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Exercícios Resolvidos

— 1. Introdução —

A pedido de um dos nossos leitores vamos publicar alguns exercícios resolvidos para ajudá-lo a ele e aos seus colegas na compreensão da matéria de Cálculo I para o curso de Gestão e Economia.

— 2. Exercícios —

Exercício 1 Considera a sucessão {U_n} definida por: {U_n=\frac{n+1}{n}}.

  1. Calcule os 4 primeiro termos de {U_n}

    {U_1=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2}

    {U_2=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}}

    {U_3=\frac{3+1}{3}=\frac{4}{3}}

    {U_4=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{4}}

  2. Verifica se {\frac{6}{5}} é um termo da sucessão

    Para que {\frac{6}{5}} seja um termo da sucessão {U_n} tem que existir um {n} pertencente a {\mathbb{N}} tal que {U_n=\frac{6}{5}}.

    {\begin{aligned} \displaystyle \frac{6}{5}&= \frac{n+1}{n} \\ 6n &= 5n+5\\ 6n-5n &= 5\\ n &= 5 \end{aligned}}

    Como {n=5} é uma afirmação válida podemos concluir que {\frac{6}{5}} é um termo da sucessão.

  3. {\exists N \in \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}

    {\begin{aligned} \displaystyle \frac{7}{8}&= \frac{n+1}{n} \\ 7n &= 8n+8\\ 7n-8n &= 8\\ -n &= 5 \\ n &= -8 \end{aligned}}

    Como {n=-8} é uma afirmação que não é válida podemos que concluir que {n \nexists \mathbb{N}: U_n=\frac{7}{8}}

  4. Mostre que {a_{n+1}-a_n=-\frac{1}{(n+1)n}}. Que monotonia se trata?

    {\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{n+1+1}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{n+2}{n+1}-\frac{n+1}{n} \\ &= \frac{(n+2)n-(n+1)^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{n^2-2n-n^2-2n-1^2}{(n+1)n} \\ &= \frac{-1}{(n+1)n} \\ &= -\frac{1}{(n+1)n} \end{aligned}}

    Uma vez que a diferença entre termos sucessivos da sucessão {U_n} é negativa temos a seguinte relação:

    \displaystyle  a_{n+1}-a_n < 0

    Ora isto implica que

    \displaystyle  a_{n+1} < a_n

    Assim sendo vemos que os termos sucessivos são sempre menores que os termos anteriores, logo a sucessão {U_n} tem uma monotonia decrescente.

Exercício 2 Prove que a sucessão de termo geral

\displaystyle  a_n=\frac{3n-4}{2n-1}

é uma sucessão crescente.

Tal como vimos no exercício anterior para calcularmos a monotonia de uma função temos que calcular o termo

\displaystyle  a_{n+1}-a_n

{\begin{aligned} \displaystyle a_{n+1}-a_n &=\frac{3(n+1)-4}{2(n+1)-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n+3-4}{2n+2-1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{3n-1}{2n+1}-\frac{3n-4}{2n-1} \\ &= \frac{(3n-1)(2n-1)-(3n-4)(2n+1)}{(2n+1)(2n-1)} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-(6n^2+3n-8n-4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{6n^2-3n-2n+1-6n^2-3n+8n+4)}{4n^2-1} \\ &= \frac{5}{4n^2-1} \end{aligned}}

Uma vez que

\displaystyle  a_{n+1}-a_n=\frac{5}{4n^2-1}

E que

\displaystyle \frac{5}{4n^2-1}>0

Temos que

\displaystyle  a_{n+1}-a_n>0

E assim é

\displaystyle  a_{n+1}> a_n

Logo {a_n} é uma sucessão crescente.

Exercício 3

Dada a sequência do exemplo anterior, justifique que são limitadas as seguintes sucessões

  • {a_n=10+\frac{1}{n}}

    Ora {a_1=10+\frac{1}{1}=10+1=11}

    Por outro lado vamos calcular o limite da sucessão.

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim a_n &= \lim 10+\frac{1}{n}\\ &= 10+0\\ =10 \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  10 \leq a_n \leq 11

    A sucessão diz-se limitada.

  • {u_n=\frac{n+1}{n}}

    {u_1=\frac{1+1}{1}=\frac{2}{1}=2}

    Por outro lado

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim u_n &= \lim \frac{n+1}{n}\\ &= 1 \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  1 \leq u_n \leq 2

    A sucessão diz-se limitada.

  • {d_n=\frac{3-n}{n+1}}

    {d_0=\frac{3-0}{0+1}=\frac{3}{1}=3}

    Por outro lado

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim d_n &= \lim \frac{3-n}{n+1}\\ &= \lim \frac{-n}{n}\\ &= -1 \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  -1 \leq u_n \leq 3

    A sucessão diz-se limitada.

  • {d_n=n+\frac{1}{n}}

    {d_1=1+\frac{1}{1}=1+1=2}

    Por outro lado

    {\begin{aligned} \displaystyle \lim d_n &= n+\frac{1}{n}\\ &=\lim n+0\\ &= +\infty \end{aligned}}

    Uma vez que

    \displaystyle  \lim d_n=+\infty

    A sucessão diz-se não limitada.

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    Mecânica Quântica para Todos

    Como é sabido dos nossos leitores a Luso Academia tem vindo a realizar um ciclo de sessões de esclarecimento e divulgação da Ciência.

    Neste sentido foi hoje realizado mais uma dessas sessões. Como sempre tivemos o apoio do Acelera Angola, e da Estilo Rouge.

    Como já foi dito neste artigo Parceria Unitel, foi firmada uma parceria entre a Unitel e a Luso Academia. No âmbito desta parceria a Unitel foi também uma parceira neste evento e esteve presente durante a sessão de esclarecimento.

    Finalmente resta também mencionar o apoio do Centro Tecnológico Nacional que foi incansável na busca de oferecer as melhores condições para a realização deste evento.

    Relativamente a sessão de hoje o tema versado foi a Mecânica Quântica e procuramosfazer uma introdução da Mecânica Quântica que fosse o mais acessível para o público em geral.

    Deixamos então convosco a última apresentação e esperamos que vos seja útil.

    Mecanica Quantica Para Todos.

    Mini Curso de Física Moderna – Aula 1

    Como é do conhecimento dos nossos leitores temos planeado um mini curso de nome “Da Física Clássica à Física Moderna – Uma Breve Introdução“.

    No Sábado passado foi ministrado a primeira aula deste mini curso. Tal como foi combinado com os alunos que estiveram presentes partilhamos aqui o conteúdo da primeira aula.

    Fisica Moderna – Aula 1

    2017 – A Luso Academia em números

    Bom ano para todos os nossos leitores!

    Neste novo ano que agora começa queremos dar um novo fôlego ao Luso Academia. Queremos publicar mais e queremos publicar em mais áreas do saber.

    Para já vamos fazer um pequeno balanço do que tem sido o nosso alcance até então.

    Como sabem começámos este projecto no segundo semestre de 2015. Nestes primeiros 6 meses de actividade tivemos 10.499 visitas e 6.084 visitantes. O top três de países foi o Brasil com 4.226 visitas, Angola com 2.315 visitas e Portugal com 1.527 visitas

    Já em 2016, onde tivemos operacionais durante os 12 meses do ano, tivemos 105.868 visitas, 80.681 visitantes e publicamos 35 artigos. Quer isto dizer que tivemos um crescimento de 908% nas visitas.

    Para este período os países com mais visitas foram:

    1. Brasil com 84.113 visitas
    2. Estados Unidos com 7.348 visitas
    3. Portugal com 5.304 visitas

    Finalmente em 2017 tivemos 5 artigos publicados (um decréscimo substancial que vai ser revertido este ano!) e o número total de visitas foi de 163.490 com 121.907 visitantes. Isto representou um aumento de 54% nas nossas visitas. Para além disso foi também neste ano que atingimos pela primeira vez a marca de mais de 1.000 visitas num dia e onde vimos crescer substancialmente o número dos nossos seguidores.

    Como já dissemos, em 2018 vamos publicar muito mais do que publicamos até agora, de modo a podermos cumprir com a nossa missão.

    Esperem boas coisas da nossa parte e ajudem-nos a tornar o conteúdo do Luso Academia cada vez mais relevante.

    Excelente 2018!!!

    Da Física Clássica à Física Moderna – Uma Breve Introdução

    É bastante notório o interesse que as pessoas em geral têm pela Física. Pela evolução/história da Física assim como pelas suas teorias e modelos mais imaginativos que nos fazem pensar que afinal o mundo em que vivemos parece ter mais criatividade do que os seres humanos que o habitam.

    Neste sentido, foi pensado um mini-curso, pela equipa da Luso Academia, que nos levará da Física Clássica à Física Moderna. O objectivo deste curso é introduzir alguns conceitos de Física Moderna de uma forma acessível. Para tal faremos uma breve revisão de alguns conceitos, pressupostos e resultados da mecânica clássica, ainda que utilizando alguma terminologia e conceitos mais modernos, e só depois a Física Relativista e Física Quântica serão introduzidas e estudadas.

    Os temas que iremos tratar ao longo deste curso serão (quase) sempre introduzidos da mesma maneira: umas quantas definições de conceitos iniciais, uma exposição dos axiomas que regulam o comportamento das entidades definidas e os resultados que se seguem após o enunciado dos axiomas.

    Sei bem que esta não é a maneira corrente de ensinar muitos destes tópicos a um nível introdutório, mas escolhi assim fazê-lo porque tal permite brevidade de exposição dos temas tratados e porque me parece que as teorias assim retratadas são manifestamente mais elegantes.

    Espero que o que se ganhe em tempo e elegância não seja compensado por uma correspondente perda em pedagogia.

    No final do curso os alunos serão capazes de não só entender os conceitos que serão partilhados assim como de os utilizar para resolver exercícios e dessa forma aprofundar ainda mais os conceitos estudados.

    De modo a não deixarmos ninguém de fora, este mini-curso será também partilhado na internet através do livestream (o link de acesso será divulgado brevemente). Para além disso, vamos também partilhar as aulas, uma por uma, através do nosso blog, para que seja possível a qualquer um dos nos nossos leitores fazer parte deste curso e esclarecer as suas dúvidas e questões.

    Partilhamos então o link do evento convosco: “Da Física Clássica à Física Moderna – Uma Breve Introdução” para que se possam inscrever através do facebook.

     

    Física X – Termodinâmica, Relatividade e o nosso dia a dia

    No seguimento do ciclo de conversas Física X, realizamos no passado dia 16 de Dezembro  a segunda sessão intitulada “Termodinâmica, Relatividade e o nosso dia a dia”.

    À semelhança da primeira sessão, tivemos o apoio do Acelera Angola, para a realização do evento. A novidade da segunda sessão é que desta vez pudemos contar também com o apoio da Estilo Rouge, que disponibilizou as suas instalações para a realização do evento.

    Neste segundo evento tentamos desmitificar algumas noções essenciais de Termodinâmica e explicar de uma forma mais amigável os conceitos fundamentais da Relatividade Restrita.

    Partilhamos com os leitores do Luso Academia o conteúdo da segunda sessão, relembrando que, tal como na primeira sessão, o conteúdo da conversa foi para além do que está nos slides.

    Sem mais delongas aqui está a apresentação: “Termodinamica, Relatividade e o nosso dia a dia

    Física X

    Com o apoio do Acelera Angola foi ontem realizada a primeira sessão das desconferênciasFísica X“.

    A ideia destas desconferências é fazer com que várias temáticas da Física que normalmente não são do conhecimento geral atinjam um maior público.

    Para já estão planeadas quatro ou cinco desconferências e aproveitamos a oportunidade para partilhar convosco a apresentação da primeira sessão.

    De notar que, propositadamente, a apresentação aqui partilhada não contém toda a informação que foi discutida ao longo da sessão. Isto é assim, pois pretendemos não limitar a discussão com o material que é apresentado, mas sim ter uma base sob a qual a discussão e as perguntas podem fluir de forma livre ainda que norteada.

    Para fazer download da nossa apresentação basta clickar no seguinte link: Física X – Primeira Sessão

    A próxima desconferência do Física X será no dia 16 de Dezembro e oportunamente iremos partilhar o local e a hora.

    Esperemos que se façam presentes.

     

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