Início » 04 Ensino Superior » 01 Matemática » Topologia – Introdução II

Topologia – Introdução II

— 1.1. Bolas Abertas e Fechadas —

Definição 2 Dado ${x\in X}$ e ${r>0}$ . Definimos os seguintes conceitos:

(Bola aberta) ${B(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\}}$ .
(Bola fechada) ${\overline{B}(x,r)=\{y\in X:d(x,y)\leq r\}}$
(Esfera) ${S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}}$

Exemplo 4 Se, na definição tomarmos ${X=\mathbb{R}}$ , então as bolas abertas (resp. fechadas) serão basicamente intervalos abertos (resp. fechados), i.e., ${B(x,r)=(x-r,x+r)}$ e ${\overline{B}(x,r)=[x-r,x+r]}$ . Se ${x=0}$ e ${r=1}$ , então ${B(0,1)=(-1,1)}$ , ${\overline{B}(0,1)=[-1,1]}$ .

Comentário 2 É enganoso pensarmos, conforme aconselha o Kreyszig, que as bolas(abertas ou fechadas) em espaços métricos arbitrários não euclidianos possuem as mesmas propriedades que as bolas ou esferas em ${\mathbb{R}^{3}}$ . Por exemplo, nos espaços métricos que surgem a partir da métrica discreta, espaços discretos, uma esfera pode ser vazia, i.e., ${S(x,r)=\{y\in X:d(x,y)=r\}=\emptyset }$ , para isso, basta tomarmos ${r\neq1}$ .

— 1.1.1. Propriedades das Bolas Abertas —

Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, então:

Proposição 1 Dadas duas bolas abertas ${B(x,r_{1})}$ e ${B(x,r_{2})}$ , então :

$\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})$

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja ${y\in B(x,r_{1})}$ então

$\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}$

logo, ${y\in B(x,r_{2})}$ . $\Box$

Proposição 2 Seja ${y}$ um ponto em ${(X,d)}$ tal que ${y\in B(x,r)}$ , então existe uma bola ${B(y,r_{1})}$ ( ${r_{1}>0}$ ), tal que

$\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)$

Demonstração: Seja ${y\in B(x,r)}$ , se tomarmos ${r_{1}=r-d(x,y)}$ teremos:

$\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.$

$\Box$

— 1.1.2. Propriedades das Bolas Abertas —

Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, então:

Proposição 3 Dadas duas bolas abertas ${B(x,r_{1})}$ e ${B(x,r_{2})}$ , então :

$\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})$

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja ${y\in B(x,r_{1})}$ então

$\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}$

logo, ${y\in B(x,r_{2})}$ . $\Box$

Proposição 4 Seja ${y}$ um ponto em ${(X,d)}$ tal que ${y\in B(x,r)}$ , então existe uma bola ${B(y,r_{1})}$ ( ${r_{1}>0}$ ), tal que

$\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)$

Demonstração: Seja ${y\in B(x,r)}$ , se tomarmos ${r_{1}=r-d(x,y)}$ teremos:

$\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.$

$\Box$

— 1.1.3. Propriedades das Bolas Abertas —

Seja ${(X,d)}$ um espaço métrico, então:

Proposição 5 Dadas duas bolas abertas ${B(x,r_{1})}$ e ${B(x,r_{2})}$ , então :

$\displaystyle r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow B(x,r_{1})\subset B(x,r_{2})$

Demonstração: A demonstração desse facto é bastante simples. Seja ${y\in B(x,r_{1})}$ então

$\displaystyle d(x,y)<r_{1}\leq r_{2}\Longrightarrow d(x,y)<r_{2}$

logo, ${y\in B(x,r_{2})}$ . $\Box$

Proposição 6 Seja ${y}$ um ponto em ${(X,d)}$ tal que ${y\in B(x,r)}$ , então existe uma bola ${B(y,r_{1})}$ ( ${r_{1}>0}$ ), tal que

$\displaystyle B(y,r_{1})\subset B(x,r)$

Demonstração: Seja ${y\in B(x,r)}$ , se tomarmos ${r_{1}=r-d(x,y)}$ teremos:

$\displaystyle z\in B(y,r_{1})\Longrightarrow d(z,x)\leq d(z,y)+d(y,x)<r_{1}+d(y,x)=r.$

$\Box$

Proposição 7 Sejam ${B(x,r_{1})}$ e ${B(y,r_{2})}$ , tais que ${B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})\neq \emptyset}$ . Se ${a\in B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}$ , então existe uma bola aberta de centro ${a}$ contida na intersecção ${B(x,r_{1})\cap B(y,r_{2})}$ .