Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2
— 1.2.11. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2 —
Exemplo 14 Consideremos o espaço com a métrica (mas vamos chama-la de ), e seja uma função fixa e não identicamente nula. Então a aplicação
definida como: é continua para todo . |
Demonstração: Para provarmos a afirmação acima, primeiramente devemos nos lembrar da definição de continuidade, ela basicamente diz que se nós temos uma função que vai de um espaço a outro, e.g., e ,
então ela é continua se conseguirmos encontrar um delta , único, que satisfaz , onde , para todo tal que . No exemplo acima podemos escrever de modo mais detalhado a função como:
onde e . E claro, .
Portanto, para avaliarmos a continuidade basta escolhermos um ponto (neste caso uma função) arbitrária , então
aplicando a desigualdade triângular para integrais obtemos:
Logo, se tomarmos temos o que queremos.
Exercício
Considere o exemplo acima,mas desta vez com .
Continuidade em Espaços Métricos. Continuação.
— 1.2.10. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação —
Agora apresentaremos alguns exemplos de funções contínuas. Vou assumir que os leitores já estão familiarizados com a noção de continuidade apresentada nos cursos de Cálculo, principalmente as funções trigonométricas, logaritimicas e polinomiais. Em seguida, darei alguns exemplos sobre o conceito de continuidade nos espaços métricos.
Proposição 33 Seja um espaço métrico e , com . Então para todo e , temos: |
Demonstração: Como éum espaço métrico, então é válida a desigualdade triângular:
tomando o ínfimo para todo e considerando
e
teremos, , e depois trocando e se obtem:
Proposição 34 Seja um espaço métrico, e . Se definirmos a função distância , como
então é contínua. |
Demonstração: Para provarmos isto usaremos a Prop. 1.31 assim como a 1.33. Sabemos que uma função é contínua em um ponto se e só se .
É importante notarmos que na definição da função distância o espaço imagem é basicamente portanto, .
Seja uma sequência de tal que : , então por definição , onde . Logo,
Portanto, é suficiente tomar e , para garantirmos a continuidade de . E como é arbitrário isto significa que é contínua para todo .
Exemplo 13
|
Proposição 35 Seja um espaço métrico e duas funções contínuas. Então:
|
Demonstração: Deixada ao leitor.
O conceito de continuidade reveste-se de capital importância para a Topologia por isso em aulas subsequentes continuaremos a explorar o conceito até as suas aplicações mais importantes.
Continuidade em Espaços Métricos
— 1.2. Continuidade em Espaços Métricos —
Definição 15 Seja e dois espaços métricos, uma função é contínua no ponto em se para todo exise um tal que quando segue que . |
Comentário 6 Uma função é contínua se é contínua em cada ponto de . |
Comentário 7 Se na definição acima fazermos torna-se na definição padrão ensinada nos cursos de cálculo, i.e., para todo existe um tal que temos . |
Proposição 31 Se e são espaços métricos e , então é contínua em se e somente se sempre que e , então em . |
Demonstração: Suponhamos que é contínua em e . Como é contínua, então para algum tal que quando . Portanto, quando . Como é arbitrário, isto significa que .
Para provarmos a implicação inversa, suponhamos que não é contínua em , i.e., existe um tal que para todo existe pelo menos um com , mas .
Em particular, tomando temos que para todo existe um com e . Quando então , e não converge a .
Teorema 32 Se e são espaços métricos e , então as seguintes afirmações são equivalentes:
|
Demonstração: 2. implica 3.:
Note que e .
1.implica 2.: Seja tal que . Como é aberto, existe um talque . Como é contínua exise um tal que implica . Em outras palavras, . Como era um ponto arbitrário em , isto significa que é aberto.