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Aplicação das equações diferenciais de primeira ordem.Misturas

— 3.5. Misturas —

Fazer uma mistura é um procedimento extremamente rotineiro em nossas vidas. Com certeza, todos nós já fizemos uma ou várias. Uma mistura é constituída por duas ou mais substâncias, sejam elas simples ou compostas. As proporções entre os constituintes de uma mistura podem ser alterados por processos químicos, como a destilação. Todas as substâncias que compartilham um mesmo sistema, portanto, constituem uma mistura. Não se pode, entretanto, confundir misturar com dissolver. Água e óleo, por exemplo, misturam-se mas não se dissolvem. Isso torna o sistema água ${+}$ óleo uma mistura, não uma solução.

Figura 1:Mistura da água e o óleo

A mistura de dois fluidos algumas vezes dá origem a uma equação diferencial de primeira ordem.Nos problemas de misturas se deseja calcular a quantidade de uma substancia ${Q(t)}$ que há em um recipiente em qualquer instante ${t}$ .

Vamos supor que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial de ${V_{0}}$ litros e ${Q_{0}}$ gramas de sal e que uma solução salina seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de ${q_{e}}$ litros por minuto possuindo uma concentração de ${C_{e}}$ gramas de sal por litro.Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de ${q_{s}}$ litros por minuto.

A taxa de variação da quantidade de sal no tanque é igual a taxa com que entra sal no tanque menos a taxa com que sai sal no tanque.

$\displaystyle \dfrac{dQ}{dt}={Taxa \quad de \quad entrada \choose de \quad sal}-{Taxa \quad de \quad saida \choose de \quad sal}$

$\displaystyle \dfrac{dQ}{dt}=R_{e}-R_{s} \ \ \ \ \ (1)$

A taxa com que entra sal no tanque é igual a taxa com que entra a mistura, ${q_{e}}$ , vezes a concentração de entrada, ${C_{e}}$ , ou seja:

$\displaystyle R_{e}=q_{e}\cdot C_{e} \ \ \ \ \ (2)$

E a taxa com que sai sal do tanque é igual a taxa com que sai a mistura do tanque, ${q_{s}}$ , vezes a concentração de sal que sai do tanque, ${C_{s}}$ ,ou seja:

$\displaystyle R_{s}=q_{s}\cdot C_{s} \ \ \ \ \ (3)$

Como a solução é bem misturada a concentração de sal que sai do tanque, ${C_{s}}$ , é igual a concentração de sal no tanque, isto é:

$\displaystyle C_{s}=\dfrac{Q}{V} \ \ \ \ \ (4)$

onde ${V}$ é o volume no tanque.

Como o volume no tanque, ${V}$ , é igual ao volume inicial, ${V_{0}}$ , somado ao volume que entra no tanque menos o volume que sai do tanque, então:

$\displaystyle V=V_{0}+(\vartriangle q)t \ \ \ \ \ (5)$

onde ${\vartriangle q=q_{e}-q_{s}}$

Assim, a quantidade de sal no tanque, ${Q}$ , é a solução do problema de valor inicial

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{dQ}{dt}=q_{e}C_{e}-q_{s}\dfrac{Q}{V_{0}+(\vartriangle q)t}\\ Q(0)=Q_{0} \end{array}\right. \ \ \ \ \ (6)$

Distingue-se os seguintes casos particulares:

${q_{e}=q_{s}}$ . O volume é constante
${q_{e}>q_{s}}$ . O volume aumenta
${q_{e}<q_{s}}$ . O volume diminui

Figura 2:Tanque com uma mistura

Exemplo 1 Em certo tanque ha ${180}$ litros de solução salina que contem 10Kg de sal.Despeja-se água no tanque com uma velocidade de ${4}$ litros por minuto e sai a mistura com velocidade de ${3}$ litros por minuto .A concentração se mantém homogénea.Achar a quantidade de sal depois de meia hora.

Solução:O exemplo nos fornece os seguintes dados

Volume inicial: ${V_{0}=180l}$
Quantidade de sal: ${Q_{0}=10Kg}$
Velocidade da agua ao entrar: ${q_{e}=4l/min}$
Velocidade da agua ao sair: ${q_{s}=3l/min}$
concentração de sal no inicio: ${C_{e}=0}$ .A água entra sem sal

Se ${Q}$ é a quantidade de sal no tanque em um dado momento.O volume de solução salina em qualquer momento é

$\displaystyle V=V_{0}+(q_{e}-q_{s})t$

a concentração de sal é:

$\displaystyle C=\dfrac{Q}{V}=\dfrac{Q}{V_{0}+(q_{e}-q_{s})t}$

a quantidade de sal no tanque, ${Q(t)}$ , é a solução do problema de valor inicial

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{dQ}{dt}=-q_{s}\dfrac{Q}{V_{0}+(q_{e}-q_{s})t}\\ Q(0)=Q_{0} \end{array}\right. \ \ \ \ \ (7)$

$\displaystyle \left\{\begin{array}{ll} \dfrac{dQ}{dt}=-3\dfrac{Q}{180+(4-3)t}\\ Q(0)=10 \end{array}\right. \ \ \ \ \ (8)$

A equação ${(8) }$ é linear e pode ser escrita como

$\displaystyle \dfrac{dQ}{dt}+3\dfrac{Q}{180+t}=0 \ \ \ \ \ (9)$

Um fator integrante é neste caso

$\displaystyle \mu (t)=e^{\int \frac{3}{180+t}}dt=e^{3\ln(180+t)}=(180+t)^{3}$

multiplicando a equação ${(9)}$ por ${\mu (t)}$ obtemos:

$\displaystyle (180+t)^{3}\dfrac{dQ}{dt}+3Q(180+t)^{2}=0 \Rightarrow \dfrac{d}{dt}\left[(180+t)^{3}Q\right]=0$

Integrando-se obtemos:

$\displaystyle (180+t)^{3}Q=c$

ou seja,

$\displaystyle Q=\dfrac{c}{(180+t)^{3}}$

substituindo ${t=0}$ e ${Q=10 \Rightarrow c=58\cdot32\times 10^{6}}$

substituindo o valor de ${c}$ encontrado temos:

$\displaystyle Q=\dfrac{58\cdot32\times 10^{6}}{(180+t)^{3}}$

para ${t=30}$ , a quantidade de sal depois de meia hora será:

$\displaystyle Q(30)=6.3 kg$

Exemplo 2 Um tanque com a capacidade de ${400}$ litros contem inicialmente ${200}$ litros de uma mistura de sal e agua (salmoura) com ${30}$ gramas de sal dissolvidos.Despeja-se uma solução com ${1}$ grama de sal por litro a uma taxa de ${4}$ litros por minuto; a mistura se mantém uniforme mediante a agitação e do sal a uma taxa de ${2}$ litros por minuto.Calcule a quantidade de gramas de sal no tanque no momento em que começa a transbordar.

Solução: o exemplo nos fornece os seguintes dados:

Volume no tanque: ${V=400l}$
Volume inicial: ${V_{0}=200l}$
Quantidade de sal dissolvido: ${Q_{0}=30gr}$
Concentração de sal que entra: ${C_{e}=1gr/l}$
Velocidade da solução ao entrar:; ${q_{e}=4l/min}$
Velocidade da mistura ao sair: ${q_{s}=2l/min;}$

o objetivo é achar ${Q(t_{f})}$ onde ${t_{f}}$ é o tempo que o tanque leva para encher.Mas primeiro vamos achar a quantidade de sal (em gramas) ${Q(t)}$ no tanque em qualquer instante ${t}$ antes de transbordar.A taxa de variação ${Q(t)}$ é: