1.2 Exercícios sobre Calor de Transformação e Equilíbrio Térmico (Parte 1)

— 1.2. Calor de Transformação —

Exercício 1. Qual é a quantidade de calor necessária para levar ${600\ g}$ de água da temperatura de ${{40} \ ^oC}$ para o estado de vapor à ${{100} \ ^oC}$ . Utilize o calor específico da água ${4190\ J/(kg\cdot K)}$ e o calor latente de vaporização ${2256 \cdot 10^3\ J/kg}$ .
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

Trata-se de um exercício sobre calorimetria. Queremos saber qual é a quantidade de calor necessária para converter ${600\ g}$ de água à ${40 \ ^oC}$ em vapor.
Temos que converter as unidades das grandezas para o sistema internacional. A massa em ${kg}$ . A temperaturas não precisa ser convertida, pois a variação de temperaturas em ${^oC}$ e em ${K}$ é igual.
Nota: o vapor de água na pressão atmosférica normal, está a uma temperatura de ${100 \ ^oC}$ .

Dados
${Q \longrightarrow?}$

${m = 600\ g}$

${t_1 = 40 \ ^oC}$

${t_2 = 100 \ ^oC}$

${c = 4190\ J/(kg\cdot k)}$

${l_V = 2256 \cdot 10^3\ J/kg}$

Convertemos a massa para quilogramas ( ${kg}$ ):

$\displaystyle m = 600 \ g = 600 \cdot 10^{-3} \ kg$

De acordo com o diagrama de transição de fases, na passagem de ${40 \ ^oC}$ líquido ${(1)}$ para vapor a ${100 \ ^oC}$ ${(2)}$ teremos duas quantidades de calor:

${Q_1 = m \cdot c \cdot \Delta t = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1)}$ – quantidade de calor para variar a temperatura;

${Q_2 = m \cdot l_{V}}$ – quantidade de calor necessária para evaporar uma massa ${m}$ de substância.

A quantidade de calor necessária para elevar a água à uma certa temperatura para o estado de vapor à ${100 \ ^oC}$ é igual a soma das duas quantidades de calor anteriores. Assim:

$\displaystyle Q = Q_1 + Q_2$

$\displaystyle m \cdot c \cdot \Delta t + m \cdot l_V = m \cdot c \cdot (t_2 - t_1) + m \cdot l_V$

$\displaystyle Q = m[c(t_2 - t_1) + l_V]$

Substituindo os valores dados, obtemos:

$\displaystyle Q = 600 \cdot 10^{-3} \cdot[4190 \cdot (100 - 40) + 2256 \cdot 10^3]$

$\displaystyle Q = 1504440$

$\displaystyle Q = 1,5\ MJ$

— 1.3. Temperatura e Equilíbrio térmico —

Exercício 2. Mistura-se ${25 \ g}$ de café a ${90 \ ^oC}$ com ${80 \ g}$ de leite a ${25 \ ^oC}$ . Admitindo que não há troca de calor com o recipiente e que os líquidos têm o mesmo calor específico, determine a temperatura final do sistema (café+leite).
NÍVEL DE DIFICULDADE:Regular.

Resolução 2
Trata-se de um exercício de equilíbrio térmico (calorimetria) cujo o objectivo é determinar a temperatura final de um sistema (café-leite) dentro do recipiente.
Sempre que dois corpos são misturados, inicialmente a temperaturas diferentes, haverá sem troca de calor, até que os dois obtenham a mesma temperatura(temperatura de equilíbrio do sistema).
Aplicando o princípio de conservação de energia:

$\displaystyle Q_1 + Q_2 + Q_3 + ... + Q_N=0$

No caso, só temos quantidades de calor de mudança de temperatura:

$\displaystyle Q_i = m \cdot c_i \cdot (t_2-t_1)$

OBS: Não se considera a troca de calor com o recipiente pois o enunciado diz que não há troca de calor com o recipiente.

Dados

${m_c=25 \ g}$

${t_{1C} = 90 \ ^oC}$

${m_l = 80 \ g}$

${t_{1l}= 25 \ ^oC}$

${t_2-?}$

${c_c = c_{l} = c_{agua} = 4190 \ J/(kg \cdot k)}$

Como os dois trocam calor, teremos:

${Q_c = m_c \cdot c_c \cdot(t_2 - t_{1c})}$ – quantidade de calor do café.

${Q_l = m_l C_l \cdot (t_2 - t_{1l})}$ – quantidade de calor do leite.

Sabemos que:

$\displaystyle Q_1+Q_2=0$

$\displaystyle \Rightarrow m_c \cdot c_c \cdot (t_2-t_{1c}) + m_l \cdot c_l \cdot (t_2-t_{1l})=0$

$\displaystyle \Rightarrow 25 \cdot 4190 \cdot (t_2- 90^o)+ 80 \cdot 4190 \cdot (t_2 - 25^o)=0$

$\displaystyle \Rightarrow 104750 t_2 - 9427500 + 335200t_2 - 8380000 = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 104750 t_2 + 335200t_2 = 9427500 + 8380000$

$\displaystyle \Rightarrow 439950t_2 = 17807500$

$\displaystyle \Rightarrow t_2=\dfrac{17807500}{439950}$

$\displaystyle \Rightarrow t_2 = 40,5 \ ^oC$

A temperatura de equilíbrio do sistema (café+leite) é igual a ${T_f=41 \ ^oC}$ .

Exercício 3 .Quando ${600 \ g}$ de substância ${x}$ a ${60 \ ^{o}C}$ são introduzidos num calorímetro contendo ${80 \ g}$ de água a ${15 \ ^{o}C}$ a temperatura de equilíbrio resultante é ${19 \ ^{o}C}$ . Quando ${90 \ g}$ de água a ${50 \ ^{o}C}$ são vertidos sobre ${500 \ g}$ de substância ${x}$ a ${15 \ ^{o}C}$ , contidos no mesmo calorímetro da situação anterior, a temperatura de e equilíbrio é de ${36 \ ^{o}C}$ . Calcule o calor específico do substância ${x}$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 3 .

O exercício em questão é sobre calorimetria. Inicialmente, em um calorímetro, com água com massa de ${ m_{AA} = 80 \ g }$ e temperatura ${ t_{1{AA}}= 15 \ ^{o}C }$ , é introduzido uma substância x, de massa ${ m_{Ax} = 600 \ g }$ e a temperatura de ${ t_{1Ax} = 60 \ ^{o}C }$ . Esta mistura atinge o equilíbrio térmico à temperatura de ${ \theta_{1}= 19 \ ^{o}C }$ .

Noutra situação, no mesmo calorímetro, tem a substância ${x}$ de massa ${ m_{B{x}}=500 \ g }$ a temperatura de ${t_{1{Bx}}=15 \ ^{o}C}$ , e nele verte-se água de massa ${ m_{B{A}}=90 \ g }$ e temperatura ${ t_{1{BA}}=50 \ ^{o}C }$ . A temperatura de equilíbrio desta mistura é ${\theta_{2}=36 \ ^{o}C }$ .

Portanto, temos duas situações (A e B) de mistura de água com a substância ${x}$ .

As grandezas associadas as substâncias, água e x, no inicio terão índice 1 e no fim índice 2. Mas como temos duas situações. Vamos usar A e ) para distingui-las.

No que o o exercício fala da existência do calorímetro e não pede para desprezar o seu efeito.

Dados

${ m_{Ax}=600 \ g = 0,6 \ kg}$

${ t_{1Ax}=60 \ ^{o}C}$

${ m_{AA}=80 \ g \ = 0,08 \ kg}$

${ t_{1AA}= 15 \ ^{o}C}$

${\theta_{1} = 19 \ ^{o}C }$

${c_A = 4190 \ J / kg \cdot K }$

${m_{BA} = 90 \ g = 0,09 \ kg}$

${t_{1{Bx}}=50 \ ^{o}C}$

${m_{2{Bx}}=500 \ g = 0,5 \ kg}$

${t_{1{Bx}}=15 \ ^{o}C}$

${\theta_{2}=36 \ ^{o}C}$

Calcularemos o calor específico do substância.

Para ambas as situações (A e B), a lei de conservação de energia cumpre-se, considerando os sistema isolados. Como não se despreza a capacidade calorífica do calorímetro disponível, então consideremos também a quantidade de calor que este absorve em ambos os casos. Logo temos:

Situação A:

$\displaystyle Q_{Ac}+ Q_{A{A}}+Q_{Ax}=0$

${Q_{Ac}}$ – quantidade de calor do calorímetro na situação A ( ${ Q_{{Ac}}= C_c \cdot (\theta - t_{1{Ac}})}$ ).

${Q_{A{A}}}$ – quantidade de calor da agua na situação A ( ${Q_{A{A}}= m_{A{A}} \cdot c_A \cdot (\theta - t_{1AA})}$ ).

${Q_{Ax}}$ – quantidade de calor na substância x na situação A ( ${Q_{Ax}= m_{A{x}} \cdot c_x \cdot (\theta - t_{1{Ax}})}$ ).

Onde:

${C_c}$ – Capacidade térmica do calorímetro.

${t_{1{Ac}}}$ – Temperatura inicial do calorímetro na situação A (que é a temperatura inicial na água, que estava inicialmente no calorímetro). Então: ${t_{1{Ac}} = t_{1{AA}} = 15 \ ^oC}$ , (no caso B, estava inicialmente a substância x no calorímetro; ${t_{1{Bc}} = t_{1{Bx}} = 15 \ ^oC}$ ).

Então, na situação A:

$\displaystyle Q_{Ac}+ Q_{A{A}}+Q_{Ax}=0$

$\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (\theta-t_{1{Ac}})+ m_{A{A}} \cdot c_A \cdot (\theta-t_{1{AA}})+ m_{A{x}} \cdot c_x \cdot (\theta-t_{1{Ax}}) = 0$

Há duas incógnitas: ${C_c}$ e ${c_x}$ .

Substituindo os dados, obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (19-15)+0,08 \cdot 4190 \cdot (19-15)+0,6 \cdot c_x \cdot (19-60) = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 4C_c+1340,8-24,6 c_x = 0 \ \ \ \ \ (1)$

Como é apenas uma equação e duas incognitas, precisamos formar mais uma equação.Neste caso, na situação B, temos:

$\displaystyle Q_{Bc}+ Q_{B{A}}+Q_{Bx}=0$

$\displaystyle \Rightarrow C_c \cdot (\theta-t_{1{Bc}})+m_{B{A}} \cdot c_A \cdot (\theta-t_{1{BA}})+ m_{B{x}} \cdot c_x \cdot (\theta-t_{1{Bx}}) = 0$

$\displaystyle \Rightarrow C_c (30-15)+0,09 \cdot 4190 \cdot (30-50)+0,5 \cdot c_x (30-15) = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 15C_c - 7542 + 7,5c_x = 0 \ \ \ \ \ (2)$

Combinando as equações 1 e 2, obtemoS:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} 4C_c + 1340,8 - 24,6 c_x = 0\\ 15C_c - 7542 + 7,5c_x = 0\\ \end{array}\right.$

Para resolver este sistema , podemos usar o método de substituição. Isolaremos ${C_c}$ na primeira equação e substituiremos na segunda:

$\displaystyle 4C_c + 1340,8 - 24,6 c_x = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 4C_c = 24,6 c_x - 1340,8$

$\displaystyle \Rightarrow C_c = \dfrac{24,6 c_x - 1340,8}{4}$

$\displaystyle \Rightarrow C_c = \dfrac{24,6}{4} \cdot {c_x} - \dfrac{1340,8}{4}$

$\displaystyle \Rightarrow C_c = 6,15 c_x - 335,2$

Substituindo este resultado na segunda equação do sistema anterior, obtemos:

$\displaystyle 15(6,15c_x - 335,2) - 7542 + 7,5c_x = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 92,25c_x - 5028 - 7542 + 7,5c_x = 0$

$\displaystyle \Rightarrow 92,25c_x+7,5c_x = 5028 + 7542$

$\displaystyle \Rightarrow 99,75c_x = 12570$

$\displaystyle \Rightarrow c_x = \dfrac{12570}{99,75}$

$\displaystyle \Rightarrow c_x \approx 126 \ J / (kg \cdot \ ^oC)$

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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