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Aula 1: Estatística

 

Elementos de Estatística Matemática

Nesta Unidade, serão abordados temas relacionados ao método estatístico. Oferecer exemplos de tabelas e gráficos que podem representar de forma sintética, as informações obtidas através de processos de pesquisa, são objectivos específicos desta unidade que têm o propósito de: Demonstrar a importância da Estatística na vida diária; Mostrar como podemos utilizar de forma correcta;

Introdução à Estatística

A palavra Estatística lembra, a maioria das pessoas, recenseamento; Os censos existem a milhares de anos e constitui um esforço imenso e caro feito pelos governos, com objectivo de conhecer seus habitante, sua condição sócio económica, sua cultura, religião, etc.

Portanto, associar à estatística a censo é perfeitamente correto do ponto de vista histórico, sendo interessante salientar que as palavras ESTATÍSTICA e ESTADO têm a mesma origem latina; “STATUS”.

É possível distinguir duas concepções para a palavra Estatística ; No Plural (Estatísticas) indica qualquer coleção de dados numéricos, reunidos com a finalidade de fornecer informações acerca de uma actividade qualquer.

Assim, por exemplo, as estatísticas demográficas referem-se aos dados numéricos sobre nascimento, falecimento, matrimónio, desquites, etc.

As estatísticas económicas consistem em dados numéricos relacionados com emprego, produção, e com outras actividades ligadas aos vários sectores de vida económica.

No singular (Estatística) indica a actividade humana, especializada, ou um corpo de técnicos ou ainda uma metodológica desenvolvida para a colecta, classificação, a apresentação, a análise e a interpretação de dados quantitativos e a utilização desses dados para tomada de decisões.

Importância da Estatística O mundo esta repleto de problemas. Para resolvermos a maioria deles, necessitamos de informações. Mas que tipo de informação {?} Que quantidade de informação {?} Após obtê-las, que fazer com elas {?}

A Estatística trabalha com essas informações, associando os dados ao trabalho, descobrindo como é, o que colectar, assim capacitando o pesquisador, a obter conclusões a partir dessas informações de tal forma que possam ser entendidas por outras pessoas.

vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1 Os Estatísticos do governo conduzem censos de população, morada, produtos, industriais, agricultura, e outros. São feitas compilações sobre vendas, produção, inventário, folha de pagamento e outros dados das industriais e empresas. Essas Estatísticas informam ao administrador como a sua empresa está crescendo, seu incremento em relação a outras empresas e fornece-lhe condições de planear ações futuras. A análise dos dados é muito importante para se fazer um planeamento adequado.
Exemplo 2 Na era da energia nuclear, os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos e técnicas, têm contribuído para organização de empresas e utilização dos recursos do mundo moderno.

Em, geral, as pessoas quando se referem ao termo estatística, desconhecem que o aspecto essencial, é o de proporcionar métodos inferenciais, que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente.

Próximo Capítulo: Grandes áreas da Estatística….

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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas II

Recordando o Teorema 77 vamos agora introduzir a noção de resto de uma série.

Definição 50 Seja {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} convergente. Para cada {m>p} a série {\displaystyle \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n} também converge. Podemos então definir:

\displaystyle   r_m=\sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (80)

como sendo o resto de ordem {m} da série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n}

Como

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + \sum_{n=m+1}^{+\infty} u_n

vem que

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=\sum_{n=p}^m u_n + r_m

Assim é

\displaystyle  r_m =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n - \sum_{n=p}^m u_n

Fazendo {m \rightarrow +\infty} vem que {\displaystyle \lim r_m=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n- \sum_{n=p}^{+\infty} u_n=0 }

Usando métodos apropriados podemos ainda enquadrar o resto de ordem {m}.

\displaystyle  \zeta^-_m < r_m < \zeta^+_m

Fazendo

\displaystyle  r_m \approx \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}

Podemos definir

\displaystyle  \varepsilon _m=r_m - \frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}

vem que

\displaystyle  \varepsilon _m < \zeta^+_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

e

\displaystyle  \varepsilon _m > \zeta^-_m-\frac{\zeta^+_m+\zeta^-_m}{2}=\frac{\zeta^-_m - \zeta^+_m}{2}=- \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Assim

\displaystyle  - \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} < \varepsilon _m < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Ou seja

\displaystyle  |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

Temos assim

\displaystyle  r_m=\frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}+ \varepsilon _m

com

\displaystyle  |\varepsilon _m| < \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2}

e portanto

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^m u_n + \frac{\zeta^+_m - \zeta^-_m}{2} + \varepsilon _m

Teorema 78

Uma série de termo geral não negativo converge sse a respectiva sucessão das séries parciais for majorada.

Demonstração:

Seja {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} onde {u_n \geq 0\, \forall n \geq p} e seja {S_m} a respectiva sucessão das somas parciais.

Por definição é

\displaystyle  S_m=\sum_{n=p}^m u_n

Logo

\displaystyle  S_{m+1}-S_m = \sum_{n=p}^{m+1} u_n - \sum_{n=p}^m u_n = u_{m+1} \geq 0

Assim {S_m} é crescente.Se {S_m} converge, {S_m} é limitada (Teorema 13), logo é majorada.

Reciprocamente, se {S_m} é majorada, como é crescente sabemos também que é minorada também é minorada. Logo é limitada.

Então {S_m} converge pelo Teorema da Sucessão Monótona (20).

Assim {S_m} converge sse {S_m} for majorada.

Mas {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge sse {S_m} converge.

Assim {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge sse {S_m} tem majorante.

\Box

Ainda que o teorema anterior seja um teorema bastante útil convém notar que não providencia em si próprio um critério de convergência.

Teorema 79 {Critério da Comparação}

Sejam {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle\sum_{n=p}^{+\infty} v_n} duas séries de termos gerais não negativos. Se {u_n = O(v_n)}

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (81)

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (82)

Demonstração:

Como 82 é o contra-recíproco de 81 vamos somente provar a equação 81.

Suponha-se {v_n} convergente. Como {u_n= O(v_n)} existe uma sucessão {h_n} limitada e um índice {k} tais que {u_n=h_n v_n \quad \forall n\geq k}.

Sendo então {L} um majorante de {h_n} vem que

\displaystyle   u_n \leq L v_n \ \ \ \ \ (83)

Por outro lado como

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} v_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n

vem que {v_n} converge. Pelo Teorema 78 {v_n} tem as somas parciais majoradas. Assim {\exists n \geq 0 } tal que {\displaystyle\sum_{n=k}^m v_n \leq M\, \forall n \geq k} .

De 83 vem então

\displaystyle  \sum_{n=k}^m u_n \leq \sum_{n=k}^m L v_n= L\sum_{n=k}^m v_n \leq LM \quad \forall n \geq k

Assim a série {\displaystyle \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n } também as somas parciais majoradas, logo é convergente (Teorema 78).

Como

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+ \infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=k}^{+ \infty} u_n

(Teorema 76) vem que {\displaystyle\sum_{n=p}^{+ \infty} u_n} converge.

\Box

Corolário 80

Nas condições do teorema anterior, se existe uma ordem {k} tal que {u_n \leq v_n \quad \forall n \geq k} então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{converge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{converge} \ \ \ \ \ (84)

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \quad \mathrm{diverge}\Rightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \quad \mathrm{diverge} \ \ \ \ \ (85)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Corolário 81

Nas condições do teorema anterior, se

\displaystyle  \lim \frac{u_n}{v_n} \in ]0, + \infty[

então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (86)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Corolário 82

Nas condições do teorema anterior, se

\displaystyle  u_n \sim v_n

então

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (87)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Podemos então resumir o resultado anterior com o seguinte:

Em séries de termos gerais não negativos podemos substituir o termo geral por outro assimptoticamente igual sem alterar a natureza da série.

Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas

— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —

Teorema 73 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} converge e {\alpha \in \mathbb{R}}, então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} converge e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n = \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (76)

Demonstração: Temos efectivamente

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m \alpha u_n \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \alpha \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n \\ &= \alpha \sum_{n=p}^{+\infty} u_n \end{aligned}}

\Box

Corolário 74

Se {\alpha \neq 0} as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} têm a mesma natureza.

Demonstração: Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente vem, pelo Teorema 73, que a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} também é convergente.

Reciprocamente, suponha-se que {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \alpha u_n} é convergente. Então, pelo pelo Teorema 73, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} \frac{1}{\alpha}\alpha u_n} também é convergente. Ou seja, {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente \Box

Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo {\leftrightarrow } como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.

Assim quando escrevermos {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} queremos dizer que as séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{5}{n}} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}\dfrac{1}{n}} têm a mesma natureza.

Teorema 75 Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} v_n} são ambas convergentes então também {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)} é convergente e tem-se

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n)=\sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \ \ \ \ \ (77)

Demonstração: {\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} (u_n+v_n) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m(u_n+v_n) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=p}^m u_n+ \sum_{n=p}^m v_n \right) \\ &=\lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m u_n+ \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^m v_n \\ &= \sum_{n=p}^{+\infty} u_n+ \sum_{n=p}^{+\infty} v_n \end{aligned}} \Box

Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p}} têm a mesma natureza e em caso de convergência a mesma soma.

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{n+p} \ \ \ \ \ (78)

Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. \Box

Como aplicação do teorema anterior vamos calcular

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n

Onde temos que {|r|<1}.

Temos então

{\begin{aligned} \sum_{n=p}^{+\infty} r^n &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^{n+p} \\ &= \sum_{n=0}^{+\infty} r^n\cdot r^p \\ &= r^p \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \\ &= r^p \dfrac{1}{1-r} \end{aligned}}

Assim fica

\displaystyle  \sum_{n=p}^{+\infty} r^n=\frac{r^p}{1-p} \quad |r|<1

Teorema 77 Dada uma série {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n}, um índice {k>p}, as séries {\sum_{n=p}^{+\infty} u_n} e {\sum_{n=k}^{+\infty} u_n} têm a mesma natureza, e em caso de convergência é válido

\displaystyle   \sum_{n=p}^{+\infty} u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^{+\infty} u_n \ \ \ \ \ (79)

Demonstração: Vamos apenas apresentar a ideia da demonstração e deixamos para o leitor a sua correcta formalização.

Sugerimos ao leitor começar a partir da identidade:

\displaystyle  \sum_{n=p}^m u_n= \sum_{n=p}^{k-1} u_n+\sum_{n=k}^m u_n

e tomar o limite {m \rightarrow +\infty} \Box

Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:

\displaystyle  \sum_{n=k}^{+\infty} \leftrightarrow \sum_{n=p}^{+\infty} \quad \forall k>p

Podemos então dizer o seguinte:

A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.

Topologia – Distância entre conjuntos e diâmetro

— 1.1.6. Distância entre conjuntos e diâmetro —

Definição 8 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {x\in X}. Se {A\subset X} não vazio, o conjunto das distâncias {x} e os elementos de {A} é definido por

\displaystyle d(x,A):=\inf\{d(x,y):y\in A\}.

Ao número real {d(x,A)\geq 0} chama-se distância de {x} ao conjunto {A}.

Comentário 5 É óbvio que se {x\in A}, então {d(x,A)=0}, mas o recíproco, em geral, nem sempre é verdadeiro.
Exemplo 8 Se {X=\mathbb{R}} e {A=(a,b)}, então {d_{1}(a,A)=0} e {a\not\in A}. Temos também, {d_{1}(0,[1,2])=d_{1}(0,(1,2])=1}.

É evidente que {d(A,x)=d(x,A)}.

Proposição 17 Seja {A\subset X} e {x,y\in X}. Então:

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid \leq d(x,y)

Demonstração: Sejam {x,y\in X}, então {\forall a\in A}:

\displaystyle d(x,a)\leq d(x,y)+d(y,a)

,i.e.,

\displaystyle d(x,A)\leq d(y,A)+d(x,y)

de modo análogo,

\displaystyle d(y,A)\leq d(x,A)+d(x,y).

Assim,

\displaystyle -d(x,y)\leq d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y).

\Box

Para cada conjunto {A} de {X} e {\epsilon\geq 0}, denotaremos o conjunto {A_{\epsilon}:=\{x:d(x,A)<\epsilon\}}, onde pode se dar o caso de {\epsilon=\infty}.

Proposição 18 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {x\in X}. Então, para cada {A,B} e {\{B_{j}\}_{j\in J}} subconjuntos de {X},as seguintes afirmações são verdadeiras:

  1. {d(x,\emptyset)=\infty} e {d(x,A)<\infty} se {A\neq\emptyset}.
  2. {d(x,\{x\})=0}.
  3. Se {A\subseteq B}, então {d(x,A)\leq d(x,B)}.
  4. {\forall \epsilon>0},{0\leq\epsilon\leq\infty}, {d(x,A)\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon}.
  5. {d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{j\in J}d(x,B_{j})}
  6. {d(x,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(x,B_{j})}

Demonstração:

  1. {d(x,\emptyset)=\inf\emptyset=\infty} (pela definição do ínfimo de um conjunto).
  2. Basta tomar {A=\{x\}\longrightarrow d(x,A)=0}.
  3. Deixada ao leitor.
  4. Seja {a\in A_{\epsilon}},existe {a'\in A}, {d(a,a')<\epsilon}. Portanto,

    \displaystyle d(x,A)\leq d(x,a)+d(a,a')\leq d(x,A_{\epsilon})+\epsilon.

  5. {d(x,\cup_{j\in J})B_{j})=\inf_{b\in \cup_{j\in J}B_{j}}d(x,b)=\inf_{j\in J}(\inf_{b\in B_{j}}d(x,b))=\inf_{j\in J}d(x,B_{j}).}
  6. Sugestão: {d(x,A)\geq d(x,B)} se {A\subseteq B}.

\Box

Definição 9 Sejam {A,B} subconjuntos de {X}, onde {(X,d)} é um espaço métrico. A distância entre {A} e {B} é o número

\displaystyle d(A,B)=\inf\{d(x,y):x\in A,y\in B\}.

É evidente que se {A\cap B\neq\emptyset}, então {d(A,B)=0}, em geral o recíproco não é verdadeiro e, obviamente {d(A,B)=d(B,A)}.

Proposição 19 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A,B,C} e {D} subconjuntos de {X}, e famílias {\{A_{i}\}_{i\in I}}, {\{B_{j}\}_{j\in J}} de subconjuntos de {X}. Então:

  1. {d(A,B)<\infty} se e só se {A} e {B} são não vazios.
  2. {d(A,B)=0} se {A\cap B\neq\emptyset}.
  3. Se {A\subseteq B} e {C\subseteq D}, então {d(A,C)\leq d(B,D)}.
  4. Para todo {\epsilon,\epsilon'}, {0\leq\epsilon,\epsilon'\leq\infty}, {d(A,B)\leq d(A_{\epsilon},B_{\epsilon})+\epsilon+\epsilon'}.
  5. {d(\cup_{i\in I}A_{i},\cup_{j\in J}B_{j})=\inf_{i\in I,j\in J}d(A_{i},B_{j})}.
  6. {d(A,\cap_{j\in J}B_{j})\geq\sup_{j\in J}d(A,B_{j})}.

Demonstração: Deixadas ao leitor. \Box

Definição 10 Seja {A\subseteq X}, onde {(X,d)} é um espaço métrico. O diâmetro de {A} é definido como

\displaystyle \delta(A)=\sup\{d(x,y):x,y\in A\}.

Exemplo 9 {\delta(\emptyset)=\sup \emptyset=-\infty}.
Proposição 20 Sejam {A,B\subseteq X}. Então:

  1. Se {A\subseteq B}, então {\delta(A)\leq\delta(B)}.
  2. {\delta(A_{\epsilon})\leq 2\epsilon+\delta(A)}, {\forall\epsilon>0}.
  3. {\delta(A\cup B)\leq \delta(A)+\delta(B)+d(A,B)}.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Topologia dos Espaços Métricos

— 1.1.5. Topologia dos Espaços Métricos —

Definição 4 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subseteq X}. Diz-se que {A} é um conjunto aberto se para todo {x\in A} existe {r>0}: {B(x,r)\subseteq A}. Um subconjunto {F} de {X} é fechado se seu complementar {X\setminus F} é aberto.
Comentário 4 É importante notarmos que o facto de um conjunto não ser aberto, não implica que ele seja fechado.
Exemplo 6 Observamos que {X} e {\emptyset} são ambos conjuntos aberto e fechado. É claro que a condição acima é satisfeita para ambos, i.e., {X} e {\emptyset} são abertos, logo, novamente pela definição acima, seus complementares são fechados.
Proposição 9 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Esta proposição é uma consequência imediata da proposição 1.3. \Box

Proposição 10 A união arbitrária de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja {\{A_{i}\}_{i\in I}} uma família de abertos, e {A=\cup_{i\in I}A_{i}}. Temos de mostrar que {A} é aberto.

Seja {x\in \cup_{i\in I}A_{i}}, então existe {i_{0}\in I} tal que {x\in A_{i_{0}}}, pela definição 1.4 existe uma bola aberta {B(x,r)\subseteq A_{i_{0}}}, como {A_{i_{0}}\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}, concluímos que {B(x,r)\subseteq \cup_{i\in I}A_{i}}. \Box

Proposição 11 A intersecção finita de conjuntos abertos num espaço métrico, também é um conjunto aberto.

Demonstração: Seja {\{A_{i}\}_{i}^{n}} uma família de abertos e {A=\cap_{i=1}^{n}A_{i}}. Temos de mostrar que {A} é fechado.

Seja {x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{i}} para todo {i}. Então existem {r_{k}>0} tais que {B(x,r_{k})\subseteq A_{i}}. Se {r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}} então {r>0} e {B(x,r)\subseteq\cap_{i=1}^{n}A_{i}} é

\Box

Proposição 12

  1. Toda bola fechada num espaço métrico é um conjunto fechado.
  2. A intersecção enumerável de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
  3. A união finita de conjuntos fechados num espaço métrico é um conjunto fechado.
  4. Todo conjunto finito é fechado.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Definição 5 O interior de {A} é o maior conjunto aberto contido em {A}, i.e.,

\displaystyle int A=\cup\{U:U\subseteq A\text{ onde }U \text{ é aberto }\}.

O fecho de {A}, {\overline{A}}, é o menor conjunto fechado em {X} contendo {A}, i.e.,

\displaystyle \overline{A}=\cap\{K: A\subseteq K, K\text{ fechado }\}.

Exemplo 7 Da definição anterior podemos imediatamente verificar que {\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}}, é tal que {int(\mathbb{Q})=\emptyset} (muito importante !!!) e {\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}. Para provarmos isto, suponha que {U\subset\mathbb{R}} é aberto. Então, como as bolas abertas em {\mathbb{R}} são intervalos, existe um intervalo {(a,b)\subset U\subset\mathbb{R}}, onde {a<b}. Como entre dois números reais sempre existe um número irracional, segue-se que {(a,b)\cap \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\neq \emptyset}, {U\nsubseteqq\mathbb{Q}} e por isso {int(\mathbb{Q})=\emptyset}. Se {\mathbb{Q}\subset K} é um subespaço fechado de {\mathbb{R}}, então {\mathbb{R}\setminus K} é aberto e não contém racionais. Segue-se que não contêm nenhum intervalo por que qualquer intervalo não vazio de números reais contém um número racional. Assim, {\mathbb{R}\setminus K=\emptyset} e {\overline{\mathbb{Q}}=\mathbb{R}}.
Proposição 13 Seja {A\subseteq X}. Então:

  1. {x\in int A} se e só se existe {r>0} tal que {B(x,r)\subseteq A}.
  2. {x\in \overline{A}} se e só se para todo {r>0}, {B(x,r)\cap A\neq\emptyset}.

Demonstração: 1. Seja {x\in intA}, pela Definição 1.5 significa que existe um aberto {U} tal que {x\in U\subseteq A}. Como {U} é aberto, então existe {r>0} e uma bola {B(x;r)\subseteq U\subseteq A}. A implicação inversa é simples, basta notarmos que se {B(x,r)\subseteq A} e {B(x,r)} é um conjunto aberto, então {B(x,r)\subseteq intA}.

2.Deixada ao leitor.

\Box

Proposição 14 Seja {A} um subconjunto de {X}.

  1. {A} é fechado se e só se {A=\overline{A}}.
  2. {A} é aberto se e só se {A=int A}.
  3. Seja {\{A_{i}\}_{i=1}^{n}} uma família de subconjuntos de {X}, então {\overline{\cup_{i=1}^{n}A_{i}}= \cup_{i=1}^{n}\overline{A_{i}}}.
  4. Seja {\{A_{i}\}_{i=1}^{n}} uma família de subconjuntos de {X}, então {int(\cap_{i=1}^{n}A_{i})=\cap_{i=1}^{n}int(A_{i})}.

Demonstração: deixada ao leitor. \Box

Definição 6 Um subconjunto {A} de um espaço métrico {X} é denso se {\overline{A}=X}. Um espaço métrico {X} é separável se contém um subconjunto denso enumerável.
Proposição 15 Um conjunto {A} é denso em {(X,d)} se e só se para todo {x\in X} e todo {r>0}, {B(x,r)\cap A\neq\emptyset}.

Demonstração: É uma aplicação trivial da proposição 1.13. \Box

Definição 7 Seja {A\subseteq X}, então um ponto {x\in X} é chamado de ponto limite de {A} se para todo {\epsilon >0} existe um ponto {y} em {B(x,\epsilon)\cap A} com {y\neq x}.
Proposição 16 Seja {A\subset X}, onde {X} é um espaço métrico, então {\overline{A}=A\cup A'}, onde {A'} representa o conjunto dos pontos limites de {A} ou derivado de {A}.

Demonstração: Por definição, o fecho de {A}, {\overline{A}}, é fechado e por isso {A\subset\overline{A}}. Segue que se {x\in \overline{A}}, então existe um conjunto aberto {U} contendo {x} com {U\cap A=\emptyset} e daí {x\not\in A} e {x\not\in A'}. Isto mostra que {A\cup A' \subset \overline{A}}.

Por outro lado, suponhamos {x\in\overline{A}} e {V} um aberto contendo {x}. Se {V\cap A=\emptyset}, então {A\subset(X\setminus V)} é um conjunto fechado e {\overline{A}\subset(X\setminus V)}. Mas, {x\not\in \overline{A}}, contradição. Se {x\in \overline{A}} e {x\not\in A}, então, para qualquer aberto {V} com {x\in V}, temos {V\cap A\neq\emptyset}. Logo, {x} é um ponto limite de {A}. Assim, {\overline{A}\subset A\cup A'}. \Box

Topologia – Introdução aos Espaços Métricos

— 1.1.4. Alguns Exemplos de Espaços Métricos —

Na aula de hoje, daremos alguns exemplos de espaços métricos, e só depois continuaremos com a topologia dos espaços métricos. Infelizmente, pela grande variedade de espaços métricos que existem, que são infinitos, não poderemos demonstrar que cada métrica definida em um conjunto dado realmente fora um espaço métrico, por isso as respectivas demonstrações são deixadas ao leitor.

Comentário 3 É importante notarmos que em um mesmo conjunto podemos definir várias métricas.
Exemplo 5

  1. Seja {X=\mathbb{R}}, este é sem dúvida o espaço métrico mais importante, podemos definir nele as seguintes métricas:
    • {d_{1}(x,y)=\mid x-y\mid }, {\forall x,y\in \mathbb{R},}. Esta é a métrica usual ou euclidiana.
    • {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}}, {\forall x,y\in \mathbb{R}}. (Sugestão: para provarmos que esta métrica satisfaz a desigualdade triangular podemos aplicar a desigualdade: {\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}, {\forall a,b\in \mathbb{R}}).
    • {\rho(x,y)=\frac{d_{1}(x,y)}{1+d_{1}(x,y)}}, onde {d_{1}} é a métrica usual euclidiana.(sugestão: a função {f(a)=\frac{a}{1+a}} é crescente, logo, {\mid a+b\mid\leq\mid a\mid+\mid b\mid\Longrightarrow f(\mid a+b\mid)\leq f(\mid a\mid + \mid b\mid)}).
  2. Se {X=\mathbb{R}^{2}} podemos definir as seguintes métricas:
    • {d_{t}(x,y)=\mid x_{1}-y_{1}\mid + \mid x_{2}-y_{2}\mid}, onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. Esta métrica é conhecida como métrica do táxi.
    • {d_{2}(x,y)=\sqrt{( x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2}}}, {x,y\in\mathbb{R}^{2}}. Esta é a métrica euclidiana no plano.
    • {d_{max}(x,y)=\max{\mid x_{1}-y_{1}\mid,\mid x_{2}-y_{2}\mid}}, é a métrica do máximo.
  3. Se {X=\mathbb{R}^{n}}, temos:
    • {d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}, onde {x=(x_{1},...,x_{n})} e {y=(y_{1},...,y_{n})}.(sugestão: use a desigualde de Cauchy-Schwarz: {(\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}y_{i}\mid)^{2}\leq (\sum_{i=1}^{n}x_{i}^{2})^{2}(\sum_{i=1}^{n}y_{i}^{2})^{2}}, {\forall x,y\in\mathbb{R}^{n}}).
    • {d_{\infty}(x,y)=\max\{\mid x_{i}-y_{i}\mid:1\leq i\leq n\}}, {x,y\in \mathbb{R}^{n}}.
    • Para {p\geq 1}, definimos a métrica:

      \displaystyle d_{p}(x,y):=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}-y_{i}\mid^{p}}

      também é uma métrica em {\mathbb{R}^{n}}.(sugestão: use a desigualdade de Minkovsky: {\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}+y_{1}\mid}\leq\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid x_{i}\mid^{p}}+\sqrt[p]{\sum_{i=1}^{n}\mid y_{i}\mid^{p}}}, {\forall p\geq 1}).

  4. Seja {B(A)} o conjunto de todas as funções limitadas no conjunto {A}, então a métrica {d_{\infty}:B(A)\times B(A)\longrightarrow \mathbb{R}^{+}} definida por

    \displaystyle d_{\infty}(f,g):=\sup\{\mid f(x)-g(x)\mid:x\in A\}

    torna-o num espaço métrico {\forall f,g\in B(A)} .

  5. Seja {C_{[a,b]}}, o conjunto de todas as funções contínuas no intervalo {[a,b]\subset \mathbb{R}} é um espaço métrico com as métricas:
    • {d(f,g):=\max\{\mid f(x)-g(x)\mid:x\in [a,b]\}}, {\forall f,g\in C_{[a,b]} }.
    • {d_{p}(f,g):=\sqrt[p]{\int_{a}^{b}\mid f(x)-g(x)\mid^{p}dx}}. (sugestão: para a desigualdade triangular use o equivalente integral da desigualdade de Minkovsky)
  6. Terminamos com a métrica {d_{0}:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}, definida por

    \displaystyle d_{0}(x,y):=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},y_{i})}{2^{i}}

    onde {d} é uma métrica em {X}. Demonstração: É evidente que {d_{0}(x,y)\geq 0} e que {d_{0}(x,y)=0} se e só se {x=y}. Também é fácil verificar que {d_{0}(x,y)=d_{0}(y,x)}, vamos portanto mostrar apenas a desigualdade triangular,

    {d_{0}(x,y)=\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},y_{i})}{2^{i}}}

    {\leq\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},z_{i})+d(z_{i},y_{i})}{2^{i}}=}

    {\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(x_{i},z_{i})}{2^{i}}+\sum_{i=1}^{\infty}\frac{d(z_{i},y_{i})}{2^{i}}}

    {=d_{0}(x,z)+d(z,y)}

    \Box

Definição 3 Seja {d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}} uma aplicação, o par {(X,d)} é chamado de pseudométrica ou pseudodistância em {X} se,

  1. {d(x,y)=0} se {x=y},
  2. {d(x,y)=d(y,x)} para todo {x,y\in X},
  3. {d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)} para todo {x,y,z \in X}.
Exercício 1 Seja dada a aplicação {f:X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}}, a aplicação

\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}

definida por

\displaystyle d(x,y)= \left \{ \begin{array}{cl} 0 & \mbox{, } x= y\\ f(x)+f(y) & \mbox{, } x\neq y \end{array}\right.

é uma pseudométrica se e só se {f^{-1}(0)} tem no máximo um elemento.

Exercício 2 Prove que se

\displaystyle d_{i}:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}\,\,\,(i\in \mathbb{N})

é uma família enumerável de pseudométricas e

\displaystyle \alpha:\mathbb{R}_{\geq0}^{\mathbb{N}}\longrightarrow \mathbb{R}^{+}

é uma função que satisfaz:

  • {\alpha(x)=0} se e só se {x=0},
  • Se {x\leq y}, então {\alpha(x)\leq\alpha(y)}
  • {\alpha(x+y)\leq\alpha(x)+\alpha(y)}

então a função

\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb{R}^{+}

definida por

\displaystyle d(x,y):=\alpha(d_{1}(x,y),...,d_{n}(x,y),...),

é uma pseudométrica, e que é uma métrica se e só se para todo {x,y\in X}, com {x\neq y}, existe {i\in \mathbb{N}} tal que {d_{i}(x,y)>0}.

Finanças Públicas e Direito Financeiro – Direito Financeiro

O Direito Financeiro

 

 regulará, e guiará, a partir de normas jurídicas, a actividade financeira de um Estado,

 observando, analisando e investigando os fenómenos financeiros subordinados a arrecadação de receitas, para o erário público,

de modos a que um Estado possa, de modo “mais eficaz” prosseguir com a satisfação das necessidades colectivas.

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

 

Ao fazermos uma analogia entre Direito Financeiro e ao conceito de Finanças Públicas, em sentido objectivo, conforme sugere Sousa Franco,

denotamos uma semelhança

 

 relativamente ao seu objecto (material),

ou seja,

 

 a actividade financeira do Estado, respeitando um Orçamento Geral de Estado, suas Receitas e Despesas previstas, e outros meios instrumentais de financiamento de um Estado.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

 

 

De salientar que, o Direito Financeiro é um ramo do Direito Público.

 

Pelo que, tendo como base fundamental de sua existência a Constituição,

 

as suas normas (legais) servirão de guia para o Estado,

 

delimitando-o no seu papel de arrecadar receitas, para suas despesas,  e nas relações jurídicas que advirão da sua actividade financeira.

 

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

 

 

Neste sentido,

Ao conjunto de normas jurídicas que disciplinam a actividade financeira do Estado e demais entes públicos atribuiremos o nome de direito financeiro,

Ou, em sentido mais rigoroso, direito financeiro público.

 

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

 

 

“ A actividade financeira dos entes públicos não constitui uma actividade homogénea”, pois, “ desdobra-se numa série diversificada de operações relativas à aquisição e à gestão das receitas, e a realização das despesas”

 

Da análise do preceituado anteriormente, concluiremos que o Direito Financeiro apresentar-se-á como um conjunto de normas jurídicas heterogéneas, cuja amplitude se estenderá em três sectores, bem diversos,  a saber :

O 1. direito das receitas, 2. direito das despesas, e o 3. direito da administração ou gestão financeira.

 

 

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

 

  • Direito das receitas, o “pilar” das receitas públicas,

Enquanto instrumento disciplinador da “utilização dos recursos financeiros para fazer face às diversas exigências financeiras dos entes públicos”,

Instrumento esse que permitira a intervenção do Estado na economia social, direito da economia, no que tange às despesas públicas que terão como fim a realização das necessidades colectivas;

 

Direito das receitas, subdividido em três sectores ou segmentos:

 

 

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

Direito das receitas, subdividido em três sectores ou segmentos:

Direito patrimonial:

relativo às receitas patrimonial dos entes públicos, derivadas do património mobiliário, do domínio rural e das explorações industriais e comerciais de utilidade pública;

Direito do crédito público:

 que disciplinará o recurso ao crédito por parte das entidades públicas e a gestão da dívida pública;

Direito tributário:

 ou direito das receitas coactivas do Estado e demais entes públicos,  em que se destacará o direito fiscal.

 

 

 

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

 

 

Do exposto, denotamos uma diversidade de normas quanto aos sectores de aplicação, dos regimes do direito financeiro.

Pelo que, a doutrina tem procurado isolar dentro do direito financeiro, um sector suficientemente homogéneo, quanto ao seu objecto e especificidade, para um tratamento científico mais apurado.

A saber:

o direito da generalidade das receitas coactivas de natureza contributiva, ou seja, o direito dos tributos ou  direito tributário;

Noutros casos,

O domínio normativo que é constituído pelo direito das receitas coactivas unilaterais, ou seja, pelo direito dos impostos, direito fiscal

 

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

 

1.Direito Tributário e 2.Direito Fiscal

 

As doutrinas italiana, espanhola e brasileira, baseiam-se nas disposições constitucionais que consagram um regime específico para a generalidade dos tributos e não apenas para os impostos; Direito Tributário

“ Nenhuma prestação de carácter pessoal ou patrimonial pode ser imposta sem base na lei”.

 

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

 

 

O conceito de direito fiscal, desenvolvido pelas doutrinas portuguesa, francesa, alemã, austríaca e suiça,

Invocam as disposições constitucionais, como o caso de Portugal e França, em que se impõe uma específica legalidade para os impostos, baseando-se nos princípios deduzidos do conjunto das disposições constitucionais relativas aos impostos, ou seja, princípios da “constituição” fiscal” Direito Fiscal.

 

  1. Direito Financeiro, Direito Tributário e Direito Fiscal.

 

 

  1. Direito da administração ou gestão financeira.

“ Que rege a organização e funcionamento  da administração financeira”, expressando o seu “domínio e unificação a partir do direito orçamental ou orçamentário ou direito da contabilidade publica”.

 

 

 

BREVE NOTA:

 

Os resumos anteriores tiveram como fonte bibliográfica  principal, o livro de Direito Fiscal, de José Casalta Nabais, 4ª Edição, Almedina.

 

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