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Variáveis mudas

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O conceito de variável muda, ou variável ligada, aparece muitas vezes em matemática e a sua compreensão revela-se muito útil para o estudante. Basicamente dizer que uma variável é ligada significa dizer que o símbolo que estamos a utilizar não importa realmente. O que importa é o contexto em que ele está a ser utilizado. Por exemplo, nos seguintes somatórios {\displaystyle \sum_ {i = 0} ^ {5} 1 }, {\displaystyle \sum_ {j = 0} ^ {5} 1 } o índice de soma é uma variável muda. O resultado da soma é o mesmo, independentemente do facto de utilizarmos { i }, ou { k }, ou qualquer outro símbolo.

Mas será que todos as variáveis são mudas? Não, não são. Por exemplo, em {\displaystyle \sum_ {j = 0} ^ {l} 1 } a variável { l } não é muda, uma vez que alterações ao seu valor fazem com que o resultado da soma varie. Neste caso {l} diz-se uma variável livre.

Dito isto, vamos olhar para uma demonstração simples onde algumas pessoas que não estejam habituadas a este tipo de raciocínio podem ficar confusas por não estarem acostumadas a pensar nestes termos. O exercício em questão é a demonstração de que o valor do integral de uma função ímpar calculado entre limites simétricos é nulo.

Uma função, {f(x)}, diz-se ímpar quando { f (-x) = - f (x) }. E no contexto da nossa afirmação vamos calcular

\displaystyle \displaystyle \int _ {- a} ^ {a} f \left (x \right) dx

Para integrais sabemos que a propriedade aditiva é válida

\displaystyle \displaystyle \int _ {- a} ^ {a} f \left (x \right) dx = \displaystyle \int _ {- a} ^ {0} f \left (x \right) dx + \displaystyle \int_ { 0} ^ {a} f (x) dx

Vamos analisar o primeiro termo do lado direito da igualdade:

\displaystyle \displaystyle \int _ {- a} ^ {0} f \left (x \right) dx

Seja { t = -x }, então { dt = -dx }. Além disso:

{\begin{aligned} \displaystyle \int _ {- a} ^ {0} f \left (x \right) dx &= \displaystyle \int_ {a} ^ {0} f \left (-t \right) \left (-dt \right)\\ &=- \displaystyle \int_ {a} ^ {0} f \left (-t \right) dt\\ &=\displaystyle \int_ {0} ^ {a} f \left (-t \right) dt \end{aligned}}

Para uma função ímpar é válido { f (-t) = - f (t) } e assim é

\displaystyle \displaystyle \int_ {0} ^ {a} f \left (-t \right) dt = - \displaystyle \int_ {0} ^ {a} f \left (t \right) dt

Vamos agora parar para pensar. Será que {t} é uma variável muda no contexto deste integral? Se nós substituirmos { t } por outro símbolo qualquer será que o valor do integral varia? Uma vez que o valor de um integral depende da função integranda e dos limites de integração e não do símbolo particular que utilizamos para representar a função, é patente que ao mudar o símbolo {t} por outro qualquer o valor do integral não sofrerá qualquer alteração. Visto que o valor do integral não varia, então { t } é de facto uma variável muda. Por outro lado, o valor do integral depende de {a} e como tal {a} é uma variável livre. Assim, podemos, por exemplo, fazer uma mudança de variável { x=t }.

Para quem não está habituado a este tipo de raciocínios o passo anterior terá forçosamente que ser confuso! Primeiro dissemos que { t = -x } e agora dizemos que { t = x }. Então o que é que vai ser?!

Ambas as opções são mutuamente exclusivas (excepto no caso trivial em que { t = x = 0 }) e assim sendo precisamos de uma resolução.

A resolução é o facto de, na segunda igualdade, nós estarmos a fazer a simples afirmação de que para efeitos do cálculo dos integrais o que importa é a definição da função integranda (dito de outra forma o que interessa é a função) e os limites de integração. Então o que nós fizemos foi só mudar o símbolo que utilizamos para denotar o argumento da nossa função (não a função em si) e os limites de integração permaneceram os mesmos.

Levando isso em conta, o resultado é

\displaystyle  - \displaystyle \int_ {0} ^ {a} f \left (t \right) = - \displaystyle \int_ {0} ^ {a} f \left (x \right) dx

e isso nos leva a:

\displaystyle \displaystyle \int _ {- a} ^ {a} f \left (x \right) dx = - \displaystyle \int_ {0} ^ {a} f \left (x \right) dx + \displaystyle \int_ { 0} ^ {a} f \left (x \right) dx = 0

Que é o resultado esperado.

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2 comentários

  1. […] Onde segue da normalização de (e uma translacção não altura a natureza de um integral) e uma vez que é uma função ímpar. […]

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  2. […] Para entender porque veja o artigo variáveis mudas […]

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