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Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas II
Recordando o Teorema 77 vamos agora introduzir a noção de resto de uma série.
Definição 50 Seja
como sendo o resto de ordem |
Como
vem que
Assim é
Fazendo vem que
Usando métodos apropriados podemos ainda enquadrar o resto de ordem .
Fazendo
Podemos definir
vem que
e
Assim
Ou seja
Temos assim
com
e portanto
Teorema 78
Uma série de termo geral não negativo converge sse a respectiva sucessão das séries parciais for majorada. Demonstração:
Seja Por definição é Logo
Assim
Reciprocamente, se
Então
Assim
Mas
Assim
|
Ainda que o teorema anterior seja um teorema bastante útil convém notar que não providencia em si próprio um critério de convergência.
Teorema 79 {Critério da Comparação}
Sejam Demonstração: Como 82 é o contra-recíproco de 81 vamos somente provar a equação 81.
Suponha-se
Sendo então Por outro lado como
vem que De 83 vem então
Assim a série Como (Teorema 76) vem que
|
Corolário 80
Nas condições do teorema anterior, se existe uma ordem
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Corolário 81
Nas condições do teorema anterior, se então
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Corolário 82
Nas condições do teorema anterior, se então
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Podemos então resumir o resultado anterior com o seguinte:
Em séries de termos gerais não negativos podemos substituir o termo geral por outro assimptoticamente igual sem alterar a natureza da série.
Cálculo I – Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas
— 8.2. Generalização às séries de algumas propriedades das somas finitas —
Teorema 73 Se Demonstração: Temos efectivamente
|
Corolário 74
Se
Demonstração: Se
Reciprocamente, suponha-se que |
Para simplificação de linguagem vamos introduzir o símbolo como sendo equivalente à expressão “têm a mesma natureza”.
Assim quando escrevermos queremos dizer que as séries
e
têm a mesma natureza.
Teorema 75 Se
Demonstração: |
Teorema 76 {Teorema da Mudança de Índice de Série} As séries
Demonstração: Fica como um exercício para o leitor. |
Como aplicação do teorema anterior vamos calcular
Onde temos que .
Temos então
Assim fica
Utilizando a estenografia introduzida anteriormente podemos escrever:
Podemos então dizer o seguinte:
A natureza de uma série não depende do valor do índice onde começa a série.
Cálculo I – Somas de Mengoli
— 8.1. Somas de Mengoli —
Nesta subsecção vamos introduzir as somas de Mengoli, também chamadas de somas telecópicas.
Assim sendo,
converge sse a sucessão é convergente e temos
Exemplo 4
Ora para a equação 74 é válido a seguinte igualdade: Assim fica Ou seja, o que nós temos é |
Exemplo 5
Vamos agora olhar para outro exemplo de uma série de Mengoli
Podemos reescrever a equação 75 da seguinte forma: que é uma série de Mengoli divergente. |
Em geral é muito difícil achar o valor de uma série. É então preciso construirmos métodos que nos possibilitem obter conhecimento sobre a natureza de uma série mesmo que não sejamos capazes de calcular o seu valor.
Vamos então começar a construir uma teoria que nos permita obter conhecimento sobre uma série sem ser necessário efectuar cálculos.
Teorema 71
Se Demonstração: Seja Pondo Assim também é Ou seja E portanto |
Corolário 72
Se Demonstração: É o contra-recíproco do Teorema 71 |
Tomemos
Se ,
. Ora
não tende para
. Logo
também não tende para
. Assim
diverge.
Cálculo I – Introdução às Séries Numéricas
— 8. Introdução às Séries Numéricas —
Tomemos os termos de uma sucessão onde
para um certo
. Ou seja temos
,
, ,
, …, ,
,…
Uma questão que podemos colocar de forma bastante natural é qual é o resultado da soma destes termos:
A soma que contém um número infinito de termos acima definida tem o nome de: série de termo geral .
Seja .
Tomando o limite
podemos definir de forma matematicamente rigorosa o valor da soma da série.
Podemos ainda definir a sucessão das somas parciais de uma série,
e escrever
Dizemos que a série converge se e só se é convergente.
Após estas definições iniciais referentes à séries numéricas vamos olhar para um dos paradoxos de Zenão como motivação para a introdução da teoria das séries numéricas.
Imaginemos que temos um corpo que vai percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade constante de .
Se alguém nos perguntar qual será o intervalo de tempo necessário para percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade de 1 não precisamos de ser grandes físicos para responder que o tempo total será de 2 segundos.
No entanto sabemos que o corpo em questão antes de percorrer a totalidade do seu percurso terá que percorrer antes de mais a sua metade. E antes de percorrera metade terá que percorrer a metade da metade. E assim sucessivamente. A expressão que permitirá expressar a soma dos intervalos de tempo referentes às distâncias parciais face à distância total é:
Na altura em que este paradoxo foi proposto a teoria matemática não era tão avançada como é hoje em dia e questão de qual seria o resultado desta soma era também uma questão de debate filosófico.
Assim sendo a resposta a esta questão tinha duas possibilidades.
Por um lado, Zenão argumenta que o resultado da soma era infinito pois estávamos a somar um número infinito de parcelas que são sempre maior do que
, e por outro lado toda a gente sabia que do ponto de vista experimental a resposta deveria ser
.
É precisamente esta tensão entre as duas respostas que dá o nome a este argumento de um paradoxo. Por um lado nós sabemos qual é a resposta correcta, mas não somos capazes de providenciar um argumento que a justifique de uma forma matematicamente rigorosa.
Definição 49 Uma série geométrica de razão
|
Para as series geométricas é válido o seguinte:
Se vem que
quando
.
Assim vem que
Assim podemos escrever com todo o rigor matemático
Caso se tenha a série diverge.
Voltando então ao paradoxo de Zenão e utilizando este simples resultado derivado por nós vem que:
Que é a resposta que nós sabemos estar correcta!
Exercícios Resolvidos
— 1. Introdução —
A pedido de um dos nossos leitores vamos publicar alguns exercícios resolvidos para ajudá-lo a ele e aos seus colegas na compreensão da matéria de Cálculo I para o curso de Gestão e Economia.
— 2. Exercícios —
Exercício 1 Considera a sucessão
|
Exercício 2 Prove que a sucessão de termo geral
é uma sucessão crescente. Tal como vimos no exercício anterior para calcularmos a monotonia de uma função temos que calcular o termo
Uma vez que E que Temos que E assim é
Logo |
Exercício 3
Dada a sequência do exemplo anterior, justifique que são limitadas as seguintes sucessões
Ora Por outro lado vamos calcular o limite da sucessão.
Uma vez que A sucessão diz-se limitada.
Por outro lado
Uma vez que A sucessão diz-se limitada.
Por outro lado
Uma vez que A sucessão diz-se limitada.
Por outro lado
Uma vez que A sucessão diz-se não limitada. |
Análise Matemática – Cálculo Diferencial III
Teorema 65 {Teorema de Cauchy} Sejam
Demonstração: Temos Seja
e vamos definir
Aplicando o teorema 63 em |
O Teorema anterior de certa forma é mais um Lema do que propriamente um Teorema. Dizemos isso porque não obstante seja um resultado importante por si próprio ele é bastante útil para provarmos outros teoremas. Para além disso este resultado pode ainda ser interpretado com um algoritmo que nos permite obter aproximações (muito) locais para funções na vizinhança de um dado ponto.
Teorema 66 {Primeira regra de Cauchy} Sejam
Se
Demonstração: Seja
Aplicando o Teorema 65 a cada intervalo
Com
Então E pela definição de limite. Então Assim pela definição de limite é
Analogamente se para
Aplicando o Teorema 65 a cada intervalo
Com Analogamente ao que vimos atrás fica
Finalmente façamos
Assim, para este caso também é
O caso |
Teorema 67 {Segunda regra de Cauchy} Sejam
Demonstração: Deixada como um exercício para o leitor. |
Os dois teoremas anteriores são conhecidos por uma variedade de nomes na literatura matemática e são sobejamente utilizados para calcularmos limites. Como sempre daremos alguns exemplos para demonstrar a sua utilidade.
Exemplo 1 As funções Como sempre um método que consegue demonstrar um mesmo resultado de uma forma mais rápida e eficiente é um método mais poderoso.
|
Como exercício calcule:
Vamos agora demonstrar mais um resultado matemático que é muito importante para a Física, a um nível conceptual pode ser interpretado tanto de forma geométrica como de forma cinemática e que tem o nome de teorema de Lagrange.
Teorema 68 {Teorema de Lagrange} Sejam
Demonstração: No teorema 65 faça-se |
Como dissemos anteriormente este teorema pode ser interpretado de uma forma geométrica ou de uma forma cinemática.
Geometricamente podemos dizer que a secante a função que passa pelas extremidades de
tem um determinado declive e que podemos sempre encontrar uma tangente à função
no intervalo
cujo declive é o mesmo que o da recta secante. Assim podemos dizer que a recta tangente é paralela à recta secante.
A interpretação cinemática diz-nos que se representa o tempo e que se
representa a posição (num movimento unidimensional) então
representa a distância percorrida no intervalo de tempo
com uma velocidade média de
Neste contexto sabemos que é a velocidade instantânea e assim sendo o Teorema 68 diz-nos que existe um instante de tempo
para o qual a velocidade instantânea é igual à velocidade média em todo o intervalo de tempo.
Exemplo 3 Mostre que
Seja
com Então
Vamos agora assumir que
com Então
De notar que não tivemos que inverter o sinal da desigualdade quando multiplicámos por |
Vamos agora enunciar dois importantes corolários para o teorema anterior.
Corolário 69 Sejam
Demonstração: Por redução ao absurdo vamos assumir que
com
Assim |
Corolário 70 Sejam
Demonstração: Vamos analisar o caso
com
Uma vez que |
Com estes resultados terminamos o capítulo de Cálculo Diferencial no nosso curso de Análise Real. Os nossos próximos artigos teóricos irão debruçar-se sobre a Teoria das Séries Numéricas
Análise Matemática – Cálculo Diferencial II
Teorema 60 {Diferenciabilidade da função composta} Seja Usando a notação de Leibniz podemos escrever o teorema da seguinte maneira
Que é uma forma bastante mais sugestiva de escrever o teorema anterior pois parece sugerir que podemos cortar os termos
Demonstração: Seja
com
Tomando Assim
Uma vez que Assim
Tomando o limite Que é equivalente a |
Como aplicação do teorema 60 vamos estudar alguns exemplos simples:
-
Ora
. Tomemos
. Assim
Temos então
- Seja
e
. Calcule
.
Que é uma generalização para a regra da derivada da potência de expoentes inteiros.
Assim
-
Tal como no primeiro exemplo temos a seguinte estrutura que pretendemos derivar:
onde
e
.
Assim
Assim para
vem
Em particular podemos calcular
Uma vez que sempre que
temos sempre
Tal como no teorema 60 vamos agora analisar um caso de interesse.
Seja e
, então podemos definir
.
Ora
-
é diferenciável
-
em
-
é contínua em
é contínua
Então
Finalmente
Escrevendo de uma maneira mais normal
Em geral podemos ainda definir derivadas de ordem superior através de uma definição recursiva.
Vamos denotar a derivada de ordem de
por
. Em primeiro lugar dizemos que
. Agora para
é
Ou seja:
-
-
-
- …
-
Dado a exposição anterior faz sentido introduzir a seguinte definição:
Definição 43 Uma função |
Já sabemos que uma função diferenciável é contínua mas será que a derivada de uma função diferenciável também é contínua?
A resposta a esta questão é um não e vamos apresentar o seguinte (contra)exemplo como evidência:
É fácil ver que é diferenciável em
Mas não é contínua em
. Fica como um exercício para o leitor calcular
e
.
Aparentemente a derivada de uma função ou é contínua ou é fortemente descontínua.
Continuando a nossa exposição vemos que faz sentido introduzirmos uma definição que caracteriza as funções de acordo com as propriedades das suas funções derivadas.
Definição 44 Uma função |
É fácil ver que uma função de classe também é uma função de classe
.
Uma função diz-se ser de classe se tem derivadas finitas de todas as ordens (que são necessariamente contínuas).
Se são
vezes diferenciáveis em
então
,
,
também são
vezes diferenciáveis em
.
Definição 45 Seja
|
Definição 46 Seja
|
Teorema 62 {Teorema do extremo interior} Seja
Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que
Por definição é Por hipótese temos Assim Pelo corolário 31 (Análise Matemática – Limites e Continuidade II) vem Da mesma forma Assim
Uma vez que |
Teorema 63 {Teorema de Rolle} Seja
Demonstração: Uma vez que
Se para
Seja agora |
Corolário 64 Seja
Demonstração: Usando o método de redução ao absurdo vamos assumir que |
Análise Matemática – Cálculo Diferencial I
— 7. Cálculo Diferencial —
Definição 37
Seja
Este limite é representado por |
Geometricamente podemos interpretar o valor da derivada no ponto como sendo igual ao declive da recta tangente à curva que passa pelo ponto
.
Pensando em termos cinemáticos sabemos que podemos representar a evolução da posição de uma partícula pela função . Deste modo podemos definir a velocidade média da partícula no intervalo
por
Se quisermos determinar a velocidade da partícula num dado instante de tempo temos que partir da definição anterior e fazer com que o intervalo de tempo seja o mais pequeno e próximo possível do instante para o qual queremos saber a velocidade. Se é uma função bem comportada o limite existe e podemos defini-lo como sendo o valor da velocidade no instante (velocidade instantânea):
Assim o conceito de derivada serve para unificar dois conceitos que à partida eram distintos:
- O conceito de recta tangente a uma curva, que é um conceito puramente geométrico.
- O conceito de velocidade instantânea, que é um conceito puramente cinemático.
O facto de dois conceitos aparentemente díspares serem unificados por um objecto matemático é uma indicação da importância e profundidade do conceito de derivação.
Definição 38
Seja
|
Definição 39
Seja
|
Definição 40
Se |
Definição 41
Seja |
Definição 42
Fazendo a mudança de variável
|
Finalmente vamos introduzir a notação de Leibniz para denotar a derivada de :
-
representa o incremento em
.
-
representa o incremento em
.
Se os incremento são infinitamente pequenos, ou seja, se os incrementos são infinitesimais podemos representa-los por
-
é o acréscimo infinitesimal em
.
-
é o acréscimo infinitesimal em
.
Assim podemos escrever a derivada como
Como exemplo vamos calcular a derivada da função .
Para .
Como outro exemplo vamos agora calcular a derivada de
Para .
Fica como um exercício para o leitor demonstrar as seguintes igualdades:
-
.
-
.
Corolário 58
Seja Demonstração:
Seja
Uma vez que |
Corolário 59
Seja Demonstração: Do Teorema 57 é
|
Do Corolário 59 segue que todas as funções diferenciáveis são necessariamente contínuas. Será que o recíproco deste Corolário também é uma proposição válida?
A resposta a esta questão é: Não! Como um simples contraexemplo temos a função módulo.
Que é uma função contínua mas não é diferenciável pois no ponto a derivada não existe. Uma maneira simples de ver que a derivada em
não existe é notar
enquanto que
.
Dito de uma forma informal vemos que a derivada de uma função num dado ponto não existe sempre que a função tenha forma de um bico nesse ponto.
Um exemplo mais extremo de uma função que é contínua mas não é diferenciável é a função de Weierstrass:
com ,
um número ímpar positivo, e
.
Esta função é contínua em todos os pontos do seu domínio e no entanto não é diferenciável em nenhum ponto do seu domínio. Na nossa linguagem informal, que corresponde a uma intuição geométrica ingénua, podemos dizer que a função de Weierstrass tem bicos em todos os pontos do seu domínio, algo que não é fácil de visualizar.
Análise Matemática – Limites e Continuidade VII
— 6. Propriedades globais de funções contínuas —
Teorema 51 {Teorema do valor intermédio} Seja
Demonstração: Omitida. |
De uma forma intuitiva podemos dizer que o teorema anterior mostra que se o gráfico de uma função contínua não tem buracos se o domínio dessa função também não tem buracos.
Corolário 53 Seja
Demonstração: Seja
|
Como uma aplicação dos resultados anteriores vamos olhar para com
ímpar e
. Sabemos que é
para grandes valores (sejam eles positivos ou negativos) de
. Temos
e
.
Uma vez que
-
é uma função contínua.
- O domínio,
de
é
que é um intervalo.
-
e
, o que implica que
Pelo Corolário 52 é . O que implica que todos os polinómios ímpares têm pelo menos um
.
Teorema 54 {Continuidade da função inversa} Seja
Demonstração: Omitida. |
Este teorema tem muitas aplicações importantes e vamos utiliza-lo para definir as funções inversas das funções trigonométricas.
— Arco seno —
No intervalo a função
é injectiva:
Deste modo podemos definir o inverso da função seno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função seno por :
Uma vez que temos vem que
. Usando o Teorema 54
é contínua.
A representação gráfica de é
É evidente pelo gráfico que é uma função ímpar.
— Arco tangente —
No intervalo a função
é injectiva:
Deste modo podemos definir o inverso da função tangente neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função tangente por :
Uma vez que vem que
. Usando o Teorema 54
é contínua.
A representação gráfica de é
É evidente pelo gráfico que é uma função ímpar.
— Arco coseno —
No intervalo a função
é injectiva:
Deste modo podemos definir o inverso da função coseno neste domínio. Matematicamente representamos o inverso da função coseno por :
Uma vez que vem que
. Usando o Teorema 54
é contínua.
A representação gráfica de é
Podemos ainda representar a função arco coseno usando a seguinte equação
para escrever
— 6.4. Funções contínuas e intervalos —
Teorema 55 Seja
Demonstração: Seja
Uma vez que os termos de
Uma vez que
Seja
Uma vez que
Mas
Concluindo vem que
Para o mínimo podemos construir uma prova análoga que fica como um exercício para o leitor. |
Uma mnemónica útil para recordamos o teorema anterior é
Funções contínuas têm um máximo e um mínimo num intervalo compacto.
Teorema 56 Seja
Demonstração: Pelo Corolário 53
Assim
Logo |
O corolário anterior pode ser expressado da seguinte forma (mais uma mnemónica útil):
Uma função contínua transforma intervalos compactos em intervalos compactos.
Análise Matemática – Limites e Continuidade VI
— 5. Exemplos de propriedades para funções contínuas —
Definição 36 Seja |
Como uma aplicação da definição acima vamos estudar a função . Temos
. Uma vez que
podemos definir
como
Como segundo exemplo temos . Uma vez que
e
não podemos definir
para
. Finalmente temos a função
. Sabemos que é
. Ainda que os limites sejam iguais não podemos definir
, visto que a função não é majorada. Em geral podemos dizer que dado
e
existe, sse
existe e é finito.
Teorema 42 Seja Demonstração: Vamos mostrar que |
Seja . Tomemos
,
e
. Já sabemos que as funções anteriores são funções contínuas. Ora
e
também são funções contínuas.
é contínua visto ser o produto de
funções contínuas. Finalmente
é contínua visto ser a soma de funções contínuas.
Como uma aplicação do teorema anterior vamos estudar a função . Visto que
, podemos escrever
.
é contínua e
também é contínua. Assim
também é contínua visto resultar da composição de duas funções contínuas. Pelo mesmo argumento também podemos mostrar que para
,
(com
) é contínua em
.
Teorema 44 Seja Demonstração: Demonstração omitida. |
Calcule . Podemos escrever
. Uma vez que é
vem que, pelo Teorema 44 que,
. Em geral podemos dizer que se
vem que
. Concluindo:
Vamos admitir que e seja
a função que torna
contínua em
. Temos
, logo também é
. Por definição
é contínua. Logo pelo Teorema 44
. Assim podemos concluir que quando temos
vem que
Por exemplo . Seja
. Pelo Teorema 44 é
(com as convenções
e
). Logo
. De forma análoga podemos mostrar que
com as convenções
e
). Seja
. Temos
(visto
). Por outro lado, para
também é
. O que nós queremos saber é qual é o valor de
, visto que a resposta a esta pergunta nos dirá qual das funções cresce mais rápido.
Teorema 45 Seja Demonstração: Seja Seja |
Podemos sintetizar o conteúdo do teorema anterior na seguinte forma:
A exponencial de base
cresce mais rapidamente que qualquer potência do seu expoente.
Corolário 46 Seja Demonstração: Fica com um exercício para o leitor. Lembre-se de fazer a mudança de variável apropriada. |
Teorema 47 Seja Demonstração: Primeiro relembramos que Logo Para o argumento da função exponencial é O que resulta em |
Lema 48
|
Teorema 49
|
Corolário 50
Demonstração: Deixado como um exercício para o leitor. Faça a mudança de variável |
Generalizando os resultados anteriores podemos escrever:
se
se
se