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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades —

1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades —

Exercício 1 .

Dois vectores têm módulos 3 e 5 unidades.

  1. Qual deverá ser o ângulo entre eles para que o vector resultante tenha módulo de 4 unidades?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 1 .

  1. Consideremos que os vectores de módulo 3 e 5 unidades são os vectores {\overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}}, respetivamente, e o vector resultante de módulos 4 unidades é o vector {\overrightarrow{w}}.Consideremos também que { \theta} é o ângulo que os vectores {\overrightarrow{u} e \overrightarrow{v}} formam entre si. Daqui, temos os ângulos dados:Dados{\vert \overrightarrow{u} \vert=3 } .{ \vert \overrightarrow{v} \vert=5} .

    { \vert \overrightarrow{w} \vert=4} .

    { \theta \rightarrow ? }

    A adição de vectores, dada pela regra do paralelogramo, relacionas aos seus módulos através da lei dos cossenos.

    \displaystyle \textbf{Lei do Cosseno}:\vert \overrightarrow{w}\vert^2=\vert\overrightarrow{u}\vert^2+\vert\overrightarrow{v}\vert^2+2\times\vert\overrightarrow{u}\vert\times\vert\overrightarrow{v\vert}\times \cos\theta

    * Substituindo os dados:

    \displaystyle (4)^2=(3)^2+(5)^2+2\times(3)\times(5)\times \cos\theta

    \displaystyle 16=9+25+30\times \cos\theta

     Isolando {\cos\theta:}

    \displaystyle \cos \theta =\frac{16-(9+25)}{30}=\frac{16-34}{30}=\frac{18}{30}=-0.6

    O valor de { \theta: \theta=\arccos(-0.6)=126,869^o }

    \displaystyle \theta\cong 126,9^o

.

Exercício 2 .

Um Arco tem ângulo de 1,5 radiano.
Qual é o valor deste ângulo em graus?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 2 .

Para determinar o ângulo do arco em graus, vamos usar a regra de três simples, sabendo que { \pi } radiando equivale a { 180^o }. Com isto,temos as seguintes rotações:

\displaystyle \pi \ rad \rightarrow\rightarrow180^o

\displaystyle 1,5 \ rad \rightarrow\rightarrow \theta

Onde 1.5 é o ângulo do arco em radiano e {\theta} o ângulo do arco em graus que se pretende determinar.

Desta forma, temos:

\displaystyle \theta \times \pi=1,5 \ rad \times 180^o

Isolando {\theta}:

\displaystyle \theta=\frac{1,5 \ rad \times 180^o}{\pi \ rad}=\frac{270^o}{\pi}=85,94^o

Portanto:

\displaystyle \theta=85,9^o

.

Exercício 3 .

Um disco circular tem raio de { 5 \ m}. Qual é o cumprimento deste disco?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 3 .

Dados

{ r= 5 \ m }

O cumprimento de um arco é:

\displaystyle l= \alpha \times r

onde {\alpha} é o ângulo do arco em radianos.

Para o nosso caso, o cumprimento de um disco circular é:

\displaystyle l=2 \pi \times r

Substituindo:

\displaystyle r=5 \ m \ em (1): l= 2 \pi \times 5 \ m= 31,415 \ m

Portanto, o cumprimento do disco é de:

\displaystyle 31,415 \ m.

Exercício  4 .

Dois vectores {\overrightarrow{a}} e { \overrightarrow{b}} tem módulo iguais a { 3 \ m} e {5 \ m },respetivamente.

Qual é o módulo de vector { \overrightarrow{c} }, se {\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{2b}} e o ângulo entre { \overrightarrow{a} } e { \overrightarrow{b} } for de { 30^o }?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 4 .

Dados .

{ \vert \overrightarrow{a} \vert =3 \ m } .

{ \vert \overrightarrow{b} \vert =5 \ m } .

{ \overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a} - 2\overrightarrow{b}} .

{ \theta \rightarrow 30^o} .

{ \vert \overrightarrow{c} \vert=? }

Consideremos os vectores {\overrightarrow{a} e \overrightarrow{b}}.

Os vectores {\overrightarrow{a}} e {\overrightarrow{b}} formando {30^o} entre si {(\theta=30^o)}

Entretanto, o vector {\overrightarrow{c}} é dado como {\overrightarrow{c}=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}}. Sendo assim, consideremos os vectores {3\overrightarrow{a} } e { 2\overrightarrow{b}} , isto é,os vectores {\overrightarrow{a}} e {\overrightarrow{b}} com dimensões triplicando e dobrada, respetivamente.

Por outro lado o vector {\overrightarrow{c}} representa a diferença entre {3\overrightarrow{a}} e {2\overrightarrow{b}} neste caso a resultante é:

Calculando {\beta}:

\displaystyle \beta+\theta=180^o \ \Rightarrow \beta=180^o-\theta

Como { \theta=30^o },temos: { \beta=180^o-30^o=150^o \ \Rightarrow \beta=150^o }\

O módulo de vector { \overrightarrow{c} } , é dada pela lei dos cossenos.\

Lei dos Cossenos:

\displaystyle \vert\overrightarrow{c}\vert^2=\vert3\overrightarrow{a}\vert^2+\vert2\overrightarrow{b}\vert^2+2\times\vert3\overrightarrow{a}\vert \times \vert2\overrightarrow{b} \vert\times \cos\beta

\displaystyle \vert\overrightarrow{c}\vert^2=9^2+10^2+180\times\cos150^o=181-155,88=25,12

\displaystyle \vert \overrightarrow{c} \vert ^2=25,12 \ \Rightarrow \vert\overrightarrow{c}\vert=\sqrt{25,12}=5,01

\displaystyle \rightarrow \vert\overrightarrow{c}\vert=5,01

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