Teorema 18 Seja e . Então existe uma sucessão com termos em tal que .
Também podemos formular um teorema análogo para . Demonstração: Demonstração omitida. |
Caso esteja a inquirir porque usámos nas condições dos limites, tanto para como para , ao invés de utilizarmos isto deve.se ao facto de que o que importa na definição de limite é que a distância entre termos sucessivos da sucessão tem que ser cada vez menor. A quantidade que utilizamos para denotar esta distância tem que er positiva e para a conveniência da demonstração usámos neste caso o símbolo .
Este teorema diz-nos que as propriedades algébricas dos limites de sucessões têm o comportamento esperado.
Utilizamos a demonstração da propriedade 2 para ganharmos alguma familiaridade com a notação e esperamos que o leitor seja capaz de mostrar as restantes propriedades.
Mais uma vez queremos indicar que é necessário termos atenção com a interpretação deste teorema. De modo algum podemos assumir que o recíproco desta teorema é verdadeiro. Ou seja não podemos pensar que todas as sucessões que têm um limite em são monótonas. Basta apenas pensarmos na sucessão que tende para ainda que não seja monótona.
Corolário 21 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente em .
Demonstração: Por hipótese sabemos que . Pelo Teorema 20 sabemos que tem limite em . Pelo Corolário 15 vem que . Assim onde . |
Este corolário é muito importante para aplicações práticas pois permite-nos identificar a natureza da convergência para um bom número de sucessões sem calcularmos explicitamente o limite.
Em alguns casos podemos precisar de saber explicitamente o valor do limite e aí o Corolário não é de grande ajuda, mas cabe-nos a nós avaliar o que precisamos em cada situação e assim decidirmos qual abordagem tomar.
Por exemplo dado qual deverá ser a nossa estratégia? Calcular o limite ou provar que a sucessão é monótona e convergente?
Vamos fazer uma pequena inspecção ao gráfico dos termos da sucessão:
Pelo gráfico podemos ver que aparente ser majorada por e é crescente, logo é monótona.
Inspirados pela inspecção gráfica vamos tentar demonstrar que a sucessão de facto é majorada e crescente para assim concluirmos que é convergente.
Proposição 22 é uma sucessão convergente.
Demonstração: Primeiro vamos mostrar que é crescente. Para o fazer vamos calcular .
Para procedermos vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli e . Esta desigualdade será demonstrada num artigo futuro usando a indução matemática. Continuando.
Em conclusão e é monótona. Agora resta-nos mostrar que é limitada e terminamos a nossa demonstração que é convergente. . Umja vez que é crescente vem que . Assim resta-nos provar que é majorada para podermos concluir que é limitada. Como foi mostrado neste artigo podemos escrever . Escrevendo por extenso:
Sabemos que e que . Usando estas duas desigualdades, por essa ordem respectiva:
Assim o que temos é: . Uma vez que segue
Sintetizando o que nós temos é Assim é monótona e limitada. O que nos leva a concluir que é convergente. Para além disso também sabemos de que . Tal não nos permite saber com exactidão qual é o valor do limite, mas é já alguma informação. |
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[…] b) Usando a) estabeleça a desigualdade se e (se bem se lembram usamos esse resultado no artigo Análise Matemática ? Sucessões III […]
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