DOMÍNIO DE FUNÇÃO

Definição 1

Seja a função ${y=f(x)}$ de ${A}$ em ${B}$ . ${ D }$ é o domínio da função, ao conjunto de todos os elemento de ${ x \in A }$ pelos os quais existe ${ y \in B }$ .

Matematicamente, temos:

$\displaystyle D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid \forall x \in A, \exists y \in B \rbrace \rightarrow D=A \ \ \ \ \ (1)$

Exercício 1 Seja a função ${ f(x)=x^2 +2x-1}$ de ${ A=(-2,0,1,2,3)}$ e ${ B=(-1,0,1,3,4,14, 20,23)}$ , determinar o seu domínio.

Resolução

O domínio dessa função é ${ D=A \rightarrow D=(-2,0,1,2,3) }$ .

Definição 2 Dada a função ${y=f(x)}$ . Chama-se domínio ao conjuntos de valores reais de ${ x }$ para os quais a função está definida.

Em símbolos, temos:

$\displaystyle D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid \forall x \in A, \exists y \in B \rbrace \ \ \ \ \ (2)$

No parágrafo a seguir, entenderemos melhor essa definição

— 1. Determinação de domínio de diversas funções —

Segundo a definição, antes de determinarmos o domínio de uma função dada devemos, em primeiro passo, estudar a natural da função assim como a sua definição.

Vamos apresentar algumas formas de representação de domínio:

${ D=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid g(x)\neq 0 \rbrace }$

${ D= \mathbb{R}- \lbrace g(x)= 0 \rbrace }$

${ D= \mathbb{R}/\lbrace g(x)= 0 \rbrace }$

${ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a\leq x \leq b \rbrace }$

${ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a < x < b \rbrace }$

${ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a\leq x < b \rbrace}$

${ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\vert a < x \leq b \rbrace }$

ou simplesmente ${ D=\mathbb{R} }$

${ \forall a \in \mathbb{R} }$ e ${ \forall b \in \mathbb{R} }$

Essas representações dependem do critério do leitor outras do tipo de função em causa.

Vamos agrupar as funções segundo as suas definições para facilitar a compreensão do leitor e posteriormente podermos resolver as funções de expressões mistas.

— 2. Domínio da função polinomial —

Definição 3 O domínio da função polinomial é sempre o conjunto dos números reais

Em símbolos, temos:

$\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_{0} \ \ \ \ \ (3)$

${ D=\mathbb{R}}$

Exercício 2

Determinar o domínio da função ${f(x)=2x-3}$

Resolução:
O domínio é ${ D=\mathbb{R} }$
Quando se trata de um polinómio o domínio é imediatamente o conjunto dos números reais ou simplesmente ${ \mathbb{R} }$

Exercício 3 Determinar o domínio da função ${f(x)=\dfrac{3}{5}x^{5}+7x^{4}-3x^{3}+x^{2}+6x+11}$

Resolução:
${ D=\mathbb{R} }$ , Claramente.

Exercício 4 Determinar o domínio da função ${f(x)=k }$ onde ${ k\in \mathbb{R} }$

Resolução:
Como ${ k }$ é qualquer número real, então o domínio é o conjunto dos números reais ${ (\mathbb{R}) }$

— 3. Domínio de função racional —

Definição 4 O domínio da função racional está definida para o denominador diferente de zero.

Em símbolos, temos:

$\displaystyle f(x)=\dfrac{h(x)}{g(x)} \leftrightarrow g(x)\neq0 \ \ \ \ \ (4)$

${ D=\lbrace x\in \mathbb{R} \mid g(x)\neq 0 \rbrace }$ .

Exercício 5 Determinar o domínio da função ${ y=\dfrac{x-1}{x+2} }$ .

Resolução:
Vamos igualar o denominador a diferente de zero, assim: ${ x+2\neq 0 }$
Agora, vamos resolver:
Temos: ${ x+2\neq 0 \leftrightarrow x\neq-2 }$
logo o domínio é ${ D=\lbrace x\in R\mid x\neq -2 \rbrace }$ ou ${ D= \mathbb{R}-\lbrace-2\rbrace }$

Exercício 6 Determinar o domínio da função ${ y=\dfrac{1}{x^2-3x-4} }$ .

Resolução:
Vamos resolver ${ x^2-3x-4\neq0}$ resolvendo temos: ${x_{1}\neq-1,\ e \ x_{2}\neq4 \rightarrow D= \mathbb{R}-\lbrace-1,4\rbrace }$ ou ${ D=\lbrace x\in R\mid x\neq-1 \ e \ x\neq4 \rbrace }$

— 4. Domínio da função irracional de índice ímpar —

Definição 5 O domínio de uma função irracional de índice ímpar é sempre o conjunto dos números reais.

Em símbolos, temos:

$\displaystyle f(x)=\sqrt[2k-1]{g(x)} \ \ ( \forall k\in\mathbb{N}) \rightarrow D=\mathbb{R} \ \ \ \ \ (5)$

${ D=\mathbb{R} }$

Exercício 7 Determinar domínio da função ${f(x)=\sqrt[3]{x^4 -\dfrac{5}{2} x+3}}$

Resolução:
Evidentemente que ${D=\mathbb{R}}$

Exercício 8 Determinar domínio da função ${f(x)=\sqrt[7]{-2x^2 +x}+9}$

Resolução:
Claramente que ${D=\mathbb{R}}$

— 5. Domínio de função irracional de índice par —

Definição 6 O domínio da função irracional de índice par estás definida para o radical maior ou igual a zero.

Em símbolos, temos:

$\displaystyle f(x)=\sqrt[2k]{g(x)} \ \ k \in \mathbb{N} \ \ \ \ \ (6)$

${ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid g(x)\geq0\rbrace }$

Exercício 9 Determinar o domínio da função ${ f(x)=\sqrt{3x+12}}$ .

Resolução:
${ 3x+12\geq0 \rightarrow 3x\geq-12 \leftrightarrow x\geq-\dfrac{12}{3} \leftrightarrow x\geq-4 }$ , logo o domínio é,

${ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\geq-4\rbrace }$

Exercício 10 Determinar o domínio da função ${ f(x)=\sqrt[4]{x^2+5x+6}}$ .

Resolução:
${ x^2+5x+6\geq0 }$ resolvendo temos: ${ x\leq -3 }$ ou ${ x\geq -2 }$ , logo o domínio é: ${D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\leq -3 \ e \ x\geq-2\rbrace }$ .

— 6. Domínio de função logaritmica —

Definição 7 O Domínio da função logarítmica é definido, para logaritmando igual ou maior que um e a base maior que zero e diferente de um.

Em símbolos, temos:

$\displaystyle f(x)=\log_{a}^x \ \ \ \ \ (7)$

${ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid 0<a<1 \ \ e \ \ a>1 \ e \ x>0 \rbrace}$

Exercício 11 Determinar o domínio da função ${ f(x)=\log_{4}^{(4x^2-3x-1)}}$ .

Resolução:
${4x^2-3x-1>0}$ Primeiro vamos determinar as raízes, temos: ${ x_{1}=1}$ ou ${ x_{2}=-\dfrac{1}{4} }$ . Como se trata de inequação, o intervalo que satisfaz é: ${ x_{2}<-\dfrac{1}{4} \ e \ x>1 }$ assim o domínio da função é: ${ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid x_{2}<-\dfrac{1}{4} \ e \ x>1 \rbrace }$

Exercício 12 Determinar o domínio da função ${ y=\log_{(x-2)}^7}$ .

Resolução:
${ 0<x-2<1 }$ e ${ x-2>1}$ segundo a condição da base do logaritmo.
vamos resolver: ${ 0<x-2<1 \leftrightarrow 0+2<x<1+2 \leftrightarrow 2<x<3}$
Outra condição: ${ x-2>1 \rightarrow x>1+2 \leftrightarrow x>3 }$
Temos o domínio ${ D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 2<x<3 \ e \ x>3\rbrace }$

Exercício 13 Determinar o domínio da função ${ y=\log_{(x+3)}^{x^2-x}}$ .

Resolução:
temos: ${x^2-x>0 \rightarrow x(x-1)>0 \leftrightarrow x>0}$ e ${ x-1>0 \leftrightarrow x>1}$ ou ${ x<0 }$ e ${ x-1<0 \leftrightarrow x<1 }$
A propriedade da base: ${ 0<3+x<1 \rightarrow -3<x<-2 }$ e ${ x+3>1 \leftrightarrow x>-2 }$
achando a intersecção de todas as condições temos: ${ -2<x<0 }$ e ${ x>1 }$
o domínio é ${ D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid -2<x<0 \ \ e \ \ x>1\rbrace }$

— 7. Domínio de função exponencial —

Definição 8 O domínio da função exponencial é definido para base maior que zero e diferente um.

Em símbolos, temos:

$\displaystyle f(x)=a^x \ \ \ \ \ (8)$

${ D=\lbrace a \in \mathbb{R}\vert a>0 \wedge a \neq 1 \rbrace }$

Exercício 14 Determinar o domínio da função ${ y=2^x }$
Resolução:
Claramente que o ${ D=\mathbb{R} }$

Exercício 15 Determinar o domínio da função ${ y=(\dfrac{1}{3} )^{\dfrac{x-1}{4}} }$

Resolução:
Sem mais comentário o domínio é ${ D=\mathbb{R} }$

— 8. Domínio de função trigonométrica —

Definição 9 – O domínio da função de seno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:

$\displaystyle y = \sin x \ \ \ \ \ (9)$

O domínio é ${ D=\mathbb{R} }$

Definição 10 – O domínio da função de cosseno é o conjunto dos números reais. Em símbolos, temos:

$\displaystyle y = \cos x \ \ \ \ \ (10)$

O domínio é ${ D=\mathbb{R} }$

Definição 11 – O domínio da função de tangente é definido para cosseno diferente de zero. Em símbolos, temos:

$\displaystyle y = \tan x \ \ \ \ \ (11)$

${ D=\lbrace \forall x \in \mathbb{R}\vert \cos x \neq 0 \rbrace }$ ${ \rightarrow D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid x\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi \rbrace }$

Exercício 16 Determinar o domínio da função ${ y=\tan\dfrac{x}{2}}$

Resolução: Sabemos que a tangente não está definida para ${ \dfrac{\pi}{2} }$ então, temos: ${ \tan\dfrac{x}{2}\neq\tan\dfrac{\pi}{2} \leftrightarrow \dfrac{x}{2}\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi }$ ${ \leftrightarrow x\neq \pi+2k\pi }$ . logo o domínio é: ${ D(x)=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x\neq \pi+2k\pi \rbrace }$

Exercício 17 Determinar o domínio da função ${ f(x)=\dfrac{1+\cot x}{1-\tan x} }$ .

Resolução: Destaca-se a condição da ${\cot x, \tan x }$ e a condição do denominador ${1-\tan x }$
– A Condição da ${\cot x }$ : ${\cot x \neq \cot 0 \leftrightarrow x \neq k\pi }$
– A Condição da ${\tan x }$ : ${ \tan x \neq \tan \dfrac{\pi}{2} \leftrightarrow x\neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi}$
– A Condição do denominador ${ 1-\tan x }$ : ${ 1-\tan x \neq0 \leftrightarrow \tan x \neq1 \leftrightarrow \tan x \neq\tan\dfrac{\pi}{4}}$ ${ \leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi }$
Finalmente, temos: ${ D=\lbrace x\in \mathbb{R}\mid x \neq k\pi \ e \ x\neq \dfrac{\pi}{2}+k \pi \ e \ x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi\rbrace}$

— 9. Determinação de domínio de diversas funções —

Exercício 18 Determinar o domínio da função ${ y=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3x+5}}}$
Resolução:
Como o índice é ímpar vamos analisar a condição só do denominador.
${ 3x+5\neq0\Longleftrightarrow x=\dfrac{-5}{3}}$ , logo o domínio é, ${ D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid x\neq-\dfrac{5}{3}\rbrace }$ .

Exercício 19 Determinar o dominio da função ${ f(x)=\dfrac{x^2-1}{\sqrt{x}-2} }$

Resolução:
Nesse exercício temos que impor a condição do denominador e do radical porque o índice é par.
-A condição do radical: ${ x\geq0 }$
-A condição do denominador: ${ \sqrt{x}-2 \neq0 \rightarrow \sqrt{x}\neq2 \rightarrow x\neq4 }$
-Intersecção das duas condições: ${ 0\leq x<4 \ e \ 4<x }$
finalmente o domínio é: ${ D=\lbrace x \in \mathbb{R} \mid 0 \leq x<4 \ e \ 4<x \rbrace }$

Exercício 20 Qual é o domínio da função ${ f(x)=\dfrac{1}{\log^{x}} }$ ?
Resolução:
Nesse exercício temos a condição do denominador e do logatitmando porque o índice é par.
-A Condição do logaritmando é: ${ x>0 }$
-A Condição do denominador é : ${ \log^{x}\neq0 \rightarrow x\neq10^0 \rightarrow x\neq1 }$
finalmente o domínio é: ${ D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 0<x<1 \ e \ x>1\rbrace}$ .

Exercício 21 O domínio da função ${ f(x)=\log(\sin x)}$ é?

Resolução:
Nesta função está em caso, simplesmente, a condição do logaritmando.
Temos: ${\sin x >0 \leftrightarrow 0< x < \pi \leftrightarrow D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 0 < x < \pi \rbrace}$

Exercício 22 Ache o domínio da função ${ y=\dfrac{2+\sqrt{x-5}}{x^2-64} }$ .
Resolução:
Vamos estudar a condição do radical e do denominador.
– A Condição do denominador: ${ x^2-64\neq0 \leftrightarrow x^2\neq64 \leftrightarrow x\neq\pm8 }$
– A Condição do radical ${ x-5\geq \leftrightarrow x\geq5}$
– Intersecção das duas condições resulta ${ 5\leq x < 8 \ e \ x>8 }$ :
finalmente o domínio é: ${D=\lbrace x \in\mathbb{R}\mid 5\leq x < 8 \ e \ x>8 \rbrace }$

Exercício 23 Encontre o domínio da função ${ f(x)=\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^3}+\dfrac{2x}{\sqrt{x+4}} }$ .
Resolução:
– A condição ${\sqrt{x-1} \leftrightarrow x-1\geq0 \leftrightarrow x\geq1 }$
– A condição ${ x^3\neq0 \Longrightarrow x\neq0 }$
– A condição do denominador ${\sqrt{x+4}\neq0 \leftrightarrow x+4>0 \leftrightarrow x>-4 }$
A intersecção das três condições fornece-nos o seguinte resultado: ${ x>1 }$ , logo o domínio da função é:
${ D=\lbrace x \in \mathbb{R}\mid 1\leqslant x \rbrace }$

Exercício 24 Determinar o domínio da função ${ f(x)= \sqrt{2^{(x-2)}-1} }$ .
Resolução: ${ f(x)= \sqrt{2^{(x-2)}-1} }$ isto só é possível para ${ 2^{(x-2)}-1\geq0 }$ . logo temos: ${ 2^{(x-2)} \geq 1 \leftrightarrow 2^{(x-2)} \geq 2^0 }$ ${ \leftrightarrow x-2 \geq 0 \leftrightarrow x \geq 2 }$ Por fim temos o domínio: ${ D= \lbrace x \in \mathbb{R} \mid 2\leq x \rbrace }$ .

Exercício 25 Dada a função ${ f(x)=\dfrac{1}{\vert x-2 \vert -3} }$ . Determinar o domínio.

Resolução:

O denominador diferente de zero: ${ \vert x-2\vert-3\neq0 \leftrightarrow \vert x-2 \vert \neq3 }$ , segundo as propriedades modular, temos:
– ${ x-2 \neq3 \leftrightarrow x\neq5 }$
– ${ x-2 \neq-3 \leftrightarrow x\neq-1 }$
Assim o domínio é ${ D=\mathbb{R}-(-1, 5) }$

3 comentários

Alberto Antônio De Castro diz:

05/21/2020 às 9:10 pm

Gostei da aula

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Higor diz:

06/22/2021 às 9:15 am

A aula xta bem difundida, deu para perceber e consegue o máximo apartir dessa aula obrigado

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Moisés João Dando diz:

01/13/2022 às 11:59 pm

Amei as explicações foram bem claras e objectiva um excelente trabalho nota 10 👍👍

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