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Cálculo I – Somas de Mengoli

— 8.1. Somas de Mengoli —

Nesta subsecção vamos introduzir as somas de Mengoli, também chamadas de somas telecópicas.

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1}) &= \lim_{m \rightarrow +\infty}\sum_{n=p}^{m}(v_n-v_{n+1}) \\ &= \lim_{m \rightarrow +\infty}(v_p-v_{m+1})\\ &= v_p-\lim v_{m+1} \\ &=v_p -\lim v_n \end{aligned}}

Assim sendo,

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})

converge sse a sucessão {v_n} é convergente e temos

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty}(v_n-v_{n+1})=v_p -\lim v_n

Exemplo 4

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} \ \ \ \ \ (74)

 

Ora para a equação 74 é válido a seguinte igualdade:

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right)

Assim fica

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)} &= \sum_{n=1}^{+\infty}\left( \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \right) \\ &= \dfrac{1}{1}-\lim\dfrac{1}{n}\\ &=1 \end{aligned}}

Ou seja, o que nós temos é

\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+\cdots =1

Exemplo 5

Vamos agora olhar para outro exemplo de uma série de Mengoli

\displaystyle \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) \ \ \ \ \ (75)

 

Podemos reescrever a equação 75 da seguinte forma:

{\begin{aligned} \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( 1-\frac{1}{n} \right) &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n}{n}-\frac{1}{n} \right) \\ &= \sum_{n=2}^{+\infty}\log \left( \frac{n-1}{n} \right) \\ &=\sum_{n=2}^{+\infty}\left( \log (n-1)- \log n \right) \end{aligned}}

que é uma série de Mengoli divergente.

Em geral é muito difícil achar o valor de uma série. É então preciso construirmos métodos que nos possibilitem obter conhecimento sobre a natureza de uma série mesmo que não sejamos capazes de calcular o seu valor.

Vamos então começar a construir uma teoria que nos permita obter conhecimento sobre uma série sem ser necessário efectuar cálculos.

Teorema 71

Se {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é convergente então {\lim u_n=0}

Demonstração:

Seja {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} convergente e seja {a \in \mathbb{R}} a sua soma.

Pondo {S_m=sum_{n=p}^m u_n} {\forall m \geq p} temos então {\lim S_m =a}.

Assim também é {\lim S_{m-1}=a}. Logo {\lim (S_m-S_{m-1})=0}

Ou seja

\displaystyle \lim \left( \sum_{n=p}^m u_n - \sum_{n=p}^{m-1} u_n =0\right)

E portanto {\lim u_n=0}

\Box

Corolário 72

Se {\lim u_n \neq 0}, a série {\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n} é divergente.

Demonstração: É o contra-recíproco do Teorema 71 \Box

Tomemos

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n

Se {|r|\geq 1}, {|r^n|=|r|^n}. Ora {|r|^n} não tende para {0}. Logo {r^n} também não tende para {0}. Assim {\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}r^n } diverge.

 

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Finanças Públicas e Direito Financeiro – Introdução III

Ciência das Finanças e Direito Financeiro.

Introdução

De acordo com o que vimos anteriormente, e segundo Borgatta e Fasíani, entenderemos finanças públicas como o “estudo da actividade económica do grupo público que assume o aspecto contabilístico da receita e da despesa na administração pública;

Partindo desta definição, e adoptando também ao preceituado por Sousa Franco, conforme vimos nos títulos anteriores,

Será necessário fazer-se uma destrinça entre Receitas e Despesas;

Os recursos segundo a qual um determinado sujeito ou entidade (Pública ou Privada) cobrirá as necessidades pessoais, de terceiros ou colectivas;

Os gastos, ou dispêndios de dinheiro ou de um outro bem, de um sujeito, para a aquisição ou criação de determinados bens susceptíveis de satisfazerem as necessidades pessoais/individuais, de terceiros ou da colectividade;

Neste sentido, e após análise do conceito de Receitas e Despesas, concluímos que, uma das formas/ferramentas  que o Estado possui para (auto-) financiar-se, é a partir da Arrecadação de Receitas, pela cobrança de impostos.

Que poderão ser:

  • Receitas Voluntárias, entre as quais se destacarão as receitas patrimoniais e empréstimos;
  • Receitas Coactivas, que a título de exemplo teremos os Impostos e as Taxas;

No entanto, teremos de fazer uma ressalva:

As receitas patrimoniais não são as fontes de receitas fundamentais do Estado, na medida em que, ou melhor, têm a sua origem no património (mobiliário ou imobiliário) de um Estado.

Exemplos de Receitas Patrimoniais:

  • Venda de patrimonio do Estado,
  • Os lucros recebidos pelo Sector Empresarial do Estado
  • Ou os juros de depósito que o Estado tenha efectuado,

entre outros …

Tentativa de conclusão

Em suma, e diante do que se apresentou anteriormente, poderemos concluir que o conceito de Finanças Públicas está directamente relacionada com a política fiscal de um Estado.

Ou seja, o Governo, o Estado, obterá fundos próprios, os designados fundos públicos, a partir da cobrança de impostos.

E, por sua fez, a receita monetária arrecadada será reinvestida na comunidade, através das despesas públicas, tais como:

Construção de hospitais e escolas, vias terrestres, etc

  1. Na distinção entre finanças públicas e finanças privadas, tendo em atenção o seu sentido orgânico e objectivo, o Estado, ou outro ente público, financiam-se a partir dos impostos.

Isto é,

O contrário do que poderemos nos deparar nas finanças privadas, em que as entidades financiam-se através de meios próprios, para a satisfação das suas necessidades pessoais/individuais.

  1. Em finanças públicas, serão as receitas que determinarão as despesas do Estado.

Pois, serão a partir das receitas que o Estado poderá prever as despesas (públicas) que serão efectivadas/realizadas.

O mesmo não acontece com as finanças privadas, onde as receitas não definem as nossas despesas.

Quanto ao fim,

A diferença entre as Finanças Públicas e Finanças Privadas,

As Finanças Públicas, ou finanças do Estado, propõem-se a satisfazer as necessidades colectivas,

Por sua vez,

As Finanças Privadas são ou serão àquelas que têm, ou terão como fim, a satisfação de necessidades individuais, visando, por exemplo, no seio da Classe Empresarial, a obtenção do lucro.

Finanças positivas:

São as finanças que configuram a teoria para a realidade. Ou seja, a partir da observação e consequente explicação das particularidades do comportamento do Estado. ( O estudo do que é…)

Finanças normativas:

São aquelas que versarão sobre “as regras e normas a que um Estado deverá submeter-se para um melhor cumprimento dos seus fins, consubstanciando-se assim, na política financeira de um Estado.”

 

Finanças Públicas e Direito Financeiro – Introdução II

Bens Semi-Públicos

São todos aqueles bens onde se verificam conjuntamente a :

  Não rivalidade no consumo; e

  Possibilidade de exclusão no consumo

Razões por que falham ou fracassam os mercados?

  • A verificação de Externalidades,

Positivas e Negativas;

Externalidades :

Existe uma Externalidade sempre que um acto de produção ou de consumo, realizado por um agente, origine benefícios ( externalidades positivas) ou prejuízos ( externalidades negativas) para outras pessoas – que não as que adquiriram-,

Não sendo esses efeitos internalizados pelo sistema de preço.

Esta definição, na nossa perspectiva, engloba algumas ideias fundamentais, a mencionar:

  1. em primeiro lugar, as externalidades têm a sua origem em actos de produção ou de consumo capazes de influenciar a capacidade de produção de terceiros, ou níveis de bem-estar, pelo que há que distinguir:

externalidades na produção e externalidades no consumo. ( TPC)

  1. em segundo lugar, os consumidores ou os produtores afectados não têm nenhuma responsabilidade na actividade principal. Ou seja, são, vitimas ou beneficiários involuntários.

III. por ultimo, esses efeitos são designados por externalidades justamente por não serem internalizados pelo sistema de preços,

são na verdade exteriores aos preços,

Ou seja,

as entidades responsáveis pela produção das externalidades não efectuam quaisquer pagamentos a favor de terceiros por si lesados ou deles recebem remunerações quando as suas acções os beneficiam.

O facto de NÓS usufruirmos de determinadas externalidades, sejam elas positivas ou negativas, não implica que nos paguem ou que paguemos valores associados aos benefícios que as mesmas nos proporcionam.

Exemplos de Externalidades

Negativas:

  • A poluição
  • O derramamento de petróleo no mar
  • A circulação de automóveis que libertam monóxido de carbono
  • O fumo do tabaco
  • O lançamento de certos efluentes para os rios

São exemplos de externalidades positivas, por exemplo, a educação e a vacinação contra doenças contagiosas.

  • A intervenção do Estado nos casos de Externalidades

As externalidades são um dos típicos exemplos de situações em que o mercado fracassa na afectação óptima dos recursos produtivos, pelo que é necessária a intervenção do Estado para promover a sua eficiente utilização;

A intervenção do Estado poderá fazer-se de diversos modos, tais como:

-A atribuição de direitos de propriedade ( como sugere Coase);

-O lançamento de impostos ou a concessão de subsídios ( de acordo com Pigou), ou então,

-A regulamentação da actividade económica,

Pela,

– Proibição da actividade

-Especificação de tecnologias, e

Restrições quantitativas, na produção, por exemplo.

  • Situações de desigualdade na distribuição do rendimento e da riqueza;

Nas diferentes actividades desenvolvidas no mercado, os diversos agentes são recompensados segundo um conjunto de factores que podem ser por eles dominados ou não,

Por isso, os resultados não são iguais para todos. Ou seja, uns recebem mais, e outros menos.

Esta desigualdade pode, porém, atingir sobretudo os mais desfavorecidos.

Neste sentido, o Estado intervém através do sistema tributário, COBRANDO IMPOSTOS,  a fim de proporcionar uma melhor redistribuição do rendimento;

 Onde a progressividade dos impostos directos e as taxas de impostos indirectos mais elevadas sobre determinados bens são caminhos a seguir;

Assim, os rendimentos apropriados pelo Estado são encaminhados para os detentores de mais baixos rendimento, quer através de transferencias monetárias, quer através de subsídios aos preços .

  • Critérios de desemprego, inflação e desequilíbrios económicos

Com o intuito de  contrariar as falhas macroeconómicas do mercado, respeitantes, por exemplo, ao emprego, aos preços e ao crescimento económico, o Estado, através de recursos públicos, com relevância para os impostos e despesas públicas, introduzirá correcções na actividade económica, a fim de garantir o seu equilíbrio e crescimento,

 

Estado Intervencionista.

A ACTIVIDADE FINANCEIRA DO ESTADO

Conceito de Actividade Financeira do Estado

O conjunto de acções que o Estado desempenha com o objectivo de obter recursos necessários para sua sustentabilidade,

Visando a realização das receitas, dos gastos e despesas (previstas) para a concretização das necessidades colectivas/públicas.

A Actividade Financeira do Estado dependerá de três elementos essenciais:

  1. Aelaboração de um orçamento público, como peça delimitadora das receitas e despesas públicas, inerentes a um certo período;
  2. As formas, condições e limites de obtenção de receitas para fazer frente às despesas previstas/delimitadas;
  3. As formas, condições e limites de gasto do dinheiro público, bem como, os métodos de aplicação e dispêndio das respectivas despesas públicas.

DAS NECESSIDADES SOCIAS E HUMANAS.

“ As necessidades variam de país para país, de modo de vida para modo de vida e, dentro da mesma sociedade, variam consoante os grupos sociais.

Assim, enquanto na Alemanha possuir um frigorifico é considerada uma necessidade primária, nos países subdesenvolvidos tal necessidade pode ser considerada um “luxo”.

Igualmente as necessidades variam no tempo. Com efeito, muitas das necessidades primárias dos nossos dias, eram décadas atrás consideradas supérfluas.”

Segundo critérios de natureza:

Necessidades primárias: são aquelas necessidades cuja satisfação é indispensável para assegurar a sobrevivência do indivíduo. Ou seja, que são/serão necessárias satisfazer com prioridade, uma vez que asseguram a sobrevivência do ser humano. ( Alimentação, saúde, vestuário e habitação).

Por sua vez, as

-Necessidades secundárias: serão aquelas que não ameaçam, de imediato, a vida das pessoas. Isto é, relacionando-se com a qualidade de vida da comunidade, elas serão necessárias, mas não são indispensáveis, para à sobrevivência do ser humano ( transporte e cultura.bibliotecas, ouvir música, ir ao cinema).

Necessidades terciárias (ou de luxo): são aquelas necessidades associadas ao bens de luxo, e que serão consideradas dispensáveis a sobrevivência da comunidade; ( roupa de alta costura, perfumes caros, automóveis de gama alta…)

AS NECESSIDADES INDIVIDUAIS E AS NECESSIDADES COLECTIVAS

As necessidades individuais 

Aquelas cuja satisfação é de natureza  pessoal.

No entanto, a sua não satisfação individual não impede que os outros membros da colectividade satisfaçam essa mesma necessidade.

 (o facto de um indivíduo ter fome, não significa que o mesmo aconteça à todos os membros da colectividade).

AS NECESSIDADES INDIVIDUAIS E AS NECESSIDADES COLECTIVAS

Necessidades colectivas

aquelas que resultam da vida em sociedade e que dizem respeito a todos os seus membros.

Estas necessidades são satisfeitas por bens necessários a toda a colectividade (necessidade de segurança, de justiça);

AS NECESSIDADES INDIVIDUAIS E AS NECESSIDADES COLECTIVAS

De salientar que…

 

estas duas categorias de necessidades são interdependentes, pois para a colectividade se interessar, por exemplo, por comprar carro (uma necessidade individual),

é necessário que as infra-estruturas, como as estradas (necessidade colectiva) estejam ao nível dessa satisfação.

AS NECESSIDADES INDIVIDUAIS E AS NECESSIDADES COLECTIVAS

Segundo critérios económicos, e associados ao seu custo, elas são:

Não económicas,

aquelas cuja satisfação não implica o dispêndio de moeda (por exemplo, a necessidade de respiração, pois nada pagamos pelo ar)

Económicas,

aquelas segundo as quais somos obrigados a despender moeda para satisfazer as nossas necessidades.

 

Finanças Públicas e Direito Financeiro – Introdução

Breve Nota:

Caro leitor,  a presente súmula, que versará, e será actualizada semanalmente, sobre matérias relacionadas às Finanças Públicas e Direito Financeiro, constituem o conteúdo programático da referida disciplina de FP e DF, leccionada pelo Dr. Wesley Tavares, no Instituto Superior Politécnico Lusíada   de Cabinda.

De referir que, para a elaboração da mesma, o autor basear-se-á, fundamentalmente, na seguinte Bibliografia:

TEIXEIRA RIBEIRO, José Joaquim,

Lições de finanças públicas, 5ªEdição, Coimbra,1997 SOUSA FRANCO, António,

Finanças públicas e direito financeiro (2 Vols), Almeida,2009.RANGEL NUNES, Elisa,

Lições de Finanças públicas e direito financeiro, 2002.

Finanças Públicas, Almedina , 2018. GAMEIRO,António; MOITA,Belmiro; MOITA,Nuno

  1. Conceito de Finanças Públicas e outras designações.

De acordo com Sousa Franco, finanças públicas, numa economia mista, aponta-se, por norma, para a “actividade económica de um ente público visando a afectação de bens/serviços à satisfação de necessidades que lhe estão confiadas”;

No entanto, e segundo este autor,

a expressão finanças públicas pode ser utilizada em mais do que um sentido, a saber:

I .Sentido orgânico;

  1. Sentido objectivo;

III. Sentido subjectivo;

Sentido Orgânico

O conjunto dos órgãos do Estado ou de outro ente público a quem compete gerir recursos económicos para a satisfação de certas necessidades sociais;

Sentido Objectivo

Designa a actividade através da qual o Estado ou outro ente público afecta bens económicos à satisfação de certas necessidades sociais;

Sentido Subjectivo

Refere-se a disciplina científica que estuda os princípios e regras que regem a actividade do Estado com o fim de satisfazer as necessidades que lhe estão confiadas.

Em sentido idêntico, Borgatta e Fasíani, definem finanças públicas como o “estudo da actividade económica do grupo público que assume o aspecto contabilístico da receita e da despesa na administração pública;

Economia Pública Vs Economia Política Vs Finanças Públicas

? A Controvérsia ?

A expressão/designação economia pública tem sido usada para uma abordagem mais analítica e hipotético-dedutiva que caracteriza o enfoque económico. De salientar que, esta expressão é correntemente utilizada na literatura anglo-saxónicas.

Ao optarmos pela designação de Finanças Públicas,  por razões tradicionais,  ou seja, pela influência/origem romano-germânica, do nosso ordenamento jurídico, e porque se dará relevância aos fenómenos financeiros relativos às receitas e às despesas do Estado, consubstanciados no seu orçamento, e não aos fenómenos respeitantes à analise micro-económica da eficiência económica e às teorias das escolhas colectivas.

Porém uma outra questão se levanta: por que motivo tem o Estado uma actividade financeira, ou seja, como explicar a existência de despesas públicas às quais o Estado deve afectar/arrecadar receitas?

 As falhas /fracassos do mercado

A razão do Estado aparecer como uma entidade que exerce funções supletivas ou complementares em relação aos cidadãos é consequência do livre funcionamento do mercado, assente na iniciativa dos cidadãos. No entanto, o mercado, é incapaz de, por si próprio, prover adequadamente a satisfação das necessidades colectivas.

Estamos, por isso, perante as designadas falhas/ fracassos do mercado, ou seia, a situação em que há um bem, ou serviço, que afecta o bem-estar dos indivíduos ou que afecta os custos de uma empresa, para os quais há pelo menos um preço ao qual certos agentes estão dispostos a vender e outros a comprar, mas onde não há mercado para esse bem;

De acordo com Manuela Arcanjo et al, (2005), Economia e Finanças Públicas, Escolar Editora, o facto de não existir mercado em relação a determinado bem ou serviço não é sinónimo de fracasso de mercado. Pode significar apenas que a máxima disposição a pagar por certo bem é inferior ao preço mínimo que as empresas estariam dispostas a receber pela produção do bem.

Acrescentamos nós que o que é hoje uma utopia, amanhã poderá ser uma realidade. A evolução científica e tecnológica pode criar as condições para que exista mercado.

Razões por que falham ou fracassam os mercados?

De acordo com a maioria dos teóricos de Finanças Públicas, as causas são múltiplas, com relevância para as seguintes:

– a existência de certo tipo de bens que, pelas suas características não são produzidos no mercado. Estes bens são designados por bens públicos ou bens públicos puros;

– a existência de situações geradoras de distorções no mercado de concorrência;

– a verificação de externalidades positivas e negativas;

– situações de assimetrias de informação entre os agentes económicos acerca de bens ou serviços transacionados; .

– verificação de situações de desigualdade na distribuição de riqueza;

– a existência de desemprego, inflação e desequilíbrios económicos.

Análise das falhas de mercado

Os bens produzidos pelo Estado e que satisfaçam necessidades coletivas são sempre bens públicos,

embora muitos desses bens satisfaçam ao mesmo tempo necessidades de satisfação activa ( as que exigem uma certa actividade do consumidor)

ou individuais e necessidades de satisfação passiva ou colectivas.

 Daí que se possa distinguir entre:

bens públicos propriamente ditosos que se limitam a satisfazer necessidades coletivas

e bens semipúblicos, – os que satisfazem as duas ordens de necessidades: as coletivas e as individuais.

ex: como a administração da justiça e uma autoestrada/estrada nacional ou auto-estrada em período de não congestionamento.

Do exposto, pode afirmar-se que:

os bens públicos podem ser definidos como aqueles que pertencem às pessoas jurídicas de direito público e, ainda, os que, embora não pertencentes a tais pessoas, estejam afectos/destinados à prestação de um serviço público.

Ex: A iluminação pública é um exemplo de bem público , porque beneficiam do referido bem todos os indivíduos, independentemente da vontade de cada um;

Acrescenta-se, ainda, que os bens públicos se caracterizam pela observância simultânea dos dois seguintes atributos:

Não rivalidade no consumo; e

Não exclusão no consumo.

Não rivalidade no consumo;

A não rivalidade no consumo significa que o consumo desse bem por mais um indivíduo não afecta o consumo que os outros estão tendo ou podem ter desse bem, ou seja, o consumo realizado por mais um indivíduo não diminui rigorosamente as quantidades disponíveis do bem para serem consumidas pelos outros.

“ a quantidade que cada indivíduo consome é igual à quantidade produzida”

Ex: a defesa nacional e a iluminação pública são bens com este atributo

Não exclusão no consumo;

A não exclusão no consumo significa que não é técnica ou economicamente viável impedir qualquer indivíduo de consumir o bem uma vez ele produzido, independentemente de ele ter ou não contribuído para o financiamento do respectivo custo de produção.  Ex: Defesa Nacional e Luz emitida pelos faróis ao longo da costa;

Ao analisarmos minuciosamente o conceito de Bens Públicos, denotamos uma característica própria desse tipo de Bens, segundo a qual é impossível definir direitos individuais de propriedade, pois, uma vez produzidos tornam-se, de facto, propriedade comum, ou seja da comunidade.

Em suma, inferiremos que, pelos seus atributos, os bens públicos são aqueles que o mercado não tem interesse em produzir (fracassa na afectação óptima dos factores de produção), mas que a comunidade não pode passar sem eles.

Daí que, torna-se necessária a intervenção do Estado na produção desses bens, que, como é evidente, acabam por ser distribuídos de forma tão ampla, que nenhum indivíduo tem incentivo em compra-lo.

  Ex: Defesa Nacional, Saúde Pública ou preservação do ambiente;

 

Topologia – Introdução II

— 1.1. Bolas Abertas e Fechadas —

Definição 2 Dado {x\in X} e {r>0}. Definimos os seguintes conceitos:

  • (Bola aberta) {B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}.
  • (Bola fechada) {\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}
  • (Esfera){S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}}

Exemplo 4 Se, na definição tomarmos {X=\mathbb{R}}, então as bolas abertas (resp. fechadas) serão basicamente intervalos abertos (resp. fechados), i.e., {B(x,r)=(x-r,x+r)} e {\overline{B}(x,r)=[x-r,x+r]}. Se {x=0} e {r=1}, então {B(0,1)=(-1,1)}, {\overline{B}(0,1)=[-1,1]}.

Comentário 2 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em {\mathbb{R}^{3}}. Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., {S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}=\emptyset }, para isso, basta tomarmos {r\neq1}.

— 1.1.1. Propriedades das Bolas Abertas —

Seja {(X,d)} um espaço métrico, então:

Proposição 1 Dadas duas bolas abertas {B(x,r_{1})} e {B(x,r_{2})}, então :

\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja {y\in B(x,r_{1})} então

\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}

logo, {y\in B(x,r_{2})}. \Box

Proposição 2 Seja {y} um ponto em {(X,d)} tal que {y\in B(x,r)}, então existe uma bola {B(y,r_{1})} ({r_{1}>0}), tal que

\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)

Demonstração: Seja {y\in B(x,r)}, se tomarmos {r_{1}=r-d(x,y)} teremos:

\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.

\Box

— 1.1.2. Propriedades das Bolas Abertas —

Seja {(X,d)} um espaço métrico, então:

Proposição 3 Dadas duas bolas abertas {B(x,r_{1})} e {B(x,r_{2})}, então :

\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja {y\in B(x,r_{1})} então

\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}

logo, {y\in B(x,r_{2})}. \Box

Proposição 4 Seja {y} um ponto em {(X,d)} tal que {y\in B(x,r)}, então existe uma bola {B(y,r_{1})} ({r_{1}>0}), tal que

\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)

Demonstração: Seja {y\in B(x,r)}, se tomarmos {r_{1}=r-d(x,y)} teremos:

\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.

\Box

— 1.1.3. Propriedades das Bolas Abertas —

Seja {(X,d)} um espaço métrico, então:

Proposição 5 Dadas duas bolas abertas {B(x,r_{1})} e {B(x,r_{2})}, então :

\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja {y\in B(x,r_{1})} então

\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}

logo, {y\in B(x,r_{2})}. \Box

Proposição 6 Seja {y} um ponto em {(X,d)} tal que {y\in B(x,r)}, então existe uma bola {B(y,r_{1})} ({r_{1}>0}), tal que

\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)

Demonstração: Seja {y\in B(x,r)}, se tomarmos {r_{1}=r-d(x,y)} teremos:

\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.

\Box

Proposição 7 Sejam {B(x,r_{1})} e {B(y,r_{2})}, tais que {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})\neq \emptyset}. Se {a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}, então existe uma bola aberta de centro {a} contida na intersecção {B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Proposição 8 Sejam {B(x_{1},r_{1})} e {B(x_{2},r_{2})} duas bolas abertas. Se {r_{1}+r_{2}\leq d(x_{1},x_{2})}, então

\displaystyle B(x_{1},r_{1})\cap B(x_{2},r_{2})=\emptyset.

Demonstração: deixada ao leitor. \Box

Topologia – Introdução

Topologia

— 1. Espaços Métricos —

A topologia, literalmente, a ciência da forma, é uma área da Matemática, muito ligada à Geometria e Análise, que têm como objectivo fundamental a análise do conceito de continuidade entre espaços.

Existem duas maneiras de se introduzir uma estrutura topológica em um espaço, a primeira através da noção de distância entre elementos de um conjunto, que passará a ser um espaço métrico, a outra, numa abordagem mais conjuntista e abstracta, utilizando a noção primitiva de conjunto aberto. Nas primeiras aulas abordaremos principalmente a primeira maneira, por ser talvez a mais intuitiva e também por cumprir com os objectivos que preconizamos.

Definição 1 Seja {X} um conjunto não vazio. A aplicação {d:X\times X\longrightarrow\mathbb{R}} define uma distância ou métrica em {X} se as condições abaixo são cumpridas {\forall x,y,z\in X}:

  1. {d(x,y)\geq 0}, com igualdade se e só se {x=y}
  2. {d(x,y)=d(y,x)}
  3. {d(,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}.
Comentário 1 Ao par {(X,d)} chamamos de espaço métrico mas, muitas vezes omitiremos a notação anterior à favor de uma mais simples, i.e., denotaremos um espaço métrico apenas pela letra {X}.

Do axioma 3 obtemos por indução a desigualdade triangular generalizada:

\displaystyle  d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+\cdots+d(x_{n-1},x_{n}) \ \ \ \ \ (1)

Um subespaço {(Y,\rho)} de um espaço métrico {(X,d)} é obtido se tomarmos o subconjunto {Y\subset X} e restringirmos {d} a {Y\times Y}, assim a métrica em {Y} é a restrição

\displaystyle \rho=d\mid _{Y\times Y}

A definição acima nos mostra claramente que em um mesmo conjunto podemos definir várias métricas, ou seja, várias maneiras de se medir distâncias. Um dos conjuntos mais famosos que possui várias distâncias nele definidas é o conjunto dos números reais {\mathbb{R}}.

Exemplo 1 1. O conjunto dos Números Reais {\mathbb{R}}. Munido com a distância:

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid

Esta é com certeza a distância mais famosa em matemática, pois quase toda a análise elementar é feita usando esta métrica e é também bastante intuitiva, vamos provar que os números reais com essa distância é de facto um espaço métrico. Demonstração: (i) Vamos verificar o primeiro axioma, {d(x,y)\geq 0} e {x=y \Longleftrightarrow d(x,y)=0}. Então temos,

\displaystyle d(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow d(x,y)=\mid x-y\mid \geq 0

o que é evidente pela definição de módulo. Resta demonstrar a segunda parte do axioma 1, temos então

\displaystyle d(x,y)= 0 \Longleftrightarrow \mid x-y \mid =0

\displaystyle \Longleftrightarrow x-y=0

\displaystyle \Longleftrightarrow x=y

a reciproca é evidentemente verdadeira, se tomarmos {x=y} então {d(x,x)=0}. (ii)O segundo axioma também é simples de demonstrar,

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid =\mid (-1).(y-x)\mid = \mid (-1)\mid \mid y-x\mid 		=\mid y-x\mid = d(y,x)

(iii)Para demonstrarmos a desigualdade triangular vamos precisar da desigualdade triangular nos reais, i.e.,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid x\mid + \mid y\mid

Fazendo uso de um pequeno artifício temos,

\displaystyle (x-y)=(x-z)+(z-y)

Então,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid (x-z)+(z-y)\mid \leq \mid x-z\mid +\mid z-y\mid

assim demonstramos que o par {(\mathbb{R},d)} é um espaço métrico. \Box

Exemplo 2 Ao tomarmos qualquer conjunto {X\neq \emptyset} podemos definir nele a seguinte métrica,

\displaystyle  \rho(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.

O exemplo a seguir foi tirado do livro an epsilon of room, escrito por Terence Tao, e é muito interessante porque mostra como a partir de duas métricas podemos formar outras métricas, chamadas de métricas produto.

Exemplo 3 Dado dois espaços métricos {X=(X,d_{X})} e {Y=(Y,d_{Y})}, podemos definir o produto {X\times Y=(X\times Y,d_{X}\times d_{Y})} como sendo o produto cartesiano {X \times Y} com a métrica produto

\displaystyle  d_{X}\times d_{Y}((x,y),(x',y')):=\max \{d_{X}(x,x'),d_{Y}(y,y')\}

ou ainda

\displaystyle  d_{X}\times d_{Y}((x,y),(x',y')):= d_{X}(x,x')+d_{Y}(y,y')

Importância da astronomia.

Neste vídeo eu (Cláudio Naval) falo um pouco sobre a importância da astronomia para as outras ciências, tecnologia e porque é tão importante sabermos mais sobre o universo que nos rodeia. Espero que gostem e que se inscrevam no canal para mais conteúdo audiovisual sobre ciência.

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