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Introdução à Lógica – Classificação de Argumentos

— 6. Definições Lógicas —

Nesta secção vamos introduzir de uma forma mais sistemática algumas das ideias básicas em lógica que nos vão permitir utilizar de uma forma mais poderosa os ensinamentos desta disciplina.

Tal como já vimos, existe na Lógica uma distinção entre forma e conteúdo. De modo análogo existe também uma distinção na lógica entre argumentos que são correctos quanto à sua forma e argumentos que são correctos quanto ao seu conteúdo.

Esta distinção é melhor entendida se dermos alguns exemplos:

  1. Todos os peixes são seres humanos;
  2. Todos os seres humanos são quadrúpedes;
  3. Assim, todos os peixes são quadrúpedes.
  1. Todos os gatos são animais;
  2. Todos os mamíferos são animais;
  3. Assim, todos os gatos são mamíferos.

Nenhum destes argumentos é correcto ainda que sejam incorrectos por razões diferentes.

Em primeiro lugar vamos considerar o seu conteúdo. Enquanto que no primeiro argumento todas as sentenças são falsas, todas as sentenças no segundo argumento são verdadeiras. Por outro lado, uma vez que nem todas as premissas do primeiro argumento são verdadeiras este argumento não é válido quanto ao seu conteúdo; ao contrário do segundo argumento que é perfeitamente válido quanto ao seu conteúdo.

Vamos agora considerar os argumentos quanto à forma. Aqui a pergunta essencial é: “As premissas suportam a conclusão?”. Ou dito de outra forma: mesmo que as premissas não sejam verdadeiras, será que a conclusão a que se chega deriva directamente das premissas estipuladas? No caso do segundo argumento as premissas são todas verdadeiras assim como a conclusão. Ainda assim a verdade da conclusão não é uma função da veracidade das premissas (queremos com isto dizer que este argumento não foi bem construído). Tudo isto é perfeitamente inteligível a um nível intuitivo, mas iremos dar agora algumas definições para tornar a nossa explanação mais rigorosa. Ao examinar um argumento temos sempre que colocar duas questões:

  1. As premissas são verdadeiras?
  2. A conclusão deriva das premissas?

As respostas às duas perguntas acima irão ajudar a classificar os argumentos apresentados.

Definição 6

Um argumento diz-se factualmente correcto se e só se todas as suas premissas são verdadeiras.

Definição 7

Um argumento diz-se válido se e só se a conclusão deriva logicamente das premissas.

Definição 8

Um argumento diz-se sólido se e só se for válido e factualmente correcto.

De uma forma simples podemos dizer que um argumento factualmente correcto tem um bom conteúdo enquanto que um argumento tem boa forma. Um argumento sólido, por sua vez, tem sempre um bom conteúdo e uma boa forma.

De notar que um argumento factualmente correcto pode ter uma conclusão falsa, uma vez que a sua definição somente se refere às premissas.

A validade de um argumento por vezes é difícil de se afirmar com certeza. Pode acontecer que seja impossível de se saber se a conclusão deriva ou não das premissas. Parte deste problema tem a ver com o facto de termos de saber o que queremos dizer com “deriva”.

Por outro lado a Lógica analisa a validade ou invalidade de um argumento, mas nada pode dizer sobre a verdade factual das premissas. A questão da verdade factual é uma questão deixada para as ciências experimentais.

Podemos então em jeito de conclusão deixar a seguinte definição:

Definição 9

Um argumento diz-se válido se e só se é impossível que a conclusão seja falsa quando as premissas são todas verdadeiras.

Ou ainda de forma equivalente:

Definição 10

Dizer que um argumento é válido é o mesmo que dizer que se as premissas fossem verdadeiras, então a conclusão seria necessariamente verdadeira também.

De acordo com tudo o que foi dito acima vamos então listar todas as possibilidades para os argumentos:

  • Os argumentos podem ser válidos com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira
  • Os argumentos podem ser válidos, com premissas falsas e conclusão falsa
  • Os argumentos podem ser válidos com premissas falsas e conclusão verdadeira
  • Os argumentos podem ser inválidos com premissas verdadeiras e conclusão verdadeira
  • Os argumentos podem ser inválidos com premissas verdadeiras e conclusão falsa
  • Os argumentos podem ser inválidos com premissas falas e conclusão falsa
  • Os argumentos podem ser inválidos com premissas falsas e conclusão verdadeira

Mas nunca podermos ter

  • Um argumento válido, com premissas verdadeiras e conclusão falsa.

Para terminar este artigo vamos deixar um simples argumento que deverá ser analisado pelos nossos leitores:

  • Todos os números pares são números primos.
  • Vinte e um é um número par.
  • Logo, Vinte e um é um número primo.

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Introdução à Lógica – Lógica Dedutiva e Lógica Indutiva

— 3. Lógica Dedutiva e Lógica Indutiva —

Vamos analisar dois argumentos:

  1. Vejo fumo;
  2. Logo há fogo.

e

  1. Este blog tinha 20 leitores;
  2. Neste momento este blog tem 19 leitores;
  3. Logo, um dos leitores está desaparecido.

Existe um diferença muito importante entre estas duas inferências, e esta diferença espelha a diferença entre dois tipos de Lógica.

Por um lado nós sabemos que a mera existência de fumo não é garantia para a existência de fogo. Apenas torna provável a existência de um fogo.

Assim, inferir a existência de fogo porque visualizámos fumo é um acto razoável, mas não é de todo um acto infalível. É perfeitamente possível a existência de fumo sem ser necessário haver fogo.

A investigação deste tipo de lógica tem o nome de Lógica Indutiva. A Lógica Indutiva estuda o procedimento de inferir conclusões de premissas através de um método probabilístico. Outra forma de definirmos a Lógica Indutiva é dizermos que a Lógica Indutiva estuda argumentos nos quais a verdade das premissas torna provável a verdade da conclusão.

A Lógica Indutiva é um tema fascinante e profundamente rico, mas é também um extremamente complexa. Um dos motivos desta complexidade é o facto dos praticantes desta modalidade da Lógica não estarem em completo acordo entre si sobre quais os atributos de um raciocínio indutivo correcto!

Mas descansem prezados leitores, que a Lógica Indutiva e as suas múltiplas nuances não são o objectivo de estudo destes artigos e vamos somente estudarmos o igualmente rico campo da Lógica Dedutiva.

Voltando ao segundo exemplo, podemos afirmar categoricamente que se as premissas são de facto verdadeiras então a conclusão é necessariamente verdadeira.

No entanto, e só para agitarmos as águas, vamos terminar esta secção introdutória com o seguinte comentário.

Uma vez que na Lógica Dedutiva a veracidade das premissas implica necessariamente a veracidade da conclusão, podemos dizer que a probabilidade da conclusão ser verdadeira é {1}. Assim sendo a Lógica Dedutiva é um subconjunto da Lógica Indutiva. Ou seja, todos os argumentos dedutivos são necessariamente argumentos indutivos, mas um argumento indutivo pode não ser um argumento dedutivo.

— 4. Sentenças e Proposições —

A Lógica investiga inferências sob a forma dos argumentos que representam as inferências em questão. Relembramos que um argumento é uma colecção de sentenças (frases declarativas) onde uma das quais é denominada de conclusão e as restantes sentenças são as premissas.

As sentenças são objectos linguísticos, tal como as palavras. São formadas por sequências de sons ou por sequências de símbolos. As sentenças podem ser distinguidas das proposições que elas expressam (no entanto, muitos filósofos criticam violentamente a noção de proposição). De uma forma simples podemos dizer que uma sentença expressa de forma particular a realidade de algo enquanto que uma proposição expressa a real natureza de algo.

Um exemplo simples que nos permite distinguir uma sentença de uma proposição:

  • O céu é azul
  • The sky is blue
  • El cielo es azul
  • Le ciel est bleu

São todas sentenças diferentes mas que expressam uma mesma proposição. Voltamos no entanto a dizer que vários filósofos que se debruçam sobre este tema de forma intensa são bastante críticos da noção de proposição considerando-a um conceito que só deturpa a análise. Como vemos nem a Lógica Dedutiva que é bastante mais simples que a Lógica Indutiva está livre de controvérsias entre os seus estudiosos…

— 5. Forma e Conteúdo —

Ainda que as proposições estão sempre a olhar por cima dos nossos ombros colectivos, a Lógica Dedutiva tal como a vamos estudar estará mais focada no estudo de sentenças. A motivação para esta abordagem é simples: as sentenças são mais fáceis de interpretar e mais fáceis de trabalhar.

Outro motivo para trabalharmos com sentenças e não com proposições prende-se com o facto de que a Lógica Dedutiva analisa e classifica os argumentos de acordo com a sua forma e não com o seu conteúdo.

Uma sentença é constituída por palavras organizadas por uma ordem particular. Assim, a forma de uma sentença pode ser analisada em termos da disposição das suas palavras constituintes. De forma mais precisa: uma sentença é constituída por termos, que podem ser termos simples ou termos compostos.

Definição 4

Um termos simples é uma palavra a que está associado uma função gramatical.

Exemplos de termos simples são substantivos, verbos, adjectivos, etc.

Definição 5

Um termos composto é uma sequência de palavras que tem a função de uma única unidade gramatical no corpo de uma sentença.

Exemplos de termos compostos são “Presidente da República”.

Para este curso vamos vamos dividir os termos em duas categorias:

  1. Termos descritivos
  2. Termos lógicos

Temos que ter em atenção, no entanto que esta distinção não é absoluta, mas depende essencialmente do nível de análise lógica que estamos a executar. Para o âmbito deste curso vamos tomar em conta três níveis de Análise Lógica:

  1. Lógica Silogística
  2. Lógica Sentencial / Lógica Proposicional / Lógica de Ordem Zero
  3. Lógica de Primeira Ordem / Cálculo de Predicados de Primeira Ordem

Cada nível de análise tem associado a si uma classe especial de termos lógicos. Para a Lógica Silogística os termos lógicos disponíveis são “todo”, “algum”, “não” e “é/são”. Para a Lógica de Ordem Zero os termos lógicos são conectivos de sentenças “e”, “ou”, “se, então”, “se e somente se”. No caso da Lógica de Primeira Ordem os termos lógicos disponíveis são os termos da Lógica Silogística e da Lógica de Ordem Zero.

Voltando ao que foi dito atrás a lógica analisa e classifica argumentos de acordo com a sua forma. A forma lógica de um argumento é função das formas das sentenças individuais que constituem o argumento. Por sua vez a forma lógica de uma sentença da disposição dos seus termos (os termos lógicos são considerados mais importantes que os termos descritivos).

Uma vez que a distinção entre termos lógico e termos descritivo depende do nível de análise que estamos a empregar, assim também a noção de forma lógica também será função do nível de análise empregado.

A diferença entre forma e conteúdo pode ser difícil de entender no abstracto e por isso mesmo vamos dar alguns exemplos concretos no próximo artigo.

Introdução à Lógica

— 1. Introdução —

A Lógica tem várias definições de acordo com os seus muitos praticantes. Mas para o interesse deste curso podemos definir a lógica como sendo a ciência do raciocínio.

Não queremos com isto dizer que a Lógica se debruça com os processos mentais associados com a actividade cognitiva, mas sim com a correcção (ou falta de) dos raciocínios.

O raciocínio é uma das várias actividades mentais que executamos. Neste caso ao raciocinar o que nós seres humano estamos a fazer é realizar inferências.

Definição 1 Uma inferência é o acto de de se retirar conclusões através de premissas.

A palavra premissas pode também ser substituida por dados, informação, factos pois são termos mais próximos da linguagem do dia a dia.

Seguem abaixo alguns exemplos de inferências:

  • Vemos fumo a vir de uma flores e inferimos que há fogo
  • Alguém volta da rua molhado e infermos que está a chover
  • Recebemos a notificação por email de mais um artigo publicado na Luso Academia e inferimos que vamos receber mais material de alta qualidade…

Por favor notem que existe uma diferença entre inferência e implicação que são termos que muitas vezes se confundem, mas que em Lógica tem sentidos precisos e diferentes.

Vamos ilustrar a diferença entre os dois termos analisando o exemplo do fogo. Nós inferimos que existe fogo com base na observação do fumo. No entanto, não podemos implicar a existência do fogo. Por outro lado, o fumo implica a existência do fogo, mas não infere o fogo. Em conclusão, a palavra inferência não é equivalente à palavra implicação.

De uma forma simplificada podemos esquematizar o processo de raciocínio como tendo inputs (premissas, dados, etc) e produzindo outputs (conclusões). Num certo sentido vemos o processo de raciocínio como sendo uma função. Assim sendo, temos um conjunto de premissas {P_1}, {P_2}, {P_n}, que irão produir uma conclusão {C} e se as regras de inferência forem seguidas podemos garantir que a conclusão atingida é válida.

— 2. Inferências e Argumentos —

Após a introdução vamos então começar a introduzir várias definições que nos permitirão avançar no estudo da Lógica de forma mais profunda.

Definição 2 Uma Sentença é uma frase declarativa à qual se pode atribuir um valor lógico de verdade (verdadeiro ou falso).

Temos abaixo alguns exemplos de sentenças:

  • Está calor
  • Sou bonito
  • {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}u_n=\left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n =e}

Não são exemplos de sentenças as seguintes frases:

  • Que horas são?
  • Sai daqui!!!
  • {1,2,3,...}

De notar que ao dizermos que uma sentença tem sempre um valor de verdade, não quer dizer que nós humanos saibamos qual é esse valor de verdade. Por exemplo a frase “Deus existe” é certamente uma sentença ainda que nós humanos não saibamos qual o seu valor de verdade. Estou a descontar os iluminados que sabem que com toda a certeza que Deus existe ou que Deus não existe.

Definição 3 Um Argumento é uma coleção de sentenças, onde uma das sentenças é designada por conclusão e as restantes sentenças são designadas por premissas.

Notem que isto não é a definição de um bom argumento. É tão somente a definição de um argumento. De notar também que no nosso quotidiano a palavra argumento tem uma característica adicional: normalmente as premissas de um argumento devem suportar (justificar) a conclusão do argumento.

Vamos então analisar alguns exemplos vistos anteriormente, mas agora na lógica de argumentos:

  1. Vejo fumo
  2. logo, há fogo!

Aqui o argumento é composto por duas sentenças. “Vejo fumo” e “há fogo”. A palavra “logo” é somente uma partícula de ligação entre as duas sentenças que nos permite mais facilmente identificar a qual é a conclusão e qual é a premissa.

Em princípio qualquer colecção de sentenças pode ser designada de argumento. Basta para isso indicarmos qual é a conclusão. No entanto não é suposto que todas as colecções de sentenças sejam um argumento.

Matemática, muito estranha?

“Eis uma questão que merece reflexão: existe mesmo um conhecimento que não dependa da experiência e das impressões dos sentidos?”

Immanuel Kant

Em 2006, o mundo Matemático explodiu, uma notícia aterrizou como uma nave na comunidade científica, a famosa conjectura de Poincaré acabara de ser resolvida, um problema que baralhara as melhores mentes por quase um século e que, embora provada ser verdadeira para muitas dimensões restava ainda uma última pedra a ser colocada no edifício, a terceira dimensão, a nossa, o problema, em linguagem comum ” quais são as formas que um espaço tridimensional imerso em um quadridimensional pode tomar?”, grosso modo, ” quais são as possiveis formas que o nosso universo pode ter?”, acabava de ser resolvida. Seu solucionador, Gricha Perelmam, matemático russo, brilhante, génial e simultaneamente, estranho, recluso, um eremita social, o típico estereótipo de um génio louco, insocial, que não se encaixa na sociedade moderna consumista e individualista, que além de ter ignorado os canais científicos apropriados para a publicação de tamanha descoberta também renunciou as glórias materias que tal descobeta lhe proporcionariam. A comunidade matemática, totalmente desconcertada com a solução quase incompreensível dada por ele, tinha ainda de lidar ao mesmo tempo com a imprensa, já que as lendas haviam começado e especulações surgiam sobre o significado real e práctico da prova de Perelmam. Para alguns, ele mostrava definitivamente qual era a forma do universo, para outros não tanto preocupados com os resultados em si ou com uma análise rigorosa deles, sublinhavam entretanto o facto de que Perelmam era um rebelde, anarquista científico, um Matemático punk, inconformado, que não se dobra as imposições materialistas do capitalismo.

Findo o frenesim, restava ainda uma questão a ser respondida, o que afinal este senhor fez? Qual é o real significado de seu trabalho? E talvez ainda de forma mais estranha, como é que ele um mero mortal, fruto do barro, conseguiu a partir da manipulação de simples rabiscos em um quadro negro inferir as possiveis formas que o universo pode ter? Será que de alguma forma aqueles símbolos estavam vivos? Se sim, o que lhes deu vida, que fogo divino incendiou aquelas fórmulas e as tornou capazes de nos desvendar a realidade? Afinal, porquê a matemática funciona, de uma maneira estranha e curiosa, eficazmente como ferramenta para se descrever o mundo?

Antes de pensarmos sequer em responder às questões acima levantadas, se é que existem respostas para elas, devemos recuar um pouco na história até a pré-história: a nossa história começa em uma gruta, em algum lugar no mundo. Os homens, sempre tiveram a necessidade de prever as coisas, e dessa maneira, o poder de reconhecer padrões na natureza sempre foi uma mais valia que ajudou o desenvolvimento do homem, ao mesmo tempo, as exigências do dia a dia, isto é, o simples acto de agrupamento de animais numa sociedade de colectores exigia deles cada vez mais o reconhecimento de certas relações que haviam entre elas. Não sabemos ao certo quando os homens começaram a contar, apenas podemos especular que o processo, seja a contagem de animais ou outras coisas úteis às comunidade primitivas, eram de certa forma conectadas com as pedras, cada uma delas representando um animal, ou riscos em um pedaço de pau, cada um deles representando um objecto que se quer contar, infelizmente, por mais simples que pareça para nós hoje, o passo decisivo, que era o de se abstrair de todos aqueles métodos o conceito de “número”, não foi feito e os questionamentos mais profundos, seja por limitações da linguagem que estava num processo de desenvolivimento ou por não ser útil, foram simplesmente inexistentes.

O próximo passo foi dado pelas civilizações do Oriente próximo e as sociedades que surgiram a partir delas, lá vemos as primeiras sociededas devotadas ao estudo de pequenas extruturas que lhes permitiam medir coisas, ciência essa que ficou sem nome e que consistia essencialmente numa série de procedimentos mecânicos e algorítimicos. Os Egípcios foram os verdadeiros mestres nisso, afinal as pirâmides exigiam conhecimentos de natureza númerica muito elevada e eles compilaram uma série de procedimentos para se facilitar o processo. Um facto muito interessante e um pouco desconcertante, é que tanto Egípcios, Babilônios, Incas, Aztecas, Chineses e até outros povos na África profunda, chegaram a descobrir as mesmas verdades e relações númericas fundamentais que existiam entre as diversas coisas, um exemplo muito interessante é o famoso teorema de Pitágoras que já era conhecido pelos Chineses e Egípcios, muito antes sequer de Pitágoras ter existido, o que suscita questionamentos profundos, como se de facto estas relações fundamentais sempre estivessem estado aí a espera de serem descobertas e que elas independem totalmente de nossas mentes.

O passo seguinte na evolução desses conhecimentos surge numa zona a que hoje chamamos Grécia, na época, um conjunto de estados vizinhos, que apesar de possuírem a mesma religião, isto é, venerarem os mesmos deuses, falarem a mesma língua e admirarem os mesmos heróis Homéricos, sempre estavam em guerra. Lá, uma classe de mercadores que ia constantemente ao Egipto e entrara em contacto com as descobertas e ideias da civilização faraônica, acabou por causar um renascimento intelectual e talvez a primeira grande revolução significativa no mundo Ocidetal, tomando emprestado os conhecimentos e procedimentos Egípcios para a solução numérica de certos problemas, atribuíram-lhe um nome especial, Matemática, que traduzido do grego significa mais ou menos algo como “inclinado a aprender”. Com os Gregos, levados pela revolução no pensamento que estavam a observar, esse corpo de conhecimentos foi expandido, estudado, sistematizado pela primeira vez, de uma série de procedimentos muitas vezes dispersos, isolou-se uma matriz comum, e criaram-se os axiomas, verdades indubitáveis e evidentes, que serviriam de bloco para a construção de conhecimentos mais complexos, não usando outra coisa, senão a razão, agora sujeita a regras claras de pensamento, a lógica. Nela se destacam dois pensadores geniais, Pitágoras, o famoso matemático, que também era místico e sacerdote de uma seita exotérica, acreditava, após observar o modo como a Matemática estava relacionada com o mundo, que a unidade fundamental da realidade é o número, tudo é número, e as coisas surgiriam pela combinaçâo destes, outro sucessor de Pitágoras, embora não alinhado com suas ideias pouco ortodoxas foi Platão que acreditava que esse mundo era apenas uma cópia imperfeita de uma realidade mais perfeita, o famoso mundo das ideias, acessível ao homem apenas depois da morte, porque o corpo manchado pela carne não podia pois ascender a perfeição, apenas a ideia pura, i.e., a alma, poderia atingir esse mundo, daí concluiu Platão que o que havia em comum, por exemplo, entre um par de sandálias e um outro de pães, era a ideia do número dois, desse modo a Matemática seria um modo de descrevermos a verdadeira realidade, esse mundo inteligivel, que não era aberto aos nossos olhos, assim, a matemática deve existir fora de nossa mente, pois ela faz parte do mundo das ideias, essa visã ficou conhecida como Platonismo e hoje eu posso afirmar com bastante certeza que ela é a visão de boa parte dos matemáticos.

Mas, a evolução levada a cabo pelos gregos, Pitágoras e Platão, por si só não respondeu de maneira satisfatória de o por que ela funcionar de um modo desconcertante, mais tarde Eugene Wigner diria que essa é uma dádiva que nós não merecemos, é que, escondido entre o emaranhado de símbolos algébricos existe um significado e nós sempre retiramos dalí mais do que nós colocamos. Seja com Newton e sua teoria da gravitação que foi verificada como certa em uma parte por milhão, ou as leis de Kepler deduzidas de simples observações pouco rigorosas e cheias de superstições astrológicas, até mesmo a moderna mecânica quântica, que pela natureza quase invisível dos objectos por ela tratados, e do deconhecimento aberrante do modo como eles funcionam, temos de cada vez mais confiar em equações para obtermos um conhecimento do modo como elas realmente se comportam, enfim, a matemática é realmente estranha, e mais estranha ainda é ela funcionar, infelizmente eu não sei as respostas todas, mas eu penso que uma compreensão sobre a estranheza da matemática é um primeiro passo para uma verdadeira compreensão do modo como a realidade funciona. No fundo, ela é o único meio que possuimos para desvendarmos o profundo e escondido no universo, e diriam alguns, talvez ela mesma seja a nossa realidade.

Exercício 1 Prove que as funções dadas abaixo são soluções das equações diferenciais:

  • {y''+y=x}, {y(0)=0}; onde {y=e^{-x}+x-1}.
  • {(y')^{3}=y}, {y(0)=0}; onde {8x^{3}+27y^{2}=0}.
  • {y''+25y=0}; onde {y=c_{1}\cos 5x}.
  • {y'=2xy+1}; onde {y=e^{x^{2}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt}.
  • {xy'=y+x\sin x}; onde {y=x\int_{0}^{x}\frac{\sin t}{t}dt}
Exercício 2 Achar os valores de {m} para os quais {y=e^{mx}} é uma solução das equações diferenciais abaixo:

  • {2y'''+y''-5y'+2y=0}.
  • {y'-2y=0}.
Exercício 3 Se {y'-xy^{\frac{1}{2}}=0}. Demonstrar que:

  • {y=(\frac{x^{2}}{4}+C)^{2}} é solução geral da equação acima.
  • Se {C=0}, mostrar que {y=\frac{x^{4}}{16}} é uma solução particular.
  • Explicar porque {y=0} é uma solução singular.
Exercício 4 A tangente de uma familia de curvas em qualquer ponto {(x,y)} do plano {xy} está dada por {4-2x}.

  • Estabeleça a equação diferencial da familia.
  • Determinar uma equação para aquela linha particular que passa pela origem.
  • Desenhe alguns membros da familia achada anteriormente.
Exercício 5 Se {y=Y_{1}(x)} e {y=Y_{2}(x)} são duas soluções de {y''+3y'-4y=0}. Mostre que:

  • {C_{1}Y_{1}(x)+C_{2}Y_{2}(x)} também é uma solução da equação, onde {C_{1}} e {C_{2}} são constantes arbitrárias.
  • Use os resultados anteriores para achar uma solução de uma equação diferencial que satisfaça as condições {y(0)=3}, {y'(0)=0}.

— 1.2. Teorema de Existência e Unicidade, Interpretações Gráficas —

Na última aula, deparamo-nos com uma equação diferencial que tinha solução, apenas não era única. Hoje começaremos por enunciar o teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem.

Teorema 1 Dada uma equação diferencial ordinária de primeira ordem {y'=f(x,y)}, se {f(x,y)} satisfaz as seguintes condições:

  • {f(x,y)} é real, finita, simples valorada e continua em todos os pontos de uma região {\omega} do plano {xy} (podendo conter todos os pontos).
  • {\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}} é real, finita, simples valorada e continua em {\omega}.

Então, existe uma e só uma solução {y=g(x)} em {\omega} tal que {y=y_{0}}, quando {x=x_{0}}, isto é, {y(x_{0})=y_{0}}.

Demonstração: Consulte um bom livro de Análise Funcional. \Box

Uma interpretação gráfica deste teorema é que se {\omega} é uma região na qual as condições especificadas se cumprem, então por qualquer ponto {(x_{0},y_{0})} em {\sigma} passará uma e só uma curva {C} cuja tangente em qualquer ponto de {\sigma} está dada por {y'=f(x,y)}. A solução {y=g(x)} representa a equação desta curva em {\sigma}.

Exemplo 10 Este exemplo foi retirado do livro Murray Spiegel (Equações Diferenciais Aplicadas). Determine se existe uma solução única para o problema de valor inicial

\displaystyle y'=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})},\text{ }y(1)=2.

Demonstração: Temos {f(x,y)=\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}, {\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-y}{\sqrt{9-(x^{2}+y^{2})}}}. Podemos observar então que o conjunto solução se encontra no interior do círculo {x^{2}+y^{2}=9} e inclui o ponto {(1,2)}, então pelo teorema de existÊncia e unicidade ela é única.

\Box

— 1.3. Isoclinas ou Campos de Direcções —

Consideremos a equação diferencial

\displaystyle  y'=f(x,y) \ \ \ \ \ (4)

onde a função à direita depende tanto de {x} quanto de {y}, e saisfaz as condições do teorema de existência e unicidade. Para resolvermos esta equação, se poderia pensar em integrar ambos lados de (4) com respeito a {x} e {y}, i.e., { y(x)=\int f(x,y)dx+C}, infelizmente esta abordagem não conduz à uma solução de (4) porque o integral envolve a mesma função que se quer determinar {y(x)}.

Exemplo 11 A equação {y'=x+y} não pode ser solucionada de modo directo.

Mas, existe um caminho geométrico mais simples para obtermos as soluções da equação diferencial dada {y'=f(x,y)}.

Em cada ponto {(x_{0},y_{0})} da região {\sigma} podemos construir uma linha com tangente igual a {f(x_{0},y_{0})}, ao qual geralmente se chama elemento de linha. Ao fazermos isto para um número suficientemente grande de pontos (campos de direcções da EDO), os elementos de linha representam linhas tangentes a curva solução em cada ponto.

Desta maneira poderemos obter uma representação gráfica da solução sem mesmo resolver a equação. As isoclinas correspondem assim aos pontos onde a iclinação, ou tangente, é constante.

Análise Funcional -Aula 3

— 1.4. Solução dos Problemas Propostos da aula 2 —

Começaremos a aula de hoje solucionando antes os problemas propostos na aula anterior, para quem não teve acesso a aula anterior nós recomendamos que o faça. Para o bem do leitor, muitas vezes darei apenas soluções parciais aos problemas para que dessa forma possas preencher os detalhes que faltam e completar os argumentos.

5.(solução) Basta tomarmos {x=(x_{1},\cdots,x_{n},0,0,\cdots)} e {y=(1,0,0,\cdots)} e substituirmos na desigualdade de Cauchy.

6.(solução) Podemos tomar {x_{n}=(\frac{1}{\ln 2},\frac{1}{\ln 3},\frac{1}{\ln 4},\cdots)=\{\frac{1}{\ln n}\}_{n=2}^{\infty}} e aplicarmos o critério da razão, i.e., para provarmos que ela tende a zendo basta calcularmos o limite da razão com uma sequência que tende a zero. Ao solucionarmos este problema é importante lembrarmo-nos dos conceitos de série e convergência de séries.

7.(solução) Basta tomarmos a conhecida sequencia {x_{n}=\{\frac{1}{n}\}_{n=1}^{\infty}}.

8.(solução) Para a parte a) basta usarmos o facto de que {\delta(A)} é uma cota superior do conjunto {\{d(x,y): x,y\in A\}} e usarmos a propriedade {A\subset B \Longrightarrow \sup A\leq \sup B}.

b)A primeira implicação é facíl, já que se {\sup \{d(x,y): x,y\in A\}=0\Longrightarrow x=y}. A segunda implicação é trivial.

9.(solução) a) Vamos demonstrar apenas que {d_{1}(x,y)} satisfaz a desigualdade triângular.

Sejam {x,y, z\in X} temos:

\displaystyle d(x,y)=\sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq \sqrt{d_{1}^{2}(x_{1},z_{1})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{1})+d_{2}^{2}(x_{2},z_{2})+d_{1}^{2}(z_{2},y_{2})}

\displaystyle \leq d(x,z)+d(z,y)

no ultimo passo usamos a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}.

b) Para a segunda métrica também provaremos apenas a desigualdade triângular:

Uma dica do Kreyszig, basta aplicar o seguinte,

\displaystyle \max_{k=1,2}d_{k}(x_{k},y_{k})

\displaystyle \leq \max_{k=1,2}[d_{k}(x_{k},z_{k})+d_{k}(z_{k},y_{k})]

\displaystyle \leq \max_{i=1,2} d_{i}(x_{i},z_{i})+\max_{j=1,2}d_{j}(x_{j},y_{j})

10.(solução) Muito simples….

11.(solução) Para a desigualdade triângular use a a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b}}.

— 1.5. Topologia Básica dos Espaços Métricos —

Em geral, existem duas maneiras de se introduzir uma extrutura topologica num conjunto. A primeira, usando o conceito primitivo de conjunto aberto e a segunda pelo conceito de distância ou métrica. Nós vamos seguir a segunda abordagem.

Definição 6 Dado {x \in (X,d)} e {r>0}, temos as seguintes definições:

  • (Bola aberta) {B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}.
  • (Bola fechada) {\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}
  • (Esfera){S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}}
Comentário 7 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em {\mathbb{R}^{3}}. Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., {S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}=\emptyset }, para isso, basta tomarmos {r\neq1}.
Exemplo 7 Em {\mathbb{R}}, as bolas abertas e fechadas são os intervalos abertos (resp. fechados), i.e., da forma: {B(x,r)=(x-r,x+r)}.

— 1.5.1. Propiedades das Bolas Abertas —

Seja {(X,d)} um espaço métrico, então:

Proposição 2 Dadas duas bolas abertas {B(x,r_{1})} e {B(x,r_{2})}, então :

\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja {y\in B(x,r_{1})} então

\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}

logo, {y\in B(x,r_{2})}. \Box

Proposição 3 Seja {y} um ponto em {(X,d)} tal que {y\in B(x,r)}, então existe uma bola {B(y,r_{1})} ({r_{1}>0}), tal que

\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)

Demonstração: Seja {y\in B(x,r)}, se tomarmos {r_{1}=r-d(x,y)} teremos:

\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.

\Box

Proposição 4 Sejam {B(x,r_{1})} e {B(y,r_{2})}, tais que {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})\neq \emptyset}. Se {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então existe uma bola aberta de centro {a} contida na intersecção {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}.

Demonstração: Seja {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então pela Proposição anterior existe {B(a,r_{3})}, tal que {B(a,r_{3})\subset B(x,r_{1})} e {B(a,r_{3})\subset B(y,r_{2})}. Seja {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, então

\displaystyle B(a,r)\subset B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2}).

\Box

Proposição 5 Sejam {B(x_{1},r_{1})} e {B(x_{2},r_{2})} duas bolas abertas. Se {r_{1}+r_{2}\leq d(x_{1},x_{2})}, então

\displaystyle B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})=\emptyset.

Demonstração: Suponhamos pelo contrário que {B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})\neq\emptyset}, então {\exists x\in B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})}, logo

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,x_{1})+d(x_{2},x)\leq r_{1}+r_{2}.

\Box

Proposição 6 O diâmetro de uma bola {B(x,r)} satisfaz:

\displaystyle \delta(B(x,r))\leq 2r

Demonstração: Sejam {y,z\in B(x,r)\Longrightarrow d(x,y)<r} e {d(z,x)<r}, então

\displaystyle d(y,z)\leq d(z,x)+d(y,x)<2r

que é uma cota superior do conjunto das distâncias entre dois pontos, logo:

\displaystyle \delta(B(x,r))=\sup_{y,z\in B}d(x,y)\leq 2r.

\Box

Definição 7 Dado um conjunto {A\subset(X,d)}. Dizemos que {x} é um ponto interior de {A} se para todo {r>0} existe uma bola {B(x,r)} tal que:

\displaystyle B(x,r)\subset A

O conjunto de todos os pontos interiores de {A}, denotado por {int(A)} ou {A^{\circ}}, ou seja, {A^{\circ}=\{x\mid x \text{ é um ponto interior de }A\}}. Um conjunto é fechado se o seu complementar é aberto.

Teorema 7 A colecção de todos os subconjuntos abertos de {X} é uma topologia em {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Comentário 8 Muitos estudantes, pelas definições acima podem ser levados a pensar que se um conjunto não é fechado então deve ser aberto. Infelizmente este é um grande absurdo, e.g., {\emptyset} e {X} são ao mesmo tempo abertos e fechados.

— 1.5.2. Propriedades dos Conjuntos Abertos —

Proposição 8 Toda bola aberta é um conjunto aberto.

Demonstração: Ver a Proposição 1.3. \Box

Proposição 9 A intersecção de dois conjuntos abertos é um conjunto aberto.

Demonstração: Sejam {A_{1}} e {A_{2}} dois conjuntos abertos e {A_{3}=A_{1}\cap A_{2}}. Se {x\in A_{1}\cap A_{2}\Longrightarrow \exists B(x,r_{1}),B(x,r_{2})}, basta tomarmos {r=\min\{r_{1},r_{2}\}}, daí {B(x,r)\subset A_{1}\cap A_{2}=A_{3}}. \Box

Uma generalização da proposição acima é a seguinte:

Proposição 10 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto.

Demonstração: Seja {x \in \cap_{k=1}^{n}A_{k} \Longrightarrow x\in A_{k}} para todo {k}. Então existem {r_{k}>0} tais que {B(x,r_{k})\subseteq A_{k}}. Se {r=\min\{r_{1},\cdots,r_{n}\}} então {r>0} e {B(x,r)\subseteq\cap_{k=1}^{n}A_{k}} é um aberto. \Box

Comentário 9 Em geral, a intersecção arbitrária de abertos não é um aberto, basta tomarmos, por exemplo, em {\mathbb{R}} o conjunto {A_{n}=\{x\in \mathbb{R}:-\frac{1}{n}<x<\frac{1}{n}, n\in \mathbb{N}\}}.
Proposição 11 Sejam {A_{1}, A_{2}, \cdots,A_{n}} abertos, então {\cup_{i\in I}A_{i}} é um aberto, onde {I} é um conjunto enumerável.

Demonstração: Deixada como presente para o leitor. \Box

Definição 8 Sejam {(X,d)} e {(Y,\rho)} dois espaços métricos. Uma aplicação {f:X\longrightarrow Y} é contínua no ponto {x_{0}} se para todo {\epsilon >0} existe um {\delta >0} tal que {\rho(f(x),f(x_{0})<\epsilon} para todo {x} satisfazendo {d(x,x_{0})<\delta}, f é dita ser contínua se é contínua em cada ponto de {X}.
Teorema 12 Uma aplicação {f} de um espaço métrico {X} em um espaço métrico {Y} é contínua se e só se a imagem inversa de qualquer subconjunto aberto de {Y} é um subconjunto aberto de {X}.

Demonstração: Deixada para o leitor. \Box

Definição 9 Seja {E\subset X}. {x_{0}\in X} (pode ou não pertencer a {E}) é chamado ponto de acumulação ou ponto limite de {E} se em toda vizinhança de {x_{0}} existe pelo menos um ponto {y\in E} distinto de {x_{o}}. O conjunto formado por todos os pontos de acumulação de {E} é chamado de fecho de {E} e é denotado por {\overline{E}}. Um subconjunto {E} de um espaço métrico {X} é denso em {X} se

\displaystyle  \overline{E}=X.

Um espaço métrico {X} é separavel se contém um subconjunto denso enumerável. Como recomendação final, propomos que o leitor consulte um bom livro de Análise Funcional e resolva todos os problemas propostos relacionados ao tema tratado hoje.

1 – Aula de Matemática Aplicada à Geofísica

Séries Numéricas

— 1. Conceitos Fundamentais —

Definição 1 Uma sucessão de números reais é simplesmente uma sequência infinita de números. Tipicamente utilizamos letras minúsculas para designar sucessões (a,u,v, e assim sucessivamente) e referimo-nos ao n-ésimo termo da sucessão u como {u_n}. como {u_2} designa o segundo termo da sucessão {u}.
Exemplo 1 As seguintes sequências são exemplos de sucessões reais.

  • a) {\{1,2,3,4,5,6,7...\}}
  • b) {\{ 1,4,9,16,25,36...\}} Estas sucessões têm uma regularidade bastante clara. A primeira é a sucessão de números naturais, a Segunda é a Sucessão dos Quadrados Perfeitos.

Teste da Convergencia das Sucessões Uma Sucessão infinita é convergente, se existe o limite da sucessão {a_n}, quando {n \rightarrow } {\infty}.

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n = L

onde {L} é um número.

Exemplo 2

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{2^n} = 0

avaliando para {x=1},

{{ 1, 1^2, 1^3, 1^4,..}} { = 1^n , n = 1, 2, 3,...}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 1^n = 1

. Portanto, para {x=1} é convergente. avaliando para {x=2}, {{2, 2^2, 2^3, 2^4,...}} { = {2,4,8,16,...} = 2^n}

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} 2^n = \infty

. Portanto, para {x=2} é divergente.

Definição 2 Seja {a} uma sucessão chama-se sucessão das somas parciais de {a} à sucessão {S_a} tal que

\displaystyle S(a)_n = a_0+a_1+a_2+...+a_n+... = \sum_{i = 0 }^n a_i

chama-se série a expressão formal que denota a soma de todos os termos de {a},

\displaystyle \sum_{n = 0 }^\infty a_n

e se {\lim S(a)_n}, existir e for finito, dizemos que a série é somável ou convergente e que o seu valor é esse limite. caso contrário diz-se a série é divergente. tal como a definimos, o valor de uma série(também chamado a soma da série)é simplesmente um limite de uma sucessão, a sucessão ds somas parciais doutra sucessão. É precisamente esta definição intuitiva de série como a soma de todos os termos das sucessão: se ao somarmos mais e mais termos o valor da soma se aproxima dum limite, então faz sentido dizer que esse limite é a soma de todos esses valores.

Critérios Para Conferir a Convergência das Séries Numéricas

Definição 3 Critério de Cauchy, Para que a série numérica seja convergente, é necessário e suficiente que para todo {\epsilon>0}, exista {N=N_\epsilon}, tal que para todos os n>1 e p=1,2,…, cumpra-se a desigualdade { \mid S_{n+p} - S_n\mid = \mid u_{n+1} + u_{n+2} + u_{n+3}+...+u_{n+p}\mid<\epsilon} critério necessário de convergência: se a série converge, então

\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} u_n = 0

. Este critério é necessário, mas não é suficiente. Quer dizer que quando uma série não o cumpre, então a série é divergente. Mas se uma série o cumpre, então não pode-se dizer nada sobre a convergência.

Exemplo 3 Mostre que a série

\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n(n+1)}

converge e ache sua soma. repare que a fracção {\frac{1}{x(x+1)}} pode-se representar também como {\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}}, dai que { S_1 = \frac{1}{1.2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1}},

  • { S_2 =\frac{1}{1.2} + \frac{1}{2.3} = \frac{1}{1} - \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3}},
  • { S_3 = \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=\frac{1}{1}-\frac{1}{4}}, e assim por diante. esta propriedadeda da série

    \displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

    chama-se de telescópica. daí que { S_n=1-\frac{1}{n+1}}. portanto,

    \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\lim_{n\rightarrow\infty}(1-\frac{1}{n+1}) = 1

    ; ou seja , a série é convergente e sua soma é igual a 1. Repare-se que neste caso, conferimos que a série é convergente, como consequência de ter determinado sua soma. Como provamos que a série tem soma, então a série é convergente.

Este exemplo é muito especial, porque é relativamente fácil determinar a soma da série

\displaystyle \sum_{n = 1 }^\infty\frac{1}{n(n+1)}

. Nem sempre é possível achar uma expressão para a soma de uma série. Daí que geralmente o mais importante é apenas conferir se a série é ou não é convergente.

 

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