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Demonstração do Teorema de Cantor

Demonstração: Na proxima aula. \Box

ilon>0}&fg=000000$, seja {N} tal que {diam F_{n}<\epsilon}, {\forall n\geq N}. Assim, se {m,n\geq N}, então ii) implica que {F_{N}\subseteq F_{n,m}},i.e., {diam F_{N}<diam F_{n}<\epsilon}, logo {x_{n}} é uma sequência de Cauchy, e como {(X,d)} é completo, então {\exists x\in X}: {x_{n}\longrightarrow x}.

Como cada {F_{n}} é fechado, então {x\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}. Se {\exists y\in \cap_{n=1}^{\infty}F_{n}}, então {d(x,y)\leq diam F_{n}}, logo {x=y}.

Seja agora {x_{n}} uma sequência de Cauchy. Tomando {F_{n}=\overline{\{x_{n+1}, x_{n},\cdots\}}}. Claramente {F_{n}} é fechado e decrescente. Seja {\epsilon>0} e seja {N} tal que {d(x_{n},x_{m})<\epsilon}, {\forall m,n\geq N}. Como {diam F_{k}=\sup\{d(x_{n},x_{m}):m,n\geq k\}\leq\epsilon\Longrightarrow diam F_{k}\longrightarrow0}.

Para qualquer {n\geq 1}, {d(x,x_{n})\leq diam F_{n}\longrightarrow0}, i.e., {x_{n}\longrightarrow x}, logo {(x,d)} é completo.

\Box

Topologia dos Espaços Métricos e Sequências

— 1.1.8. Topologia dos Espaços Métricos e Sequências —

Proposição 24 Seja {(X,d)} um espaço métrico. Um subconjunto {F} de {X} é fechado em {(X,d)}, se e só se, toda sequência de pontos em {F} converge para um ponto em {F}. ({\forall x_{n}\subset F: x_{n}\longrightarrow x\implies x\in F}).

Demonstração: Primeiramente temos de provar que se {x_{n}\subset F}, { x_{n}\longrightarrow x} e {F} é fechado, então {x\in F}.

Suponhamos pelo contrário que {x\notin F}, então {x\in X-F} que é aberto, logo pela definição 1.4, {\exists r>0: B(x,r)\subseteq X-F}, então a partir de uma certa ordem deve existir um {N}, tal que para todo {n\geq N}, {d(x_{n},x)<r}, i.e., {x_{n}\in B(x,r)\subseteq X-F}, o que é uma contradição,já que por hipótese {x_{n}\in F}. Portanto, {x\in F}.

Se {x\in F}, então {x\in\widehat{F}}, pela definição 1.5 {B(x,r)\cap F\neq\emptyset} {\forall r>0}. Em particular, para todo natural {n} existe umponto {x_{n}} em {B(x,\frac{1}{2n})\cap F}. Por isso {x_{n}\subset F} e {d(x,x_{n})<\frac{1}{2n}}, assim {x_{n}\longrightarrow x} e {x\in F}. \Box

Definição 14 Um espaço métrico é completo se toda sucessão de Cauchy nesse espaço é convergente.
Exemplo 12 Todo espaço métrico discreto é completo porque suas sucessões de Cauchy são constantes.
Lema 25 Se {x_{n}} é uma sucessão de Cauchy de elementos de {\mathbb{R}}, então sua imagem é um conjunto limitado.
Teorema 26 {\mathbb{R}} é completo.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Proposição 27 Se {(X,d)} é um espaço métrico completo e {Y\subseteq X}, então {(Y,d)} é completo se e só se {Y} é fechado em {X}.
Corolário 28 Os subconjuntos fechados de {\mathbb{R}} são espaços métricos completos.
Proposição 29 Todo producto {X_{1}\times \cdots \times X_{n}} de espaços métricos completos {X_{1},\cdots, X_{n}}, é um espaço métrico completo.
Teorema 30 (Cantor) Um espaço métrico {(X,d)} é um espaço métrico completo se e só se sempre que {\{F_{n}\}} é uma sequência não vazia de subconjuntos satisfazendo:

  • Cada {F_{n}} é fechado;
  • {F_{1}\supseteq F_{2}\supseteq\cdots};
  • {diam F_{n}\longrightarrow 0}, então {\cap_{n=1}^{\infty}F_{n}} é um único ponto.

Demonstração: Na proxima aula. \Box

Espaços Métricos e Sequências

Aula 6

— 1.1.7. Espaços Métricos e Sequências —

Nesta aula introduziremos o conceito de sequências em espaços métricos. Embora este conceito já seja conhecido de modo elementar no espaço dos números reais, {\mathbb{R}}, procederemos à generalização do mesmo para qualquer espaço métrico {X}

Definição 11 Seja {(X,d)} um espaço métrico. Uma sequência, num espaço métrico, é uma aplicação {x:\mathbb{N}\longrightarrow X}, onde os {(x_{n})_{n\in\mathbb{N}}} são pontos em {(X,d)}.
Exemplo 10 Em particular se tomarmos {X=\mathbb{R}} retornaremos ao conceito usual de sequências.
Definição 12 Uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} converge para {x}, i.e., {x_{n}\longrightarrow x}, se {\forall\epsilon>0} {\exists N>0}: {d(x_{n},x)<\epsilon}, {\forall n\geq N(\epsilon)}.
Exemplo 11 Seja {(X,d)} o espaço métrico discreto, então uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} converge para {x} se e só se existe um inteiro {N} tal que {x_{n}=x} sempre que {n\geq N}.
Proposição 21 Se {x_{n}\longrightarrow x} em {X} e {\{x_{n_{k}}\}} é uma subsequência, então {x_{n_{k}}\longrightarrow x}.

Demonstração: Deixada ao leitor. \Box

Definição 13 Uma sequência {\{x_{n}\}} em {X} é de Cauchy se {\forall\epsilon>0} {\exists n_{0}\in\mathbb{N}} tal que {d(x_{m},x_{n})<\epsilon}, para todo {m,n\geq n_{0}}.
Proposição 22 Toda sucessão {x_{n}} convergente de {X} é de Cauchy.

Demonstração: A proposição acima basicamente diz que se uma sucessão é convergente, então ela é de Cauchy.

Como por hipótese, {x_{n}\longrightarrow x}, então pela definição 1.12, {d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}} para algum {\epsilon>0} e para todo {n\geq n_{0}}, onde {n_{0}\in\mathbb{N}}. De modo similar, a partir de uma certa ordem,{m}, temos {d(x_{m},x)<\frac{\epsilon}{2}}, com {m\geq n_{0}}. Portanto, aplicando a desigualdade triângular obtemos:

\displaystyle  d(x_{m},x_{n})\leq d(x_{m},x)+d(x_{n},x)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon.

\Box

Em geral,a recíproca da proposição anterior é falsa. Para isto, consideremos por exemplo a sucessão {x_{n}=\frac{1}{n}} no espaço {X=\mathbb{R}-\{0\}} com a métrica euclidiana usual.

Proposição 23 Se {\{x_{n}\}} é uma sequência de Cauchy e alguma subsequência de {X_{n}} converge para {x}, então {x_{n}\longrightarrow x}.

Demonstração: Por hipótese temos que {x_{n_{k}}\longrightarrow x} para algum {\epsilon>0}. Seja {N_{1}, N_{2}\in\mathbb{N}} tal que {d(x_{n_{k}},x)<\frac{\epsilon}{2}}, para todo {n_{k}\geq N_{1}}. Por outro lado, como {x_{n}} é umasequência de Cauchy, então {d(x_{m},x_{n})<\frac{\epsilon}{2}}, para {m,n\geq N_{2}}. Fixemos {n_{k}>N} e seja {N=\max\{N_{1},N_{2}\}}, então:

\displaystyle d(x,x_{n})<d(x,x_{n_{k}})+d(x_{n_{k}},x_{n})<\epsilon.

\Box

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