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1.1. Exercícios sobre Carga, Forças Eléctricas (Parte 4)

08/03/2020 4:52 pm / Deixe um comentário

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 10 Um conjunto de 4 cargas iguais, de ${5 \ \mu C}$ estão dispostas da base de uma pirâmide de base quadrada, dada na figura.

${a= \ h= \ 20 \ mm}$ .

Qual deverá ser a massa da carga de prova (de valor igual) para que ela flutue em equilíbrio dinâmico?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo.

Resolução 10 .

O exercício nos apresenta uma carga de prova ${(q_{o})}$ que está acima de um arranjo quadrado de cargas, formando assim uma pirâmide. As cargas se encontram nos vértices da pirâmide.

A carga flutua por interacção electrostática. Sendo que todas as cargas são positivas, existem forças repulsivas constantes entre as cargas.Dados

${K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}$

${H= \ a= \ 20 \ mm= \ 20 \cdot 10^{-3} m}$

${q_0=q_1=q_2=q_3=q_4= \ 5 \ \mu C= \ 5 \cdot 10^{-6} \ C}$

${m-?}$

Sendo que a figura geométrica é regular e simétrica, a distancia entre a carga ${q_0}$ com as outras cargas é igual. Chamamos a esta distancia de ${d}$ .

Veja a figura abaixo.

Considerando o triângulo rectângulo formado entre as cargas ${q_1}$ , ${q_2}$ e o centro do quadrado da base ${O}$ , teremos:

$\displaystyle b^2+b^2=a^2$

$\displaystyle \Rightarrow 2 \cdot b^2=a^2$

$\displaystyle \Rightarrow \cdot b^2=\dfrac{a^2}{2}$

Isolando ${b}$ , teremos:

$\displaystyle b=\sqrt{\dfrac{a^2}{2}}$

Analisando o triângulo rectângulo formado pelas cargas ${q_1}$ , ${q_0}$ e o centro do quadrado da base ${O}$ , teremos:

$\displaystyle b^2+h^2=d^2$

Ou:

$\displaystyle d^2=b^2+h^2$

$\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{a^2}{2}+a^2$

$\displaystyle \Rightarrow d^2= \dfrac{3a^2}{2}$

Na carga ${q_0}$ actuam ao todo 4 forças repulsivas, da sua interacção com as outras cargas (1, 2, 3 e 4).

Chamamos a estas forças ${F_{01}}$ , ${F_{02}}$ , ${F_{03}}$ e ${F_{04}}$ .

Então:

$\displaystyle F_{01}=F_{02}=F_{03}=F_{04}$

O facto de as distâncias serem todas iguais e de as cargas terem o mesmo valor absoluto, pela lei de Coulomb, nos leva a concluir que as forças electrostáticas de repulsão entre ${q_0}$ e as outras cargas (1, 2, 3 e 4) são todas iguais.

Os seus módulos serão:

$\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{d^{2}}$

Substituindo ${d^2}$ , teremos:

$\displaystyle F_{01} = \ k\dfrac{|q_{1}|.|q_{0}|}{3a^{2}/2}$

Calculando:

$\displaystyle F_{01} = \ 9 \cdot 10^9 \dfrac{5 \cdot 10^{-6} \cdot 5 \cdot 10^{-6}}{3(20 \cdot 10^{-3}) ^{2}/2}$

$\displaystyle \longleftrightarrow F_{01} = 375 \ N$

Lembre que:

$\displaystyle F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04}$

$\displaystyle \Rightarrow F_{01} \ = F_{02} \ = F_{03} \ =F_{04} \ = 375 \ N$

As forças ${F_{01}}$ , ${F_{02}}$ , ${F_{03}}$ e ${F_{04}}$ , além de terem o mesmo modulo, são todas respectivamente paralelas a diagonal formada pelo segmento que une as cargas que as originam. Neste caso, pela simetria do problema, todas estas diagonais formam o mesmo ângulo ${\theta}$ com o plano horizontal ${xOy}$ .

Neste caso, todas estas forças formarão também o mesmo ângulo ${\theta}$ com o plano horizontal ${xOy}$ .

Se inserirmos um sistema de coordenadas cartesiano em ${q_0}$ e projectarmos as forças, as projecções destas forças no plano ${xOy}$ vão anular-se mutuamente.

Na figura, só representamos as projecções para ${F_{03}}$ e para ${F_{04}}$ . Pela simetria do problema, poderemos deduzir as outras.

O eixo ${x}$ foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem ${q_1}$ e ${q_3}$ .

O eixo ${y}$ foi traçado de modo a ser paralelo a diagonal que contem ${q_4}$ e ${q_2}$ .

O eixo ${x}$ foi traçado de modo a ser paralelo a vertical que contem o ponto O e ${q_0}$ .

Neste caso:

${F_{01}}$ pertence ao plano ${xOz}$ ,
${F_{02}}$ pertence ao plano ${yOz}$ ,,
${F_{03}}$ pertence ao plano ${xOz}$ ,
${F_{04}}$ pertence ao plano ${zOz}$ .

As componentes horizontais (no plano ${xOy}$ ) anulam-se:

${F_{01x}}$ anula ${F_{03x}}$ ,
${F_{02y}}$ anula ${F_{04y}}$ .

Sobram apenas as componentes verticais. As projecçõpes verticais das forças ${F_{01}}$ , ${F_{02}}$ , ${F_{03}}$ e ${F_{04}}$ podem ser calculadas pelas seguintes relação:

$\displaystyle F_{01z}=F_{01z} \sin \theta$

Temos de obter o ângulo ${\theta}$ . Considerando o triângulo rectângulo formado pelas cargas ${q_1}$ , ${q_0}$ e o centro do quadrado da base ${O}$ , teremos:

$\displaystyle tg \theta = \dfrac{h}{b} \Rightarrow \theta = arctg \dfrac{h}{b}$

Substituindo ${h}$ e ${b}$ pelos seus valores, obtemos:

$\displaystyle \theta = arctg \dfrac{a}{a/\sqrt{2}}$

$\displaystyle \Rightarrow \theta = arctg \sqrt{2}$

$\displaystyle \Rightarrow \theta = 54,7^o$

Sabemos que, pela simetria do problema ${F_{01z}=F_{02z}=F_{03z}=F_{04z}}$ . Então:

$\displaystyle F_{01z}=F_{01} \sin \theta = 375 cos 54,7^o$

$\displaystyle F_{01z}=216,7 \ N$

As resultante das componentes verticais será igual a força eléctrica resultante em ${q_0}$ , que chamamos de ${F_{el}}$ .

Neste caso:

$\displaystyle F_{el}=F_{01z} + F_{02z} +F_{03z} + F_{04z}$

$\displaystyle F_{el}=4 \cdot F_{01z}$

$\displaystyle F_{el}=4 \cdot 216,7$

$\displaystyle F_{el}=866,8 \ N$

Para quê a carga de prova flutue em equilíbrio dinâmico é necessário que a força eletrostática resultante que atua nela seja igual a força de gravidade:

$\displaystyle F_{el} \ = \ F_{g}$

Então:

$\displaystyle F_{el} \ = \ m \ . \ g$

Ou:

$\displaystyle \ m \ . \ g = F_{el}$

$\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{F_{el}}{g}$

$\displaystyle \Rightarrow m \ = \dfrac{866,8}{9,8}$

$\displaystyle \Rightarrow m \ = \ 88,44 \ kg$

Exercício 11 Uma carga de prova ${q_0= \ 10 \ \mu C}$ de massa depressível, esta presa numa mola também de massa depressível, com constante ${K'= \ 10 \ N/m}$ , conforme a figura abaixo.

Uma outra carga ${q_1 \ =50 \ \mu C}$ é fixada abaixo desta. qual devera ser a distância entre as cargas para que a mola seja comprimida em 3 cm.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 11 .

O sistema apresenta um arranjo de cargas, onde a carga ${q_0}$ está presa a uma mola. Actuam nela a força eléctrica ${F_{01}}$ e a força elástica ${(F_k)}$ .

A mola está comprimida devido a força de repulsão. A massa da mola é depressível. ${K'}$ -constante elástica e ${K}$ – constante electrostática. O uso de ${K'}$ em vez do habitual ${K}$ para a constante elástica da mola é para distingui-lo da constante electrostática do meio ${K}$ .

As duas cargas são positivas, logo a força de interacção entre elas é de repulsão. Esta força tenderá a comprimir a mola. A compressão termina quando se atinge o equilíbrio entre a força deformadora (força eléctrica) e a força restauradora (força elástica).

Aplicaremos a condição de equilíbrio, substituiremos a força eléctrica pela relação obtida da lei de Coulomb, e isolaremos a distância d.

Dados

${K'= \ 10 \ N/m}$

${K \approx \ 9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2}$

${x= \ 3 \ cm= \ 3 \cdot 10^{-2}}$

${q_0= \ 10 \ \mu C= \ 10 \cdot 10^{-6} \ C}$

${q_1= \ 50 \ \mu C= \ 50 \cdot 10^{-6} \ C}$

${d-?}$

Sabemos que, pela lei de Hook:

$\displaystyle F_{k}=K' \cdot x ($

Sabemos também, pela Lei de Coulomb, que:

$\displaystyle F_{01}=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}$

Considerando que na carga ${q_0}$ as duas forças estão em equilíbrio, temos:

$\displaystyle \vec{F_{k}}+\vec{F_{01}}=0$

Em módulo, teremos:

$\displaystyle F_{k}-F_{01}=0$

$\displaystyle \Rightarrow F_{k}=F_{01}$

Substituindo as forças pelas suas relações, temos:

$\displaystyle K' \cdot x=K\dfrac{|q_0| \cdot |q_1|}{d^2}$

Passando o ${d^2}$ no membro esquerdo e a ${K' \cdot x}$ para o membro direito, obtemos:

$\displaystyle d^2=\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}$

$\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{K \cdot |q_0| \cdot |q_1|}{K' \cdot x}}$

Substituindo os valores:

$\displaystyle \Rightarrow d=\sqrt{\dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 10 \cdot 10^{-6} \cdot 50 \cdot 10^{-6}}{10 \cdot (3 \cdot 10^{-2})}}$

$\displaystyle d= \ 3, 87 \ m$

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OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 4)

07/25/2020 5:58 pm / Deixe um comentário

— 1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 4) —

Exercício 10 A massa de um átomo de Urânio é de ${4,0\cdot10^{-26} \ kg}$ . Quantos átomos de urânio existem em ${8 \ g}$ de Urânio puro.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 10 .

É um problema cujo método de resolução é muito comum (3 simples).

Vamos começar por converter todas as grandezas para as mesmas unidades.

Neste caso, vamos converter a massa do átomo de urânio para gramas. Como é uma unidade com prefixo k (kilo), podemos converter de mondo simples, substituindo o prefixo pelo seu valor( ${k = 10^3}$ ):

$\displaystyle 4,0\cdot10^{-26} \ kg = 4,0 \cdot 10^{-26}\cdot 10^{3} \ g = \ 4,0\cdot10^{-23} \ g$

Em seguida, fazemos a relação de proporção.

Chamamos de ${x}$ ao número de átomos que pretendemos calcular. Neste caso:

$\displaystyle 1 \ atomo \longrightarrow 4,0\cdot10^{-23} \ g$

$\displaystyle x \longrightarrow 8,0 \ g$

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

$\displaystyle x \cdot 4,0 \cdot10^{-23} \ g = 1 \ atomos(u) \cdot 8,0 \ g$

Isolando o x, obtemos:

$\displaystyle x = \frac{1 \ atomo(u)\cdot 8,0 \ g}{4,0\cdot10^{-23} \ g}$

Resolvendo, temos:

$\displaystyle x = 2,0\cdot 10^{23} \ atomos$

Em ${8 \ g}$ de urânio puro, existem ${2,0\cdot 10^{23}}$ átomos de Urânio.

Exercício 12 Determine a partir da representação dada, o vector ${\vec{c} \ = 3 \ \vec{a} \ + 2 \ \vec{b}}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 12 .

Podemos resolver este exercício utilizando a regra do paralelogramo.

Temos uma adição de 2 vectores onde nos é dado graficamente os módulos dos vectores e o ângulo entre eles.

A resolução aqui é feita apenas graficamente.

Desta feita, aplicando a regra do paralelogramo, teremos:

Em primeiro lugar, vamos traçar os vectores ${3 \ \vec{a} }$ e ${ 2 \ \vec{b}}$ . Para tal, vamos na extremidade de ${\vec{a}}$ , traçar outro vector idênticos à ${\vec{a}}$ . Na extremidade deste segundo ${\vec{a}}$ , traçar outro vector idênticos à ${\vec{a}}$ . Neste caso, teremos o vector ${3 \ \vec{a} }$ . Para o caso do vector ${ 2 \ \vec{b}}$ , o procedimento é análogo. Vamos na extremidade de ${\vec{b}}$ , traçar outro vector idênticos à ${\vec{b}}$ .Neste caso, teremos o vector ${2 \ \vec{b} }$ . Veja a figura a seguir.
Em seguida, na extremidade do vector ${3\vec{a}}$ traçamos uma imagem do vector ${2\vec{b}}$ e na extremidade do vector ${2\vec{b}}$ traçamos uma imagem do vector ${3\vec{a}}$ .Veja a figura a seguir.
Em seguida, traçamos o vector resultante que terá como origem o ponto onde ambas origem dos dois vectores ( ${3 \vec{a}}$ e ${2 \vec{b}}$ ) se encontravam, e terá como extremidade o ponto de intercessão das extremidades das imagens ( ${3 \vec{a'}}$ e ${2 \vec{b'}}$ ).

Então, na figura anterior, obtemos o vector ${\vec{c}}$ .

Exercício 13 Determine a distância entre os corpos A e B na figura:

Resolução 13

Este é um Problema simples de Geometria Analítica. Trazemos aqui, a titulo de exemplo para aplicação em movimentos, como veremos a seguir.

Para determinarmos a distância entre os dois pontos, usaremos a formula apresenta na Geometria Euclidiana, para distância entre dois pontos num sistema de coordenadas cartesiano.

A Relação é:

$\displaystyle d(A;B)=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

Neste caso, ${x_A=5; \ y_A=15; \ x_B= 25; \ y_B=5}$ .

Então, substituindo os valores na relação anterior, teremos:

$\displaystyle d(A;B)=\sqrt{(25-5)^2+(5-15)^2}$

Resolvendo, teremos:

$\displaystyle d(A;B) = \sqrt{(20)^{2} \ + \ (-10)^{2}}$

$\displaystyle d(A;B) = \ 22,36 \ m$

Logo, a distância entre os corpos A e B é igual a ${22,36 \ m}$ .

Exercício 14

Sendo ${\vec{v_{1}} \ = \ 3 \vec{e_{x}} \ + \ 2 \vec{e_{y}} \ + \ 4 \vec{e_{z}}}$ e ${\vec{v_{2}} \ = \ 5 \vec{e_{y}} \ - \ 2 \vec{e_{z}}}$ Determine o módulo de ${\vec{v} \ = \ \vec{v_{1}} \ + \ \vec{v_{2}}}$

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 14 Para determinarmos o módulo do vector ${\vec{v}}$ , é necessário que se conheça ou que se determine o vector ${\vec{v}}$

Sendo este vector ${(\vec{v})}$ a soma entre os vectores ${\vec{v_{1}}}$ e ${\vec{v_{2}}}$ , teremos:

$\displaystyle \vec{v} \ = \vec{v_{1}} \ + \ \vec{v_{2}}$

Substituindo as componentes, obtemos:

$\displaystyle \vec{v} \ = (\ 3 \vec{e_{x}} \ + \ 2 \vec{e_{y}} \ +?\ 4 \vec{e_{z}}) \ + \ (5 \vec{e_{y}} \ - \ 2 \vec{e_{z}})$

Efectuando a operação, teremos:

$\displaystyle \vec{v} \ = \ 3 \vec{e_{x}} \ + \ 7 \vec{e_{y}} + \ 2 \vec{e_{z}}$

Nota: Lembre-se que, para obtermos esta expressão, somou-se os números da mesma coordenada de ambos os vectores, ou, se quisermos usar a linguagem da álgebra, os termos semelhantes.

Então, podemos determinar o módulo do vector ${\vec{v}}$ a partir da seguinte relação:

$\displaystyle |\vec{v}| \ = \ \sqrt{x^{2} \ + \ y^{2} \ + \ z^{2}}$

Onde: x, y e z são os componentes deste vectores, portanto, substituindo os valores destes componentes do vector ${\vec{v}}$ , teremos:

$\displaystyle |\vec{v}| \ = \ \sqrt{(3)^{2} \ + \ (7)^{2} \ + (2)^{2}}$

Resolvendo:

$\displaystyle |\vec{v}| \ = \ 7,87$

Logo, o vector ${\vec{v}}$ tem o módulo igual a ${7,87}$ unidades.

Note: No calculo do módulo de ${\vec{v}}$ não usamos os vectores ${e_{x}, \ e_{y}, \ e \ e_{z}}$ . Estes vectores são unitários. Só servem para indicar as direcções.

Exercício 15 A soma dos módulos de dois vectores é igual a 7 m. Quando colocados perpendicularmente, o módulo da soma destes vectores é de 5 m. Quais são os módulos destes vectores?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 15

Este exercício é um problema simples de Geometria Analítica.

Para resolve-lo, vamos atribuir duas variáveis aos modelos dos vectores, e usaremos as condições do enunciado para formarmos um sistema de equações.

Consideramos que ${x \ }$ é o módulo de um dos vectores e ${\ y}$ O módulo de outro vector, então:

${x \ + \ y \ = \ 7}$ De acordo com a primeira condição dada no problema.

Quando colocados perpendicularmente estes dois vectores, o vector resultante forma a hipotenusa de um triângulo rectângulo com esses dois vectores. Então, teremos a situação da figura.

Se ${ | \vec{v_{1}}|= \ x}$ , ${|\vec{v_{2}} | = \ y}$ e o ${|\vec{v}|=5}$ , então, pelo Teorema de Pitágoras, teremos :

${x^{2} \ + \ y^{2} \ = \ (5)^{2}}$

Formando um sistema de equações com duas equações obtidas das condições, teremos:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} x & + y & = & 7\\ x^{2} & + & y^{2} & = & 25\\ \end{array}\right.$

Isolando ${y}$ na equação 1 substituindo na equação 2, teremos:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} y & = 7 & - & x\\ x^{2} & + & y^{2} & = & 25 \end{array}\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{cccccc} y & = 7 & - & x\\ x^{2} & + & (7 \ - \ x)^{2} & \ = \ & 25 \end{array}\right.$

$\displaystyle \Rightarrow x^{2} \ + \ (7 \ - \ x)^{2} \ = \ 25$

Desfazendo a diferença de quadrado e efectuando as operações, teremos:

$\displaystyle x^{2} \ - \ 7 \ x \ + \ 12 \ = \ 0$

Resolvendo esta equação utilizando a Fórmula de Resolvente, obtemos:

$\displaystyle x_{1,2} \ = \dfrac{-b \pm \ \sqrt{b^{2} \ - \ 4 \ a \ c}}{2 \ a}$

,onde ${a \ = \ 1}$ , ${b \ = \ - \ 7}$ e ${c \ = \ 12}$ .

Substituindo os valores e resolvendo, teremos como resultado ${x_{1} \ = \ 3}$ e ${x_{2} \ = \ 4}$

Substituindo os valores de ${x_{1}}$ e de ${x_{2}}$ na primeira equação do sistema, e calculando os valores correspondentes de ${y}$ , teremos as seguintes valores para ${y }$ : ${y_1 \ = \ 4 \ e \ y_2 \ = \ 3}$

Logo, temos como solução : s = ${ \left\{\begin{array}{cccccc} (x = 4, &y = 3)\\ (x = 3, &y = 4) \end{array}\right. }$

Ambas as as soluções são aceitáveis e permutadas entre si.

Desta feita, dois vectores são: ${4 \ m \ e \ 3 \ m}$ .

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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 2)

07/23/2020 7:15 pm / 1 comentário em 2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 2)

Exercício 11 Três espelhos interceptam-se em ângulos rectos.Um feixe de luz atinge o primeiro deles com um ângulo ${\theta}$ (ver figura ao lado) .a)Mostre que quando esse raio é refletido pelos outros dois espelhos e cruza o raio original,o ângulo entre esses dois raios será ${\alpha = \ \ 180^{o}-2\theta}$ e determine o ângulo ${\theta}$ para o qual os dois raios serão perpendiculares quando se cruzam?

.NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 11 .

Redesenhando a figura. Na figura o ponto de intersecção entre o raio incidente e o primeiro espelho espelho chamamos de ${B}$ .

O raio que se reflecte deste ponto vai incidir no outro ponto do segundo espelho, que chamamos de ${C}$ .

Raio reflectido do ponto ${C}$ vai incidir no outro ponto do terceiro espelho que chamamos de ${D}$ .

O raio reflectido do ponto ${D}$ vai cruzar-se com o raio incidente num ponto que chamamos ${A}$ .

O ângulo de incidência e reflexão no ponto ${C}$ chamamos de ${z}$ . O complementar de ${z}$ chamamos de ${\varphi}$ .

O ângulo de incidência e reflexão no ponto ${D}$ chamamos de ${\beta}$ . O complementar de ${\beta}$ chamamos de ${\Psi}$ .

O complementar de ${\theta}$ chamas de ${\chi}$ .

Marcamos ainda os .s é eficaz conforme indicado na figura.

Da figura, no ponto B, analisando entre o espelho e a sua normal, temos:

$\displaystyle \chi \ + \theta = \ \ 90^{o}$

pelo triângulo BHC, pelo teorema da soma dos ângulos internos, temos temos :

$\displaystyle \chi \ + \varphi \ + \ 90^{o} = \ \ 180^{o}$

$\displaystyle \chi \ + \varphi = \ \ 90^{o}$

Subtraindo ambas equações dos passos anteriores, obtemos :

$\displaystyle \varphi = \ \theta$

Pelo teorema de ângulos internos no triângulo CDG, temos :

$\displaystyle \varphi \ + \Psi \ + \ 90^{o} = \ \ 180^{o}$

$\displaystyle \varphi \ + \Psi = \ \ 90^{o}$

Pelo teorema de ângulos internos no triângulo ADF, temos :

$\displaystyle y \ + \ 90^{o} \ + \Psi = \ \ 180^{o} \Rightarrow$

$\displaystyle y \ + \Psi = \ \ 90^{o}$

Subtraindo esta última pela equação do passo anterior, obtemos :

$\displaystyle y = \ \varphi$

Como ${\varphi = \ \theta}$ , obtermos:

$\displaystyle y = \ \theta$

No quadrilátero ${ABCD}$ temos :

$\displaystyle 2y \ + \alpha = \ \ 180^{o} \Rightarrow \alpha = \ \ 180^{o} \ - \ 2y$

Substituindo ${y = \ \theta}$ , obtemos:

$\displaystyle \alpha = \ 180^{o} \ - \ 2\theta$

Exercício 12 Um feixe de luz emitido por um laser,incide sobre a superfície da água de um aquário,como representado nesta figura :

O fundo desse aquário é espelhado ,a profundidade da agua é de 40 cm e o ângulo de incidência do feixe de luz é de ${50^{o}}$ . Qual é a distância entre os pontos A e C da figura?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 12 .

Dados

${n_{agua} = \ \ 1,33}$

${h = \overline{BO}= \ \ 40 \ cm}$

${\varphi = \ \ 50^{o}}$

${ \overline{AC} \rightarrow \ ?}$

No problema, a luz incide a partir do ar para a água. Toca na água no ponto A e refracta-se na água. É reflectida no ponto B(no espelho que está no fundo) e retorna à superfície de separação água-ar. No ponto C, faz refracção novamente para o Ar.

Para acharmos a distância AC devemos calcular o ângulo que o feixe de luz faz com a normal na água (usando a lei de Snell-Descartes), e combinando estes valores com a profundidade, no triângulo ABC.

Redesenhando a figura,temos :

Pela lei de Snell, no ponto A, podemos determinar o ângulo de refração. Temos :

$\displaystyle n_{ar} \ sen 50^{o} = \ \ n_{agua} \ . sen \theta$

Isolando o seno, no membro esquerdo, temos:

$\displaystyle sen \theta = \ \dfrac{n_{ar} \ sen 50^{o}}{n_{agua}} = \ \dfrac{1. \ sen 50^o}{1,33}$

$\displaystyle \Rightarrow \theta =\ arcsen({ \dfrac{1. \ sen 50^o}{1,33}}) = \ 35,15^{o}$

Se considerarmos o ponto médio do segmento ${\overline{AB}}$ , que chamamos de ${D}$ , então o triângulo ABD é rectângulo. O ângulo interno do vértice B é igual a ${\theta }$ e ${\overline{AD}=\overline{AC}/2}$ . Então:

$\displaystyle tg \theta= \ \dfrac{\overline{AD}}{\overline{BD}} = \ \dfrac{\dfrac{\overline{AC}}{2}}{h} = \ \dfrac{\overline{AC}}{2h}$

$\displaystyle \Rightarrow \overline{AC} = \ 2h \ . \ tg \theta$

Substituindo valores, obtemos:

$\displaystyle \overline{AC} = \ 2 \ . \ 40 \ cm \ . \ tg \ (35,15^o) \Rightarrow \overline{AC} = \ 56,37 \ cm$

Exercício 13 Um rapaz em repouso na rua,vê sua imagem reflectida por um espelho plano preso verticalmente na traseira de um autocarro que se afasta com a velocidade escalar constante de ${20 \ m/s}$ . Qual é a velocidade de afastamento da imagem em relação ao rapaz?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 13 Neste problema temos de analisar não só a velocidade com o espelho se afasta do rapaz, mas também a velocidade com que a sua imagem (que o espelho produz) se afasta dele.

O melhor raciocínio mais simplificado, consiste em estabelecer o espelho como referencial de analise e depois achar a velocidade relativa.

A medida que o autocarro se move para a direita, automaticamente o espelho também se move para a direita. como o movimento é relativo, podemos considerar que o autocarro e o espelho estão em repouso e o rapaz ( ${AB}$ ) é que se está a mover no sentido oposto (para a esquerda), com a mesma velocidade.

Se o rapaz, que é o nosso objecto óptico( ${AB}$ ), se move para esquerda com velocidade v, então a sua imagem formada pelo espelho ( ${A'B'}$ ) se afasta do espelho para direita com velocidade ${v'}$ .

Vamos estabelecer as equações do movimento no 1ª referencial (com origem no espelho) e depois amos fazer a transformação de Galileu par o 2º Referencial (com origem no rapaz). Veja a figura.

Pela lei da reflexão, em qualquer momento:

$\displaystyle \Delta x_{e} = \Delta x_{i}$

Portanto :

$\displaystyle -v \cdot t = v' \cdot t$

$\displaystyle \Rightarrow -v = v'$

$\displaystyle \Rightarrow |v| = |v'|$

Então , neste referencial (Referencial 1), temos:

$\displaystyle x_{Rap-Ref1}=x_{0Rap} - v. t$

$\displaystyle x_{Esp-Ref1}=0$

$\displaystyle x_{Rap-Ref1}=x_{0Rap} + v.t$

Se estabelecermos um novo referencial (no rapaz), então este referencial 1 (com origem no espelho) está em movimento em relação ao novo referencial 2 (com origem no rapaz), com velocidade v.

A transformação de galileu diz que: ${x_{Ref2}=x_{Ref 1} - v. t}$ .

Então para o rapaz( que no referencial 1 estava em movimento regressivo com velocidade v) teremos:

$\displaystyle x_{Rap-Ref2}=x_{Rap-Ref 1} + v. t$

$\displaystyle x_{Rap-Ref2}=(x_{0Rap}-v.t) + v. t$

$\displaystyle x_{Rap-Ref2}=x_{0Rap}$

Neste novo referencial, o rapaz está repouso.

Para o espelho/autocarro( que no referencial 1 estava em repouso na origem) teremos:

$\displaystyle x_{Esp-Ref2}=x_{Esp-Ref 1} + v. t$

$\displaystyle x_{Esp-Ref2}=0 + v. t$

$\displaystyle x_{Esp-Ref2}= v. t$

Neste novo referencial, o espelho/autocarro estão em movimento com velocidade v (conforme enunciado).

Para a imagem (que no referencial 1 estava em movimento progressivo com velocidade v) teremos:

$\displaystyle x_{Im-Ref2}=x_{Im-Ref 1} + v. t$

$\displaystyle x_{Im-Ref2}=(x_{0Im}+v.t) + v. t$

$\displaystyle x_{Im-Ref2}= x_{0Im} + 2 v t$

Neste novo referencial,imagem está em movimento com velocidade 2v .

Neste caso, a velocidade da imagem é:

$\displaystyle v_{im}= \ 2.v= \ 2.20=40 \ m/s$

Exercício 14 Um nativo de uma aldeia pesca em uma lagoa de água transparente. Para isso usa uma lança. Ao observar um peixe, ele atira a sua lança na direcção em que o observa. O jovem está fora da água e o peixe está em 1 m abaixo da superfície. O peixe está a uma distancia horizontal de ${0,9 \ m}$ do ponto aonde a lança atinge a superfície da água. Para essas condições determine :

a)O ângulo ${\alpha}$ ,de incidência da luz na superfície da agua-ar.

b)O ângulo ${\beta}$ que a lança faz com a superfície da água quando tenta alcançar o peixe.

c)A profundidade aparente y,da superfície da água em que o nativo vê o peixe.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 14

Dados

${n_{ar} = \ \ 1}$

${n_{agua} = \ \ 1,33}$

${\alpha \ - \ ?}$

${\beta \ - \ ?}$

${y = \ \overline{DE} - \ ?}$

Neste problema, temos analise baseadas na refracção da luz. O Peixe está no Ponto O nativo, na beira do rio, vê como se o peixe estivesse no ponto D (que é a imagem virtual do ponto C) formada pela refracção da luz na superfície. O ponto A é o ponto onde ocorre a refracção. O ângulo ${\alpha}$ é o ângulo de incidência da luz que sai do peixe e incide no ponto A. O ângulo ${\theta }$ é o ângulo de refracção da luz no ponto A. ângulo ${\beta }$ é complementar de ${\theta}$

Para encontramos o ângulo ${\alpha}$ , vamos aplicar a relação para as razões trigonométricas no triângulo rectângulo ABC. Sendo ${\overline{AB}}$ cateto adjacente, ${\overline{BC}}$ cateto oposto e ${\overline{AC}}$ a hipotenusa, teremos:
$\displaystyle tg \alpha = \ \dfrac{\overline{BC}}{\overline{AB}} = \ \dfrac{0,9}{1}$

$\displaystyle \Rightarrow \alpha =arctg ( \ \dfrac{0,9}{1})= \ 41,99^{o}$

$\displaystyle \alpha = \ 41,99^{o}$
Como ${\beta}$ é o complementar de ${\theta}$ , então, acharemos primeiro o ${\theta}$ e com ele acharemos o ${\beta}$ . O ${\theta}$ será obtido pela lei da refracção:
$\displaystyle n_{ar} \ sen \theta = \ \ n_{agua} \ sen \alpha$

Insolando o seno de ${ \theta }$ , temos:

$\displaystyle \ sen \theta = \ \ \dfrac{ \ n_{agua} \ . \ sen \alpha}{n_{ar}} = \ \dfrac{ \ 1,33. \ sen(41,99)}{1}$

Neste caso:

$\displaystyle \theta = arcsen ( \dfrac{1,33. \ sen(41,99)}{1})$

$\displaystyle \Rightarrow \theta = \ \ 62,85^{o}$

Como ${\theta \ + \beta = \ \ 90^{o}}$ , então:

$\displaystyle \beta = \ \ 90^{o} \ - \theta = \ \ 90^{o} \ - \ 62,85^{o}$

$\displaystyle \Rightarrow \beta = \ 27,15^{o}$
A profundidade aparente do peixe, neste caso, corresponde ao segmento ${\overline{DE}}$ . Para achar o seu valor, usaremos o triângulo ADE. Para este triângulo, temos:
$\displaystyle tg \beta = \ \dfrac{\overline{DE}}{\overline{AE}} \ \dfrac{y}{x}$

$\displaystyle \Rightarrow y = \ x \ tg \ (\beta)$

$\displaystyle \Rightarrow y = \ 0,9\ tg \ ( 27,15^{o})$

$\displaystyle y = \ 0,46 \ m$

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