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Análise Funcional – Aula I

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Introdução à Análise Funcional

A Análise Funcional é um ramo da Matemática abstracta que é basicamente uma junção de Teória da Medida e Integração, Topologia e Álgebra Linear em espaços de dimensão infinita. Ela originou-se a partir de trabalhos em equacções diferenciais Parciais, Equações Integrais e da necessidade de se dar um tratamento mais rigoroso ao estudo dos espaços de funções no século XX.

Ela oferece-nos uma generalização de muitos conceitos de análise em {\mathbb{R}} e de outros espaços topológicos e têm servido de base para muitas outras áreas da Matemática Moderna. Durante o século XX matemáticos observaram que problemas de diferentes áreas muitas vezes exibiam propriedades comuns, este facto foi usado para a criação de uma abordagem unificada abstendo-se de uma análise local para a obtenção de resultados gerais dos quais os resultados particulares seguiriam.

Uma das maiores descobertas (ou criação de preferirem) do século XX foi a noção de espaço abstracto em Matemática, devido principalmente a M. Fréchet e F. Hausdorff, que pode ser visto como o culminar de uma onda crescente de abstracção que invadira a Matemática já algum tempo e que teve o seu climax, com justeza, na criação das maiores joias da Matemática.

— 1. Espaços Métricos —

Desde os pimordios da civilização moderna, o homem vem se aperfeiçoando na criação de instrumentos de medida como meios de ajuda na execução de tarefas as quais se propõe realizar. Dentre estes, o cálculo de distâncias sempre foi um dos principais objectivos. Hoje, nós geralmente usamos uma fita métrica para medirmos a distância entre dois objectos, ou podemos fazer uso do teorema de Pitágoras que basicamente nos permite medir a distância entre dois pontos num plano Cartesiano com eixos {x} e {y}, ou ainda generalizarmos ao introduzirmos uma componente {z}, passando a ser uma fórmula para medirmos distâncias no espaço (pelo menos o nosso espaço!).

Mas nós nos perguntamos, afinal o que é o espaço? Muitas pessoas normalmente confudem o espaço sideral, isto é, a zona onde se encontram as estrelas e outros corpos celestes com a noção de espaço em si, uma definição simples e um pouco baseada no senso comum é a de que o espaço é o local onde se encontram os objectos, ele é tomado essencialmente como algo no qual estamos imersos, é uma estrutura invisivel que nos engloba não somente a nós, como também todo o universo, uma imagem mental seria a de uma esfera na qual tudo está contido, até porque o universo seria a propria esfera.

No século XX, em Física, com a teoria da geral da relatividade de A. Einstein surge a noção de espaço-tempo, i.e., uma entidade quadridimensional, mostrando assim que as noções de espaço e tempo são essencialmente as mesmas, elas são inseparáveis, conceito esse que é muitas vezes mal compreendido pelas pessoas.

Para um Matemático, o espaço é um conjunto de pontos, é importante notarmos que, embora nós olhemos para o vazio, aparentemente sem nada, na verdade ele está prenchido por pontos, esta noção embora primitiva pode nos ajudar a ganharmos uma pequena intuição para uma generalização.

De uma forma mais rigorosa, em Matemática, um espaço é um conjunto arbitrário {X\neq \emptyset} munido de uma estrutura. De maneira mais informal, é um conjunto de objectos de qualquer natureza no qual definimos uma estrutura. É importante notarmos que não importa a natureza dos objectos que constituam o conjunto, desde que definamos nele uma estrutura, ele passará a ser um “espaço”.

Exemplo 1 É bem conhecida a noção em Álgebra Linear de Espaço Vectorial, i.e., um conjunto {V\neq \emptyset} com duas operações definidas nele, a adição {+:V\times V\rightarrow V} e a multiplicação por um escalar {\cdot:V\times \mathbb{K}\rightarrow V}, onde {\mathbb{K}} é um corpo. Não importa qual seja a natureza do conjunto {V}, desde que satisfaça os 8 axiomas da definição chamaremos ele de “espaço vectorial”, e aos seus elementos chamaremos pontos desse espaço ou vectores (isto mesmo, vectores), portanto do ponto de vista da Álgebra Linear, uma função como {f(x)=x^{2}} pertencente ao espaço vectorial das funções continuas em {C_{[a,b]}} é um vector, pois ele é um ponto ou elemento desse espaço.

É importante notarmos bem os conceitos acima, em Matemática conceitos que nos parecem muito corriqueiros muitas vezes não são o que parecem! Desta forma podemos passar ao passo seguinte que é a introdução da noção de espaço métrico.

Definição 1 Um espaço métrico {(X,d)} é um conjunto {X\neq \emptyset} juntamente com uma função distância {d:X\times X\rightarrow\mathbb{R^+}} que obedece as seguintes propriedades ou axiomas:

  1. (Não-degeneramento) Para todo {x,y \in X}, temos {d(x,y)\geq 0}, com igualdade se e somente se {x=y}.
  2. (Simétria) Para todo {x,y \in X}, temos {d(x,y)=d(y,x)}.
  3. (Desigualdade Triângular) Para todo {x,y,z \in X}, temos {d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)}.
Comentário 1 Muitas vezes com um abuso de notação obvio, se diz que {X} é um espaço métrico ao invés do par {(X,d)} supondo-se que a distância ou métrica é conhecida.

É importante o leitor notar que um espaço métrico não é um conjunto, mas é uma “estrutura”, de tal maneira que em um mesmo conjunto podemos definir métricas diferentes, i.e., { d\neq \rho \Rightarrow (X,d)\neq (X,\rho)}. Aos elementos de um espaço métrico chamaremos pontos, independentemente da natureza destes ojectos, sejam eles objectos do nosso mundo físico ou abstractos.

O axioma 1 na definição estabelece o facto evidente que a distância entre dois objectos nunca é negativa, e se ela é igual a zero é porque estes dois objectos são iguais. O axioma 2 também é intuitivo, quer dizer, a distância entre dois objectos {A} e {B} é a mesma que a distância entre {B} e {A}.

Já o axioma 3 é bastante conhecido desde a Geométria elementar e dos três é o menos intuitivo.

Do axioma 3 obtemos por indução a desigualdade triângular generalizada:

\displaystyle  d(x_{1},x_{n})\leq d(x_{1},x_{2})+d(x_{2},x_{3})+\cdots+d(x_{n-1},x_{n}) \ \ \ \ \ (1)

Um subespaço {(Y,\rho)} de um espaço métrico {(X,d)} é obtido se tomarmos o subconjunto {Y\subset X} e restringirmos {d} a {Y\times Y}, assim a métrica em {Y} é a restrição

\displaystyle \rho=d\mid _{Y\times Y}

Comentário 2 A partir de agora, quando não houver perigo de confusão designaremos o espaço métrico pela letra {X}.

— 1.1. Exemplos de Espaços Métricos —

Consideremos alguns exemplos de espaços métricos.

Exemplo 2 1. O conjunto dos Números Reais {\mathbb{R}}. Munido com a distância:

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid

Esta é com certeza a distância mais famosa em matemática, pois quase toda a análise elementar é feita usando esta métrica e é também bastante intuitiva, vamos provar que os números reais com essa distância é de facto um espaço métrico. Demonstração: (i) Vamos verificar o primeiro axioma, {d(x,y)\geq 0} e {x=y \Longleftrightarrow d(x,y)=0}. Então temos,

\displaystyle d(x,y)\geq 0 \Longleftrightarrow d(x,y)=\mid x-y\mid \geq 0

o que é evidente pela definição de módulo. Resta demosntrar a segunda parte do axioma 1, temos então

\displaystyle d(x,y)= 0 \Longleftrightarrow \mid x-y \mid =0

\displaystyle \Longleftrightarrow x-y=0

\displaystyle \Longleftrightarrow x=y

a reciproca é evidentemente verdadeira, se tomarmos {x=y} então {d(x,x)=0}.

(ii)O segundo axioma também é simples de demontrar,

\displaystyle d(x,y)=\mid x-y\mid =\mid (-1).(y-x)\mid = \mid (-1)\mid \mid y-x\mid =\mid y-x\mid = d(y,x)

(iii)Para demosntrarmos a desigualdade triângular vamos precisar da desigualdade triângular nos reais, i.e.,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid x\mid + \mid y\mid

Fazendo uso de um pequeno artifício temos,

\displaystyle (x-y)=(x-z)+(z-y)

Então,

\displaystyle \mid x-y\mid \leq \mid (x-z)+(z-y)\mid \leq \mid x-z\mid +\mid z-y\mid

assim demosntramos que o par {(\mathbb{R},d)} é um espaço métrico. \Box

Por exemplo se tomarmos dois números quaisquer na recta real, {x=1} {y=2.5} a distância entre eles é de {d(1,2.5)=\mid 1-2.5\mid =1.5}, esta métrica tabém pode ser chamada de métrica da régua, pois ela nos permite calcular a distância entre dois pontos numa régua.

2. O espaço métrico discreto {X}. Ao tomarmos qualquer conjunto {X\neq \emptyset} podemos definir nele a seguinte métrica,

\displaystyle  \rho(x,y) = \left \{ \begin{array}{cl} 1 & \mbox{, } x\neq y\\ 0 & \mbox{, } x= y \end{array}\right.

Vamos mostrar que {\rho} é de facto uma métrica. Demonstração: De facto, os axiomas (i) e (ii) da definição de espaço métrico são evidentemente satisfeitos pela maneira como {\rho} está definida.Resta-nos apenas provar o axioma 3 da definição. Dados {x, y \in X} temos duas alternativas:

  • Se {x=y}\, então\, {\rho(x,y)=0}. Substituindo este resultado no axioma 3 da definição devemos provar que

    \displaystyle 0\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    como por definição {\rho(x,z)\geq 0} e {\rho(z,y)\geq 0} temos que a desigualdade é satisfeita trivialmente.

  • Se {x\neq y} então ou {x\neq z} ou {z\neq y} (caso contrário, i.e., se {x=y} e {z=y} então {x=y}, contrariando a hipótese); Sendo assim temos {\rho(x,y)=1} e ou {\rho(x,z)=1} ou {\rho(z,y)=1}.Em qualquer situação a desigualdade

    \displaystyle \rho(x,y)\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    \displaystyle 1\leq \rho(x,z)+\rho(z,y)

    estará satisfeita

\Box

Comentário 3 É importante tomarmos nota de que a métrica discreta se definida em qualquer conjunto, independentemente da natureza de seus objectos, torna-o num espaço métrico, e.g., se tomarmos {Y=\{y\mid y\text{ é uma banana}\}} o conjunto formado por todas as bananas existentes em todos os universos possiveis, então o par {(Y,\rho)} é um espaço métrico.

3. Métricas sobre o {\mathbb{R}^2}. Como haviamos dito mais acima, sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas, vamos agora construir três métricas muito famosas em {\mathbb{R}^2} mas a demonstração de que elas de facto são métricas deixamos para o leitor (em caso de duvida podes nos contactar).

  • Consideremos a aplicação {d_{1}: \mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+} onde {d_{1}} está definida da seguinte forma:

    \displaystyle d_{1}(x,y)=\sqrt{(x_{1}-y_{1})^2 +(x_{2}-y_{2})^2}

    onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. A fórmula acima nada mais é que a fórmula para o cálculo da distância entre dois pontos no plano, reparem que {x,y \in \mathbb{R}^2} e por isso eles são pares ordenados, isto é, têm duas componentes, já que {\mathbb{R}^2=\{(x,y)\mid x\in \mathbb{R} \text{ e } y \in \mathbb{R} \}}. Deixamos ao leitor a tarefa de provar que o par {(\mathbb{R}^2,d_{1})} é um espaço métrico.

  • Consideremos agora a aplicação {d_{2}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}, definida por

    \displaystyle d_{2}(x,y)=\mid x_{1}-y_{1}\mid + \mid x_{2}-y_{2}\mid

    onde {x=(x_{1},x_{2})} e {y=(y_{1},y_{2})}. A métrica {d_{2}} é conhecida como métrica do taxi.

  • Em último lugar a aplicação {d_{3}:\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}^+}, definimos a métrica do máximo da seguinte forma:

    \displaystyle d_{3}(x,y)=max \{\mid x_{1}-y_{1}\mid, \mid x_{2}-y_{2}\mid\}

4. O espaço {\mathbb{R}^n}. A métrica {d_{1}} é uma generalização da métrica em {\mathbb{R}}, já a métrica em {\mathbb{R}^n} é uma generalização para qualquer {n\geq 1} natural, e é formado pelas sequências de {n} números reais {x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})} munidos da distância:

\displaystyle  d_{n}(x,y)=\sqrt{\sum_{k=1}^{n}(x_{k}-y_{k})^2}

O par {(\mathbb{R}^n,d_{n})} denomina-se espaço euclidiano de dimensão {n}. A demonstração desse facto será feita na proxíma aula.

5. O espaço das sequências limitadas {l^{\infty}}. Seja {X} o conjunto de todas sequências limitadas de números complexos {\mathbb{C}}; Isto é cada elemento de {X} é uma sequência

\displaystyle  x=(x_{1},x_{2},\cdots)\text{ ou } x=\{x_{i}\}_{i=1}^\infty

tal que {\forall i} temos,

\displaystyle \mid x_{i}\mid \leq k_{x}

onde {k_{x}} é um número real que depende de {x} mas não de {i}. Definimos a métrica da seguinte forma:

\displaystyle d(x,y)=\sup_{i\in \mathbb{N}}\mid x_{i}-y_{i}\mid

onde {y=\{y_{i}\}_{i=1}^\infty} e {\sup} denota o supremo. O espaço {l^\infty} é um espaço de sequências e portanto discreto, este facto será muito importante quando falarmos da noção de separabilidade.

6. O espaço {C[a,b]}. No conjunto {X} tomamos o conjunto de todas as funções com valores reais {x,y,z,\cdots} de uma variável independente {t} definidas num intervalo fechado {[a,b]}. Escolhemos a métrica definida por

\displaystyle  d(x,y)=\max_{t\in [a,b]}\mid x(t)-y(t)\mid

onde {\max} denota o máximo do modulo da diferença. Este é um espaço de funções já que os pontos desse espaço são funções.

É claro que existem muitos espaços métricos, e como já sabemos sobre um mesmo conjunto podemos definir muitas métricas. Temos também exemplos de como provar se uma aplicação é ou não uma métrica, resta-nos emfim mostrar uma maneira simples de mostrarmos que uma dada aplicação não é uma métrica.

Comentário 4 Em geral, ao tentarmos provar que uma dada aplicação não é uma métrica sobre um conjunto, devemos tentar dar um contraexemplo que demonstre que pelo menos um dos axiomas da (Definição 1.1) não é satisfeita.
Exemplo 3 Demonstrar que a aplicação {d:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}^+} definida por

\displaystyle d(x,y)=(x-y)^2

não é uma métrica sobre {\mathbb{R}}. Demonstração: À primeira vista a aplicação acima parece-nos estranha, e é evidente fazendo simples cálculos que ela satisfaz os dois primeiros axiomas da definição de espaços métricos,mas ao chegarmos na desigualdade triângular é facíl notarmos que não parece existir uma maneira dela ser satisfeita, desta forma devemos brincar um pouco com os números, basta encotrarmos três números reais (já que nesse caso {X=\mathbb{R}}) e mostrarmos que a desigualdade triângular não é satisfeita. Dessa forma, sejam {x=1}, {y=4} e {z=3}, logo {d(1,4)=(1-4)^2=9}, {d(1,3)=4} e {d(3,4)=1}, substituindo na desigualdade triângular temos

\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)\Longleftrightarrow 9\leq 4+1=5

o que é obviamente falso, logo {d} não é uma métrica sobre {\mathbb{R}}. \Box

Assim chegamos ao fim de nossa primeira aula de Introdução à Análise Funcional, não se esqueçam de resolver os problemas abaixo e em caso de dúvidas nos contactar a partir do blog deixando um comentário, antes da próxima aula postaremos a solução dos problemas.

Problemas Propostos

Exercício 1 Mostre que a aplicação {d(x,y)=\sqrt{\mid x-y\mid}} define uma métrica sobre {\mathbb{R}}.(Sugestão: use a desigualdade {\sqrt{a+b}\leq \sqrt{a}+\sqrt{b}})
Exercício 2 Das aplicações definidas abaixo, demonstre quais delas define uma métrica e para as que não definem dê um contraexemplo:

  • {d_{1}(x,y)=\mid x^2 - y^2\mid}.
  • {d_{2}(x,y)=\mid 3x^2 -2y\mid }.
  • {d_{3}(x,y)=\frac{\mid x-y\mid}{1-\mid x-y\mid}}.
Exercício 3 Seja {d} uma métrica em {X}. Determine todas as constantes {k} tais que (i){kd}, (ii){d+k} sejam métricas em {X}.
Exercício 4 Usando a desigualdade triângular mostre que

\displaystyle \mid d(x,z)-d(y,z)\mid \leq d(x,y)

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