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— 3. Hidrodinâmica. —

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— 3.1. Introdução. —

A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento. É um dos ramos mais complexos da Mecânica dos Fluidos, como se pode ver nos exemplos mais corriqueiros de fluxo, como um rio que transborda, uma barragem rompida, o vazamento de petróleo e até a fumaça retorcida que sai da ponta acesa de um cigarro. Embora cada gota água ou partícula de fumaça tenha o seu movimento determinado pelas leis de Newton, as equações resultantes podem ser complicadas demais. Felizmente, muitas situações de importância prática podem ser representadas por modelos idealizados, suficientemente simples para permitir uma análise detalhada e fácil compreensão. [2]

O movimento de fluidos reais é muito complexo e difícil de analisar, dado os vários parâmetros envolvidos. A sua análise fica matematicamente muito complexa. Por isso, para analisar o movimento de um fluido, muitas vezes recorre-se a simplificações, de modos a reduzir a sua complexidade. A simplificação mais comum é a de considerar o movimento (escoamento) de um fluido ideal. Um fluido ideal é um fluido incompressível (a sua densidade não varia, {\rho= const.}), que não possui viscosidade ({\eta =0}). Os líquidos são poucos compressíveis, pelo que, no geral podem ser considerados incompressíveis. Os gases também podem ser considerados incompressíveis, desde que as diferenças de pressão nos diferentes pontos do escoamento em questão não sejam muito elevadas. O atrito interno de um fluido (viscosidade) pode originar tensões de cisalhamento quando este fluido escoa em um tubo ou escoa em torno de um obstáculo. Mas esta tensão de cisalhamento pode ser desprezada quando são muito menores em comparação com as diferenças de pressão ou com forças oriundas da gravidade. Os diferentes tipos de escoamento podem ser vistos na figura 14.

Figura 14: Classificação do Escoamento. [1]

— 3.2. Linhas de Fluxo. —

Quando um fluido escoa, as várias partículas do fluidos se movimentam em trajectórias distintas, denominadas linhas de corrente. As linhas de correntes ou linha de fluxo são as linhas descritas pela trajectória das partículas de fluido.

Figura 15: Linhas de corrente de um fluido que escoa em torno de uma bola. [1]

Na figura 15, ilustramos as diversas linhas de corrente ou linhas de fluxo de um fluido que escoa em torno de uma bola. Neste exemplo há um fluxo laminar.

Quando as linhas de corrente de um determinando escoamento não se alteram ao longo do tempo, ou seja, em cada ponto, os parâmetros do fluxo ou escoamento (como velocidade, pressão, etc. ) têm sempre o mesmo valor, o escoamento é chamado de escoamento estacionário ou escoamento permanente. Ao dizermos que os parâmetros do fluxo em cada ponto é igual, não queremos dizer que cada partícula de fluido movimenta-se com velocidade ou pressão constante. Estamos apenas a dizer que todas as partículas de uma certa linha de corrente, quando passam no mesmo ponto A (cada uma num momento diferente) têm a mesma velocidade e pressão. Quando estas mesmas partículas passarem por um ponto B qualquer, poderão ter uma velocidade diferente da que tinham no ponto A.

É importante reconhecer também como a posição das linhas de corrente pode mudar com o tempo – isto é o caso de escoamento não-estacionário. No escoamento permanente a posição das linhas de corrente não muda no tempo.[1]

A velocidade da partícula em cada ponto é sempre tangente à linha de corrente.

Uma técnica útil na análise do escoamento de fluidos consiste em considerar unicamente uma parte do fluido isolado do resto. Isto pode ser feito imaginando uma superfície tubular formada por linhas de corrente onde o fluido escoa (Figura 16). Esta superfície tubular é conhecida como tubo de corrente. Num escoamento bidimensional temos um tubo de corrente plano (no plano do papel):

Figura 16: Tubo de corrente tridimensional e bidimensional. [1]

As “paredes” de um tubo de corrente são constituídas de linhas de corrente. Como visto, o fluido não pode escoar atravessando uma linha de corrente, assim o fluido não pode cruzar uma parede do tubo de corrente. O tubo de corrente pode frequentemente ser visto como um tubo de parede sólida. Um tubo de corrente não é um tubo, no sentido material. É diferente, porque neste caso a “parede” (tubo de corrente) está movendo-se com o fluido.

— 3.3. Escoamento Laminar e Turbulento. Número de Reynolds. —

Dependendo de certas condições, o escoamento pode ser laminar ou turbulento.

Escoamento laminar é aquele que ocorre como se as camadas de fluido deslizassem uma sobre as outras. O escoamento laminar se caracteriza pelo movimento suave e em lâminas ou camadas de fluidos. É um escoamento estacionário. É o escoamento típico de fluidos viscosos. Exemplo: Retirada suave do óleo de um recipiente para o outro, uma esfera movendo-se suavemente sobre o óleo, etc.

Ocorre quando as partículas de um fluido movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, apresentando lâminas ou camadas (daí o nome laminar) cada uma delas preservando sua característica no meio. No escoamento laminar a viscosidade age no fluido no sentido de amortecer a tendência de surgimento da turbulência. Este escoamento ocorre geralmente a baixas velocidades e em fluídos que apresentem grande viscosidade. [5]

Figura 17: Escoamento laminar. A água saindo leve e suavemente na torneira. [6]

Figura 18: Escoamento laminar de um fluido em torno de um obstáculo. Visualização das linhas de corrente. [6]

O escoamento turbulento é caraterizado por movimentos aleatórios, tridimensionais de partículas fluidas adicionadas ao movimento principal. Neste caso, são observados turbilhões no fluxo do fluido. As linhas de corrente se cruzam e dão origem há um movimento desordenado das partículas de fluido. Um exemplo disto são as correnteza fortes de água nos rios, as ondas do mar, etc.

Ocorre quando as partículas de um fluido não movem-se ao longo de trajetórias bem definidas, ou seja, as partículas descrevem trajetórias irregulares, com movimento aleatório, produzindo uma transferência de quantidade de movimento entre regiões de massa líquida. Este escoamento é comum na água, cuja a viscosidade e relativamente baixa.

As flutuações aleatórias e tridimensionais da velocidade transportam quantidade de movimento através das linhas de corrente do escoamento aumentando a tensão de cisalhamento efetiva. Desta forma nos escoamentos turbulentos não existe uma relação universal entre o campo de tensões e o campo de velocidades.

Figura 19: Escoamento turbulento. Fluxo de água com alta velocidade. [5]

O cientista britânico Osborne Reynolds realizou experiências que permitiram visualizar os diferentes regimes de escoamento numa tubulação. Ele introduziu uma grandeza adimensional, denominada número de Reynolds, que se estabelece como condição para existência de turbulência em um escoamento. O número de Reynolds (abreviado como Re) é um número adimensional usado em mecânica dos fluídos para o cálculo do regime de escoamento de determinado fluido dentro de um tubo ou sobre uma superfície. É utilizado, por exemplo, em projetos de tubulações industriais e asas de aviões.

Para o escoamento de um fluido num tubo de secção transversal circular, o número de Reynolds é determinado pela equação:

\displaystyle Re= \frac{\rho \cdot v \cdot D}{\eta} \ \ \ \ \ (17)

Onde: { \rho} é a massa específica. {v} é a velocidade do escoamento. {d} é o diâmetro do tubo. {\eta} é a viscosidade dinâmica.

Dependendo do valor do Número de Reynolds, no escoamento em tubos podemos ter:

  • Escoamento Laminar – Re Escoamento de Transição – 2000<Re Escoamento Turbulento – Re>2400.

Figura 20 :a) Escoamento laminar da água. b) Escoamento turbulento da água. c) Escoamento da Fumaça. Começa laminar, mas depois torna-se turbulento. [7]

— 3.4. Equação de Continuidade —

Se partirmos do principio que no escoamento num dado sistema a massa do fluido se conserva, então poderemos deduzir, a partir deste princípio um equação muito importante denominada equação de continuidade. Se consideramos um escoamento de um fluido ideal (não viscoso), incompressível e irrotacional, cujo fluxo seja laminar, então as partículas de fluido não poderão atravessar as paredes de um tubo de corrente, visto que a sua velocidade é sempre tangente a estas.

Figura 21: Tubo de corrente com área de secção transversal variável.  [7]

Pelas hipóteses consideradas acima, a massa que entra no tubo de corrente {dm_1}, numa região onde a área é {A_1} num certo intervalo de tempo {dt} deve ser igual à massa que sai do tubo {dm_2} no mesmo intervalo de tempo, mas numa outra região onde a área é {A_2}. Neste caso podemos escrever:

\displaystyle dm_1=dm_2 \Rightarrow \rho dV_1 = \rho dV_2 \ \ \ \ \ (18)

O volume do fluido que entra e que sai pode ser determinado pela velocidade do movimento do fluido, logo:

\displaystyle dV_1 = A_1 \cdot v_1 \cdot dt , dV_2 = A_2 \cdot v_2 \cdot dt \ \ \ \ \ (19)

. Então, como {\rho dV_1 = \rho dV2 \Rightarrow dV_1=dV_2} então {A_1 \cdot v_1 \cdot dt = A_2 \cdot v_2 \cdot dt}. Eliminando {dt}, ficamos com:

\displaystyle A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \qquad \textrm{} \ \ \ \ \ (20)

O parâmetro, chamado de vazão volumétrica, é definido por:

\displaystyle R_v = \frac{dV}{dt}=A\cdot v \ \ \ \ \ (21)

Ele representa a taxa de volume que atravessa uma secção transversal de um tubo por unidade de tempo. A vazão mássica é a taxa de variação da massa por unidade de tempo e é definida como sendo o produto da vazão volumétrica pela densidade:

\displaystyle R_m = \frac{dm}{dt}= \rho \cdot A\cdot v \ \ \ \ \ (22)

Para o caso de um fluido compressível, a densidade pode variar ao longo do escoamento. Neste caso, a equação de continuidade fica:

\displaystyle \rho_1 \cdot A_1 \cdot v_1 = \rho_2 \cdot A_2 \cdot v_2 \qquad \textrm{} \ \ \ \ \ (23)

— 3.5. Equação de Bernoulli —

Como vimos anteriormente, a equação 11, que se refere à variação no interior de um fluido, só é aplicável quando o fluido é estático, o que nos pode levar a pensar: como varia a pressão no interior de um fluido em movimento?

A resposta a esta questão pode ser deduzida a partir da equação de continuidade e é denominada Equação de Bernoulli.

Figura 22: Tubo de corrente com área de secção transversal variável. Equação de Bernoulli . [7]

Se considerarmos que as duas regiões {a} e {c} têm pressões diferentes {p_1} e {p_2}, então o trabalho realizado por estas forças sobre o fluido será:

\displaystyle dW= F_1 ds_1 - F_2 ds_2 \ \ \ \ \ (24)

A força {F_2} é negativa porque ela tende a opor-se ao deslocamento (ver figura 22). Como {F = p\cdot A} então:

\displaystyle dW=p_1 \cdot A_1 ds_1 - p_2 \cdot A_2 ds_2 = (p_1 - p_2 ) dV. \ \ \ \ \ (25)

O trabalho {dW} realizado pelas forças não conservativas, de acordo com a lei do trabalho-energia, deve ser igual à variação da energia mecânica do sistema.

A energia mecânica tem duas componentes: a energia cinética ({K}) e a Energia potencia ({U}).

A variação da energia cinética num intervalo de tempo {dt} será: {dK= \frac{m_2 . (v_2)^2}{2} - \frac{m_1 . (v_1)^2}{2}}. Para fluidos incompressíveis, e tendo em conta a equação de continuidade, teremos:

\displaystyle dK= \frac{1}{2} \rho dV (v_2^2-v_1^2) \ \ \ \ \ (26)

A variação da energia potencial será

\displaystyle dU= dm.g(y_2-y_1)=\rho.dV.g.(y_2-y_1) \ \ \ \ \ (27)

A lei trabalho-energia impõe que {dW=dK+dU \Rightarrow (p_1 - p_2 ) dV = \frac{1}{2} \rho dV (v_2^2-v_1^2) + \rho.dV.g.(y_2-y_1) }. Eliminando {dV}, temos:

\displaystyle p_1 - p_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2-v_1^2) + \rho.g.(y_2-y_1) \qquad \textrm{} \ \ \ \ \ (28)

A Equação de Bernoulli estabelece a variação da pressão em um fluido em movimento em função da variação da velocidade e da variação da altura.

Num tubo horizontal com áreas diferentes {A_1} e {A_2}, onde um fluido se move com uma vazão constante, a pressão será maior nos pontos onde a área for menor, pois onde a área for menor, a velocidade será maior ( de acordo com a equação de continuidade).

 

 

— Referências Bibliográficas —

 

[1] Jorge A. V illar Alé. MECÂNICA DOS FLUIDOS:CURSO BÁSICO, [2011].

[2] Luiz F.  F. Carvalho. CURSO DE FORMAÇÃO DE OPERADORES DE REFINARIA – FÍSICA APLICADA: MECÂNICA DOS FLUIDOS, Curitiba, [2002].

[3] Daniel Fonseca de Carvalho & Leonardo Duarte Batista da Silva. FUNDAMENTOS DE HIDRÁULICA, [2008].

[4] J. Gabriel F. Simões. MECÂNICA DOS FLUIDOS: NOTAS DAS AULAS, [2008].

[5] Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues. MECÂNICA DOS FLUIDOS : NOTAS DAS AULAS, (2010)

[6] Halliday  & Resnick. FUNDAMENTOS DE FÍSICA, VOL. 2 (2008)

[7] Young & Freedman. FÍSICA 2: TERMODINÂMICA E ONDAS, 10ª ed (2003)

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