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Exercícios Resolvidos

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— 1. Introdução —

A pedido de um dos nossos leitores vamos publicar alguns exercícios resolvidos para ajudá-lo a ele e aos seus colegas na compreensão da matéria de Cálculo I para o curso de Gestão e Economia.

— 2. Exercícios —

Exercício 1 Considera a sucessão ${U_n}$ definida por: ${U_n=\frac{n+1}{n}}$ .

Calcule os 4 primeiro termos de ${U_n}$
${U_1=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2}$

${U_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}}$

${U_3=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}}$

${U_4=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{4}}$
Verifica se ${\frac{6}{5}}$ é um termo da sucessão
Para que ${\frac{6}{5}}$ seja um termo da sucessão ${U_n}$ tem que existir um ${n}$ pertencente a ${\mathbb{N}}$ tal que ${U_n=\frac{6}{5}}$ .

${\begin{aligned} \displaystyle \frac{6}{5}&= \frac{n+1}{n} \\ 6n &= 5n+5\\ 6n-5n &= 5\\ n &= 5 \end{aligned}}$

Como ${n=5}$ é uma afirmação válida podemos concluir que ${\frac{6}{5}}$ é um termo da sucessão.
${\exists N \in \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}$
${\begin{aligned} \displaystyle \frac{7}{8}&= \frac{n+1}{n} \\ 7n &= 8n+8\\ 7n-8n &= 8\\ -n &= 5 \\ n &= -8 \end{aligned}}$

Como ${n=-8}$ é uma afirmação que não é válida podemos que concluir que ${n \nexists \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}$
Mostre que ${a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{(n+1)n}}$ . Que monotonia se trata?
${\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{(n+2)n-(n+1)^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{n^2-2n-n^2-2n-1^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{-1}{(n+1)n} \\ &= -\frac{1}{(n+1)n} \end{aligned}}$

Uma vez que a diferença entre termos sucessivos da sucessão ${U_n}$ é negativa temos a seguinte relação:

$\displaystyle a_{n+1}-a_n < 0$

Ora isto implica que

$\displaystyle a_{n+1} < a_n$

Assim sendo vemos que os termos sucessivos são sempre menores que os termos anteriores, logo a sucessão ${U_n}$ tem uma monotonia decrescente.

Exercício 2 Prove que a sucessão de termo geral

$\displaystyle a_n=\frac{3n-4}{2n-1}$

é uma sucessão crescente.

Tal como vimos no exercício anterior para calcularmos a monotonia de uma função temos que calcular o termo

$\displaystyle a_{n+1}-a_n$

${\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{3(n+1)-4}{2(n+1)-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n+3-4}{2n+2-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n-1}{2n+1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{(3n-1)(2n-1)-(3n-4)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-(6n^2+3n-8n-4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-6n^2-3n+8n+4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{5}{4n^2-1} \end{aligned}}$