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1.1. Generalidades do MHS (Parte 2)

— 1. Oscilações —

— 1.1. Generalidades do MHS —

Exercício 5 .

Um MHS tem {x=5 \cos (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})}.

Determine a velocidade máxima e a aceleração máxima deste movimento.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .

O problema trata de um Movimento Harmónico Simples (MHS) cuja posição é descrita por uma função cosseno.

Nos é pedido para determinar a velocidade máxima (amplitude da velocidade) e a aceleração máxima (amplitude da aceleração).

Sendo um MHS, para obter as equações da velocidade e da aceleração, deveremos derivar a posição em função do tempo. A primeira derivada será a velocidade. A segunda derivada será a aceleração.

A amplitude da velocidade e da aceleração serão os coeficientes das funções seno ou cosseno nas equações da velocidade e aceleração.

Sendo que as grandezas estão no SI, os resultados obtidos dos cálculos também estarão no SI.

.

Pelas leis do movimento:

\displaystyle v= \dfrac{dx}{dt}

E:

\displaystyle a= \dfrac{dv}{dt}

Logo:

\displaystyle v= \dfrac{dx}{dt}=\dfrac{d [5 \cos (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})]}{dt}

\displaystyle \Rightarrow v= [5 \cos (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})]'

\displaystyle \Rightarrow v= 5 \cdot (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})' \cdot [-sen (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})]

\displaystyle \Rightarrow v= 5 \cdot 10\pi [- sen (10\pi \ t+ \dfrac{\pi}{2}) ]

\displaystyle \Rightarrow v=-50\pi sen (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})

A partícula em oscilação harmónica atinge a velocidade máxima quando o factor da função seno ou cosseno é igual a {\pm 1}. Na velocidade, isso ocorre quando a partícula passa pela posição de equilíbrio. Neste caso, isso ocorre quando { sen (10\pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})=\pm 1}. Para efeitos de cálculos, vamos trabalhar apenas com o valor absoluto.

Neste caso:

\displaystyle v_{max}=| -50 \pi \cdot 1|

Logo, o valor absoluto da velocidade máxima é:

\displaystyle v_{max} = \ 50 \pi \ m/s \approx \ 157,1 \ m/s

Para a aceleração:

\displaystyle a= \dfrac{dv}{dt}=\dfrac{d [-50\pi sen (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})]}{dt}

\displaystyle \Rightarrow a= [-50\pi sen (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})]'

\displaystyle \Rightarrow a= 50\pi \cdot (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})' \cdot [cos (10 \pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})]

\displaystyle \Rightarrow a=-50\pi \cdot (10 \pi) \ \cos(10\pi \ t+ \dfrac{\pi}{2} )

\displaystyle \Rightarrow a=-500\pi^2 \ \cos(10\pi \ t+ \dfrac{\pi}{2} )

A partícula em oscilação harmónica atinge a aceleração máxima quando o factor da função seno ou cosseno é igual a {\pm 1}.Na aceleração, isso ocorre quando a partícula passa pela posição de desvio máximo. Neste caso, atinge quando {\cos(10\pi \ t+ \dfrac{\pi}{2})= \pm 1 }. De igual modo, para efeitos de cálculos, vamos trabalhar apenas com o valor absoluto.

Logo, o valor absoluto da aceleração máxima é:

\displaystyle a_{max}= |-500\pi^2 \ \cdot 1 |

\displaystyle \Rightarrow a_{max}=500\pi^2 \ m/s^2 \approx 4934,8 \ m/s^2

.

Exercício 6 .

Um sistema realiza oscilações harmónicas com amplitude de { 2 \ cm} e frequência {10 \ Hz}.

Considerando que oscilação inicia na posição de equilíbrio; Determine a equação desta MHS, se descrito por uma função seno.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 6 .

O problema dado apresenta um MHS onde nos é dado a frequência e a amplitude. Atenção que a amplitude está em {cm} que não é a unidade no SI. Então, teremos de converte-la para o SI.

Nos é pedido para determinar a equação deste MHS.

Para determinar a equação do MHS, precisamos de conhecer a amplitude, a frequência angular e a fase inicial. Usaremos a equação geral do MHS já conhecida.

A frequência angular será determinada pela relação entre frequência angular e linear.

A fase é obtida por análise da posição inicial do movimento e a função trigonométrica a ser usada na descrição desta oscilação.

Dados

{A= \ 2 \ cm= \ 2 \cdot 10 ^{-2} \ m}

{ f= \ 10 \ Hz}

Do estudo generalizado da função seno, conhecemos o gráfico genérico da figura a seguir.

Sabemos a partir dos dados que, no momento inicial, a partícula se encontrava na posição de equilíbrio ({x=0}).

Do gráfico anterior da função seno, observamos que a função seno atinge o zero para vários ângulos ({\varphi = 0}, {\varphi = 180^o}, {\varphi = 360^o}, etc.).Qualquer um dos ângulos anteriores é válido, pois não nos deram nenhuma referência do sentido da oscilação ou da velocidade.

Neste contexto, é costume optarmos pelo primeiro valor.

Pelos argumentos apresentados anteriormente, como a oscilação inicia na posição de equilíbrio,logo { \varphi_0 = \ 0 ^o = \ 0 \ rad }

A euação geral do MHS é:

\displaystyle x= A sen (\omega \cdot t+\varphi_0)

Para escrevermos a equação, temos de saber qual é o valor de {\omega} .

Sabemos que:

\displaystyle \omega = \ 2 \cdot \pi \cdot f

Logo, substituindo {f}, temos:

\displaystyle \omega =2 \cdot \pi \cdot 10

\displaystyle \Rightarrow \omega =20 \pi \ rad/s

Neste caso, substituindo os valores na equação da oscilação,temos:

\displaystyle x= A sen (\omega \cdot t+\varphi_0)

\displaystyle \Rightarrow x= 2 \cdot 10^{-2} sen (20 \pi \cdot t+0)

\displaystyle \Rightarrow x=2 \cdot 10^{-2} \cdot sen (20 \pi \ t)

Exercício 7 .

Numa oscilação, o corpo sai de um extremo outro em { 5 \ s } e chega com uma aceleração de {10 \ cm/s^2}. Determine a equação deste MHS.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 7 .

O problema trata de um MHS. Nos é dado directamente o valor da aceleração com que o corpo chega no outro extremo. Na realidade, do conhecimento do MHS, a aceleração que o corpo tem quando atinge o extremo é a aceleração máxima ou amplitude da aceleração.

Também foi fornecida uma informação do tempo de duração da oscilação. Essa informação foi dada de modo indirecto, pelo que, carece de alguma interpretação.

Sabemos que um movimento oscilatório é um movimento de sucessivas aproximação e afastamentos de uma posição fixa chamada de posição de equilíbrio. Então, num MHS o corto move-se ciclicamente do seguinte modo:

  • Sai da posição de equilíbrio para um dos extremos (1º Extremo).
  • Sai deste 1º extremos para a posição de equilíbrio.
  • Sai da posição de equilíbrio para o outro extremos (2º Extremo, no lado oposto).
  • Sai deste 2º extremos para a posição de equilíbrio.

Esta é a descrição de um ciclo completo.

O tempo que a partícula leva a completar o ciclo acima é o período {T}.

Cada um dos movimentos descritos acima tem a mesma duração, para o MHS. Esta duração é de {0,25 \cdot T} ou seja, {\dfrac{T}{4}}.

Para sair de um extremo ao outro, a partícula tem de fazer dois destes movimento. Então, o tempo que a partícula leva a sair de um extremo para outro corresponde então a metade do período.

.

Dados

{a_{max}= \ 10 \ cm/s^2= \ 10 \cdot 10 ^{-2} \ m/s^2= \ 0,1 \ m/s^2}

{ \dfrac{T}{2}= \ 5 \ s}

.

A equação de uma MHS é a seguinte:

\displaystyle x=A sen ( \omega t+\varphi_0)

Precisamos saber qual é o valor da amplitude A, da frequência angular {\omega} e da fase inicial { \varphi_0}.

O fenómeno pode ser analisado conforme a ilustração abaixo:

Onde:

{E_1} – Extremo 1.

{E_2} – Extremo 2.

Pela ilustração é possível observar que os { 5 \ s} levados pelo corpo para sair de um extremo para o outro corresponde à metade do período da oscilação.

Logo:

\displaystyle T=2 \cdot 5=10 \ s

Além disso,nota-se que no momento do inicio da oscilação, o corpo de encontra num dos extremos (Ver figura anterior).

A função seno atinge os extremos quando {\varphi = 90^o}, {\varphi = 207^o}, {\varphi = 450^o}, etc. Reveja o gráfico genérico da função seno.

Sabemos que podemos adoptar qualquer um dos ângulos, visto que não nos é dada nenhuma referência sobre o sentido do movimento ou a velocidade.

Então, o ângulo de fase inicial é:

\displaystyle \varphi_0= \ 90^o= \ \dfrac{\pi}{2} \ rad

Sabemos que:

\displaystyle \omega= \dfrac{2 \pi}{T}

Logo:

\displaystyle \omega= \dfrac{2 \pi}{10}= \dfrac{\pi}{5}

Falta-nos saber o valor da amplitude da oscilação.

O enunciado afirma que o corpo atinge uma aceleração de { 10 \ cm/s^2} quando chega ao outro extremo.

Lembrar que, a aceleração máxima de um movimento é:

\displaystyle a_{max}=A \omega^2

Pretendemos determinar a amplitude. Isolando a amplitude, teremos:

\displaystyle \dfrac{a_{max}}{\omega^2}= \ A

\displaystyle \Rightarrow A= \ \dfrac{a_{max}}{\omega^2}

Substituindo valores, teremos:

\displaystyle A= \ \dfrac{0,1}{(\dfrac{\pi}{5})^2}

\displaystyle \Rightarrow A= \dfrac{0,1}{( \pi / 5)^2}= 0,253 \ m

Substituindo na equação geral, temos:

\displaystyle x=A sen ( \omega t+\varphi_0)

\displaystyle \Rightarrow x = 0,253 \cdot sen ( \dfrac{ \pi}{5} t + \dfrac{\pi}{2})

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1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas (Parte 2)

— 1.1. Exercícios sobre Carga e Forças Eléctricas —

Exercício 4 .

A soma de duas cargas é igual 0. Quando colocadas afastadas em {1 \ mm } a força electrostático entre elas fica igual a {100 \ mN}.

Determine o valor destas cargas .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 4 .

Dados

{ q_1+q_2=0 } .

{F=100 \ mN = 0,1 \ N } .

{ K= 9 \cdot 10^9 \dfrac{Nm^2}{C^2} } .

{ d=1 \ mm = \ 1 \cdot 10 ^{-3} \ m } .

{ q_1 \rightarrow ? } .

{ q_2 \rightarrow ? }

Este problema apresenta uma situação de aplicação directa da Lei de Coulomb.

São dadas duas cargas de valores desconhecidos, e definidas duas condições: soma algébrica das cargas e força electrostática.

Uma vez que não temos os valores das duas cargas eléctricas, mais temos a força é essa distância podemos criar um sistema de equação para encontrarmos as duas cargas.

O facto de a soma ser igual a zero, já implica que as cargas têm sinais opostos. Vamos pressupor que a carga {q_1} é positiva e que {q_2} é negativa. Este procedimento será relevante na eliminação do módulo na formula afecta a Lei de Coulomb.

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ k\dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(r)^2}=0,1\\ \end{array}\right.

Nota que, a primeira equação deriva da condição de que a soma seja zero. A segundo equação provém da igualdade entre a relação da força pela Lei de Coulomb e o valor da força dado no enunciado.

Substituindo valores para as constantes e dos dados, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{(1 \cdot 10 ^{-3})^2}=0,1 \\ \\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^9 \dfrac{| q_1 | | q_2 |}{1 \cdot 10 ^{-6}}=0,1\\ \end{array}\right.

Resolvendo, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0\\ \\ 9 \cdot 10^{15} | q_1 | | q_2 | =0,1\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{0,1}{9 \cdot 10^{15}}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | = \dfrac{1 \cdot 10 ^{-1}}{9 \cdot 10^15}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1 +q_2=0 \\ \\ | q_1 | | q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} q_1= -q_2 \\ \\ | q_1 \cdot q_2 | ==\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

Substituindo {q_1} da primeira equação na segunda, teremos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q_2 \cdot q_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ | -q^2_2 | =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

Eliminando o módulo, temos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q^2_2 = =\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| = \sqrt{\dfrac{1 \cdot 10 ^{-16}}{9}}\\ \end{array}\right.

\displaystyle \Rightarrow \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ |q_2| \approx 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.

Eliminando o modulo de {q_2}, obtemos:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccc} --- \\ \\ q_2 = - 3,33 \cdot 10^{-3} \ C\\ \end{array}\right.

Como {q_1= -q_2}, então:

\displaystyle q_1=3,33 \cdot 10^{-3} \ C

Exercício 5 Um conjunto de cargas colocadas nos vértices de um triângulo equilátero de {50 \ \mu m} de aresta, tem todas {10 \ \mu C}. Qual é a força resultante em qualquer carga dos vértices?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 5 .

Dados

{q_1=q_2=q_3=10 \ \mu C=10 \cdot 10^{-6} \ C }

{a=50 \ \mu m=50 \cdot 10^{-6} \ m }

{F_{r_{q3}}-? }

{K=9 \cdot 10^9 \ Nm^2/C^2 }

O problema apresenta um sistema de 3 cargas (num plano). A disposição das cargas é tal que forma um Triângulo Equilátero.

Da geometria plana, sabemos que o triângulo equilátero tem todos os lados e ângulos internos iguais. O valor dos ângulos internos é sempre de {60^o}.

Devemos fazer a figura, inserir um sistema de coordenadas. escolher uma das cargas e indicar as interacções das forças nesta carga.

Como as cargas são todas do mesmo sinal a força entre elas é sempre de repulsão. Escolhemos a carga {q_3} para análise.

A partir da figura, observamos que actuam na carga {q_3} duas forças: {F_{13}} (Força de interacção entre as cargas 1 e 3) e {F_{23}} (força de interacção entre as cargas 2 e 3.

Essas forças estão na direcção da linha que une as cargas em questão e representamo-las como setas que saem da carga naquelas direcções. Como as forças são de repulsão, o sentido escolhido é o sentido que tende a afastar as cargas.

Como temos adição de dois vectores, podemos optar por um dos dois métodos: lei dos cossenos ou decomposição em projecções.

Neste exercício, faremos a decomposição em projecções (por livre escolha).

A força {\vec{F_{23}}} é um vector paralelo ao eixo {Ox}. Não precisa ser projectado.

A força {\vec{F_{13}}} , por não ser paralela ao eixo {Ox} nem ao eixo {Oy}, vamos projecta-la. Dá origem então as projecções {\vec{F_{13x}}} e {\vec{F_{13y}}}.

A partir da figura temos:

Sabemos que {F_{23}=F_{13}=F}, porque tem as mesma cargas e a mesmas distâncias. Então, pela lei de Coulomb, temos:

\displaystyle \Rightarrow F_{23}=\dfrac{K \cdot |q_2| \cdot |q_3|}{a^2}=\dfrac{9 \cdot 10^{9} (10 \cdot 10^{-6})^2}{(50 \cdot 10^{-6})^2}

Resolvendo, temos:

\displaystyle F_{23}=36 \cdot 10^{10} \ N =F_{13}=F

Os ângulos da força {\vec{F_{13}}} se obtêm por análise gráfica. Considerando o axioma de rectas concorrentes, concluímos que o ângulo entre {\vec{F_{13}}} e o eixo {Ox} é {60^o}. O ângulo de {\vec{F_{13}}} com o eixo {Oy} é o complementar de {60^o}, portanto, {30^o}. Neste método, o vector resultante é obtido pelas resultantes em cada eixo.

Neste caso, a projecções resultantes são:

\displaystyle F_{Rx}=F_{23} + F_{13} \cdot \sin 30^o=F + F \cdot \cos 60^o

\displaystyle F_{Ry}=F_{13} \cdot \cos 30^o= \ F \cdot \sin 60^o

Neste caso, usando o teorema de Pitágoras, teremos:

\displaystyle F_{r_{q3}}=\sqrt{(F_{Rx} )^2 + (F_{Ry} )^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{(F + F \cdot \cos 60^o)^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[F(1 + \cos 60^o)]^2 + (F \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle \Rightarrow F_{r_{q3}}=\sqrt{[36 \cdot 10^{10}(1 + \cos 60^o)]^2 + (36 \cdot 10^{10} \cdot \sin 60^o)^2 }

\displaystyle F_{r_{q3}}=62,35\cdot 10^{10} \ N

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2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos (Parte 1)

— 2. Exercícios sobre Geométrica —

— 2.1. Exercícios sobre Reflexão da Luz e Espelhos Planos —

Exercício 7 Supondo que o objecto B,no instante inicial está em movimento com a velocidade de {1 \ m/s},na direcção indicada. Após quanto tempo será visível pelo espelho de vidro,pelo observador no ponto A?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

.

Resolução 7 .

O problema a seguir trata de um problema de Campo de Visão. Pretendemos determinar após quanto tempo o corpo B é visível ao observador do ponto A, pelo espelho na parede.

.

Considerando as dimensões indicadas pelos quadriculados, e a posição do ponto A, podemos traçar os raios luminosos que partem do ponto A e se reflectem no espelho. Os raios que vão definir o campo de visão serão os raios que incidem nas extremidades do espelho. No caso os raios (1) e (2).

Traçamos os seus raios reflectidos pelo espelho, obedecendo a lei da reflexão, de modos que formem os mesmos ângulos. Neste caso, traçamos os raios (1′) e (2′) respeitando a simetria do problema. Veja a figura a seguir:

.

Neste caso, o campo de visão do observador A é a região compreendida entre os raios (1′) e (2′).

.

O Corpo B será visível pelo observador A no momento em que entra no campo de visão de A. Considerando que o corpo B se move e direcção horizontal, ele entrará no campo de visão de A, quando atingir o ponto P, que é o ponto de intercessão entre a linha da sua trajectória e o raio reflectido (1′).

Para calcularmos o tempo, devemos achar primeiramente a distancia percorrida por ele (corpo B) até chegar ao ponto P. No gráfico, podemos observar que esta distancia igual a 2 metros. Então:

{\Delta x = \ 2 m.}

Então, como estamos a avaliar o movimento como um todo, usamos as equações do MRU. Logo:

\displaystyle v = \ \dfrac{\Delta x}{\Delta t} \Rightarrow \Delta t = \ \dfrac{\Delta x}{v} = \

\displaystyle \Rightarrow \Delta t = \dfrac{2 \ m}{1 \ m/s} \Rightarrow \Delta t = \ \ 2 s

Exercício 8 Dois espelhos planos estão dispostos de modo a formar um ângulo de {30^o} entre eles, conforme a figura abaixo. Um raio luminoso incide sobre um dos espelhos, formando um ângulo de {70^o} com a superfície. Este raio reflecte-se neste espelho e depois se reflecte no outro espelho, e cruza o raio incidente formando um ângulo {\alpha}. Qual é o valor deste ângulo{\alpha}?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8

Em primeiro lugar, devemos devemos dar nome aos pontos de referência:

  • O raio incidente identificamo-lo por 1;
  • O raio reflectido do primeiro espelho, que vai para o segundo espelho, identificamo-lo por 2;
  • O raio que sai do segundo espelho e cruza novamente com raio 1, identificamo-lo por 3;
  • O ponto de intersecção do raio 1 com o primeiro espelho, identificamo-lo por A;
  • O ponto intersecção do raio 2 com o segundo espelho, identificamo-lo por B;
  • O ponto de intersecção do raio 3 com raio 1, identificamo-lo por D;
  • O ponto de cruzamento dos dois espelhos, identificamo-lo por C.
  • O ângulo formado entre o raio 1 e o raio 2, identificamo-lo por {\beta};
  • O ângulo formado entre o raio 2 2 o espelho 1, identificamo-lo por {\varphi};
  • O ângulo formado entre o raio 2 e o segundo espelhos, identificamo-lo por {\gamma};
  • o ângulo formado entre o raio 2 e o raio 3, identificamo-lo por {\delta};
  • o ângulo formado entre o raio 3 e o espelho 2, identificamo-lo por {\gamma '}.

Queremos determinar {\alpha}, pela geometria sabemos que rectas concorrentes(rectas que se cruzam) formam dois ângulos iguais e opostos, então:

\displaystyle \alpha = \ \alpha'

Podemos determinar {\alpha'} pelo triângulo ABD. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual à {180^o}, então:

\displaystyle \alpha' + \beta + \delta = \ 180^o

O raio 1 forma um ângulo de {70^o} com o espelho {E_1} e pela lei da reflexão, por analogia, o raio 2 também forma um ângulo de {70^o} com o mesmo espelho( {\varphi = \ 70^o}).

A soma destes três ângulos {(\varphi, \ \beta \ e \ 70^o} dá um ângulo de {180^0}, então:

\displaystyle \varphi + \beta+ 70^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \beta = \ 180^o - 70^o - \varphi = \ 180^o - 70^o - 70^o \Rightarrow \beta = \ 40^o

No triângulo ABC, {\gamma} é um dos ângulos do mesmo triângulo e, como já sabemos, a soma dos três ângulos deste triângulo é igual a {180^o}. Assim podemos determinar {\gamma}:

\displaystyle \varphi + \gamma + 30^o = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \gamma = \ 180^o-30^o- \varphi = \ 180^o-30^o-70^o \Rightarrow \gamma = \ 80^o

Como {\gamma} é o ângulo formado pelo raio 2 e o espelho 2, pela lei de reflexão, por analogia, este ângulo é igual ao ângulo formado pelo raio 3 e o espelho 2 {\gamma'}. Desta forma podemos determinar {\delta};

\displaystyle \gamma + \delta + \gamma ' = \ 180^o \Rightarrow \delta = \ 180^o - \gamma -\gamma ' = \ 180^o - 80^o - 80^o \Rightarrow \delta = \ 20^o

Tendo já conhecido os valores de {\beta} e {\delta} podemos determinar {\alpha '} que consequentemente será igual à {\alpha}.

\displaystyle \alpha ' + \delta + \beta = \ 180^o

\displaystyle \Rightarrow \alpha ' = \ 180^o - \delta - \beta = \ 180^o - 20^o - 40^o \Rightarrow \alpha ' = \ 120^o

\displaystyle \alpha ' = \ \alpha, \ logo: \ \alpha = \ 120^o

Exercício 9

Considere a figura baixo em que um ponto A está situado em frente de um espelho plano. Qual é a distância entre a imagem do ponto A e o ponto B, na figura, considerando as dimensões da escala indicada?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 9

E primeiro lugar, devemos localizar a imagem de A. Para esboçar a imagem, seguimos o seguinte raciocínio:

  1. Tracemos dois raios incidentes partindo do ponto A, que incidem no espelho 1 e 2;
  2. Sabemos que por ser um espelho plano os raios vão se reflectir sob o mesmo ângulo. Traçamos então os raios reflectidos 1′ e 2′;
  3. A partir da prolongação dos raios reflectidos pelo espelho podemos determinar a posição da imagem. Está imagem, de acordo com a formação da imagem me espelhos planos, estará à mesma distancia do espelho a que o objecto A se encontra. Neste caso a imagem estará a {1 m} de distância do espelho.

.

A distância entre a imagem de A (A’) e o ponto B é o segmento:{\overline{A'B}}.

Considerando a escala em quadriculado, podemos considerar o triângulo rectângulo (A’BP). Neste caso, {\overline{A'B}} é a hipotenusa do triângulo rectângulo.

Então:

\displaystyle \overline{A'B}^2 = \ \overline{A'P}^2+\overline{PB}^2

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{8^2+3^2}

\displaystyle \overline{A'B} = \ \sqrt{73}

\displaystyle \overline{A'B} = \ 8,544 m

Exercício 10 A distância entre A e o espelho plano {E_1} é de 20 cm. A distância entre o mesmo ponto e o outro espelho plano {E_2} é de 40 cm. Sendo o ângulo {\theta = \ 30^o}. Determine a distância entre a posição da imagem do ponto A formada pelo espelho {E_1} e a imagem do mesmo ponto formada pelo espelho {E_2}.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 10

Em primeiro lugar devemos encontrar as imagens formadas pelos espelhos {E_1} e {E_2}.

Sabemos que, nos espelhos planos, a imagem é formada no lado oposto ao espelho, na direcção da perpendicular ao espelho que passa pelo objecto em causa (A) e fica situada a uma distância igual a distância entre objecto e o espelho.

Usando isso, podemos encontrar uma imagem do objecto a ser formado pelo espelho {E_1} (que designamos de {4}) e pelo espelho {E_2} (que designamos {C}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem B (Segmento {\overline{AB}}) e o próprio espelho {E_1} identificamos por {B'}.

O ponto de intersecção entre a linha que sai do objecto até a imagem C (Segmento {\overline{AC}}) e o próprio espelho {E_2} identificamos por {C'}.

Então pela formação de imagens em espelhos planos sabemos que {\overline{AB'}=\overline{B'B}} e que {\overline{AC'}=\overline{C'C}}.

A distância que deseja determinar corresponde ao segmento {\overline{BC}}.

Consideremos {\overline{AB} = \ a}, distância entre o objecto e a imagem formada pelo espelho {E_1}, e {\overline{BC} = \ d}, distância entre as duas imagens.

As imagens são formadas pela prolongação dos raios incididos perpendicularmente aos espelhos. Neste caso o ângulo entre cada espelho e o seu respectivo raio incidido é igual à {90^o}.

Por se tratar de espelhos planos, a distância entre cada imagem e o espelho que forma esta imagem é igual à distância entre o objecto e o respectivo espelho. Então:

\displaystyle \overline{BB'} = \ \overline{AB'} = \ 20 \ cm \Rightarrow \overline{AB} = \ a = \ 2\overline{AB'} = \ 2 \cdot 20 \ cm = \ 40 \ cm

\displaystyle \overline{CC'} = \ \overline{AC'} = \ 40 \ cm \Rightarrow \overline{AC} = \ b = \ 2\overline{AC'} = \ 2 \cdot 40 \ cm = \ 80 \ cm

Podemos determinar {\overline{BC} = \ d} pela lei dos cossenos:

\displaystyle d^2 = \ a^2+b^2-2ab \cos \alpha

Mas precisamos antes determinar {\alpha}. {\alpha} é um dos ângulos internos do quadrilátero AB’C’D. Pela geometria, sabemos que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual à {360^o}. Então:

\displaystyle \theta + 90^o + \alpha + 90^o = \ 360^o \Rightarrow \alpha = \ 360^o - 180^o - \theta

Sabendo que {\theta = \ 30^o}, teremos:

\displaystyle \alpha = \ 360^o - 180^o -30^o \Rightarrow \alpha = \ 150^o

Assim, já podemos calcular o valor da distância entre as imagens formadas pelos dois espelhos:

\displaystyle d^2 = \ a^2 + b^2 - 2ab \cos \alpha\Rightarrow d = \ \sqrt{a^2+b^2-2ab \cos \alpha}

\displaystyle a = \ 40 \ cm, \ b = \ 80 \ cm , \ \alpha = \ 150^o

Então:

\displaystyle d = \ \sqrt{(40)^2 + (80)^2 - 2 \cdot 40 \cdot 80 \ \cdot (\cos 150^o)}= 116,37 \ cm

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 5)

Exercício 20 Uma chita pode acelerar de {0} a {96 \ km} em {2 \ s}, enquanto um carro, em média atinge a mesma velocidade final em {4,5 \ s}. Calcular as acelerações média dos dois. NÍVEL DE DIFICULDADE: Elemntar.
Resolução 20 .

A conversão de {96 \ km} para {m/s}, é feita pela regra de 3 simples conforme os exercícios anteriores.

Para a Chita, temos:

{v_o = 0}.

{v = 96 \ km/h \approx 26,7 \ m/s}.

{\Delta t = 2 \ s}.

Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos:

\displaystyle a_{med} = \frac{v-v_0}{\Delta t} = \frac{26,7-0}{2}=13,4 \ m/s^2

Para o carro,temos:

{v_o = 0}.

{v = 96 \ km/h \approx 26,7 \ m/s}.

{\Delta t = 4,5 \ s}.

Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos:

\displaystyle a_{med} = \frac{v-v_0}{\Delta t} = \frac{26,7-0}{4,5} = 5,9 \ m/s^2

.

Exercício 21 Um móvel fazendo a trajectória rectilínea {A-B-C}, tem a velocidade dada no gráfico ao lado.

Determinar:

  1. A velocidade média deste movimento.
  2. A aceleração média do mesmo.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 21 .

Diante de um problema gráfico ({v\cdot t}), é válido lembrar que área de baixo da curva determina o espaço total percorrido pelo móvel. No gráfico {v\cdot t}, a inclinação da recta, determina à aceleração.

  1. Para determinar a velocidade média, precisamos conhecer o deslocamento total e o tempo total. O tempo pode ser obtido directamente no gráfico. Para o deslocamento, ele deve ser calculado. Podemos usar dois raciocínios: o calculo da área ou a determinação dos parâmetros cinemáticos deste movimento. Para efeitos de familiarização, dado que temos dois tempos de movimentos ( Um MRUV acelerado de A para B e um MRUV retardado de B para C), vamos usar os dois métodos. Vamos usar a determinação de parâmetros para o movimento de A para B e vamos usar o cálculo de área de B para C. Em qualquer dos casos, os dois métodos são válidos. Cabe a quem resolve escolher.
    1. Determinando a aceleração de {A\longrightarrow B} (Determinação dos parâmetros):

      \displaystyle \left.\begin{array}{cccccccc} t_o = 0 \ s, v_o = 20 \ m/s\\ t= 40 \ s, v = 60 \ m/s\\ \end{array}\right\} \Rightarrow a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{60 - 20}{40 - 0} = 0,5 \ m/s^2

    2. Determinando do correspondente deslocamento {A\longrightarrow B}:

      \displaystyle s = s_o + v_o\cdot t + \frac{1}{2}a\cdot t^2

      \displaystyle s = (20)(40) + \frac{1}{2}(0,5)(40)^2

      \displaystyle s = 1200 \ m

    3. Determinando o espaço percorrido {B\longrightarrow C} (cálculo de área):

      \displaystyle s_{\Delta} = Area = \frac{20\cdot 40}{2} = 600 \ m

    4. Neste caso, o deslocamento total é:

      \displaystyle \Delta s = 1200 + 600 = 1800 \ m

    5. Logo, a velocidade média será:

      \displaystyle v_{med} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{1800}{60} = 30 \ m/s

  2. Aceleração média.

    \displaystyle a_{med} = \frac{v_{final}-v_{0}}{\Delta t} = \frac{0-20}{60} \approx -0,33 \ m/s^2

Exercício 22 Uma pessoa caminha {100 \ m} em {12 \ s} numa certa direcção e depois caminha na direção oposta passando {50 \ m} durante {30 \ s}. Calcule (a) a velocidade média definida pelo caminho percorrido e (b) a velocidade média definida pelo deslocamento. NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.
Resolução 22 .

Para o problema em questão, devemos entender a diferença entre deslocamento e distância percorrida. O deslocamento é o vector que une a posição inicial à posição final de um móvel, sem se importar pelo trajecto do mesmo. O seu modulo equivale a distancia entre a origem e o destino do móvel. A distancia percorrida é o somatório escalar de todo o caminho percorrido pelo móvel, levando em conta a sua trajectoria e eventuais mudanças de direcção.

Na figura, observamos que o móvel sai da posição {x_1}, vai para a posição {x_2} e depois vai (em sentido oposto) para a posição {x_3}. Se tomarmos {x_1=0}, então {x_2=100 \ m} e {x_3=50 m} (recuando 50 m a partir de {x_2}).

Neste caso o deslocamento será {\Delta x= x_3 - x_1 = \ 50 - 0= \ 50m}.

A distancia percorrida será: {d= \ d_1+d_2= \ 100+50= \ 150 \ m}.

  • A velocidade média definida pelo caminho percorrido será:

    \displaystyle v_{med} = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{150}{30 + 12}

    \displaystyle v_{med} = 3,75 \ m/s

  • A velocidade média definida pelo deslocamento será:

    \displaystyle v_{med} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{50}{30+12}

    \displaystyle v_{med} \approx 1,19 \ m/s

.. Note que é a duração de todo o movimento, e como o tempo não recua, então sempre {\Delta t = \ 30+12= \ 42 \ s}. Estes tempos refere-se a intervalos de tempo, por isso somamos. Se fossem instantes de tempo, deveríamos subtrair.

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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 3)

Exercício 8 Se uma grandeza fictícia {K} tem unidade {\dfrac{ab^2}{c}} num certo sistema de unidade: Se as correspondências no SI são:

{1 \ a = 95 \ x}

{1 \ b = 57 \ y}

{1 \ c = 0,5 \ z}

Qual é o valor de {K = 18 \dfrac{ab^2}{c}} no SI ?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 8 .

O objectivo do exercício é converter a unidade de {K} para o SI.

Vamos converter para o SI, substituindo o valor de {a}, {b}, {c} na expressão de {K = 18\dfrac{ab^2}{c}}.

.

\displaystyle K = 18\dfrac{ 95x \cdot (57y)^2}{0,5z}

\displaystyle \Rightarrow K = \dfrac{18 \cdot 95 \cdot (57)^2}{0,5} \cdot \dfrac{x \cdot y^2}{z}

\displaystyle K = 11111580\dfrac{x \cdot y^2}{z}

Exercício 9 Duas forças {\vec{F_1}} e {\vec{F_2}} de {10 \ N} e {20 \ N} respectivamente actuam sobre um corpo.

Qual deverá ser o modulo e a direcção da 3ª força ({\vec{F_3}}) para que a resultante seja nula?.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 9 .

Teremos que inicialmente que a resultante entre as forças {\vec{F_1}}, {\vec{F_2}} e {\vec{F_3}} deve ser nula. Quer dizer que as três forças fazem parte do mesmo sistema bidimensional. A nível de análise gráfica, poderíamos determinar a resultante (parcial) das forças {F_{1}} e {F_{2}}. Chamamos ela de {F_{1/2}}. A força três, neste caso, terá sentido contrário ao vector força {F_{1/2}}, para que equilibre este resultante.

Neste caso:

\displaystyle \vec{F_3} = -\vec{F_{2/1}} \ ; \ F_3 = F_{1/2}

Para calcular a força {F_{1/2}}, vamos aplicaras componentes:

\displaystyle F_{1/2x} = F_{1x} + F_{2x}= F_{1} + 0 = F_{1} = 10 N

\displaystyle F_{1/2y} = F_{1y} + F_{2y}= 0 + F_{2} = F_{2} = 20 N

Então:

\displaystyle \vec{F_{1/2}} = F_{1/2x} \vec{i} + F_{1/2y} \vec{j} = 10 \vec{i} + 20 \vec{j} [N]

Logo:

\displaystyle \vec{F_3} = -\vec{F_{2/1}}= - 10 \vec{i} - 20 \vec{j} [N]

Em modulo:

\displaystyle F_3 = \sqrt{(-10)^2 + (-20)^2} = \sqrt{500} [N]

\displaystyle F_3 = 22,36 \ N

A direcção é definida pelos ângulos:

\displaystyle \alpha_1 = \arctan \frac{F_{3y}}{F_{3x}}

\displaystyle \alpha_2 = 180^o + \arctan \frac{F_{3y}}{F_{3x}}

Calculando:

\displaystyle \alpha_1 = \arctan{(\frac{-20}{-10})}=63 ^o

\displaystyle \alpha_2 = 180^o + \arctan{(\frac{-20}{-10})}= 243^o

Como o vector pertence ao 3º quadrante (as componentes são ambas negativas), a direcção e sentido são definidas por:

\displaystyle \alpha_2 = 243^o

Exercício 10 Um móvel percorre um troço de {400 \ km} em {2 \ dias}. Qual é a velocidade média desta viagem ? NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.
Resolução 10 .

Dados

{v_m = \ ?}

{\Delta s = 400 \ km}

{\Delta t = 2 \ dias}

O exercício trate de um movimento genérico. Quando queremos analisar o movimento como um todo, usamos a velocidade e aceleração média. Então, a análise do movimento assemelha-se a um M.R.U, onde que a velocidade média é:

\displaystyle v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t}

Antes de calcular a {v_m}, vamos converter os {2 \ dias} para {h}, para usarmos unidades habituais em movimentos desta natureza. Vamos utilizar o sistema de “3 simples”:

\displaystyle 1 \ dia \longrightarrow 24 \ h

\displaystyle 2 \ dias \longrightarrow t

Multiplicado de forma cruzada, obtemos:

\displaystyle t \cdot 1 \ dia = 2 \ dias \cdot 24 \ h

\displaystyle t = 48 \ h

Agora podemos calcular a {v_m}:

\displaystyle v_m = \dfrac{\Delta s}{\Delta t} = \dfrac{400 \ km}{48 \ h}

\displaystyle v_m = 8,33 \ km/h

Também poderíamos apresentar o valor da {v_m} em {m/s}, basta para isso dividir o valor em {km/h} por 3,6 e teremos em {m/s}.

\displaystyle v_m = \dfrac{8,33}{3,6} \ m/s

\displaystyle v_m = 2, 31 \ m/s

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 2)

Exercício 8 .

O gráfico ilustra um MRU. Determine a velocidade média deste movimento?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8 .

Para o caso de MRU a velocidade média é dada, por definição como sendo:

\displaystyle v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x-x_0}{t-t_0} \ \ \ \ \ (6)

Do gráfico temos os seguintes dados:

\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccccccc} t_0 = 0 \ s : x_0 = 10 \ m \\ t = 5 \ s : x = 40 \ m \\ \end{array}\right.

Substituindo estes valores em (1):

\displaystyle v_m =\frac{40 \ m-10 \ m}{5 \ s- 0 \ s}=\frac{30}{5}\times\frac{m}{s}

\displaystyle v_m= 6 \ m/s

Exercício 9 .

A equação de um MRU é:

\displaystyle x=10+20 \ t \ (SI)

Determine o deslocamento no intervalo de { 4 \ s \leq t \leq 7 \ s }

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 9 .

Nos casos de MRU sem mudança de direcção, o deslocamento, em módulo é igual a distância percorrida no intervalo {\Delta t } definido.
Para determinarmos o deslocamento, precisamos da posição inicial e final.

No intervalo

\displaystyle 4 \ s \leq t \leq 7 \

A posição inicial é obtida da seguinte forma:

\displaystyle t= 4 \ s \Rightarrow x_0= 10+20 \times t_0=10+20 \times 40

Obtemos:

\displaystyle x_0=90 \ m

A posição final é obtida da seguinte forma:

\displaystyle t= 7 \ s \Rightarrow x=10+20 \times t=10+20 \times 7

\displaystyle x=150 \ m

O deslocamento é :

\displaystyle \vert \overrightarrow{\Delta s} \vert= \Delta x=x - x_0 =150 \ m -90 \ m

\displaystyle \Delta x = 60 \ m

Exercício 10 .

Um atleta de corrida percorre { 1,5 \ m } em cada segundo. Quanto tempo demora fazer um percurso de { 10 \ km }. .
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 10 .

Dados

{ v= 1.5 \ m/s } .

{ \Delta s = 10 \ km= 10.000 \ m } .

{\Delta t \rightarrow ? }

Por definição, no MRU, a velocidade é dada por:

\displaystyle v= \frac{\Delta s}{\Delta t}

Isolando o espaço percorrido:

\displaystyle \Delta t = \frac{\Delta s}{v}

Substituindo os dados na formula anterior, obtemos:

\displaystyle \Delta t = \frac{10,000 \ m}{1,5 \ m/s} = 6,66 \times 10^3 \ s \ \ \ \ \ (7)

 

Transformando { 6,66 \times 10^3 \ s } em horas usando a regra de três simples:

\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ h\rightarrow \rightarrow 3600 \ s \\ x \rightarrow \rightarrow 6,66 \times 10^3 \ s\\ \end{array}

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

\displaystyle x \times 3600 \ s= 1 \ h \times6,66 \times 10^3 \ s

\displaystyle \Rightarrow x = \frac{1 \ h \times 6,66 \times 10^3 \ s }{3600 \ s}

\displaystyle \Rightarrow x = 1,85 \ h

Logo, o atleta leva { 1,85 \ h } para percorrer { 10 \ km }.

Exercício 11 .

A equação horária de um móvel é { x = 100+50 \times t } . Qual séria a sua equação horária se a posição fosse dada em Km e o tempo em h?..

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 11 .

Dados

{ x = 100+50 \times t } .

A equação horária, na forma escalar é dada como:

\displaystyle x= x_0+ v \times t \ \ \ \ \ (8)

A equação horária do móvel é:

\displaystyle x= 100+50 \times t \ \ \ \ \ (9)

Ao comparar-mos ambas equações, obtemos os seguintes dados:

\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} x_0=100 \ m \\ v=50 \ m/s \\ \end{array}

Para escrever-mos a equação horária,com a posição dada em Km e o tempo dado em h, devemos transformar { x_0 = 100 \ m} e {v =50 \ m/s } nas unidades respectivas, usando o sistema (regra) de três simples.

Então temos:

\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ km \rightarrow  1000 \ m \\ x_0 \rightarrow  100 \ m \\ \end{array}

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

\displaystyle x_0 \times 1000 \ m =1 \ km \times 100 \ m

\displaystyle \Rightarrow x_0=\frac{1 \ km \times 100 \ m}{1000 \ m} x_0=0.1 \ km

E:

\displaystyle  36\ km/h \rightarrow 10 \ m/s

\displaystyle  v \rightarrow 50 \ m/s

Logo:{x_0=0,1 \ km } e { v=180 \ km/h }.

Então:

Substituindo estes valores em na equação horária do MRU, obtemos:{ x=0.1+180 \times t }.

Portanto, para a posição dada em km e tempo em h, temos a equação horária:

\displaystyle x=0.1+180 \times t

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais

— 1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais —

Exercício 5 .

Considere o sistema representado abaixo.Considerando a origem do referencial sua base direita do prédio, o Eixo ox horizontal dirigido a esquerda e o Eixo oy vertical e dirigido para cima.

Determine a posição dos pontos A, B e C.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar

Resolução 5 .

O referencial(bidimensional) do sistema é necessário ser traçado para a determinação da posição dos pontos A, B e C. Logo temos as seguintes características do referencial:

* Eixo Ox: eixo horizontal dirigido da direita para a esquerda;

* Eixo Oy: eixo vertical dirigido para cima;

* Origem do referencial: base direita do prédio.\

.

Aposição do ponto A tem coordenada { 50 \ m} na horizontal e { 100 \ m } na vertical, então :

\displaystyle B(50,100)\ m

onde

\displaystyle x_A=50 \ m

\displaystyle y_A=100 \ m

A posição do ponto B tem coordenada { -40 \ m } na horizontal e 0 na vertical, então:

\displaystyle B(-40,0) \ m

Onde:

\displaystyle x_B=-40 \ m

\displaystyle y_B=0

A posição do ponto C tem coordenada {-35 \ m } na horizontal e { 20 \ m} na vertical então:

\displaystyle C(-35,20) \ m

\displaystyle x_C= -35 \ m

\displaystyle x_C= 20 \ m

Exercício 6 .

A velocidade de um móvel é tal que ele percorre {5 \ m} a cada {2 \ s},em MRU. Determine a posição final no MRU se a posição inicial for { 5 \ m} e o tempo do movimento for de {25 \ s }.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 6 .

Dados .

{ v= \frac{5 \ m}{2 \ s}= 2,5 \ m/s } .

{x_0=5 \ m } .

{t=25 \ s } .

{x=? }

Para determinarmos a posição final x do móvel no tempo t precisamos da equação de movimento ( função horária) do móvel.
Para este caso, de movimento retilíneo e uniforme(MRU), a equação de movimento é:

\displaystyle \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x_0}= + \overrightarrow{v} \times t \ \ \ \ \ (1)

Na forma escalar, temos:

\displaystyle x= x_0+v \times t \ \ \ \ \ (2)

Substituindo {x_0} e {v}, obtemos:

\displaystyle x= 5 + 2,5 \times t \ \ \ \ \ (3)

A posição final {x} para { t=25 \ s}:

\displaystyle x= 5 + 2,5 \times 25= 67,5 \ m

\displaystyle x=67,5 \ m

Resolução 7 .

Calcule a velocidade média do móvel da figura abaixo, se { t_1=10 \ s } e é { t_2= 20 \ s }, no movimento { A\rightarrow B \rightarrow C }.

.

Resolution 7 . Dados

{ t_1=t_{A\rightarrow B} = 10 \ s } .

{ t_2=t_{B\rightarrow C} = 20 \ s }. Por definição a velocidade média de um móvel é dada por:

\displaystyle \overrightarrow{v_m}=\frac{\overrightarrow{\Delta s}}{\Delta t}

.

{ \overrightarrow{\Delta s} } – Vector deslocamento.

{ \Delta t } – Intervalo de tempo total durante o movimento.

Em módulos:

\displaystyle v_m=\frac{\Delta s}{\Delta t}

.

Portanto, para determinar a velocidade média precisamos determinar o deslocamento { A\rightarrow B \rightarrow C } e o tempo total para o móvel sair de A para C.

Note que o vector deslocamento é o vector que une a posição inicial à posição final, ou seja, no nosso caso {\overrightarrow{\Delta s}=\overrightarrow{AC}}

Então temos:

\displaystyle \Delta s= \sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2} \ \ \ \ \ (4)

A equação 4 é a fórmula para o cálculo de distancia em um sistema bidimensional.Considerando o ponto de partida A e o de chegada C, :

A(10,20) e B(20) considerando a abcissa y e a ordenada x.

Portanto, temos:

\displaystyle (x_C - x_A)= (40-10)=30 \\ (y_C - y_A)= (30-20)=10 \ \ \ \ \ (5)

.

Substituindo 7 em 4, obtemos:

\displaystyle \Delta s_{A-C}= \sqrt{(30)^2+(10)^2}=31,6 \ m

O tempo { \Delta t } do movimento de { A \rightarrow B \rightarrow C } é a soma dos tempos de { A \rightarrow B } e de { B \rightarrow C }.

Dos dados temos temos

\displaystyle t_{A-B} = 10 \ s e t_{B-C}= 20 \ s

Então

\displaystyle \Delta t = t_{A-B} + t_{B-C} =10+20=30 \ s \Delta t = 30 \ s

Sendo assim:

\displaystyle v_m = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{31,6 \ m}{30 \ s} = 1,05 \ m/s

OBS: Como qualquer trabalho, esta publicação pode estar sujeita a erros de digitação, falta de clareza na imagem ou alguma insuficiência na explicação. Neste sentido, solicitamos aos nossos leitores o seguinte:

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

— 1. Exercícios sobre Cinemática da Partícula —

— 1.1. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais —

Exercício 1 Um homem realiza uma viagem de uma cidade para outra, para atender a um compromisso. A distância entre as cidade é de 300 km. O compromisso foi marcado para as 11h15min. O homem planeia conduzir o seu carro a 100 km/h e parte às 8h00 para ter algum tempo de sobra. Ele conduz a velocidade planeada durante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho é obrigado a reduzir a velocidade para 40 km/h durante 40 km. Qual é a menor velocidade que ele deve manter no resto da viagem para chegar a tempo?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .
Resolução 1

.

Trecho a:1º trecho percorrido,na qual {\triangle x = 100 \ km }.

Trecho b: 2º trecho, na qual {\triangle x = 40 \ km }.

Trecho c: trecho restante, na qual {\triangle x = 160 \ km }

Para que se calcule a velocidade necessária para percorrer o trecho c é necessário que se conheça o tempo restante. Para isso,devemos determinar os tempos gastos para percorrer a trechos a e b. Consideraremos MRU em todos trechos, pois estamos a usar parâmetros médios.

No trecho a:

\displaystyle \triangle x_{a} = v_{a}.t_{a}

Isolando o tempo e calculando:

\displaystyle t_{a} = \dfrac{\triangle x_{a}}{v_{a}} = 1h

No trecho b :

\displaystyle \triangle x_{b} = v_{b}.t_{b}

Isolando o tempo e calculando:

\displaystyle t_{b} = \dfrac{\triangle x_{b}}{v_{b}} = 1h

Como temos tempo em horas e em minutos, temos de reduzir a uma única unidade de tempo. Neste caso, vamos converter 15 minutos em horas.

Sabemos que:

\displaystyle 1h \longrightarrow 60min

\displaystyle x \longrightarrow 15min

Fazendo a multiplicação cruzada e isolando o {x}, obtemos:

\displaystyle x = \dfrac{1h.15min}{60min} = 0,25 \ h

Como o motorista partiu as 8h e tem que chegar as 11h e 15min,ou seja,11,25h,sendo que percorreu o conjunto do techo a e b por 2h, então, restam-lhe apenas 1h e 15min, ou seja 1,25h.

Então, para o trecho c teremos :

\displaystyle \triangle x_{c} = v_{c}.t_{c} \Rightarrow v_{c} =\dfrac{_{\triangle}x_{c}}{t_{c}} = 128 \ km/h

Exercício 2 A primeira metade da distância foi percorrida por um móvel com {v_{1}}. Do tempo restante, a primeira metade foi percorrida com a velocidade {v_{2}} e na segunda metade com a velocidade {v_{3}}, sendo que o tempo gasto em percorrer a 1{ª} e a 2{ª} metade, são iguais. Determinar a velocidade média em todo o percurso.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .
Resolução 2 .

Sendo que : { t_{2} = \dfrac{t'}{2} \hspace{1cm} e\hspace{1cm} t_{3} = \dfrac{t'}{2}} {\hspace{1cm}} onde {t'} é o tempo restante após a 1ª parte e que : { \triangle x_{2} = \triangle x_{3}=\dfrac{\triangle x'}{2} =\dfrac{\triangle x}{2}}

{\triangle x'} é o trecho restante após a 1ª parte.

Então:{ \triangle x_{1} = \triangle x_{2} + \triangle x_3}.

Usando a definição de velocidade média para o troço 1, obtemos:

\displaystyle t_{1} = \dfrac{\triangle x_{1}}{v_{1}} = \dfrac{\triangle x_{2} + \triangle x_{3}}{v_{1}}

Os deslocamentos dos trechos 2 e 3 são:

\displaystyle \triangle x_{2} = v_{2}.t_{2}=v_{2}.\dfrac{t}{2}

\displaystyle \triangle x_{3} = v_{3}.t_{2}=v_{3}.\dfrac{t}{2}

Como os trechos 2 e 3 são percorridos durante o mesmo tempo, então a velocidade média é a média aritmética das velocidades. Neste caso, a velocidade média dos trechos 2 e 3 é:

\displaystyle v_{23} = \dfrac{v_2 + v_3}{2}

O deslocamento conjunto do trecho 2-3 é igual à primeira metade:

{\triangle x_{23}=\triangle x'=\triangle x_1=\dfrac{\triangle x}{2}}

A partir da equação da velocidade média para mais de um trecho,teremos :

\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{2}+\triangle x_{3}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}

Neste caso, teremos :

\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{23}}{t_{1}+t_{23}}

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+\triangle x_{1}}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_23}{v_{23}}}

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_1}{v_{23}}}

Factorizando e simplificando {\triangle x_{1}}, obtemos:

\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_{23}}}

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{v_{23}+v_1}{v_1 . v_{23}}}

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2. v_1 . v_{23}}{v_{23}+v_1}

Substituindo {v_{23}} pela formula de velocidade média no troço 2-3, obtemos:

\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 v_1 . \dfrac{ v_{2}+v_3}{2}}{\dfrac{v_{2}+v_3}{2}+v_1}

Simplificando as expressões, obtemos:

\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 v_{1}(v_{2}+v_{3})}{2v_{1}+v_{2}+v_{3}}

Exercício 3 A equação do movimento de uma partícula ao longo do eixo OX é {x=t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40} (no SI). Determine: (a) o instante em que a velocidade se anula; (b) a posição e a distância percorrida pelo ponto material até ao instante em que v=0; (c) a aceleração do ponto material no mesmo instante.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .
Resolução 3

  1. A posição da partícula é dada por:{ x \ = \ t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40}
    A velocidade é dada por: {v=\dfrac{dx}{dt} \Rightarrow v \ = \ 3 \ t^{2}-12 \ t-15}Portanto,quando a velocidade for nula,teremos as seguintes equações:

    \displaystyle 3 \ t^{2}-12 \ t-15=0

    Simplificando por 3, teremos:

    \displaystyle t^{2}-4 \ t-5=0

    Logo:

    \displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} t & = & 5 \ s, \textrm{Correcta}\\ t & = & -1 \ s, \textrm{Incorrecta}\\ \end{array}\right.

  2. Para obter a posição, substituímos o tempo da função horária pelo valor dado. Neste caso, a posição em {t=5 \ s} é:

    \displaystyle x_{f}=(5)^{3}-6.(5)^{2}-15.(5)+40

    \displaystyle \Rightarrow x_{f}=-60 \ m

    A posição no instante t=0s é:

    \displaystyle x_{i}=(0)^{3}-6.(0)^{2}-15.(0)+40

    \displaystyle \Rightarrow x_{i}=40 \ m

    A distância percorrida é dada por :

    \displaystyle \Delta x = |x_{f}-x_{xi}| \Rightarrow \Delta x = |-60-40| \Rightarrow\Delta = 100 \ m

  3. A aceleração instantânea é dada por:

    \displaystyle a=\dfrac{d^{2} x}{d t^{2}} \Rightarrow a=\dfrac{d{v}}{d{t}}

    Derivando a velocidade se obtém:

    \displaystyle a=6 \ t-12

    Logo, quando { t=5 \ s}, teremos :

    \displaystyle a=6.(5)-12 \Rightarrow a \ = \ 18 \ m/s^{2}

Exercício 4 Quando a luz verde de um semáforo acende, um condutor acelera uniformemente o seu veiculo durante 6 s em {2 \ m/s^{2}}. Em seguida ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro começou a se mover, ele foi ultrapassado por uma motorizada movendo-se no mesmo sentido com a velocidade constante de 10 m/s. Após quanto tempo, os dois veículos encontrar-se-ão novamente?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .
Resolução 4 .

Dados:

{a_{1A}=2 \ m/s^{2}}

{ t_{1A}= \ 6 \ s = t_{02}}

{ x_{01A}= \ 0 \ }

{ v_{0A}=0}

{ v_B=6 \ s}

{x_{0B}=0}

  • Neste Problema temos dois veículos A e B, mas o veiculo A não tem uma única equação de movimento, visto que inicialmente faz um MRUV, mas sem seguida faz um MRU. Então vamos usar os índices 1 e 2 para distinguir as duas partes do movimento do veiculo A. Para o veiculo B isto não é necessário.A Equação de movimento para o Veiculo A (condutor) :

Na 1ª Parte, em MRUV : { x_{1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}}

Na 2ª parte (após os 6 s de MRUV), começa um MRU : {x_{2A} = x_{02A}+ v_{02A}.t}

A equação de movimento para a motorizada (Veiculo B) é a seguinte :

Na 1ª Parte em MRU {x _{B}=v_{B}.t}

Na 2ª parte ainda em MRU): {x_{B}=x_{0B2}+ v_{B}.t}

Calculando a posição e velocidade dos 2 após os primeiros 6 segundos, obtemos:

Para o veiculo A:

{x_{f1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}=\dfrac{1}{2}.(2).(6)^{2}\Rightarrow x_{f1A}=36 \ m}

{v_{f1A}=v_{01A}+a_1.t \Rightarrow v_{f1A}=0+2.6=12 m/s}

Para o veiculo B:

{x_{f1B}=x_{01B}+v_{1B}.t \Rightarrow x_{f1B}=0+10.(6)\Rightarrow x_{f1B}=60 \ m}

Como o veiculo B faz MRU a velocidade é constante, logo:{v_{f1B}=v_{01B}=10 \ m/s}

Como podemos observar n figura, após o tempo {t_1=6 \ s} o condutor (A) ainda não alcançou a motorizada (B). Então para determinar a posição de encontro, vamos usar as equações da 2ª parte.

{x_{2A}=x_{02A}+v_{2A}.t \Rightarrow x_{2A}=36+12 \ t}

{x_{2B}=x_{02B}+v_{2B}.t \Rightarrow x_{2B}=60+10 \ t}

O encontro ocorre quando: {x_{2A}=x_{2B}}

\displaystyle \Rightarrow 36+12 \ t =60+10 \ t

Isolando o tempo, obtemos:

\displaystyle t = 12

Atenção que este 12 segundos é após o inicio da 2ª Parte (pois reiniciamos a analise dos movimentos no final da 1ª Parte). Considerando então os {6 \ s} de duração da primeira parte, temos:

\displaystyle t = \ 12+6 =18 \ s

Exercício 5 Partindo do repouso, um veiculo mantém uma aceleração de {4 \ m/s^{2}} durante {4 \ s}. Nos {10 \ s} seguintes ele tem um movimento rectilíneo uniforme. para travar, o veiculo passa a ter um movimento uniformemente retardado com aceleração de {8 \ m/s^{2}}, até parar. Fazer um gráfico da velocidade em função do tempo e mostrar que a área limitada pela curva e pelo eixo dos tempos é igual a distância total percorrida.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .
Resolução 5

Dados:

{x_{01}=0}

{v_{01}=0 \ m/s}

{a_{1}=4 \ m/s^{2}}

{t_{1}=4 \ s }

{x_{02}=x_{f2} \longrightarrow ?}

{v_{2}=v_{f1} \longrightarrow ?}

{t_{2}= 10 \ s}

{x_{03}=x_{f2} \longrightarrow ?}

{v_{03}=v_{f2}}

{a_{3}=8 \ m/s^{2}}

{t_{3} \longrightarrow ?}

Para este problema, temos de calcular a velocidade em cada um dos trechos e os respectivos tempos. é um movimento dividido em 3 partes. UM MRUV (acelerado), um MRU e um MRUV (Retardado).

A partir da equação das velocidades, para a 1ª parte,teremos:

\displaystyle v_{f1}=v_{01} + a_1.t_1=0+4.4=16

…para a 2ª etapa: {a=0}(M.R.U):

\displaystyle \Rightarrow v_{f2}=v_{02}=v_{f1} \Rightarrow v_{f2}=16 \ m/s

…para a 3ª etapa :

\displaystyle v_{f3}=0

Como conhecemos o tempo da 1ª e da 2ª parte, para completarmos o gráfico, precisamos obter o tempo da 3ª parte. Neste caso, usando a equação da velocidade, teremos:

\displaystyle v_{f3}=v_{03} - a_{3} . t_{3}\Rightarrow 0=v_{f_{2}} - a_{3} . t_{3} \Rightarrow t_{3}=\dfrac{v_{03}}{a_{3}}=2 \ s

Com os dados obtidos marcamos os 4 pontos no gráfico de {v=f(t)} e traçamos as rectas que unem os pontos:

{(t_{01};v_{01})=(0;0)}

{(t_{02};v_{02})=(4;16)}

{(t_{03};v_{03})=(14;16)}

{(t_{f1};v_{f1})=(16;0)}

Vamos então calcular a áreas do gráfico.

A primeira região é um triângulo. Neste caso:

{ A_{1}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.4.16 }

{A_{1}=32 \ m}

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

{A_{2}=l.h=10.16=160 \ m}

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

{A_{3}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.16}

{A_{3}=16 \ m}

Neste caso: {A_{Total}=A_{1}+A_2+A_3=208 \ m}

Calculando os deslocamentos de cada parte, temos:

{\Delta x_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1}{t_1}^{2}=\dfrac{1}{2}.4.(4)^{2}}

{\Delta x_{1}=32 \ m}

{ \Delta x_{2}=v_2.t_2=16.(10)}

{\Delta x_{2}=160 \ m}

{ \Delta x_{3}=v_{03}.t-\dfrac{1}{2} a_3 t^{2}}

{ \Delta x_{3}=16.(2)-\dfrac{1}{2}.8.(2)^{2}=16 \ m}

{ \Delta x_{Total}=\Delta x_{1}+\Delta x_{2} + \Delta x_{3} = 208 \ m}

Logo a área total {A_{Total}=208 \ m} é igual á distancia total { \Delta x_{Total}=208 \ m"}

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Exercícios resolvidos

Vamos acompanhar a resolução de alguns exercícios.

Exercício 1

    Um calorímetro de alumínio, de {200g}, contem {500g} de água a {20^0C}. Um pedaço de alumínio de {300g} é aquecido até {100^0C} e colocado no calorímetro. Determine a temperatura final do sistema, supondo que não haja transferência de calor para o ambiente. ( { c_{agua}=4190 J/kg.K, c_{Al}=0,9 kJ/kg.K }).

  1. R: Como dados, temos:{m_{cal} = 200g = 0,2 kg,}{ m_{A} = 500g = 0,5 kg , }

    {m_{Al} = 300 g = 0,3 kg, }

    { T_{A} = 20 ^0C = 293 K = T_{cal},}

    { T_{Al} = 100^0C = 373 K , }

    { c_{A} = 4190 J/kg.K, }

    {c_{Al} = 900 J/kg.K}

    Como sabemos, ao juntarmos estes materiais, haverá troca de calor entre eles, ou seja, o calorímetro e a água, por estarem mais frios, vão receber calor do pedaço de alumínio, que está mais quente. Pelos valores das temperaturas do problema, e considerando as massas envolvidas, sabemos logo que o equilíbrio termodinâmico será atingido em uma temperatura entre {293 K} e {373 K}

    Partindo do princípio que não se perde calor para o exterior, a soma das quantidades de calor do sistema tem de ser nulas [o calor cedido por um corpo é sempre absorvido por outro corpo no sistema). Como o problema não envolve mudança de fase (mudança de estado de agregação), então teremos apenas três quantidades de calor:

    { Q_{A} = m_{A} . c_{A} . (T_F - T_{A}) }

    { Q_{Cal} = m_{Cal} . c_{Al} . (T_F - T_{Cal}) }

    { Q_{Al} = m_{Al} . c_{Al} . (T_F - T_{Al})}

    Como {Q_{A} + Q_{Cal} + Q_{Al} = 0}

    { \Rightarrow m_{A}. c_{A} . (T_F-T_{A}) + m_{Cal}. c_{Al} . (T_F-T_{Cal}) + m_{Al}. c_{Al} . (T_F - T_{Al})=0}

    Aplicando a propriedade distributiva, temos:

    {m_{A}. c_{A} . T_F-m_{A}. c_{A} .T_{A}+m_{Cal}. c_{Al} . T_F-m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal}}

    {+m_{Al}. c_{Al} . T_F-m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}=0}

    { \Rightarrow}

    {m_{A}. c_{A} . T_F +m_{Cal}. c_{Al} . T_F +m_{Al}. c_{Al} . T_F = m_{A}. c_{A} .T_{A}  }

    { + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}

    Factorizando a temperatura de equilíbrio {T_F} e isolando-a, obtemos:

    { T_F= \frac{m_{A}. c_{A} .T_{A} + m_{Cal}. c_{Al} . T_{Cal} + m_{Al}. c_{Al} . T_{Al}}{m_{A}. c_{A} +m_{Cal}. c_{Al} +m_{Al}. c_{Al} }=301,5K=28,5^0C }

Exercício 2

    Uma amostra de 0,5 mol de Hélio (gasoso), expande-se adiabaticamente desde uma pressão inicial de {5 atm} e uma temperatura de {500 K} para uma pressão de {1 atm}. Determine:

  1. a)A temperatura final do gás.
  2. b)O volume final do gás.
  3. c)O trabalho realizado pelo gás.
  4. a)R: Temos como dados: {n=0,5 mol,}{ i=3 \Rightarrow \gamma=\frac{i+2}{i}=\frac{5}{3}=1,67 }

    (Hélio é um gás monoatómico),

    { p_1= 5 atm = 5,065.10^5 Pa,}

    { T_1=500K,}

    { p_2=1 atm = 1,013.10^5 Pa,}

    { R=8,31 J/mol. K}
    O processo realizado é uma expansão adiabática. A equação para um processo adiabático com pressões e temperaturas pode ser obtida dividindo a equação {p_1. V_1^\gamma=p_2.V_2^\gamma} pela equação {\frac{p_1^\gamma. V_1^\gamma}{T_1^\gamma} =\frac{p_2^\gamma. V_2^\gamma}{T_2^\gamma}}.

    A equação resultante será:

    { p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma= p_2^{1-\gamma}. T_2^\gamma. }

    Isolando {T_2}, ficamos com: { T_2=({\frac{p_1^{1-\gamma}. T_1^\gamma}{p_2^{1-\gamma}}})^{\frac{1}{\gamma}}=262,1K }

  5. b)R: como conhecemos a temperatura e a pressão do estado 2, podemos determinar o seu volume aplicando a equação de estado para um gás ideal: {V_2=n.R.T_2/p_2 = 0,01075 m^3}.
  6. c)R: Podemos calcular o trabalho aplicando a primeira lei da termodinâmica. {\Delta U= Q - W}. Como o processo é adiabático, então {Q=0}, logo {W=-\Delta U = -\frac{i}{2}.n.R.(T_2-T_1)=1482,7 J}
Exercício 3

Uma maquina térmica que opera com o ciclo reversível de Carnot, recebe calor de um depósito térmico a alta temperatura e conta com uma eficiência térmica de { 57,89\% } produzindo {2932 J} de trabalho em cada ciclo. Se o calor cedido vais para o ambiente que está a {27^0C}, Determine:

  1. a) A temperatura da fonte quente.
  2. b) A máquina cumpre com a desigualdade de Clausius? Justifique.
  3. a)R:Temos como dados:{W=2932 J,}

    {T_C=27^0C=300K,}

    {\eta=57,89\%=0,5789}

    Para o ciclo de Carnot, sabemos que {\eta=1-\frac{T_C}{T_H}}. Isolando {T_H}, temos: {T_H=\frac{T_C}{1-\eta}=712,4K=439,4^0C}

     

  4. b) R: O ciclo de Carnot é composto por dois processos isotérmicos e dois processos adiabáticos. Para o caso de motor, recebe calor na fonte quente e sede calor a fonte fria. Considerando os processos 1-2 expansão isotérmica, 2-3 expansão adiabática, 3-4 compressão isotérmica e 4-1 compressão adiabática, então a variação de entropia no ciclo será {\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{23} + \Delta S_{34} + \Delta S_{41}}. Nos processos 2-3 e 4-1 não há variação de entropia. Logo: {\Delta S= \Delta S_{12} + \Delta S_{34}= \frac{Q_H}{T_H}+\frac{(-Q_C)}{T_C}.} Para o ciclo de Carnot {\frac{Q_C}{Q_H} =\frac{T_C}{T_H} \Rightarrow \frac{Q_C}{T_C} =\frac{Q_H}{T_H}}, então {\Delta S= 0}, o que cumpre com a desiguldade de Clausius, que diz {\Delta S\geq 0}.
Exercício 4

      Um bloco de madeira de volume {V=60cm^3}, totalmente submerso está atado ao fundo de um recipiente com agua por meio de um fio inextensível de massa desprezável. quando o fio é cortado e o bloco emerge à superfície com {\frac{1}{4}} do seu volume fora da água. Sendo a densidade da água de {1g/cm^3}, determine:
  • a) A massa específica do bloco.
  • b) A tensão no fio, antes de ser cortado.
  1. a) R: Primeiro devemos tirar todos os dados e passa-los para o Sistema Internacional (S.I.).{V=60cm^3=60.10^{-6} m^3}{\rho_{agua}=1g/cm^3=1000kg/m^3}

    Quando o bloco flutua, o volume da parte imersa é {V_{im}=\frac{3.V}{4}=\frac{3.60.10^{-6}}{4}=45.10^{-6}m^3} De acordo com o princípio de Arquímedes, para o bloco flutuar é necessário que o Empuxo compense o peso do bloco, ou seja, {E=P\Rightarrow \rho_{liq}.V_{im}.g=\rho_{bloco}.V_{bloco}.g} Isolando a densidade do bloco, obtemos: {\rho_{bloco}=\frac{\rho_{liq}.V_{im}}{V}=750 Kg/m^3}.

  2. b) R: Quando o corpo está preso no fundo do recipiente por um fio, actuam nele três forças: Peso ou Força de gravidade, Força de Arquimedes ou Empuxo e Força de Tensão (no fio). O peso e a tensão actuam verticalmente de cima para baixo, enquanto que a força de Empuxo actua verticalmente de baixo para cima. Neste caso temos: { P+T=E\Rightarrow T=E-P=\rho_{liq}.V_{im}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g } Como, nesta situação, o bloco está completamente submerso, então {V_{bloco}=V_{im}} logo, { T=\rho_{liq}.V_{bloco}.g - \rho_{bloco}.V_{bloco}.g =0,147N}

 

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