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Continuidade em Espaços Métricos. Continuação.
— 1.2.10. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação —
Agora apresentaremos alguns exemplos de funções contínuas. Vou assumir que os leitores já estão familiarizados com a noção de continuidade apresentada nos cursos de Cálculo, principalmente as funções trigonométricas, logaritimicas e polinomiais. Em seguida, darei alguns exemplos sobre o conceito de continuidade nos espaços métricos.
Proposição 33 Seja um espaço métrico e , com . Então para todo e , temos: |
Demonstração: Como éum espaço métrico, então é válida a desigualdade triângular:
tomando o ínfimo para todo e considerando
e
teremos, , e depois trocando e se obtem:
Proposição 34 Seja um espaço métrico, e . Se definirmos a função distância , como
então é contínua. |
Demonstração: Para provarmos isto usaremos a Prop. 1.31 assim como a 1.33. Sabemos que uma função é contínua em um ponto se e só se .
É importante notarmos que na definição da função distância o espaço imagem é basicamente portanto, .
Seja uma sequência de tal que : , então por definição , onde . Logo,
Portanto, é suficiente tomar e , para garantirmos a continuidade de . E como é arbitrário isto significa que é contínua para todo .
Exemplo 13
|
Proposição 35 Seja um espaço métrico e duas funções contínuas. Então:
|
Demonstração: Deixada ao leitor.
O conceito de continuidade reveste-se de capital importância para a Topologia por isso em aulas subsequentes continuaremos a explorar o conceito até as suas aplicações mais importantes.
Função composta
p>
— 1. Conceito —
Definição 1 Dados três conjuntos , e não vazios. seja uma função de em e outra função de em . Chama-se função composta de e a função de em definida por:
se |
Muita das vezes representa-se por e lê-se: composta por ,
então
por diagrama temos:
A mesma ideia podemos representar também dessa maneira:
Exercício 2
Dadas as funções reais e , determinar a função composta Resolução Temos:
|
Teorema 1
composta com em geral não é igual a composta com Demonstração: Sejam , e e . Suponhamos que de em , de em e de em ; temos:
e contradição porque e logo:
|
Exercício 3
Sejam as funções e , Calcular e Resolução: Temos:
e
Verificando o teorema
|
Exercício 4
Sejam as funções e , Calcular: e Temos:
calculando , temos:
e
Calculando , temos:
Verificando o teorema, vemos que |
Exercício 5
Sejam as funções e definidas por e , determinar e Resolução: Temos:
isto é verdade; logo de em e que não é verdade como , tomemos a função não está definida; logo não é uma função de em |
Teorema 2
A função composta é associativa. Demonstração: Sejam os elementos , , e . Suponhamos que de em , de em e de em ; temos:
e
Assim mostramos que:
|
Exercício 6
Dadas as funções e e , Calcular e e verifique o teorema. temos:
e
Claramente que são iguais |
Teorema 5
Sejam as função e ,então onde: são funções identidade. Demonstração: Sejam os elementos , e . Suponhamos que de em e a inversa de em ,temos: , é verdade que é verdade que
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— 2. Exercícios complementares —
Exercício 7 Sejam as funções e
determinar Resolução Temos: fazer ) Para
) para
então,
|
Exercício 8
Dadas as funções e , determinar e Resolução Temos:
e
|
Exercício 9
Dadas as funções e determinar Resolução Temos:
fazendo , tem-se: |
Exercício 10 Dadas as funções e determinar
Resolução Temos:
fazendo , tem-se:
Calculando , temos:
|
Domínio contradomínio e imagem de função.
— 1. Introdução —
Não existe uma função sem domínio, sem contradomínio e sem imagem. Os três elementos citados são inseparáveis a função.
Sendo assim, vamos, então começar a definir os três elementos fundamentais da função. Seja a função : . Por diagrama, temos:
Definição 1 -Chama-se domínio da função , o conjunto D de todos elementos do conjunto A. Matematicamente, temos: |
Definição 2 – Chama-se contradomínio da função , o conjunto de todos elementos de . Matematicamente, temos: |
— 2. Determinação do domínio, do contradomínio e da imagem da função —
Exercício 1 Determinar o domínio, o contradomínio e a imagem da função.
Resolução -O domínio é -O contradomínio é -A Imagem é |
Obs:O leitor terá que ler a matéria de conceito de função disponível nesse mesmo blog.
Exercício 5
Dada a função de definida por Determinar: o domínio; O contradomínio; ; ; ;
Resolução é evidente. é evidente. Como , temos: . Como ,temos: . como , temos: Como , temos: |
Exercício 6
Na função real Resolução Como a função é real então , então . Temos: logo os elemento do domínio são: e |
— 3. Determinação da imagem da função quadrática —
Dada a função geral,
se a imagem será
se a imagem será
Exercício 8
Determinar a imagem da função definida . Resolução é a função dada, então temos: Primeiro, vamos determinar os coeficientes , e segundo, vamos determinar o
Por fim, temos: Como , logo:
|
Exercício 9
Determinar a imagem da função definida em . Resolução é a função dada, então temos: Primeiro, vamos determinar os coeficientes , e Segundo, vamos determinar o
Por fim, temos: Como , logo: |
DOMÍNIO DE FUNÇÃO
Definição 1
Seja a função de em . é o domínio da função, ao conjunto de todos os elemento de pelos os quais existe .
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Exercício 1 Seja a função de e , determinar o seu domínio.
Resolução O domínio dessa função é . |
Definição 2 Dada a função . Chama-se domínio ao conjuntos de valores reais de para os quais a função está definida.
No parágrafo a seguir, entenderemos melhor essa definição |
— 1. Determinação de domínio de diversas funções —
Segundo a definição, antes de determinarmos o domínio de uma função dada devemos, em primeiro passo, estudar a natural da função assim como a sua definição.
Vamos apresentar algumas formas de representação de domínio:
ou
ou
ou
ou
ou
ou
ou simplesmente
e
Essas representações dependem do critério do leitor outras do tipo de função em causa.
Vamos agrupar as funções segundo as suas definições para facilitar a compreensão do leitor e posteriormente podermos resolver as funções de expressões mistas.
— 2. Domínio da função polinomial —
Definição 3 O domínio da função polinomial é sempre o conjunto dos números reais
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Exercício 2
Determinar o domínio da função
Resolução: |
Exercício 3 Determinar o domínio da função
Resolução: |
Exercício 4 Determinar o domínio da função onde
Resolução: |
— 3. Domínio de função racional —
Definição 4 O domínio da função racional está definida para o denominador diferente de zero.
. |
Exercício 5 Determinar o domínio da função .
Resolução: |
Exercício 6 Determinar o domínio da função .
Resolução: |
— 4. Domínio da função irracional de índice ímpar —
Definição 5 O domínio de uma função irracional de índice ímpar é sempre o conjunto dos números reais.
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Exercício 7 Determinar domínio da função
Resolução: |
Exercício 8 Determinar domínio da função
Resolução: |
— 5. Domínio de função irracional de índice par —
Definição 6 O domínio da função irracional de índice par estás definida para o radical maior ou igual a zero.
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Exercício 9 Determinar o domínio da função .
Resolução:
|
Exercício 10 Determinar o domínio da função .
Resolução: |
— 6. Domínio de função logaritmica —
Definição 7 O Domínio da função logarítmica é definido, para logaritmando igual ou maior que um e a base maior que zero e diferente de um.
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Exercício 11 Determinar o domínio da função .
Resolução: |
Exercício 12 Determinar o domínio da função .
Resolução: |
Exercício 13 Determinar o domínio da função .
Resolução: |
— 7. Domínio de função exponencial —
Definição 8 O domínio da função exponencial é definido para base maior que zero e diferente um.
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Exercício 14 Determinar o domínio da função Resolução: Claramente que o |
Exercício 15 Determinar o domínio da função
Resolução: |
— 8. Domínio de função trigonométrica —
Definição 9 – O domínio da função de seno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos: O domínio é |
Definição 10 – O domínio da função de cosseno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos: O domínio é |
Definição 11 – O domínio da função de tangente é definido para cosseno diferente de zero. Em símbolos, temos: |
Exercício 16 Determinar o domínio da função
Resolução: Sabemos que a tangente não está definida para então, temos: . logo o domínio é: |
Exercício 17 Determinar o domínio da função .
Resolução: Destaca-se a condição da e a condição do denominador |
— 9. Determinação de domínio de diversas funções —
Exercício 18 Determinar o domínio da função Resolução: Como o índice é ímpar vamos analisar a condição só do denominador. , logo o domínio é, . |
Exercício 21 O domínio da função é?
Resolução: |
Exercício 24 Determinar o domínio da função . Resolução: isto só é possível para . logo temos: Por fim temos o domínio: . |
Exercício 25 Dada a função . Determinar o domínio.
Resolução:
O denominador diferente de zero: , segundo as propriedades modular, temos: |
CONCEITO DE FUNÇÃO
— 1. Conceito de funções —