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Função composta

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— 1. Conceito —

Definição 1 Dados três conjuntos { A }, { B } e { C } não vazios. seja { f } uma função de { A } em { B } e { g } outra função de { B } em { C }. Chama-se função composta de { f } e { g } a função { h } de { A } em { C } definida por:

\displaystyle   h(x)=f(g(x)) \ \ \ \ \ (1)

se {\forall x\in A }

Muita das vezes representa-se por { h(x)=fog \ \forall x\in A } e lê-se: { f } composta por { g },

então { (fog)(x)=f(g(x)) \ \forall x\in A }

por diagrama temos:

A mesma ideia podemos representar também dessa maneira:

Exercício 1

Dados os conjuntos { A=(1,2,3) }, { B=(-1,2,5,7) } e { C=(-1,5,11,15) }.

Seja a função { f(x)=x^2-2 } de { A } em { B } e a outra { g(x)=2x+1 } de { B } em { C }, calcular { h=gof }

Resolução

{ f:A\rightarrow B }.

Para { x=1 } temos: { f(x)=x^2-2 \rightarrow f(1)=(1)^2-2=1-2=-1 \leftrightarrow f(1)=-1 }

Para { x=2 } temos: { f(x)=x^2-2 \rightarrow f(2)=(2)^2-2=4-2=2 \leftrightarrow f(2)=2 }

Para { x=1 } temos: { f(x)=x^2-2 \rightarrow f(3)=(3)^2-2=9-2=7 \leftrightarrow f(3)=7 }

{ g:B\rightarrow C }, temos:

Para { x=-1 } temos:{ g(x)=2x+1 \rightarrow g(-1)=2(-1)+1=-2+1=-1 \leftrightarrow g(-1)=-1 }

Para { x=2 } temos: { g(x)=2x+1 \rightarrow g(2)=2(2)+1=4+1=5 \leftrightarrow g(2)=5 }

Para { x=5 } temos: { g(x)=2x+1 \rightarrow g(5)=2(5)+1=10+1=11 \leftrightarrow g(5)=11 }

Para { x=7 } temos: { g(x)=2x+1 \rightarrow g(7)=2(7)+1=14+1=15 \leftrightarrow g(7)=15 }

Agora podemos calcular a função composta definida por { h(x)=gof=g(f(x)) \forall x \in A }

Para { x=1 } temos: { h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(1)=g(f(1))=g(-1)=-1 \leftrightarrow h(-1)=-1 }

Para { x=2 } temos: { h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(2)=g(f(2))=g(2)=5 \leftrightarrow h(2)=5 }

Para { x=3 } temos: { h(x)=g(f(x)) \leftrightarrow h(3)=g(f(3))=g(7)=15 \leftrightarrow h(3)=15 }

por diagrama, temos:

Observando muito bem { h(x)=gof \forall x \in A } o conjunto { Im \subset C }, então temos:

{ h(x)=gof } de { A } em { C }

Exercício 2

Dadas as funções reais { g(x)=x^2+4 } e { f(x)=x-3 }, determinar a função composta { h(x)=g(f(x)) }

Resolução

Temos:

{ h(x)=g(f(x))=g(x-3)=(x-3)^2+4=x^2-6x+9+4=x^2-6x+13 }

{ \leftrightarrow h(x)=g(f(x))=x^2-6x+13 }

Teorema 1

{ g } composta com { f } em geral não é igual a { f } composta com { g }

\displaystyle   gof \neq fog \ \ \ \ \ (2)

Demonstração:

Sejam { x \in A }, { y \in B } e { u \in B } e { v \in D }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B }, { u=g(y) } de { B } em { C } e { v=h(u) } de { C } em { D };

temos:

{ (gof)(x)=g(f(x))=g(y)=u \leftrightarrow gof=u }

e

{ (fog)(y)=f(g(y))=f(u) \leftrightarrow fog=f(u) } contradição porque

{ u \in C } e { f: A \rightarrow B }

logo: { gof \neq fog }

\Box

Exercício 3

Sejam as funções { f(x)=-2x+3 } e { g(x)=x-x^2 }, Calcular { gof } e { fog }

Resolução: Temos:

{ gof=g(f(x))=-2(x-x^2)+3=-2x+2x^2+3=x^2-2x+3 }

{ \leftrightarrow gof=x^2-2x+3 }

e

{ fog=f(g(x))=(-2x+3)-(-2x+3)^2=(-2x+3)-(4x^2-6x+9)}

{ \leftrightarrow f(f(x))=-2x+3-4x^2+6x-9=-4x^2+4x-6 }

{ \leftrightarrow fog=-4x^2+4x-6 }

Verificando o teorema

{ gof\neq fog }

Exercício 4

Sejam as funções { f(x)=x^2-5x+6 } e { g(x)=x^2 }, Calcular: { (gof)(1) } e { (fog)(1) }

Temos:

{ gof=g(f(x))=(x^2-5x+6)^2=x^4-10x^3+37x^2-60x+36 }

calculando { (gof)(1) },

temos:

{ (gof)(1)=g(f(1))=1^4-10(1)^3+37(1)^2-60(1)+36=4 \leftrightarrow (gof)(1)=4 }

e

{ (fog)=f(g(x))=(x^2)^2-5x^2+6=x^4-5x^2+6 \leftrightarrow fog=x^4-5x^2+6 }

Calculando { (fog)(1)}, temos:

{ (fog)(1)=f(g(1))=(1)^4-5(1)^2+6=2 ,\leftrightarrow (gof)(1)=4 }

Verificando o teorema, vemos que { gof \neq fog }

Exercício 5

Sejam as funções { f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} } e { g: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} } definidas por { f(x)=x+2 } e { g(x)=\dfrac{2}{x^2} }, determinar { f(g(x)) } e { g(f(x)) }

Resolução:

Temos:

{ f(g(x))=\dfrac{2}{x^2}+2=\dfrac{2+2x^2}{x^2} \leftrightarrow f(g(x))= \dfrac{2+2x^2}{x^2} }

{\leftrightarrow f(g(x)): \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R} }

isto é verdade; logo { f(g(x))=\dfrac{2+2x^2}{x^2} } de { \mathbb{N} } em { \mathbb{R} }

e

{ g(f(x))= \dfrac{2}{(x+2)^2} \leftrightarrow g(f(x)):\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} } que não é verdade

como { x\in R }, tomemos { x=-2 } a função { g(f(x))= \dfrac{2}{(x+2)^2} } não está definida; logo não é uma função de { R } em { R }

Teorema 2

A função composta é associativa.

\displaystyle   (hog)of=ho(fog) \ \ \ \ \ (3)

Demonstração:

Sejam os elementos { x\in A }, { y\in B }, { u\in C } e { v\in D }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B }, { u=g(y) } de { B } em { C } e

{ v=h(u) } de { C } em { D };

temos:

{ (hog)of=(hog)of)x=(hog)f(x)=(hog)y=h(g(y))=h(u)=v }

{\leftrightarrow (hog)of=v }

e

{ ho(gof)(x)=ho(g(f(x)))=ho(g(y))=h(u)=v \leftrightarrow ho(gof)=v }

Assim mostramos que: { (hog)of=ho(fog) }

\Box

Exercício 6

Dadas as funções { f(x)=3-x } e { g(x)=(x+1)^2 } e { h(x)=3x },

Calcular { (hog)of } e { ho(fog)} e verifique o teorema.

temos:

{ (hog)of=(h(g(x))of=3(x+1)^2=3f(x)^2+6f(x)+3=3(3-x)^2+6(3-x)+3 }

{ \Longrightarrow (hog)of=3x^2-24x+48 }

e

{ ho(gof)=ho(g(f(x)))=h(-x+4)^2)=3(-x+4)^2=3x^2-24x+48 }

Claramente que são iguais

Teorema 3

Se { f } e { g } são sobrejectivas então a função composta

\displaystyle   fog \ \ \ \ \ (4)

também é sobrejectira

Demonstração:

Sejam os elementos { x\in A }, { y\in B }, { u\in C } e { v\in D }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B }, { u=g(y) } de { B } em { C } e

{ v=h(u) } de { C } em { D };

temos:

Como { g } é sobrejectiva, então

{ \forall u\in C }, { \exists y\in B } de modo que { g(y)=u }

e

a função { g } é sobrejectiva, então

{ \forall y\in B }, { \exists x\in A } de modo que { f(x)=y } então,

{ \forall u\in C, \exists x\in A: u=g(y)=g(f(x))=(gof)(x) }

Assim provamos que { gof } sobrejectiva.

\Box

Teorema 4

Se duas funções { f } e { g } são injectivas, então a função composta

\displaystyle   fog \ \ \ \ \ (5)

também é injectiva

Demonstração:

Seja { \forall x_{1} \in A } e { \forall x_{2} A }. Suponhamos { (gof)(x_{1})=(gof)(x_{2}) } logo, { g(f(x_{1})=g(f(x_{2}) }. Como { g } é injectiva, então

{ g(f(x_{1})=g(f(x_{2}) }, como { f } também é, então { x_{1}=x_{2} } implica que { gof } é injectiva.

\Box

Teorema 5

Sejam as função { f: A\rightarrow B } e { f^{-1}: B \rightarrow A } ,então

\displaystyle   f^{-1}of= \vert_{A} \ e \ fof^{-1}= \vert_{B} \ \ \ \ \ (6)

onde: { \vert_{A} \ e \ \vert_{B} } são funções identidade.

Demonstração:

Sejam os elementos { x \in A }, { y \in B } e { u \in C }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B } e a inversa { x=f(y) } de { B } em { A },temos:

{ \forall x \in A (f^{-1}of)(x)=f^{-1}(f(x))=f^{1}(y)=x \leftrightarrow (f^{-1}of)(x)=x }, é verdade que { x \in A }

{\forall y \in B (fof^{-1})(y)=f(f^{-1}(y))=f(x)=y \leftrightarrow (fof^{-1})(y)=y } é verdade que { y \in B }

\Box

Teorema 6

Se a função { f:A \rightarrow B } e { g:B \rightarrow C } são bijectivas então:

\displaystyle   (gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} \ \ \ \ \ (7)

Demonstração:

Sejam { x\in A }, { y \in B } e { u \in C }. Suponhamos que { y=f(x) } de { A } em { B } e a inversa { u=g(y) } de { B } em { A }.

Vamos supor também que { f } e { g } são mesmo bijectivas, logo { gof } de { A } em { C } também é bijectiva ,então { (gof)^{-1} } de { C } em { A }

Sendo assim; demonstrar que {(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} } equivale mostrar que { (f^{-1}og^{-1})o(gof)=\vert_{A} } e {(gof)o(f^{-1}og^{-1}=\vert_{C} }

Temos:

{ (f^{-1}og^{-1})o(gof)=((f^{-1}og^{-1})og)of=(f^{-1}(g^{-1}og))of=(f^{-1}o\vert_{B})of=f^{-1}of=\vert_{A} }

e

{ (gof)(f^{-1}og^{-1})=((gof)of^{-1})og^{-1}=( g(fof^{-1}))og^{-1}=(go\vert_{A})og^{-1}=gog^{-1}=\vert_{c}}

Assim demonstramos que {(gof)^{-1}=f^{-1}og^{-1} } se { f } e { g } forem bijectivas.

\Box

— 2. Exercícios complementares —

Exercício 7 Sejam as funções { g(x)=2x+3 } e

{ \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x^2-2x & se \ x \geq 2;\\ x^2 & se \ x < 2 \end{array} \right. } determinar { f(g(x) }

Resolução Temos: fazer { y=g(x) } { 1 }) Para { x\geq 2 \leftrightarrow 2x+3 \geq 2 \leftrightarrow x \geq - \dfrac{1}{2} }

{ f(g(x))= (2x+3)^2-2(2x+3)=4x^2+12x+9-4x-6=4x^2+8x+3 }

{ 2 }) para { x<2 \rightarrow 2x+3<2 \leftrightarrow x<-\dfrac{1}{2} }

{ f(g(x))=-3(2x+3)+2=-6x-9+=-6x-7 }

então,

{ \left.f(g(x))=\lbrace \begin{array}{ll} x^2+8x+3 & se \ x\geq -\dfrac{1}{2};\\ -6x-7 & se \ x < -\dfrac{1}{2} \end{array} \right. }

Exercício 8

Dadas as funções { g(x)=\sqrt{x} } e { s(x)=\sqrt{1-x^2} },

determinar { gos } e { sog }

Resolução Temos:

{ gos=g(s(x))=\sqrt{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt[4]{1-x^2} }

e

{ sog=s(g(x))=\sqrt{1-\sqrt{x^2}}=\sqrt{1-x} }

Exercício 9

Dadas as funções { f(g(x))=4x+11 } e { g(x)=x+2 } determinar { f(g(x) }

Resolução Temos:

{ f(g(x))=4x+11 \leftrightarrow f(x+2)=4x+11}

fazendo { t=x+2 \leftrightarrow x=t-2 },

tem-se: { f(t)=4(t-2)+11=4t-8+11=4t+3 \rightarrow f(x)=4x+3}

Exercício 10 Dadas as funções { g(f(x))=4x^2-12x+10 } e { f(x)=2x-3 } determinar { g(-4) }

Resolução Temos:

{ g(f(x))=4x^2-12x+10 \leftrightarrow f(2x-3)=4x^2-12x+10 }

fazendo { t=2x-3 \leftrightarrow x=\dfrac{t+3}{2} },

tem-se:

{ g(t)=4(\dfrac{t+3}{2})^2-12(\dfrac{t+3}{2})+10 }

{\leftrightarrow g(t)=4(\dfrac{t^2+6t+9}{4})-6(t+3)+10=t^2+6t+9-6t-18+10 }

{ \leftrightarrow g(t)=t^2+1 \rightarrow g(x)=x^2+1}

Calculando { g(-4) },

temos:

{ g(-4)=(-4)^2+1=16+1=17 }

Exercício 11 Dadas as funções { g(x)=ax+b } e { f(x)=cx^2+d }.

a) Qual é a condição que satisfaz a igualdade { f(g(x))=g(f(x))} ?

b) Mostre que { (fog)(0))-g(f(0))=d(a-1)+b(c-b) }

Resolução Temos:

a) { f(g(x))=a(cx^2+d)+b=acx^2+ad+b }

e

{ g(f(x))=c(ax+b)^2+d=c(a^2x^2+2abx+b^2)+d=ca^2x^2+2cabx+cb^2+d }

para que { f(g(x))=g(f(x)) }, temos:

{ acx^2+ad+b=ca^2x^2+2cabx+cb^2+d }

Utilizando identidade de polinómios, temos:

{ abc=0 } e {cb^2+d=b }

Resolvendo o sistema resulta: { f(g(x))=g(f(x)) }

{ \left.f(g(x))=g(f(x)) \leftrightarrow \lbrace \begin{array}{ll} cd^2+d=b & se \ a=0 ;\\ d=b & se \ c=0 \end{array} \right. }

b) {(fog)(0))-g(f(0))=(ac(0)^2+ad+b)-(ca^2(0)^2+2cab(0)+cb^2+d)} { \leftrightarrow (fog)(0)=ad+b -cb^2-d=d(a-1)+b(c-b) }

Exercício 12

Dadas as funções { f(x)=2x+y } e { g(x)=\dfrac{1}{4} },

determinar o produto de { fof } com { gog } sabendo que { a \in N } e { y \in N } e { a \neq y }.

Resolução: Vamos resolver { f(f(x)) } , isto é, composta de { f } por si mesmo, assim temos: { f(f(x))=2(2x+y)+y=2x+3y } e { g(g(x))=\dfrac{a}{4} }

O produto é {(2x+3y)(\dfrac{a}{4})=\dfrac{2ax+3ay}{4}}

como { a } e { y } são números naturais e pares e diferentes, então temos:

fazendo { a=2k } e { y=4k \forall k\in\mathbb{N}} resulta:

{\dfrac{2ax+3ay}{4}=\dfrac{4kx+24k^2}{4}=kx+6k^2}.

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Domínio contradomínio e imagem de função.

— 1. Introdução —

Não existe uma função { f } sem domínio, sem contradomínio e sem imagem. Os três elementos citados são inseparáveis a função.

Sendo assim, vamos, então começar a definir os três elementos fundamentais da função. Seja a função { f } : { A \rightarrow B }. Por diagrama, temos:

Definição 1 -Chama-se domínio da função { f }, o conjunto D de todos elementos { x } do conjunto A. Matematicamente, temos:

\displaystyle   D(f)=\lbrace x\in\mathbb{R}\vert \forall x\in A\rbrace \rightarrow D(f)=A \ \ \ \ \ (1)

Definição 2 – Chama-se contradomínio da função { f }, o conjunto { CD } de todos elementos de { B }. Matematicamente, temos:

\displaystyle   CD(f)=\lbrace y \in \mathbb{R} \vert \forall y \in B \rbrace \rightarrow CD=B \ \ \ \ \ (2)

Definição 3 Chama-se imagem da função { f }, o conjunto { Im } formado por todos elementos { y } de { B } pelos os quais existe { x } em { A }. O conjunto de imagem { Im } é subconjunto do contradomínio { CD } Matematicamente, temos:

\displaystyle   Im(f) \subset CD (f) \ \ \ \ \ (3)

Vamos explicar por diagrama, temos:

— 2. Determinação do domínio, do contradomínio e da imagem da função —

Exercício 1 Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função.

Resolução

-O domínio é { D(f)=A=(-2,-1,0) }

-O contradomínio é { CD(f)=B=(-3,-2,-1,0,3) }

-A Imagem é { Im(f)=(-2,-1,3) }

Exercício 2

Seja a função { f=2x-1 } de { A=(0,1,4,5) } em { B=(-1,0,1,2,3,5,7,9)},com { x\in A } e { y\in B },

determinar o domínio, o contradomínio e a imagem.

Resolução

– O domínio é { D(f)=A=(0,1.4,5) }

– O contradomínio é { CD(f)=B=(-1,0,1,2,3,5,7,9) }

– A imagem será determinada atribuindo a variável { x } todos os valores do domínio na lei dada, os seus resultados serão as imagens.

logo, temos:

Para { x=0 }, temos: { f(0)=2(0)-1 \leftrightarrow f(0)=0-1 \leftrightarrow f(0)=-1 }

Para { x=1 }, temos: { f(1)=2(1)-1 \leftrightarrow f(0)=2-1 \leftrightarrow f(0)=1 }

Para { x=4 }, temos: { f(4)=2(4)-1 \leftrightarrow f(4)=8-1 \leftrightarrow f(0)=7 }

Para { x=5 }, temos: { f(5)=2(5)-1 \leftrightarrow f(5)=10-1 \leftrightarrow f(5)=9 }

logos, os resultados ou os valores numéricos que determinamos são as imagens. O conjunto é { Im(f)=(-1,1,7,9) }

Vamos ilustrar por diagrama o que acabamos de determinar:

As imagens são todos os elementos do contradomínio ({ CD=B }) indicados pela seta. Assim, temos: { Im=(-1,1,7,9) }

Exercício 3

Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função:

Resolução

– O domínio da função é: { D(f)=A=(-4,-2,0,2) }

– O contradomínio é igual a imagem: { CD=Im=(-1,1,4,5) }

O contradomínio é igual a imagem porque todos os elementos de contradomínio têm ligação com os elementos do domínio como ilustra a figura a cima.

Exercício 4

Seja a relação { f:\mathbb{R \rightarrow \mathbb{N}} } definida por { f(x)=x^{2}+x-2 },

determinar:

{ a) } O domínio;

{ b) } O contradomínio;

{ c) } A imagem dos elementos do domínio {-3 } e { -1 }

Resolução

{ a) } { D(f)=\mathbb{R}} claramente.

{ b) } { CD(f)=\mathbb{N}} claramente.

{ c) } Segundo a terceira definição, a imagem deve ser um elemento do contradomínio.

Analisando, temos:

Para { x=-3 }, temos: { f(-3)=(-3)^{2}-3-2 \leftrightarrow f(-3)=9-5 \leftrightarrow f(-3)=4}.

Como { 4\in \mathbb{N}}, então é a imagem de { -3 }

Para { x=-1 }, temos: { f(-1)=(-1)^{2}-1-2 \leftrightarrow f(-1)=1-3 \leftrightarrow f(-2)=-2 }.

Como { -2\notin \mathbb{N}}, então não é a imagem. ou seja { -1 } não tem imagem.

como { -1 } é um elemento do domínio e não tem imagem, então a relação dada nesse caso, também não define a função.

Obs:O leitor terá que ler a matéria de conceito de função disponível nesse mesmo blog.

Exercício 5

Dada a função { f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}} de definida por
{ \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x^2-3 & se \ x\in \mathbb{Z};\\ \dfrac{x-3}{3} & se \ x\notin \mathbb{Z} \end{array} \right. }

Determinar:

{ a) } o domínio;

{ b) } O contradomínio;

{ c) f(-6) };

{ d) f(\dfrac{3}{2}) };

{ e) f(0,1)} ;

{ f) f(2) }

Resolução

{ a) } {D(f)=\mathbb{R}} é evidente.

{ b)} { CD(f)=\mathbb{R}} é evidente.

{ c) } Como { -6\in\mathbb{Z} }, temos: { f(-6)=-6+2 \leftrightarrow f(-6)=-4 }.

{ d)} Como { \dfrac{3}{3}\notin\mathbb{Z} },temos: { f(\dfrac{3}{2})=(\dfrac{3}{2})^2 \leftrightarrow f(\dfrac{3}{2})=\dfrac{9}{4} }.

{ e) } como { 0,1\notin\mathbb{Z}}, temos: { f(0,1)=(0,1)^2 \leftrightarrow f(0,1)=0,01 }

{f) } Como { 2\in\mathbb{R} }, temos: { f(2)=2+2 \leftrightarrow f(2)=4 }

Exercício 6

Na função real { f(x)=x+1 }

Resolução

Como a função é real então { x\in\mathbb{R} } , então { f(x)=-3 }. Temos: { -3=x+1 \leftrightarrow x+1=-3 \leftrightarrow x=-3-1 \leftrightarrow x=-4 }

{ -3=x+4 \leftrightarrow x+4=-3 \leftrightarrow x=-3-4 \leftrightarrow x=-7 } logo os elemento do domínio são: { -7 } e { -4 }

Exercício 7

Na função real { \left.f(x)=\lbrace \begin{array}{ll} x+2 & se \ x<2;\\ x^2 & se \ x\geq 2 \end{array} \right. } determinar o elemento do domínio cuja imagem é { 6 }

Resolução

Como a função é real então { x\in\mathbb{R} } e como { 6 } é imagem da função, temos: { f(x)=6 }.

Temos:

{ 6=x^2-3 \leftrightarrow x^2-3=6 \leftrightarrow x^2=6+3 \leftrightarrow x^2=9 \leftrightarrow x=\pm 3 \Longleftrightarrow x_{1}=3} não satisfaz porque não está no intervalo { x<2 } e {x_{2}=-3 }satisfaz porque está ao intervalo referido.

{ 6=\dfrac{x-3}{3} \leftrightarrow \dfrac{x-3}{3}=6 \leftrightarrow x-3=18 \leftrightarrow x=21} satisfaz porque está no intervalo definida pela própria função dada que é { x\geq 2 }

logo os elemento do domínio são: { -3 } e { 21 }

— 3. Determinação da imagem da função quadrática —

Dada a função geral, { f(x)=ax^2+bx+c }

se { a>0 } a imagem será { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq\dfrac{-\vartriangle}{4a}\rbrace }

se { a<0 } a imagem será { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\leq\dfrac{-\vartriangle}{4a}\rbrace }

Exercício 8

Determinar a imagem da função { f(x)=x^2+x-20} definida { \mathbb{R} }.

Resolução

{f(x)=x^2+x-20} é a função dada, então temos:

Primeiro, vamos determinar os coeficientes { a=1 }, { b=1 } e { c=-20 }

segundo, vamos determinar o { \vartriangle }

{\vartriangle=b^2-4ac \leftrightarrow \vartriangle=(1)^2-4(1)(-20) \leftrightarrow \vartriangle=81 }

Por fim, temos: { \dfrac{-\vartriangle}{ 4a} } { = \dfrac{-81}{4}}

Como { a=1 \rightarrow a>0 }, logo:

{ Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y \geq \dfrac{-81}{4} \rbrace }

Exercício 9

Determinar a imagem da função { f(x)=-3x^2+6x+3} definida em { \mathbb{R}}.

Resolução

{f(x)=-3x^2+6x-3} é a função dada, então temos:

Primeiro, vamos determinar os coeficientes { a=-3 }, { b=6 } e { c=-3 }

Segundo, vamos determinar o { \triangle }

{\vartriangle=b^2-4ac \leftrightarrow \vartriangle=(6)^2-4(-3)(3) \leftrightarrow \vartriangle=72 }

Por fim, temos: { \dfrac{-\vartriangle}{4a} } { = \dfrac{-72}{-12}=6}

Como { a=-3 \rightarrow a<0 }, logo: { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y \leq 6 \rbrace }

Exercício 10 Determinar { k } na função { f(x)=2x^2-5x+k } definida em { \mathbb{R} } para que a imagem seja { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq \dfrac{7}{8} \rbrace }

Resolução

Vamos começar da seguinte maneira:

Como { Im=\lbrace y\in \mathbb{R}\vert y\geq \dfrac{7}{8}\rbrace \rightarrow \dfrac{-\vartriangle}{4a}=\dfrac{7}{8}}.

Como { a=2 }, { b=-5 } e { c=k }, Calculando o { \vartriangle }, temos:

{ \vartriangle=(-5)^2-4(2)(k) \leftrightarrow \vartriangle=25-8k}

Substituir { a=2 } e a expressão anterior na igualdade {\dfrac{-\vartriangle}{4a}=\dfrac{7}{8} },

temos: {\dfrac{-25+8k}{8}=\dfrac{7}{8} \leftrightarrow -25+8k=-7 \leftrightarrow 8k=32 \leftrightarrow k=4 }

DOMÍNIO DE FUNÇÃO


Definição 1

Seja a função {y=f(x)} de {A} em {B} . { D } é o domínio da função, ao conjunto de todos os elemento de { x \in A } pelos os quais existe { y \in B }.

Matematicamente, temos:

\displaystyle   D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid \forall x \in A, \exists y \in B \rbrace \rightarrow D=A \ \ \ \ \ (1)

Exercício 1 Seja a função { f(x)=x^2 +2x-1} de { A=(-2,0,1,2,3)} e { B=(-1,0,1,3,4,14, 20,23)}, determinar o seu domínio.

Resolução

O domínio dessa função é { D=A \rightarrow D=(-2,0,1,2,3) }.

Definição 2 Dada a função {y=f(x)}. Chama-se domínio ao conjuntos de valores reais de { x } para os quais a função está definida.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid \forall x \in A, \exists y \in B \rbrace \ \ \ \ \ (2)

No parágrafo a seguir, entenderemos melhor essa definição

— 1. Determinação de domínio de diversas funções —

Segundo a definição, antes de determinarmos o domínio de uma função dada devemos, em primeiro passo, estudar a natural da função assim como a sua definição.

Vamos apresentar algumas formas de representação de domínio:

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid g(x)\neq 0 \rbrace }

ou

{ D= \mathbb{R}- \lbrace g(x)= 0 \rbrace }

ou

{ D= \mathbb{R}/\lbrace g(x)= 0 \rbrace }

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a\leq x \leq b \rbrace }

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a < x < b \rbrace }

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a\leq x < b \rbrace}

ou

{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a < x \leq b \rbrace }

ou simplesmente { D=\mathbb{R} }

{ \forall a \in \mathbb{R} } e { \forall b \in \mathbb{R} }

Essas representações dependem do critério do leitor outras do tipo de função em causa.

Vamos agrupar as funções segundo as suas definições para facilitar a compreensão do leitor e posteriormente podermos resolver as funções de expressões mistas.

— 2. Domínio da função polinomial —

Definição 3 O domínio da função polinomial é sempre o conjunto dos números reais

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{0} \ \ \ \ \ (3)

{ D=\mathbb{R}}

Exercício 2

Determinar o domínio da função {f(x)=2x-3}

Resolução:
O domínio é { D=\mathbb{R} }
Quando se trata de um polinómio o domínio é imediatamente o conjunto dos números reais ou simplesmente { \mathbb{R} }

Exercício 3 Determinar o domínio da função {f(x)=\dfrac{3}{5}x^{5}+7x^{4}-3x^{3}+x^{2}+6x+11}

Resolução:
{ D=\mathbb{R} }, Claramente.

Exercício 4 Determinar o domínio da função {f(x)=k } onde { k\in \mathbb{R} }

Resolução:
Como { k } é qualquer número real, então o domínio é o conjunto dos números reais { (\mathbb{R}) }

— 3. Domínio de função racional —

Definição 4 O domínio da função racional está definida para o denominador diferente de zero.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)} \leftrightarrow g(x)\neq0 \ \ \ \ \ (4)

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid g(x)\neq 0 \rbrace }.

Exercício 5 Determinar o domínio da função { y=\dfrac{x-1}{x+2} }.

Resolução:
Vamos igualar o denominador a diferente de zero, assim: { x+2\neq 0 }
Agora, vamos resolver:
Temos: { x+2\neq 0 \leftrightarrow x\neq-2 }
logo o domínio é { D=\lbrace x\in R\mid x\neq -2 \rbrace } ou { D= \mathbb{R}-\lbrace-2\rbrace }

Exercício 6 Determinar o domínio da função { y=\dfrac{1}{x^2-3x-4} }.

Resolução:
Vamos resolver { x^2-3x-4\neq0} resolvendo temos: {x_{1}\neq-1,\ e \ x_{2}\neq4 \rightarrow D= \mathbb{R}-\lbrace-1,4\rbrace } ou { D=\lbrace x\in R\mid x\neq-1 \ e \ x\neq4 \rbrace }

— 4. Domínio da função irracional de índice ímpar —

Definição 5 O domínio de uma função irracional de índice ímpar é sempre o conjunto dos números reais.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\sqrt[2k-1]{g(x)} \ \ ( \forall k\in\mathbb{N}) \rightarrow D=\mathbb{R} \ \ \ \ \ (5)

{ D=\mathbb{R} }

Exercício 7 Determinar domínio da função {f(x)=\sqrt[3]{x^4 -\dfrac{5}{2} x+3}}

Resolução:
Evidentemente que {D=\mathbb{R}}

Exercício 8 Determinar domínio da função {f(x)=\sqrt[7]{-2x^2 +x}+9}

Resolução:
Claramente que {D=\mathbb{R}}

— 5. Domínio de função irracional de índice par —

Definição 6 O domínio da função irracional de índice par estás definida para o radical maior ou igual a zero.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\sqrt[2k]{g(x)} \ \ k \in \mathbb{N} \ \ \ \ \ (6)

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid g(x)\geq0\rbrace }

Exercício 9 Determinar o domínio da função { f(x)=\sqrt{3x+12}}.

Resolução:
{ 3x+12\geq0 \rightarrow 3x\geq-12 \leftrightarrow x\geq-\dfrac{12}{3} \leftrightarrow x\geq-4 }, logo o domínio é,

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\geq-4\rbrace }

Exercício 10 Determinar o domínio da função { f(x)=\sqrt[4]{x^2+5x+6}}.

Resolução:
{ x^2+5x+6\geq0 } resolvendo temos: { x\leq -3 } ou { x\geq -2 }, logo o domínio é: {D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\leq -3 \ e \ x\geq-2\rbrace }.

— 6. Domínio de função logaritmica —

Definição 7 O Domínio da função logarítmica é definido, para logaritmando igual ou maior que um e a base maior que zero e diferente de um.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=\log_{a}^x \ \ \ \ \ (7)

{ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid 0<a<1 \ \ e \ \ a>1 \ e \ x>0 \rbrace}

Exercício 11 Determinar o domínio da função { f(x)=\log_{4}^{(4x^2-3x-1)}}.

Resolução:
{4x^2-3x-1>0} Primeiro vamos determinar as raízes, temos: { x_{1}=1} ou { x_{2}=-\dfrac{1}{4} } . Como se trata de inequação, o intervalo que satisfaz é: { x_{2}<-\dfrac{1}{4} \ e \ x>1 } assim o domínio da função é: { D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid x_{2}<-\dfrac{1}{4} \ e \ x>1 \rbrace }

Exercício 12 Determinar o domínio da função { y=\log_{(x-2)}^7}.

Resolução:
{ 0<x-2<1 } e { x-2>1} segundo a condição da base do logaritmo.
vamos resolver:{ 0<x-2<1 \leftrightarrow 0+2<x<1+2 \leftrightarrow 2<x<3}
Outra condição: { x-2>1 \rightarrow x>1+2 \leftrightarrow x>3 }
Temos o domínio { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 2<x<3 \ e \ x>3\rbrace }

Exercício 13 Determinar o domínio da função { y=\log_{(x+3)}^{x^2-x}}.

Resolução:
temos: {x^2-x>0 \rightarrow x(x-1)>0 \leftrightarrow x>0} e { x-1>0 \leftrightarrow x>1} ou { x<0 } e { x-1<0 \leftrightarrow x<1 }
A propriedade da base: { 0<3+x<1 \rightarrow -3<x<-2 } e { x+3>1 \leftrightarrow x>-2 }
achando a intersecção de todas as condições temos: { -2<x<0 } e { x>1 }
o domínio é { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid -2<x<0 \ \ e \ \ x>1\rbrace }

— 7. Domínio de função exponencial —

Definição 8 O domínio da função exponencial é definido para base maior que zero e diferente um.

Em símbolos, temos:

\displaystyle   f(x)=a^x \ \ \ \ \ (8)

{ D=\lbrace a \in \mathbb{R}\vert a>0 \wedge a \neq 1 \rbrace }

Exercício 14 Determinar o domínio da função { y=2^x }
Resolução:
Claramente que o { D=\mathbb{R} }
Exercício 15 Determinar o domínio da função { y=(\dfrac{1}{3} )^{\dfrac{x-1}{4}} }

Resolução:
Sem mais comentário o domínio é { D=\mathbb{R} }

— 8. Domínio de função trigonométrica —

Definição 9 – O domínio da função de seno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:

\displaystyle   y = \sin x \ \ \ \ \ (9)

O domínio é { D=\mathbb{R} }

Definição 10 – O domínio da função de cosseno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:

\displaystyle   y = \cos x \ \ \ \ \ (10)

O domínio é { D=\mathbb{R} }

Definição 11 – O domínio da função de tangente é definido para cosseno diferente de zero. Em símbolos, temos:

\displaystyle   y = \tan x \ \ \ \ \ (11)

{ D=\lbrace \forall x \in \mathbb{R}\vert \cos x \neq 0 \rbrace } { \rightarrow D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi \rbrace }

Exercício 16 Determinar o domínio da função { y=\tan\dfrac{x}{2}}

Resolução: Sabemos que a tangente não está definida para { \dfrac{\pi}{2} } então, temos: { \tan\dfrac{x}{2}\neq\tan\dfrac{\pi}{2} \leftrightarrow \dfrac{x}{2}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi } { \leftrightarrow x\neq \pi+2k\pi }. logo o domínio é: { D(x)=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\neq \pi+2k\pi \rbrace }

Exercício 17 Determinar o domínio da função { f(x)=\dfrac{1+\cot x}{1-\tan x} }.

Resolução: Destaca-se a condição da {\cot x, \tan x } e a condição do denominador {1-\tan x }
– A Condição da {\cot x }: {\cot x \neq \cot 0 \leftrightarrow x \neq k\pi }
– A Condição da {\tan x }: { \tan x \neq \tan \dfrac{\pi}{2} \leftrightarrow x\neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi}
– A Condição do denominador { 1-\tan x } : { 1-\tan x \neq0 \leftrightarrow \tan x \neq1 \leftrightarrow \tan x \neq\tan\dfrac{\pi}{4}} { \leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi }
Finalmente, temos: { D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x \neq k\pi \ e \ x\neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi \ e \ x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi\rbrace}

— 9. Determinação de domínio de diversas funções —

Exercício 18 Determinar o domínio da função { y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3x+5}}}
Resolução:
Como o índice é ímpar vamos analisar a condição só do denominador.
{ 3x+5\neq0\Longleftrightarrow x=\dfrac{-5}{3}}, logo o domínio é, { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid x\neq-\dfrac{5}{3}\rbrace }.

Exercício 19 Determinar o dominio da função { f(x)=\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x}-2} }

Resolução:
Nesse exercício temos que impor a condição do denominador e do radical porque o índice é par.
-A condição do radical: { x\geq0 }
-A condição do denominador: { \sqrt{x}-2 \neq0 \rightarrow \sqrt{x}\neq2 \rightarrow x\neq4 }
-Intersecção das duas condições: { 0\leq x<4 \ e \ 4<x }
finalmente o domínio é: { D=\lbrace x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x<4 \ e \ 4<x \rbrace }

Exercício 20 Qual é o domínio da função { f(x)=\dfrac{1}{\log^{x}} }?
Resolução:
Nesse exercício temos a condição do denominador e do logatitmando porque o índice é par.
-A Condição do logaritmando é: { x>0 }
-A Condição do denominador é : { \log^{x}\neq0 \rightarrow x\neq10^0 \rightarrow x\neq1 }
finalmente o domínio é: { D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 0<x<1 \ e \ x>1\rbrace}.

Exercício 21 O domínio da função { f(x)=\log(\sin x)} é?

Resolução:
Nesta função está em caso, simplesmente, a condição do logaritmando.
Temos: {\sin x >0 \leftrightarrow 0< x < \pi \leftrightarrow D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 0 < x < \pi \rbrace}

Exercício 22 Ache o domínio da função { y=\dfrac{2+\sqrt{x-5}}{x^2-64} }.
Resolução:
Vamos estudar a condição do radical e do denominador.
– A Condição do denominador: { x^2-64\neq0 \leftrightarrow x^2\neq64 \leftrightarrow x\neq\pm8 }
– A Condição do radical { x-5\geq \leftrightarrow x\geq5}
– Intersecção das duas condições resulta { 5\leq x < 8 \ e \ x>8 }:
finalmente o domínio é: {D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 5\leq x < 8 \ e \ x>8 \rbrace }

Exercício 23 Encontre o domínio da função { f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^3}+\dfrac{2x}{\sqrt{x+4}} }.
Resolução:
– A condição {\sqrt{x-1} \leftrightarrow x-1\geq0 \leftrightarrow x\geq1 }
– A condição { x^3\neq0 \Longrightarrow x\neq0 }
– A condição do denominador {\sqrt{x+4}\neq0 \leftrightarrow x+4>0 \leftrightarrow x>-4 }
A intersecção das três condições fornece-nos o seguinte resultado: { x>1 }, logo o domínio da função é:
{ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid 1\leqslant x \rbrace }

Exercício 24 Determinar o domínio da função { f(x)= \sqrt{2^{(x-2)}-1} }.
Resolução: { f(x)= \sqrt{2^{(x-2)}-1} } isto só é possível para { 2^{(x-2)}-1\geq0 }. logo temos: { 2^{(x-2)} \geq 1 \leftrightarrow 2^{(x-2)} \geq 2^0 } { \leftrightarrow x-2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq 2 } Por fim temos o domínio: { D= \lbrace x \in \mathbb{R} \mid 2\leq x \rbrace }.

Exercício 25 Dada a função { f(x)=\dfrac{1}{\vert x-2 \vert -3} }. Determinar o domínio.

Resolução:

O denominador diferente de zero: { \vert x-2\vert-3\neq0 \leftrightarrow \vert x-2 \vert \neq3 } , segundo as propriedades modular, temos:
{ x-2 \neq3 \leftrightarrow x\neq5 }
{ x-2 \neq-3 \leftrightarrow x\neq-1 }
Assim o domínio é { D=\mathbb{R}-(-1, 5) }

CONCEITO DE FUNÇÃO

— 1. Conceito de funções —

Definição 1

Sejam dois conjuntos {A} e {B}, ambos diferentes do conjunto vazio e {f} uma relação de {A} em {B}, diz-se que {f} é uma função definida de {A} em {B} se, e somente se, para todo {x} que pertence ao conjunto {A} existe um, e só um elemento {y} que pertence ao conjunto {B} de maneira que o par ordenado {(x,y)} pertença a função {f}.

Em simbolos, temos:

{ f } é uma função de { A } em { B }

\displaystyle  \leftrightarrow \forall_x \in A,\exists y \in B \ tal \ que \ (x,y) \in f .  \ \ \ \ \ (1)

Nota: podemos dizer que { f } é uma função ou { f } é uma aplicação.

Exercício 1 Dados os conjuntos {A= (-2, 1, 2, 3) } e { B=(-2,-1,1,5,6,13)} e a seguinte relação { D= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=( x+1)^2 -3 \rbrace} de {A} em {B}. É uma função? Resolução

Vamos começar a resolver: Como { x \in A } segundo a definição, então temos:

Para {x=-2}, temos { y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( -2+1)^2 -3\rightarrow y=-2\rightarrow y\in B }, logo {(-2,-3)\in f }.

Para {x=1}, temos {y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 1+1)^2 -3\rightarrow y=1\rightarrow y\in B }, logo {(1,1)\in f }.

Para {x=2}, temos {y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 2+1)^2 -3\rightarrow y=6\rightarrow y\in B }, logo {(3,6)\in f }.

Para {x=3}, temos { y=( x+1)^2 -3\rightarrow y=( 3+1)^2 -3\rightarrow y=13 \rightarrow y \in B }, logo {(3,13)\in f}. como todos elementos de {A} correspondem a um, e só um elemento de {B}, então a relação {D= \lbrace(x,y) f \rbrace \in A \times B \mid y=( x+1)^2 -3 \rbrace} é uma função.

Exercício 2 Dados os conjuntos { A=\lbrace 0,1,3,4,5\rbrace } e { B=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid 1\leq x\leq 2\rbrace } pela lei de transformação {y=\dfrac{x+3}{x+2}}. Mostre que é uma função de {A} em {B}. Resolução: Como {x} é do conjunto {A}, então temos:

Para { x=0 \rightarrow y=\dfrac{0+3}{0+2} \rightarrow y=\dfrac{3}{2} \rightarrow y\in B\rightarrow (0,\dfrac{3}{2})\in f }. Para { x=1 \rightarrow y=\dfrac{1+3}{1+2} \rightarrow y=\dfrac{4}{3}\rightarrow y\in B\rightarrow (1,\dfrac{4}{3})\in f }.

Para { x=3\rightarrow y=\dfrac{3+3}{3+2} \rightarrow y=\dfrac{6}{5}\rightarrow y\in B\rightarrow (3,\dfrac{6}{5})\in f}.

Para { x=4 \rightarrow y=\dfrac{4+3}{4+2} \rightarrow y=\dfrac{7}{6} \rightarrow y\in B\rightarrow (4,\dfrac{7}{6})\in f}.

Para { x=5 \rightarrow y=\dfrac{5+3}{5+2} \rightarrow y=\dfrac{8}{7} \rightarrow y\in B\rightarrow (5,\dfrac{8}{7})\in f}.

vimos que todos elementos do conjunto {A} correspondem a um, e somente um elemento do conjunto {B}, então {y=\dfrac{x+3}{x+2}}é uma aplicação de {A} em {B}.

Exercício 3 Seja a relação { f(x)=26-x^2 } aplicada de { A } em { \mathbb{N}}, onde { =\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\leq0\rbrace }, mostre que não é uma aplicação de {A} em { \mathbb{N} } Resolução: Vamos lá resolver esse exercício:

Segundo a linguagem do exercício, garante-nos, seguramente, que não é uma função(ou não é uma aplicação) de {A} em {\mathbb{N}}, logo temos que provar que existe um elemento {x} do conjunto {A} que não corresponde a um elemento {y} do conjunto {\mathbb{N}} ou,que corresponde mais de um elemento de conjunto {\mathbb{N}}.

Como o conjunto de partida {A} é infinito, o processo que fizemos nos exemplos anteriores é trabalhoso demais que é, analisar um elemento por cada elemento correndo risco de fazê-lo {-l0 } cem vezes. Sendo assim, é suficiente mostrar que existe um elemento {x} de {A} que não corresponde a {y} de {\mathbb{N} } ou, que corresponde mais de um elemento de {\mathbb{N}}. Temos:

Para { x=-6 \rightarrow f(6)=26-(-6)^2 \rightarrow f(6)=26-36 \rightarrow f(6)=-10 } Como {-10} não pertence ao conjunto dos números natural { \mathbb{N} }, implica que { f(x)=26-x^2} não é uma função {A} em { \mathbb{N}} .

Exercício 4 Dados os conjuntos { A=(-2, 1, 2, 3)} e {B=(-2,1,4,5,7,9)} definida por {y=-2x+3} de {A} em {B}. É uma função?

Resolução: Como {x \in A }, então temos:

Para { x=-2 \rightarrow y=-2x+3 \rightarrow y=4+3 \rightarrow y=7 \rightarrow y \in B }, logo {(-2,7)\in f}.

Para {x=1}, temos { y=-2x+3 \rightarrow y=-2+3\rightarrow y=1\rightarrow y\in B}, logo {(1,1) \in f }.

Para { x=2 }, temos {y=-2x+3\rightarrow y=-4+3\rightarrow y=-1}, {y} não pertence a função.

Como existe um elemento do conjunto { A} que não corresponde a nenhum elemento de {B}, então a relação dada não é uma função de {A} em {B}. Não precisas terminar o processo, basta indicar um elemento do conjunto { A } cujo resultado não é de { B } é suficiente dizer que não é uma função.

Exercício 5 Seja a relação { y^2 =(x-2)^2 +x } de {\mathbb{R}^+} em {\mathbb{R}}. Mostre se é uma aplicação.

Resolução:

Vamos mostrar ao contrário que não é uma aplicação, isto equivale dizer, existe um elemento {x} de {\mathbb{R}^+} que não se relaciona com um, ou que se relaciona com mais de um elemento {y} de {\mathbb{R}} . A relação {y^2 =(x-2)^2 +x } de {\mathbb{R}^+} em {\mathbb{R}} para {x=3} ,temos: { y^2 =(3-2)^2 +3 \rightarrow y^2 =(1)^2 +3 \rightarrow y^2 =1+3 \rightarrow y^2 =4 \rightarrow y=\pm2}, logo não é uma função porque para {3} de { \mathbb{R}^+ }, existem { -2 } e { 2 } em {\mathbb{R}}. Apenas um elementos em {\mathbb{R}} neste caso.

Exercício 6 A relação { f(x)=\frac{x^3}{3} } é uma função de {A} em {\mathbb{R}}, onde { A=\lbrace x\in\mathbb{R}\mid -2\leq x \leq2\rbrace}? Resolução:

Como é impossível numerar os elementos do conjunto {A} é mais fácil provar ao contrário que não é uma aplicação indicando um elemento de {A} que não resulta um elemento de {\mathbb{R} } ou que resulta dois ou mais elementos de {\mathbb{R}}.

É evidente que não existe nenhum elemento de {A} cujo o resultado de {f(x)} não seja real ou seja, para todos os elementos de {A} existe, claramente, um numero real, por isso é uma aplicação ou é uma função de {A} em { \mathbb{R}}.

Exercício 7 Dados os conjuntos { A= (-2, 1, 2, 3) } e { B=(-3 ,-2,-1,1,4,5,6,9)} e a lei definida por { C= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=7-x \rbrace } de {A} em {B}, prove se é uma função.

Resolução:

Como { x \in A }, então temos:

Para { x=-2 }, temos {y=7-x\rightarrow y=7+2 \rightarrow y=9 \rightarrow y \in B }, logo {(-2,9)\in f }.

Para { x=1 }, temos { y=7-x \rightarrow y=7-1 \rightarrow y=6 \rightarrow y\in B }, logo {(1,6) \in f }.

Para { x=2 }, temos { y=7-x\rightarrow y=7-2 \rightarrow y=5\rightarrow y\in B }, logo {(2,5)\in f }.

Para { x=3 }, temos { y=7-x\rightarrow y=7-3 \rightarrow y=4\rightarrow y\in B }, logo {(3,4)\in f }. Vimos que para todos elementos de {x} que pertencem ao conjunto {A}, pela lei de transformação {y=7-x}, corresponde a um único elemento do conjunto {B}, logo a relação { C= \lbrace(x,y)\in A \times B \mid y=7-x \rbrace } de {A} em {B} é uma função ou é uma aplicação de {A} em {B} .

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