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Monthly Archives: Agosto 2019

Demonstração do Teorema de Cantor

08/24/2019 3:34 pm / Deixe um comentário

Demonstração: Na proxima aula. $\Box$

ilon>0}&fg=000000$, seja ${N}$ tal que ${diam F_{n}<\epsilon}$ , ${\forall n\geq N}$ . Assim, se ${m,n\geq N}$ , então ii) implica que ${F_{N}\subseteq F_{n,m}}$ ,i.e., ${diam F_{N}<diam F_{n}<\epsilon}$ , logo ${x_{n}}$ é uma sequência de Cauchy, e como ${(X,d)}$ é completo, então ${\exists x\in X}$ : ${x_{n}\longrightarrow x}$ .

Como cada ${F_{n}}$ é fechado, então ${x\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}$ . Se ${\exists y\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}$ , então ${d(x,y)\leq diam F_{n}}$ , logo ${x=y}$ .

Seja agora ${x_{n}}$ uma sequência de Cauchy. Tomando ${F_{n}=\overline{\{x_{n+1}, x_{n},\cdots\}}}$ . Claramente ${F_{n}}$ é fechado e decrescente. Seja ${\epsilon>0}$ e seja ${N}$ tal que ${d(x_{n},x_{m})<\epsilon}$ , ${\forall m,n\geq N}$ . Como ${diam F_{k}=\sup\{d(x_{n},x_{m}):m,n\geq k\}\leq\epsilon\Longrightarrow diam F_{k}\longrightarrow0}$ .

Para qualquer ${n\geq 1}$ , ${d(x,x_{n})\leq diam F_{n}\longrightarrow0}$ , i.e., ${x_{n}\longrightarrow x}$ , logo ${(x,d)}$ é completo.

$\Box$

Topologia dos Espaços Métricos e Sequências

08/14/2019 10:59 pm / Deixe um comentário

— 1.1.8. Topologia dos Espaços Métricos e Sequências —

Proposição 24 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico. Um subconjunto ${F}$ de ${X}$ é fechado em ${(X,d)}$ , se e só se, toda sequência de pontos em ${F}$ converge para um ponto em ${F}$ . ( ${\forall x_{n}\subset F: x_{n}\longrightarrow x\implies x\in F}$ ).

Demonstração: Primeiramente temos de provar que se ${x_{n}\subset F}$ , ${ x_{n}\longrightarrow x}$ e ${F}$ é fechado, então ${x\in F}$ .

Suponhamos pelo contrário que ${x\notin F}$ , então ${x\in X-F}$ que é aberto, logo pela definição 1.4, ${\exists r>0: B(x,r)\subseteq X-F}$ , então a partir de uma certa ordem deve existir um ${N}$ , tal que para todo ${n\geq N}$ , ${d(x_{n},x)<r}$ , i.e., ${x_{n}\in B(x,r)\subseteq X-F}$ , o que é uma contradição,já que por hipótese ${x_{n}\in F}$ . Portanto, ${x\in F}$ .

Se ${x\in F}$ , então ${x\in\widehat{F}}$ , pela definição 1.5 ${B(x,r)\cap F\neq\emptyset}$ ${\forall r>0}$ . Em particular, para todo natural ${n}$ existe umponto ${x_{n}}$ em ${B(x,\frac{1}{2n})\cap F}$ . Por isso ${x_{n}\subset F}$ e ${d(x,x_{n})<\frac{1}{2n}}$ , assim ${x_{n}\longrightarrow x}$ e ${x\in F}$ . $\Box$

Definição 14 Um espaço métrico é completo se toda sucessão de Cauchy nesse espaço é convergente.

Exemplo 12 Todo espaço métrico discreto é completo porque suas sucessões de Cauchy são constantes.

Lema 25 Se ${x_{n}}$ é uma sucessão de Cauchy de elementos de ${\mathbb{R}}$ , então sua imagem é um conjunto limitado.

Teorema 26 ${\mathbb{R}}$ é completo.

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Proposição 27 Se ${(X,d)}$ é um espaço métrico completo e ${Y\subseteq X}$ , então ${(Y,d)}$ é completo se e só se ${Y}$ é fechado em ${X}$ .

Corolário 28 Os subconjuntos fechados de ${\mathbb{R}}$ são espaços métricos completos.

Proposição 29 Todo producto ${X_{1}\times \cdots \times X_{n}}$ de espaços métricos completos ${X_{1},\cdots, X_{n}}$ , é um espaço métrico completo.

Teorema 30 (Cantor) Um espaço métrico ${(X,d)}$ é um espaço métrico completo se e só se sempre que ${\{F_{n}\}}$ é uma sequência não vazia de subconjuntos satisfazendo:

Cada ${F_{n}}$ é fechado;
${F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq\cdots}$ ;
${diam F_{n}\longrightarrow 0}$ , então ${\cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}$ é um único ponto.

Demonstração: Na proxima aula. $\Box$

Espaços Métricos e Sequências

08/07/2019 8:49 pm / Deixe um comentário

Aula 6

— 1.1.7. Espaços Métricos e Sequências —

Nesta aula introduziremos o conceito de sequências em espaços métricos. Embora este conceito já seja conhecido de modo elementar no espaço dos números reais, ${\mathbb{R}}$ , procederemos à generalização do mesmo para qualquer espaço métrico ${X}$

Definição 11 Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico. Uma sequência, num espaço métrico, é uma aplicação ${x:\mathbb{N}\longrightarrow X}$ , onde os ${(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}}$ são pontos em ${(X,d)}$ .

Exemplo 10 Em particular se tomarmos ${X=\mathbb{R}}$ retornaremos ao conceito usual de sequências.

Definição 12 Uma sequência ${\{x_{n}\}}$ em ${X}$ converge para ${x}$ , i.e., ${x_{n}\longrightarrow x}$ , se ${\forall\epsilon>0}$ ${\exists N>0}$ : ${d(x_{n},x)<\epsilon}$ , ${\forall n\geq N(\epsilon)}$ .

Exemplo 11 Seja ${(X,d)}$ o espaço métrico discreto, então uma sequência ${\{x_{n}\}}$ em ${X}$ converge para ${x}$ se e só se existe um inteiro ${N}$ tal que ${x_{n}=x}$ sempre que ${n\geq N}$ .

Proposição 21 Se ${x_{n}\longrightarrow x}$ em ${X}$ e ${\{x_{n_{k}}\}}$ é uma subsequência, então ${x_{n_{k}}\longrightarrow x}$ .

Demonstração: Deixada ao leitor. $\Box$

Definição 13 Uma sequência ${\{x_{n}\}}$ em ${X}$ é de Cauchy se ${\forall\epsilon>0}$ ${\exists n_{0}\in\mathbb{N}}$ tal que ${d(x_{m},x_{n})<\epsilon}$ , para todo ${m,n\geq n_{0}}$ .

Proposição 22 Toda sucessão ${x_{n}}$ convergente de ${X}$ é de Cauchy.

Demonstração: A proposição acima basicamente diz que se uma sucessão é convergente, então ela é de Cauchy.

Como por hipótese, ${x_{n}\longrightarrow x}$ , então pela definição 1.12, ${d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}}$ para algum ${\epsilon>0}$ e para todo ${n\geq n_{0}}$ , onde ${n_{0}\in\mathbb{N}}$ . De modo similar, a partir de uma certa ordem, ${m}$ , temos ${d(x_{m},x)<\frac{\epsilon}{2}}$ , com ${m\geq n_{0}}$ . Portanto, aplicando a desigualdade triângular obtemos:

$\displaystyle d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$

$\Box$

Em geral,a recíproca da proposição anterior é falsa. Para isto, consideremos por exemplo a sucessão ${x_{n}=\frac{1}{n}}$ no espaço ${X=\mathbb{R}-\{0\}}$ com a métrica euclidiana usual.

Proposição 23 Se ${\{x_{n}\}}$ é uma sequência de Cauchy e alguma subsequência de ${X_{n}}$ converge para ${x}$ , então ${x_{n}\longrightarrow x}$ .

Demonstração: Por hipótese temos que ${x_{n_{k}}\longrightarrow x}$ para algum ${\epsilon>0}$ . Seja ${N_{1}, N_{2}\in\mathbb{N}}$ tal que ${d(x_{n_{k}},x)<\frac{\epsilon}{2}}$ , para todo ${n_{k}\geq N_{1}}$ . Por outro lado, como ${x_{n}}$ é umasequência de Cauchy, então ${d(x_{m},x_{n})<\frac{\epsilon}{2}}$ , para ${m,n\geq N_{2}}$ . Fixemos ${n_{k}>N}$ e seja ${N=\max\{N_{1},N_{2}\}}$ , então: