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Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2

09/28/2019 12:13 pm / Deixe um comentário

— 1.2.11. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2 —

Exemplo 14 Consideremos o espaço ${C([0,1],\mathbb{R})}$ com a métrica ${d_{\inf}}$ (mas vamos chama-la de ${d_{1}}$ ), e seja ${f\in C([0,1],\mathbb{R})}$ uma função fixa e não identicamente nula. Então a aplicação

$\displaystyle F:C_{([0,1],\mathbb{R})}\longrightarrow\mathbb{R}$

definida como:

$\displaystyle F(g)=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx$

é continua para todo ${g\in C([0,1],\mathbb{R})}$ .

Demonstração: Para provarmos a afirmação acima, primeiramente devemos nos lembrar da definição de continuidade, ela basicamente diz que se nós temos uma função que vai de um espaço a outro, e.g., ${(X,d_{1})}$ e ${(Y,d_{2})}$ ,

$\displaystyle f:(X,d_{1})\longrightarrow (Y,d_{2})$

então ela é continua se conseguirmos encontrar um delta ${\delta}$ , único, que satisfaz ${d_{1}(x,y)<\delta}$ , onde ${x,y\in X}$ , para todo ${\epsilon>0}$ tal que ${d_{2}(f(x),f(y)<\epsilon}$ . No exemplo acima podemos escrever de modo mais detalhado a função ${F}$ como:

$\displaystyle F:(C_{([0,1],\mathbb{R})},d_{1})\longrightarrow (\mathbb{R},d_{2})$

onde ${d_{1}=d_{\infty}(f(x),g(x)=\max_{x\in [0,1]}\mid f(x)-g(x)\mid}$ e ${d_{2}(F(f),F(g))=\mid F(f)-F(g)\mid}$ . E claro, ${f,g:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}}$ .

Portanto, para avaliarmos a continuidade basta escolhermos um ponto (neste caso uma função) arbitrária ${h\in C_{([0,1],\mathbb{R})}}$ , então

$\displaystyle \mid F(g)-F(h)\mid=\mid \int_{0}^{1}f(x)g(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)h(x)dx\mid\leq\mid \int_{0}^{1}f(x)(g(x)-h(x)dx\mid$

aplicando a desigualdade triângular para integrais obtemos:

$\displaystyle \mid F(g)-F(h)\mid\leq\int_{0}^{1}f(x)dx\max\mid g(x)-h(X)\mid\leq \int_{0}^{1}f(x)dx.d_{1}(g,h)$

Logo, se tomarmos ${\delta=\frac{\epsilon}{\int_{0}^{1}f(x)dx}}$ temos o que queremos. $\Box$

Exercício

Considere o exemplo acima,mas desta vez com ${d_{1}(f,g)=\int_{0}^{1}\mid f(x)-g(x)\mid dx}$ .

Continuidade em Espaços Métricos. Continuação.

09/22/2019 10:03 pm / Deixe um comentário

— 1.2.10. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação —

Agora apresentaremos alguns exemplos de funções contínuas. Vou assumir que os leitores já estão familiarizados com a noção de continuidade apresentada nos cursos de Cálculo, principalmente as funções trigonométricas, logaritimicas e polinomiais. Em seguida, darei alguns exemplos sobre o conceito de continuidade nos espaços métricos.

Proposição 33 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${A\subseteq X}$ , com ${A\neq\emptyset}$ . Então para todo ${x,y\in X}$ e ${z\in A}$ , temos:

$\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y) \ \ \ \ \ (2)$

Demonstração: Como ${X}$ éum espaço métrico, então é válida a desigualdade triângular:

$\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

tomando o ínfimo para todo ${z\in A}$ e considerando

$\displaystyle d(x,A)=\inf_{z\in A}d(x,z)$

$\displaystyle d(y,A)=\inf_{z\in A}d(y,z)$

teremos, ${d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)}$ , e depois trocando ${x}$ e ${y}$ se obtem:

$\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y)$

$\Box$

Proposição 34 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, e ${x_{0}\in X}$ . Se definirmos a função distância ${f:X\longrightarrow \mathbb{R}}$ , como

$\displaystyle f(x)=d(x,x_{0})$

então ${f}$ é contínua.

Demonstração: Para provarmos isto usaremos a Prop. 1.31 assim como a 1.33. Sabemos que uma função é contínua em um ponto ${a}$ se e só se ${\forall x_{n}\subset X: x_{n}\longrightarrow a\implies f(x_{n})\longrightarrow f(a)}$ .

É importante notarmos que na definição da função distância o espaço imagem é basicamente ${(Y=\mathbb{R},\rho_{\text{usual}})}$ portanto, ${\rho(f(x),f(y))=\mid f(x)-f(y)\mid}$ .

Seja ${x_{n}}$ uma sequência de ${X}$ tal que : ${x_{n}\longrightarrow a}$ , então por definição ${d(x_{n},a)<\epsilon}$ , onde ${\epsilon>0}$ . Logo,

$\displaystyle \rho(f(x_{n}),f(a))=\mid f(x_{n})-f(a)\mid=\mid d(x_{n},x_{0})-d(x_{0},a)\mid\leq d(x_{n},a)<\epsilon$

Portanto, é suficiente tomar ${\delta=\delta(a,\epsilon)=\epsilon}$ e ${d(x,a)<\delta}$ , para garantirmos a continuidade de ${f}$ . E como ${a\in X}$ é arbitrário isto significa que ${f(x)=d(x,x_{0})}$ é contínua para todo ${\mathbb{R}}$ . $\Box$

Exemplo 13

Se ${(X,d)}$ é um espaço métrico discreto e ${(Y,\rho)}$ um espaço métrico qualquer, então as únicas funções contínuas ${f:x\longrightarrow Y}$ são as funções constantes.
Para provarmos isto, seja ${\epsilon>0}$ basta tomar ${\delta<1}$ , com ${d(x,a)<\delta<1}$ e como ${d}$ é a métrica discreta, i.e.,

$\displaystyle d(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.$

então obviamente ${d(x,a)=0}$ o que implica ${x=a}$ . Assim,

$\displaystyle \rho(f(x),f(a))=\rho(f(a),f(a))=0.$
A função ${f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}}$ definida como:
$\displaystyle f(k,x)=kx$

é contínua.(É facíl provar, deixada ao leitor, não esquecer que ${x\in\mathbb{R}^{n}}$ é um vector, i.e., ${x=(x_{1},\cdots,x_{n})}$ ).

Proposição 35 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico e ${f,g:X\longrightarrow \mathbb{R}}$ duas funções contínuas. Então:

${(f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ e ${(fg)(x)=f(x)g(x)}$ são contínuas.
Se ${f(x)\neq0}$ para todo ${x\in X}$ , então ${h(x)=\frac{1}{f(x)}}$ é uma função contínua.

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

O conceito de continuidade reveste-se de capital importância para a Topologia por isso em aulas subsequentes continuaremos a explorar o conceito até as suas aplicações mais importantes.

Continuidade em Espaços Métricos

09/17/2019 8:14 pm / Deixe um comentário

— 1.2. Continuidade em Espaços Métricos —

Definição 15 Seja ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ dois espaços métricos, uma função ${f:X\longrightarrow Y}$ é contínua no ponto ${a}$ em ${X}$ se para todo ${\epsilon>0}$ exise um ${\delta>0}$ tal que quando ${d(a,x)<\delta}$ segue que ${\rho(f(a),f(x)<\epsilon}$ .

Comentário 6 Uma função ${f}$ é contínua se é contínua em cada ponto de ${X}$ .

Comentário 7 Se na definição acima fazermos ${X=Y=\mathbb{R}}$ torna-se na definição padrão ensinada nos cursos de cálculo, i.e., para todo ${\epsilon>0}$ existe um ${\delta>0}$ tal que ${\mid x-a\mid<\delta}$ temos ${\mid f(a)-f(x)\mid}$ .

Proposição 31 Se ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ são espaços métricos e ${f:X\longrightarrow Y}$ , então ${f}$ é contínua em ${a}$ se e somente se sempre que ${x_{n}\subset X}$ e ${x_{n}\longrightarrow a}$ , então ${f(x_{n})\longrightarrow f(a)}$ em ${Y}$ .

Demonstração: Suponhamos que ${f}$ é contínua em ${a}$ e ${x_{n}\longrightarrow a}$ . Como ${f}$ é contínua, então para algum ${N\geq 1}$ tal que ${d(x_{n},a)<\delta}$ quando ${n\geq N}$ . Portanto, ${\rho(f(x_{n}),f(a)<\epsilon}$ quando ${n\geq N}$ . Como ${\epsilon}$ é arbitrário, isto significa que ${f(x_{n})\longrightarrow f(a)}$ .

Para provarmos a implicação inversa, suponhamos que ${f}$ não é contínua em ${a}$ , i.e., existe um ${\epsilon>0}$ tal que para todo ${\delta>0}$ existe pelo menos um ${x}$ com ${d(x,a)<\delta}$ , mas ${\rho(f(x),f(a))\geq \epsilon}$ .

Em particular, tomando ${\delta=\frac{1}{n}}$ temos que para todo ${n\geq1}$ existe um ${x_{n}}$ com ${d(x_{n},a)<\frac{1}{n}}$ e ${\rho(f(x_{n}),f(a))\geq\epsilon}$ . Quando ${n\longrightarrow\infty}$ então ${x_{n}\longrightarrow a}$ , e ${f(x_{n})}$ não converge a ${f(a)}$ . $\Box$

Teorema 32 Se ${(X,d)}$ e ${(Y,\rho)}$ são espaços métricos e ${f:X\longrightarrow Y}$ , então as seguintes afirmações são equivalentes:

${f}$ é uma função contínua em ${X}$ .
Se ${U}$ é um subconjunto aberto de ${Y}$ , então ${f^{-1}(U)}$ é um subconjunto aberto de ${X}$ .
Se ${V}$ é um subconjunto fechado de ${Y}$ , então ${f^{-1}(V)}$ é um subconjunto fechado de ${X}$ .

Demonstração: 2. implica 3.:

Note que ${f^{-1}(Y-U)=X-f^{-1}(U)}$ e ${f^{-1}(Y-V)=X-f^{-1}(V)}$ .

1.implica 2.: Seja ${a\in f^{-1}(U)}$ tal que ${\alpha=f(a)\in U}$ . Como ${U}$ é aberto, existe um ${\epsilon>0}$ talque ${B(\alpha,\epsilon)\subseteq U}$ . Como ${f}$ é contínua exise um ${\delta>0}$ tal que ${d(a,x)<\delta}$ implica ${\rho(f(a),f(x))<\epsilon}$ . Em outras palavras, ${B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(\alpha,\epsilon))\subseteq f^{-1}(U)}$ . Como ${a}$ era um ponto arbitrário em ${f^{-1}(U)}$ , isto significa que ${f^{-1}(U)}$ é aberto. $\Box$

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