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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 5)

07/17/2020 6:20 pm / Deixe um comentário

Exercício 20 Uma chita pode acelerar de ${0}$ a ${96 \ km}$ em ${2 \ s}$ , enquanto um carro, em média atinge a mesma velocidade final em ${4,5 \ s}$ . Calcular as acelerações média dos dois. NÍVEL DE DIFICULDADE: Elemntar.

Resolução 20 .

A conversão de ${96 \ km}$ para ${m/s}$ , é feita pela regra de 3 simples conforme os exercícios anteriores.

Para a Chita, temos:

${v_o = 0}$ .

${v = 96 \ km/h \approx 26,7 \ m/s}$ .

${\Delta t = 2 \ s}$ .

Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos:

$\displaystyle a_{med} = \frac{v-v_0}{\Delta t} = \frac{26,7-0}{2}=13,4 \ m/s^2$

Para o carro,temos:

${v_o = 0}$ .

${v = 96 \ km/h \approx 26,7 \ m/s}$ .

${\Delta t = 4,5 \ s}$ .

Então, usando a fórmula de aceleração média, obtemos:

$\displaystyle a_{med} = \frac{v-v_0}{\Delta t} = \frac{26,7-0}{4,5} = 5,9 \ m/s^2$

Exercício 21 Um móvel fazendo a trajectória rectilínea ${A-B-C}$ , tem a velocidade dada no gráfico ao lado.

Determinar:

A velocidade média deste movimento.
A aceleração média do mesmo.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 21 .

Diante de um problema gráfico ( ${v\cdot t}$ ), é válido lembrar que área de baixo da curva determina o espaço total percorrido pelo móvel. No gráfico ${v\cdot t}$ , a inclinação da recta, determina à aceleração.

Para determinar a velocidade média, precisamos conhecer o deslocamento total e o tempo total. O tempo pode ser obtido directamente no gráfico. Para o deslocamento, ele deve ser calculado. Podemos usar dois raciocínios: o calculo da área ou a determinação dos parâmetros cinemáticos deste movimento. Para efeitos de familiarização, dado que temos dois tempos de movimentos ( Um MRUV acelerado de A para B e um MRUV retardado de B para C), vamos usar os dois métodos. Vamos usar a determinação de parâmetros para o movimento de A para B e vamos usar o cálculo de área de B para C. Em qualquer dos casos, os dois métodos são válidos. Cabe a quem resolve escolher.
1. Determinando a aceleração de ${A\longrightarrow B}$ (Determinação dos parâmetros):
  $\displaystyle \left.\begin{array}{cccccccc} t_o = 0 \ s, v_o = 20 \ m/s\\ t= 40 \ s, v = 60 \ m/s\\ \end{array}\right\} \Rightarrow a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{60 - 20}{40 - 0} = 0,5 \ m/s^2$
2. Determinando do correspondente deslocamento ${A\longrightarrow B}$ :
  $\displaystyle s = s_o + v_o\cdot t + \frac{1}{2}a\cdot t^2$
  
  $\displaystyle s = (20)(40) + \frac{1}{2}(0,5)(40)^2$
  
  $\displaystyle s = 1200 \ m$
3. Determinando o espaço percorrido ${B\longrightarrow C}$ (cálculo de área):
  $\displaystyle s_{\Delta} = Area = \frac{20\cdot 40}{2} = 600 \ m$
4. Neste caso, o deslocamento total é:
  $\displaystyle \Delta s = 1200 + 600 = 1800 \ m$
5. Logo, a velocidade média será:
  $\displaystyle v_{med} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{1800}{60} = 30 \ m/s$
Aceleração média.
$\displaystyle a_{med} = \frac{v_{final}-v_{0}}{\Delta t} = \frac{0-20}{60} \approx -0,33 \ m/s^2$

Exercício 22 Uma pessoa caminha ${100 \ m}$ em ${12 \ s}$ numa certa direcção e depois caminha na direção oposta passando ${50 \ m}$ durante ${30 \ s}$ . Calcule (a) a velocidade média definida pelo caminho percorrido e (b) a velocidade média definida pelo deslocamento. NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 22 .

Para o problema em questão, devemos entender a diferença entre deslocamento e distância percorrida. O deslocamento é o vector que une a posição inicial à posição final de um móvel, sem se importar pelo trajecto do mesmo. O seu modulo equivale a distancia entre a origem e o destino do móvel. A distancia percorrida é o somatório escalar de todo o caminho percorrido pelo móvel, levando em conta a sua trajectoria e eventuais mudanças de direcção.

Na figura, observamos que o móvel sai da posição ${x_1}$ , vai para a posição ${x_2}$ e depois vai (em sentido oposto) para a posição ${x_3}$ . Se tomarmos ${x_1=0}$ , então ${x_2=100 \ m}$ e ${x_3=50 m}$ (recuando 50 m a partir de ${x_2}$ ).

Neste caso o deslocamento será ${\Delta x= x_3 - x_1 = \ 50 - 0= \ 50m}$ .

A distancia percorrida será: ${d= \ d_1+d_2= \ 100+50= \ 150 \ m}$ .

A velocidade média definida pelo caminho percorrido será:
$\displaystyle v_{med} = \dfrac{d}{\Delta t} = \dfrac{150}{30 + 12}$

$\displaystyle v_{med} = 3,75 \ m/s$
A velocidade média definida pelo deslocamento será:
$\displaystyle v_{med} = \dfrac{\Delta x}{\Delta t} = \dfrac{50}{30+12}$

$\displaystyle v_{med} \approx 1,19 \ m/s$

.. Note que é a duração de todo o movimento, e como o tempo não recua, então sempre ${\Delta t = \ 30+12= \ 42 \ s}$ . Estes tempos refere-se a intervalos de tempo, por isso somamos. Se fossem instantes de tempo, deveríamos subtrair.

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1.1. Exercícios sobre Introdução à Física: Vectores, Grandezas e Unidades (Parte 2)

07/15/2020 5:47 pm / Deixe um comentário

Exercício 5 Converter para o SI s seguintes unidades:

${ 10 \ km/s }$ .
${ 20 \ polegadas }$ .
${ 25 \ km/h^2 }$ .

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 5 .

Para converter-mos no SI, vamos utilizar o sistema de “3 simples”.

– ${ \dfrac { 10 \ km}{s}\rightarrow \dfrac {m}{s} }$ Neste Caso, temos de converter apenas o numerador, de ${km}$ para ${m}$ .
$\displaystyle 1 \ km \longrightarrow 1000 \ m$

$\displaystyle 10 \ km \longrightarrow x$

Então, fazendo multiplicação cruzada, obteremos:

$\displaystyle x \cdot 1 \ km = 1000 \ m \cdot 10 \ km$

$\displaystyle x = 10000 \ m$

Quer dizer que ${10 \ km = 10000 \ m}$ logo, ${10 \ km/s }$ no Sistema Internacional equivale a ${10000 \ m/s }$ .

.
– ${ 20 \ polegadas \rightarrow m }$ Sabemos que: ${ 1 \ polegada \approx 0,025 \ m }$ Então, usando o sistema de “3 simples”
$\displaystyle 1 \ polegada \longrightarrow 0,025 \ m$

$\displaystyle 20 \ polegadas \longrightarrow x$

fazendo multiplicação cruzada, obteremos:

$\displaystyle x \cdot 1 \ polegada = 0,025 \ mc \cdot 20 \ polegadas$

$\displaystyle x = 0,5 \ m$

Quer dizer que ${20 \ polegadas}$ no Sistema Internacional equivale a ${0,5 \ m }$ .

.
– ${ \dfrac {25 \ km}{h^2} \rightarrow \dfrac {m}{s^2}}$ .Vamos começar por converter ${km}$ em ${m}$ e depois ${h}$ em ${s}$ , então: {2}
$\displaystyle 1 \ km \longrightarrow 1000 \ m$

$\displaystyle 25 \ km \longrightarrow x$

$\displaystyle x \cdot 1 \ km = 1000 \ m \cdot 25 \ km$

$\displaystyle x = 25000 \ m$

$\displaystyle 1 \ h \longrightarrow 60 \ min$

$\displaystyle 1 \ min \longrightarrow 60 \ s$

$\displaystyle 1 \ h = 60 \times 60 \ s = 3600 \ s$

$\displaystyle (1 \ h)^2 = (3600 \ s)^2 = 12960000 \ s^2$

$\displaystyle 1 \ h^2 = 12960000 \ s^2$

Vamos substituir as equações ${25 \ km = 25000 \ m}$ e ${1 \ h^2 = 12960000 \ s^2}$ na expressão inicial:

$\displaystyle 25 \ km/h^2 =\dfrac {25 \ km}{h^2} = \dfrac {25000 \ m}{ 12960000 \ s^2}$

$\displaystyle = \dfrac{25000 \ m}{12960000 \ s^2} =0,0019 \ m/s^2$

Quer dizer que, no SI ${ \dfrac {25 \ km}{h^2} = 0,0019 \ m/s^2}$ .

Exercício 6 Numa partícula actuam 3 forças conforme indica a figura abaixo:

Determine a força resultante sabendo que ${F_1 = 3 \ N, F_2 = 5 \ N, F_3 = 8 \ N \ e \ \alpha = 10^o}$

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 6 .

Para sabermos a força resultante, devemos encontrar as componentes das forças aplicadas nos eixos Ox e Oy. Como as Forças primeiramente devemos traçar as correspondestes das ${F_1}$ e ${F_3}$ são paralelas aos eixos Ox e Oy, respectivamente, elas só têm uma componente não nula, que corresponde ao eixo a que são paralelas. A componente no outro eixo é nula. Para da força ${F_2}$ , devemos projecta-la nos eixos e calcular as componentes para cada eixo (Ox e Oy).

Calculamos as componentes usando as razões trigonométricas:

$\displaystyle F_{2x} = F_2 \sin \alpha \ ; \ F_{2y} = F_2 \cos \alpha$

$\displaystyle F_{2x} = 0,86 \ N \ ; \ F_{2y} = 4,92 \ N$

Vamos agora Fazemos então a soma vectorial das componentes Ox e Oy:

$\displaystyle \vec{F_{Rx}} = \vec{F_1} + \vec{F_{2x}} \ ; \ F_{Rx} = F_1 - F_{2x} = 3 - 0,86 = 2,14 \ N$

$\displaystyle \vec{F_{Ry}} = \vec{F_{2y}} - \vec{F_3} \ ; \ F_{Ry} = F_{2y} - F_3 = 4,92 - 8 = -3,08 \ N$

O módulo força resultante é dada pelo teorema de Pitágoras:

$\displaystyle F_R = \sqrt{F_{Rx}^2 + F_{Ry}^2}$

$\displaystyle F_R = \sqrt{(2,14)^2 + (-3,08)^2} = \sqrt{14,066}$

$\displaystyle F_R = 3,75 \ N \approx 4 \ N$

Exercício 7 Se as componentes da velocidade de um móvel são ${v_x = 10 \ m/s}$ , ${v_y = 5 \ m/s}$ e ${v_z = 2v_x + 3v_y}$ .

Determine: o modulo deste vector velocidade.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 7 .

Dados

${v_x = 10 \ m/s}$

${v_y = 5 \ m/s}$

${v_z = 2v_x + 3v_y}$

${v_z\rightarrow \ ? }$

${|v| \rightarrow \ ? }$

Para determinar o modulo do valor velocidade, primeiramente devemos determinar o valor da coordenada da velocidade em z ( ${v_z}$ ), substituindo o valor das velocidades de ${v_x}$ e ${v_y}$ em ${v_z}$ .

$\displaystyle v_z = 2v_x + 3v_y \Rightarrow v_z = 2 \cdot 10 + 3 \cdot 5$

$\displaystyle v_z = 35 \ m/s$

Neste caso, a velocidade será obtida de modo seguinte:

$\displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} = \sqrt{10^2 + 5^2 + 35^2}$

$\displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{100 + 25 + 1225} = \sqrt{1350}$

$\displaystyle |\vec{v}| = 36,74 \ m/s$

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 2)

07/13/2020 6:30 pm / Deixe um comentário

Exercício 8 .

O gráfico ilustra um MRU. Determine a velocidade média deste movimento?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.

Resolução 8 .

Para o caso de MRU a velocidade média é dada, por definição como sendo:

$\displaystyle v_m = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{x-x_0}{t-t_0} \ \ \ \ \ (6)$

Do gráfico temos os seguintes dados:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ccccccccc} t_0 = 0 \ s : x_0 = 10 \ m \\ t = 5 \ s : x = 40 \ m \\ \end{array}\right.$

Substituindo estes valores em (1):

$\displaystyle v_m =\frac{40 \ m-10 \ m}{5 \ s- 0 \ s}=\frac{30}{5}\times\frac{m}{s}$

$\displaystyle v_m= 6 \ m/s$

Exercício 9 .

A equação de um MRU é:

$\displaystyle x=10+20 \ t \ (SI)$

Determine o deslocamento no intervalo de ${ 4 \ s \leq t \leq 7 \ s }$

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 9 .

Nos casos de MRU sem mudança de direcção, o deslocamento, em módulo é igual a distância percorrida no intervalo ${\Delta t }$ definido.
Para determinarmos o deslocamento, precisamos da posição inicial e final.

No intervalo

$\displaystyle 4 \ s \leq t \leq 7 \$

A posição inicial é obtida da seguinte forma:

$\displaystyle t= 4 \ s \Rightarrow x_0= 10+20 \times t_0=10+20 \times 40$

Obtemos:

$\displaystyle x_0=90 \ m$

A posição final é obtida da seguinte forma:

$\displaystyle t= 7 \ s \Rightarrow x=10+20 \times t=10+20 \times 7$

$\displaystyle x=150 \ m$

O deslocamento é :

$\displaystyle \vert \overrightarrow{\Delta s} \vert= \Delta x=x - x_0 =150 \ m -90 \ m$

$\displaystyle \Delta x = 60 \ m$

Exercício 10 .

Um atleta de corrida percorre ${ 1,5 \ m }$ em cada segundo. Quanto tempo demora fazer um percurso de ${ 10 \ km }$ . .
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 10 .

Dados

${ v= 1.5 \ m/s }$ .

${ \Delta s = 10 \ km= 10.000 \ m }$ .

${\Delta t \rightarrow ? }$

Por definição, no MRU, a velocidade é dada por:

$\displaystyle v= \frac{\Delta s}{\Delta t}$

Isolando o espaço percorrido:

$\displaystyle \Delta t = \frac{\Delta s}{v}$

Substituindo os dados na formula anterior, obtemos:

$\displaystyle \Delta t = \frac{10,000 \ m}{1,5 \ m/s} = 6,66 \times 10^3 \ s \ \ \ \ \ (7)$

Transformando ${ 6,66 \times 10^3 \ s }$ em horas usando a regra de três simples:

$\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ h\rightarrow \rightarrow 3600 \ s \\ x \rightarrow \rightarrow 6,66 \times 10^3 \ s\\ \end{array}$

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

$\displaystyle x \times 3600 \ s= 1 \ h \times6,66 \times 10^3 \ s$

$\displaystyle \Rightarrow x = \frac{1 \ h \times 6,66 \times 10^3 \ s }{3600 \ s}$

$\displaystyle \Rightarrow x = 1,85 \ h$

Logo, o atleta leva ${ 1,85 \ h }$ para percorrer ${ 10 \ km }$ .

Exercício 11 .

A equação horária de um móvel é ${ x = 100+50 \times t }$ . Qual séria a sua equação horária se a posição fosse dada em Km e o tempo em h?..

NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar.

Resolução 11 .

Dados

${ x = 100+50 \times t }$ .

A equação horária, na forma escalar é dada como:

$\displaystyle x= x_0+ v \times t \ \ \ \ \ (8)$

A equação horária do móvel é:

$\displaystyle x= 100+50 \times t \ \ \ \ \ (9)$

Ao comparar-mos ambas equações, obtemos os seguintes dados:

$\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} x_0=100 \ m \\ v=50 \ m/s \\ \end{array}$

Para escrever-mos a equação horária,com a posição dada em Km e o tempo dado em h, devemos transformar ${ x_0 = 100 \ m}$ e ${v =50 \ m/s }$ nas unidades respectivas, usando o sistema (regra) de três simples.

Então temos:

$\displaystyle \begin{array}{ccccccccc} 1 \ km \rightarrow 1000 \ m \\ x_0 \rightarrow 100 \ m \\ \end{array}$

Fazendo a multiplicação cruzada, obtemos:

$\displaystyle x_0 \times 1000 \ m =1 \ km \times 100 \ m$

$\displaystyle \Rightarrow x_0=\frac{1 \ km \times 100 \ m}{1000 \ m} x_0=0.1 \ km$

$\displaystyle 36\ km/h \rightarrow 10 \ m/s$

$\displaystyle v \rightarrow 50 \ m/s$

Logo: ${x_0=0,1 \ km }$ e ${ v=180 \ km/h }$ .

Então:

Substituindo estes valores em na equação horária do MRU, obtemos: ${ x=0.1+180 \times t }$ .

Portanto, para a posição dada em km e tempo em h, temos a equação horária:

$\displaystyle x=0.1+180 \times t$

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1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

07/11/2020 7:59 pm / 3 comentários em 1.2. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais (Parte 3)

— 1. Exercícios sobre Cinemática da Partícula —

— 1.1. Exercícios sobre Movimentos: Generalidade e Movimentos uni-dimensionais —

Exercício 1 Um homem realiza uma viagem de uma cidade para outra, para atender a um compromisso. A distância entre as cidade é de 300 km. O compromisso foi marcado para as 11h15min. O homem planeia conduzir o seu carro a 100 km/h e parte às 8h00 para ter algum tempo de sobra. Ele conduz a velocidade planeada durante os primeiros 100 km, mas, em seguida, um trecho é obrigado a reduzir a velocidade para 40 km/h durante 40 km. Qual é a menor velocidade que ele deve manter no resto da viagem para chegar a tempo?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .

Resolução 1

Trecho a:1º trecho percorrido,na qual ${\triangle x = 100 \ km }$ .

Trecho b: 2º trecho, na qual ${\triangle x = 40 \ km }$ .

Trecho c: trecho restante, na qual ${\triangle x = 160 \ km }$

Para que se calcule a velocidade necessária para percorrer o trecho c é necessário que se conheça o tempo restante. Para isso,devemos determinar os tempos gastos para percorrer a trechos a e b. Consideraremos MRU em todos trechos, pois estamos a usar parâmetros médios.

No trecho a:

$\displaystyle \triangle x_{a} = v_{a}.t_{a}$

Isolando o tempo e calculando:

$\displaystyle t_{a} = \dfrac{\triangle x_{a}}{v_{a}} = 1h$

No trecho b :

$\displaystyle \triangle x_{b} = v_{b}.t_{b}$

Isolando o tempo e calculando:

$\displaystyle t_{b} = \dfrac{\triangle x_{b}}{v_{b}} = 1h$

Como temos tempo em horas e em minutos, temos de reduzir a uma única unidade de tempo. Neste caso, vamos converter 15 minutos em horas.

Sabemos que:

$\displaystyle 1h \longrightarrow 60min$

$\displaystyle x \longrightarrow 15min$

Fazendo a multiplicação cruzada e isolando o ${x}$ , obtemos:

$\displaystyle x = \dfrac{1h.15min}{60min} = 0,25 \ h$

Como o motorista partiu as 8h e tem que chegar as 11h e 15min,ou seja,11,25h,sendo que percorreu o conjunto do techo a e b por 2h, então, restam-lhe apenas 1h e 15min, ou seja 1,25h.

Então, para o trecho c teremos :

$\displaystyle \triangle x_{c} = v_{c}.t_{c} \Rightarrow v_{c} =\dfrac{_{\triangle}x_{c}}{t_{c}} = 128 \ km/h$

Exercício 2 A primeira metade da distância foi percorrida por um móvel com ${v_{1}}$ . Do tempo restante, a primeira metade foi percorrida com a velocidade ${v_{2}}$ e na segunda metade com a velocidade ${v_{3}}$ , sendo que o tempo gasto em percorrer a 1{ª} e a 2{ª} metade, são iguais. Determinar a velocidade média em todo o percurso.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .

Resolução 2 .

Sendo que : ${ t_{2} = \dfrac{t'}{2} \hspace{1cm} e\hspace{1cm} t_{3} = \dfrac{t'}{2}}$ ${\hspace{1cm}}$ onde ${t'}$ é o tempo restante após a 1ª parte e que : ${ \triangle x_{2} = \triangle x_{3}=\dfrac{\triangle x'}{2} =\dfrac{\triangle x}{2}}$

${\triangle x'}$ é o trecho restante após a 1ª parte.

Então: ${ \triangle x_{1} = \triangle x_{2} + \triangle x_3}$ .

Usando a definição de velocidade média para o troço 1, obtemos:

$\displaystyle t_{1} = \dfrac{\triangle x_{1}}{v_{1}} = \dfrac{\triangle x_{2} + \triangle x_{3}}{v_{1}}$

Os deslocamentos dos trechos 2 e 3 são:

$\displaystyle \triangle x_{2} = v_{2}.t_{2}=v_{2}.\dfrac{t}{2}$

$\displaystyle \triangle x_{3} = v_{3}.t_{2}=v_{3}.\dfrac{t}{2}$

Como os trechos 2 e 3 são percorridos durante o mesmo tempo, então a velocidade média é a média aritmética das velocidades. Neste caso, a velocidade média dos trechos 2 e 3 é:

$\displaystyle v_{23} = \dfrac{v_2 + v_3}{2}$

O deslocamento conjunto do trecho 2-3 é igual à primeira metade:

${\triangle x_{23}=\triangle x'=\triangle x_1=\dfrac{\triangle x}{2}}$

A partir da equação da velocidade média para mais de um trecho,teremos :

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{2}+\triangle x_{3}}{t_{1}+t_{2}+t_{3}}$

Neste caso, teremos :

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{\triangle x_{1}+\triangle x_{23}}{t_{1}+t_{23}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+\triangle x_{1}}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_23}{v_{23}}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 . \triangle x_{1}+}{\dfrac{\triangle x_1}{v_1}+\dfrac{\triangle x_1}{v_{23}}}$

Factorizando e simplificando ${\triangle x_{1}}$ , obtemos:

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{1}{v_1}+\dfrac{1}{v_{23}}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 }{\dfrac{v_{23}+v_1}{v_1 . v_{23}}}$

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2. v_1 . v_{23}}{v_{23}+v_1}$

Substituindo ${v_{23}}$ pela formula de velocidade média no troço 2-3, obtemos:

$\displaystyle \Rightarrow v_{m} = \dfrac{2 v_1 . \dfrac{ v_{2}+v_3}{2}}{\dfrac{v_{2}+v_3}{2}+v_1}$

Simplificando as expressões, obtemos:

$\displaystyle v_{m} = \dfrac{2 v_{1}(v_{2}+v_{3})}{2v_{1}+v_{2}+v_{3}}$

Exercício 3 A equação do movimento de uma partícula ao longo do eixo OX é ${x=t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40}$ (no SI). Determine: (a) o instante em que a velocidade se anula; (b) a posição e a distância percorrida pelo ponto material até ao instante em que v=0; (c) a aceleração do ponto material no mesmo instante.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Elementar .

Resolução 3

A posição da partícula é dada por: ${ x \ = \ t^{3}-6 \ t^{2}-15 \ t+40}$
A velocidade é dada por: ${v=\dfrac{dx}{dt} \Rightarrow v \ = \ 3 \ t^{2}-12 \ t-15}$ Portanto,quando a velocidade for nula,teremos as seguintes equações:

$\displaystyle 3 \ t^{2}-12 \ t-15=0$

Simplificando por 3, teremos:

$\displaystyle t^{2}-4 \ t-5=0$

Logo:

$\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} t & = & 5 \ s, \textrm{Correcta}\\ t & = & -1 \ s, \textrm{Incorrecta}\\ \end{array}\right.$
Para obter a posição, substituímos o tempo da função horária pelo valor dado. Neste caso, a posição em ${t=5 \ s}$ é:
$\displaystyle x_{f}=(5)^{3}-6.(5)^{2}-15.(5)+40$

$\displaystyle \Rightarrow x_{f}=-60 \ m$

A posição no instante t=0s é:

$\displaystyle x_{i}=(0)^{3}-6.(0)^{2}-15.(0)+40$

$\displaystyle \Rightarrow x_{i}=40 \ m$

A distância percorrida é dada por :

$\displaystyle \Delta x = |x_{f}-x_{xi}| \Rightarrow \Delta x = |-60-40| \Rightarrow\Delta = 100 \ m$
A aceleração instantânea é dada por:
$\displaystyle a=\dfrac{d^{2} x}{d t^{2}} \Rightarrow a=\dfrac{d{v}}{d{t}}$

Derivando a velocidade se obtém:

$\displaystyle a=6 \ t-12$

Logo, quando ${ t=5 \ s}$ , teremos :

$\displaystyle a=6.(5)-12 \Rightarrow a \ = \ 18 \ m/s^{2}$

Exercício 4 Quando a luz verde de um semáforo acende, um condutor acelera uniformemente o seu veiculo durante 6 s em ${2 \ m/s^{2}}$ . Em seguida ele passa a ter velocidade constante. No instante em que o carro começou a se mover, ele foi ultrapassado por uma motorizada movendo-se no mesmo sentido com a velocidade constante de 10 m/s. Após quanto tempo, os dois veículos encontrar-se-ão novamente?
NÍVEL DE DIFICULDADE: Complexo .

Resolução 4 .

Dados:

${a_{1A}=2 \ m/s^{2}}$

${ t_{1A}= \ 6 \ s = t_{02}}$

${ x_{01A}= \ 0 \ }$

${ v_{0A}=0}$

${ v_B=6 \ s}$

${x_{0B}=0}$

Neste Problema temos dois veículos A e B, mas o veiculo A não tem uma única equação de movimento, visto que inicialmente faz um MRUV, mas sem seguida faz um MRU. Então vamos usar os índices 1 e 2 para distinguir as duas partes do movimento do veiculo A. Para o veiculo B isto não é necessário.A Equação de movimento para o Veiculo A (condutor) :

Na 1ª Parte, em MRUV : ${ x_{1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}}$

Na 2ª parte (após os 6 s de MRUV), começa um MRU : ${x_{2A} = x_{02A}+ v_{02A}.t}$

A equação de movimento para a motorizada (Veiculo B) é a seguinte :

Na 1ª Parte em MRU ${x _{B}=v_{B}.t}$

Na 2ª parte ainda em MRU): ${x_{B}=x_{0B2}+ v_{B}.t}$

Calculando a posição e velocidade dos 2 após os primeiros 6 segundos, obtemos:

Para o veiculo A:

${x_{f1A}=\dfrac{1}{2}at^{2}=\dfrac{1}{2}.(2).(6)^{2}\Rightarrow x_{f1A}=36 \ m}$

${v_{f1A}=v_{01A}+a_1.t \Rightarrow v_{f1A}=0+2.6=12 m/s}$

Para o veiculo B:

${x_{f1B}=x_{01B}+v_{1B}.t \Rightarrow x_{f1B}=0+10.(6)\Rightarrow x_{f1B}=60 \ m}$

Como o veiculo B faz MRU a velocidade é constante, logo: ${v_{f1B}=v_{01B}=10 \ m/s}$

Como podemos observar n figura, após o tempo ${t_1=6 \ s}$ o condutor (A) ainda não alcançou a motorizada (B). Então para determinar a posição de encontro, vamos usar as equações da 2ª parte.

${x_{2A}=x_{02A}+v_{2A}.t \Rightarrow x_{2A}=36+12 \ t}$

${x_{2B}=x_{02B}+v_{2B}.t \Rightarrow x_{2B}=60+10 \ t}$

O encontro ocorre quando: ${x_{2A}=x_{2B}}$

$\displaystyle \Rightarrow 36+12 \ t =60+10 \ t$

Isolando o tempo, obtemos:

$\displaystyle t = 12$

Atenção que este 12 segundos é após o inicio da 2ª Parte (pois reiniciamos a analise dos movimentos no final da 1ª Parte). Considerando então os ${6 \ s}$ de duração da primeira parte, temos:

$\displaystyle t = \ 12+6 =18 \ s$

Exercício 5 Partindo do repouso, um veiculo mantém uma aceleração de ${4 \ m/s^{2}}$ durante ${4 \ s}$ . Nos ${10 \ s}$ seguintes ele tem um movimento rectilíneo uniforme. para travar, o veiculo passa a ter um movimento uniformemente retardado com aceleração de ${8 \ m/s^{2}}$ , até parar. Fazer um gráfico da velocidade em função do tempo e mostrar que a área limitada pela curva e pelo eixo dos tempos é igual a distância total percorrida.
NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular .

Resolução 5

Dados:

${x_{01}=0}$

${v_{01}=0 \ m/s}$

${a_{1}=4 \ m/s^{2}}$

${t_{1}=4 \ s }$

${x_{02}=x_{f2} \longrightarrow ?}$

${v_{2}=v_{f1} \longrightarrow ?}$

${t_{2}= 10 \ s}$

${x_{03}=x_{f2} \longrightarrow ?}$

${v_{03}=v_{f2}}$

${a_{3}=8 \ m/s^{2}}$

${t_{3} \longrightarrow ?}$

Para este problema, temos de calcular a velocidade em cada um dos trechos e os respectivos tempos. é um movimento dividido em 3 partes. UM MRUV (acelerado), um MRU e um MRUV (Retardado).

A partir da equação das velocidades, para a 1ª parte,teremos:

$\displaystyle v_{f1}=v_{01} + a_1.t_1=0+4.4=16$

…para a 2ª etapa: ${a=0}$ (M.R.U):

$\displaystyle \Rightarrow v_{f2}=v_{02}=v_{f1} \Rightarrow v_{f2}=16 \ m/s$

…para a 3ª etapa :

$\displaystyle v_{f3}=0$

Como conhecemos o tempo da 1ª e da 2ª parte, para completarmos o gráfico, precisamos obter o tempo da 3ª parte. Neste caso, usando a equação da velocidade, teremos:

$\displaystyle v_{f3}=v_{03} - a_{3} . t_{3}\Rightarrow 0=v_{f_{2}} - a_{3} . t_{3} \Rightarrow t_{3}=\dfrac{v_{03}}{a_{3}}=2 \ s$

Com os dados obtidos marcamos os 4 pontos no gráfico de ${v=f(t)}$ e traçamos as rectas que unem os pontos:

${(t_{01};v_{01})=(0;0)}$

${(t_{02};v_{02})=(4;16)}$

${(t_{03};v_{03})=(14;16)}$

${(t_{f1};v_{f1})=(16;0)}$

Vamos então calcular a áreas do gráfico.

A primeira região é um triângulo. Neste caso:

${ A_{1}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.4.16 }$

${A_{1}=32 \ m}$

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

${A_{2}=l.h=10.16=160 \ m}$

A primeira região é um rectângulo. Neste caso:

${A_{3}=\dfrac{1}{2}.l.h=\dfrac{1}{2}.16}$

${A_{3}=16 \ m}$

Neste caso: ${A_{Total}=A_{1}+A_2+A_3=208 \ m}$

Calculando os deslocamentos de cada parte, temos:

${\Delta x_{1}=\dfrac{1}{2}a_{1}{t_1}^{2}=\dfrac{1}{2}.4.(4)^{2}}$

${\Delta x_{1}=32 \ m}$

${ \Delta x_{2}=v_2.t_2=16.(10)}$

${\Delta x_{2}=160 \ m}$

${ \Delta x_{3}=v_{03}.t-\dfrac{1}{2} a_3 t^{2}}$

${ \Delta x_{3}=16.(2)-\dfrac{1}{2}.8.(2)^{2}=16 \ m}$

${ \Delta x_{Total}=\Delta x_{1}+\Delta x_{2} + \Delta x_{3} = 208 \ m}$

Logo a área total ${A_{Total}=208 \ m}$ é igual á distancia total ${ \Delta x_{Total}=208 \ m"}$

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