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Topologia dos Espaços Métricos e Sequências

— 1.1.8. Topologia dos Espaços Métricos e Sequências —

Proposição 24 Seja {(X,d)} um espaço métrico. Um subconjunto {F} de {X} é fechado em {(X,d)}, se e só se, toda sequência de pontos em {F} converge para um ponto em {F}. ({\forall x_{n}\subset F: x_{n}\longrightarrow x\implies x\in F}).

Demonstração: Primeiramente temos de provar que se {x_{n}\subset F}, { x_{n}\longrightarrow x} e {F} é fechado, então {x\in F}.

Suponhamos pelo contrário que {x\notin F}, então {x\in X-F} que é aberto, logo pela definição 1.4, {\exists r>0: B(x,r)\subseteq X-F}, então a partir de uma certa ordem deve existir um {N}, tal que para todo {n\geq N}, {d(x_{n},x)<r}, i.e., {x_{n}\in B(x,r)\subseteq X-F}, o que é uma contradição,já que por hipótese {x_{n}\in F}. Portanto, {x\in F}.

Se {x\in F}, então {x\in\widehat{F}}, pela definição 1.5 {B(x,r)\cap F\neq\emptyset} {\forall r>0}. Em particular, para todo natural {n} existe umponto {x_{n}} em {B(x,\frac{1}{2n})\cap F}. Por isso {x_{n}\subset F} e {d(x,x_{n})<\frac{1}{2n}}, assim {x_{n}\longrightarrow x} e {x\in F}. \Box

Definição 14 Um espaço métrico é completo se toda sucessão de Cauchy nesse espaço é convergente.
Exemplo 12 Todo espaço métrico discreto é completo porque suas sucessões de Cauchy são constantes.
Lema 25 Se {x_{n}} é uma sucessão de Cauchy de elementos de {\mathbb{R}}, então sua imagem é um conjunto limitado.
Teorema 26 {\mathbb{R}} é completo.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Proposição 27 Se {(X,d)} é um espaço métrico completo e {Y\subseteq X}, então {(Y,d)} é completo se e só se {Y} é fechado em {X}.
Corolário 28 Os subconjuntos fechados de {\mathbb{R}} são espaços métricos completos.
Proposição 29 Todo producto {X_{1}\times \cdots \times X_{n}} de espaços métricos completos {X_{1},\cdots, X_{n}}, é um espaço métrico completo.
Teorema 30 (Cantor) Um espaço métrico {(X,d)} é um espaço métrico completo se e só se sempre que {\{F_{n}\}} é uma sequência não vazia de subconjuntos satisfazendo:

  • Cada {F_{n}} é fechado;
  • {F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq\cdots};
  • {diam F_{n}\longrightarrow 0}, então {\cap_{n=1}^{\infty}F_{n}} é um único ponto.

Demonstração: Na proxima aula. \Box

Espaços Métricos e Sequências

Aula 6

— 1.1.7. Espaços Métricos e Sequências —

Nesta aula introduziremos o conceito de sequências em espaços métricos. Embora este conceito já seja conhecido de modo elementar no espaço dos números reais, {\mathbb{R}}, procederemos à generalização do mesmo para qualquer espaço métrico {X}

Definição 11 Seja {(X,d)} um espaço métrico. Uma sequência, num espaço métrico, é uma aplicação {x:\mathbb{N}\longrightarrow X}, onde os {(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}} são pontos em {(X,d)}.
Exemplo 10 Em particular se tomarmos {X=\mathbb{R}} retornaremos ao conceito usual de sequências.
Definição 12 Uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} converge para {x}, i.e., {x_{n}\longrightarrow x}, se {\forall\epsilon>0} {\exists N>0}: {d(x_{n},x)<\epsilon}, {\forall n\geq N(\epsilon)}.
Exemplo 11 Seja {(X,d)} o espaço métrico discreto, então uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} converge para {x} se e só se existe um inteiro {N} tal que {x_{n}=x} sempre que {n\geq N}.
Proposição 21 Se {x_{n}\longrightarrow x} em {X} e {\{x_{n_{k}}\}} é uma subsequência, então {x_{n_{k}}\longrightarrow x}.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Definição 13 Uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} é de Cauchy se {\forall\epsilon>0} {\exists n_{0}\in\mathbb{N}} tal que {d(x_{m},x_{n})<\epsilon}, para todo {m,n\geq n_{0}}.
Proposição 22 Toda sucessão {x_{n}} convergente de {X} é de Cauchy.

Demonstração: A proposição acima basicamente diz que se uma sucessão é convergente, então ela é de Cauchy.

Como por hipótese, {x_{n}\longrightarrow x}, então pela definição 1.12, {d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}} para algum {\epsilon>0} e para todo {n\geq n_{0}}, onde {n_{0}\in\mathbb{N}}. De modo similar, a partir de uma certa ordem,{m}, temos {d(x_{m},x)<\frac{\epsilon}{2}}, com {m\geq n_{0}}. Portanto, aplicando a desigualdade triângular obtemos:

\displaystyle  d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.

\Box

Em geral,a recíproca da proposição anterior é falsa. Para isto, consideremos por exemplo a sucessão {x_{n}=\frac{1}{n}} no espaço {X=\mathbb{R}-\{0\}} com a métrica euclidiana usual.

Proposição 23 Se {\{x_{n}\}} é uma sequência de Cauchy e alguma subsequência de {X_{n}} converge para {x}, então {x_{n}\longrightarrow x}.

Demonstração: Por hipótese temos que {x_{n_{k}}\longrightarrow x} para algum {\epsilon>0}. Seja {N_{1}, N_{2}\in\mathbb{N}} tal que {d(x_{n_{k}},x)<\frac{\epsilon}{2}}, para todo {n_{k}\geq N_{1}}. Por outro lado, como {x_{n}} é umasequência de Cauchy, então {d(x_{m},x_{n})<\frac{\epsilon}{2}}, para {m,n\geq N_{2}}. Fixemos {n_{k}>N} e seja {N=\max\{N_{1},N_{2}\}}, então:

\displaystyle d(x,x_{n})<d(x,x_{n_{k}})+d(x_{n_{k}},x_{n})<\epsilon.

\Box

Estados Estacionários III

Prove que para soluções normalizáveis a constante de separação {E} deve ser real .

Vamos escrever {E} Como

\displaystyle E=E_0+i\Gamma

Então a equação de onda fica

\displaystyle  \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}

{\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2\, dx \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x,t)^*\psi(x,t)e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}\, dx \\ &= e^{\frac{2\Gamma}{\hbar}t}\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x,t)|^2\, dx \end{aligned}}

A expressão final tem que ser igual a {1} para todos os valores de {t} . A única maneira de isso acontecer é tendo {\Gamma=0}. Portanto {E} é real.

Mostre que a função de onda independente do tempo pode ser sempre considerada como uma função de valor real.

Sabemos que {\psi(x)} é uma solução de

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V\psi=E\psi

Tomando o complexo conjugado da equação anterior

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi^*}{d x^2}+V\psi^*=E\psi^*

Assim {\psi^*} é também uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo.

A seguir vamos mostrar que se {\psi_1} e {\psi_2} são soluções da equação de Schroedinger independente do tempo com energia {E}, então sua combinação linear também é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo com energia {E}.

Seja

\displaystyle  \psi_3=c_1\psi_1+c_2\psi_2

a combinação linear.

{\begin{aligned} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi_3}{d x^2}+V\psi_3 &= -\frac{\hbar^2}{2m}\left( c_1\dfrac{\partial ^2\psi_1}{\partial x^2}+c_2\dfrac{\partial ^2\psi_2}{\partial x^2} \right)+ V(c_1\psi_1+c_2\psi_2)\\ &= c_1\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2\psi_1}{\partial x^2}+V\psi_1 \right)+c_2\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2\psi_2}{\partial x^2}+V\psi_2 \right)\\ &= c_1E\psi_1 + c_2E\psi_2\\ &= E(c_1\psi_1+c_2\psi_2)\\ &= E\psi_3 \end{aligned}}

Depois de mostrar este resultado, é óbvio que {\psi+\psi^*} e que {i(\psi-\psi^*)} são soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo. Além de serem soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo, também é evidente, a partir de sua construção, que essas funções são funções reais. Uma vez que eles têm o mesmo valor {E} como {\psi} podemos usar qualquer um deles como uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo

Mostre que se {V(x)} é uma função par então {\psi(x)} pode ser escrita na forma de uma função par ou uma função ímpar .

Uma vez que {V(x)} é par sabemos que {V(-x)=V(x)}. Agora precisamos provar que se {\psi(x)} é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo {\psi(-x)} também é uma solução.

Fazendo a mudança de variável {x} para {-x} na equação de Schroedinger independente do tempo

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d (-x)^2}+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Para percebermos a equação anterior vamos simplificar

\displaystyle \dfrac{d^2}{d (-x)^2}

Vamos introduzir a variável {u} e defini-la como {u=-x}. Então

\displaystyle \frac{d}{du}=\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}=-\frac{d}{dx}

E para a segunda derivada é

\displaystyle  \frac{d^2}{du^2}=\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}=\left(-\frac{d}{dx}\right)\left(-\frac{d}{dx}\right)=\frac{d^2}{dx^2}

Na última expressão {u} é uma variável muda e, portanto, pode ser substituída por qualquer outro símbolo.

Por conveniência, vamos fazer a mudança de variável {u=x}:

(veja também este artigo Derivadas Parciais e Física Estatística )

\displaystyle \dfrac{d^2}{d (-x)^2}=\dfrac{d^2}{d x^2}

Pelo que a nossa expressão inicial fica:

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d x^2}+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Sabemos que {V(x)} é par. Logo

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d x^2}+V(x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Assim {\psi(-x)} também é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo.

Uma vez que {\psi(x)} e {\psi(-x)} são soluções para a equação Schroedinger independente do tempo sempre que {V(x)} é uma função par, podemos construir funções pares e ímpares que são soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo.

As funções pares são construídas como

\displaystyle  h(x)=\psi(x)+\psi(-x)

e as funções ímpares são construídas como

\displaystyle  g(x)=\psi(x)-\psi(-x)

Uma vez que podemos escrever

\displaystyle  \psi(x)=\frac{1}{2}(h(x)+g(x))

mostramos que qualquer solução para a equação de Schroedinger independente do tempo pode ser expressa como uma combinação linear de funções pares e ímpares quando a função potencial é uma função par.

Estados Estacionários II

Agora, vamos apresentar algumas características das soluções separáveis, para melhor compreender a sua importância:

— Estados estacionários —

A função de onda é

\displaystyle \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}

e é óbvio que depende de {t}. Por outro lado, a densidade de probabilidade não depende de {t}. Esse resultado pode ser facilmente comprovado com a suposição implícita de que {E} é real (num exercício posterior veremos porque {E} tem que ser real).

\displaystyle \Psi(x,t)^*\Psi(x,t)=\psi^*(x)e^{i\frac{E}{\hbar}t}\psi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}=|\psi(x)|^2

Se estivéssemos interessados em calcular o valor médio de qualquer variável dinâmica, veríamos que esses valores são constantes no tempo.

\displaystyle  <Q(x,p)>=\int\Psi^*Q\left( x,\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right)\Psi\, dx

Em particular {<x>} é constante no tempo e como consequência {<p>=0}.

— Energia total definida —

Como vimos na mecânica clássica, o Hamiltoniano de uma partícula é

\displaystyle  H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x)

Fazendo as substituições apropriadas, o operador da mecânica quântica correspondente é (na mecânica quântica os operadores são denotados por um chapéu):

\displaystyle \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V

Portanto, a equação de Schroedinger independente do tempo pode ser escrita da seguinte forma:

\displaystyle  \hat{H}\psi=E\psi

O valor médio do Hamiltoniano é

\displaystyle <\hat{H}>=\int\psi ^*\hat{H}\psi\, dx=E\int|\psi|^2\, dx=E

Também temos

\displaystyle \hat{H}^2\psi=\hat{H}(\hat{H}\psi)=\hat{H}(E\psi)=E\hat{H}\psi=EE\psi=E^2\psi

Logo

\displaystyle  <\hat{H}^2>=\int\psi ^*\hat{H}^2\psi\, dx=E^2\int|\psi|^2\, dx=E^2

E a variância é

\displaystyle \sigma_{\hat{H}}^2=<\hat{H}^2>-<\hat{H}>^2=E^2-E^2=0

Em conclusão, para um estado estacionário, toda medição de energia tem o valor {E} uma vez que a distribuição de energia tem valor {E}.

— Combinações lineares —

A solução geral da equação de Schroedinger é uma combinação linear de soluções separáveis.

Veremos em exemplos e exercícios futuros que a equação de Schroedinger independente do tempo contém um número infinito de soluções. Cada uma dessas diferentes funções de onda está associada a uma constante de separação diferente. O que quer dizer que para cada nível de energia permitido existe uma função de onda diferente.

Para a equação de Schroedinger dependente do tempo, qualquer combinação linear de uma solução é também uma solução. Depois de encontrar as soluções separáveis, a tarefa é construir uma solução mais geral da forma

\displaystyle \Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\psi_n(x)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\Psi_n(x,t)

Todas as soluções da equação de Schroedinger dependente do tempo podem ser escritas desta forma, sendo que as condições iniciais do problema sendo estudado fixando os valores das constantes {c_n}.

Tudo isto pode ser um bocado abstrato e como tal vamos resolver alguns exercícios.

Como exemplo, vamos calcular a evolução temporal de uma partícula que começa numa combinação linear de dois estados estacionários:

\displaystyle  \Psi(x,0)=c_1\psi_1(x)+c_2\psi_2(x)

Para a nossa discussão, vamos assumir que {c_n} e {\psi_n} são reais.

Assim a evolução temporal da partícula é:

\displaystyle \Psi(x,t)=c_1\psi_1(x)e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}

Para a densidade de probabilidade é

{\begin{aligned} |\Psi(x,t)|^2 &= \left( c_1\psi_1(x)e^{i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{i\frac{E_2}{\hbar}t} \right) \left( c_1\psi_1(x)e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t} \right)\\ &= c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2+2c_1c_2\psi_1\psi_2\cos\left[ \dfrac{E_2-E_1}{\hbar}t \right] \end{aligned}}

Como podemos ver, embora {\psi_1} e {\psi_2} sejam estados estacionários e, portanto,a sua densidade de probabilidade é constante, a densidade de probabilidade da função de onda final oscila sinusoidalmente com frequência angular {(E_2-E_1)/t}.

Estados Estacionários

— 23.6. Estados estacionários —

Nos artigos anteriores nós normalizamos as funções de onda, calculamos valores médios para o momento e posição de uma partícula, mas nunca, em momento algum, fizemos uma pergunta bastante lógica:

Como se calcula a função de onda em primeiro lugar?

A resposta para essa pergunta é obviamente:

Resolvendo a equação de Schroedinger.

A equação de Schroedinger é

\displaystyle  i\hbar\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V\Psi(x,t)

Que é a equação a derivadas parciais de segunda ordem. Equações a derivadas parciais são muito difíceis de resolver, enquanto que as equações diferenciais ordinárias são fáceis de resolver.

Temos então que transformar esta equação em derivadas parciais numa equação diferencial ordinária.

Para fazer isso, usamos a técnica de separação de variáveis.

Vamos supor que {\Psi(x,t)} pode ser escrito como o produto de duas funções. Uma das funções é uma função da posição, enquanto a outra função é apenas uma função de {t}.

\displaystyle  \Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t)

Essa restrição pode parecer excessiva para a classe de soluções das Equações de Schroedinger, mas neste caso as aparências iludem. Como veremos mais adiante, soluções mais generalizadas da Equação Schroedinger podem ser construídas com soluções separáveis.

Calculando os derivados apropriados para {\Psi(x,t)} temos:

\displaystyle  \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\psi\frac{d\varphi}{dt}

e

\displaystyle  \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{d^2 \psi}{d x^2}\varphi

Substituindo as equações anteriores naa equação de Schroedinger vem:

\displaystyle  i\hbar\psi\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d \psi^2}{d x^2}\varphi+V\psi\varphi

Dividindo a igualdade anterior por {\psi\varphi}

\displaystyle  i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d \psi^2}{d x^2}+V

Na igualdade anterior, o lado esquerdo é uma função de {t} enquanto o lado direito é uma função de {x} (por hipótese {V} não é uma função de {t}).

Esses dois factos fazem com que a igualdade expressa na última equação exija um equilíbrio forte. Por exemplo, se {x} variasse sem variar {t} então o lado direito mudaria enquanto o lado esquerdo continuaria o mesmo desfazendo a nossa igualdade.

Evidentemente, tal coisa não pode acontecer. A única forma de manter a igualdade sempre válida é obrigar a ambos os lados da equação a serem constantes.

Por razões que se tornarão óbvias adiante, denotaremos essa constante (a chamada constante de separação) por {E}.

\displaystyle  i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=E \Leftrightarrow \frac{d\varphi}{dt}=-\frac{i E}{\hbar}\varphi

e para a segunda equação

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V=E \Leftrightarrow -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V\psi=E\psi

A primeira equação pode ser facilmente resolvida e uma solução é

\displaystyle  \varphi=e^{-i\frac{E}{\hbar}t}

A segunda equação, a chamada equação de Schroedinger independente do tempo, só pode ser resolvida quando um potencial é especificado.

Como podemos ver, o método das soluções separáveis cumpriu com à minha promessa. Com isso, conseguimos produzir duas equações diferenciais ordinárias que podem, em princípio, ser resolvidas.

Na verdade, uma das equações já está resolvida mas falaremos mais sobre isso no artigo seguinte.

O Princípio da Incerteza

— 23.5. O Princípio da Incerteza —

Imagine que tem uma corda na mão. Essa a corda está amarrada a uma parede de tijolos. Se alguém puxar a corda repentinamente, causaria a formação de um pulso de onda que percorreria a corda até atingir a parede. A cada instante de tempo, poderíamos atribuir uma posição a esse pulso de onda, mas, por outro lado, se lhe pedissem para calcular seu comprimento de onda, não saberia como fazê-lo, pois esse fenómeno não é periódico.

Imagine agora que, em vez de apenas produzir um empurrão, movimenta continuamente a corda para que produzir uma onda estacionária . Neste caso, o comprimento de onda é perfeitamente definido, já que este é um fenómeno que é periódico, mas a posição da onda perde seu significado.

A mecânica quântica, como veremos em artigos posteriores, pede uma descrição de partículas que é dada em termos de pacotes de ondas. De modo geral, um pacote de ondas é o resultado da soma de um número infinito de ondas (com diferentes comprimentos de onda e fases) que exibem interferência construtiva em apenas uma pequena região do espaço. Um número infinito de ondas com diferentes momentos é necessário para garantir uma interferência construtiva e destrutiva nas regiões apropriadas do espaço.

Assim, vemos que, somando mais e mais ondas, somos capazes de tornar a posição da partícula cada vez mais definida, ao mesmo tempo que tornamos seu momento cada vez menos definido (lembre-se de que as ondas que estamos a somar têm momentos diferentes).

Em uma linguagem mais formal, alguém diria que estamos a trabalhar em dois espaços diferentes. O espaço de {x} e o espaço de {p}.

Assim sendo, no formalismo de pacotes de ondas é impossível ter um fenómeno que esteja perfeitamente localizado em ambos os espaços ao mesmo tempo.

Fisicamente falando, isso significa que, para uma partícula, a sua posição e momento têm uma distribuição inerente. Podemos, teoricamente, fazer com que a dispersão de uma das quantidades seja tão pequena quanto se deseja, mas isso faria com que a dispersão na outra quantidade fosse maior e maior. Isso quer dizer que quanto mais localizada uma partícula é, mais seu momento é disperso e quanto mais preciso for o momento de uma partícula, mais difusa será sua posição.

Este resultado é conhecido como o Princípio da Incerteza de Heisenberg e podemos torná-lo matematicamente rigoroso, mas por enquanto este argumento é suficiente.

Com isso, já podemos ver que a Mecânica Quântica precisa de um novo modo radical de confrontar a realidade.

Por enquanto, vamos apenas colocar este resultado em uma base quantitativa e deixar a sua demonstração para um artigo posterior.

\displaystyle \sigma_x \sigma_p \geq \frac{\hbar}{2} \ \ \ \ \ (54)

 

Podemos interpretar o princípio da incerteza na linguagem das medições feitas em um conjunto de sistemas preparados de forma idêntica. Imagine que preparamos um ensemble cujas medidas de posição são muito definidas. Isso quer dizer que sempre que medimos a posição de uma partícula, os resultados são muito parecidos. Neste caso, caso fizéssemos medições do momento de cada partícula, veríamos que os valores de momento seriam muito diferentes.

Por outro lado, podíamos obter um conjunto de partículas cujas medições de momento tivessem pequenas diferenças entre eles. Nesse caso, o preço a pagar seria que as posições das partículas ficassem totalmente espalhadas.

Evidentemente, entre esses dois extremos, há uma infinidade de possíveis resultados. A única limitação que o princípio da incerteza estipula é que o produto das dispersões das duas quantidades tem que ser maior do que {\dfrac{\hbar}{2}}.

Exercício 5 Uma partícula de massa {m} está no estado

\displaystyle \Psi(x,t)=Ae^{-a\left[\dfrac{mx^2}{\hbar}+it\right]} \ \ \ \ \ (55)

 

Onde {A} e {a} são constantes positivas.

Determine o valor de {A}

Para calcular o valor de {A} é preciso normalizar a função de onda

{\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty} |\Psi(x,t)|^2\,dx\\ &= |A|^2\int_{-\infty}^{+\infty} e^{2a\dfrac{mx^2}{\hbar}}\, dx\\ &= |A|^2 \sqrt{\dfrac{\hbar\pi}{2am}} \end{aligned}}

portanto

\displaystyle A=\sqrt[4]{\frac{2am}{\hbar\pi}}

Qual função de energia potencial {V(x)} faz {\Psi} satisfazer a equação de Schroedinger?

A equação de Schroedinger é

\displaystyle i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}+V\Psi

Para o primeiro termo segue

\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-ia\Psi

A primeira derivada de {x} é

\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial x}=-\frac{2amx}{\hbar}\Psi

A segunda derivada de {x} é

{\begin{aligned} \frac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2} &= -\frac{2am}{\hbar}\Psi+ \dfrac{4a^2m^2x^2}{\hbar ^2}\Psi\\ &= -\dfrac{2am}{\hbar}\left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi \end{aligned}}

Substituindo essas expressões na equação de Schroedinger

{\begin{aligned} V\Psi &= i\hbar\dfrac{\partial \Psi}{\partial t}+\dfrac{\hbar ^2}{2m}\dfrac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2}\\ &= a\hbar\Psi+\dfrac{\hbar ^2}{2m}\left[ -\dfrac{2am}{\hbar} \left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi \right]\\ &= a\hbar\Psi-a\hbar\Psi+\hbar a\dfrac{2amx^2}{\hbar}\Psi\\ &= 2ma^2x^2\Psi \end{aligned}}

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\displaystyle V=2ma^2x^2

Calcular os valores médios de {x} , {x^2} , {p} e {p^2}.

O valor médio de {x}

\displaystyle <x>=|A|^2\int_{-\infty}^{+\infty}xe^{-2ax\frac{x^2}{\hbar}}\, dx=0

O valor médio de {p}

\displaystyle <p>=m\frac{d<x>}{dt}=0

O valor médio de {x^2}

{\begin{aligned} <x^2> &= |A|^2\int_{-\infty}^{+\infty}x^2e^{-2ax\frac{x^2}{\hbar}}\, dx\\ &= 2|A|^2\dfrac{1}{4(2m/\hbar)}\sqrt{\dfrac{\pi\hbar}{2am}}\\ &= \dfrac{\hbar}{4am} \end{aligned}}

O valor médio de {p^2}

{\begin{aligned} <p^2> &= \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \left( \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial }{\partial x} \right)^2\Psi\, dx\\ &= -\hbar ^2\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \dfrac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}\, dx\\ &= -\hbar ^2\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \left[ -\dfrac{2am}{\hbar} \left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi \right]\, dx\\ &= 2am\hbar\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* \left( 1-\dfrac{2amx^2}{\hbar} \right)\Psi\, dx\\ &= 2am\hbar\left[ \int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^*\Psi\, dx -\dfrac{2am}{\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\Psi ^* x^2 \Psi\, dx\right]\\ &= 2am\hbar\left[ 1-\dfrac{2am}{\hbar}<x^2> \right]\\ &= 2am\hbar\left[ 1-\dfrac{2am}{\hbar}\dfrac{\hbar}{4am}\right]\\ &=2am\hbar\left( 1-1/2 \right)\\ &=am\hbar \end{aligned}}

Calcule {\sigma_x} e {\sigma_p}. O seu produto é consistente com o princípio da incerteza ?

\displaystyle \sigma_x=\sqrt{<x^2>-<x>^2}=\sqrt{\dfrac{\hbar}{4am}}

\displaystyle \sigma_p=\sqrt{<p^2>-<p>^2}=\sqrt{am\hbar}

E o produto das duas quantidades anteriores é

\displaystyle \sigma_x \sigma_p=\sqrt{\dfrac{\hbar}{4am}}\sqrt{am\hbar}=\frac{\hbar}{2}

O produto é consistente com o princípio da incerteza.

Como calcular quantidades dinâmicas utilizando a função de onda II

Exercício 3 Por que não podemos fazer a integração por partes diretamente em

\displaystyle \frac{d<x>}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2 \, dx

puxando a derivada em ordem ao tempo para {x} e notando que {\partial x/\partial t=0} para concluir que {d<x>/dt=0} ?

Porque integração por partes só pode ser usada quando a diferenciação e integração são feitas com a mesma variável.

Exercício 4 Calcular

\displaystyle  \frac{d<p>}{dt}

Primeiro, vamos lembrar a equação de Schroedinger:

\displaystyle \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\frac{i}{\hbar}V\Psi

E seu complexo conjugado

\displaystyle  \frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=-\frac{i\hbar}{2m}\frac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}+\frac{i}{\hbar}V\Psi^*

para a evolução do tempo do valor médio de momento é

{\begin{aligned} \dfrac{d<p>}{dt} &= \dfrac{d}{dt}\int\Psi ^* \dfrac{\hbar}{i}\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\, dx\\ &= \dfrac{\hbar}{i}\int \dfrac{\partial}{\partial t}\left( \Psi ^* \dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\right)\, dx\\ &= \dfrac{\hbar}{i}\int\left( \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial t}\dfrac{\partial \Psi}{\partial x}+\Psi^* \dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{\partial \Psi}{\partial t} \right) \, dx\\ &= \dfrac{\hbar}{i}\int \left[ \left( -\dfrac{i\hbar}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}+\dfrac{i}{\hbar}V\Psi^* \right)\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} + \Psi^*\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{i\hbar}{2m}\dfrac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}-\dfrac{i}{\hbar}V\Psi \right)\right]\, dx\\\ &= \dfrac{\hbar}{i}\int \left[ -\dfrac{i\hbar}{2m}\left(\dfrac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3} \right)+\dfrac{i}{\hbar}\left( V\Psi ^*\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi ^*\dfrac{\partial (V\Psi)}{\partial x}\right)\right]\, dx \end{aligned}}

Primeiro vamos calcular o primeiro termo da integral (ignorando os fatores constantes) fazendo a integração por partes (lembre-se que os pontos fronteira são nulos) duas vezes

{\begin{aligned} \int \left(\dfrac{\partial^2\Psi^*}{\partial x^2}\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3}\right)\, dx &= \left[ \dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x^2} \dfrac{\partial \Psi}{\partial x}\right]-\int\dfrac{\partial \Psi^*}{\partial x}\dfrac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2}\, dx- \int \Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3}\, dx \\ &=-\left[ \Psi ^*\dfrac{\partial ^2 \Psi}{\partial x^2} \right]+\int \Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3}\, dx - \int \Psi^*\dfrac{\partial ^3 \Psi}{\partial x^3}\, dx \\ &= 0 \end{aligned}}

Depois vamos calcular o segundo termo do integral

{\begin{aligned} \int \left( V\Psi ^*\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi ^*\dfrac{\partial (V\Psi)}{\partial x} \right)\, dx &= \int \left( V\Psi ^*\dfrac{\partial\Psi}{\partial x}-\Psi ^* \dfrac{\partial V}{\partial x}\Psi-\Psi ^*V\dfrac{\partial \Psi}{\partial x} \right)\, dx\\ &= -\int\Psi ^* \dfrac{\partial V}{\partial x}\Psi\, dx\\ &=<-\dfrac{\partial V}{\partial x}> \end{aligned}}

Em conclusão, é

\displaystyle  \frac{d<p>}{dt}=<-\dfrac{\partial V}{\partial x}>

Portanto, o valor médio do operador momento obedece ao Segundo Axioma de Newton .

O resultado anterior pode ser generalizado e sua generalização é conhecida na literatura da Mecânica Quântica como o Teorema de Ehrenfest

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