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Análise Matemática – Exercícios II
1.
a) Para a sequência mostre que existe uma ordem
onde
é válido.
Uma vez que vem que
Tomando Temos o resultado pretendido.
b) Mostre por definição que
Pela definição de limite e usando a), temos
Fazendo
a diferença entre e
é sempre menor do que
.
2. Mostre que
Na maior parte dos casos é mais fácil mostrar que o módulo da sequência tende para . Com esta proposição podemos ver que as proposições são equivalentes e como tal podemos evitar cálculos longos e aborrecidos.
Diz-se que sse
Assim sse
Com as proposições
e
são de facto equivalentes.
3. Calcule
Este limite que estamos interessados em calcular pode ser visto como onde
e
.
Sabemos que e
.
O que estamos a tentar determinar é quão rápido estas sucessões divergem. Se o valor do limite é então
diverge ligeiramente mais depressa, se for
então é
que diverge ligeiramente mais depressa.
No caso de vemos que uma das sequências diverge muito mais rápido que a outra.
Vamos então calcular:
O que quer dizer que as sucessões divergem com essencialmente a mesma velocidade.
4. Calcule
5. Calcule .
Vamos escrever alguns termos desta soma para podermos ganhar alguma intuição sobre o que está a acontecer:
Ou seja, fazendo o que nós obtemos é cada vez mais termos para somar, mas os valores destes termos tornam-se cada vez menores.
O valor deste limite dir-nos-á qual destes efeitos contraditórios é mais forte.
Uma vez que estamos a somar cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos
Mas também é
Assim
com
Logo .
Em conclusão o facto dos valores dos termos serem sucessivamente menores é mais importante para o valor do limite do que o facto do número de termos aumentar indefinidamente.
6. Calcule
Uma situação semelhante à encontrada no exercício anterior
Uma vez que estamos a somar cujo valor absoluto é sucessivamente menor temos
Mas também é
Logo .
Uma vez que
e
vem que
Desta vez o facto de termos um número infinito de termos para adicionar é mais relevante para o valor do limite do que o facto das fracções estarem a tender para . Tal resultado advém desta vez termos raízes quadradas no denominador das fracções.
7. Calcule
Visualmente:
com termos.
com termos.
Então
então também é
De onde podemos concluir que tende para infinito mais rápido do que
8. Dê exemplo de sucessões que
a) e
:
e
b) e
:
e
c) e
:
e
d) e
:
não existe.
e
e) e
:
e
f) e
:
e
g) e
:
e
h) e
:
não existe.
e
Análise Matemática – Sucessões III
Teorema 18 Seja
Também podemos formular um teorema análogo para
Demonstração: Demonstração omitida. |
Caso esteja a inquirir porque usámos nas condições dos limites, tanto para
como para
, ao invés de utilizarmos
isto deve.se ao facto de que o que importa na definição de limite é que a distância entre termos sucessivos da sucessão tem que ser cada vez menor. A quantidade que utilizamos para denotar esta distância tem que er positiva e para a conveniência da demonstração usámos neste caso o símbolo
.
Este teorema diz-nos que as propriedades algébricas dos limites de sucessões têm o comportamento esperado.
Utilizamos a demonstração da propriedade 2 para ganharmos alguma familiaridade com a notação e esperamos que o leitor seja capaz de mostrar as restantes propriedades.
Mais uma vez queremos indicar que é necessário termos atenção com a interpretação deste teorema. De modo algum podemos assumir que o recíproco desta teorema é verdadeiro. Ou seja não podemos pensar que todas as sucessões que têm um limite em são monótonas. Basta apenas pensarmos na sucessão
que tende para
ainda que não seja monótona.
Corolário 21 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente em
Demonstração: Por hipótese sabemos que |
Este corolário é muito importante para aplicações práticas pois permite-nos identificar a natureza da convergência para um bom número de sucessões sem calcularmos explicitamente o limite.
Em alguns casos podemos precisar de saber explicitamente o valor do limite e aí o Corolário não é de grande ajuda, mas cabe-nos a nós avaliar o que precisamos em cada situação e assim decidirmos qual abordagem tomar.
Por exemplo dado qual deverá ser a nossa estratégia? Calcular o limite ou provar que a sucessão é monótona e convergente?
Vamos fazer uma pequena inspecção ao gráfico dos termos da sucessão:
Pelo gráfico podemos ver que aparente ser majorada por
e é crescente, logo é monótona.
Inspirados pela inspecção gráfica vamos tentar demonstrar que a sucessão de facto é majorada e crescente para assim concluirmos que é convergente.
Proposição 22
Demonstração: Primeiro vamos mostrar que
Para procedermos vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli Continuando.
Em conclusão
Agora resta-nos mostrar que
Assim resta-nos provar que Como foi mostrado neste artigo podemos escrever
Escrevendo por extenso:
Sabemos que
Assim o que temos é:
Uma vez que
Sintetizando o que nós temos é
Assim
Para além disso também sabemos de |
Análise Matemática – Sucessões II
Após termos introduzido a definição do que é uma vizinhança no artigo anterior vamos agora fazer mais uma definição que nos permitirá unificar mais alguns resultados.
Definição 17 O conjunto formado por
|
Após a introdução deste novo conjunto e os seus dois novos elementos podemos definir duas vizinhanças:
Definição 18
|
É muito importante que o leitor possa entender a razão de ser destas duas vizinhanças. Por experiência pessoal posso dizer que a primeira vez que olhei para elas fiquei baralhado e penso que a reacção dos meus colegas não foi muito diferente.
A noção de vizinhança de um número real é bastante simples de se entender. Essencialmente é o intervalo aberto e centrado num dado ponto.
Se queremos generalizar a noção de vizinhança para estes novos elementos e
temos que perceber que não mais podemos ter intervalos centrados visto que estes dois números são os limites finais de
.
O que nós podemos e devemos manter é o facto de quanto maior o valor de maior é o intervalo considerado. Mas com
os rácios são cada vez menores se
aumentar. E é isso mesmo que nós queremos. Se
toma valores que são cada vez menores a vizinhança fica cada vez mais próxima de
. Uma vez que nós começamos do
isso quer dizer que a nossa vizinhança é de facto maior!
A definição escolhida para a vizinhança de tem uma justificação análoga.
Vamos agora considerar uma sucessão , que é minorada mas não é majorada. Ou seja temos
em
. Isto é equivalente ao seguinte:
Podemos fazer uma dedução semelhante para for . Assim podemos escrever com toda a generalidade:
Definição 19 Seja |
— 3.2. Limites e Desigualdades —
Teorema 14 Seja
Demonstração: Demonstração omitida. |
Após isto podemos perguntar se também é um teorema. A resposta é negativa e um simples contra-exemplo é suficiente para o mostrar:
Por exemplo e ainda assim
.
Corolário 15 Seja
Demonstração: Seja |
Teorema 16
Seja
Demonstração: Demonstração omitida. |
Teorema 17 (Teorema da sucessão enquadrada) Seja
Demonstração: Demonstração omitida. |
Enquanto aplicação do Teorema 17 vamos olhar para o seguinte exemplo: onde queremos calcular o limite
.
Ora
Sabemos que , então: