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Interacção de corpos carregados. Força Eléctrica. Lei de Coulomb. Princípio de superposição.
— 1.2. Interacção de corpos carregados. Força Eléctrica. Lei de Coulomb —
Os corpos carregados interagem, ou seja, exercem forças um no outro.
A força eléctrica é uma grandeza vectorial com intensidade, direcção e sentido. A direcção coincide com a recta que une as duas cargas, e o sentido é estabelecido pelo sinal das cargas em presença.
As intersecções podem ser atração ou repulsão. As cargas eléctricas de sinais contrários atraem-se (puxam-se simultaneamente, uma em direcção a outra), e cargas eléctricas de um mesmo sinal repelem-se (empurra-se simultaneamente, uma em direcção oposta a outra). Este princípio é denominado Princípio impírico de Du Fay.
As forças eléctricas provocadas por objetos carregados foram medidas quantitativamente por Charles Coulomb a partir de uma balança de torção, da qual ele mesmo inventou.
A força de interacção electrostática entre dois corpos carregados e fixos, é diretamente proporcional ao produto de suas cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.
O módulo da força electrostática entre as cargas é igual e é dada por:
Onde: Permissividade eléctrica do meio;
Permissividade relativa do meio;
módulo de distância entre as cargas;
Carga eléctrica;
Vectorialmente:
Ou
Onde: é o unitário do vector
.
— 1.3. Princípio de Sobreposição das forças eléctricas —
A superposição ou sobreposição de efeitos é o efeito de obtido quando um conjunto de elementos causadores do efeito se sobrepõem. É um princípio muito usado na Física, nas mais diversas áreas.
O princípio de sobreposição postula que o efeito criado por um conjunto de causas aplicado num corpo é igual á soma ou superposição dos efeitos que cada das causas iria gerar quando aplicada separadamente sobre esse mesmo corpo.
De acordo com o princípio da supersposição, a força resultante na carga será:
A forma de calcular a resultante, vai depender do número de vectores que se sobreposurem.
Exemplo 2
Consideremos o sistema de três cargas. Determinemos a expressão para a força resultante na carga Para tal, devemos representar as forças de interacção entre as cargas, sendo de atracção ou de repulsão, dependendo de as cargas terem mesmos sinais ou sinais opostos. As forças entre Neste caso, actuarão em Em módulo, sendo uma soma entre dois vectores, podemos usar a fórmula do triângulo (lei dos co-senos). Mas para tal, deveremos antes determinar os ângulos Neste caso, o cálculo da resultante pode fazer-se em uma única expressão porque apresenta a soma de apenas dois vectores. |
Para um caso em que se sobreponham mais de dois vectores, a resultante deverá ser calculada pelo método de componentes.
Exemplo 3 Consideremos o sistema de quatro cargas abaixo. Determinemos a expressão para a força resultante na carga
Para tal, devemos representar as forças de interacção entre as outras cargas com a carga Neste caso, actuarão em Devemos agora notar que pretendemos somar mais de dois vectores ( três no caso), e todos de direcção diferente. Para tal, como Neste caso, teremos: Neste caso, calcularemos as componentes do vector resultante em cada eixo: Em seguida, se poderá calcular o vector resultante: |
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1. Electrostática (Introdução). Carga Eléctrica. Electrização dos corpos.
Exemplo 1 Consideremos dois corpos condutores carregados inicialmente com cargasPara se obterem iões, pode se realizar a electrização dos corpos. A electrização são fenómenos em que electrões são transferidos de um corpo para outro devido a uma diferença na quantidade de cargas eléctricas existente os corpos, ou, pela aquisição de energia advinda do atrito entre os corpos. A electrização por atrito (ou fricção) acontece principalmente quando dois ou mais corpos isolantes são friccionados (esfregados) um contra o outro. O processo de esfregar ou friccionar os corpos fornece energia aos electrões desses materiais. Os electrões dos materiais isolantes geralmente encontram-se fortemente atraídos pelos núcleos de seus próprios átomos, por isso, precisam de uma energia extra para saltar de um corpo para outro. Durante a electrização por atrito, um dos corpos perde electrões e o outro ganha . Deste modo, ao final do processo, os dois corpos estarão com cargas de módulo igual, mas de sinais opostos. Nem todos os corpos vão se electrizar quando esfregados. Para se saber quais são os pares de materiais que, quando friccionados, ficam electrizados, é preciso conhecer sua afinidade eléctrica, uma vez que existem materiais que tendem a ganhar electrões, quanto outros tendem a perde-los. A electrização por contacto, diferentemente da electrização por atrito, necessita de pelo menos um dos corpos carregado electricamente. Por exemplo, considere um condutor carregado positivamente e outro condutor neutro. Aproxima-se o condutor positivo do condutor neutro até que ocorra o contacto entre eles. Quando isso acontece, haverá uma transferência de electrões do corpo neutro para o corpo carregado positivamente. Essa transferência irá ocorrer de maneira bem rápida até que ambos os condutores fiquem com o mesmo potencial eléctrico.e
. Ao colocarmos elas em contacto, elas trocam carga eléctrica (por serem condutoras). Em função disso, a carga de cada uma delas altera-se. Se deixarmos elas em contacto por tempo suficiente, no final a carga equilibra-se. Mas a carga total conserva-se.
Sabemos que:
. Logo:
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1. Introdução à Mecânica (Parte 1)
1. Introdução à Mecânica
1.1. Introdução Geral à Física
A Ciência e a Engenharia se baseiam em medições e comparações.
Assim, precisamos de regras para estabelecer de que forma as grandezas devem ser medidas e comparadas, e de experimentos para estabelecer as unidades para essas medições e comparações.
Um dos propósitos da física é elaborar, postar e relacionar modelos em um esforço para descrever, explicar ir para ver a realidade. Esse processo envolve hipóteses, experimentos reprodutíveis e as observações e novas hipóteses.
O resultado final é um conjunto de princípios fundamentais e leis que descrevem os fenómenos do mundo que nos cerca. Estas leis e princípios são aplicáveis tanto ao mundo macroscópico como buracos negros, matéria e energia escura, gravidade, etc como para o mundo microscópico partículas quânticas como leptoquarks e bósões. Quanto ao nosso dia-dia, são incontáveis as questões sobre o nosso mundo que podem ser respondidas com conhecimento básico de física.
Se a agua não tem cor, porque razão a uma distância do mar, a água parece azul?
Como é que os astronautas no espaço flutuam?
Como funciona um CD?
1.2. Medindo grandezas
Ao estudarmos conteúdos relacionados com a Física, muitas vezes, deparamo-nos com a palavra grandeza definindo termos científicos, como velocidade, aceleração, força, tempo etc.
Numa linguagem muito elementar, uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido e possibilita que tenhamos características baseadas em informações numéricas e/ou geométricas. A grandeza é toda a característica de um sistema ou corpo a que possamos associa uma quantidade. Medir uma grandeza física é compara-lá com uma outra da mesma espécie na natureza.
Medimos cada grandeza física em medidas apropriadas, por comparação com padrão. A unidade é um nome particular que atribuímos as medidas dessa grandeza.
Assim por exemplo, o metro (m) é uma unidade da grandeza comprimento. O padrão corresponde a exatamente 1,0 unidade da grandeza, como vamos ver o padrão de comprimento que corresponde exatamente 1,0 m é a distância percorrida pela Luz no vácuo durante uma certa fração de tempo .
Em princípio podemos definir uma unidade e o seu padrão da forma que quisermos, mas é importante que cientistas em diferentes partes do mundo concordem que nossas definições e que, ao mesmo tempo sejam razoáveis e práticas.
Depois de escolher um padrão (neste caso comprimento) precisamos estabelecer procedimentos através dos quais qualquer comprimento seja o raio do átomo de hidrogénio,
largura de uma aresta de um cubo ou
a distância entre duas estrelas, possa ser expresso em termos da unidade.
Usar uma régua de comprimento aproximadamente igual ao padrão pode ser uma forma de executar medidas de comprimento. Entretanto, muitas das comparações são necessariamente indiretas. Por exemplo, não dá para medir a distâncias entre planetas directamente.
É portanto, impossível usar uma régua, por exemplo, para medir o raio de um átomo ou a distância de uma estrela. Assim o que fazemos é escolher, através de um acordo internacional, um pequeno número de grandezas físicas como comprimento e tempo, e atribuir unidades a elas.
Em seguida, definimos as demais grandezas físicas em termos dessas grandezas fundamentais e de suas unidades (conhecidas, como unidades fundamentais). A velocidade, por exemplo é definida em termos das grandezas fundamentais comprimento e tempo e suas unidades fundamentais.
Portanto as unidades fundamentais de um sistema de unidades dado são as unidades de grandezas físicas de diferentes espécies, escolhidas arbitrariamente para constituição desse sistema. As grandezas físicas que correspondem às mesmas unidades têm o nome de grandezas fundamentais do sistema considerado.
Unidades derivadas são as unidades que se estabelecem sendo deduzidas a partir das outras unidades de um sistema dado, desde que se observem as leis e os princípios físicos a exprimirem as relações mútuas existentes entre as respetivas grandezas físicas.
1.3. O sistema Internacional de Unidade
Na 14ª conferência geral de pesos e medidas, foram selecionadas sete grandezas como fundamentais, as quais constituem a base do sistema internacional de unidade cuja abreviação é S.I. popularmente conhecido como sistema métrico.
A tabela a seguir mostra as unidades das grandezas fundamentais do S.I. que serão usadas nos principais capítulos desta página. Essas unidades foram definidos modo a serem da mesma ordem de grandeza que a escala humana.

Muitas unidades derivadas do SI são definidas em termos dessas unidades fundamentais. Assim, por exemplo, a unidade de trabalho no SI, chama Joule (J) é definido em termos das unidades fundamentais de massa, comprimento e tempo.
Além destas, há duas unidades complementares: o radiano e o esterradiano.

1.3.1 Tempo
Do latim tempus, a palavra tempo é a grandeza física que permite medir a duração ou a separação das coisas mutáveis/sujeitas a alterações (ou seja, o período decorrido entre o estado do sistema quando este apresentava um determinado estado e o momento em que esse dito estado regista uma variação perceptível para o observador).
Em física, tempo é a grandeza física diretamente associada ao correto sequenciamento, mediante ordem de ocorrência, dos eventos naturais, estabelecendo assim um passado, um presente e um futuro.
Na física clássica (que abordaremos nesta secção), o tempo transcorre sempre da mesma forma, esteja o móvel se movimentando ou parado em relação a um determinado referencial. Isso significa dizer que o tempo passa igualmente tanto para uma pessoa que se encontra na superfície da Terra, quanto para uma pessoa que se encontra viajando dentro de uma nave espacial. O que em grande rigor não é verdade.
Para a física moderna, o intervalo de tempo para um móvel que se move em altíssima velocidade (próxima à velocidade da luz no vácuo) passa mais lentamente. Podemos dizer que uma hora para uma pessoa que se encontra parada na superfície da Terra pode corresponder a alguns minutos ou segundos para um observador que se move em altíssima velocidade. Na física moderna, esse fato é conhecido como dilatação do tempo. Porém este não é o foco desta secção.
O tempo marcado pelo relógio não é universal, mas sim uma construção histórica. Medir o tempo significa em princípio registrar coincidências. Quando alguém marca um compromisso, digamos às horas do presente dia, está informando que ela estará no local combinado quando o ponteiro pequeno do relógio colocado naquele local coincidir com a marca
e enquanto o ponteiro grande esteja na inscrição
.
Portanto, podemos entender o tempo como uma medida da simultaniedade de eventos.
A unidade usada para o tempo é o segundo s, apesar de poder usar outras unidades como minutos, horas, dia, semana, mês, anos, décadas, séculos ou milénios (de acordo com o contexto)
Podemos definir o segundo de diversas maneiras. Há um conjunto de frequências e comprimentos de onda especifico para radiação de cada átomo associados a cada transição energética sofrida pelos electrões no mesmo, quando este é aquecido. O que se sabe é que essas frequências seguem constantes.
O segundo (s) pode ser definido em termos de uma frequência para característica associada ao átomo de césio. Todos os átomos, depois que absorver energia, emitem luz com frequências e comprimentos de onda característica do elemento específico.
O Segundo é então definido como duração de períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.
1.3.2 Comprimento
Em 20 de Maio de 1875 um tratado internacional conhecido como Convention du Mètre (Convenção do Metro), foi assinado por 17 Estados e estabeleceu a criação do Bureau Internacional de Pesos e Medidas (Bureau International des Poids et mesures – BIPM), um laboratório permanente e centro mundial da metrologia científica e da Conferência Geral de Pesos e Medidas (Conférence Générale des Poids et mesures – CGPM), que em 1889, em sua 1ª edição, definiu o protótipos internacional de metro. Sua base era o metro definido como à décima milionésima parte do quadrante de um meridiano terrestre.
Mais tarde, por razões práticas, essa padrão foi abandonado e o metro veio a ser definido como a distância entre duas linhas finas gravadas perto das extremidades de uma barra de Platina-Vítrio (a barra do metro-padrão), mantida no Bureau internacional de pesos e medidas nas vizinhanças de Osaris.
Réplicas preciosas dessa barra foram enviadas ao laboratórios de padronização em várias partes do mundo. Com o tempo a precisão deste padrão também se mostrou inadequado e outros padrões foram criados para o metro.
Actualmente O metro é determinado usando a rapidez da luz no vácuo que é definida como exatamente 299792458 m/s. O metro, então, é a distância que a luz percorre no vácuo em segundos. Estas definições fazem com que unidades do tempo e comprimento sejam acessíveis aos laboratórios de todo mundo.
1.3.3 Massa
A massa () é uma grandeza escalar positiva e invariável, a qual mede a inércia (propriedade dos corpos em permanecerem em movimento acelerado ou retardado) dos corpos, ou seja, a quantidade de matéria presente num corpo.
A unidade da massa no S.I é o quilograma (kg), é definido como a massa de um litro de água a com volume de
(que é igual ao volume de um cubo de
de lado).
Assim como os padrões de tempo comprimento, o padrão de quilograma mudou ao longo do tempo. O quilograma é agora definido como a massa de um determinado cilindro chamado de corpo-padrão mantido no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Sévres na França.
Assim comparando pesos de diferentes objetos ou tamanho comum com o peso do corpo-padrão,as massas dois objetos podem ser comparadas entre si.
1.4 Prefixos de Unidade
Às vezes torna-se necessário trabalhar com medidas que são muitos menores ou muito maiores do que as unidades padrão do S.I. Nessas situações podemos usar outras unidades, são relacionadas as unidades padrão do S.I por um múltiplo de dez(10).
Os prefixos são usados para designar as diferentes potências de 10, por exemplo, prefixo “quilo” significa ou
, enquanto o prefixo “micro” significa
ou
.
A tabela a seguir mostra o prefixo dos mais comuns múltiplos das unidades do S.I. Os prefixos podem ser aplicados a qualquer unidades S.I, por exemplo segundo é um milissegundo (
), e
são
(apesar de ainda não termos definido o Watt).
Alguns prefixos muito usados nas Unidades do S.I são mostrados a seguir:

Sendo assim:
OBS : alguns grandezas, para dimensões diferentes utiliza outras unidades, tais como a hora para o tempo ( equivale á
) e o Angstron para o comprimento (
equivale
).
1.5 Outros sistemas de unidades
Além do S.I, outros sistemas de unidades são as vezes utilizados. Um deles é o sistema CGS cujas unidades fundamentais são os centímetro para os comprimentos , o grama para massa e o segundo para o tempo.
Sistema CGS de unidades é um sistema de unidades de medidas físicas, ou sistema dimensional, de tipologia LMT (comprimento, massa tempo), cujas unidades-base são o centímetro para o comprimento, o grama para a massa e o segundo para o tempo. Foi adotado em 1881 no Congresso Internacional de Eletricidade.
CGS é, assim, um acrônimo maiúsculo para centímetro–grama–segundo. É o sistema de unidades físicas primordial que precedeu o Sistema Internacional de Unidades (SI), por este sendo substituído.
Outras unidades CGS incluem Dina (para força), Erg (para energia, trabalho, calor, etc.), Gal (para aceleração), Gauss (para campo magnético), Maxwell (para fluxo magnético), Öersted (para intensidade de campo), Phot (para intensidade luminosa), Poise (para viscosidade dinâmica em fluidos), Stilb (para luminância), Stokes (para viscosidade cinemática)e Dina por centímetro cúbico (para peso específico).
1.6 Conversão de Unidades
Como diferentes sistemas de unidades são utilizados, é importante saber como converter uma unidade para outra, em diversos contextos quando quantidades físicas são somadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas em uma equação algébrica. A unidade pode ser tratada como qualquer outra quantidade algébrica.
Muitas vezes precisamos alterar as unidades nas quais uma grandeza física está expressa. Isto pode ser feito usando um método conhecido como conversão em cadeia. Nesse método multiplicarmos o valor original por um fator de conversão(uma razão entre unidades e igual à unidade). Assim como 1 min e 60 s correspondem a intervalos de tempo iguais, temos:
Assim, as razões e
podem ser usadas como fatores de conversão. Nota que isso não é o mesmo que escrever
ou
; cada número e a sua unidade devem ser tratadas conjuntamente.
Exemplo 1 Converter em segundos.
Neste exemplo, temos:
Exemplo 2 Converter em milhas.
Neste exemplo, temos:
Exemplo 3 Converter em metros por segundo.
Neste exemplo, temos:
Por vezes, podemos fazer a conversão de um modo mais rápido, substituindo cada unidade pela unidade de destino, com o respectivo factor de conversão.
Exemplo 4 Converter para o SI.
Sabemos que a unidade de velocidade no SI é , então, temos de converter
em
e
em
. Então temos:
Este método também é usado em conversões de unidades com prefixos (múltiplos e submúltiplos).
Exemplo 5 Converter para o SI.
Sabemos que a unidade de velocidade no SI é , então, temos de converter
em
(substituindo apenas o multiplo quilo) e
já está no S.I. Então temos:
Ainda há a clássica regra de “3 simples”, conhecida pela maioria.
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1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica (Parte 1)
— 1. Exercício sobre Calor e Temperatura —
— 1.1. Exercício sobre Dilatação Térmica —
Exercício 1 Um quadrado de área interna de Considerando que no final as hastes de alumínio continuam perpendiculares as hastes de aço, determine a área do plano limitado pelas hastes após o aquecimento. NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. |
Resolução 1 .
O problema em questão trata de dilatação térmica dos corpos (expansão dos corpos). É dada uma área Dado que a área limitada é a área de quadrado, então, de acordo a definição da área de um quadrado, temos que: Onde:
Por outro lado, para que as hastes de alumínio e de aço formem ou limitem a área de um quadrado deve-se cumprir a seguinte condição: Então, cada haste de alumínio e/ou de aço possui um comprimento Entretanto, depois de aquecidas as hastes de aço e alumínio, de modo que a variação de temperatura é a mesma em todas as hastes, até a temperatura de Dados: Depois do aquecimento até Então, a nova área limitada pelas hastes de alumínio e aço é dada como sendo o produto dos comprimento finais das hastes, Pela figura acima percebe-se que: Onde: Para determinarmos a área que as hastes de alumínio e aço vão limitar após o aquecimento, substituímos as equações 4 e 5 na equação 3. Obtemos: Determinamos Invertendo a igualdade: Substituindo os dados: Determinemos Para o alumínio: Substituindo os dados: Para o aço: Substituindo os dados: Portanto, a área limitada pelas hastes após o aquecimento é: |
Exercício 2 Uma ponte tem comprimento NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar. |
Resolução 2 . Trata-se do fenómeno de dilatação térmica que um corpo sofre quando é submetido a variações de temperatura. Dados A equação da dilatação térmica de um sólido é: Mas Isolando Substituindo os valores: |
Exercício 3 Na temperatura ambiente ( NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar. |
Resolução 3 .
Trata-se do fenómeno de dilatação térmica numa linha férrea. Para sabermos a temperatura máxima Dados A equação da dilatação linear é: Note que a variação de temperatura em Graus Celcius é igual a variação da temperatura em Kelvins. Para se saber a temperatura máxima considerada pelo projetista é suficiente que, Isolando Substituindo os valores de |
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1.1. Exercícios sobre Generalidades do MHS (Parte 4)
Exercício 12 . Uma partícula realiza um MHS de período Determine:
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar. |
Resolução 12 .
O exercício apresenta um problema simples de MHS. O objectivo é determinar as equações da posição e da velocidade, bem como a posição num instante dado. Para obter as equações da posição e da velocidade, basta encontras as constantes destas equações ( Para obter a aceleração no instante dado, primeiro vamos obter o instante, por análise gráfica, e em seguida vamos substituir este instante na equação da aceleração. Dados
|
Exercício 13 . Uma partícula em MHS oscila com frequência de NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. |
Resolução 13 .
O problema apresenta-nos um MHS onde é conhecida a frequência e a amplitude. Nos é pedido para determinarmos o tempo que a partícula leva para sair de uma posição para outra. A resolução deste problema consiste em escrever a equação do MHS, e para as duas posições, formar duas equações. Em seguida, resolvemos o sistema de equações de acordo com a regra escolhida.\ Para calcularmos esse tempo, primeiro, precisamos saber como a partícula se move ao longo dessa recta. Para isso, temos que escrever a sua equação da posição. Como a escolha do referencial de tempo não tem influência sobre os cálculos, e o problema não oferece referencial de tempo nenhum, consideraremos o instante inicial como sendo nulo: Dados . .
A equação da posição de uma partícula em MHS pode ser dada na forma: Sabemos que Logo ,temos: Resta sabermos o valor de O exercício informa que, no instante inicial Simplificando Como, no instante Logo, temos que: Agora precisamos saber o tempo t que a partícula demora para chegar até Note: Isolando t, obtemos: |
Exercício 14 O diagrama representa a elongação de um corpo em MHS em função do tempo.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. |
Resolução 14 . O problema apresenta um gráfico da posição de um MHS e nos pede a amplitude, período e equação da posição deste MHS. A amplitude é lida directamente no gráfico. O período é obtido por interpretação do gráfico, escolhendo dois pontos especiais da oscilação (extremos, posições de equilíbrio, etc.). Com estes dados, após determinação da fase inicial (
|
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1.1. Exercícios sobre Generalidades do MHS (Parte 3)
Exercício 8 .
Um corpo em MHS desloca-se entre as posições extremas
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. |
Resolução 8
O problema nos apresenta um corpo em MHS. Nos é dada a amplitude deste movimento, através do valor das posições dos extremos. É dado o tempo que o corpo leva a sair de um extremo para o outro. Sabemos que um movimento oscilatório é um movimento de sucessivas aproximações e afastamentos de uma posição fixa chamada de posição de equilíbrio. Então, num MHS o corpo move-se ciclicamente do seguinte modo:
Esta é a descrição de um ciclo completo. O tempo que a partícula leva a completar o ciclo acima é o período Cada um dos movimentos descritos acima tem a mesma duração. Para o MHS estaéesta duração é de Para sair de um extremo ao outro, a partícula deve fazer dois destes movimentos. Então, o tempo que a partícula leva a sair de um extremo para outro corresponde então a metade do período. Quanto a fase, este problema nos dá informação sobre sentido do movimento e posição da partícula no momento inicial. Como vamos usar a função seno, podemos observar o gráfico generalizado da função seno. – Observamos que a função seno atinge o valor zero (posição de equilíbrio, no MHS) quando No caso em análise, não poderemos adoptar Como o enunciado diz que a partícula está na posição de equilíbrio, mas em movimento retrógrado, então, o ângulo de fase para este momento deve ser O gráfico esboçado do movimento do exercício é o seguinte:
|
Exercício 9 .
Considere o gráfico da oscilação abaixo. Determine a amplitude deste MHS. NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar. |
Resolução 9 .
O problema nos apresenta o gráfico da velocidade de um MHS. Pela ilustração, nota-se que o período de oscilação é Logo, sabemos que a velocidade máxima de um corpo em oscilação é dada por: Sabemos também que: Então, combinado as duas relações, temos: Invertendo a igualdade, temos: |
Exercício 10 .
Um corpo executa um MHS ao longo do eixo x, oscilando em torno da posição de equilíbrio Determine:
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. |
Resolução 10 .
O período e a amplitude da aceleração (ou aceleração máxima) deste MHS podem ser obtidos no gráfico abaixo: Com isso conclui-se que:
|
Exercício 11 .
Uma partícula realiza um MHS segundo a equação NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar. |
Resolução 11 .
Apesar de parecer complexo, mas o problema é Elementar . Muito elementar mesmo. Sabemos que um movimento oscilatório é um movimento de sucessivas aproximação e afastamentos de uma posição fixa chamada de posição de equilíbrio. Então, num MHS o corpo move-se ciclicamente do seguinte modo:
Esta é a descrição de um ciclo completo. O tempo que a partícula leva a completar o ciclo acima é o período Cada um dos movimentos descritos acima tem a mesma duração. Para o MHS, esta duração é de Com a descrição acima, percebemos que, para sair de um extremo para a posição de equilíbrio, a partícula leva um tempo igual a um quarto do período. O período pode ser obtido a partir de Sabemos também que: Então: Fazendo multiplicação cruzada, obtemos: Ou: Então: Como o tempo de passagem, do extremos para a posição de equilíbrio é Com isso, percebe-se que, para sair da posição de elongação máxima |
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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 4)
— 1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 4) —
Exercício 10 A massa de um átomo de Urânio é de NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. |
Resolução 10 .
É um problema cujo método de resolução é muito comum (3 simples). Vamos começar por converter todas as grandezas para as mesmas unidades. Neste caso, vamos converter a massa do átomo de urânio para gramas. Como é uma unidade com prefixo k (kilo), podemos converter de mondo simples, substituindo o prefixo pelo seu valor( Em seguida, fazemos a relação de proporção. Chamamos de Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos: Isolando o x, obtemos: Resolvendo, temos: Em |
Exercício 12 Determine a partir da representação dada, o vector NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar. |
Resolução 12 .
Podemos resolver este exercício utilizando a regra do paralelogramo. Temos uma adição de 2 vectores onde nos é dado graficamente os módulos dos vectores e o ângulo entre eles. A resolução aqui é feita apenas graficamente. Desta feita, aplicando a regra do paralelogramo, teremos:
|
Exercício 13 Determine a distância entre os corpos A e B na figura:
|
Resolução 13
Este é um Problema simples de Geometria Analítica. Trazemos aqui, a titulo de exemplo para aplicação em movimentos, como veremos a seguir. Para determinarmos a distância entre os dois pontos, usaremos a formula apresenta na Geometria Euclidiana, para distância entre dois pontos num sistema de coordenadas cartesiano. A Relação é: Neste caso, Então, substituindo os valores na relação anterior, teremos: Resolvendo, teremos: Logo, a distância entre os corpos A e B é igual a |
Exercício 14
Sendo . NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar. |
Resolução 14 Para determinarmos o módulo do vector Sendo este vector Substituindo as componentes, obtemos: Efectuando a operação, teremos: Nota: Lembre-se que, para obtermos esta expressão, somou-se os números da mesma coordenada de ambos os vectores, ou, se quisermos usar a linguagem da álgebra, os termos semelhantes. Então, podemos determinar o módulo do vector Onde: x, y e z são os componentes deste vectores, portanto, substituindo os valores destes componentes do vector Resolvendo: Logo, o vector Note: No calculo do módulo de |
Exercício 15 A soma dos módulos de dois vectores é igual a 7 m. Quando colocados perpendicularmente, o módulo da soma destes vectores é de 5 m. Quais são os módulos destes vectores?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. |
Resolução 15
Este exercício é um problema simples de Geometria Analítica. Para resolve-lo, vamos atribuir duas variáveis aos modelos dos vectores, e usaremos as condições do enunciado para formarmos um sistema de equações. Consideramos que
Quando colocados perpendicularmente estes dois vectores, o vector resultante forma a hipotenusa de um triângulo rectângulo com esses dois vectores. Então, teremos a situação da figura. Se Formando um sistema de equações com duas equações obtidas das condições, teremos: Isolando Desfazendo a diferença de quadrado e efectuando as operações, teremos: Resolvendo esta equação utilizando a Fórmula de Resolvente, obtemos: ,onde Substituindo os valores e resolvendo, teremos como resultado Substituindo os valores de Logo, temos como solução : s = Ambas as as soluções são aceitáveis e permutadas entre si. Desta feita, dois vectores são: |
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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 2)
Exercício 11 Três espelhos interceptam-se em ângulos rectos.Um feixe de luz atinge o primeiro deles com um ângulo .NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. . |
Resolução 11 .
Redesenhando a figura. Na figura o ponto de intersecção entre o raio incidente e o primeiro espelho espelho chamamos de O raio que se reflecte deste ponto vai incidir no outro ponto do segundo espelho, que chamamos de Raio reflectido do ponto O raio reflectido do ponto O ângulo de incidência e reflexão no ponto O ângulo de incidência e reflexão no ponto O complementar de Marcamos ainda os .s é eficaz conforme indicado na figura. Da figura, no ponto B, analisando entre o espelho e a sua normal, temos: pelo triângulo BHC, pelo teorema da soma dos ângulos internos, temos temos : Subtraindo ambas equações dos passos anteriores, obtemos : Pelo teorema de ângulos internos no triângulo CDG, temos : Pelo teorema de ângulos internos no triângulo ADF, temos : Subtraindo esta última pela equação do passo anterior, obtemos : Como No quadrilátero Substituindo |
Exercício 12 Um feixe de luz emitido por um laser,incide sobre a superfície da água de um aquário,como representado nesta figura :
O fundo desse aquário é espelhado ,a profundidade da agua é de 40 cm e o ângulo de incidência do feixe de luz é de NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. . |
Resolução 12 .
Dados . No problema, a luz incide a partir do ar para a água. Toca na água no ponto A e refracta-se na água. É reflectida no ponto B(no espelho que está no fundo) e retorna à superfície de separação água-ar. No ponto C, faz refracção novamente para o Ar. Para acharmos a distância AC devemos calcular o ângulo que o feixe de luz faz com a normal na água (usando a lei de Snell-Descartes), e combinando estes valores com a profundidade, no triângulo ABC. . Redesenhando a figura,temos : Pela lei de Snell, no ponto A, podemos determinar o ângulo de refração. Temos : Isolando o seno, no membro esquerdo, temos: Se considerarmos o ponto médio do segmento Substituindo valores, obtemos: . |
Exercício 13 Um rapaz em repouso na rua,vê sua imagem reflectida por um espelho plano preso verticalmente na traseira de um autocarro que se afasta com a velocidade escalar constante de NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. . |
Resolução 13 Neste problema temos de analisar não só a velocidade com o espelho se afasta do rapaz, mas também a velocidade com que a sua imagem (que o espelho produz) se afasta dele.
O melhor raciocínio mais simplificado, consiste em estabelecer o espelho como referencial de analise e depois achar a velocidade relativa. A medida que o autocarro se move para a direita, automaticamente o espelho também se move para a direita. como o movimento é relativo, podemos considerar que o autocarro e o espelho estão em repouso e o rapaz ( Se o rapaz, que é o nosso objecto óptico( Vamos estabelecer as equações do movimento no 1ª referencial (com origem no espelho) e depois amos fazer a transformação de Galileu par o 2º Referencial (com origem no rapaz). Veja a figura. Pela lei da reflexão, em qualquer momento: Portanto : Então , neste referencial (Referencial 1), temos: . Se estabelecermos um novo referencial (no rapaz), então este referencial 1 (com origem no espelho) está em movimento em relação ao novo referencial 2 (com origem no rapaz), com velocidade v. A transformação de galileu diz que: Então para o rapaz( que no referencial 1 estava em movimento regressivo com velocidade v) teremos: Neste novo referencial, o rapaz está repouso. . Para o espelho/autocarro( que no referencial 1 estava em repouso na origem) teremos: Neste novo referencial, o espelho/autocarro estão em movimento com velocidade v (conforme enunciado). Para a imagem (que no referencial 1 estava em movimento progressivo com velocidade v) teremos: Neste novo referencial,imagem está em movimento com velocidade 2v . Neste caso, a velocidade da imagem é: |
Exercício 14 Um nativo de uma aldeia pesca em uma lagoa de água transparente. Para isso usa uma lança. Ao observar um peixe, ele atira a sua lança na direcção em que o observa. O jovem está fora da água e o peixe está em 1 m abaixo da superfície. O peixe está a uma distancia horizontal de a)O ângulo b)O ângulo c)A profundidade aparente y,da superfície da água em que o nativo vê o peixe. NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. . |
Resolução 14
Dados Neste problema, temos analise baseadas na refracção da luz. O Peixe está no Ponto O nativo, na beira do rio, vê como se o peixe estivesse no ponto D (que é a imagem virtual do ponto C) formada pela refracção da luz na superfície. O ponto A é o ponto onde ocorre a refracção. O ângulo
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1.1. Exercícios sobre Generalidades do MHS (Parte 1)
— 1. Oscilações —
— 1.1. Generalidades do MHS —
Exercício 1 .
A equação de um MHS é dada por Determina o número de ciclos feitos em NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar. |
Resolução 1 .
A equação de um MHS é geralmente dada na forma Comparando, termo a termo, com a equação dada no enunciado, temos que: As unidades dos resultados estão no SI pois o enuanciado assim indica. Para conseguir calcular o número de ciclos feitos em Para o MHS, Logo: Substituindo o valor de Isolando Ou seja, em cada segundo são realizadas 5 oscilações. Para o MHS, a frequência é definida por: substituindo valores, obtemos: Em |
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Exercício 2 Uma partícula realiza um MHS, cuja equação horária é
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar |
Resolução 2 .
Este exercício está relacionado com o movimento harmónico simples. Determinaremos o período pela relação entre período e frequência angular. Determinaremos a velocidade derivando a equação da posição, dada no enunciado.
A tabela será construida atribuindo diversos valores a Lançando os valores num sistema de coordenadas cartesianos Nota: Ao interpolarmos os pontos, fazemos um ajuste sinusoidal, pois sabemos que a dependência de |
Exercício 3 .
Uma partícula descreve um MHS segundo a equação
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar |
Resolução 3 .
Este exercício está relacionado com o Movimento Harmónico Simples. Nos é dada a equação horária do MHS para acharmos a equação horária da velocidade e a velocidade máxima. A equação horária da velocidade será obtida pela derivada da função horária da posição. A velocidade máxima é obtida na amplitude da função horária da velocidade.
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Exercício 4 .
Considere o MHS dado no gráfico. Escreva sua equação. |
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar
Resolução 4 .
O Problema ilustra o gráfico de A amplitude é a distancia vertical máxima entre o maior valor e o valor de equilíbrio (ou médio). No caso, como a função é simétrica em relação ao eixo de O período pode ser determinado como o tempo entre duas passagens sucessivas num máximo ou num mínimo. Como o gráfico não ilustra nem duas passagens pelo máximo, nem duas passagens pelo mínimo, então, então vamos usar o semi-período (metade do período)que é o tempo de passagem de um máximo para um mínimo ou vice-versa. á fase é obtida pela relação do valor inicial é relação ao valor máximo (considerando o momento de oscilação: subida ou descida. A equação do movimento de um MHS é dada na forma Com base na análise, é possível concluir que: A amplitude No momento inicial, o corpo se encontra no máximo positivo, e como estamos a considerar uma função seno. Neste caso, a função seno atinge exactamente o valor máximo quando o argumento é O corpo demora 4 segundos para sair de um extremo ao outro, ou seja, demorou 4 segundos para percorrer metade do percurso de oscilação. Logo, os 4 segundos correspondem à metade do período da oscilação. Com isso, pode-se dizer que: Sabendo que Por fim, substituindo os dados na equação da oscilação ( |
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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 5)
Exercício 20 Uma chita pode acelerar de |
Resolução 20 .
A conversão de Para a Chita, temos:
Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos: Para o carro,temos:
Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos: . |
Exercício 21 Um móvel fazendo a trajectória rectilínea Determinar:
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular. |
Resolução 21 .
Diante de um problema gráfico (
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Exercício 22 Uma pessoa caminha |
Resolução 22 .
Para o problema em questão, devemos entender a diferença entre deslocamento e distância percorrida. O deslocamento é o vector que une a posição inicial à posição final de um móvel, sem se importar pelo trajecto do mesmo. O seu modulo equivale a distancia entre a origem e o destino do móvel. A distancia percorrida é o somatório escalar de todo o caminho percorrido pelo móvel, levando em conta a sua trajectoria e eventuais mudanças de direcção. Na figura, observamos que o móvel sai da posição Neste caso o deslocamento será A distancia percorrida será:
.. Note que é a duração de todo o movimento, e como o tempo não recua, então sempre |
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