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1. Introdução à Mecânica (Parte 1)

02/04/2022 10:27 pm / 1 comentário em 1. Introdução à Mecânica (Parte 1)

1. Introdução à Mecânica

1.1. Introdução Geral à Física

A Ciência e a Engenharia se baseiam em medições e comparações.

Assim, precisamos de regras para estabelecer de que forma as grandezas devem ser medidas e comparadas, e de experimentos para estabelecer as unidades para essas medições e comparações.

Um dos propósitos da física é elaborar, postar e relacionar modelos em um esforço para descrever, explicar ir para ver a realidade. Esse processo envolve hipóteses, experimentos reprodutíveis e as observações e novas hipóteses.

O resultado final é um conjunto de princípios fundamentais e leis que descrevem os fenómenos do mundo que nos cerca. Estas leis e princípios são aplicáveis tanto ao mundo macroscópico como buracos negros, matéria e energia escura, gravidade, etc como para o mundo microscópico partículas quânticas como leptoquarks e bósões. Quanto ao nosso dia-dia, são incontáveis as questões sobre o nosso mundo que podem ser respondidas com conhecimento básico de física.

Se a agua não tem cor, porque razão a uma distância do mar, a água parece azul?

Como é que os astronautas no espaço flutuam?

Como funciona um CD?

1.2. Medindo grandezas

Ao estudarmos conteúdos relacionados com a Física, muitas vezes, deparamo-nos com a palavra grandeza definindo termos científicos, como velocidade, aceleração, força, tempo etc.

Numa linguagem muito elementar, uma grandeza é tudo aquilo que pode ser medido e possibilita que tenhamos características baseadas em informações numéricas e/ou geométricas. A grandeza é toda a característica de um sistema ou corpo a que possamos associa uma quantidade. Medir uma grandeza física é compara-lá com uma outra da mesma espécie na natureza.

Medimos cada grandeza física em medidas apropriadas, por comparação com padrão. A unidade é um nome particular que atribuímos as medidas dessa grandeza.

Assim por exemplo, o metro (m) é uma unidade da grandeza comprimento. O padrão corresponde a exatamente 1,0 unidade da grandeza, como vamos ver o padrão de comprimento que corresponde exatamente 1,0 m é a distância percorrida pela Luz no vácuo durante uma certa fração de tempo .

Em princípio podemos definir uma unidade e o seu padrão da forma que quisermos, mas é importante que cientistas em diferentes partes do mundo concordem que nossas definições e que, ao mesmo tempo sejam razoáveis e práticas.

Depois de escolher um padrão (neste caso comprimento) precisamos estabelecer procedimentos através dos quais qualquer comprimento seja ${r}$ o raio do átomo de hidrogénio, ${a}$ largura de uma aresta de um cubo ou ${d}$ a distância entre duas estrelas, possa ser expresso em termos da unidade.

Usar uma régua de comprimento aproximadamente igual ao padrão pode ser uma forma de executar medidas de comprimento. Entretanto, muitas das comparações são necessariamente indiretas. Por exemplo, não dá para medir a distâncias entre planetas directamente.

É portanto, impossível usar uma régua, por exemplo, para medir o raio de um átomo ou a distância de uma estrela. Assim o que fazemos é escolher, através de um acordo internacional, um pequeno número de grandezas físicas como comprimento e tempo, e atribuir unidades a elas.

Em seguida, definimos as demais grandezas físicas em termos dessas grandezas fundamentais e de suas unidades (conhecidas, como unidades fundamentais). A velocidade, por exemplo é definida em termos das grandezas fundamentais comprimento e tempo e suas unidades fundamentais.

Portanto as unidades fundamentais de um sistema de unidades dado são as unidades de grandezas físicas de diferentes espécies, escolhidas arbitrariamente para constituição desse sistema. As grandezas físicas que correspondem às mesmas unidades têm o nome de grandezas fundamentais do sistema considerado.

Unidades derivadas são as unidades que se estabelecem sendo deduzidas a partir das outras unidades de um sistema dado, desde que se observem as leis e os princípios físicos a exprimirem as relações mútuas existentes entre as respetivas grandezas físicas.

1.3. O sistema Internacional de Unidade

Na 14ª conferência geral de pesos e medidas, foram selecionadas sete grandezas como fundamentais, as quais constituem a base do sistema internacional de unidade cuja abreviação é S.I. popularmente conhecido como sistema métrico.

A tabela a seguir mostra as unidades das grandezas fundamentais do S.I. que serão usadas nos principais capítulos desta página. Essas unidades foram definidos modo a serem da mesma ordem de grandeza que a escala humana.

Muitas unidades derivadas do SI são definidas em termos dessas unidades fundamentais. Assim, por exemplo, a unidade de trabalho no SI, chama Joule (J) é definido em termos das unidades fundamentais de massa, comprimento e tempo.

$\displaystyle 1 \ Joule= \ 1 \ J= \ 1k \cdot \frac{m^2}{s^2}$

Além destas, há duas unidades complementares: o radiano e o esterradiano.

1.3.1 Tempo

Do latim tempus, a palavra tempo é a grandeza física que permite medir a duração ou a separação das coisas mutáveis/sujeitas a alterações (ou seja, o período decorrido entre o estado do sistema quando este apresentava um determinado estado e o momento em que esse dito estado regista uma variação perceptível para o observador).

Em física, tempo é a grandeza física diretamente associada ao correto sequenciamento, mediante ordem de ocorrência, dos eventos naturais, estabelecendo assim um passado, um presente e um futuro.

Na física clássica (que abordaremos nesta secção), o tempo transcorre sempre da mesma forma, esteja o móvel se movimentando ou parado em relação a um determinado referencial. Isso significa dizer que o tempo passa igualmente tanto para uma pessoa que se encontra na superfície da Terra, quanto para uma pessoa que se encontra viajando dentro de uma nave espacial. O que em grande rigor não é verdade.

Para a física moderna, o intervalo de tempo para um móvel que se move em altíssima velocidade (próxima à velocidade da luz no vácuo) passa mais lentamente. Podemos dizer que uma hora para uma pessoa que se encontra parada na superfície da Terra pode corresponder a alguns minutos ou segundos para um observador que se move em altíssima velocidade. Na física moderna, esse fato é conhecido como dilatação do tempo. Porém este não é o foco desta secção.

O tempo marcado pelo relógio não é universal, mas sim uma construção histórica. Medir o tempo significa em princípio registrar coincidências. Quando alguém marca um compromisso, digamos às ${13:00}$ horas do presente dia, está informando que ela estará no local combinado quando o ponteiro pequeno do relógio colocado naquele local coincidir com a marca ${1}$ e enquanto o ponteiro grande esteja na inscrição ${12}$ .

Portanto, podemos entender o tempo como uma medida da simultaniedade de eventos.

A unidade usada para o tempo é o segundo s, apesar de poder usar outras unidades como minutos, horas, dia, semana, mês, anos, décadas, séculos ou milénios (de acordo com o contexto)

Podemos definir o segundo de diversas maneiras. Há um conjunto de frequências e comprimentos de onda especifico para radiação de cada átomo associados a cada transição energética sofrida pelos electrões no mesmo, quando este é aquecido. O que se sabe é que essas frequências seguem constantes.

O segundo (s) pode ser definido em termos de uma frequência para característica associada ao átomo de césio. Todos os átomos, depois que absorver energia, emitem luz com frequências e comprimentos de onda característica do elemento específico.

O Segundo é então definido como duração de ${9192631770}$ períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.

1.3.2 Comprimento

Em 20 de Maio de 1875 um tratado internacional conhecido como Convention du Mètre (Convenção do Metro), foi assinado por 17 Estados e estabeleceu a criação do Bureau Internacional de Pesos e Medidas (Bureau International des Poids et mesures – BIPM), um laboratório permanente e centro mundial da metrologia científica e da Conferência Geral de Pesos e Medidas (Conférence Générale des Poids et mesures – CGPM), que em 1889, em sua 1ª edição, definiu o protótipos internacional de metro. Sua base era o metro definido como à décima milionésima parte do quadrante de um meridiano terrestre.

Mais tarde, por razões práticas, essa padrão foi abandonado e o metro veio a ser definido como a distância entre duas linhas finas gravadas perto das extremidades de uma barra de Platina-Vítrio (a barra do metro-padrão), mantida no Bureau internacional de pesos e medidas nas vizinhanças de Osaris.

Réplicas preciosas dessa barra foram enviadas ao laboratórios de padronização em várias partes do mundo. Com o tempo a precisão deste padrão também se mostrou inadequado e outros padrões foram criados para o metro.

Actualmente O metro é determinado usando a rapidez da luz no vácuo que é definida como exatamente 299792458 m/s. O metro, então, é a distância que a luz percorre no vácuo em ${1/(299792 458)}$ segundos. Estas definições fazem com que unidades do tempo e comprimento sejam acessíveis aos laboratórios de todo mundo.

1.3.3 Massa

A massa ( ${m}$ ) é uma grandeza escalar positiva e invariável, a qual mede a inércia (propriedade dos corpos em permanecerem em movimento acelerado ou retardado) dos corpos, ou seja, a quantidade de matéria presente num corpo.

A unidade da massa no S.I é o quilograma (kg), é definido como a massa de um litro de água a ${4 \ ^oC}$ com volume de ${1 \ }$ (que é igual ao volume de um cubo de ${10 \ cm}$ de lado).

Assim como os padrões de tempo comprimento, o padrão de quilograma mudou ao longo do tempo. O quilograma é agora definido como a massa de um determinado cilindro chamado de corpo-padrão mantido no Bureau Internacional de Pesos e Medidas em Sévres na França.

Assim comparando pesos de diferentes objetos ou tamanho comum com o peso do corpo-padrão,as massas dois objetos podem ser comparadas entre si.

1.4 Prefixos de Unidade

Às vezes torna-se necessário trabalhar com medidas que são muitos menores ou muito maiores do que as unidades padrão do S.I. Nessas situações podemos usar outras unidades, são relacionadas as unidades padrão do S.I por um múltiplo de dez(10).

Os prefixos são usados para designar as diferentes potências de 10, por exemplo, prefixo “quilo” significa ${1000}$ ou ${ 10^3 }$ , enquanto o prefixo “micro” significa ${0,000001}$ ou ${ 10^{-6} }$ .

A tabela a seguir mostra o prefixo dos mais comuns múltiplos das unidades do S.I. Os prefixos podem ser aplicados a qualquer unidades S.I, por exemplo ${0,001}$ segundo é um milissegundo ( ${1 \ ms}$ ), e ${1000000 \ Watts}$ são ${1 \ MW}$ (apesar de ainda não termos definido o Watt).

Alguns prefixos muito usados nas Unidades do S.I são mostrados a seguir:

Sendo assim:

$\displaystyle 1,27\cdot 10^9 \ W= \ 1,27 \ GW$

$\displaystyle 2,35 \cdot 10^{-6} \ s= 2,35 \ \mu s$

OBS : alguns grandezas, para dimensões diferentes utiliza outras unidades, tais como a hora para o tempo ( ${1 \ h}$ equivale á ${3600 \ s}$ ) e o Angstron para o comprimento ( ${1 \ \r{A}}$ equivale ${10^{-10} \ m}$ ).

1.5 Outros sistemas de unidades

Além do S.I, outros sistemas de unidades são as vezes utilizados. Um deles é o sistema CGS cujas unidades fundamentais são os centímetro para os comprimentos , o grama para massa e o segundo para o tempo.

Sistema CGS de unidades é um sistema de unidades de medidas físicas, ou sistema dimensional, de tipologia LMT (comprimento, massa tempo), cujas unidades-base são o centímetro para o comprimento, o grama para a massa e o segundo para o tempo. Foi adotado em 1881 no Congresso Internacional de Eletricidade.

CGS é, assim, um acrônimo maiúsculo para centímetro–grama–segundo. É o sistema de unidades físicas primordial que precedeu o Sistema Internacional de Unidades (SI), por este sendo substituído.

Outras unidades CGS incluem Dina (para força), Erg (para energia, trabalho, calor, etc.), Gal (para aceleração), Gauss (para campo magnético), Maxwell (para fluxo magnético), Öersted (para intensidade de campo), Phot (para intensidade luminosa), Poise (para viscosidade dinâmica em fluidos), Stilb (para luminância), Stokes (para viscosidade cinemática)e Dina por centímetro cúbico (para peso específico).

1.6 Conversão de Unidades

Como diferentes sistemas de unidades são utilizados, é importante saber como converter uma unidade para outra, em diversos contextos quando quantidades físicas são somadas, subtraídas, multiplicadas ou divididas em uma equação algébrica. A unidade pode ser tratada como qualquer outra quantidade algébrica.

Muitas vezes precisamos alterar as unidades nas quais uma grandeza física está expressa. Isto pode ser feito usando um método conhecido como conversão em cadeia. Nesse método multiplicarmos o valor original por um fator de conversão(uma razão entre unidades e igual à unidade). Assim como 1 min e 60 s correspondem a intervalos de tempo iguais, temos:

$\displaystyle \frac{1 \ min}{60 \ s}=1 \Rightarrow \frac{60 \ s}{1 \ min}= 1$

Assim, as razões ${(1 \ min)/(60 \ s)}$ e ${(60 \ s)/(1 \ min)}$ podem ser usadas como fatores de conversão. Nota que isso não é o mesmo que escrever ${\frac{1}{60}=1}$ ou ${60=1}$ ; cada número e a sua unidade devem ser tratadas conjuntamente.

Exemplo 1 Converter ${3 \ min}$ em segundos.

Neste exemplo, temos:

$\displaystyle 3 \ min= \ (3 \ min)\cdot 1= \ 3min \cdot \frac{60 \ s}{1 \ min}= \ 180 \ s$ $\displaystyle 3 \ min= \ 180 \ s$

Exemplo 2 Converter ${240 \ km}$ em milhas.

Neste exemplo, temos:

$\displaystyle 240 \ km= \ (240 \ km)\cdot 1= \ 240 \ km \cdot \frac{1 \ milhas}{1,6091 \ km}= \ 149 \ milhas$

Exemplo 3 Converter ${90 \ km/h}$ em metros por segundo.
Neste exemplo, temos:

$\displaystyle 90 \ km/h= \ (90 \ \frac{km}{h})\cdot 1 = \ 90 \ \frac{km}{h} \cdot \frac{1 \ h}{3600 \ s} \cdot \frac{1000 \ km}{1 \ km}$ $\displaystyle = \ 25 \ m/s$

Por vezes, podemos fazer a conversão de um modo mais rápido, substituindo cada unidade pela unidade de destino, com o respectivo factor de conversão.

Exemplo 4 Converter ${90 \ km/h}$ para o SI.

Sabemos que a unidade de velocidade no SI é ${m/s}$ , então, temos de converter ${km}$ em ${m}$ e ${h}$ em ${s}$ . Então temos:

$\displaystyle 90 \ \frac{km}{h}= \frac{90 \cdot 1000 \ m}{3600 \ s}=25 m/s$

Este método também é usado em conversões de unidades com prefixos (múltiplos e submúltiplos).

Exemplo 5 Converter ${100 \ kJ/s}$ para o SI.

Sabemos que a unidade de velocidade no SI é ${m/s}$ , então, temos de converter ${kJ}$ em ${J}$ (substituindo apenas o multiplo quilo) e ${s}$ já está no S.I. Então temos:

$\displaystyle 100 \ \frac{kJ}{s}= \ 100 \ \frac{ \cdot {10^{3}} \ J}{s} =100000 \ J/s = \ 100000 \ W$

Ainda há a clássica regra de “3 simples”, conhecida pela maioria.

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

07/11/2020 7:59 pm / 3 comentários em 1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

— 1. Exercícios sobre Cinemática da Partícula —

— 1.1. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais —

Exercício 1 Um homem realiza uma viagem de uma cidade para outra, para atender a um compromisso. A distância entre as cidade é de 300 km. O compromisso foi marcado para as 11h15min. O homem planeia conduzir o seu carro a 100 km/h e parte às 8h00 para ter algum tempo de sobra. Ele conduz a velocidade planeada durante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho é obrigado a reduzir a velocidade para 40 km/h durante 40 km. Qual é a menor velocidade que ele deve manter no resto da viagem para chegar a tempo?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .

Resolução 1

Trecho a:1º trecho percorrido,na qual ${\triangle x = 100 \ km }$ .

Trecho b: 2º trecho, na qual ${\triangle x = 40 \ km }$ .

Trecho c: trecho restante, na qual ${\triangle x = 160 \ km }$

Para que se calcule a velocidade necessária para percorrer o trecho c é necessário que se conheça o tempo restante. Para isso,devemos determinar os tempos gastos para percorrer a trechos a e b. Consideraremos MRU em todos trechos, pois estamos a usar parâmetros médios.

No trecho a:

$\displaystyle \triangle x_{a} = v_{a}.t_{a}$

Isolando o tempo e calculando:

$\displaystyle t_{a} = \dfrac{\triangle x_{a}}{v_{a}} = 1h$

No trecho b :

$\displaystyle \triangle x_{b} = v_{b}.t_{b}$

Isolando o tempo e calculando:

$\displaystyle t_{b} = \dfrac{\triangle x_{b}}{v_{b}} = 1h$

Como temos tempo em horas e em minutos, temos de reduzir a uma única unidade de tempo. Neste caso, vamos converter 15 minutos em horas.

Sabemos que:

$\displaystyle 1h \longrightarrow 60min$

$\displaystyle x \longrightarrow 15min$

Fazendo a multiplicação cruzada e isolando o ${x}$ , obtemos:

$\displaystyle x = \dfrac{1h.15min}{60min} = 0,25 \ h$

Como o motorista partiu as 8h e tem que chegar as 11h e 15min,ou seja,11,25h,sendo que percorreu o conjunto do techo a e b por 2h, então, restam-lhe apenas 1h e 15min, ou seja 1,25h.

Então, para o trecho c teremos :

$\displaystyle \triangle x_{c} = v_{c}.t_{c} \Rightarrow v_{c} =\dfrac{_{\triangle}x_{c}}{t_{c}} = 128 \ km/h$

Exercício 2 A primeira metade da distância foi percorrida por um móvel com ${v_{1}}$ . Do tempo restante, a primeira metade foi percorrida com a velocidade ${v_{2}}$ e na segunda metade com a velocidade ${v_{3}}$ , sendo que o tempo gasto em percorrer a 1{ª} e a 2{ª} metade, são iguais. Determinar a velocidade média em todo o percurso.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .

Resolução 2 .

Sendo que : ${ t_{2} = \dfrac{t'}{2} \hspace{1cm} e\hspace{1cm} t_{3} = \dfrac{t'}{2}}$ ${\hspace{1cm}}$ onde ${t'}$ é o tempo restante após a 1ª parte e que : ${ \triangle x_{2} = \triangle x_{3}=\dfrac{\triangle x'}{2} =\dfrac{\triangle x}{2}}$

${\triangle x'}$ é o trecho restante após a 1ª parte.

Então: ${ \triangle x_{1} = \triangle x_{2} + \triangle x_3}$ .

Usando a definição de velocidade média para o troço 1, obtemos:

$\displaystyle t_{1} = \dfrac{\triangle x_{1}}{v_{1}} = \dfrac{\triangle x_{2} + \triangle x_{3}}{v_{1}}$

Os deslocamentos dos trechos 2 e 3 são:

$\displaystyle \triangle x_{2} = v_{2}.t_{2}=v_{2}.\dfrac{t}{2}$

$\displaystyle \triangle x_{3} = v_{3}.t_{2}=v_{3}.\dfrac{t}{2}$

Como os trechos 2 e 3 são percorridos durante o mesmo tempo, então a velocidade média é a média aritmética das velocidades. Neste caso, a velocidade média dos trechos 2 e 3 é:

$\displaystyle v_{23} = \dfrac{v_2 + v_3}{2}$

O deslocamento conjunto do trecho 2-3 é igual à primeira metade:

${\triangle x_{23}=\triangle x'=\triangle x_1=\dfrac{\triangle x}{2}}$

A partir da equação da velocidade média para mais de um trecho,teremos :

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{2}+\triangle x_{3}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}$

Neste caso, teremos :

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{23}}{t_{1}+t_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+\triangle x_{1}}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_23}{v_{23}}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_1}{v_{23}}}$

Factorizando e simplificando ${\triangle x_{1}}$ , obtemos:

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_{23}}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{v_{23}+v_1}{v_1 . v_{23}}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2. v_1 . v_{23}}{v_{23}+v_1}$

Substituindo ${v_{23}}$ pela formula de velocidade média no troço 2-3, obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 v_1 . \dfrac{ v_{2}+v_3}{2}}{\dfrac{v_{2}+v_3}{2}+v_1}$

Simplificando as expressões, obtemos:

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 v_{1}(v_{2}+v_{3})}{2v_{1}+v_{2}+v_{3}}$

Exercício 3 A equação do movimento de uma partícula ao longo do eixo OX é ${x=t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40}$ (no SI). Determine: (a) o instante em que a velocidade se anula; (b) a posição e a distância percorrida pelo ponto material até ao instante em que v=0; (c) a aceleração do ponto material no mesmo instante.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 3

A posição da partícula é dada por: ${ x \ = \ t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40}$
A velocidade é dada por: ${v=\dfrac{dx}{dt} \Rightarrow v \ = \ 3 \ t^{2}-12 \ t-15}$ Portanto,quando a velocidade for nula,teremos as seguintes equações:

$\displaystyle 3 \ t^{2}-12 \ t-15=0$

Simplificando por 3, teremos:

$\displaystyle t^{2}-4 \ t-5=0$

Logo:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} t & = & 5 \ s, \textrm{Correcta}\\ t & = & -1 \ s, \textrm{Incorrecta}\\ \end{array}\right.$
Para obter a posição, substituímos o tempo da função horária pelo valor dado. Neste caso, a posição em ${t=5 \ s}$ é:
$\displaystyle x_{f}=(5)^{3}-6.(5)^{2}-15.(5)+40$

$\displaystyle \Rightarrow x_{f}=-60 \ m$

A posição no instante t=0s é:

$\displaystyle x_{i}=(0)^{3}-6.(0)^{2}-15.(0)+40$

$\displaystyle \Rightarrow x_{i}=40 \ m$

A distância percorrida é dada por :

$\displaystyle \Delta x = |x_{f}-x_{xi}| \Rightarrow \Delta x = |-60-40| \Rightarrow\Delta = 100 \ m$
A aceleração instantânea é dada por:
$\displaystyle a=\dfrac{d^{2} x}{d t^{2}} \Rightarrow a=\dfrac{d{v}}{d{t}}$

Derivando a velocidade se obtém:

$\displaystyle a=6 \ t-12$

Logo, quando ${ t=5 \ s}$ , teremos :

$\displaystyle a=6.(5)-12 \Rightarrow a \ = \ 18 \ m/s^{2}$

Exercício 4 Quando a luz verde de um semáforo acende, um condutor acelera uniformemente o seu veiculo durante 6 s em ${2 \ m/s^{2}}$ . Em seguida ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro começou a se mover, ele foi ultrapassado por uma motorizada movendo-se no mesmo sentido com a velocidade constante de 10 m/s. Após quanto tempo, os dois veículos encontrar-se-ão novamente?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .

Resolução 4 .

Dados:

${a_{1A}=2 \ m/s^{2}}$

${ t_{1A}= \ 6 \ s = t_{02}}$

${ x_{01A}= \ 0 \ }$

${ v_{0A}=0}$

${ v_B=6 \ s}$

${x_{0B}=0}$

Neste Problema temos dois veículos A e B, mas o veiculo A não tem uma única equação de movimento, visto que inicialmente faz um MRUV, mas sem seguida faz um MRU. Então vamos usar os índices 1 e 2 para distinguir as duas partes do movimento do veiculo A. Para o veiculo B isto não é necessário.A Equação de movimento para o Veiculo A (condutor) :

Na 1ª Parte, em MRUV : ${ x_{1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}}$

Na 2ª parte (após os 6 s de MRUV), começa um MRU : ${x_{2A} = x_{02A}+ v_{02A}.t}$

A equação de movimento para a motorizada (Veiculo B) é a seguinte :

Na 1ª Parte em MRU ${x _{B}=v_{B}.t}$

Na 2ª parte ainda em MRU): ${x_{B}=x_{0B2}+ v_{B}.t}$

Calculando a posição e velocidade dos 2 após os primeiros 6 segundos, obtemos:

Para o veiculo A:

${x_{f1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}=\dfrac{1}{2}.(2).(6)^{2}\Rightarrow x_{f1A}=36 \ m}$

${v_{f1A}=v_{01A}+a_1.t \Rightarrow v_{f1A}=0+2.6=12 m/s}$

Para o veiculo B:

${x_{f1B}=x_{01B}+v_{1B}.t \Rightarrow x_{f1B}=0+10.(6)\Rightarrow x_{f1B}=60 \ m}$

Como o veiculo B faz MRU a velocidade é constante, logo: ${v_{f1B}=v_{01B}=10 \ m/s}$

Como podemos observar n figura, após o tempo ${t_1=6 \ s}$ o condutor (A) ainda não alcançou a motorizada (B). Então para determinar a posição de encontro, vamos usar as equações da 2ª parte.

${x_{2A}=x_{02A}+v_{2A}.t \Rightarrow x_{2A}=36+12 \ t}$

${x_{2B}=x_{02B}+v_{2B}.t \Rightarrow x_{2B}=60+10 \ t}$

O encontro ocorre quando: ${x_{2A}=x_{2B}}$

$\displaystyle \Rightarrow 36+12 \ t =60+10 \ t$

Isolando o tempo, obtemos:

$\displaystyle t = 12$

Atenção que este 12 segundos é após o inicio da 2ª Parte (pois reiniciamos a analise dos movimentos no final da 1ª Parte). Considerando então os ${6 \ s}$ de duração da primeira parte, temos:

$\displaystyle t = \ 12+6 =18 \ s$

Exercício 5 Partindo do repouso, um veiculo mantém uma aceleração de ${4 \ m/s^{2}}$ durante ${4 \ s}$ . Nos ${10 \ s}$ seguintes ele tem um movimento rectilíneo uniforme. para travar, o veiculo passa a ter um movimento uniformemente retardado com aceleração de ${8 \ m/s^{2}}$ , até parar. Fazer um gráfico da velocidade em função do tempo e mostrar que a área limitada pela curva e pelo eixo dos tempos é igual a distância total percorrida.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .

Resolução 5

Dados:

${x_{01}=0}$

${v_{01}=0 \ m/s}$

${a_{1}=4 \ m/s^{2}}$

${t_{1}=4 \ s }$

${x_{02}=x_{f2} \longrightarrow ?}$

${v_{2}=v_{f1} \longrightarrow ?}$

${t_{2}= 10 \ s}$

${x_{03}=x_{f2} \longrightarrow ?}$

${v_{03}=v_{f2}}$

${a_{3}=8 \ m/s^{2}}$

${t_{3} \longrightarrow ?}$

Para este problema, temos de calcular a velocidade em cada um dos trechos e os respectivos tempos. é um movimento dividido em 3 partes. UM MRUV (acelerado), um MRU e um MRUV (Retardado).

A partir da equação das velocidades, para a 1ª parte,teremos:

$\displaystyle v_{f1}=v_{01} + a_1.t_1=0+4.4=16$

…para a 2ª etapa: ${a=0}$ (M.R.U):

$\displaystyle \Rightarrow v_{f2}=v_{02}=v_{f1} \Rightarrow v_{f2}=16 \ m/s$

…para a 3ª etapa :

$\displaystyle v_{f3}=0$

Como conhecemos o tempo da 1ª e da 2ª parte, para completarmos o gráfico, precisamos obter o tempo da 3ª parte. Neste caso, usando a equação da velocidade, teremos:

$\displaystyle v_{f3}=v_{03} - a_{3} . t_{3}\Rightarrow 0=v_{f_{2}} - a_{3} . t_{3} \Rightarrow t_{3}=\dfrac{v_{03}}{a_{3}}=2 \ s$

Com os dados obtidos marcamos os 4 pontos no gráfico de ${v=f(t)}$ e traçamos as rectas que unem os pontos:

${(t_{01};v_{01})=(0;0)}$

${(t_{02};v_{02})=(4;16)}$

${(t_{03};v_{03})=(14;16)}$

${(t_{f1};v_{f1})=(16;0)}$

Vamos então calcular a áreas do gráfico.

A primeira região é um triângulo. Neste caso:

${ A_{1}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.4.16 }$

${A_{1}=32 \ m}$

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

${A_{2}=l.h=10.16=160 \ m}$

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

${A_{3}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.16}$

${A_{3}=16 \ m}$

Neste caso: ${A_{Total}=A_{1}+A_2+A_3=208 \ m}$

Calculando os deslocamentos de cada parte, temos:

${\Delta x_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1}{t_1}^{2}=\dfrac{1}{2}.4.(4)^{2}}$

${\Delta x_{1}=32 \ m}$

${ \Delta x_{2}=v_2.t_2=16.(10)}$

${\Delta x_{2}=160 \ m}$

${ \Delta x_{3}=v_{03}.t-\dfrac{1}{2} a_3 t^{2}}$

${ \Delta x_{3}=16.(2)-\dfrac{1}{2}.8.(2)^{2}=16 \ m}$

${ \Delta x_{Total}=\Delta x_{1}+\Delta x_{2} + \Delta x_{3} = 208 \ m}$

Logo a área total ${A_{Total}=208 \ m}$ é igual á distancia total ${ \Delta x_{Total}=208 \ m"}$

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