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Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2

— 1.2.11. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação 2 —

Exemplo 14 Consideremos o espaço {C([0,1],\mathbb{R})} com a métrica {d_{\inf}} (mas vamos chama-la de {d_{1}}), e seja {f\in C([0,1],\mathbb{R})} uma função fixa e não identicamente nula. Então a aplicação

\displaystyle F:C_{([0,1],\mathbb{R})}\longrightarrow\mathbb{R}

definida como:

\displaystyle F(g)=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx

é continua para todo {g\in C([0,1],\mathbb{R})}.

Demonstração: Para provarmos a afirmação acima, primeiramente devemos nos lembrar da definição de continuidade, ela basicamente diz que se nós temos uma função que vai de um espaço a outro, e.g., {(X,d_{1})} e {(Y,d_{2})},

\displaystyle f:(X,d_{1})\longrightarrow (Y,d_{2})

então ela é continua se conseguirmos encontrar um delta {\delta}, único, que satisfaz {d_{1}(x,y)<\delta}, onde {x,y\in X}, para todo {\epsilon>0} tal que {d_{2}(f(x),f(y)<\epsilon}. No exemplo acima podemos escrever de modo mais detalhado a função {F} como:

\displaystyle F:(C_{([0,1],\mathbb{R})},d_{1})\longrightarrow (\mathbb{R},d_{2})

onde {d_{1}=d_{\infty}(f(x),g(x)=\max_{x\in [0,1]}\mid f(x)-g(x)\mid} e {d_{2}(F(f),F(g))=\mid F(f)-F(g)\mid}. E claro, {f,g:[0,1]\longrightarrow\mathbb{R}}.

Portanto, para avaliarmos a continuidade basta escolhermos um ponto (neste caso uma função) arbitrária {h\in C_{([0,1],\mathbb{R})}}, então

\displaystyle \mid F(g)-F(h)\mid=\mid \int_{0}^{1}f(x)g(x)dx-\int_{0}^{1}f(x)h(x)dx\mid\leq\mid \int_{0}^{1}f(x)(g(x)-h(x)dx\mid

aplicando a desigualdade triângular para integrais obtemos:

\displaystyle \mid F(g)-F(h)\mid\leq\int_{0}^{1}f(x)dx\max\mid g(x)-h(X)\mid\leq \int_{0}^{1}f(x)dx.d_{1}(g,h)

Logo, se tomarmos {\delta=\frac{\epsilon}{\int_{0}^{1}f(x)dx}} temos o que queremos. \Box

Exercício

Considere o exemplo acima,mas desta vez com {d_{1}(f,g)=\int_{0}^{1}\mid f(x)-g(x)\mid dx}.

Continuidade em Espaços Métricos. Continuação.

— 1.2.10. Continuidade em Espaços Métricos. Continuação —

Agora apresentaremos alguns exemplos de funções contínuas. Vou assumir que os leitores já estão familiarizados com a noção de continuidade apresentada nos cursos de Cálculo, principalmente as funções trigonométricas, logaritimicas e polinomiais. Em seguida, darei alguns exemplos sobre o conceito de continuidade nos espaços métricos.

Proposição 33 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {A\subseteq X}, com {A\neq\emptyset}. Então para todo {x,y\in X} e {z\in A}, temos:

\displaystyle  \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y) \ \ \ \ \ (2)

Demonstração: Como {X} éum espaço métrico, então é válida a desigualdade triângular:

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)

tomando o ínfimo para todo {z\in A} e considerando

\displaystyle  d(x,A)=\inf_{z\in A}d(x,z)

e

\displaystyle d(y,A)=\inf_{z\in A}d(y,z)

teremos, {d(x,A)-d(y,A)\leq d(x,y)}, e depois trocando {x} e {y} se obtem:

\displaystyle \mid d(x,A)-d(y,A)\mid\leq d(x,y)

\Box

Proposição 34 Seja {(X,d)} um espaço métrico, e {x_{0}\in X}. Se definirmos a função distância {f:X\longrightarrow \mathbb{R}}, como

\displaystyle f(x)=d(x,x_{0})

então {f} é contínua.

Demonstração: Para provarmos isto usaremos a Prop. 1.31 assim como a 1.33. Sabemos que uma função é contínua em um ponto {a} se e só se {\forall x_{n}\subset X: x_{n}\longrightarrow a\implies f(x_{n})\longrightarrow f(a)}.

É importante notarmos que na definição da função distância o espaço imagem é basicamente {(Y=\mathbb{R},\rho_{\text{usual}})} portanto, {\rho(f(x),f(y))=\mid f(x)-f(y)\mid}.

Seja {x_{n}} uma sequência de {X} tal que : {x_{n}\longrightarrow a}, então por definição {d(x_{n},a)<\epsilon}, onde {\epsilon>0}. Logo,

\displaystyle \rho(f(x_{n}),f(a))=\mid f(x_{n})-f(a)\mid=\mid d(x_{n},x_{0})-d(x_{0},a)\mid\leq d(x_{n},a)<\epsilon

Portanto, é suficiente tomar {\delta=\delta(a,\epsilon)=\epsilon} e {d(x,a)<\delta}, para garantirmos a continuidade de {f}. E como {a\in X} é arbitrário isto significa que {f(x)=d(x,x_{0})} é contínua para todo {\mathbb{R}}. \Box

Exemplo 13

  1. Se {(X,d)} é um espaço métrico discreto e {(Y,\rho)} um espaço métrico qualquer, então as únicas funções contínuas {f:x\longrightarrow Y} são as funções constantes.

    Para provarmos isto, seja {\epsilon>0} basta tomar {\delta<1}, com {d(x,a)<\delta<1} e como {d} é a métrica discreta, i.e.,

    \displaystyle  d(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.

    então obviamente {d(x,a)=0} o que implica {x=a}. Assim,

    \displaystyle \rho(f(x),f(a))=\rho(f(a),f(a))=0.

  2. A função {f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}} definida como:

    \displaystyle f(k,x)=kx

    é contínua.(É facíl provar, deixada ao leitor, não esquecer que {x\in\mathbb{R}^{n}} é um vector, i.e., {x=(x_{1},\cdots,x_{n})}).

Proposição 35 Seja {(X,d)} um espaço métrico e {f,g:X\longrightarrow \mathbb{R}} duas funções contínuas. Então:

  1. {(f+g)(x)=f(x)+g(x)} e {(fg)(x)=f(x)g(x)} são contínuas.
  2. Se {f(x)\neq0} para todo {x\in X}, então {h(x)=\frac{1}{f(x)}} é uma função contínua.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

O conceito de continuidade reveste-se de capital importância para a Topologia por isso em aulas subsequentes continuaremos a explorar o conceito até as suas aplicações mais importantes.

Continuidade em Espaços Métricos

— 1.2. Continuidade em Espaços Métricos —

Definição 15 Seja {(X,d)} e {(Y,\rho)} dois espaços métricos, uma função {f:X\longrightarrow Y} é contínua no ponto {a} em {X} se para todo {\epsilon>0} exise um {\delta>0} tal que quando {d(a,x)<\delta} segue que {\rho(f(a),f(x)<\epsilon}.
Comentário 6 Uma função {f} é contínua se é contínua em cada ponto de {X}.
Comentário 7 Se na definição acima fazermos {X=Y=\mathbb{R}} torna-se na definição padrão ensinada nos cursos de cálculo, i.e., para todo {\epsilon>0} existe um {\delta>0} tal que {\mid x-a\mid<\delta} temos {\mid f(a)-f(x)\mid}.

Proposição 31 Se {(X,d)} e {(Y,\rho)} são espaços métricos e {f:X\longrightarrow Y}, então {f} é contínua em {a} se e somente se sempre que {x_{n}\subset X} e {x_{n}\longrightarrow a}, então {f(x_{n})\longrightarrow f(a)} em {Y}.

Demonstração: Suponhamos que {f} é contínua em {a} e {x_{n}\longrightarrow a}. Como {f} é contínua, então para algum {N\geq 1} tal que {d(x_{n},a)<\delta} quando {n\geq N}. Portanto, {\rho(f(x_{n}),f(a)<\epsilon} quando {n\geq N}. Como {\epsilon} é arbitrário, isto significa que {f(x_{n})\longrightarrow f(a)}.

Para provarmos a implicação inversa, suponhamos que {f} não é contínua em {a}, i.e., existe um {\epsilon>0} tal que para todo {\delta>0} existe pelo menos um {x} com {d(x,a)<\delta}, mas {\rho(f(x),f(a))\geq \epsilon}.

Em particular, tomando {\delta=\frac{1}{n}} temos que para todo {n\geq1} existe um {x_{n}} com {d(x_{n},a)<\frac{1}{n}} e {\rho(f(x_{n}),f(a))\geq\epsilon}. Quando {n\longrightarrow\infty} então {x_{n}\longrightarrow a}, e {f(x_{n})} não converge a {f(a)}. \Box

Teorema 32 Se {(X,d)} e {(Y,\rho)} são espaços métricos e {f:X\longrightarrow Y}, então as seguintes afirmações são equivalentes:

  1. {f} é uma função contínua em {X}.
  2. Se {U} é um subconjunto aberto de {Y}, então {f^{-1}(U)} é um subconjunto aberto de {X}.
  3. Se {V} é um subconjunto fechado de {Y}, então {f^{-1}(V)} é um subconjunto fechado de {X}.

Demonstração: 2. implica 3.:

Note que {f^{-1}(Y-U)=X-f^{-1}(U)} e {f^{-1}(Y-V)=X-f^{-1}(V)}.

1.implica 2.: Seja {a\in f^{-1}(U)} tal que {\alpha=f(a)\in U}. Como {U} é aberto, existe um {\epsilon>0} talque {B(\alpha,\epsilon)\subseteq U}. Como {f} é contínua exise um {\delta>0} tal que {d(a,x)<\delta} implica {\rho(f(a),f(x))<\epsilon}. Em outras palavras, {B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(\alpha,\epsilon))\subseteq f^{-1}(U)}. Como {a} era um ponto arbitrário em {f^{-1}(U)}, isto significa que {f^{-1}(U)} é aberto. \Box

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