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Topologia dos Espaços Métricos e Sequências

— 1.1.8. Topologia dos Espaços Métricos e Sequências —

Proposição 24 Seja {(X,d)} um espaço métrico. Um subconjunto {F} de {X} é fechado em {(X,d)}, se e só se, toda sequência de pontos em {F} converge para um ponto em {F}. ({\forall x_{n}\subset F: x_{n}\longrightarrow x\implies x\in F}).

Demonstração: Primeiramente temos de provar que se {x_{n}\subset F}, { x_{n}\longrightarrow x} e {F} é fechado, então {x\in F}.

Suponhamos pelo contrário que {x\notin F}, então {x\in X-F} que é aberto, logo pela definição 1.4, {\exists r>0: B(x,r)\subseteq X-F}, então a partir de uma certa ordem deve existir um {N}, tal que para todo {n\geq N}, {d(x_{n},x)<r}, i.e., {x_{n}\in B(x,r)\subseteq X-F}, o que é uma contradição,já que por hipótese {x_{n}\in F}. Portanto, {x\in F}.

Se {x\in F}, então {x\in\widehat{F}}, pela definição 1.5 {B(x,r)\cap F\neq\emptyset} {\forall r>0}. Em particular, para todo natural {n} existe umponto {x_{n}} em {B(x,\frac{1}{2n})\cap F}. Por isso {x_{n}\subset F} e {d(x,x_{n})<\frac{1}{2n}}, assim {x_{n}\longrightarrow x} e {x\in F}. \Box

Definição 14 Um espaço métrico é completo se toda sucessão de Cauchy nesse espaço é convergente.
Exemplo 12 Todo espaço métrico discreto é completo porque suas sucessões de Cauchy são constantes.
Lema 25 Se {x_{n}} é uma sucessão de Cauchy de elementos de {\mathbb{R}}, então sua imagem é um conjunto limitado.
Teorema 26 {\mathbb{R}} é completo.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Proposição 27 Se {(X,d)} é um espaço métrico completo e {Y\subseteq X}, então {(Y,d)} é completo se e só se {Y} é fechado em {X}.
Corolário 28 Os subconjuntos fechados de {\mathbb{R}} são espaços métricos completos.
Proposição 29 Todo producto {X_{1}\times \cdots \times X_{n}} de espaços métricos completos {X_{1},\cdots, X_{n}}, é um espaço métrico completo.
Teorema 30 (Cantor) Um espaço métrico {(X,d)} é um espaço métrico completo se e só se sempre que {\{F_{n}\}} é uma sequência não vazia de subconjuntos satisfazendo:

  • Cada {F_{n}} é fechado;
  • {F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq\cdots};
  • {diam F_{n}\longrightarrow 0}, então {\cap_{n=1}^{\infty}F_{n}} é um único ponto.

Demonstração: Na proxima aula. \Box

Espaços Métricos e Sequências

Aula 6

— 1.1.7. Espaços Métricos e Sequências —

Nesta aula introduziremos o conceito de sequências em espaços métricos. Embora este conceito já seja conhecido de modo elementar no espaço dos números reais, {\mathbb{R}}, procederemos à generalização do mesmo para qualquer espaço métrico {X}

Definição 11 Seja {(X,d)} um espaço métrico. Uma sequência, num espaço métrico, é uma aplicação {x:\mathbb{N}\longrightarrow X}, onde os {(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}} são pontos em {(X,d)}.
Exemplo 10 Em particular se tomarmos {X=\mathbb{R}} retornaremos ao conceito usual de sequências.
Definição 12 Uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} converge para {x}, i.e., {x_{n}\longrightarrow x}, se {\forall\epsilon>0} {\exists N>0}: {d(x_{n},x)<\epsilon}, {\forall n\geq N(\epsilon)}.
Exemplo 11 Seja {(X,d)} o espaço métrico discreto, então uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} converge para {x} se e só se existe um inteiro {N} tal que {x_{n}=x} sempre que {n\geq N}.
Proposição 21 Se {x_{n}\longrightarrow x} em {X} e {\{x_{n_{k}}\}} é uma subsequência, então {x_{n_{k}}\longrightarrow x}.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Definição 13 Uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} é de Cauchy se {\forall\epsilon>0} {\exists n_{0}\in\mathbb{N}} tal que {d(x_{m},x_{n})<\epsilon}, para todo {m,n\geq n_{0}}.
Proposição 22 Toda sucessão {x_{n}} convergente de {X} é de Cauchy.

Demonstração: A proposição acima basicamente diz que se uma sucessão é convergente, então ela é de Cauchy.

Como por hipótese, {x_{n}\longrightarrow x}, então pela definição 1.12, {d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}} para algum {\epsilon>0} e para todo {n\geq n_{0}}, onde {n_{0}\in\mathbb{N}}. De modo similar, a partir de uma certa ordem,{m}, temos {d(x_{m},x)<\frac{\epsilon}{2}}, com {m\geq n_{0}}. Portanto, aplicando a desigualdade triângular obtemos:

\displaystyle  d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.

\Box

Em geral,a recíproca da proposição anterior é falsa. Para isto, consideremos por exemplo a sucessão {x_{n}=\frac{1}{n}} no espaço {X=\mathbb{R}-\{0\}} com a métrica euclidiana usual.

Proposição 23 Se {\{x_{n}\}} é uma sequência de Cauchy e alguma subsequência de {X_{n}} converge para {x}, então {x_{n}\longrightarrow x}.

Demonstração: Por hipótese temos que {x_{n_{k}}\longrightarrow x} para algum {\epsilon>0}. Seja {N_{1}, N_{2}\in\mathbb{N}} tal que {d(x_{n_{k}},x)<\frac{\epsilon}{2}}, para todo {n_{k}\geq N_{1}}. Por outro lado, como {x_{n}} é umasequência de Cauchy, então {d(x_{m},x_{n})<\frac{\epsilon}{2}}, para {m,n\geq N_{2}}. Fixemos {n_{k}>N} e seja {N=\max\{N_{1},N_{2}\}}, então:

\displaystyle d(x,x_{n})<d(x,x_{n_{k}})+d(x_{n_{k}},x_{n})<\epsilon.

\Box

Noções de Contabilidade Geral para Juristas.

Breve Nota.

Caros leitores,  

os apontamentos que ora nos predispusemos a divulgar na Luso Academia, tiveram como fonte bibliográfica principal as matérias leccionadas pela Dra. Suzana de Abreu, Directora Geral da Zana Consultoria, em Cabinda,  no Curso de Noções de Contabilidade Geral para não Contabilistas.

Pese embora serem conteúdos para não contabilistas , os mesmos sofreram uma ligeira alteração, no que tange a linguagem científica, sem no entanto perderem o seu caracter e rigor (científico), que se exigirá sempre, de modos a que pudessem ser acessíveis, quanto a sua clareza,  aos juristas,  de per si  “formatados” para as lides literárias, desprendendo-se do “ mundo das ciências numéricas”, habitat “natural” da Contabilidade.

Neste sentido, agradecemos à Exma. Sra. Dra. Suzana de Abreu, por autorizar a divulgação destas matérias de Contabilidade Geral, permitindo que as mesmas fossem adaptadas a realidade jurídica.

Introdução à Contabilidade.

  1. Ao  fazermos uma abordagem genérica sobre Contabilidade, apraz-nos, em primeira instância, definirmos o conceito em análise, como sendo  “o processo de identificação, análise, interpretação, classificação, e registo de todos os factos económicos e financeiros  que ocorrem numa organização”. 

Os factos económicos serão todos os registos relativos a: compra e venda de bens materiais, patrimonial e financeiros; a prestação de serviços; aos custos com o pessoal;  ao recebimento e pagamentos; aos proveitos da organização, as dívidas e empréstimos; e a compra de mercadorias, por exemplo. 

“ todas as circunstancias em que é movimentado o dinheiro ou bens da empresa ( entradas e saídas ou transações) para um determinado fim”

As transações a serem efectivadas numa instituição, deverão ser registadas seguindo um critério definido pelas normas contabilistas vigentes no país e que são internacionalmente aceites.

Assim, todos os registos ( contabilísticos ) produzirão relatos informativos que serão interpretados baseando-se na análise financeira.

Deste modo, a análise financeira elaborada permitirá ao gestor tomar decisões (assertivas), e com propriedade, sobre a administração da organização, prevenindo-se um descalabro financeiro, advindo de uma má decisão tomada pelo gestor, ocasionada pela falta de registos ou por uma inserção errónea dos factos. 

  1. Para uma análise mais profícua sobre a Contabilidade, alguns conceitos basilares serão necessários serem frisados, pois, os mesmos permitirão uma maior clareza quanto ao entendimento aos preceitos ora em análise.

Neste sentido, jamais poderemos falar de Contabilidade, como ciência , se não tivermos a noção (básica) dos seguintes conceitos : 

Custos; Proveitos; Lucro; Obrigações ou Passivo; Activo; Património; Capital; Imobilizações; Dividendos; Capital Social ;Capital Próprio;Capital de Terceiros ( as entidades participantes); Livros, o Diário, Razão, Caixa e Contas-Correntes. 

E não só. 

Ao elaborarmos a Contabilidade de uma organização, ou instituição, deveremos, sempre, ter em linha de conta os seguintes princípios:

Princípio da partida dobrada; Princípio da materialidade; Princípio da relevância; Princípio da Fiabilidade; Princípio da Comparabilidade; Princípio da continuidade; Princípio da consistência; Princípio da realização; Princípio do acréscimo.

Debitar e Creditar.

Das Contas.

As contas, em contabilidade,  são os códigos das rubricas que serão usadas na elaboração dos registos contabilísticos.  Ou seja, as contas também serão os relatos dos resultados conatabilísticos de uma intuição.

Neste sentido, ao classificarmos as contas no sistema contabilístico, cada uma delas terá o seu critério de movimentação, obedecendo sempre os princípios, políticas , bem como as leis (vigentes ) de contabilidade.

De salientar que, existirão contas que devido a sua natureza, terão um saldo devedor ou um saldo credor. Por outras palavras, haverá contas que, para reconhecer o aumento da mesma, dever-se-a debitar, e vice-versa. A título de exemplo, teremos as contas do activo corrente, que demonstrarão as disponibilidades e as contas por se receber. 

Contas Devedoras .

Por uma questão de obediência ao Princípio de partidas dobradas, as contas dos activos, sempre que se despender dinheiro, o registo deverá ser feito da seguinte maneira:

Exemplo: na compra de um edifício  

      43/45       11    

CréditoDébito

Contas Credoras. 

Relativamente as Contas Credoras , as mesmas também obedecerão ao Princípio de partidas dobradas, pelo que, os seus movimentos  respeitarão critérios específicos.

Exemplo: no pagamento de salários 

      43/45       36    

CréditoDébito

Diário.

O diário contabilístico de uma instituição, remetendo-nos para o âmbito dos factos económicos e financeiros de uma organização, será o Livro onde serão feitos os lançamentos de todas as transações de uma empresa.

Assim, e por exemplo, neste Diário serão registados as seguintes operações:

          1. 20 de Janeiro de 2018 – Compra de veículo – 9.000.000,00 AKZ. Forma de Pagamento: Transf. Bancária. 
          1. 1 de Março de 2018 – Compra de 30 Kits Xko9 – 30kitsX 35.000,00 AKZ. Total : 1.050.000 AKZ. Forma de Pagamento: Numerário.
          1. 3 de Julho de 2018  – Compra de XXX.
          1. 5  de Julho de 2018 – 

Em suma, este é o tipo de informação que o gestor deverá entregar ao contabilista com documentos credíveis, que servirão de suporte para a executar os lançamentos no diário.

Razão.

É um livro onde estão representados todos os saldos das contas, tal como poderemos representar de seguida:

      43/45 – Bancos ou

caixa      36 – Pessoal    

      21 – Mercadoria 31 – Cliente Corrente    

           

Demonstração de Resultados

Dos Proveitos

Em Contabilidade, ao falarmos de proveitos, consignaremos os influxos provenientes da actividade económica e comercial da instituição/organização, como prestação de serviços ou vendas,

Ou seja, os proveitos serão os resultados financeiros advindos da actividade comercial que a empresa faz.

Aos proveitos, também chamaremos de receitas, revenues ou rendas propiciadas pela actividade mercantil da instituição.

Numa linguagem mais simples, ou corrente, os proveitos podem ser chamados de entradas.

No entanto, convém frisar que, ao gerarmos proveitos, estaremos a incorrer em  custos próprios e  associados a aquisição de, por exemplo, determinado bem a ser onerado, pela nossa organização.

Ou seja, e por outras palavras, ao revendermos um determinado bem, antes de sua venda, efectuamos a compra do mesmo, que será associada ao nosso custo que, entretanto, deverá ser coberto pelo valor que revendemos.

Custos.

Partindo da definição de custos, como sendo “tudo aquilo que incide e afecta directamente no preço de aquisição e/ou produção de um determinado  produto”, inferiremos sobre as mercadorias vendidas e consumidas; os custos com o pessoal; as perdas operacionais; os custos financeiros; as matérias primas; os seguros; as amortizações; e a formação do pessoal, por exemplo.

Por outro lado, teremos as FST, ou seja, o fornecimento e serviços de terceiros, como : o pagamento de água; da electricidade; combustíveis; protecção e segurança da instituição; o desgaste de utensílios; a compra de material de escritório; a renda do imóvel; as despesas de representação; a limpeza e higiene do imóvel; a publicidade; as deslocações e estadas, bem como as eventuais ajudas de custo, e as provisões, por exemplo.

De salientar que, toda e quaisquer saída de dinheiro, deverá ser contabilizada e registada na conta designada para o efeito.

Outras perdas/ganhos extraordinários.

As perdas ou ganhos extraordinarios, serão os proveitos ou perdas obtidas a partir de operações realizadas fora da esfera comercial da intuição.

Neste sentido, havemos de considerar como perdas ou ganhos extraordinários, a venda de imobilizado, a depreciação da moeda e as quebras ou desperdícios ocorridos ao longo da actividade comercial. 

Assim, para a elaboração de uma Demonstração de Resultados, seguiremos a seguinte fórmula:

  • Proveitos

   Custos

= Lucro Grosso

— Impostos

  • Ganhos Extraordinários

— Perdas Extraordinárias

= Resultado Líquido

 

 

 

 

 

Protótipo Hyliokeni

Protótipo hyliokyni é um sensor remoto controlador de voltagem, uma tecnologia espacial ainda em pesquisa desenvolvida por Santo Calvino em 2016, para poder obter todas informações da energia elétrica de um satélite espacial.
Com ela é possível controlarmos a voltagem recebida dos painéis solares de um satélite espacial, por meio de um radio controlador.
O protótipo Hyliokeni está constituído por 5 instrumentos eléctricos:

Válvulas eletroquímicas;

Interruptores automático;

Descodificador;

Temporalizador;

Antena.

As válvulas eletroquímicas, é a primeira parte do protótipo, que controla a passagem da corrente elétrica dos painéis do satélite. A corrente elétrica preveniente dos painéis solares primeiro passa por essas válvulas para dar uma voltagem desejada remotamente a partir da Terra.
A válvulas eletroquímicas é o dispositivo que controla a passagem da corrente eléctrica, através de sulfatos contidos nos recipientes de vidro. Cada recipiente representa a sua voltagem que ela vai deixar entrar para o satélite espacial.

Por meio do controlo remoto é possível ligarmos e desligar energia eléctrica. Cada interruptor nela contém sensores capazes de transformar sinais electromagnéticos em energia eléctrica que possibilita então mover os interruptores em longa distância da Terra até ao espaço.

Existe um pequeno descodificador no protótipo que tem a função de descodificar o sinal enviado a patir da Terra.
Essa tecnologia é apenas uma ideia de como serão controlados os painéis solares dos satélites angolanos nos próximos anos.
O protótipo funciona perfeitamente, mas ainda nunca não foi testado em órbita terrestre. Mas em 2019 este protótipo será lançado para o espaço em miniatura dentro de um nanossatelite para poder se realizar os testes.

Estados Estacionários III

Prove que para soluções normalizáveis a constante de separação {E} deve ser real .

Vamos escrever {E} Como

\displaystyle E=E_0+i\Gamma

Então a equação de onda fica

\displaystyle  \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}

{\begin{aligned} 1 &= \int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi(x,t)|^2\, dx \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty} \psi(x,t)^*\psi(x,t)e^{-i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{i\frac{E_0}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}e^{\frac{\Gamma}{\hbar}t}\, dx \\ &= e^{\frac{2\Gamma}{\hbar}t}\int_{-\infty}^{+\infty}|\psi(x,t)|^2\, dx \end{aligned}}

A expressão final tem que ser igual a {1} para todos os valores de {t} . A única maneira de isso acontecer é tendo {\Gamma=0}. Portanto {E} é real.

Mostre que a função de onda independente do tempo pode ser sempre considerada como uma função de valor real.

Sabemos que {\psi(x)} é uma solução de

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V\psi=E\psi

Tomando o complexo conjugado da equação anterior

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi^*}{d x^2}+V\psi^*=E\psi^*

Assim {\psi^*} é também uma solução da equação de Schroedinger independente do tempo.

A seguir vamos mostrar que se {\psi_1} e {\psi_2} são soluções da equação de Schroedinger independente do tempo com energia {E}, então sua combinação linear também é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo com energia {E}.

Seja

\displaystyle  \psi_3=c_1\psi_1+c_2\psi_2

a combinação linear.

{\begin{aligned} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi_3}{d x^2}+V\psi_3 &= -\frac{\hbar^2}{2m}\left( c_1\dfrac{\partial ^2\psi_1}{\partial x^2}+c_2\dfrac{\partial ^2\psi_2}{\partial x^2} \right)+ V(c_1\psi_1+c_2\psi_2)\\ &= c_1\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2\psi_1}{\partial x^2}+V\psi_1 \right)+c_2\left( -\frac{\hbar^2}{2m}\dfrac{\partial ^2\psi_2}{\partial x^2}+V\psi_2 \right)\\ &= c_1E\psi_1 + c_2E\psi_2\\ &= E(c_1\psi_1+c_2\psi_2)\\ &= E\psi_3 \end{aligned}}

Depois de mostrar este resultado, é óbvio que {\psi+\psi^*} e que {i(\psi-\psi^*)} são soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo. Além de serem soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo, também é evidente, a partir de sua construção, que essas funções são funções reais. Uma vez que eles têm o mesmo valor {E} como {\psi} podemos usar qualquer um deles como uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo

Mostre que se {V(x)} é uma função par então {\psi(x)} pode ser escrita na forma de uma função par ou uma função ímpar .

Uma vez que {V(x)} é par sabemos que {V(-x)=V(x)}. Agora precisamos provar que se {\psi(x)} é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo {\psi(-x)} também é uma solução.

Fazendo a mudança de variável {x} para {-x} na equação de Schroedinger independente do tempo

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d (-x)^2}+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Para percebermos a equação anterior vamos simplificar

\displaystyle \dfrac{d^2}{d (-x)^2}

Vamos introduzir a variável {u} e defini-la como {u=-x}. Então

\displaystyle \frac{d}{du}=\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}=-\frac{d}{dx}

E para a segunda derivada é

\displaystyle  \frac{d^2}{du^2}=\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}\frac{dx}{du}\frac{d}{dx}=\left(-\frac{d}{dx}\right)\left(-\frac{d}{dx}\right)=\frac{d^2}{dx^2}

Na última expressão {u} é uma variável muda e, portanto, pode ser substituída por qualquer outro símbolo.

Por conveniência, vamos fazer a mudança de variável {u=x}:

(veja também este artigo Derivadas Parciais e Física Estatística )

\displaystyle \dfrac{d^2}{d (-x)^2}=\dfrac{d^2}{d x^2}

Pelo que a nossa expressão inicial fica:

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d x^2}+V(-x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Sabemos que {V(x)} é par. Logo

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi(-x)}{d x^2}+V(x)\psi(-x)=E\psi(-x)

Assim {\psi(-x)} também é uma solução para a equação de Schroedinger independente do tempo.

Uma vez que {\psi(x)} e {\psi(-x)} são soluções para a equação Schroedinger independente do tempo sempre que {V(x)} é uma função par, podemos construir funções pares e ímpares que são soluções para a equação de Schroedinger independente do tempo.

As funções pares são construídas como

\displaystyle  h(x)=\psi(x)+\psi(-x)

e as funções ímpares são construídas como

\displaystyle  g(x)=\psi(x)-\psi(-x)

Uma vez que podemos escrever

\displaystyle  \psi(x)=\frac{1}{2}(h(x)+g(x))

mostramos que qualquer solução para a equação de Schroedinger independente do tempo pode ser expressa como uma combinação linear de funções pares e ímpares quando a função potencial é uma função par.

Estados Estacionários II

Agora, vamos apresentar algumas características das soluções separáveis, para melhor compreender a sua importância:

— Estados estacionários —

A função de onda é

\displaystyle \Psi(x,t)=\psi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}

e é óbvio que depende de {t}. Por outro lado, a densidade de probabilidade não depende de {t}. Esse resultado pode ser facilmente comprovado com a suposição implícita de que {E} é real (num exercício posterior veremos porque {E} tem que ser real).

\displaystyle \Psi(x,t)^*\Psi(x,t)=\psi^*(x)e^{i\frac{E}{\hbar}t}\psi(x)e^{-i\frac{E}{\hbar}t}=|\psi(x)|^2

Se estivéssemos interessados em calcular o valor médio de qualquer variável dinâmica, veríamos que esses valores são constantes no tempo.

\displaystyle  <Q(x,p)>=\int\Psi^*Q\left( x,\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x} \right)\Psi\, dx

Em particular {<x>} é constante no tempo e como consequência {<p>=0}.

— Energia total definida —

Como vimos na mecânica clássica, o Hamiltoniano de uma partícula é

\displaystyle  H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+V(x)

Fazendo as substituições apropriadas, o operador da mecânica quântica correspondente é (na mecânica quântica os operadores são denotados por um chapéu):

\displaystyle \hat{H}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{d x^2}+V

Portanto, a equação de Schroedinger independente do tempo pode ser escrita da seguinte forma:

\displaystyle  \hat{H}\psi=E\psi

O valor médio do Hamiltoniano é

\displaystyle <\hat{H}>=\int\psi ^*\hat{H}\psi\, dx=E\int|\psi|^2\, dx=E

Também temos

\displaystyle \hat{H}^2\psi=\hat{H}(\hat{H}\psi)=\hat{H}(E\psi)=E\hat{H}\psi=EE\psi=E^2\psi

Logo

\displaystyle  <\hat{H}^2>=\int\psi ^*\hat{H}^2\psi\, dx=E^2\int|\psi|^2\, dx=E^2

E a variância é

\displaystyle \sigma_{\hat{H}}^2=<\hat{H}^2>-<\hat{H}>^2=E^2-E^2=0

Em conclusão, para um estado estacionário, toda medição de energia tem o valor {E} uma vez que a distribuição de energia tem valor {E}.

— Combinações lineares —

A solução geral da equação de Schroedinger é uma combinação linear de soluções separáveis.

Veremos em exemplos e exercícios futuros que a equação de Schroedinger independente do tempo contém um número infinito de soluções. Cada uma dessas diferentes funções de onda está associada a uma constante de separação diferente. O que quer dizer que para cada nível de energia permitido existe uma função de onda diferente.

Para a equação de Schroedinger dependente do tempo, qualquer combinação linear de uma solução é também uma solução. Depois de encontrar as soluções separáveis, a tarefa é construir uma solução mais geral da forma

\displaystyle \Psi(x,t)=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\psi_n(x)e^{-i\frac{E_n}{\hbar}t}=\sum_{n=1}^{+\infty}c_n\Psi_n(x,t)

Todas as soluções da equação de Schroedinger dependente do tempo podem ser escritas desta forma, sendo que as condições iniciais do problema sendo estudado fixando os valores das constantes {c_n}.

Tudo isto pode ser um bocado abstrato e como tal vamos resolver alguns exercícios.

Como exemplo, vamos calcular a evolução temporal de uma partícula que começa numa combinação linear de dois estados estacionários:

\displaystyle  \Psi(x,0)=c_1\psi_1(x)+c_2\psi_2(x)

Para a nossa discussão, vamos assumir que {c_n} e {\psi_n} são reais.

Assim a evolução temporal da partícula é:

\displaystyle \Psi(x,t)=c_1\psi_1(x)e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t}

Para a densidade de probabilidade é

{\begin{aligned} |\Psi(x,t)|^2 &= \left( c_1\psi_1(x)e^{i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{i\frac{E_2}{\hbar}t} \right) \left( c_1\psi_1(x)e^{-i\frac{E_1}{\hbar}t}+c_2\psi_2(x)e^{-i\frac{E_2}{\hbar}t} \right)\\ &= c_1^2\psi_1^2+c_2^2\psi_2^2+2c_1c_2\psi_1\psi_2\cos\left[ \dfrac{E_2-E_1}{\hbar}t \right] \end{aligned}}

Como podemos ver, embora {\psi_1} e {\psi_2} sejam estados estacionários e, portanto,a sua densidade de probabilidade é constante, a densidade de probabilidade da função de onda final oscila sinusoidalmente com frequência angular {(E_2-E_1)/t}.

Estados Estacionários

— 23.6. Estados estacionários —

Nos artigos anteriores nós normalizamos as funções de onda, calculamos valores médios para o momento e posição de uma partícula, mas nunca, em momento algum, fizemos uma pergunta bastante lógica:

Como se calcula a função de onda em primeiro lugar?

A resposta para essa pergunta é obviamente:

Resolvendo a equação de Schroedinger.

A equação de Schroedinger é

\displaystyle  i\hbar\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi(x,t)}{\partial x^2}+V\Psi(x,t)

Que é a equação a derivadas parciais de segunda ordem. Equações a derivadas parciais são muito difíceis de resolver, enquanto que as equações diferenciais ordinárias são fáceis de resolver.

Temos então que transformar esta equação em derivadas parciais numa equação diferencial ordinária.

Para fazer isso, usamos a técnica de separação de variáveis.

Vamos supor que {\Psi(x,t)} pode ser escrito como o produto de duas funções. Uma das funções é uma função da posição, enquanto a outra função é apenas uma função de {t}.

\displaystyle  \Psi(x,t)=\psi(x)\varphi(t)

Essa restrição pode parecer excessiva para a classe de soluções das Equações de Schroedinger, mas neste caso as aparências iludem. Como veremos mais adiante, soluções mais generalizadas da Equação Schroedinger podem ser construídas com soluções separáveis.

Calculando os derivados apropriados para {\Psi(x,t)} temos:

\displaystyle  \frac{\partial \Psi}{\partial t}=\psi\frac{d\varphi}{dt}

e

\displaystyle  \frac{\partial^2 \Psi}{\partial x^2} = \frac{d^2 \psi}{d x^2}\varphi

Substituindo as equações anteriores naa equação de Schroedinger vem:

\displaystyle  i\hbar\psi\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d \psi^2}{d x^2}\varphi+V\psi\varphi

Dividindo a igualdade anterior por {\psi\varphi}

\displaystyle  i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d \psi^2}{d x^2}+V

Na igualdade anterior, o lado esquerdo é uma função de {t} enquanto o lado direito é uma função de {x} (por hipótese {V} não é uma função de {t}).

Esses dois factos fazem com que a igualdade expressa na última equação exija um equilíbrio forte. Por exemplo, se {x} variasse sem variar {t} então o lado direito mudaria enquanto o lado esquerdo continuaria o mesmo desfazendo a nossa igualdade.

Evidentemente, tal coisa não pode acontecer. A única forma de manter a igualdade sempre válida é obrigar a ambos os lados da equação a serem constantes.

Por razões que se tornarão óbvias adiante, denotaremos essa constante (a chamada constante de separação) por {E}.

\displaystyle  i\hbar\frac{1}{\varphi}\frac{d\varphi}{dt}=E \Leftrightarrow \frac{d\varphi}{dt}=-\frac{i E}{\hbar}\varphi

e para a segunda equação

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{\psi}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V=E \Leftrightarrow -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 \psi}{d x^2}+V\psi=E\psi

A primeira equação pode ser facilmente resolvida e uma solução é

\displaystyle  \varphi=e^{-i\frac{E}{\hbar}t}

A segunda equação, a chamada equação de Schroedinger independente do tempo, só pode ser resolvida quando um potencial é especificado.

Como podemos ver, o método das soluções separáveis cumpriu com à minha promessa. Com isso, conseguimos produzir duas equações diferenciais ordinárias que podem, em princípio, ser resolvidas.

Na verdade, uma das equações já está resolvida mas falaremos mais sobre isso no artigo seguinte.

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