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Continuidade em Espaços Métricos. Continuação.

09/22/2019 10:03 pm / Deixe um comentário

— 1.2.10. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação —

Agora apresentaremos alguns exemplos de funções contínuas. Vou assumir que os leitores já estão familiarizados com a noção de continuidade apresentada nos cursos de Cálculo, principalmente as funções trigonométricas, logaritimicas e polinomiais. Em seguida, darei alguns exemplos sobre o conceito de continuidade nos espaços métricos.

Proposição 33 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${A\subseteq X}$ , com ${A\neq\emptyset}$ . Então para todo ${x,y\in X}$ e ${z\in A}$ , temos:

$\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y) \ \ \ \ \ (2)$

Demonstração: Como ${X}$ éum espaço métrico, então é válida a desigualdade triângular:

$\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

tomando o ínfimo para todo ${z\in A}$ e considerando

$\displaystyle d(x,A)=\inf_{z\in A}d(x,z)$

$\displaystyle d(y,A)=\inf_{z\in A}d(y,z)$

teremos, ${d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)}$ , e depois trocando ${x}$ e ${y}$ se obtem:

$\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y)$

$\Box$

Proposição 34 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, e ${x_{0}\in X}$ . Se definirmos a função distância ${f:X\longrightarrow \mathbb{R}}$ , como

$\displaystyle f(x)=d(x,x_{0})$

então ${f}$ é contínua.

Demonstração: Para provarmos isto usaremos a Prop. 1.31 assim como a 1.33. Sabemos que uma função é contínua em um ponto ${a}$ se e só se ${\forall x_{n}\subset X: x_{n}\longrightarrow a\implies f(x_{n})\longrightarrow f(a)}$ .

É importante notarmos que na definição da função distância o espaço imagem é basicamente ${(Y=\mathbb{R},\rho_{\text{usual}})}$ portanto, ${\rho(f(x),f(y))=\mid f(x)-f(y)\mid}$ .

Seja ${x_{n}}$ uma sequência de ${X}$ tal que : ${x_{n}\longrightarrow a}$ , então por definição ${d(x_{n},a)<\epsilon}$ , onde ${\epsilon>0}$ . Logo,

$\displaystyle \rho(f(x_{n}),f(a))=\mid f(x_{n})-f(a)\mid=\mid d(x_{n},x_{0})-d(x_{0},a)\mid\leq d(x_{n},a)<\epsilon$

Portanto, é suficiente tomar ${\delta=\delta(a,\epsilon)=\epsilon}$ e ${d(x,a)<\delta}$ , para garantirmos a continuidade de ${f}$ . E como ${a\in X}$ é arbitrário isto significa que ${f(x)=d(x,x_{0})}$ é contínua para todo ${\mathbb{R}}$ . $\Box$

Exemplo 13

Se ${(X,d)}$ é um espaço métrico discreto e ${(Y,\rho)}$ um espaço métrico qualquer, então as únicas funções contínuas ${f:x\longrightarrow Y}$ são as funções constantes.
Para provarmos isto, seja ${\epsilon>0}$ basta tomar ${\delta<1}$ , com ${d(x,a)<\delta<1}$ e como ${d}$ é a métrica discreta, i.e.,

$\displaystyle d(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.$

então obviamente ${d(x,a)=0}$ o que implica ${x=a}$ . Assim,

$\displaystyle \rho(f(x),f(a))=\rho(f(a),f(a))=0.$
A função ${f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}}$ definida como:
$\displaystyle f(k,x)=kx$

é contínua.(É facíl provar, deixada ao leitor, não esquecer que ${x\in\mathbb{R}^{n}}$ é um vector, i.e., ${x=(x_{1},\cdots,x_{n})}$ ).

Proposição 35 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${f,g:X\longrightarrow \mathbb{R}}$ duas funções contínuas. Então:

${(f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ e ${(fg)(x)=f(x)g(x)}$ são contínuas.
Se ${f(x)\neq0}$ para todo ${x\in X}$ , então ${h(x)=\frac{1}{f(x)}}$ é uma função contínua.

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

O conceito de continuidade reveste-se de capital importância para a Topologia por isso em aulas subsequentes continuaremos a explorar o conceito até as suas aplicações mais importantes.

Continuidade em Espaços Métricos

09/17/2019 8:14 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Continuidade em Espaços Métricos —

Definição 15 Seja ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ dois espaços métricos, uma função ${f:X\longrightarrow Y}$ é contínua no ponto ${a}$ em ${X}$ se para todo ${\epsilon>0}$ exise um ${\delta>0}$ tal que quando ${d(a,x)<\delta}$ segue que ${\rho(f(a),f(x)<\epsilon}$ .

Comentário 6 Uma função ${f}$ é contínua se é contínua em cada ponto de ${X}$ .

Comentário 7 Se na definição acima fazermos ${X=Y=\mathbb{R}}$ torna-se na definição padrão ensinada nos cursos de cálculo, i.e., para todo ${\epsilon>0}$ existe um ${\delta>0}$ tal que ${\mid x-a\mid<\delta}$ temos ${\mid f(a)-f(x)\mid}$ .

Proposição 31 Se ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ são espaços métricos e ${f:X\longrightarrow Y}$ , então ${f}$ é contínua em ${a}$ se e somente se sempre que ${x_{n}\subset X}$ e ${x_{n}\longrightarrow a}$ , então ${f(x_{n})\longrightarrow f(a)}$ em ${Y}$ .

Demonstração: Suponhamos que ${f}$ é contínua em ${a}$ e ${x_{n}\longrightarrow a}$ . Como ${f}$ é contínua, então para algum ${N\geq 1}$ tal que ${d(x_{n},a)<\delta}$ quando ${n\geq N}$ . Portanto, ${\rho(f(x_{n}),f(a)<\epsilon}$ quando ${n\geq N}$ . Como ${\epsilon}$ é arbitrário, isto significa que ${f(x_{n})\longrightarrow f(a)}$ .

Para provarmos a implicação inversa, suponhamos que ${f}$ não é contínua em ${a}$ , i.e., existe um ${\epsilon>0}$ tal que para todo ${\delta>0}$ existe pelo menos um ${x}$ com ${d(x,a)<\delta}$ , mas ${\rho(f(x),f(a))\geq \epsilon}$ .

Em particular, tomando ${\delta=\frac{1}{n}}$ temos que para todo ${n\geq1}$ existe um ${x_{n}}$ com ${d(x_{n},a)<\frac{1}{n}}$ e ${\rho(f(x_{n}),f(a))\geq\epsilon}$ . Quando ${n\longrightarrow\infty}$ então ${x_{n}\longrightarrow a}$ , e ${f(x_{n})}$ não converge a ${f(a)}$ . $\Box$

Teorema 32 Se ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ são espaços métricos e ${f:X\longrightarrow Y}$ , então as seguintes afirmações são equivalentes:

${f}$ é uma função contínua em ${X}$ .
Se ${U}$ é um subconjunto aberto de ${Y}$ , então ${f^{-1}(U)}$ é um subconjunto aberto de ${X}$ .
Se ${V}$ é um subconjunto fechado de ${Y}$ , então ${f^{-1}(V)}$ é um subconjunto fechado de ${X}$ .

Demonstração: 2. implica 3.:

Note que ${f^{-1}(Y-U)=X-f^{-1}(U)}$ e ${f^{-1}(Y-V)=X-f^{-1}(V)}$ .

1.implica 2.: Seja ${a\in f^{-1}(U)}$ tal que ${\alpha=f(a)\in U}$ . Como ${U}$ é aberto, existe um ${\epsilon>0}$ talque ${B(\alpha,\epsilon)\subseteq U}$ . Como ${f}$ é contínua exise um ${\delta>0}$ tal que ${d(a,x)<\delta}$ implica ${\rho(f(a),f(x))<\epsilon}$ . Em outras palavras, ${B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(\alpha,\epsilon))\subseteq f^{-1}(U)}$ . Como ${a}$ era um ponto arbitrário em ${f^{-1}(U)}$ , isto significa que ${f^{-1}(U)}$ é aberto. $\Box$

Demonstração do Teorema de Cantor

08/24/2019 3:34 pm / Deixe um comentário

Demonstração: Na proxima aula. $\Box$

ilon>0}&fg=000000$, seja ${N}$ tal que ${diam F_{n}<\epsilon}$ , ${\forall n\geq N}$ . Assim, se ${m,n\geq N}$ , então ii) implica que ${F_{N}\subseteq F_{n,m}}$ ,i.e., ${diam F_{N}<diam F_{n}<\epsilon}$ , logo ${x_{n}}$ é uma sequência de Cauchy, e como ${(X,d)}$ é completo, então ${\exists x\in X}$ : ${x_{n}\longrightarrow x}$ .

Como cada ${F_{n}}$ é fechado, então ${x\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}$ . Se ${\exists y\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}$ , então ${d(x,y)\leq diam F_{n}}$ , logo ${x=y}$ .

Seja agora ${x_{n}}$ uma sequência de Cauchy. Tomando ${F_{n}=\overline{\{x_{n+1}, x_{n},\cdots\}}}$ . Claramente ${F_{n}}$ é fechado e decrescente. Seja ${\epsilon>0}$ e seja ${N}$ tal que ${d(x_{n},x_{m})<\epsilon}$ , ${\forall m,n\geq N}$ . Como ${diam F_{k}=\sup\{d(x_{n},x_{m}):m,n\geq k\}\leq\epsilon\Longrightarrow diam F_{k}\longrightarrow0}$ .

Para qualquer ${n\geq 1}$ , ${d(x,x_{n})\leq diam F_{n}\longrightarrow0}$ , i.e., ${x_{n}\longrightarrow x}$ , logo ${(x,d)}$ é completo.

$\Box$

Topologia dos Espaços Métricos e Sequências

08/14/2019 10:59 pm / Deixe um comentário

— 1.1.8. Topologia dos Espaços Métricos e Sequências —

Proposição 24 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico. Um subconjunto ${F}$ de ${X}$ é fechado em ${(X,d)}$ , se e só se, toda sequência de pontos em ${F}$ converge para um ponto em ${F}$ . ( ${\forall x_{n}\subset F: x_{n}\longrightarrow x\implies x\in F}$ ).

Demonstração: Primeiramente temos de provar que se ${x_{n}\subset F}$ , ${ x_{n}\longrightarrow x}$ e ${F}$ é fechado, então ${x\in F}$ .

Suponhamos pelo contrário que ${x\notin F}$ , então ${x\in X-F}$ que é aberto, logo pela definição 1.4, ${\exists r>0: B(x,r)\subseteq X-F}$ , então a partir de uma certa ordem deve existir um ${N}$ , tal que para todo ${n\geq N}$ , ${d(x_{n},x)<r}$ , i.e., ${x_{n}\in B(x,r)\subseteq X-F}$ , o que é uma contradição,já que por hipótese ${x_{n}\in F}$ . Portanto, ${x\in F}$ .

Se ${x\in F}$ , então ${x\in\widehat{F}}$ , pela definição 1.5 ${B(x,r)\cap F\neq\emptyset}$ ${\forall r>0}$ . Em particular, para todo natural ${n}$ existe umponto ${x_{n}}$ em ${B(x,\frac{1}{2n})\cap F}$ . Por isso ${x_{n}\subset F}$ e ${d(x,x_{n})<\frac{1}{2n}}$ , assim ${x_{n}\longrightarrow x}$ e ${x\in F}$ . $\Box$

Definição 14 Um espaço métrico é completo se toda sucessão de Cauchy nesse espaço é convergente.

Exemplo 12 Todo espaço métrico discreto é completo porque suas sucessões de Cauchy são constantes.

Lema 25 Se ${x_{n}}$ é uma sucessão de Cauchy de elementos de ${\mathbb{R}}$ , então sua imagem é um conjunto limitado.

Teorema 26 ${\mathbb{R}}$ é completo.

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Proposição 27 Se ${(X,d)}$ é um espaço métrico completo e ${Y\subseteq X}$ , então ${(Y,d)}$ é completo se e só se ${Y}$ é fechado em ${X}$ .

Corolário 28 Os subconjuntos fechados de ${\mathbb{R}}$ são espaços métricos completos.

Proposição 29 Todo producto ${X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ de espaços métricos completos ${X_{1},\cdots, X_{n}}$ , é um espaço métrico completo.

Teorema 30 (Cantor) Um espaço métrico ${(X,d)}$ é um espaço métrico completo se e só se sempre que ${\{F_{n}\}}$ é uma sequência não vazia de subconjuntos satisfazendo:

Cada ${F_{n}}$ é fechado;
${F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq\cdots}$ ;
${diam F_{n}\longrightarrow 0}$ , então ${\cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}$ é um único ponto.

Demonstração: Na proxima aula. $\Box$

Espaços Métricos e Sequências

08/07/2019 8:49 pm / Deixe um comentário

Aula 6

— 1.1.7. Espaços Métricos e Sequências —

Nesta aula introduziremos o conceito de sequências em espaços métricos. Embora este conceito já seja conhecido de modo elementar no espaço dos números reais, ${\mathbb{R}}$ , procederemos à generalização do mesmo para qualquer espaço métrico ${X}$

Definição 11 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico. Uma sequência, num espaço métrico, é uma aplicação ${x:\mathbb{N}\longrightarrow X}$ , onde os ${(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}}$ são pontos em ${(X,d)}$ .

Exemplo 10 Em particular se tomarmos ${X=\mathbb{R}}$ retornaremos ao conceito usual de sequências.

Definição 12 Uma sequência ${\{x_{n}\}}$ em ${X}$ converge para ${x}$ , i.e., ${x_{n}\longrightarrow x}$ , se ${\forall\epsilon>0}$ ${\exists N>0}$ : ${d(x_{n},x)<\epsilon}$ , ${\forall n\geq N(\epsilon)}$ .

Exemplo 11 Seja ${(X,d)}$ o espaço métrico discreto, então uma sequência ${\{x_{n}\}}$ em ${X}$ converge para ${x}$ se e só se existe um inteiro ${N}$ tal que ${x_{n}=x}$ sempre que ${n\geq N}$ .

Proposição 21 Se ${x_{n}\longrightarrow x}$ em ${X}$ e ${\{x_{n_{k}}\}}$ é uma subsequência, então ${x_{n_{k}}\longrightarrow x}$ .

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Definição 13 Uma sequência ${\{x_{n}\}}$ em ${X}$ é de Cauchy se ${\forall\epsilon>0}$ ${\exists n_{0}\in\mathbb{N}}$ tal que ${d(x_{m},x_{n})<\epsilon}$ , para todo ${m,n\geq n_{0}}$ .

Proposição 22 Toda sucessão ${x_{n}}$ convergente de ${X}$ é de Cauchy.

Demonstração: A proposição acima basicamente diz que se uma sucessão é convergente, então ela é de Cauchy.

Como por hipótese, ${x_{n}\longrightarrow x}$ , então pela definição 1.12, ${d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}}$ para algum ${\epsilon>0}$ e para todo ${n\geq n_{0}}$ , onde ${n_{0}\in\mathbb{N}}$ . De modo similar, a partir de uma certa ordem, ${m}$ , temos ${d(x_{m},x)<\frac{\epsilon}{2}}$ , com ${m\geq n_{0}}$ . Portanto, aplicando a desigualdade triângular obtemos:

$\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$

$\Box$

Em geral,a recíproca da proposição anterior é falsa. Para isto, consideremos por exemplo a sucessão ${x_{n}=\frac{1}{n}}$ no espaço ${X=\mathbb{R}-\{0\}}$ com a métrica euclidiana usual.

Proposição 23 Se ${\{x_{n}\}}$ é uma sequência de Cauchy e alguma subsequência de ${X_{n}}$ converge para ${x}$ , então ${x_{n}\longrightarrow x}$ .

Demonstração: Por hipótese temos que ${x_{n_{k}}\longrightarrow x}$ para algum ${\epsilon>0}$ . Seja ${N_{1}, N_{2}\in\mathbb{N}}$ tal que ${d(x_{n_{k}},x)<\frac{\epsilon}{2}}$ , para todo ${n_{k}\geq N_{1}}$ . Por outro lado, como ${x_{n}}$ é umasequência de Cauchy, então ${d(x_{m},x_{n})<\frac{\epsilon}{2}}$ , para ${m,n\geq N_{2}}$ . Fixemos ${n_{k}>N}$ e seja ${N=\max\{N_{1},N_{2}\}}$ , então:

$\displaystyle d(x,x_{n})<d(x,x_{n_{k}})+d(x_{n_{k}},x_{n})<\epsilon.$

$\Box$

Topologia – Distância entre conjuntos e diâmetro

09/26/2018 9:33 am / Deixe um comentário

— 1.1.6. Distância entre conjuntos e diâmetro —

Definição 8 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${x\in X}$ . Se ${A\subset X}$ não vazio, o conjunto das distâncias ${x}$ e os elementos de ${A}$ é definido por

$\displaystyle d(x,A):=\inf\{d(x,y):y\in A\}.$

Ao número real ${d(x,A)\geq 0}$ chama-se distância de ${x}$ ao conjunto ${A}$ .

Comentário 5 É óbvio que se ${x\in A}$ , então ${d(x,A)=0}$ , mas o recíproco, em geral, nem sempre é verdadeiro.

Exemplo 8 Se ${X=\mathbb{R}}$ e ${A=(a,b)}$ , então ${d_{1}(a,A)=0}$ e ${a\not\in A}$ . Temos também, ${d_{1}(0,[1,2])=d_{1}(0,(1,2])=1}$ .

É evidente que ${d(A,x)=d(x,A)}$ .

Proposição 17 Seja ${A\subset X}$ e ${x,y\in X}$ . Então:

$\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)$

Demonstração: Sejam ${x,y\in X}$ , então ${\forall a\in A}$ :

$\displaystyle d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)$

,i.e.,

$\displaystyle d(x,A)\leq d(y,A)+d(x,y)$

de modo análogo,

$\displaystyle d(y,A)\leq d(x,A)+d(x,y).$

Assim,

$\displaystyle -d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y).$

$\Box$

Para cada conjunto ${A}$ de ${X}$ e ${\epsilon\geq 0}$ , denotaremos o conjunto ${A_{\epsilon}:=\{x:d(x,A)<\epsilon\}}$ , onde pode se dar o caso de ${\epsilon=\infty}$ .

Proposição 18 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${x\in X}$ . Então, para cada ${A,B}$ e ${\{B_{j}\}_{j\in J}}$ subconjuntos de ${X}$ ,as seguintes afirmações são verdadeiras:

${d(x,\emptyset)=\infty}$ e ${d(x,A)<\infty}$ se ${A\neq\emptyset}$ .
${d(x,\{x\})=0}$ .
Se ${A\subseteq B}$ , então ${d(x,A)\leq d(x,B)}$ .
${\forall \epsilon>0}$ , ${0\leq\epsilon\leq\infty}$ , ${d(x,A)\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon}$ .
${d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{j\in J}d(x,B_{j})}$
${d(x,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(x,B_{j})}$

Demonstração:

${d(x,\emptyset)=\inf\emptyset=\infty}$ (pela definição do ínfimo de um conjunto).
Basta tomar ${A=\{x\}\longrightarrow d(x,A)=0}$ .
Deixada ao leitor.
Seja ${a\in A_{\epsilon}}$ ,existe ${a'\in A}$ , ${d(a,a')<\epsilon}$ . Portanto,
$\displaystyle d(x,A)\leq d(x,a)+d(a,a')\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon.$
${d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{b\in \cup_{j\in J}B_{j}}d(x,b)=\inf_{j\in J}(\inf_{b\in B_{j}}d(x,b))=\inf_{j\in J}d(x,B_{j}).}$
Sugestão: ${d(x,A)\geq d(x,B)}$ se ${A\subseteq B}$ .

$\Box$

Definição 9 Sejam ${A,B}$ subconjuntos de ${X}$ , onde ${(X,d)}$ é um espaço métrico. A distância entre ${A}$ e ${B}$ é o número

$\displaystyle d(A,B)=\inf\{d(x,y):x\in A,y\in B\}.$

É evidente que se ${A\cap B\neq\emptyset}$ , então ${d(A,B)=0}$ , em geral o recíproco não é verdadeiro e, obviamente ${d(A,B)=d(B,A)}$ .

Proposição 19 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${A,B,C}$ e ${D}$ subconjuntos de ${X}$ , e famílias ${\{A_{i}\}_{i\in I}}$ , ${\{B_{j}\}_{j\in J}}$ de subconjuntos de ${X}$ . Então:

${d(A,B)<\infty}$ se e só se ${A}$ e ${B}$ são não vazios.
${d(A,B)=0}$ se ${A\cap B\neq\emptyset}$ .
Se ${A\subseteq B}$ e ${C\subseteq D}$ , então ${d(A,C)\leq d(B,D)}$ .
Para todo ${\epsilon,\epsilon'}$ , ${0\leq\epsilon,\epsilon'\leq\infty}$ , ${d(A,B)\leq d(A_{\epsilon},B_{\epsilon})+\epsilon+\epsilon'}$ .
${d(\cup_{i\in I}A_{i},\cup_{j\in J}B_{j})=\inf_{i\in I,j\in J}d(A_{i},B_{j})}$ .
${d(A,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(A,B_{j})}$ .

Demonstração: Deixadas ao leitor. $\Box$

Definição 10 Seja ${A\subseteq X}$ , onde ${(X,d)}$ é um espaço métrico. O diâmetro de ${A}$ é definido como

$\displaystyle \delta(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}.$

Exemplo 9 ${\delta(\emptyset)=\sup \emptyset=-\infty}$ .

Proposição 20 Sejam ${A,B\subseteq X}$ . Então:

Se ${A\subseteq B}$ , então ${\delta(A)\leq\delta(B)}$ .
${\delta(A_{\epsilon})\leq 2\epsilon+\delta(A)}$ , ${\forall\epsilon>0}$ .
${\delta(A\cup B)\leq \delta(A)+\delta(B)+d(A,B)}$ .

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Topologia dos Espaços Métricos

09/26/2018 9:29 am / Deixe um comentário

— 1.1.5. Topologia dos Espaços Métricos —

Definição 4 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${A\subseteq X}$ . Diz-se que ${A}$ é um conjunto aberto se para todo ${x\in A}$ existe ${r>0}$ : ${B(x,r)\subseteq A}$ . Um subconjunto ${F}$ de ${X}$ é fechado se seu complementar ${X\setminus F}$ é aberto.

Comentário 4 É importante notarmos que o facto de um conjunto não ser aberto, não implica que ele seja fechado.

Exemplo 6 Observamos que ${X}$ e ${\emptyset}$ são ambos conjuntos aberto e fechado. É claro que a condição acima é satisfeita para ambos, i.e., ${X}$ e ${\emptyset}$ são abertos, logo, novamente pela definição acima, seus complementares são fechados.

Proposição 9 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Esta proposição é uma consequência imediata da proposição 1.3. $\Box$

Proposição 10 A união arbitrária de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja ${\{A_{i}\}_{i\in I}}$ uma família de abertos, e ${A=\cup_{i\in I}A_{i}}$ . Temos de mostrar que ${A}$ é aberto.

Seja ${x\in \cup_{i\in I}A_{i}}$ , então existe ${i_{0}\in I}$ tal que ${x\in A_{i_{0}}}$ , pela definição 1.4 existe uma bola aberta ${B(x,r)\subseteq A_{i_{0}}}$ , como ${A_{i_{0}}\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}$ , concluímos que ${B(x,r)\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}$ . $\Box$

Proposição 11 A intersecção finita de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja ${\{A_{i}\}_{i}^{n}}$ uma família de abertos e ${A=\cap_{i=1}^{n}A_{i}}$ . Temos de mostrar que ${A}$ é fechado.

Seja ${x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{i}}$ para todo ${i}$ . Então existem ${r_{k}>0}$ tais que ${B(x,r_{k})\subseteq A_{i}}$ . Se ${r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}}$ então ${r>0}$ e ${B(x,r)\subseteq\cap_{i=1}^{n}A_{i}}$ é

$\Box$

Proposição 12

Toda bola fechada num espaço métrico é um conjunto fechado.
A intersecção enumerável de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
A união finita de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
Todo conjunto finito é fechado.

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Definição 5 O interior de ${A}$ é o maior conjunto aberto contido em ${A}$ , i.e.,

$\displaystyle int A=\cup\{U:U\subseteq A\text{ onde }U \text{ é aberto }\}.$

O fecho de ${A}$ , ${\overline{A}}$ , é o menor conjunto fechado em ${X}$ contendo ${A}$ , i.e.,

$\displaystyle \overline{A}=\cap\{K: A\subseteq K, K\text{ fechado }\}.$

Exemplo 7 Da definição anterior podemos imediatamente verificar que ${\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}}$ , é tal que ${int(\mathbb{Q})=\emptyset}$ (muito importante !!!) e ${\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}$ . Para provarmos isto, suponha que ${U\subset\mathbb{R}}$ é aberto. Então, como as bolas abertas em ${\mathbb{R}}$ são intervalos, existe um intervalo ${(a,b)\subset U\subset\mathbb{R}}$ , onde ${a<b}$ . Como entre dois números reais sempre existe um número irracional, segue-se que ${(a,b)\cap \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\neq \emptyset}$ , ${U\nsubseteqq\mathbb{Q}}$ e por isso ${int(\mathbb{Q})=\emptyset}$ . Se ${\mathbb{Q}\subset K}$ é um subespaço fechado de ${\mathbb{R}}$ , então ${\mathbb{R}\setminus K}$ é aberto e não contém racionais. Segue-se que não contêm nenhum intervalo por que qualquer intervalo não vazio de números reais contém um número racional. Assim, ${\mathbb{R}\setminus K=\emptyset}$ e ${\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}$ .

Proposição 13 Seja ${A\subseteq X}$ . Então:

${x\in int A}$ se e só se existe ${r>0}$ tal que ${B(x,r)\subseteq A}$ .
${x\in \overline{A}}$ se e só se para todo ${r>0}$ , ${B(x,r)\cap A\neq\emptyset}$ .

Demonstração: 1. Seja ${x\in intA}$ , pela Definição 1.5 significa que existe um aberto ${U}$ tal que ${x\in U\subseteq A}$ . Como ${U}$ é aberto, então existe ${r>0}$ e uma bola ${B(x;r)\subseteq U\subseteq A}$ . A implicação inversa é simples, basta notarmos que se ${B(x,r)\subseteq A}$ e ${B(x,r)}$ é um conjunto aberto, então ${B(x,r)\subseteq intA}$ .

2.Deixada ao leitor.

$\Box$

Proposição 14 Seja ${A}$ um subconjunto de ${X}$ .

${A}$ é fechado se e só se ${A=\overline{A}}$ .
${A}$ é aberto se e só se ${A=int A}$ .
Seja ${\{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ uma família de subconjuntos de ${X}$ , então ${\overline{\cup_{i=1}^{n}A_{i}}= \cup_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}}$ .
Seja ${\{A_{i}\}_{i=1}^{n}}$ uma família de subconjuntos de ${X}$ , então ${int(\cap_{i=1}^{n}A_{i})=\cap_{i=1}^{n}int(A_{i})}$ .

Demonstração: deixada ao leitor. $\Box$

Definição 6 Um subconjunto ${A}$ de um espaço métrico ${X}$ é denso se ${\overline{A}=X}$ . Um espaço métrico ${X}$ é separável se contém um subconjunto denso enumerável.

Proposição 15 Um conjunto ${A}$ é denso em ${(X,d)}$ se e só se para todo ${x\in X}$ e todo ${r>0}$ , ${B(x,r)\cap A\neq\emptyset}$ .

Demonstração: É uma aplicação trivial da proposição 1.13. $\Box$

Definição 7 Seja ${A\subseteq X}$ , então um ponto ${x\in X}$ é chamado de ponto limite de ${A}$ se para todo ${\epsilon >0}$ existe um ponto ${y}$ em ${B(x,\epsilon)\cap A}$ com ${y\neq x}$ .

Proposição 16 Seja ${A\subset X}$ , onde ${X}$ é um espaço métrico, então ${\overline{A}=A\cup A'}$ , onde ${A'}$ representa o conjunto dos pontos limites de ${A}$ ou derivado de ${A}$ .

Demonstração: Por definição, o fecho de ${A}$ , ${\overline{A}}$ , é fechado e por isso ${A\subset\overline{A}}$ . Segue que se ${x\in \overline{A}}$ , então existe um conjunto aberto ${U}$ contendo ${x}$ com ${U\cap A=\emptyset}$ e daí ${x\not\in A}$ e ${x\not\in A'}$ . Isto mostra que ${A\cup A' \subset \overline{A}}$ .

Por outro lado, suponhamos ${x\in\overline{A}}$ e ${V}$ um aberto contendo ${x}$ . Se ${V\cap A=\emptyset}$ , então ${A\subset(X\setminus V)}$ é um conjunto fechado e ${\overline{A}\subset(X\setminus V)}$ . Mas, ${x\not\in \overline{A}}$ , contradição. Se ${x\in \overline{A}}$ e ${x\not\in A}$ , então, para qualquer aberto ${V}$ com ${x\in V}$ , temos ${V\cap A\neq\emptyset}$ . Logo, ${x}$ é um ponto limite de ${A}$ . Assim, ${\overline{A}\subset A\cup A'}$ . $\Box$

Topologia – Introdução aos Espaços Métricos

09/26/2018 9:24 am / Deixe um comentário

— 1.1.4. Alguns Exemplos de Espaços Métricos —

Na aula de hoje, daremos alguns exemplos de espaços métricos, e só depois continuaremos com a topologia dos espaços métricos. Infelizmente, pela grande variedade de espaços métricos que existem, que são infinitos, não poderemos demonstrar que cada métrica definida em um conjunto dado realmente fora um espaço métrico, por isso as respectivas demonstrações são deixadas ao leitor.

Comentário 3 É importante notarmos que em um mesmo conjunto podemos definir várias métricas.

Exemplo 5

Seja , este é sem dúvida o espaço métrico mais importante, podemos definir nele as seguintes métricas:
- ${d_{1}(x,y)=\mid x-y\mid }$ , ${\forall x,y\in \mathbb{R},}$ . Esta é a métrica usual ou euclidiana.
- ${d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}}$ , ${\forall x,y\in \mathbb{R}}$ . (Sugestão: para provarmos que esta métrica satisfaz a desigualdade triangular podemos aplicar a desigualdade: ${\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ , ${\forall a,b\in \mathbb{R}}$ ).
- ${\rho(x,y)=\frac{d_{1}(x,y)}{1+d_{1}(x,y)}}$ , onde ${d_{1}}$ é a métrica usual euclidiana.(sugestão: a função ${f(a)=\frac{a}{1+a}}$ é crescente, logo, ${\mid a+b\mid\leq\mid a\mid+\mid b\mid\Longrightarrow f(\mid a+b\mid)\leq f(\mid a\mid + \mid b\mid)}$ ).
Se podemos definir as seguintes métricas:
- ${d_{t}(x,y)=\mid x_{1}-y_{1}\mid + \mid x_{2}-y_{2}\mid}$ , onde ${x=(x_{1},x_{2})}$ e ${y=(y_{1},y_{2})}$ . Esta métrica é conhecida como métrica do táxi.
- ${d_{2}(x,y)=\sqrt{( x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}$ , ${x,y\in\mathbb{R}^{2}}$ . Esta é a métrica euclidiana no plano.
- ${d_{max}(x,y)=\max{\mid x_{1}-y_{1}\mid,\mid x_{2}-y_{2}\mid}}$ , é a métrica do máximo.
Se , temos:
- ${d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$ , onde ${x=(x_{1},...,x_{n})}$ e ${y=(y_{1},...,y_{n})}$ .(sugestão: use a desigualde de Cauchy-Schwarz: ${(\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}y_{i}\mid)^{2}\leq (\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2})^{2}(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2})^{2}}$ , ${\forall x,y\in\mathbb{R}^{n}}$ ).
- ${d_{\infty}(x,y)=\max\{\mid x_{i}-y_{i}\mid:1\leq i\leq n\}}$ , ${x,y\in \mathbb{R}^{n}}$ .
- Para ${p\geq 1}$ , definimos a métrica:
  $\displaystyle d_{p}(x,y):=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}-y_{i}\mid^{p}}$
  
  também é uma métrica em ${\mathbb{R}^{n}}$ .(sugestão: use a desigualdade de Minkovsky: ${\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}+y_{1}\mid}\leq\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}\mid^{p}}+\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid y_{i}\mid^{p}}}$ , ${\forall p\geq 1}$ ).
Seja ${B(A)}$ o conjunto de todas as funções limitadas no conjunto ${A}$ , então a métrica ${d_{\infty}:B(A)\times B(A)\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}$ definida por
$\displaystyle d_{\infty}(f,g):=\sup\{\mid f(x)-g(x)\mid:x\in A\}$

torna-o num espaço métrico ${\forall f,g\in B(A)}$ .
Seja , o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo é um espaço métrico com as métricas:
- ${d(f,g):=\max\{\mid f(x)-g(x)\mid:x\in [a,b]\}}$ , ${\forall f,g\in C_{[a,b]} }$ .
- ${d_{p}(f,g):=\sqrt[p]{\int_{a}^{b}\mid f(x)-g(x)\mid^{p}dx}}$ . (sugestão: para a desigualdade triangular use o equivalente integral da desigualdade de Minkovsky)
Terminamos com a métrica ${d_{0}:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}$ , definida por
$\displaystyle d_{0}(x,y):=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},y_{i})}{2^{i}}$

onde ${d}$ é uma métrica em ${X}$ . Demonstração: É evidente que ${d_{0}(x,y)\geq 0}$ e que ${d_{0}(x,y)=0}$ se e só se ${x=y}$ . Também é fácil verificar que ${d_{0}(x,y)=d_{0}(y,x)}$ , vamos portanto mostrar apenas a desigualdade triangular,

${d_{0}(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},y_{i})}{2^{i}}}$

${\leq\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},z_{i})+d(z_{i},y_{i})}{2^{i}}=}$

${\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},z_{i})}{2^{i}}+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(z_{i},y_{i})}{2^{i}}}$

${=d_{0}(x,z)+d(z,y)}$

$\Box$

Definição 3 Seja ${d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}$ uma aplicação, o par ${(X,d)}$ é chamado de pseudométrica ou pseudodistância em ${X}$ se,

${d(x,y)=0}$ se ${x=y}$ ,
${d(x,y)=d(y,x)}$ para todo ${x,y\in X}$ ,
${d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$ para todo ${x,y,z \in X}$ .

Exercício 1 Seja dada a aplicação ${f:X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}$ , a aplicação

$\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}$

definida por

$\displaystyle d(x,y)= \left \{ \begin{array}{cl} 0 & \mbox{, } x= y\\ f(x)+f(y) & \mbox{, } x\neq y \end{array}\right.$

é uma pseudométrica se e só se ${f^{-1}(0)}$ tem no máximo um elemento.

Exercício 2 Prove que se

$\displaystyle d_{i}:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}\,\,\,(i\in \mathbb{N})$

é uma família enumerável de pseudométricas e

$\displaystyle \alpha:\mathbb{R}_{\geq0}^{\mathbb{N}}\longrightarrow \mathbb{R}^{+}$

é uma função que satisfaz:

${\alpha(x)=0}$ se e só se ${x=0}$ ,
Se ${x\leq y}$ , então ${\alpha(x)\leq\alpha(y)}$
${\alpha(x+y)\leq\alpha(x)+\alpha(y)}$

então a função

$\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}$

definida por

$\displaystyle d(x,y):=\alpha(d_{1}(x,y),...,d_{n}(x,y),...),$

é uma pseudométrica, e que é uma métrica se e só se para todo ${x,y\in X}$ , com ${x\neq y}$ , existe ${i\in \mathbb{N}}$ tal que ${d_{i}(x,y)>0}$ .

Topologia – Introdução II

09/12/2018 9:24 am / Deixe um comentário

— 1.1. Bolas Abertas e Fechadas —

Definição 2 Dado ${x\in X}$ e ${r>0}$ . Definimos os seguintes conceitos:

(Bola aberta) ${B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}$ .
(Bola fechada) ${\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}$
(Esfera) ${S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}}$

Exemplo 4 Se, na definição tomarmos ${X=\mathbb{R}}$ , então as bolas abertas (resp. fechadas) serão basicamente intervalos abertos (resp. fechados), i.e., ${B(x,r)=(x-r,x+r)}$ e ${\overline{B}(x,r)=[x-r,x+r]}$ . Se ${x=0}$ e ${r=1}$ , então ${B(0,1)=(-1,1)}$ , ${\overline{B}(0,1)=[-1,1]}$ .

Comentário 2 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em ${\mathbb{R}^{3}}$ . Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., ${S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}=\emptyset }$ , para isso, basta tomarmos ${r\neq1}$ .

— 1.1.1. Propriedades das Bolas Abertas —

Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, então:

Proposição 1 Dadas duas bolas abertas ${B(x,r_{1})}$ e ${B(x,r_{2})}$ , então :

$\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})$

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja ${y\in B(x,r_{1})}$ então

$\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}$

logo, ${y\in B(x,r_{2})}$ . $\Box$

Proposição 2 Seja ${y}$ um ponto em ${(X,d)}$ tal que ${y\in B(x,r)}$ , então existe uma bola ${B(y,r_{1})}$ ( ${r_{1}>0}$ ), tal que

$\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)$

Demonstração: Seja ${y\in B(x,r)}$ , se tomarmos ${r_{1}=r-d(x,y)}$ teremos:

$\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.$

$\Box$

— 1.1.2. Propriedades das Bolas Abertas —

Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, então:

Proposição 3 Dadas duas bolas abertas ${B(x,r_{1})}$ e ${B(x,r_{2})}$ , então :

$\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})$

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja ${y\in B(x,r_{1})}$ então

$\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}$

logo, ${y\in B(x,r_{2})}$ . $\Box$

Proposição 4 Seja ${y}$ um ponto em ${(X,d)}$ tal que ${y\in B(x,r)}$ , então existe uma bola ${B(y,r_{1})}$ ( ${r_{1}>0}$ ), tal que

$\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)$

Demonstração: Seja ${y\in B(x,r)}$ , se tomarmos ${r_{1}=r-d(x,y)}$ teremos:

$\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.$

$\Box$

— 1.1.3. Propriedades das Bolas Abertas —

Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, então:

Proposição 5 Dadas duas bolas abertas ${B(x,r_{1})}$ e ${B(x,r_{2})}$ , então :

$\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})$

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja ${y\in B(x,r_{1})}$ então

$\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}$

logo, ${y\in B(x,r_{2})}$ . $\Box$

Proposição 6 Seja ${y}$ um ponto em ${(X,d)}$ tal que ${y\in B(x,r)}$ , então existe uma bola ${B(y,r_{1})}$ ( ${r_{1}>0}$ ), tal que

$\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)$

Demonstração: Seja ${y\in B(x,r)}$ , se tomarmos ${r_{1}=r-d(x,y)}$ teremos:

$\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.$

$\Box$

Proposição 7 Sejam ${B(x,r_{1})}$ e ${B(y,r_{2})}$ , tais que ${B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})\neq \emptyset}$ . Se ${a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}$ , então existe uma bola aberta de centro ${a}$ contida na intersecção ${B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}$ .

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Proposição 8 Sejam ${B(x_{1},r_{1})}$ e ${B(x_{2},r_{2})}$ duas bolas abertas. Se ${r_{1}+r_{2}\leq d(x_{1},x_{2})}$ , então

$\displaystyle B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})=\emptyset.$

Demonstração: deixada ao leitor. $\Box$

Topologia – Introdução

09/06/2018 10:06 pm / Deixe um comentário

Topologia

— 1. Espaços Métricos —

A topologia, literalmente, a ciência da forma, é uma área da Matemática, muito ligada à Geometria e Análise, que têm como objectivo fundamental a análise do conceito de continuidade entre espaços.

Existem duas maneiras de se introduzir uma estrutura topológica em um espaço, a primeira através da noção de distância entre elementos de um conjunto, que passará a ser um espaço métrico, a outra, numa abordagem mais conjuntista e abstracta, utilizando a noção primitiva de conjunto aberto. Nas primeiras aulas abordaremos principalmente a primeira maneira, por ser talvez a mais intuitiva e também por cumprir com os objectivos que preconizamos.

Definição 1 Seja ${X}$ um conjunto não vazio. A aplicação ${d:X\times X\longrightarrow\mathbb{R}}$ define uma distância ou métrica em ${X}$ se as condições abaixo são cumpridas ${\forall x,y,z\in X}$ :

${d(x,y)\geq 0}$ , com igualdade se e só se ${x=y}$
${d(x,y)=d(y,x)}$
${d(,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$ .

Comentário 1 Ao par ${(X,d)}$ chamamos de espaço métrico mas, muitas vezes omitiremos a notação anterior à favor de uma mais simples, i.e., denotaremos um espaço métrico apenas pela letra ${X}$ .

Do axioma 3 obtemos por indução a desigualdade triangular generalizada:

$\displaystyle d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+\cdots+d(x_{n-1},x_{n}) \ \ \ \ \ (1)$

Um subespaço ${(Y,\rho)}$ de um espaço métrico ${(X,d)}$ é obtido se tomarmos o subconjunto ${Y\subset X}$ e restringirmos ${d}$ a ${Y\times Y}$ , assim a métrica em ${Y}$ é a restrição

$\displaystyle \rho=d\mid _{Y\times Y}$

A definição acima nos mostra claramente que em um mesmo conjunto podemos definir várias métricas, ou seja, várias maneiras de se medir distâncias. Um dos conjuntos mais famosos que possui várias distâncias nele definidas é o conjunto dos números reais ${\mathbb{R}}$ .

Exemplo 1 1. O conjunto dos Números Reais ${\mathbb{R}}$ . Munido com a distância:

$\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid$

Esta é com certeza a distância mais famosa em matemática, pois quase toda a análise elementar é feita usando esta métrica e é também bastante intuitiva, vamos provar que os números reais com essa distância é de facto um espaço métrico. Demonstração: (i) Vamos verificar o primeiro axioma, ${d(x,y)\geq 0}$ e ${x=y \Longleftrightarrow d(x,y)=0}$ . Então temos,

$\displaystyle d(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow d(x,y)=\mid x-y\mid \geq 0$

o que é evidente pela definição de módulo. Resta demonstrar a segunda parte do axioma 1, temos então

$\displaystyle d(x,y)= 0 \Longleftrightarrow \mid x-y \mid =0$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x-y=0$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x=y$

a reciproca é evidentemente verdadeira, se tomarmos ${x=y}$ então ${d(x,x)=0}$ . (ii)O segundo axioma também é simples de demonstrar,

$\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid =\mid (-1).(y-x)\mid = \mid (-1)\mid \mid y-x\mid =\mid y-x\mid = d(y,x)$

(iii)Para demonstrarmos a desigualdade triangular vamos precisar da desigualdade triangular nos reais, i.e.,

$\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid x\mid + \mid y\mid$

Fazendo uso de um pequeno artifício temos,

$\displaystyle (x-y)=(x-z)+(z-y)$

Então,

$\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid (x-z)+(z-y)\mid \leq \mid x-z\mid +\mid z-y\mid$

assim demonstramos que o par ${(\mathbb{R},d)}$ é um espaço métrico. $\Box$

Exemplo 2 Ao tomarmos qualquer conjunto ${X\neq \emptyset}$ podemos definir nele a seguinte métrica,

$\displaystyle \rho(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.$

O exemplo a seguir foi tirado do livro an epsilon of room, escrito por Terence Tao, e é muito interessante porque mostra como a partir de duas métricas podemos formar outras métricas, chamadas de métricas produto.

Exemplo 3 Dado dois espaços métricos ${X=(X,d_{X})}$ e ${Y=(Y,d_{Y})}$ , podemos definir o produto ${X\times Y=(X\times Y,d_{X}\times d_{Y})}$ como sendo o produto cartesiano ${X \times Y}$ com a métrica produto

$\displaystyle d_{X}\times d_{Y}((x,y),(x',y')):=\max \{d_{X}(x,x'),d_{Y}(y,y')\}$

ou ainda

$\displaystyle d_{X}\times d_{Y}((x,y),(x',y')):= d_{X}(x,x')+d_{Y}(y,y')$

Luso Academia

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