Análise Funcional – Aula I

Introdução à Análise Funcional

A Análise Funcional é um ramo da Matemática abstracta que é basicamente uma junção de Teória da Medida e Integração, Topologia e Álgebra Linear em espaços de dimensão infinita. Ela originou-se a partir de trabalhos em equacções diferenciais Parciais, Equações Integrais e da necessidade de se dar um tratamento mais rigoroso ao estudo dos espaços de funções no século XX.

Ela oferece-nos uma generalização de muitos conceitos de análise em ${\mathbb{R}}$ e de outros espaços topológicos e têm servido de base para muitas outras áreas da Matemática Moderna. Durante o século XX matemáticos observaram que problemas de diferentes áreas muitas vezes exibiam propriedades comuns, este facto foi usado para a criação de uma abordagem unificada abstendo-se de uma análise local para a obtenção de resultados gerais dos quais os resultados particulares seguiriam.

Uma das maiores descobertas (ou criação de preferirem) do século XX foi a noção de espaço abstracto em Matemática, devido principalmente a M. Fréchet e F. Hausdorff, que pode ser visto como o culminar de uma onda crescente de abstracção que invadira a Matemática já algum tempo e que teve o seu climax, com justeza, na criação das maiores joias da Matemática.

— 1. Espaços Métricos —

Desde os pimordios da civilização moderna, o homem vem se aperfeiçoando na criação de instrumentos de medida como meios de ajuda na execução de tarefas as quais se propõe realizar. Dentre estes, o cálculo de distâncias sempre foi um dos principais objectivos. Hoje, nós geralmente usamos uma fita métrica para medirmos a distância entre dois objectos, ou podemos fazer uso do teorema de Pitágoras que basicamente nos permite medir a distância entre dois pontos num plano Cartesiano com eixos ${x}$ e ${y}$ , ou ainda generalizarmos ao introduzirmos uma componente ${z}$ , passando a ser uma fórmula para medirmos distâncias no espaço (pelo menos o nosso espaço!).

Mas nós nos perguntamos, afinal o que é o espaço? Muitas pessoas normalmente confudem o espaço sideral, isto é, a zona onde se encontram as estrelas e outros corpos celestes com a noção de espaço em si, uma definição simples e um pouco baseada no senso comum é a de que o espaço é o local onde se encontram os objectos, ele é tomado essencialmente como algo no qual estamos imersos, é uma estrutura invisivel que nos engloba não somente a nós, como também todo o universo, uma imagem mental seria a de uma esfera na qual tudo está contido, até porque o universo seria a propria esfera.

No século XX, em Física, com a teoria da geral da relatividade de A. Einstein surge a noção de espaço-tempo, i.e., uma entidade quadridimensional, mostrando assim que as noções de espaço e tempo são essencialmente as mesmas, elas são inseparáveis, conceito esse que é muitas vezes mal compreendido pelas pessoas.

Para um Matemático, o espaço é um conjunto de pontos, é importante notarmos que, embora nós olhemos para o vazio, aparentemente sem nada, na verdade ele está prenchido por pontos, esta noção embora primitiva pode nos ajudar a ganharmos uma pequena intuição para uma generalização.

De uma forma mais rigorosa, em Matemática, um espaço é um conjunto arbitrário ${X\neq \emptyset}$ munido de uma estrutura. De maneira mais informal, é um conjunto de objectos de qualquer natureza no qual definimos uma estrutura. É importante notarmos que não importa a natureza dos objectos que constituam o conjunto, desde que definamos nele uma estrutura, ele passará a ser um “espaço”.

Exemplo 1 É bem conhecida a noção em Álgebra Linear de Espaço Vectorial, i.e., um conjunto ${V\neq \emptyset}$ com duas operações definidas nele, a adição ${+:V\times V\rightarrow V}$ e a multiplicação por um escalar ${\cdot:V\times \mathbb{K}\rightarrow V}$ , onde ${\mathbb{K}}$ é um corpo. Não importa qual seja a natureza do conjunto ${V}$ , desde que satisfaça os 8 axiomas da definição chamaremos ele de “espaço vectorial”, e aos seus elementos chamaremos pontos desse espaço ou vectores (isto mesmo, vectores), portanto do ponto de vista da Álgebra Linear, uma função como ${f(x)=x^{2}}$ pertencente ao espaço vectorial das funções continuas em ${C_{[a,b]}}$ é um vector, pois ele é um ponto ou elemento desse espaço.

É importante notarmos bem os conceitos acima, em Matemática conceitos que nos parecem muito corriqueiros muitas vezes não são o que parecem! Desta forma podemos passar ao passo seguinte que é a introdução da noção de espaço métrico.

Definição 1 Um espaço métrico ${(X,d)}$ é um conjunto ${X\neq \emptyset}$ juntamente com uma função distância ${d:X\times X\rightarrow\mathbb{R^+}}$ que obedece as seguintes propriedades ou axiomas:

(Não-degeneramento) Para todo ${x,y \in X}$ , temos ${d(x,y)\geq 0}$ , com igualdade se e somente se ${x=y}$ .
(Simétria) Para todo ${x,y \in X}$ , temos ${d(x,y)=d(y,x)}$ .
(Desigualdade Triângular) Para todo ${x,y,z \in X}$ , temos ${d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}$ .

Comentário 1 Muitas vezes com um abuso de notação obvio, se diz que ${X}$ é um espaço métrico ao invés do par ${(X,d)}$ supondo-se que a distância ou métrica é conhecida.

É importante o leitor notar que um espaço métrico não é um conjunto, mas é uma “estrutura”, de tal maneira que em um mesmo conjunto podemos definir métricas diferentes, i.e., ${ d\neq \rho \Rightarrow (X,d)\neq (X,\rho)}$ . Aos elementos de um espaço métrico chamaremos pontos, independentemente da natureza destes ojectos, sejam eles objectos do nosso mundo físico ou abstractos.

O axioma 1 na definição estabelece o facto evidente que a distância entre dois objectos nunca é negativa, e se ela é igual a zero é porque estes dois objectos são iguais. O axioma 2 também é intuitivo, quer dizer, a distância entre dois objectos ${A}$ e ${B}$ é a mesma que a distância entre ${B}$ e ${A}$ .

Já o axioma 3 é bastante conhecido desde a Geométria elementar e dos três é o menos intuitivo.

Do axioma 3 obtemos por indução a desigualdade triângular generalizada:

$\displaystyle d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+\cdots+d(x_{n-1},x_{n}) \ \ \ \ \ (1)$

Um subespaço ${(Y,\rho)}$ de um espaço métrico ${(X,d)}$ é obtido se tomarmos o subconjunto ${Y\subset X}$ e restringirmos ${d}$ a ${Y\times Y}$ , assim a métrica em ${Y}$ é a restrição

$\displaystyle \rho=d\mid _{Y\times Y}$

Comentário 2 A partir de agora, quando não houver perigo de confusão designaremos o espaço métrico pela letra ${X}$ .

— 1.1. Exemplos de Espaços Métricos —

Consideremos alguns exemplos de espaços métricos.

Exemplo 2 1. O conjunto dos Números Reais ${\mathbb{R}}$ . Munido com a distância:

$\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid$

Esta é com certeza a distância mais famosa em matemática, pois quase toda a análise elementar é feita usando esta métrica e é também bastante intuitiva, vamos provar que os números reais com essa distância é de facto um espaço métrico. Demonstração: (i) Vamos verificar o primeiro axioma, ${d(x,y)\geq 0}$ e ${x=y \Longleftrightarrow d(x,y)=0}$ . Então temos,

$\displaystyle d(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow d(x,y)=\mid x-y\mid \geq 0$

o que é evidente pela definição de módulo. Resta demosntrar a segunda parte do axioma 1, temos então

$\displaystyle d(x,y)= 0 \Longleftrightarrow \mid x-y \mid =0$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x-y=0$

$\displaystyle \Longleftrightarrow x=y$

a reciproca é evidentemente verdadeira, se tomarmos ${x=y}$ então ${d(x,x)=0}$ .

(ii)O segundo axioma também é simples de demontrar,

$\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid =\mid (-1).(y-x)\mid = \mid (-1)\mid \mid y-x\mid =\mid y-x\mid = d(y,x)$

(iii)Para demosntrarmos a desigualdade triângular vamos precisar da desigualdade triângular nos reais, i.e.,

$\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid x\mid + \mid y\mid$

Fazendo uso de um pequeno artifício temos,

$\displaystyle (x-y)=(x-z)+(z-y)$

Então,

$\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid (x-z)+(z-y)\mid \leq \mid x-z\mid +\mid z-y\mid$

assim demosntramos que o par ${(\mathbb{R},d)}$ é um espaço métrico. $\Box$

Por exemplo se tomarmos dois números quaisquer na recta real, ${x=1}$ ${y=2.5}$ a distância entre eles é de ${d(1,2.5)=\mid 1-2.5\mid =1.5}$ , esta métrica tabém pode ser chamada de métrica da régua, pois ela nos permite calcular a distância entre dois pontos numa régua.

2. O espaço métrico discreto ${X}$ . Ao tomarmos qualquer conjunto ${X\neq \emptyset}$ podemos definir nele a seguinte métrica,

$\displaystyle \rho(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.$

Vamos mostrar que ${\rho}$ é de facto uma métrica. Demonstração: De facto, os axiomas (i) e (ii) da definição de espaço métrico são evidentemente satisfeitos pela maneira como ${\rho}$ está definida.Resta-nos apenas provar o axioma 3 da definição. Dados ${x, y \in X}$ temos duas alternativas:

Se ${x=y}$ \, então\, ${\rho(x,y)=0}$ . Substituindo este resultado no axioma 3 da definição devemos provar que
$\displaystyle 0\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)$

como por definição ${\rho(x,z)\geq 0}$ e ${\rho(z,y)\geq 0}$ temos que a desigualdade é satisfeita trivialmente.
Se ${x\neq y}$ então ou ${x\neq z}$ ou ${z\neq y}$ (caso contrário, i.e., se ${x=y}$ e ${z=y}$ então ${x=y}$ , contrariando a hipótese); Sendo assim temos ${\rho(x,y)=1}$ e ou ${\rho(x,z)=1}$ ou ${\rho(z,y)=1}$ .Em qualquer situação a desigualdade
$\displaystyle \rho(x,y)\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)$

$\displaystyle 1\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)$

estará satisfeita

$\Box$

Comentário 3 É importante tomarmos nota de que a métrica discreta se definida em qualquer conjunto, independentemente da natureza de seus objectos, torna-o num espaço métrico, e.g., se tomarmos ${Y=\{y\mid y\text{ é uma banana}\}}$ o conjunto formado por todas as bananas existentes em todos os universos possiveis, então o par ${(Y,\rho)}$ é um espaço métrico.

3. Métricas sobre o ${\mathbb{R}^2}$ . Como haviamos dito mais acima, sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas, vamos agora construir três métricas muito famosas em ${\mathbb{R}^2}$ mas a demonstração de que elas de facto são métricas deixamos para o leitor (em caso de duvida podes nos contactar).

Consideremos a aplicação ${d_{1}: \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}$ onde ${d_{1}}$ está definida da seguinte forma:
$\displaystyle d_{1}(x,y)=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^2 +(x_{2}-y_{2})^2}$

onde ${x=(x_{1},x_{2})}$ e ${y=(y_{1},y_{2})}$ . A fórmula acima nada mais é que a fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos no plano, reparem que ${x,y \in \mathbb{R}^2}$ e por isso eles são pares ordenados, isto é, têm duas componentes, já que ${\mathbb{R}^2=\{(x,y)\mid x\in \mathbb{R} \text{ e } y \in \mathbb{R} \}}$ . Deixamos ao leitor a tarefa de provar que o par ${(\mathbb{R}^2,d_{1})}$ é um espaço métrico.
Consideremos agora a aplicação ${d_{2}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}$ , definida por
$\displaystyle d_{2}(x,y)=\mid x_{1}-y_{1}\mid + \mid x_{2}-y_{2}\mid$

onde ${x=(x_{1},x_{2})}$ e ${y=(y_{1},y_{2})}$ . A métrica ${d_{2}}$ é conhecida como métrica do taxi.
Em último lugar a aplicação ${d_{3}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}$ , definimos a métrica do máximo da seguinte forma:
$\displaystyle d_{3}(x,y)=max \{\mid x_{1}-y_{1}\mid, \mid x_{2}-y_{2}\mid\}$

4. O espaço ${\mathbb{R}^n}$ . A métrica ${d_{1}}$ é uma generalização da métrica em ${\mathbb{R}}$ , já a métrica em ${\mathbb{R}^n}$ é uma generalização para qualquer ${n\geq 1}$ natural, e é formado pelas sequências de ${n}$ números reais ${x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}$ munidos da distância:

$\displaystyle d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}$

O par ${(\mathbb{R}^n,d_{n})}$ denomina-se espaço euclidiano de dimensão ${n}$ . A demonstração desse facto será feita na proxíma aula.

5. O espaço das sequências limitadas ${l^{\infty}}$ . Seja ${X}$ o conjunto de todas sequências limitadas de números complexos ${\mathbb{C}}$ ; Isto é cada elemento de ${X}$ é uma sequência

$\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots)\text{ ou } x=\{x_{i}\}_{i=1}^\infty$

tal que ${\forall i}$ temos,

$\displaystyle \mid x_{i}\mid \leq k_{x}$

onde ${k_{x}}$ é um número real que depende de ${x}$ mas não de ${i}$ . Definimos a métrica da seguinte forma:

$\displaystyle d(x,y)=\sup_{i\in \mathbb{N}}\mid x_{i}-y_{i}\mid$

onde ${y=\{y_{i}\}_{i=1}^\infty}$ e ${\sup}$ denota o supremo. O espaço ${l^\infty}$ é um espaço de sequências e portanto discreto, este facto será muito importante quando falarmos da noção de separabilidade.

6. O espaço ${C[a,b]}$ . No conjunto ${X}$ tomamos o conjunto de todas as funções com valores reais ${x,y,z,\cdots}$ de uma variável independente ${t}$ definidas num intervalo fechado ${[a,b]}$ . Escolhemos a métrica definida por

$\displaystyle d(x,y)=\max_{t\in [a,b]}\mid x(t)-y(t)\mid$

onde ${\max}$ denota o máximo do modulo da diferença. Este é um espaço de funções já que os pontos desse espaço são funções.

É claro que existem muitos espaços métricos, e como já sabemos sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas. Temos também exemplos de como provar se uma aplicação é ou não uma métrica, resta-nos emfim mostrar uma maneira simples de mostrarmos que uma dada aplicação não é uma métrica.

Comentário 4 Em geral, ao tentarmos provar que uma dada aplicação não é uma métrica sobre um conjunto, devemos tentar dar um contraexemplo que demonstre que pelo menos um dos axiomas da (Definição 1.1) não é satisfeita.

Exemplo 3 Demonstrar que a aplicação ${d:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^+}$ definida por

$\displaystyle d(x,y)=(x-y)^2$

não é uma métrica sobre ${\mathbb{R}}$ . Demonstração: À primeira vista a aplicação acima parece-nos estranha, e é evidente fazendo simples cálculos que ela satisfaz os dois primeiros axiomas da definição de espaços métricos,mas ao chegarmos na desigualdade triângular é facíl notarmos que não parece existir uma maneira dela ser satisfeita, desta forma devemos brincar um pouco com os números, basta encotrarmos três números reais (já que nesse caso ${X=\mathbb{R}}$ ) e mostrarmos que a desigualdade triângular não é satisfeita. Dessa forma, sejam ${x=1}$ , ${y=4}$ e ${z=3}$ , logo ${d(1,4)=(1-4)^2=9}$ , ${d(1,3)=4}$ e ${d(3,4)=1}$ , substituindo na desigualdade triângular temos

$\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\Longleftrightarrow 9\leq 4+1=5$

o que é obviamente falso, logo ${d}$ não é uma métrica sobre ${\mathbb{R}}$ . $\Box$

Assim chegamos ao fim de nossa primeira aula de Introdução à Análise Funcional, não se esqueçam de resolver os problemas abaixo e em caso de dúvidas nos contactar a partir do blog deixando um comentário, antes da próxima aula postaremos a solução dos problemas.

Problemas Propostos

Exercício 1 Mostre que a aplicação ${d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}}$ define uma métrica sobre ${\mathbb{R}}$ .(Sugestão: use a desigualdade ${\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}}$ )

Exercício 2 Das aplicações definidas abaixo, demonstre quais delas define uma métrica e para as que não definem dê um contraexemplo:

${d_{1}(x,y)=\mid x^2 - y^2\mid}$ .
${d_{2}(x,y)=\mid 3x^2 -2y\mid }$ .
${d_{3}(x,y)=\frac{\mid x-y\mid}{1-\mid x-y\mid}}$ .

Exercício 3 Seja ${d}$ uma métrica em ${X}$ . Determine todas as constantes ${k}$ tais que (i) ${kd}$ , (ii) ${d+k}$ sejam métricas em ${X}$ .

Exercício 4 Usando a desigualdade triângular mostre que

$\displaystyle \mid d(x,z)-d(y,z)\mid \leq d(x,y)$

1 Comentário

Wesley Daniel diz:

11/22/2022 às 11:18 am

Bom dia pessoal eu só novo na matéria
E gostaria de aprender a resolver uma P.G e uma P.A por favor 🙏

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