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Exercícios Resolvidos

— 1. Introdução —

A pedido de um dos nossos leitores vamos publicar alguns exercícios resolvidos para ajudá-lo a ele e aos seus colegas na compreensão da matéria de Cálculo I para o curso de Gestão e Economia.

— 2. Exercícios —

Exercício 1 Considera a sucessão ${U_n}$ definida por: ${U_n=\frac{n+1}{n}}$ .

Calcule os 4 primeiro termos de ${U_n}$
${U_1=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2}$

${U_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}}$

${U_3=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}}$

${U_4=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{4}}$
Verifica se ${\frac{6}{5}}$ é um termo da sucessão
Para que ${\frac{6}{5}}$ seja um termo da sucessão ${U_n}$ tem que existir um ${n}$ pertencente a ${\mathbb{N}}$ tal que ${U_n=\frac{6}{5}}$ .

${\begin{aligned} \displaystyle \frac{6}{5}&= \frac{n+1}{n} \\ 6n &= 5n+5\\ 6n-5n &= 5\\ n &= 5 \end{aligned}}$

Como ${n=5}$ é uma afirmação válida podemos concluir que ${\frac{6}{5}}$ é um termo da sucessão.
${\exists N \in \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}$
${\begin{aligned} \displaystyle \frac{7}{8}&= \frac{n+1}{n} \\ 7n &= 8n+8\\ 7n-8n &= 8\\ -n &= 5 \\ n &= -8 \end{aligned}}$

Como ${n=-8}$ é uma afirmação que não é válida podemos que concluir que ${n \nexists \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}$
Mostre que ${a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{(n+1)n}}$ . Que monotonia se trata?
${\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{(n+2)n-(n+1)^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{n^2-2n-n^2-2n-1^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{-1}{(n+1)n} \\ &= -\frac{1}{(n+1)n} \end{aligned}}$

Uma vez que a diferença entre termos sucessivos da sucessão ${U_n}$ é negativa temos a seguinte relação:

$\displaystyle a_{n+1}-a_n < 0$

Ora isto implica que

$\displaystyle a_{n+1} < a_n$

Assim sendo vemos que os termos sucessivos são sempre menores que os termos anteriores, logo a sucessão ${U_n}$ tem uma monotonia decrescente.

Exercício 2 Prove que a sucessão de termo geral

$\displaystyle a_n=\frac{3n-4}{2n-1}$

é uma sucessão crescente.

Tal como vimos no exercício anterior para calcularmos a monotonia de uma função temos que calcular o termo

$\displaystyle a_{n+1}-a_n$

${\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{3(n+1)-4}{2(n+1)-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n+3-4}{2n+2-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n-1}{2n+1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{(3n-1)(2n-1)-(3n-4)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-(6n^2+3n-8n-4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-6n^2-3n+8n+4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{5}{4n^2-1} \end{aligned}}$

Uma vez que

$\displaystyle a_{n+1}-a_n=\frac{5}{4n^2-1}$

E que

$\displaystyle \frac{5}{4n^2-1}>0$

Temos que

$\displaystyle a_{n+1}-a_n>0$

E assim é

$\displaystyle a_{n+1}> a_n$

Logo ${a_n}$ é uma sucessão crescente.

Exercício 3

Dada a sequência do exemplo anterior, justifique que são limitadas as seguintes sucessões

${a_n=10+\frac{1}{n}}$

Ora ${a_1=10+\frac{1}{1}=10+1=11}$

Por outro lado vamos calcular o limite da sucessão.

${\begin{aligned} \displaystyle \lim a_n &= \lim 10+\frac{1}{n}\\ &= 10+0\\ =10 \end{aligned}}$

Uma vez que

$\displaystyle 10 \leq a_n \leq 11$

A sucessão diz-se limitada.

${u_n=\frac{n+1}{n}}$

${u_1=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2}$

Por outro lado

${\begin{aligned} \displaystyle \lim u_n &= \lim \frac{n+1}{n}\\ &= 1 \end{aligned}}$

Uma vez que

$\displaystyle 1 \leq u_n \leq 2$

A sucessão diz-se limitada.

${d_n=\frac{3-n}{n+1}}$

${d_0=\frac{3-0}{0+1}=\frac{3}{1}=3}$

Por outro lado

${\begin{aligned} \displaystyle \lim d_n &= \lim \frac{3-n}{n+1}\\ &= \lim \frac{-n}{n}\\ &= -1 \end{aligned}}$

Uma vez que

$\displaystyle -1 \leq u_n \leq 3$

A sucessão diz-se limitada.

${d_n=n+\frac{1}{n}}$

${d_1=1+\frac{1}{1}=1+1=2}$

Por outro lado

${\begin{aligned} \displaystyle \lim d_n &= n+\frac{1}{n}\\ &=\lim n+0\\ &= +\infty \end{aligned}}$

Uma vez que

$\displaystyle \lim d_n=+\infty$

A sucessão diz-se não limitada.

By ateixeira in 02 Física, 04 Ensino Superior, 09 Cálculo I on 03/21/2018.

3 comentários

Alfredo diz:

03/24/2019 às 8:05 pm

Gostei de ver, preciso conhecer técnica de como averiguar se uma sucessão é ou não limitada.

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Responder
Edilma diz:

03/31/2019 às 8:33 pm

Boa tarde! Como posso ter acesso aos exercícios resolvidos de analise matemática para estudar. Agradeço se puderem me ajuar.

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Responder
- ateixeira diz:
  
  03/31/2019 às 9:30 pm
  
  Boa noite cara Edilma. Pode consultar os seguintes links:
  https://lusoacademia.org/2015/07/18/analise-matematica-exercicios-iii/
  https://lusoacademia.org/2015/07/14/calculo-i-fisica-exercicios-ii/
  https://lusoacademia.org/2015/07/08/analise-matematica-exercicios-i/
  
  Se precisar de mais algum esclarecimento entre em contacto connosco através do email: lusoacademia@gmail.com
  
  GostarGostar
  
  Responder

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