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Cálculo I – Introdução às Séries Numéricas

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— 8. Introdução às Séries Numéricas —

Tomemos os termos de uma sucessão {u_n} onde {n \geq p} para um certo {p}. Ou seja temos {u_p}, {u_{p+1}}, , {u_{p+2}}, …, , {u_n},…

Uma questão que podemos colocar de forma bastante natural é qual é o resultado da soma destes termos:

\displaystyle u_p+ u_{p+1}+ u_{p+2}+ \cdots + u_n+ \cdots =\sum_{n=p}^{+\infty} u_n

A soma que contém um número infinito de termos acima definida tem o nome de: série de termo geral {u_n}.

Seja {m \geq p}.

{\displaystyle \sum_{n=p}^m u_n = u_p+ u_{p+1}+\cdots + u_m}

Tomando o limite

\displaystyle \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n

podemos definir de forma matematicamente rigorosa o valor da soma da série.

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n =\lim_{m \rightarrow +\infty} \sum_{n=p}^m u_n

Podemos ainda definir a sucessão das somas parciais de uma série, {S_m}

\displaystyle S_m=\sum_{n=p}^m u_n

e escrever

\displaystyle \sum_{n=p}^{+\infty} u_n =\lim_{m \rightarrow +\infty} S_m

Dizemos que a série converge se e só se {S_m} é convergente.

Após estas definições iniciais referentes à séries numéricas vamos olhar para um dos paradoxos de Zenão como motivação para a introdução da teoria das séries numéricas.

Imaginemos que temos um corpo que vai percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade constante de {1 m/s}.

Se alguém nos perguntar qual será o intervalo de tempo necessário para percorrer uma distância de 2 metros tendo uma velocidade de 1 {m/s} não precisamos de ser grandes físicos para responder que o tempo total será de 2 segundos.

No entanto sabemos que o corpo em questão antes de percorrer a totalidade do seu percurso terá que percorrer antes de mais a sua metade. E antes de percorrera metade terá que percorrer a metade da metade. E assim sucessivamente. A expressão que permitirá expressar a soma dos intervalos de tempo referentes às distâncias parciais face à distância total é:

\displaystyle T=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^n}+\cdots

Na altura em que este paradoxo foi proposto a teoria matemática não era tão avançada como é hoje em dia e questão de qual seria o resultado desta soma era também uma questão de debate filosófico.

Assim sendo a resposta a esta questão tinha duas possibilidades.

Por um lado, Zenão argumenta que o resultado da soma {\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}\frac{1}{2^n}} era infinito pois estávamos a somar um número infinito de parcelas que são sempre maior do que {0}, e por outro lado toda a gente sabia que do ponto de vista experimental a resposta deveria ser {2 \, s}.

É precisamente esta tensão entre as duas respostas que dá o nome a este argumento de um paradoxo. Por um lado nós sabemos qual é a resposta correcta, mas não somos capazes de providenciar um argumento que a justifique de uma forma matematicamente rigorosa.

Definição 49 Uma série geométrica de razão {r} é definida através da seguinte expressão:

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n \ \ \ \ \ (73)

Para as series geométricas é válido o seguinte:

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n &= \lim_{m \rightarrow \infty} \sum_{n=0}^m r^n \\ &= \lim_{m \rightarrow \infty} \dfrac{1- r^{m+1}}{1-r} \end{aligned}}

Se {|r|<1} vem que {r^{m+1}\rightarrow 0} quando {m \rightarrow +\infty}.

Assim vem que

\displaystyle \lim_{m \rightarrow \infty} \frac{1- r^{m+1}}{1-r}= \frac{1}{1-r}

Assim podemos escrever com todo o rigor matemático

\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} r^n= \frac{1}{1-r}

Caso se tenha {|r|>1} a série diverge.

Voltando então ao paradoxo de Zenão e utilizando este simples resultado derivado por nós vem que:

{\begin{aligned} \displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty}\dfrac{1}{2^n} &= \left(\dfrac{1}{2} \right)^n \\ &= \dfrac{1}{1-1/2}\\ &= \dfrac{1}{1/2} \\ &=2 \end{aligned}}

Que é a resposta que nós sabemos estar correcta!

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