Após termos demonstrado alguns teoremas importantes sobre sucessões no artigo anterior vamos agora introduzir algumas noções auxiliares que nos ajudarão a continuar o nosso estudo das sucessões.
— 3.3. Relações entre Sucessões —
Definição 20 Sejam Se |
Como exemplo vamos considerar a sucessão . É fácil ver que neste caso temos
.
Podemos então escrever .
Neste caso é e temos
.
Definição 21 Sejam
|
Vamos agora dar uma explicação mais intuitiva sobre o significado dos símbolos que introduzimos:
A notação expressa o facto que a diferença entre
e
tende para
à medida que
. Ou seja os valores das sucessões são cada vez mais próximos
A notação expressa o facto que as duas sucessões diferem por um factor de escala, que é o mesmo que dizer que evidenciam o mesmo tipo de comportamento em
. A expressão o mesmo tipo de comportamento será tornada mais clara com o desenvolver da Análise Real neste blog.
A notação diz-nos que
toma valores cada vez mais pequenos quando comparada com
à medida que nos aproximamos de
. De uma maneira mais formal: se
Vamos agora fornecer alguns exemplos para tornar mais concreta a discussão anterior:
Escrevemos . Definindo
vemos que é efectivamente
Neste caso escrevemos com
. Uma vez que
é limitada obtemos o resultado pretendido.
— 3.4. Comentários finais sobre sucessões —
Definição 22 Diz-se que |
De forma informal podemos dizer que uma subsucessão, , de
é uma sucessão que omite alguns dos termos de
.
Como exemplo de subsucessões temos (onde omitimos os termos ímpares da sucessão inicial) e
(onde só consideramos os termos que são quadrados perfeitos da sucessão inicial).
Já vimos que é uma sucessão convergente, então, ainda que
pareça ser uma sucessão mais difícil, podemos dizer sem nenhum esforço que
visto que
e assim
é uma subsucessão de uma sucessão convergente.
Corolário 25 Se uma sucessão tem duas subsucessões com limites distintos, então a sucessão é divergente.
Demonstração: Segue directamente de Ou seja este corolário é o contra-recíproco do Teorema 24 e como tal é também uma proposição verdadeira. |
Como aplicação do Corolário 25 vamos analisar .
e é
.
e é
.
Concluímos então que é uma sucessão divergente.
Teorema 26 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda a sucessão limitada tem uma subsucessão convergente em Demonstração: Vamos somente apresentar um esboço de demonstração. Uma maneira de o fazer é primeiro demonstrar que todas as sucessões têm uma subsucessão monótona. Aplicando este resultado a uma sucessão limitada teríamos então que uma sucessão limitada tem uma subsucessão que é limitada e monótona. Pelo Corolário 21 sabemos que uma sucessão monótona e limitada é convergente. |
Definição 23 Seja |
Corolário 27 Seja Demonstração: Seja Para |
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