínua se e só se a imagem inversa de qualquer subconjunto aberto de {Y} é um subconjunto aberto de {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Definição 9 Seja {E\subset X}. {x_{0}\in X} (pode ou não pertencer a {E}) é chamado ponto de acumulação ou ponto limite de {E} se em toda vizinhança de {x_{0}} existe pelo menos um ponto {y\in E} distinto de {x_{o}}. O conjunto formado por todos os pontos de acumulação de {E} é chamado de fecho de {E} e é denotado por {\overline{E}}. Um subconjunto {E} de um espaço métrico {X} é denso em {X} se

\displaystyle  \overline{E}=X.

Um espaço métrico {X} é separavel se contém um subconjunto denso enumerável. Como recomendação final, propomos que o leitor consulte um bom livro de Análise Funcional e resolva todos os problemas propostos relacionados ao tema tratado hoje.

1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica

Séries Numéricas

— 1. Conceitos Fundamentais —

Definição 1 Uma sucessão de números reais é simplesmente uma sequência infinita de números. Tipicamente utilizamos letras minúsculas para designar sucessões (a,u,v, e assim sucessivamente) e referimo-nos ao n-ésimo termo da sucessão u como {u_n}. como {u_2} designa o segundo termo da sucessão {u}.
Exemplo 1 As seguintes sequências são exemplos de sucessões reais.

  • a) {\{1,2,3,4,5,6,7...\}}
  • b) {\{ 1,4,9,16,25,36...\}} Estas sucessões têm uma regularidade bastante clara. A primeira é a sucessão de números naturais, a Segunda é a Sucessão dos Quadrados Perfeitos.

Teste da Convergencia das Sucessões Uma Sucessão infinita é convergente, se existe o limite da sucessão {a_n}, quando {n \rightarrow } {\infty}.

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = L

onde {L} é um número.

Exemplo 2

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{2^n} = 0

avaliando para {x=1},

{{ 1, 1^2, 1^3, 1^4,..}} { = 1^n , n = 1, 2, 3,...}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 1^n = 1

. Portanto, para {x=1} é convergente. avaliando para {x=2}, {{2, 2^2, 2^3, 2^4,...}} { = {2,4,8,16,...} = 2^n}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 2^n = \infty

. Portanto, para {x=2} é divergente.

Definição 2 Seja {a} uma sucessão chama-se sucessão das somas parciais de {a} à sucessão {S_a} tal que

\displaystyle S(a)_n = a_0+a_1+a_2+...+a_n+... = \sum_{i = 0 }^n a_i

chama-se série a expressão formal que denota a soma de todos os termos de {a},

\displaystyle \sum_{n = 0 }^\infty a_n

e se {\lim S(a)_n}, existir e for finito, dizemos que a série é somável ou convergente e que o seu valor é esse limite. caso contrário diz-se a série é divergente. tal como a definimos, o valor de uma série(também chamado a soma da série)é simplesmente um limite de uma sucessão, a sucessão ds somas parciais doutra sucessão. É precisamente esta definição intuitiva de série como a soma de todos os termos das sucessão: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, então faz sentido dizer que esse limite é a soma de todos esses valores.

Critérios Para Conferir a Convergência das Séries Numéricas

Definição 3 Critério de Cauchy, Para que a série numérica seja convergente, é necessário e suficiente que para todo {\epsilon>0}, exista {N=N_\epsilon}, tal que para todos os n>1 e p=1,2,…, cumpra-se a desigualdade { \mid S_{n+p} - S_n\mid = \mid u_{n+1} + u_{n+2} + u_{n+3}+...+u_{n+p}\mid<\epsilon} critério necessário de convergência: se a série converge, então

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} u_n = 0

. Este critério é necessário, mas não é suficiente. Quer dizer que quando uma série não o cumpre, então a série é divergente. Mas se uma série o cumpre, então não pode-se dizer nada sobre a convergência.

Exemplo 3 Mostre que a série

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}

converge e ache sua soma. repare que a fracção {\frac{1}{x(x+1)}} pode-se representar também como {\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}}, dai que { S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1}},

  • { S_2 =\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}},
  • { S_3 = \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}}, e assim por diante. esta propriedadeda da série

    \displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

    chama-se de telescópica. daí que { S_n=1-\frac{1}{n+1}}. portanto,

    \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n+1}) = 1

    ; ou seja , a série é convergente e sua soma é igual a 1. Repare-se que neste caso, conferimos que a série é convergente, como consequência de ter determinado sua soma. Como provamos que a série tem soma, então a série é convergente.

Este exemplo é muito especial, porque é relativamente fácil determinar a soma da série

\displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

. Nem sempre é possível achar uma expressão para a soma de uma série. Daí que geralmente o mais importante é apenas conferir se a série é ou não é convergente.

 

Análise Funcional – aula 2

— 1.2. Solução dos Problemas Propostos da aula 1 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça.

1.(solução)

Os dois primeiros axiomas são de facíl verificação, passemos agora para a demonstração da desigualdade triângular,i.e., devemos mostrar que:

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

Se tomarmos {a=x-z, b=z-y}, temos que {a+b=x-y}, então fazendo uso da desigualdade triângular nos reais {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid} e da desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}, temos:

\displaystyle \sqrt{\mid x-y\mid}=\sqrt{\mid (x-z)+(z-y)\mid}\leq \sqrt{\mid x-z \mid +\mid z-y\mid }=\sqrt{a+b}

\displaystyle \Longleftrightarrow \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\mid x-z\mid}+\sqrt{\mid z-y\mid}

Assim provamos que a aplicação definida por {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}} é uma métrica sobre {\mathbb{R}}.

2.(solução)

a) À primeira vista a aplicação {d_{1}(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid} parece ser uma métrica,mas é facil notar que ela não satisfaz a segunda parte do primeiro axioma da definição de métrica, {d_{1}(x,y)=0\Longleftrightarrow \mid x^{2}-y^{2}\mid=0\Longleftrightarrow x=y} ou {x=-y} daí concluimos que a aplicação não é uma métrica em {\mathbb{R}}, mas é facíl verificar que é uma métrica se tomarmos os subconjuntos {\mathbb{R^{+}}\cup \{0\}} ou {\mathbb{R^{-}}\cup \{0\}}.

b)Seja {x=y=1} então {d_{2}(1,1)=1\neq0} logo não é uma métrica.

c)É facíl verificar que os primeiros axiomas são satisfeitos. Para demonstrarmos a desigualdade triângular consideremos primeiramente a função {f(a)=\frac{a}{1+a}}, é de facil verificação que a função {f} é crescente (usando Cálculo elementar), logo se {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid \Longrightarrow f(\mid a+b\mid)\leq f(\mid a\mid +\mid b\mid)}, então

\displaystyle \frac{\mid a+b\mid}{1+\mid a+b\mid}\leq\frac{\mid a\mid +\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}= \frac{\mid a\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}+\frac{\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}

Tomando {a=x-z} e {b=z-y}, temos o que queremos.

3.(solução)

(i) Se tomarmos {\rho(x,y)=kd(x,y)}, é facíl vermos que:

\displaystyle \rho(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow k> 0

e que as restantes propriedades são facilmente satisfeitas.

(ii)Do mesmo modo é simples verificar que {\rho(x,y)=d(x,y)+k} é uma métrica sse {k=0}.

4.(solução) Podemos escrever a desigualdade triângular do seguinte modo:

\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \Longleftrightarrow d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)

e a desigualdade contrária segue de

\displaystyle d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)

— 1.3. Outros Exemplos de Espaços Métricos —

Bem-vindos a segunda aula de análise funcional, hoje vamos explorar com um pouco mais de profundidade alguns espaços métricos que são de etrema importância para a análise funcional. Para começarmos introduziremos algumas desigualdades famosas e muito úteis, que não serão demonstradas.

Definição 2 Dois expoentes {p} e {q} são dito conjugados sse:

\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.

Sejam {p} e {q} dois expoentes conjugados têm-se a seguinte desigualdade de Holder:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{q})^{\frac{1}{q}} \ \ \ \ \ (2)

Se tomarmos {p=q=2} na desigualdade (2) teremos a chamada desigualdade de Cauchy-Buniakovsky-Schwarz:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}} \ \ \ \ \ (3)

A desigualdade de Holder (2) é geralmente obtida da desigualdade de Young:

\displaystyle  xy\leq \frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{q}}{q} \ \ \ \ \ (4)

onde {p} e {q} são conjugados.

Comentário 5 Um corolário trivial da desigualdade acima é o facto de que a média geometrica entre dois números não excede sua média aritmética, para mostrarmos esse facto basta tomarmos {p=q=2}.

E por último temos a desigualdade de Minkovsky:

\displaystyle  (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}+y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}\leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}+(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}} \ \ \ \ \ (5)

Comentário 6 É importante notarmos que a desigualdade de Mimkovsky não é verdadeira para {p<1}, e que quando {p=1} temos uma simples desigualdade que exprime o facto de que o modulo da soma não excede a soma dos modulos.
Exemplo 4 Retomaremos um exemplo da aula anterior, relacionado à métrica { d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}} em {\mathbb{R}^{n}}, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n})=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n})=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}}. Demonstração: O objectivo é provarmos que o par {(\mathbb{R}^{n},d_{n})} é um espaço métrico. De facto, os dois primeiros axiomas são de facil verificação e são deixados ao leitor como exercícios, passemos então a demonstração da desigualdade triângular, para tal faremos uso da desigualdade (3). Sejam {x,y,z\in \mathbb{R}^{n}} então {\exists \{x_{k}\}_{k=1}^{n}, \{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {\{z_{k}\}_{k=1}^{n}} tais que {x=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}, y=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {z=\{z_{k}\}_{k=1}^{n}}, fazendo então a substituição {a_{k}=x-z, b_{k}=z-y} temos:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{2}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}

\displaystyle \Longleftrightarrow\leq\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}.\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}=(\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}})^{2}

\Box

Consideremos agora o espaço {l^{p}(p\geq 1)} ou espaço das sequências {p}-somaveis definido da seguinte forma:

\displaystyle l^{p}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{p}<\infty\}

Reparem que os elementos do espaço {l^{p}} são sequências com infinitos pontos, fazendo desse espaço um espaço discreto. É facil verificarmos que a aplicação

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{p} )^{\frac{1}{p}}

é de facto uma métrica, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n},\cdots)} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n},\cdots)}. A demonstração desse facto é deixada ao leitor, para a desigualdade triângular basta aplicar a desigualdade (5).

Quando {p=2} o espaço resultante, {l^{2}}, é geralmente conhecido por espaço de Hilbert ou espaço da sequências de quadrado somaveis. Definido da seguinte maneira:

\displaystyle l^{2}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{2}<\infty\}

com a métrica definida da seguinte forma:

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{2} )^{\frac{1}{2}}

Além das mencionadas acima, existem muitas outras métricas de extrema importância, até podemos formar metricas de métricas, por exemplo, no primeiro exercício dos problemas propostos na aula passada, nós podemos generalizar, obtendo assim o facto de que se {d(x,y)} é uma métrica sobre {X} então a aplicação

\displaystyle \rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}

também é uma métrica sobre {X}.

Exemplo 5 Consideremos a métrica definida por

\displaystyle \rho(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}\frac{\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}{1+\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}

sobre o espaço das funções continuas em {(-\infty,\infty)} torna esse conjunto um espaço métrico. Deixamos para o leitor a demonstração desse facto, como sugestão, lembre-se das suas aulas de Cálculo e as propriedades das funções continuas e séries (mostrar antes que a métrica estábem definida, em caso de duvidas contacte-nos atráves do blog deixando sua questão).

Mostraremos agora que o produto cartesiano {X_{1}\times X_{2}} de dois espaços métricos {(X_{1},d_{1})} e {(X_{2},d_{2})}, também pode ser transformado em um espaço métrico.

Exemplo 6 Consideremos o conjunto {X=X_{1}\times X_{2}} onde {X_{1}} e {X_{2}} são espaços métricos, definimos nele a métrica

\displaystyle d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})

vamos mostrar que o par {(X,d)} é um espaço métrico, onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. Demonstração:

(i) É evidente que {d(x,y)\geq } já que é a soma de duas metricas não negativas. Se {d(x,y)=0 \Longleftrightarrow d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})=0} como as métricas são não negativas então para a soma ser zero ambas tem de ser zero,i.e., {d_{1}(x_{1},y_{1})=0\Longrightarrow x_{1}=y_{1}} e {d_{2}(x_{2},y_{2})=0\Longrightarrow x_{2}=y_{2}}, o inverso é facil de mostrar assim como o axioma (ii).

(iii)Para demonstrarmos a desigualdade triângular,tomemos {d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})\leq d_{1}(x_{1},z_{1})+d_{1}(z_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},z_{2})+d_{2}(z_{2},y_{2}) } reagrupando a desigualdade obtemos

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

\Box

Como verificamos pelos exemplos acima, a partir de uma métrica podemos formar ou construir outras métricas, passemos agora para novos conceitos.

Definição 3 Seja {(X,d)} um espaço e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}). Dizemos que o conjunto {A} é limitado se {\exists k>0} tal que

\displaystyle d(x,y)\leq k \text{ , } \forall x,y \in A

Se {A} é limitado, denotamos o diâmetro de {A} por {\delta(A)} onde

\displaystyle  \delta(A)=\sup_{x,y \in A}d(x,y)

Da definição acima segue-se imediatamente que um conjunto {A} é limitado sse {\delta(A)<\infty}.

Definição 4 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}) e {x\in X}. Chama-se distância de {x} ao conjunto {A} o número

\displaystyle d(x,A)=\inf_{y\in A}d(x,y).

A ideia de se calcular a distância de um ponto aum conjunto pode ser tornado mais intuitivo ao lembrarmos um pouco de Geometria Análitica, onde calculamos a distância de um ponto a uma recta, que nada mais é que um conjunto infinito de pontos.

Podemos verificar ainda que:

  • A definição 1.3 está bem definida, pois o ínfimo existe pois {d(x,y)\geq 0}, {\forall y\in A}.
  • Se {x\in A}, então {d(x,A)=0} (porque aí bastaria toar {x=y}).
Proposição 1 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X (A\neq \emptyset)}. Então para todo {x,y \in X} temos

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)

Demonstração: Como {d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)} é uma cota inferior então para todo {z\in A} temos:

\displaystyle d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)\leq d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)

assim {d(x,A)-d(x,y)\leq d(y,z)} é uma cota inferior do conjunto {\{d(y,z)\mid z\in A\}}, logo:

\displaystyle d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)

a segunda desigualdade segue multiplicando-se a expressão acima por {-1} e fazendo {x=y}. \Box

Definição 5 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A,B\subset X}, {A\neq \emptyset} e {B\neq \emptyset}. A distância entre {A} e {B} é definida do seguinte modo:

\displaystyle d(A,B)=\sup\{d(x,y)\mid x\in A, y\in B\}.

Da definição podemos notar que:

  • Se {A\cap B\neq \emptyset}, então {d(A,B)=0}.
  • Se {A\cap B= \emptyset}, não implica {d(A,B)>0}.

Por hoje ficaremos por aqui,não se esqueçam de resolver os problemas propostos e em cao de duvida nos contactem, como sempre no inicio da proxima aula resolveremos os problemas propostos.

Problemas Propostos

Exercício 5 Mostre que a desigualdade de Cauchy (3) implica

\displaystyle (\mid x_{1}\mid+\cdots+\mid x_{n}\mid)^{2}\leq n(\mid x_{1}\mid ^{2}+\cdots+\mid x_{n}\mid ^{2}).

Exercício 6 Encontre uma sequência que converge para {0}, mas que não esteja em nenhum espaço {l^{p}}, onde {1\leq p<\infty}.
Exercício 7 Encontre uma sequência que esteja em {l^{p}(p>1)} mas não esteja em {l^{1}}.
Exercício 8 Mostre que:

  1. Se {A\subset B},então {\delta(A)\leq \delta(B)}.
  2. {\delta(A)=0} se e somente se {A} consiste em um único ponto.
Exercício 9 Sejam {X=X_{1}\times X_{2}} onde {(X_{1},d_{1})}, {(X_{2},d_{2})} são espaços métricos. Mostre que as seguintes aplicações são métricas em {X}:

  • {d_{1}(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}}
  • {d_{2}(x,y)=\max\{d_{1}(x_{1},y_{1}),d_{2}(x_{2},y_{2})\}}
Exercício 10 Seja {B(A)} o conjunto das funções limitadas em {A}, com a aplicação

\displaystyle d(x,y)=\sup_{t\in A}\mid x(t)-y(t)\mid

Mostre que {(B(A),d)} é um espaço métrico se {A=[a,b]}.

Exercício 11 Mostre que se {(X,d)} é um espaço métrico, então

\displaystyle \rho(x,y)=\sqrt{d(x,y)}

também o é.

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