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Importância da astronomia.

Neste vídeo eu (Cláudio Naval) falo um pouco sobre a importância da astronomia para as outras ciências, tecnologia e porque é tão importante sabermos mais sobre o universo que nos rodeia. Espero que gostem e que se inscrevam no canal para mais conteúdo audiovisual sobre ciência.

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Cálculo I – Introdução às Séries Numéricas

— 8. Introdução às Séries Numéricas —

Tomemos os termos de uma sucessão {u_n} onde {n \geq p} para um certo {p}. Ou seja temos {u_p}, {u_{p+1}}, , {u_{p+2}}, …, , {u_n},…

Uma questão que podemos colocar de forma bastante natural é qual é o resultado da soma destes termos:

\displaystyle u_p+ u_{p+1}+ u_{p+2}+ \cdots + u_n+ \cdots =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n

A soma que contém um número infinito de termos acima definida tem o nome de: série de termo geral {u_n}.

Seja {m \geq p}.

{\displaystyle \sum_{n=p}^m u_n = u_p+ u_{p+1}+\cdots + u_m}

Tomando o limite

\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n

podemos definir de forma matematicamente rigorosa o valor da soma da série.

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n =\lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n

Podemos ainda definir a sucessão das somas parciais de uma série, {S_m}

\displaystyle S_m=\sum_{n=p}^m u_n

e escrever

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n =\lim_{m \rightarrow +\infty} S_m

Dizemos que a série converge se e só se {S_m} é convergente.

Após estas definições iniciais referentes à séries numéricas vamos olhar para um dos paradoxos de Zenão como motivação para a introdução da teoria das séries numéricas.

Imaginemos que temos um corpo que vai percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade constante de {1 m/s}.

Se alguém nos perguntar qual será o intervalo de tempo necessário para percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade de 1 {m/s} não precisamos de ser grandes físicos para responder que o tempo total será de 2 segundos.

No entanto sabemos que o corpo em questão antes de percorrer a totalidade do seu percurso terá que percorrer antes de mais a sua metade. E antes de percorrera metade terá que percorrer a metade da metade. E assim sucessivamente. A expressão que permitirá expressar a soma dos intervalos de tempo referentes às distâncias parciais face à distância total é:

\displaystyle T=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^n}+\cdots

Na altura em que este paradoxo foi proposto a teoria matemática não era tão avançada como é hoje em dia e questão de qual seria o resultado desta soma era também uma questão de debate filosófico.

Assim sendo a resposta a esta questão tinha duas possibilidades.

Por um lado, Zenão argumenta que o resultado da soma {\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}} era infinito pois estávamos a somar um número infinito de parcelas que são sempre maior do que {0}, e por outro lado toda a gente sabia que do ponto de vista experimental a resposta deveria ser {2 \, s}.

É precisamente esta tensão entre as duas respostas que dá o nome a este argumento de um paradoxo. Por um lado nós sabemos qual é a resposta correcta, mas não somos capazes de providenciar um argumento que a justifique de uma forma matematicamente rigorosa.

Definição 49 Uma série geométrica de razão {r} é definida através da seguinte expressão:

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \ \ \ \ \ (73)

Para as series geométricas é válido o seguinte:

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n &= \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{n=0}^m r^n \\ &= \lim_{m \rightarrow \infty} \dfrac{1- r^{m+1}}{1-r} \end{aligned}}

Se {|r|<1} vem que {r^{m+1}\rightarrow 0} quando {m \rightarrow +\infty}.

Assim vem que

\displaystyle \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1- r^{m+1}}{1-r}= \frac{1}{1-r}

Assim podemos escrever com todo o rigor matemático

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n= \frac{1}{1-r}

Caso se tenha {|r|>1} a série diverge.

Voltando então ao paradoxo de Zenão e utilizando este simples resultado derivado por nós vem que:

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^n} &= \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \\ &= \dfrac{1}{1-1/2}\\ &= \dfrac{1}{1/2} \\ &=2 \end{aligned}}

Que é a resposta que nós sabemos estar correcta!

Cometas

Cometa é um corpo menor do sistema solar que quando se aproxima do Sol passa a exibir uma atmosfera difusa, denominada coma, e em alguns casos apresenta também uma cauda, ambas causadas pelos efeitos da radiação solar e dos ventos solares sobre o núcleo cometário. Os núcleos cometários são compostos de gelo, poeira e pequenos fragmentos rochosos, variando em tamanho de algumas centenas de metros até dezenas de quilômetros.

(Imagem do site http://www.cdcc.usp.br)

Nomenclatura dos cometas :

Periódicos: são cometas que possuem órbita elíptica bem alongada e geralmente voltam à vizinhança solar em períodos inferiores a 200 anos. Os nomes destes cometas começam com P ou de um número seguido de P.

Não periódicos: são cometas que foram vistos apenas uma vez e geralmente possuem órbitas quase parabólicas retornando à vizinhança solar em períodos de milhares de anos, caso retornem. Os nomes dos cometas não periódicos começam com C.

Extintos: são cometas que já desapareceram por terem impactado com outro astro ou se desintegrado em suas passagens muito próximas e frequentes do Sol. Seus nomes costumam ser alterados para começarem com a letra D.

Exemplo de alguns cometas

Cometa Halley

Oficialmente designado 1P/Halley, é um cometa periódico, descoberto em 1696 por Edmond Halley, visível na Terra a cada 74-79 anos. A sua última aparição foi em 1986, e o seu retorno está marcado para 2061.

Cometa Encke

O Cometa Encke oficialmente denominado de 2P/Encke, tem seu afélio próximo a órbita de Júpiter. O periélio esta dentro da órbita de Mercúrio. Foi descoberto em 1786 por Pierre Méchain , após o cometa Halley. Tem um núcleo estimado de 4,8 km.

Cometa West

O Cometa West foi um cometa que alguns especialistas consideraram na categoria de ” grande cometa “. Foi descoberto no ano de 1975 no dia 10 de agosto, foi descoberto fotograficamente por Richard M. West, no Observatório Europeu do Sul, e alcançou seu brilho máximo em março de 1976 , com uma magnitude de -3 para no seu periélio.

Qual é a sua origem, e o seu destino?

A vida média dos cometas não ultrapassa 10 milhões de anos. Acredita-se que os núcleos dos cometas estão vagando pelo espaço fora do sistema solar. Devido ao movimento do Sol ao redor do núcleo galático esses objetos são capturados pelo campo gravitacional do Sol e se transformam em cometas. Foi susposto na década de 50 por Jan Hendrik Oort (1900) existência de uma nuvem de cometas (Nuvem de Oort), próxima do Sol (em relação às distâncias galáticas), a cerca de 100.000 ua. Essa nuvem está distribuida de forma esférica ao redor do Sol. Sua origem pode ser os próprios restos do sistema solar, que se solidificou nessa região. Algumas anomalias gravitacionais provocadas pelas estrelas próximas, podem tirar alguns corpos de suas posições e esses serem atraídos pelo Sol. Ao entrarem em direção ao sistema solar, esses corpos poderão adquirir três tipos de órbita:

Parabólica e Hiperbólica – que se aproximam uma única vez do Sol e retornam ao espaço inter-estelar. São os cometas não periódicos.

Elíptica – são os cometas periódicos. Esse tipo de órbita é geralmente é provocada pela influência gravitacional dos planetas, pricipalmente Júpiter e Saturno, que têm a tendência de prenderem os cometas ao sistema solar.

Um cometa pode entrar em atividade centenas de vezes até morrer ou ficar inativo o que acontece quando a acumulação de pedras e cascalho cobre o gelo não permitindo o seu aquecimento e consequente evaporação.

Espero que tenham gostado de conhecer mais um pouco sobre um dos corpos menores do sistema solar. Gostou do artigo?! Comente, a sua avaliação é muito importante para nós.

Fontes: Origem dos cometas: http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php?midia=esc&cod=_qualaorigemdoscometas

http://ensina.rtp.pt/artigo/cometas/

Conceito de cometas e a nomenclatura : https://pt.m.wikipedia.org/wiki/Cometa

Créditos de imagem: http://www.eso.org/public/images/c-west-1976-ps/

https://thoth3126.com.br/cometa-sem-cauda-de-antigo-passado-do

Astronomia bear X Luso academia

Astronomia bear é uma página voltada para conteúdos científicos mas mais especificamente Astronomia. Em uma parceria com a Luso academia, eu Cláudio Naval(dono da página astronomia bear) irei postar conteúdos sobre astronomia neste blog , para que o leitor aprenda mais um pouco sobre o nosso universo.

Espero que gostem dos temas e que deixem sempre a vossa opinião acerca do artigo.

Cláudio Naval

Link para as paginas:

Instagram: https://www.instagram.com/astronomia_bear/

Facebook: https://m.facebook.com/ASTRONOMIABEAR/

YouTube: https://m.youtube.com/channel/UCqvNXhj_83HONlUkrmt8S5A

Curso de Astronomia – Primeira Sessão

Tal como já havíamos anunciado neste artigo do nosso blog: Curso de Astronomia – 1º Programa – Luso Academia a Luso Academia em conjunto com o Acelera Angola está a realizar um curso de Astronomia para poder divulgar esta ciência para o público em geral.

Hoje decorreu a primeira sessão do nosso curso e tivemos a comparência de várias pessoas interessadas que ao longo da sessão fizeram perguntas e comentários muito pertinentes.

Partilhamos com os os nossos leitores algumas fotografias e um vídeo da sessão e esperamos poder contar convosco para a segunda sessão que será já no próximo sábado.

 

 

 

Resolução de Exercícios – Movimento Circular Uniforme

— 1. Introdução —

A pedido de uma participante de um grupo de facebook do qual a Luso Academia é um membro propomos as seguintes resoluções para os exercícios apresentados.

— 2. Exercícios —

Exercício 1 Um corpo executa um movimento harmónico simples, e as suas posições são observadas numa régua graduada em centímetros posicionada atrás do corpo. Inicialmente, em {t=0\,\mathrm{s}}, a posição ocupada pelo corpo na régua de {8,0\,\mathrm{cm} } corresponde à máxima elongação. em {t=0,1 \pi\,\mathrm{s}} o corpo passa pela primeira vez na posição {2,0\,\mathrm{cm}} com velocidade nula.

Determine o módulo da aceleração máxima do corpo nesse movimento.

Como sabemos as equações de movimento para o movimento harmónico simples podem ser escritas do seguinte modo:

  • {x(t)=A\cos(\omega t)}
  • {v(t)=-A\omega\sin(\omega t)}
  • {v(t)=-A\omega ^2\cos(\omega t)}

Assim sendo o módulo da aceleração máxima deste movimento é dada por {A\omega ^2} sendo que nos resta determinar os valores para {A} e {\omega}.

Pelo enunciado sabemos que para {t=0} é válido o seguinte

\displaystyle  x(0)=A\cos(\omega 0)=8 \Rightarrow A\cos (0)=8 \Rightarrow A=8

Também pelo enunciado sabemos que para a equação de velocidade é válido o seguinte:

\displaystyle  v(0,1\pi)=-8\omega\sin(0,1\pi \omega)=0

o que implica que o argumento da função seno tem que ser igual a {\pi}, pois a velocidade é nula.

Assim é

{\begin{aligned} \omega &= \frac{\pi}{0,1\pi} \\ &=\frac{1}{0,1} \\ &= 10 \end{aligned}}

Após calcularmos o valor de {A} e de {\omega} podemos então calcular o valor do módulo da aceleração máxima.

{\begin{aligned} |a_{max}| &= A\omega ^2 \\ &=8\times 100^2 \\ &= 800\,\mathrm{m/s^2} \end{aligned}}

Exercício 2 Um movimento circular uniforme de raio {R=40\,\mathrm{cm}} possui velocidade tangencial {2,0\,\mathrm{m/s}} e um ângulo inicial de {30 ^\circ } em relação ao eixo {x} girando no sentido anti-horário.

Considerando o MHS descrito pela projecção desse movimento no eixo {x}, determine a função velocidade do MHS (nas unidades do Sistema Internacional.

Uma vez que neste exercício faz sentido considerar uma fase inicial vamos escrever as equações de movimento na forma:

  • {x(t)=R\cos(\omega t -\varphi)}
  • {v(t)=-R\omega\sin(\omega t-\varphi)}
  • {v(t)=-R\omega ^2\cos(\omega t-\varphi)}

Pelo enunciado sabemos que para {v(0)} é válido o seguinte

{\begin{aligned} 2 &= -40\omega\sin(-\pi /6) \\ 2 &= 40\omega\sin(\pi /6) \\ 2 &= 40\omega\frac{1}{2} \\ 2 &=20\omega \end{aligned}}

Assim sendo temos que a velocidade angular é dada por

\displaystyle  \omega = 0,1 \mathrm{rad} /s

Assim a expressão para a velocidade fica

\displaystyle  v(t)=-4\sin\left(0,1t-\dfrac{\pi}{6}\right)

Intelc Angola – Curso de Marketing Digital

No seguimento da parceria entre a Intelc Centro Ensino e a Luso Academia viemos por este meio divulgar um curso de Marketing Digital dos nossos parceiros.
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Bloco V1, 2º Andar Apart. nº 22, Centralidade do Kilamba, Luanda-Angola
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