1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

— 1. Exercícios sobre Cinemática da Partícula —

— 1.1. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais —

Exercício 1 Um homem realiza uma viagem de uma cidade para outra, para atender a um compromisso. A distância entre as cidade é de 300 km. O compromisso foi marcado para as 11h15min. O homem planeia conduzir o seu carro a 100 km/h e parte às 8h00 para ter algum tempo de sobra. Ele conduz a velocidade planeada durante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho é obrigado a reduzir a velocidade para 40 km/h durante 40 km. Qual é a menor velocidade que ele deve manter no resto da viagem para chegar a tempo?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .

Resolução 1

Trecho a:1º trecho percorrido,na qual ${\triangle x = 100 \ km }$ .

Trecho b: 2º trecho, na qual ${\triangle x = 40 \ km }$ .

Trecho c: trecho restante, na qual ${\triangle x = 160 \ km }$

Para que se calcule a velocidade necessária para percorrer o trecho c é necessário que se conheça o tempo restante. Para isso,devemos determinar os tempos gastos para percorrer a trechos a e b. Consideraremos MRU em todos trechos, pois estamos a usar parâmetros médios.

No trecho a:

$\displaystyle \triangle x_{a} = v_{a}.t_{a}$

Isolando o tempo e calculando:

$\displaystyle t_{a} = \dfrac{\triangle x_{a}}{v_{a}} = 1h$

No trecho b :

$\displaystyle \triangle x_{b} = v_{b}.t_{b}$

Isolando o tempo e calculando:

$\displaystyle t_{b} = \dfrac{\triangle x_{b}}{v_{b}} = 1h$

Como temos tempo em horas e em minutos, temos de reduzir a uma única unidade de tempo. Neste caso, vamos converter 15 minutos em horas.

Sabemos que:

$\displaystyle 1h \longrightarrow 60min$

$\displaystyle x \longrightarrow 15min$

Fazendo a multiplicação cruzada e isolando o ${x}$ , obtemos:

$\displaystyle x = \dfrac{1h.15min}{60min} = 0,25 \ h$

Como o motorista partiu as 8h e tem que chegar as 11h e 15min,ou seja,11,25h,sendo que percorreu o conjunto do techo a e b por 2h, então, restam-lhe apenas 1h e 15min, ou seja 1,25h.

Então, para o trecho c teremos :

$\displaystyle \triangle x_{c} = v_{c}.t_{c} \Rightarrow v_{c} =\dfrac{_{\triangle}x_{c}}{t_{c}} = 128 \ km/h$

Exercício 2 A primeira metade da distância foi percorrida por um móvel com ${v_{1}}$ . Do tempo restante, a primeira metade foi percorrida com a velocidade ${v_{2}}$ e na segunda metade com a velocidade ${v_{3}}$ , sendo que o tempo gasto em percorrer a 1{ª} e a 2{ª} metade, são iguais. Determinar a velocidade média em todo o percurso.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .

Resolução 2 .

Sendo que : ${ t_{2} = \dfrac{t'}{2} \hspace{1cm} e\hspace{1cm} t_{3} = \dfrac{t'}{2}}$ ${\hspace{1cm}}$ onde ${t'}$ é o tempo restante após a 1ª parte e que : ${ \triangle x_{2} = \triangle x_{3}=\dfrac{\triangle x'}{2} =\dfrac{\triangle x}{2}}$

${\triangle x'}$ é o trecho restante após a 1ª parte.

Então: ${ \triangle x_{1} = \triangle x_{2} + \triangle x_3}$ .

Usando a definição de velocidade média para o troço 1, obtemos:

$\displaystyle t_{1} = \dfrac{\triangle x_{1}}{v_{1}} = \dfrac{\triangle x_{2} + \triangle x_{3}}{v_{1}}$

Os deslocamentos dos trechos 2 e 3 são:

$\displaystyle \triangle x_{2} = v_{2}.t_{2}=v_{2}.\dfrac{t}{2}$

$\displaystyle \triangle x_{3} = v_{3}.t_{2}=v_{3}.\dfrac{t}{2}$

Como os trechos 2 e 3 são percorridos durante o mesmo tempo, então a velocidade média é a média aritmética das velocidades. Neste caso, a velocidade média dos trechos 2 e 3 é:

$\displaystyle v_{23} = \dfrac{v_2 + v_3}{2}$

O deslocamento conjunto do trecho 2-3 é igual à primeira metade:

${\triangle x_{23}=\triangle x'=\triangle x_1=\dfrac{\triangle x}{2}}$

A partir da equação da velocidade média para mais de um trecho,teremos :

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{2}+\triangle x_{3}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}$

Neste caso, teremos :

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{23}}{t_{1}+t_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+\triangle x_{1}}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_23}{v_{23}}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_1}{v_{23}}}$

Factorizando e simplificando ${\triangle x_{1}}$ , obtemos:

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_{23}}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{v_{23}+v_1}{v_1 . v_{23}}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2. v_1 . v_{23}}{v_{23}+v_1}$

Substituindo ${v_{23}}$ pela formula de velocidade média no troço 2-3, obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 v_1 . \dfrac{ v_{2}+v_3}{2}}{\dfrac{v_{2}+v_3}{2}+v_1}$

Simplificando as expressões, obtemos:

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 v_{1}(v_{2}+v_{3})}{2v_{1}+v_{2}+v_{3}}$

Exercício 3 A equação do movimento de uma partícula ao longo do eixo OX é ${x=t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40}$ (no SI). Determine: (a) o instante em que a velocidade se anula; (b) a posição e a distância percorrida pelo ponto material até ao instante em que v=0; (c) a aceleração do ponto material no mesmo instante.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 3

A posição da partícula é dada por: ${ x \ = \ t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40}$
A velocidade é dada por: ${v=\dfrac{dx}{dt} \Rightarrow v \ = \ 3 \ t^{2}-12 \ t-15}$ Portanto,quando a velocidade for nula,teremos as seguintes equações:

$\displaystyle 3 \ t^{2}-12 \ t-15=0$

Simplificando por 3, teremos:

$\displaystyle t^{2}-4 \ t-5=0$

Logo:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} t & = & 5 \ s, \textrm{Correcta}\\ t & = & -1 \ s, \textrm{Incorrecta}\\ \end{array}\right.$
Para obter a posição, substituímos o tempo da função horária pelo valor dado. Neste caso, a posição em ${t=5 \ s}$ é:
$\displaystyle x_{f}=(5)^{3}-6.(5)^{2}-15.(5)+40$

$\displaystyle \Rightarrow x_{f}=-60 \ m$

A posição no instante t=0s é:

$\displaystyle x_{i}=(0)^{3}-6.(0)^{2}-15.(0)+40$

$\displaystyle \Rightarrow x_{i}=40 \ m$

A distância percorrida é dada por :

$\displaystyle \Delta x = |x_{f}-x_{xi}| \Rightarrow \Delta x = |-60-40| \Rightarrow\Delta = 100 \ m$
A aceleração instantânea é dada por:
$\displaystyle a=\dfrac{d^{2} x}{d t^{2}} \Rightarrow a=\dfrac{d{v}}{d{t}}$

Derivando a velocidade se obtém:

$\displaystyle a=6 \ t-12$

Logo, quando ${ t=5 \ s}$ , teremos :

$\displaystyle a=6.(5)-12 \Rightarrow a \ = \ 18 \ m/s^{2}$

Exercício 4 Quando a luz verde de um semáforo acende, um condutor acelera uniformemente o seu veiculo durante 6 s em ${2 \ m/s^{2}}$ . Em seguida ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro começou a se mover, ele foi ultrapassado por uma motorizada movendo-se no mesmo sentido com a velocidade constante de 10 m/s. Após quanto tempo, os dois veículos encontrar-se-ão novamente?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .

Resolução 4 .

Dados:

${a_{1A}=2 \ m/s^{2}}$

${ t_{1A}= \ 6 \ s = t_{02}}$

${ x_{01A}= \ 0 \ }$

${ v_{0A}=0}$

${ v_B=6 \ s}$

${x_{0B}=0}$

Neste Problema temos dois veículos A e B, mas o veiculo A não tem uma única equação de movimento, visto que inicialmente faz um MRUV, mas sem seguida faz um MRU. Então vamos usar os índices 1 e 2 para distinguir as duas partes do movimento do veiculo A. Para o veiculo B isto não é necessário.A Equação de movimento para o Veiculo A (condutor) :

Na 1ª Parte, em MRUV : ${ x_{1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}}$

Na 2ª parte (após os 6 s de MRUV), começa um MRU : ${x_{2A} = x_{02A}+ v_{02A}.t}$

A equação de movimento para a motorizada (Veiculo B) é a seguinte :

Na 1ª Parte em MRU ${x _{B}=v_{B}.t}$

Na 2ª parte ainda em MRU): ${x_{B}=x_{0B2}+ v_{B}.t}$

Calculando a posição e velocidade dos 2 após os primeiros 6 segundos, obtemos:

Para o veiculo A:

${x_{f1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}=\dfrac{1}{2}.(2).(6)^{2}\Rightarrow x_{f1A}=36 \ m}$

${v_{f1A}=v_{01A}+a_1.t \Rightarrow v_{f1A}=0+2.6=12 m/s}$

Para o veiculo B:

${x_{f1B}=x_{01B}+v_{1B}.t \Rightarrow x_{f1B}=0+10.(6)\Rightarrow x_{f1B}=60 \ m}$

Como o veiculo B faz MRU a velocidade é constante, logo: ${v_{f1B}=v_{01B}=10 \ m/s}$

Como podemos observar n figura, após o tempo ${t_1=6 \ s}$ o condutor (A) ainda não alcançou a motorizada (B). Então para determinar a posição de encontro, vamos usar as equações da 2ª parte.

${x_{2A}=x_{02A}+v_{2A}.t \Rightarrow x_{2A}=36+12 \ t}$

${x_{2B}=x_{02B}+v_{2B}.t \Rightarrow x_{2B}=60+10 \ t}$

O encontro ocorre quando: ${x_{2A}=x_{2B}}$

$\displaystyle \Rightarrow 36+12 \ t =60+10 \ t$

Isolando o tempo, obtemos:

$\displaystyle t = 12$

Atenção que este 12 segundos é após o inicio da 2ª Parte (pois reiniciamos a analise dos movimentos no final da 1ª Parte). Considerando então os ${6 \ s}$ de duração da primeira parte, temos:

$\displaystyle t = \ 12+6 =18 \ s$

Exercício 5 Partindo do repouso, um veiculo mantém uma aceleração de ${4 \ m/s^{2}}$ durante ${4 \ s}$ . Nos ${10 \ s}$ seguintes ele tem um movimento rectilíneo uniforme. para travar, o veiculo passa a ter um movimento uniformemente retardado com aceleração de ${8 \ m/s^{2}}$ , até parar. Fazer um gráfico da velocidade em função do tempo e mostrar que a área limitada pela curva e pelo eixo dos tempos é igual a distância total percorrida.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .

Resolução 5

Dados:

${x_{01}=0}$

${v_{01}=0 \ m/s}$

${a_{1}=4 \ m/s^{2}}$

${t_{1}=4 \ s }$

${x_{02}=x_{f2} \longrightarrow ?}$

${v_{2}=v_{f1} \longrightarrow ?}$

${t_{2}= 10 \ s}$

${x_{03}=x_{f2} \longrightarrow ?}$

${v_{03}=v_{f2}}$

${a_{3}=8 \ m/s^{2}}$

${t_{3} \longrightarrow ?}$

Para este problema, temos de calcular a velocidade em cada um dos trechos e os respectivos tempos. é um movimento dividido em 3 partes. UM MRUV (acelerado), um MRU e um MRUV (Retardado).

A partir da equação das velocidades, para a 1ª parte,teremos:

$\displaystyle v_{f1}=v_{01} + a_1.t_1=0+4.4=16$

…para a 2ª etapa: ${a=0}$ (M.R.U):

$\displaystyle \Rightarrow v_{f2}=v_{02}=v_{f1} \Rightarrow v_{f2}=16 \ m/s$

…para a 3ª etapa :

$\displaystyle v_{f3}=0$

Como conhecemos o tempo da 1ª e da 2ª parte, para completarmos o gráfico, precisamos obter o tempo da 3ª parte. Neste caso, usando a equação da velocidade, teremos:

$\displaystyle v_{f3}=v_{03} - a_{3} . t_{3}\Rightarrow 0=v_{f_{2}} - a_{3} . t_{3} \Rightarrow t_{3}=\dfrac{v_{03}}{a_{3}}=2 \ s$

Com os dados obtidos marcamos os 4 pontos no gráfico de ${v=f(t)}$ e traçamos as rectas que unem os pontos:

${(t_{01};v_{01})=(0;0)}$

${(t_{02};v_{02})=(4;16)}$

${(t_{03};v_{03})=(14;16)}$

${(t_{f1};v_{f1})=(16;0)}$

Vamos então calcular a áreas do gráfico.

A primeira região é um triângulo. Neste caso:

${ A_{1}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.4.16 }$

${A_{1}=32 \ m}$

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

${A_{2}=l.h=10.16=160 \ m}$

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

${A_{3}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.16}$

${A_{3}=16 \ m}$

Neste caso: ${A_{Total}=A_{1}+A_2+A_3=208 \ m}$

Calculando os deslocamentos de cada parte, temos:

${\Delta x_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1}{t_1}^{2}=\dfrac{1}{2}.4.(4)^{2}}$

${\Delta x_{1}=32 \ m}$

${ \Delta x_{2}=v_2.t_2=16.(10)}$

${\Delta x_{2}=160 \ m}$

${ \Delta x_{3}=v_{03}.t-\dfrac{1}{2} a_3 t^{2}}$

${ \Delta x_{3}=16.(2)-\dfrac{1}{2}.8.(2)^{2}=16 \ m}$

${ \Delta x_{Total}=\Delta x_{1}+\Delta x_{2} + \Delta x_{3} = 208 \ m}$

Logo a área total ${A_{Total}=208 \ m}$ é igual á distancia total ${ \Delta x_{Total}=208 \ m"}$

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3 comentários

Edson Ernesto diz:

07/11/2020 às 9:12 pm

Excelente!

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Júlio Feliciano Quitamba Currié diz:

07/12/2020 às 9:47 am

Obrigado pelas ideias. Vai ajudar muito os estudantes.

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Alberto António diz:

07/13/2020 às 10:14 am

Fácil entendimento devido aos passos dado na resolução.
Será muito útil para os estudantes(em particular)

GostarLiked by 1 person

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