Após termos demonstrado alguns teoremas importantes sobre sucessões no artigo anterior vamos agora introduzir algumas noções auxiliares que nos ajudarão a continuar o nosso estudo das sucessões.

— 3.3. Relações entre Sucessões —

Definição 20 Sejam e duas sucessões. Vamos admitir a existência de uma sucessão tal que . Se dizemos que é assimptoticamente igual a e escrevemos . Se podemos escrever .

Como exemplo vamos considerar a sucessão . É fácil ver que neste caso temos .

Podemos então escrever .

Neste caso é e temos .

Teorema 23 Consideremos as sucessões , , , e . Se e também temos Se e então e . Demonstração: Por definição de é . Aplicando limites a ambos os lados da equação anterior vem onde por hipótese. Então temos . Vamos escrever e com . Então e aplicando limites com . Então como pretendido. A parte do enunciado referente à divisão prova-se de uma forma semelhante.

Definição 21 Sejam e duas sucessões e vamos supor que para uma sucessão : Se dizemos que é desprezável relativamente a e escrevemos . Se é limitada dizemos que é dominada por e escrevemos .

Vamos agora dar uma explicação mais intuitiva sobre o significado dos símbolos que introduzimos:

A notação expressa o facto que a diferença entre e tende para à medida que . Ou seja os valores das sucessões são cada vez mais próximos

A notação expressa o facto que as duas sucessões diferem por um factor de escala, que é o mesmo que dizer que evidenciam o mesmo tipo de comportamento em . A expressão o mesmo tipo de comportamento será tornada mais clara com o desenvolver da Análise Real neste blog.

A notação diz-nos que toma valores cada vez mais pequenos quando comparada com à medida que nos aproximamos de . De uma maneira mais formal: se

Vamos agora fornecer alguns exemplos para tornar mais concreta a discussão anterior:

Escrevemos . Definindo vemos que é efectivamente

Neste caso escrevemos com . Uma vez que é limitada obtemos o resultado pretendido.

— 3.4. Comentários finais sobre sucessões —

Definição 22 Diz-se que é uma subsucessão de se é uma sucessão que tende para .

De forma informal podemos dizer que uma subsucessão, , de é uma sucessão que omite alguns dos termos de .

Como exemplo de subsucessões temos (onde omitimos os termos ímpares da sucessão inicial) e (onde só consideramos os termos que são quadrados perfeitos da sucessão inicial).

Já vimos que é uma sucessão convergente, então, ainda que pareça ser uma sucessão mais difícil, podemos dizer sem nenhum esforço que visto que e assim é uma subsucessão de uma sucessão convergente.

Como aplicação do Corolário 25 vamos analisar .

e é .

e é .

Concluímos então que é uma sucessão divergente.

Teorema 26 (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda a sucessão limitada tem uma subsucessão convergente em . Demonstração: Vamos somente apresentar um esboço de demonstração. Uma maneira de o fazer é primeiro demonstrar que todas as sucessões têm uma subsucessão monótona. Aplicando este resultado a uma sucessão limitada teríamos então que uma sucessão limitada tem uma subsucessão que é limitada e monótona. Pelo Corolário 21 sabemos que uma sucessão monótona e limitada é convergente.

Definição 23 Seja . Dizemos que é um intervalo compacto se for fechado e limitado.

Corolário 27 Seja um intervalo compacto e . Então onde é uma subsucessão de . Demonstração: Seja um intervalo compacto e uma sucessão de pontos em . Uma vez que , é limitada. Do Teorema 26 vem que tem uma subsucessão convergente: . Para também é . Isto implica