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1.3. Exercícios sobre Polarização da Luz (Parte 1)

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— 1.3. Exercícios sobre Polarização da Luz —

Exercício 7 Duas películas polarizadas tem seus eixos de transmissão cruzados de tal forma que nenhuma luz é transmitida. Uma terceira película inserida entre elas com seu eixo de transmissão fazendo um ângulo de {45^o} em relação a cada um dos eixos. A combinação é mostrada na figura ao lado.Suponha que cada película ideal. Encontre a fracção da luz que é transmitida pelo sistema.

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.
Resolução 7 .

Neste problema, analisamos a passagem da luz em filtros polarizadores. Esta passagem obedece a lei de Malus. A luz passa por um polarizador, e em por outros dois polarizadores (chamamos {P_1}, {P_2} e {P_3}). Incide luz natural em {P_1}. Após a passagem neste polarizador, já teremos luz linearmente polarizada, na direcção vertical. Em seguida, essa luz linearmente polarizada incide num segundo polarizador ({P_2}). Ao passar por este polarizador, a luz transmitida tem intensidade que obedece a lei de Malus, e portanto, é proporcional ao ângulo entre estes dois polarizadores (ou entre a direcção de polarização da luz incidente e o eixo do polarizador em questão). No terceiro polarizador, acontece o mesmo.

Dados

{\theta_{1} \ = \ 0^{o}}

{\theta_{2} \ = \ 45^{o}}

{\theta_{3} \ = \ 90^{o}}

{\dfrac{I_{f}}{I_0} \ - \ ?}

Utilizamos a lei de Malus e os conhecimentos de geometria, podemos determinar a fracção da Luz transmitida pelo sistema. O polarizado {P_{1} \ } está colocado a {0^{o}} com as componentes paralelas da Luz, então Depois deste polarizadores só passa as componentes paralelas da Luz, ou seja {50 \%} da intensidade da Luz.

Então, a intensidade após o primeiro polarizador será:

\displaystyle I_{1} \ = \ 0,5 \cdot I_{0}

A intensidade da Luz depois do polarizador {P_{2}} é determinado pela lei de Malus.

Conforme vimos pelo gráfico, o ângulo entre {P_{1}} e {P_{2}} é:

\displaystyle \theta_{12}= |\theta_{1}-\theta_{2}|

Neste caso, a intensidade após o segundo polarizador será:

\displaystyle I_{2} \ = \ I_{1} \cdot cos^{2} \ (\theta_{12})

\displaystyle \Rightarrow I_{2} \ = \ I_{1} \cdot cos^{2} \ (\theta_{2} \ - \ \theta_{1})

Obs: Não se usou o modulo pois a função cosseno é par.

Por fim a intensidade da Luz depois do terceiro polarizador e que Por conseguinte será a intensidade da Luz transmitida pelo sistema, também é determinado pela Lei Malus.

De acordo com a figura, ângulo formado entre {P_{2}} e {P_{3}} é:

\displaystyle \theta_{23}= |\theta_{2}-\theta_{3}|

Deste modo, a intensidade após o terceiro polarizador será:

\displaystyle I_{3} \ = \ I_{f} \ = \ I_{2} \cdot cos^{2} \ (\theta_{23} )

\displaystyle \Rightarrow I_{3} \ = \ I_{f} \ = \ I_{2} \cdot cos^{2} \ (\theta_{3} \ - \ \theta_{2})

Neste caso, a passagem de luz pelo sistema é definida pelas seguintes equações:

\displaystyle \left\{\begin{array}{cccccc} I_{1} \ = \ 0,5 \ (I_{0})\\ I_{2} \ = \ I_{1} \cdot cos^{2} \ (\theta_{2} \ - \ \theta_{1})\\ I_{3} \ = \ I_{2} \cdot cos^{2} \ (\theta_{3} \ - \ \theta_{2})\\ \end{array}\right.

Substituindo as equações 1 na equação 2 e sem seguida substituindo a equação 2 na equação 3, obtemos:

\displaystyle I_{3} \ = \ I_{f} \ = \ I_{2} \ cos^{2} \ (\theta_{3} \ - \ \theta_{2})

\displaystyle \Rightarrow I_{f} \ = \ [I_{1} \ cos^{2} \ (\theta_{2} \ - \ \theta_{1})] \ cos^{2} \ (\theta_{3} \ - \ \theta_{2})

\displaystyle \Rightarrow I_{f} \ = \ 0,5 \ I_{0} \ cos^{2} \ (\theta_{2} \ - \ \theta_{1}) \ cos^{2} \ (\theta_{3} \ - \ \theta_{2})

\displaystyle \Rightarrow I_{f} \ = \ 0,5 \ I_{0} \ [cos \ (\theta_{2} \ - \ \theta_{1}) \ cos^{2} \ (\theta_{3} \ - \ \theta_{2})]^{2}

\displaystyle \Rightarrow I_{f} \ = \ 0,5 \ I_{0} \ [cos \ (45^{o} \ - \ 0^{o})] \ cos \ (90^{o} \ - \ 45^{o})]^{2}

\displaystyle \Rightarrow I_{f} \ = \ 0,5 \ I_{0} \ [cos \ (45^{o} \ - \ 0^{o})] \ cos \ (90^{o} \ - \ 45^{o})]^{2}

\displaystyle \Rightarrow I_{f} \ = \ 0,5 \ I_{0} \ (cos \ 45^{o} \ . \ cos \ 45^{o})^{2}

\displaystyle \Rightarrow I_{f} \ = \ 0,5 \ I_{0} \ (cos^2 \ 45^{o} \ )^{2}

\displaystyle \Rightarrow I_{f} \ = \ 0,5 \ I_{0} \ (cos \ 45^{o})^{4}

\displaystyle \Rightarrow I_{f} \ = \ 125 \cdot I_{o}

Então, passando {I_0} para o membro esquerdo da equação acima, obtemos:

\displaystyle \dfrac{I_{f}}{I_{o}} \ = \ 0,125=\dfrac{1}{8}

A fracção da intensidade da Luz transmitida pelo sistema é de {\dfrac{1}{8}} ({12,5 \ \% }).
Exercício 8 Um feixe de luz não polarizada incide sobre duas placas polarizadas super expostas. Qual deverá ser ângulo entre os eixos dos polarizadores para que intensidade do feixe transmitido seja um terço da intensidade do feixe incidente?

NÍVEL DE DIFICULDADE: Regular.
Resolução 8

O problema tem a ver com o fenómeno de polarização da Luz. A luz passa por duas placas polarizadas, que formam um certo ângulo. A condição de calculo é que intensidade da luz após passar as placas seja um terço da intensidade da luz antes de passar as placas.

Neste caso, é-nos dada uma relação de forma indirecta: a razão entre a intensidade da luz depois dos polarizadores e a intensidade inicial.

Dados

{\dfrac{I_{2}}{I_{0}} \ = \ \dfrac{1}{3} }

Considerarmos {I_{0}} a intensidade da luz incidida ao primeiro polarizador, {I_{1}} A intensidade da luz que emerge do primeiro polarizador e incide no segundo polarizador e e {I_{2}} a intensidade da luz que emerge do segundo polarizador.

De acordo com o funcionamento dos filtros polarizadores ideais, quando a luz natural incide nele, é transmitida apenas {50 \% } da sua intensidade. Então, teremos:

\displaystyle I_{1} \ = \ \dfrac{1}{2} \ I_{0}

Pela lei de Malus sabe-se que :

\displaystyle I_{2} \ = \ I_{1} \cdot cos^{2} \alpha

Substituindo {I_2} pela relação anterior de {I_{1}}, teremos:

\displaystyle I_{2} \ = \dfrac{1}{2} \cdot I_{0}\cdot cos^{2} \alpha

Passando o {I_0} para o membro esquerdo, obtemos:

\displaystyle \dfrac{I_{2}}{I_0} \ = \dfrac{1}{2} \cdot cos^{2} \alpha

Então:

\displaystyle cos^2 \alpha \ = 2 \cdot \dfrac{I_{2}}{I_{1}}

\displaystyle \Rightarrow cos \alpha \ = \sqrt{2 \cdot \dfrac{I_{2}}{I_{1}}}

\displaystyle \Rightarrow cos \alpha \ = \sqrt{2 \cdot \dfrac{1}{3}}

\displaystyle \Rightarrow cos \alpha \ = \sqrt{\dfrac{2}{3}}

Nota: Antes da raiz, deveria ter sinal {\pm }, porém, como estamos apenas interessados na amplitude do ângulo, desprezamos o sinal negativo.

Insolando {\alpha}, obtemos:

\displaystyle \alpha \ = \ arccos \left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\right)

\displaystyle \Rightarrow \alpha \ \approx 35,3^o

O ângulo entre as direcções de polarização das Placas para que a intensidade do feixe transmitido seja um terço do feixe incidido, deve ser de {35^{o}}.

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1 Comentário

  1. jonathankimbembi diz:
    08/05/2020 às 11:49 pm

    Com estes exercícios, me sinto agora capaz de resolver exercícios do gênero. Mas eu gosto mais a Polarização por Reflexão.

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