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Análise Funcional -Aula 3

— 1.4. Solução dos Problemas Propostos da aula 2 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça. Para o bem do leitor, muitas vezes darei apenas soluções parciais aos problemas para que dessa forma possas preencher os detalhes que faltam e completar os argumentos.

5.(solução) Basta tomarmos {x=(x_{1},\cdots,x_{n},0,0,\cdots)} e {y=(1,0,0,\cdots)} e substituirmos na desigualdade de Cauchy.

6.(solução) Podemos tomar {x_{n}=(\frac{1}{\ln 2},\frac{1}{\ln 3},\frac{1}{\ln 4},\cdots)=\{\frac{1}{\ln n}\}_{n=2}^{\infty}} e aplicarmos o critério da razão, i.e., para provarmos que ela tende a zendo basta calcularmos o limite da razão com uma sequência que tende a zero. Ao solucionarmos este problema é importante lembrarmo-nos dos conceitos de série e convergência de séries.

7.(solução) Basta tomarmos a conhecida sequencia {x_{n}=\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}}.

8.(solução) Para a parte a) basta usarmos o facto de que {\delta(A)} é uma cota superior do conjunto {\{d(x,y): x,y\in A\}} e usarmos a propriedade {A\subset B \Longrightarrow \sup A\leq \sup B}.

b)A primeira implicação é facíl, já que se {\sup \{d(x,y): x,y\in A\}=0\Longrightarrow x=y}. A segunda implicação é trivial.

9.(solução) a) Vamos demonstrar apenas que {d_{1}(x,y)} satisfaz a desigualdade triângular.

Sejam {x,y, z\in X} temos:

\displaystyle d(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq \sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},z_{1})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},z_{2})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq d(x,z)+d(z,y)

no ultimo passo usamos a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}.

b) Para a segunda métrica também provaremos apenas a desigualdade triângular:

Uma dica do Kreyszig, basta aplicar o seguinte,

\displaystyle \max_{k=1,2}d_{k}(x_{k},y_{k})

\displaystyle \leq \max_{k=1,2}[d_{k}(x_{k},z_{k})+d_{k}(z_{k},y_{k})]

\displaystyle \leq \max_{i=1,2} d_{i}(x_{i},z_{i})+\max_{j=1,2}d_{j}(x_{j},y_{j})

10.(solução) Muito simples….

11.(solução) Para a desigualdade triângular use a a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}.

— 1.5. Topologia Básica dos Espaços Métricos —

Em geral, existem duas maneiras de se introduzir uma extrutura topologica num conjunto. A primeira, usando o conceito primitivo de conjunto aberto e a segunda pelo conceito de distância ou métrica. Nós vamos seguir a segunda abordagem.

Definição 6 Dado {x \in (X,d)} e {r>0}, temos as seguintes definições:

  • (Bola aberta) {B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}.
  • (Bola fechada) {\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}
  • (Esfera){S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}}
Comentário 7 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em {\mathbb{R}^{3}}. Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., {S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}=\emptyset }, para isso, basta tomarmos {r\neq1}.
Exemplo 7 Em {\mathbb{R}}, as bolas abertas e fechadas são os intervalos abertos (resp. fechados), i.e., da forma: {B(x,r)=(x-r,x+r)}.

— 1.5.1. Propiedades das Bolas Abertas —

Seja {(X,d)} um espaço métrico, então:

Proposição 2 Dadas duas bolas abertas {B(x,r_{1})} e {B(x,r_{2})}, então :

\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja {y\in B(x,r_{1})} então

\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}

logo, {y\in B(x,r_{2})}. \Box

Proposição 3 Seja {y} um ponto em {(X,d)} tal que {y\in B(x,r)}, então existe uma bola {B(y,r_{1})} ({r_{1}>0}), tal que

\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)

Demonstração: Seja {y\in B(x,r)}, se tomarmos {r_{1}=r-d(x,y)} teremos:

\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.

\Box

Proposição 4 Sejam {B(x,r_{1})} e {B(y,r_{2})}, tais que {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})\neq \emptyset}. Se {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então existe uma bola aberta de centro {a} contida na intersecção {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}.

Demonstração: Seja {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então pela Proposição anterior existe {B(a,r_{3})}, tal que {B(a,r_{3})\subset B(x,r_{1})} e {B(a,r_{3})\subset B(y,r_{2})}. Seja {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, então

\displaystyle B(a,r)\subset B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2}).

\Box

Proposição 5 Sejam {B(x_{1},r_{1})} e {B(x_{2},r_{2})} duas bolas abertas. Se {r_{1}+r_{2}\leq d(x_{1},x_{2})}, então

\displaystyle B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})=\emptyset.

Demonstração: Suponhamos pelo contrário que {B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})\neq\emptyset}, então {\exists x\in B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})}, logo

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,x_{1})+d(x_{2},x)\leq r_{1}+r_{2}.

\Box

Proposição 6 O diâmetro de uma bola {B(x,r)} satisfaz:

\displaystyle \delta(B(x,r))\leq 2r

Demonstração: Sejam {y,z\in B(x,r)\Longrightarrow d(x,y)<r} e {d(z,x)<r}, então

\displaystyle d(y,z)\leq d(z,x)+d(y,x)<2r

que é uma cota superior do conjunto das distâncias entre dois pontos, logo:

\displaystyle \delta(B(x,r))=\sup_{y,z\in B}d(x,y)\leq 2r.

\Box

Definição 7 Dado um conjunto {A\subset(X,d)}. Dizemos que {x} é um ponto interior de {A} se para todo {r>0} existe uma bola {B(x,r)} tal que:

\displaystyle B(x,r)\subset A

O conjunto de todos os pontos interiores de {A}, denotado por {int(A)} ou {A^{\circ}}, ou seja, {A^{\circ}=\{x\mid x \text{ é um ponto interior de }A\}}. Um conjunto é fechado se o seu complementar é aberto.

Teorema 7 A colecção de todos os subconjuntos abertos de {X} é uma topologia em {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Comentário 8 Muitos estudantes, pelas definições acima podem ser levados a pensar que se um conjunto não é fechado então deve ser aberto. Infelizmente este é um grande absurdo, e.g., {\emptyset} e {X} são ao mesmo tempo abertos e fechados.

— 1.5.2. Propriedades dos Conjuntos Abertos —

Proposição 8 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Ver a Proposição 1.3. \Box

Proposição 9 A intersecção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Demonstração: Sejam {A_{1}} e {A_{2}} dois conjuntos abertos e {A_{3}=A_{1}\cap A_{2}}. Se {x\in A_{1}\cap A_{2}\Longrightarrow \exists B(x,r_{1}),B(x,r_{2})}, basta tomarmos {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, daí {B(x,r)\subset A_{1}\cap A_{2}=A_{3}}. \Box

Uma generalização da proposição acima é a seguinte:

Proposição 10 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto.

Demonstração: Seja {x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{k}} para todo {k}. Então existem {r_{k}>0} tais que {B(x,r_{k})\subseteq A_{k}}. Se {r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}} então {r>0} e {B(x,r)\subseteq\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto. \Box

Comentário 9 Em geral, a intersecção arbitrária de abertos não é um aberto, basta tomarmos, por exemplo, em {\mathbb{R}} o conjunto {A_{n}=\{x\in \mathbb{R}:-\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\}}.
Proposição 11 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cup_{i\in I}A_{i}} é um aberto, onde {I} é um conjunto enumerável.

Demonstração: Deixada como presente para o leitor. \Box

Definição 8 Sejam {(X,d)} e {(Y,\rho)} dois espaços métricos. Uma aplicação {f:X\longrightarrow Y} é contínua no ponto {x_{0}} se para todo {\epsilon >0} existe um {\delta >0} tal que {\rho(f(x),f(x_{0})<\epsilon} para todo {x} satisfazendo {d(x,x_{0})<\delta}, f é dita ser contínua se é contínua em cada ponto de {X}.
Teorema 12 Uma aplicação {f} de um espaço métrico {X} em um espaço métrico {Y} é contínua se e só se a imagem inversa de qualquer subconjunto aberto de {Y} é um subconjunto aberto de {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Definição 9 Seja {E\subset X}. {x_{0}\in X} (pode ou não pertencer a {E}) é chamado ponto de acumulação ou ponto limite de {E} se em toda vizinhança de {x_{0}} existe pelo menos um ponto {y\in E} distinto de {x_{o}}. O conjunto formado por todos os pontos de acumulação de {E} é chamado de fecho de {E} e é denotado por {\overline{E}}. Um subconjunto {E} de um espaço métrico {X} é denso em {X} se

\displaystyle  \overline{E}=X.

Um espaço métrico {X} é separavel se contém um subconjunto denso enumerável. Como recomendação final, propomos que o leitor consulte um bom livro de Análise Funcional e resolva todos os problemas propostos relacionados ao tema tratado hoje.

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Análise Funcional – aula 2

— 1.2. Solução dos Problemas Propostos da aula 1 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça.

1.(solução)

Os dois primeiros axiomas são de facíl verificação, passemos agora para a demonstração da desigualdade triângular,i.e., devemos mostrar que:

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

Se tomarmos {a=x-z, b=z-y}, temos que {a+b=x-y}, então fazendo uso da desigualdade triângular nos reais {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid} e da desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}, temos:

\displaystyle \sqrt{\mid x-y\mid}=\sqrt{\mid (x-z)+(z-y)\mid}\leq \sqrt{\mid x-z \mid +\mid z-y\mid }=\sqrt{a+b}

\displaystyle \Longleftrightarrow \leq \sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\mid x-z\mid}+\sqrt{\mid z-y\mid}

Assim provamos que a aplicação definida por {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}} é uma métrica sobre {\mathbb{R}}.

2.(solução)

a) À primeira vista a aplicação {d_{1}(x,y)=\mid x^{2}-y^{2}\mid} parece ser uma métrica,mas é facil notar que ela não satisfaz a segunda parte do primeiro axioma da definição de métrica, {d_{1}(x,y)=0\Longleftrightarrow \mid x^{2}-y^{2}\mid=0\Longleftrightarrow x=y} ou {x=-y} daí concluimos que a aplicação não é uma métrica em {\mathbb{R}}, mas é facíl verificar que é uma métrica se tomarmos os subconjuntos {\mathbb{R^{+}}\cup \{0\}} ou {\mathbb{R^{-}}\cup \{0\}}.

b)Seja {x=y=1} então {d_{2}(1,1)=1\neq0} logo não é uma métrica.

c)É facíl verificar que os primeiros axiomas são satisfeitos. Para demonstrarmos a desigualdade triângular consideremos primeiramente a função {f(a)=\frac{a}{1+a}}, é de facil verificação que a função {f} é crescente (usando Cálculo elementar), logo se {\mid a+b\mid \leq \mid a\mid +\mid b\mid \Longrightarrow f(\mid a+b\mid)\leq f(\mid a\mid +\mid b\mid)}, então

\displaystyle \frac{\mid a+b\mid}{1+\mid a+b\mid}\leq\frac{\mid a\mid +\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}= \frac{\mid a\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}+\frac{\mid b\mid }{1+\mid a\mid +\mid b\mid}

Tomando {a=x-z} e {b=z-y}, temos o que queremos.

3.(solução)

(i) Se tomarmos {\rho(x,y)=kd(x,y)}, é facíl vermos que:

\displaystyle \rho(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow k> 0

e que as restantes propriedades são facilmente satisfeitas.

(ii)Do mesmo modo é simples verificar que {\rho(x,y)=d(x,y)+k} é uma métrica sse {k=0}.

4.(solução) Podemos escrever a desigualdade triângular do seguinte modo:

\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z) \Longleftrightarrow d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)

e a desigualdade contrária segue de

\displaystyle d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)

— 1.3. Outros Exemplos de Espaços Métricos —

Bem-vindos a segunda aula de análise funcional, hoje vamos explorar com um pouco mais de profundidade alguns espaços métricos que são de etrema importância para a análise funcional. Para começarmos introduziremos algumas desigualdades famosas e muito úteis, que não serão demonstradas.

Definição 2 Dois expoentes {p} e {q} são dito conjugados sse:

\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1.

Sejam {p} e {q} dois expoentes conjugados têm-se a seguinte desigualdade de Holder:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{q})^{\frac{1}{q}} \ \ \ \ \ (2)

Se tomarmos {p=q=2} na desigualdade (2) teremos a chamada desigualdade de Cauchy-Buniakovsky-Schwarz:

\displaystyle  \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}y_{k}\mid \leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}}(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{2})^{\frac{1}{2}} \ \ \ \ \ (3)

A desigualdade de Holder (2) é geralmente obtida da desigualdade de Young:

\displaystyle  xy\leq \frac{x^{p}}{p}+\frac{y^{q}}{q} \ \ \ \ \ (4)

onde {p} e {q} são conjugados.

Comentário 5 Um corolário trivial da desigualdade acima é o facto de que a média geometrica entre dois números não excede sua média aritmética, para mostrarmos esse facto basta tomarmos {p=q=2}.

E por último temos a desigualdade de Minkovsky:

\displaystyle  (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}+y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}\leq (\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}}+(\sum_{k=1}^{\infty}\mid y_{k}\mid ^{p})^{\frac{1}{p}} \ \ \ \ \ (5)

Comentário 6 É importante notarmos que a desigualdade de Mimkovsky não é verdadeira para {p<1}, e que quando {p=1} temos uma simples desigualdade que exprime o facto de que o modulo da soma não excede a soma dos modulos.
Exemplo 4 Retomaremos um exemplo da aula anterior, relacionado à métrica { d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}} em {\mathbb{R}^{n}}, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n})=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n})=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}}. Demonstração: O objectivo é provarmos que o par {(\mathbb{R}^{n},d_{n})} é um espaço métrico. De facto, os dois primeiros axiomas são de facil verificação e são deixados ao leitor como exercícios, passemos então a demonstração da desigualdade triângular, para tal faremos uso da desigualdade (3). Sejam {x,y,z\in \mathbb{R}^{n}} então {\exists \{x_{k}\}_{k=1}^{n}, \{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {\{z_{k}\}_{k=1}^{n}} tais que {x=\{x_{k}\}_{k=1}^{n}, y=\{y_{k}\}_{k=1}^{n}} e {z=\{z_{k}\}_{k=1}^{n}}, fazendo então a substituição {a_{k}=x-z, b_{k}=z-y} temos:

\displaystyle \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})^{2}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sum_{k=1}^{n}a_{k}b_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}

\displaystyle \Longleftrightarrow\leq\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}+2\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}.\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}=(\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_{k}^{2}}+\sqrt{\sum_{k=1}^{n}b_{k}^{2}})^{2}

\Box

Consideremos agora o espaço {l^{p}(p\geq 1)} ou espaço das sequências {p}-somaveis definido da seguinte forma:

\displaystyle l^{p}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{p}<\infty\}

Reparem que os elementos do espaço {l^{p}} são sequências com infinitos pontos, fazendo desse espaço um espaço discreto. É facil verificarmos que a aplicação

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{p} )^{\frac{1}{p}}

é de facto uma métrica, onde {x=(x_{1},\cdots,x_{n},\cdots)} e {y=(y_{1},\cdots,y_{n},\cdots)}. A demonstração desse facto é deixada ao leitor, para a desigualdade triângular basta aplicar a desigualdade (5).

Quando {p=2} o espaço resultante, {l^{2}}, é geralmente conhecido por espaço de Hilbert ou espaço da sequências de quadrado somaveis. Definido da seguinte maneira:

\displaystyle l^{2}=\{x=\{x_{k}\}_{k=1}^{\infty}\mid \sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}\mid^{2}<\infty\}

com a métrica definida da seguinte forma:

\displaystyle d(x,y)=(\sum_{k=1}^{\infty}\mid x_{k}-y_{k}\mid^{2} )^{\frac{1}{2}}

Além das mencionadas acima, existem muitas outras métricas de extrema importância, até podemos formar metricas de métricas, por exemplo, no primeiro exercício dos problemas propostos na aula passada, nós podemos generalizar, obtendo assim o facto de que se {d(x,y)} é uma métrica sobre {X} então a aplicação

\displaystyle \rho(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}

também é uma métrica sobre {X}.

Exemplo 5 Consideremos a métrica definida por

\displaystyle \rho(x,y)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}}\frac{\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}{1+\max\{\mid x(t)-y(t)\mid :\mid t\mid \leq k\}}

sobre o espaço das funções continuas em {(-\infty,\infty)} torna esse conjunto um espaço métrico. Deixamos para o leitor a demonstração desse facto, como sugestão, lembre-se das suas aulas de Cálculo e as propriedades das funções continuas e séries (mostrar antes que a métrica estábem definida, em caso de duvidas contacte-nos atráves do blog deixando sua questão).

Mostraremos agora que o produto cartesiano {X_{1}\times X_{2}} de dois espaços métricos {(X_{1},d_{1})} e {(X_{2},d_{2})}, também pode ser transformado em um espaço métrico.

Exemplo 6 Consideremos o conjunto {X=X_{1}\times X_{2}} onde {X_{1}} e {X_{2}} são espaços métricos, definimos nele a métrica

\displaystyle d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})

vamos mostrar que o par {(X,d)} é um espaço métrico, onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. Demonstração:

(i) É evidente que {d(x,y)\geq } já que é a soma de duas metricas não negativas. Se {d(x,y)=0 \Longleftrightarrow d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})=0} como as métricas são não negativas então para a soma ser zero ambas tem de ser zero,i.e., {d_{1}(x_{1},y_{1})=0\Longrightarrow x_{1}=y_{1}} e {d_{2}(x_{2},y_{2})=0\Longrightarrow x_{2}=y_{2}}, o inverso é facil de mostrar assim como o axioma (ii).

(iii)Para demonstrarmos a desigualdade triângular,tomemos {d(x,y)=d_{1}(x_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},y_{2})\leq d_{1}(x_{1},z_{1})+d_{1}(z_{1},y_{1})+d_{2}(x_{2},z_{2})+d_{2}(z_{2},y_{2}) } reagrupando a desigualdade obtemos

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

\Box

Como verificamos pelos exemplos acima, a partir de uma métrica podemos formar ou construir outras métricas, passemos agora para novos conceitos.

Definição 3 Seja {(X,d)} um espaço e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}). Dizemos que o conjunto {A} é limitado se {\exists k>0} tal que

\displaystyle d(x,y)\leq k \text{ , } \forall x,y \in A

Se {A} é limitado, denotamos o diâmetro de {A} por {\delta(A)} onde

\displaystyle  \delta(A)=\sup_{x,y \in A}d(x,y)

Da definição acima segue-se imediatamente que um conjunto {A} é limitado sse {\delta(A)<\infty}.

Definição 4 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X} ({A\neq\emptyset}) e {x\in X}. Chama-se distância de {x} ao conjunto {A} o número

\displaystyle d(x,A)=\inf_{y\in A}d(x,y).

A ideia de se calcular a distância de um ponto aum conjunto pode ser tornado mais intuitivo ao lembrarmos um pouco de Geometria Análitica, onde calculamos a distância de um ponto a uma recta, que nada mais é que um conjunto infinito de pontos.

Podemos verificar ainda que:

  • A definição 1.3 está bem definida, pois o ínfimo existe pois {d(x,y)\geq 0}, {\forall y\in A}.
  • Se {x\in A}, então {d(x,A)=0} (porque aí bastaria toar {x=y}).
Proposição 1 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subset X (A\neq \emptyset)}. Então para todo {x,y \in X} temos

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)

Demonstração: Como {d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)} é uma cota inferior então para todo {z\in A} temos:

\displaystyle d(x,A)=\inf_{a\in A}d(x,a)\leq d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)

assim {d(x,A)-d(x,y)\leq d(y,z)} é uma cota inferior do conjunto {\{d(y,z)\mid z\in A\}}, logo:

\displaystyle d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)

a segunda desigualdade segue multiplicando-se a expressão acima por {-1} e fazendo {x=y}. \Box

Definição 5 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A,B\subset X}, {A\neq \emptyset} e {B\neq \emptyset}. A distância entre {A} e {B} é definida do seguinte modo:

\displaystyle d(A,B)=\sup\{d(x,y)\mid x\in A, y\in B\}.

Da definição podemos notar que:

  • Se {A\cap B\neq \emptyset}, então {d(A,B)=0}.
  • Se {A\cap B= \emptyset}, não implica {d(A,B)>0}.

Por hoje ficaremos por aqui,não se esqueçam de resolver os problemas propostos e em cao de duvida nos contactem, como sempre no inicio da proxima aula resolveremos os problemas propostos.

Problemas Propostos

Exercício 5 Mostre que a desigualdade de Cauchy (3) implica

\displaystyle (\mid x_{1}\mid+\cdots+\mid x_{n}\mid)^{2}\leq n(\mid x_{1}\mid ^{2}+\cdots+\mid x_{n}\mid ^{2}).

Exercício 6 Encontre uma sequência que converge para {0}, mas que não esteja em nenhum espaço {l^{p}}, onde {1\leq p<\infty}.
Exercício 7 Encontre uma sequência que esteja em {l^{p}(p>1)} mas não esteja em {l^{1}}.
Exercício 8 Mostre que:

  1. Se {A\subset B},então {\delta(A)\leq \delta(B)}.
  2. {\delta(A)=0} se e somente se {A} consiste em um único ponto.
Exercício 9 Sejam {X=X_{1}\times X_{2}} onde {(X_{1},d_{1})}, {(X_{2},d_{2})} são espaços métricos. Mostre que as seguintes aplicações são métricas em {X}:

  • {d_{1}(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}}
  • {d_{2}(x,y)=\max\{d_{1}(x_{1},y_{1}),d_{2}(x_{2},y_{2})\}}
Exercício 10 Seja {B(A)} o conjunto das funções limitadas em {A}, com a aplicação

\displaystyle d(x,y)=\sup_{t\in A}\mid x(t)-y(t)\mid

Mostre que {(B(A),d)} é um espaço métrico se {A=[a,b]}.

Exercício 11 Mostre que se {(X,d)} é um espaço métrico, então

\displaystyle \rho(x,y)=\sqrt{d(x,y)}

também o é.

Análise Funcional – Aula I

Introdução à Análise Funcional

A Análise Funcional é um ramo da Matemática abstracta que é basicamente uma junção de Teória da Medida e Integração, Topologia e Álgebra Linear em espaços de dimensão infinita. Ela originou-se a partir de trabalhos em equacções diferenciais Parciais, Equações Integrais e da necessidade de se dar um tratamento mais rigoroso ao estudo dos espaços de funções no século XX.

Ela oferece-nos uma generalização de muitos conceitos de análise em {\mathbb{R}} e de outros espaços topológicos e têm servido de base para muitas outras áreas da Matemática Moderna. Durante o século XX matemáticos observaram que problemas de diferentes áreas muitas vezes exibiam propriedades comuns, este facto foi usado para a criação de uma abordagem unificada abstendo-se de uma análise local para a obtenção de resultados gerais dos quais os resultados particulares seguiriam.

Uma das maiores descobertas (ou criação de preferirem) do século XX foi a noção de espaço abstracto em Matemática, devido principalmente a M. Fréchet e F. Hausdorff, que pode ser visto como o culminar de uma onda crescente de abstracção que invadira a Matemática já algum tempo e que teve o seu climax, com justeza, na criação das maiores joias da Matemática.

— 1. Espaços Métricos —

Desde os pimordios da civilização moderna, o homem vem se aperfeiçoando na criação de instrumentos de medida como meios de ajuda na execução de tarefas as quais se propõe realizar. Dentre estes, o cálculo de distâncias sempre foi um dos principais objectivos. Hoje, nós geralmente usamos uma fita métrica para medirmos a distância entre dois objectos, ou podemos fazer uso do teorema de Pitágoras que basicamente nos permite medir a distância entre dois pontos num plano Cartesiano com eixos {x} e {y}, ou ainda generalizarmos ao introduzirmos uma componente {z}, passando a ser uma fórmula para medirmos distâncias no espaço (pelo menos o nosso espaço!).

Mas nós nos perguntamos, afinal o que é o espaço? Muitas pessoas normalmente confudem o espaço sideral, isto é, a zona onde se encontram as estrelas e outros corpos celestes com a noção de espaço em si, uma definição simples e um pouco baseada no senso comum é a de que o espaço é o local onde se encontram os objectos, ele é tomado essencialmente como algo no qual estamos imersos, é uma estrutura invisivel que nos engloba não somente a nós, como também todo o universo, uma imagem mental seria a de uma esfera na qual tudo está contido, até porque o universo seria a propria esfera.

No século XX, em Física, com a teoria da geral da relatividade de A. Einstein surge a noção de espaço-tempo, i.e., uma entidade quadridimensional, mostrando assim que as noções de espaço e tempo são essencialmente as mesmas, elas são inseparáveis, conceito esse que é muitas vezes mal compreendido pelas pessoas.

Para um Matemático, o espaço é um conjunto de pontos, é importante notarmos que, embora nós olhemos para o vazio, aparentemente sem nada, na verdade ele está prenchido por pontos, esta noção embora primitiva pode nos ajudar a ganharmos uma pequena intuição para uma generalização.

De uma forma mais rigorosa, em Matemática, um espaço é um conjunto arbitrário {X\neq \emptyset} munido de uma estrutura. De maneira mais informal, é um conjunto de objectos de qualquer natureza no qual definimos uma estrutura. É importante notarmos que não importa a natureza dos objectos que constituam o conjunto, desde que definamos nele uma estrutura, ele passará a ser um “espaço”.

Exemplo 1 É bem conhecida a noção em Álgebra Linear de Espaço Vectorial, i.e., um conjunto {V\neq \emptyset} com duas operações definidas nele, a adição {+:V\times V\rightarrow V} e a multiplicação por um escalar {\cdot:V\times \mathbb{K}\rightarrow V}, onde {\mathbb{K}} é um corpo. Não importa qual seja a natureza do conjunto {V}, desde que satisfaça os 8 axiomas da definição chamaremos ele de “espaço vectorial”, e aos seus elementos chamaremos pontos desse espaço ou vectores (isto mesmo, vectores), portanto do ponto de vista da Álgebra Linear, uma função como {f(x)=x^{2}} pertencente ao espaço vectorial das funções continuas em {C_{[a,b]}} é um vector, pois ele é um ponto ou elemento desse espaço.

É importante notarmos bem os conceitos acima, em Matemática conceitos que nos parecem muito corriqueiros muitas vezes não são o que parecem! Desta forma podemos passar ao passo seguinte que é a introdução da noção de espaço métrico.

Definição 1 Um espaço métrico {(X,d)} é um conjunto {X\neq \emptyset} juntamente com uma função distância {d:X\times X\rightarrow\mathbb{R^+}} que obedece as seguintes propriedades ou axiomas:

  1. (Não-degeneramento) Para todo {x,y \in X}, temos {d(x,y)\geq 0}, com igualdade se e somente se {x=y}.
  2. (Simétria) Para todo {x,y \in X}, temos {d(x,y)=d(y,x)}.
  3. (Desigualdade Triângular) Para todo {x,y,z \in X}, temos {d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}.
Comentário 1 Muitas vezes com um abuso de notação obvio, se diz que {X} é um espaço métrico ao invés do par {(X,d)} supondo-se que a distância ou métrica é conhecida.

É importante o leitor notar que um espaço métrico não é um conjunto, mas é uma “estrutura”, de tal maneira que em um mesmo conjunto podemos definir métricas diferentes, i.e., { d\neq \rho \Rightarrow (X,d)\neq (X,\rho)}. Aos elementos de um espaço métrico chamaremos pontos, independentemente da natureza destes ojectos, sejam eles objectos do nosso mundo físico ou abstractos.

O axioma 1 na definição estabelece o facto evidente que a distância entre dois objectos nunca é negativa, e se ela é igual a zero é porque estes dois objectos são iguais. O axioma 2 também é intuitivo, quer dizer, a distância entre dois objectos {A} e {B} é a mesma que a distância entre {B} e {A}.

Já o axioma 3 é bastante conhecido desde a Geométria elementar e dos três é o menos intuitivo.

Do axioma 3 obtemos por indução a desigualdade triângular generalizada:

\displaystyle  d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+\cdots+d(x_{n-1},x_{n}) \ \ \ \ \ (1)

Um subespaço {(Y,\rho)} de um espaço métrico {(X,d)} é obtido se tomarmos o subconjunto {Y\subset X} e restringirmos {d} a {Y\times Y}, assim a métrica em {Y} é a restrição

\displaystyle \rho=d\mid _{Y\times Y}

Comentário 2 A partir de agora, quando não houver perigo de confusão designaremos o espaço métrico pela letra {X}.

— 1.1. Exemplos de Espaços Métricos —

Consideremos alguns exemplos de espaços métricos.

Exemplo 2 1. O conjunto dos Números Reais {\mathbb{R}}. Munido com a distância:

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid

Esta é com certeza a distância mais famosa em matemática, pois quase toda a análise elementar é feita usando esta métrica e é também bastante intuitiva, vamos provar que os números reais com essa distância é de facto um espaço métrico. Demonstração: (i) Vamos verificar o primeiro axioma, {d(x,y)\geq 0} e {x=y \Longleftrightarrow d(x,y)=0}. Então temos,

\displaystyle d(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow d(x,y)=\mid x-y\mid \geq 0

o que é evidente pela definição de módulo. Resta demosntrar a segunda parte do axioma 1, temos então

\displaystyle d(x,y)= 0 \Longleftrightarrow \mid x-y \mid =0

\displaystyle \Longleftrightarrow x-y=0

\displaystyle \Longleftrightarrow x=y

a reciproca é evidentemente verdadeira, se tomarmos {x=y} então {d(x,x)=0}.

(ii)O segundo axioma também é simples de demontrar,

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid =\mid (-1).(y-x)\mid = \mid (-1)\mid \mid y-x\mid =\mid y-x\mid = d(y,x)

(iii)Para demosntrarmos a desigualdade triângular vamos precisar da desigualdade triângular nos reais, i.e.,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid x\mid + \mid y\mid

Fazendo uso de um pequeno artifício temos,

\displaystyle (x-y)=(x-z)+(z-y)

Então,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid (x-z)+(z-y)\mid \leq \mid x-z\mid +\mid z-y\mid

assim demosntramos que o par {(\mathbb{R},d)} é um espaço métrico. \Box

Por exemplo se tomarmos dois números quaisquer na recta real, {x=1} {y=2.5} a distância entre eles é de {d(1,2.5)=\mid 1-2.5\mid =1.5}, esta métrica tabém pode ser chamada de métrica da régua, pois ela nos permite calcular a distância entre dois pontos numa régua.

2. O espaço métrico discreto {X}. Ao tomarmos qualquer conjunto {X\neq \emptyset} podemos definir nele a seguinte métrica,

\displaystyle  \rho(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.

Vamos mostrar que {\rho} é de facto uma métrica. Demonstração: De facto, os axiomas (i) e (ii) da definição de espaço métrico são evidentemente satisfeitos pela maneira como {\rho} está definida.Resta-nos apenas provar o axioma 3 da definição. Dados {x, y \in X} temos duas alternativas:

  • Se {x=y}\, então\, {\rho(x,y)=0}. Substituindo este resultado no axioma 3 da definição devemos provar que

    \displaystyle 0\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    como por definição {\rho(x,z)\geq 0} e {\rho(z,y)\geq 0} temos que a desigualdade é satisfeita trivialmente.

  • Se {x\neq y} então ou {x\neq z} ou {z\neq y} (caso contrário, i.e., se {x=y} e {z=y} então {x=y}, contrariando a hipótese); Sendo assim temos {\rho(x,y)=1} e ou {\rho(x,z)=1} ou {\rho(z,y)=1}.Em qualquer situação a desigualdade

    \displaystyle \rho(x,y)\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    \displaystyle 1\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    estará satisfeita

\Box

Comentário 3 É importante tomarmos nota de que a métrica discreta se definida em qualquer conjunto, independentemente da natureza de seus objectos, torna-o num espaço métrico, e.g., se tomarmos {Y=\{y\mid y\text{ é uma banana}\}} o conjunto formado por todas as bananas existentes em todos os universos possiveis, então o par {(Y,\rho)} é um espaço métrico.

3. Métricas sobre o {\mathbb{R}^2}. Como haviamos dito mais acima, sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas, vamos agora construir três métricas muito famosas em {\mathbb{R}^2} mas a demonstração de que elas de facto são métricas deixamos para o leitor (em caso de duvida podes nos contactar).

  • Consideremos a aplicação {d_{1}: \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+} onde {d_{1}} está definida da seguinte forma:

    \displaystyle d_{1}(x,y)=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^2 +(x_{2}-y_{2})^2}

    onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. A fórmula acima nada mais é que a fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos no plano, reparem que {x,y \in \mathbb{R}^2} e por isso eles são pares ordenados, isto é, têm duas componentes, já que {\mathbb{R}^2=\{(x,y)\mid x\in \mathbb{R} \text{ e } y \in \mathbb{R} \}}. Deixamos ao leitor a tarefa de provar que o par {(\mathbb{R}^2,d_{1})} é um espaço métrico.

  • Consideremos agora a aplicação {d_{2}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}, definida por

    \displaystyle d_{2}(x,y)=\mid x_{1}-y_{1}\mid + \mid x_{2}-y_{2}\mid

    onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. A métrica {d_{2}} é conhecida como métrica do taxi.

  • Em último lugar a aplicação {d_{3}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}, definimos a métrica do máximo da seguinte forma:

    \displaystyle d_{3}(x,y)=max \{\mid x_{1}-y_{1}\mid, \mid x_{2}-y_{2}\mid\}

4. O espaço {\mathbb{R}^n}. A métrica {d_{1}} é uma generalização da métrica em {\mathbb{R}}, já a métrica em {\mathbb{R}^n} é uma generalização para qualquer {n\geq 1} natural, e é formado pelas sequências de {n} números reais {x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})} munidos da distância:

\displaystyle  d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}

O par {(\mathbb{R}^n,d_{n})} denomina-se espaço euclidiano de dimensão {n}. A demonstração desse facto será feita na proxíma aula.

5. O espaço das sequências limitadas {l^{\infty}}. Seja {X} o conjunto de todas sequências limitadas de números complexos {\mathbb{C}}; Isto é cada elemento de {X} é uma sequência

\displaystyle  x=(x_{1},x_{2},\cdots)\text{ ou } x=\{x_{i}\}_{i=1}^\infty

tal que {\forall i} temos,

\displaystyle \mid x_{i}\mid \leq k_{x}

onde {k_{x}} é um número real que depende de {x} mas não de {i}. Definimos a métrica da seguinte forma:

\displaystyle d(x,y)=\sup_{i\in \mathbb{N}}\mid x_{i}-y_{i}\mid

onde {y=\{y_{i}\}_{i=1}^\infty} e {\sup} denota o supremo. O espaço {l^\infty} é um espaço de sequências e portanto discreto, este facto será muito importante quando falarmos da noção de separabilidade.

6. O espaço {C[a,b]}. No conjunto {X} tomamos o conjunto de todas as funções com valores reais {x,y,z,\cdots} de uma variável independente {t} definidas num intervalo fechado {[a,b]}. Escolhemos a métrica definida por

\displaystyle  d(x,y)=\max_{t\in [a,b]}\mid x(t)-y(t)\mid

onde {\max} denota o máximo do modulo da diferença. Este é um espaço de funções já que os pontos desse espaço são funções.

É claro que existem muitos espaços métricos, e como já sabemos sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas. Temos também exemplos de como provar se uma aplicação é ou não uma métrica, resta-nos emfim mostrar uma maneira simples de mostrarmos que uma dada aplicação não é uma métrica.

Comentário 4 Em geral, ao tentarmos provar que uma dada aplicação não é uma métrica sobre um conjunto, devemos tentar dar um contraexemplo que demonstre que pelo menos um dos axiomas da (Definição 1.1) não é satisfeita.
Exemplo 3 Demonstrar que a aplicação {d:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^+} definida por

\displaystyle d(x,y)=(x-y)^2

não é uma métrica sobre {\mathbb{R}}. Demonstração: À primeira vista a aplicação acima parece-nos estranha, e é evidente fazendo simples cálculos que ela satisfaz os dois primeiros axiomas da definição de espaços métricos,mas ao chegarmos na desigualdade triângular é facíl notarmos que não parece existir uma maneira dela ser satisfeita, desta forma devemos brincar um pouco com os números, basta encotrarmos três números reais (já que nesse caso {X=\mathbb{R}}) e mostrarmos que a desigualdade triângular não é satisfeita. Dessa forma, sejam {x=1}, {y=4} e {z=3}, logo {d(1,4)=(1-4)^2=9}, {d(1,3)=4} e {d(3,4)=1}, substituindo na desigualdade triângular temos

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\Longleftrightarrow 9\leq 4+1=5

o que é obviamente falso, logo {d} não é uma métrica sobre {\mathbb{R}}. \Box

Assim chegamos ao fim de nossa primeira aula de Introdução à Análise Funcional, não se esqueçam de resolver os problemas abaixo e em caso de dúvidas nos contactar a partir do blog deixando um comentário, antes da próxima aula postaremos a solução dos problemas.

Problemas Propostos

Exercício 1 Mostre que a aplicação {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}} define uma métrica sobre {\mathbb{R}}.(Sugestão: use a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}})
Exercício 2 Das aplicações definidas abaixo, demonstre quais delas define uma métrica e para as que não definem dê um contraexemplo:

  • {d_{1}(x,y)=\mid x^2 - y^2\mid}.
  • {d_{2}(x,y)=\mid 3x^2 -2y\mid }.
  • {d_{3}(x,y)=\frac{\mid x-y\mid}{1-\mid x-y\mid}}.
Exercício 3 Seja {d} uma métrica em {X}. Determine todas as constantes {k} tais que (i){kd}, (ii){d+k} sejam métricas em {X}.
Exercício 4 Usando a desigualdade triângular mostre que

\displaystyle \mid d(x,z)-d(y,z)\mid \leq d(x,y)

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