1.
a) Para a sequência mostre que existe uma ordem
onde
é válido.
Uma vez que vem que
Tomando Temos o resultado pretendido.
b) Mostre por definição que
Pela definição de limite e usando a), temos
Fazendo
a diferença entre e
é sempre menor do que
.
2. Mostre que
Na maior parte dos casos é mais fácil mostrar que o módulo da sequência tende para . Com esta proposição podemos ver que as proposições são equivalentes e como tal podemos evitar cálculos longos e aborrecidos.
Diz-se que sse
Assim sse
Com as proposições
e
são de facto equivalentes.
3. Calcule
Este limite que estamos interessados em calcular pode ser visto como onde
e
.
Sabemos que e
.
O que estamos a tentar determinar é quão rápido estas sucessões divergem. Se o valor do limite é então
diverge ligeiramente mais depressa, se for
então é
que diverge ligeiramente mais depressa.
No caso de vemos que uma das sequências diverge muito mais rápido que a outra.
Vamos então calcular:
O que quer dizer que as sucessões divergem com essencialmente a mesma velocidade.
4. Calcule
5. Calcule .
Vamos escrever alguns termos desta soma para podermos ganhar alguma intuição sobre o que está a acontecer:
Ou seja, fazendo o que nós obtemos é cada vez mais termos para somar, mas os valores destes termos tornam-se cada vez menores.
O valor deste limite dir-nos-á qual destes efeitos contraditórios é mais forte.
Uma vez que estamos a somar cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos
Mas também é
Assim
com
Logo .
Em conclusão o facto dos valores dos termos serem sucessivamente menores é mais importante para o valor do limite do que o facto do número de termos aumentar indefinidamente.
6. Calcule
Uma situação semelhante à encontrada no exercício anterior
Uma vez que estamos a somar cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos
Mas também é
Logo .
Uma vez que
e
vem que
Desta vez o facto de termos um número infinito de termos para adicionar é mais relevante para o valor do limite do que o facto das fracções estarem a tender para . Tal resultado advém desta vez termos raízes quadradas no denominador das fracções.
7. Calcule
Visualmente:
com termos.
com termos.
Então
então também é
De onde podemos concluir que tende para infinito mais rápido do que
8. Dê exemplo de sucessões que
a) e
:
e
b) e
:
e
c) e
:
e
d) e
:
não existe.
e
e) e
:
e
f) e
:
e
g) e
:
e
h) e
:
não existe.
e
[…] Para a segunda parte vamos calcular antes uma vez que sabemos que pelo artigo Análise Matemática ? Exercícios II […]
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