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Continuidade em Espaços Métricos. Continuação.

— 1.2.10. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação —

Agora apresentaremos alguns exemplos de funções contínuas. Vou assumir que os leitores já estão familiarizados com a noção de continuidade apresentada nos cursos de Cálculo, principalmente as funções trigonométricas, logaritimicas e polinomiais. Em seguida, darei alguns exemplos sobre o conceito de continuidade nos espaços métricos.

Proposição 33 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subseteq X}, com {A\neq\emptyset}. Então para todo {x,y\in X} e {z\in A}, temos:

\displaystyle  \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y) \ \ \ \ \ (2)

Demonstração: Como {X} éum espaço métrico, então é válida a desigualdade triângular:

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

tomando o ínfimo para todo {z\in A} e considerando

\displaystyle  d(x,A)=\inf_{z\in A}d(x,z)

e

\displaystyle d(y,A)=\inf_{z\in A}d(y,z)

teremos, {d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)}, e depois trocando {x} e {y} se obtem:

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y)

\Box

Proposição 34 Seja {(X,d)} um espaço métrico, e {x_{0}\in X}. Se definirmos a função distância {f:X\longrightarrow \mathbb{R}}, como

\displaystyle f(x)=d(x,x_{0})

então {f} é contínua.

Demonstração: Para provarmos isto usaremos a Prop. 1.31 assim como a 1.33. Sabemos que uma função é contínua em um ponto {a} se e só se {\forall x_{n}\subset X: x_{n}\longrightarrow a\implies f(x_{n})\longrightarrow f(a)}.

É importante notarmos que na definição da função distância o espaço imagem é basicamente {(Y=\mathbb{R},\rho_{\text{usual}})} portanto, {\rho(f(x),f(y))=\mid f(x)-f(y)\mid}.

Seja {x_{n}} uma sequência de {X} tal que : {x_{n}\longrightarrow a}, então por definição {d(x_{n},a)<\epsilon}, onde {\epsilon>0}. Logo,

\displaystyle \rho(f(x_{n}),f(a))=\mid f(x_{n})-f(a)\mid=\mid d(x_{n},x_{0})-d(x_{0},a)\mid\leq d(x_{n},a)<\epsilon

Portanto, é suficiente tomar {\delta=\delta(a,\epsilon)=\epsilon} e {d(x,a)<\delta}, para garantirmos a continuidade de {f}. E como {a\in X} é arbitrário isto significa que {f(x)=d(x,x_{0})} é contínua para todo {\mathbb{R}}. \Box

Exemplo 13

  1. Se {(X,d)} é um espaço métrico discreto e {(Y,\rho)} um espaço métrico qualquer, então as únicas funções contínuas {f:x\longrightarrow Y} são as funções constantes.

    Para provarmos isto, seja {\epsilon>0} basta tomar {\delta<1}, com {d(x,a)<\delta<1} e como {d} é a métrica discreta, i.e.,

    \displaystyle  d(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.

    então obviamente {d(x,a)=0} o que implica {x=a}. Assim,

    \displaystyle \rho(f(x),f(a))=\rho(f(a),f(a))=0.

  2. A função {f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}} definida como:

    \displaystyle f(k,x)=kx

    é contínua.(É facíl provar, deixada ao leitor, não esquecer que {x\in\mathbb{R}^{n}} é um vector, i.e., {x=(x_{1},\cdots,x_{n})}).

Proposição 35 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {f,g:X\longrightarrow \mathbb{R}} duas funções contínuas. Então:

  1. {(f+g)(x)=f(x)+g(x)} e {(fg)(x)=f(x)g(x)} são contínuas.
  2. Se {f(x)\neq0} para todo {x\in X}, então {h(x)=\frac{1}{f(x)}} é uma função contínua.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

O conceito de continuidade reveste-se de capital importância para a Topologia por isso em aulas subsequentes continuaremos a explorar o conceito até as suas aplicações mais importantes.

Continuidade em Espaços Métricos

— 1.2. Continuidade em Espaços Métricos —

Definição 15 Seja {(X,d)} e {(Y,\rho)} dois espaços métricos, uma função {f:X\longrightarrow Y} é contínua no ponto {a} em {X} se para todo {\epsilon>0} exise um {\delta>0} tal que quando {d(a,x)<\delta} segue que {\rho(f(a),f(x)<\epsilon}.
Comentário 6 Uma função {f} é contínua se é contínua em cada ponto de {X}.
Comentário 7 Se na definição acima fazermos {X=Y=\mathbb{R}} torna-se na definição padrão ensinada nos cursos de cálculo, i.e., para todo {\epsilon>0} existe um {\delta>0} tal que {\mid x-a\mid<\delta} temos {\mid f(a)-f(x)\mid}.

Proposição 31 Se {(X,d)} e {(Y,\rho)} são espaços métricos e {f:X\longrightarrow Y}, então {f} é contínua em {a} se e somente se sempre que {x_{n}\subset X} e {x_{n}\longrightarrow a}, então {f(x_{n})\longrightarrow f(a)} em {Y}.

Demonstração: Suponhamos que {f} é contínua em {a} e {x_{n}\longrightarrow a}. Como {f} é contínua, então para algum {N\geq 1} tal que {d(x_{n},a)<\delta} quando {n\geq N}. Portanto, {\rho(f(x_{n}),f(a)<\epsilon} quando {n\geq N}. Como {\epsilon} é arbitrário, isto significa que {f(x_{n})\longrightarrow f(a)}.

Para provarmos a implicação inversa, suponhamos que {f} não é contínua em {a}, i.e., existe um {\epsilon>0} tal que para todo {\delta>0} existe pelo menos um {x} com {d(x,a)<\delta}, mas {\rho(f(x),f(a))\geq \epsilon}.

Em particular, tomando {\delta=\frac{1}{n}} temos que para todo {n\geq1} existe um {x_{n}} com {d(x_{n},a)<\frac{1}{n}} e {\rho(f(x_{n}),f(a))\geq\epsilon}. Quando {n\longrightarrow\infty} então {x_{n}\longrightarrow a}, e {f(x_{n})} não converge a {f(a)}. \Box

Teorema 32 Se {(X,d)} e {(Y,\rho)} são espaços métricos e {f:X\longrightarrow Y}, então as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. {f} é uma função contínua em {X}.
  2. Se {U} é um subconjunto aberto de {Y}, então {f^{-1}(U)} é um subconjunto aberto de {X}.
  3. Se {V} é um subconjunto fechado de {Y}, então {f^{-1}(V)} é um subconjunto fechado de {X}.

Demonstração: 2. implica 3.:

Note que {f^{-1}(Y-U)=X-f^{-1}(U)} e {f^{-1}(Y-V)=X-f^{-1}(V)}.

1.implica 2.: Seja {a\in f^{-1}(U)} tal que {\alpha=f(a)\in U}. Como {U} é aberto, existe um {\epsilon>0} talque {B(\alpha,\epsilon)\subseteq U}. Como {f} é contínua exise um {\delta>0} tal que {d(a,x)<\delta} implica {\rho(f(a),f(x))<\epsilon}. Em outras palavras, {B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(\alpha,\epsilon))\subseteq f^{-1}(U)}. Como {a} era um ponto arbitrário em {f^{-1}(U)}, isto significa que {f^{-1}(U)} é aberto. \Box

Demonstração do Teorema de Cantor

Demonstração: Na proxima aula. \Box

ilon>0}&fg=000000$, seja {N} tal que {diam F_{n}<\epsilon}, {\forall n\geq N}. Assim, se {m,n\geq N}, então ii) implica que {F_{N}\subseteq F_{n,m}},i.e., {diam F_{N}<diam F_{n}<\epsilon}, logo {x_{n}} é uma sequência de Cauchy, e como {(X,d)} é completo, então {\exists x\in X}: {x_{n}\longrightarrow x}.

Como cada {F_{n}} é fechado, então {x\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}. Se {\exists y\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}, então {d(x,y)\leq diam F_{n}}, logo {x=y}.

Seja agora {x_{n}} uma sequência de Cauchy. Tomando {F_{n}=\overline{\{x_{n+1}, x_{n},\cdots\}}}. Claramente {F_{n}} é fechado e decrescente. Seja {\epsilon>0} e seja {N} tal que {d(x_{n},x_{m})<\epsilon}, {\forall m,n\geq N}. Como {diam F_{k}=\sup\{d(x_{n},x_{m}):m,n\geq k\}\leq\epsilon\Longrightarrow diam F_{k}\longrightarrow0}.

Para qualquer {n\geq 1}, {d(x,x_{n})\leq diam F_{n}\longrightarrow0}, i.e., {x_{n}\longrightarrow x}, logo {(x,d)} é completo.

\Box

Topologia dos Espaços Métricos e Sequências

— 1.1.8. Topologia dos Espaços Métricos e Sequências —

Proposição 24 Seja {(X,d)} um espaço métrico. Um subconjunto {F} de {X} é fechado em {(X,d)}, se e só se, toda sequência de pontos em {F} converge para um ponto em {F}. ({\forall x_{n}\subset F: x_{n}\longrightarrow x\implies x\in F}).

Demonstração: Primeiramente temos de provar que se {x_{n}\subset F}, { x_{n}\longrightarrow x} e {F} é fechado, então {x\in F}.

Suponhamos pelo contrário que {x\notin F}, então {x\in X-F} que é aberto, logo pela definição 1.4, {\exists r>0: B(x,r)\subseteq X-F}, então a partir de uma certa ordem deve existir um {N}, tal que para todo {n\geq N}, {d(x_{n},x)<r}, i.e., {x_{n}\in B(x,r)\subseteq X-F}, o que é uma contradição,já que por hipótese {x_{n}\in F}. Portanto, {x\in F}.

Se {x\in F}, então {x\in\widehat{F}}, pela definição 1.5 {B(x,r)\cap F\neq\emptyset} {\forall r>0}. Em particular, para todo natural {n} existe umponto {x_{n}} em {B(x,\frac{1}{2n})\cap F}. Por isso {x_{n}\subset F} e {d(x,x_{n})<\frac{1}{2n}}, assim {x_{n}\longrightarrow x} e {x\in F}. \Box

Definição 14 Um espaço métrico é completo se toda sucessão de Cauchy nesse espaço é convergente.
Exemplo 12 Todo espaço métrico discreto é completo porque suas sucessões de Cauchy são constantes.
Lema 25 Se {x_{n}} é uma sucessão de Cauchy de elementos de {\mathbb{R}}, então sua imagem é um conjunto limitado.
Teorema 26 {\mathbb{R}} é completo.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Proposição 27 Se {(X,d)} é um espaço métrico completo e {Y\subseteq X}, então {(Y,d)} é completo se e só se {Y} é fechado em {X}.
Corolário 28 Os subconjuntos fechados de {\mathbb{R}} são espaços métricos completos.
Proposição 29 Todo producto {X_{1}\times \cdots \times X_{n}} de espaços métricos completos {X_{1},\cdots, X_{n}}, é um espaço métrico completo.
Teorema 30 (Cantor) Um espaço métrico {(X,d)} é um espaço métrico completo se e só se sempre que {\{F_{n}\}} é uma sequência não vazia de subconjuntos satisfazendo:

  • Cada {F_{n}} é fechado;
  • {F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq\cdots};
  • {diam F_{n}\longrightarrow 0}, então {\cap_{n=1}^{\infty}F_{n}} é um único ponto.

Demonstração: Na proxima aula. \Box

Espaços Métricos e Sequências

Aula 6

— 1.1.7. Espaços Métricos e Sequências —

Nesta aula introduziremos o conceito de sequências em espaços métricos. Embora este conceito já seja conhecido de modo elementar no espaço dos números reais, {\mathbb{R}}, procederemos à generalização do mesmo para qualquer espaço métrico {X}

Definição 11 Seja {(X,d)} um espaço métrico. Uma sequência, num espaço métrico, é uma aplicação {x:\mathbb{N}\longrightarrow X}, onde os {(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}} são pontos em {(X,d)}.
Exemplo 10 Em particular se tomarmos {X=\mathbb{R}} retornaremos ao conceito usual de sequências.
Definição 12 Uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} converge para {x}, i.e., {x_{n}\longrightarrow x}, se {\forall\epsilon>0} {\exists N>0}: {d(x_{n},x)<\epsilon}, {\forall n\geq N(\epsilon)}.
Exemplo 11 Seja {(X,d)} o espaço métrico discreto, então uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} converge para {x} se e só se existe um inteiro {N} tal que {x_{n}=x} sempre que {n\geq N}.
Proposição 21 Se {x_{n}\longrightarrow x} em {X} e {\{x_{n_{k}}\}} é uma subsequência, então {x_{n_{k}}\longrightarrow x}.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Definição 13 Uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} é de Cauchy se {\forall\epsilon>0} {\exists n_{0}\in\mathbb{N}} tal que {d(x_{m},x_{n})<\epsilon}, para todo {m,n\geq n_{0}}.
Proposição 22 Toda sucessão {x_{n}} convergente de {X} é de Cauchy.

Demonstração: A proposição acima basicamente diz que se uma sucessão é convergente, então ela é de Cauchy.

Como por hipótese, {x_{n}\longrightarrow x}, então pela definição 1.12, {d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}} para algum {\epsilon>0} e para todo {n\geq n_{0}}, onde {n_{0}\in\mathbb{N}}. De modo similar, a partir de uma certa ordem,{m}, temos {d(x_{m},x)<\frac{\epsilon}{2}}, com {m\geq n_{0}}. Portanto, aplicando a desigualdade triângular obtemos:

\displaystyle  d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.

\Box

Em geral,a recíproca da proposição anterior é falsa. Para isto, consideremos por exemplo a sucessão {x_{n}=\frac{1}{n}} no espaço {X=\mathbb{R}-\{0\}} com a métrica euclidiana usual.

Proposição 23 Se {\{x_{n}\}} é uma sequência de Cauchy e alguma subsequência de {X_{n}} converge para {x}, então {x_{n}\longrightarrow x}.

Demonstração: Por hipótese temos que {x_{n_{k}}\longrightarrow x} para algum {\epsilon>0}. Seja {N_{1}, N_{2}\in\mathbb{N}} tal que {d(x_{n_{k}},x)<\frac{\epsilon}{2}}, para todo {n_{k}\geq N_{1}}. Por outro lado, como {x_{n}} é umasequência de Cauchy, então {d(x_{m},x_{n})<\frac{\epsilon}{2}}, para {m,n\geq N_{2}}. Fixemos {n_{k}>N} e seja {N=\max\{N_{1},N_{2}\}}, então:

\displaystyle d(x,x_{n})<d(x,x_{n_{k}})+d(x_{n_{k}},x_{n})<\epsilon.

\Box

Estados Estacionários III

Prove que para soluções normalizáveis a constante de separação {E} deve ser real .

Vamos escrever {E} Como

\displaystyle E=E_0+i\Gamma

Então a equação de onda fica

\displaystyle  \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}

{\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2\, dx \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x,t)^*\psi(x,t)e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}\, dx \\ &= e^{\frac{2\Gamma}{\hbar}t}\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x,t)|^2\, dx \end{aligned}}

A expressão final tem que ser igual a {1} para todos os valores de {t} . A única maneira de isso acontecer é tendo {\Gamma=0}. Portanto {E} é real.

Mostre que a função de onda independente do tempo pode ser sempre considerada como uma função de valor real.

Sabemos que {\psi(x)} é uma solução de

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V\psi=E\psi

Tomando o complexo conjugado da equação anterior

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi^*}{d x^2}+V\psi^*=E\psi^*

Assim {\psi^*} é também uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo.

A seguir vamos mostrar que se {\psi_1} e {\psi_2} são soluções da equação de Schroedinger independente do tempo com energia {E}, então sua combinação linear também é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo com energia {E}.

Seja

\displaystyle  \psi_3=c_1\psi_1+c_2\psi_2

a combinação linear.

{\begin{aligned} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi_3}{d x^2}+V\psi_3 &= -\frac{\hbar^2}{2m}\left( c_1\dfrac{\partial ^2\psi_1}{\partial x^2}+c_2\dfrac{\partial ^2\psi_2}{\partial x^2} \right)+ V(c_1\psi_1+c_2\psi_2)\\ &= c_1\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2\psi_1}{\partial x^2}+V\psi_1 \right)+c_2\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2\psi_2}{\partial x^2}+V\psi_2 \right)\\ &= c_1E\psi_1 + c_2E\psi_2\\ &= E(c_1\psi_1+c_2\psi_2)\\ &= E\psi_3 \end{aligned}}

Depois de mostrar este resultado, é óbvio que {\psi+\psi^*} e que {i(\psi-\psi^*)} são soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo. Além de serem soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo, também é evidente, a partir de sua construção, que essas funções são funções reais. Uma vez que eles têm o mesmo valor {E} como {\psi} podemos usar qualquer um deles como uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo

Mostre que se {V(x)} é uma função par então {\psi(x)} pode ser escrita na forma de uma função par ou uma função ímpar .

Uma vez que {V(x)} é par sabemos que {V(-x)=V(x)}. Agora precisamos provar que se {\psi(x)} é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo {\psi(-x)} também é uma solução.

Fazendo a mudança de variável {x} para {-x} na equação de Schroedinger independente do tempo

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d (-x)^2}+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Para percebermos a equação anterior vamos simplificar

\displaystyle \dfrac{d^2}{d (-x)^2}

Vamos introduzir a variável {u} e defini-la como {u=-x}. Então

\displaystyle \frac{d}{du}=\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}=-\frac{d}{dx}

E para a segunda derivada é

\displaystyle  \frac{d^2}{du^2}=\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}=\left(-\frac{d}{dx}\right)\left(-\frac{d}{dx}\right)=\frac{d^2}{dx^2}

Na última expressão {u} é uma variável muda e, portanto, pode ser substituída por qualquer outro símbolo.

Por conveniência, vamos fazer a mudança de variável {u=x}:

(veja também este artigo Derivadas Parciais e Física Estatística )

\displaystyle \dfrac{d^2}{d (-x)^2}=\dfrac{d^2}{d x^2}

Pelo que a nossa expressão inicial fica:

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d x^2}+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Sabemos que {V(x)} é par. Logo

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d x^2}+V(x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Assim {\psi(-x)} também é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo.

Uma vez que {\psi(x)} e {\psi(-x)} são soluções para a equação Schroedinger independente do tempo sempre que {V(x)} é uma função par, podemos construir funções pares e ímpares que são soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo.

As funções pares são construídas como

\displaystyle  h(x)=\psi(x)+\psi(-x)

e as funções ímpares são construídas como

\displaystyle  g(x)=\psi(x)-\psi(-x)

Uma vez que podemos escrever

\displaystyle  \psi(x)=\frac{1}{2}(h(x)+g(x))

mostramos que qualquer solução para a equação de Schroedinger independente do tempo pode ser expressa como uma combinação linear de funções pares e ímpares quando a função potencial é uma função par.

Estados Estacionários II

Agora, vamos apresentar algumas características das soluções separáveis, para melhor compreender a sua importância:

— Estados estacionários —

A função de onda é

\displaystyle \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}

e é óbvio que depende de {t}. Por outro lado, a densidade de probabilidade não depende de {t}. Esse resultado pode ser facilmente comprovado com a suposição implícita de que {E} é real (num exercício posterior veremos porque {E} tem que ser real).

\displaystyle \Psi(x,t)^*\Psi(x,t)=\psi^*(x)e^{i\frac{E}{\hbar}t}\psi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}=|\psi(x)|^2

Se estivéssemos interessados em calcular o valor médio de qualquer variável dinâmica, veríamos que esses valores são constantes no tempo.

\displaystyle  <Q(x,p)>=\int\Psi^*Q\left( x,\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right)\Psi\, dx

Em particular {<x>} é constante no tempo e como consequência {<p>=0}.

— Energia total definida —

Como vimos na mecânica clássica, o Hamiltoniano de uma partícula é

\displaystyle  H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x)

Fazendo as substituições apropriadas, o operador da mecânica quântica correspondente é (na mecânica quântica os operadores são denotados por um chapéu):

\displaystyle \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V

Portanto, a equação de Schroedinger independente do tempo pode ser escrita da seguinte forma:

\displaystyle  \hat{H}\psi=E\psi

O valor médio do Hamiltoniano é

\displaystyle <\hat{H}>=\int\psi ^*\hat{H}\psi\, dx=E\int|\psi|^2\, dx=E

Também temos

\displaystyle \hat{H}^2\psi=\hat{H}(\hat{H}\psi)=\hat{H}(E\psi)=E\hat{H}\psi=EE\psi=E^2\psi

Logo

\displaystyle  <\hat{H}^2>=\int\psi ^*\hat{H}^2\psi\, dx=E^2\int|\psi|^2\, dx=E^2

E a variância é

\displaystyle \sigma_{\hat{H}}^2=<\hat{H}^2>-<\hat{H}>^2=E^2-E^2=0

Em conclusão, para um estado estacionário, toda medição de energia tem o valor {E} uma vez que a distribuição de energia tem valor {E}.

— Combinações lineares —

A solução geral da equação de Schroedinger é uma combinação linear de soluções separáveis.

Veremos em exemplos e exercícios futuros que a equação de Schroedinger independente do tempo contém um número infinito de soluções. Cada uma dessas diferentes funções de onda está associada a uma constante de separação diferente. O que quer dizer que para cada nível de energia permitido existe uma função de onda diferente.

Para a equação de Schroedinger dependente do tempo, qualquer combinação linear de uma solução é também uma solução. Depois de encontrar as soluções separáveis, a tarefa é construir uma solução mais geral da forma

\displaystyle \Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\psi_n(x)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\Psi_n(x,t)

Todas as soluções da equação de Schroedinger dependente do tempo podem ser escritas desta forma, sendo que as condições iniciais do problema sendo estudado fixando os valores das constantes {c_n}.

Tudo isto pode ser um bocado abstrato e como tal vamos resolver alguns exercícios.

Como exemplo, vamos calcular a evolução temporal de uma partícula que começa numa combinação linear de dois estados estacionários:

\displaystyle  \Psi(x,0)=c_1\psi_1(x)+c_2\psi_2(x)

Para a nossa discussão, vamos assumir que {c_n} e {\psi_n} são reais.

Assim a evolução temporal da partícula é:

\displaystyle \Psi(x,t)=c_1\psi_1(x)e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}

Para a densidade de probabilidade é

{\begin{aligned} |\Psi(x,t)|^2 &= \left( c_1\psi_1(x)e^{i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{i\frac{E_2}{\hbar}t} \right) \left( c_1\psi_1(x)e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t} \right)\\ &= c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2+2c_1c_2\psi_1\psi_2\cos\left[ \dfrac{E_2-E_1}{\hbar}t \right] \end{aligned}}

Como podemos ver, embora {\psi_1} e {\psi_2} sejam estados estacionários e, portanto,a sua densidade de probabilidade é constante, a densidade de probabilidade da função de onda final oscila sinusoidalmente com frequência angular {(E_2-E_1)/t}.

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