Análise Matemática – Sucessões III

Teorema 18 Seja ${ E \subset \mathbb{R}}$ e ${ s=\sup E}$ . Então existe uma sucessão ${ u_n}$ com termos em ${ E}$ tal que ${ \lim u_n=s}$ .

Também podemos formular um teorema análogo para ${ i=\inf E}$ .

Demonstração: Demonstração omitida. $\Box$

Teorema 19 Dada as sucessões ${ u_n}$ e ${ v_n}$ é:

${ \lim u_n = a \in \mathbb{R}\Rightarrow \lim |u_n|=|a|}$
${ \lim u_n=a \in \mathbb{R}}$ e ${ \lim v_n=b \in \mathbb{R}}$ , então ${ lim (u_n+v_n)=a+b}$
${ \lim u_n=+\infty}$ e ${ v_n}$ minorada, então ${ \lim (u_n+v_n)=+\infty}$
${ \lim u_n=-\infty}$ e ${ v_n}$ majorada, então ${ \lim (u_n+v_n)=-\infty}$
${ \lim u_n=0}$ e ${ v_n}$ limitada, então ${ \lim (u_n v_n)=0}$
${ \lim u_n=a \in \mathbb{R}}$ and ${ \lim v_n=b \in \mathbb{R}}$ , então ${ \lim u_n v_n = ab}$
${ \lim |u_n|=+\infty}$ e ${ \lim v_n=a \neq 0}$ , então ${ \lim |u_n v_n|= +\infty}$
${ \lim u_n=a \in \mathbb{R}\setminus\{0\} \Rightarrow lim \dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{a}}$
${ \lim |u_n|=+\infty \Rightarrow \lim \dfrac{1}{u_n}=0}$
${ \lim u_n=0 \Rightarrow \lim \dfrac{1}{|u_n|}=+\infty}$

Demonstração: Só vamos demonstrar a propriedade 2 do teorema sendo que as restantes ficam como um exercício para o leitor

Seja ${ \delta > 0}$ . Então:

${\begin{aligned} |(u_n+v_n)-(a+b)| &= |(u_n - a)+(v_n - b)| \\ &\leq |u_n - a|+ |v_n - b| \end{aligned}}$

Vamos denotar a relação anterior por 1 .

Também temos:

$\displaystyle u_n \rightarrow a\Leftrightarrow \exists k_1 \in \mathbb{N}: \quad n \geq k_1 \Rightarrow |u_n - a| \leq \dfrac{\delta}{2}$

$\displaystyle v_n \rightarrow b \Leftrightarrow \exists k_2 \in \mathbb{N}: \quad n \geq k_2 \Rightarrow |v_n - b| \leq \dfrac{\delta}{2}$

Seja ${ k=\mathrm{max}\{k_1,k_2\}}$ de modo a que ambas as condições anteriores sejam satisfeitas. Então ${ \exists k \in \mathbb{N}: \, n \geq k \Rightarrow |u_n - a|+|v_n - b|<\delta}$ .

Voltando a 1 fica:

$\displaystyle |u_n - a|+|v_n - b| < \delta$

Consequentemente

$\displaystyle n \geq k \Rightarrow |(u_n + v_n)-(a+b)| < \delta$

Isto é equivalente a

$\displaystyle \lim (u_n + v_n) =a+b$

que é o resultado pretendido. $\Box$

Caso esteja a inquirir porque usámos ${ \dfrac{\delta}{2}}$ nas condições dos limites, tanto para ${ u_n}$ como para ${ v_n}$ , ao invés de utilizarmos ${ \delta}$ isto deve.se ao facto de que o que importa na definição de limite é que a distância entre termos sucessivos da sucessão tem que ser cada vez menor. A quantidade que utilizamos para denotar esta distância tem que er positiva e para a conveniência da demonstração usámos neste caso o símbolo ${ \dfrac{\delta}{2}}$ .

Este teorema diz-nos que as propriedades algébricas dos limites de sucessões têm o comportamento esperado.

Utilizamos a demonstração da propriedade 2 para ganharmos alguma familiaridade com a notação ${ k-\delta}$ e esperamos que o leitor seja capaz de mostrar as restantes propriedades.

Teorema 20 (Convergência da Sucessão Monótona) Seja ${ u_n}$ uma sucessão monótona em ${ \overline{\mathbb{R}}}$ . Então ${ u_n}$ é uma sucessão convergente em ${ \overline{\mathbb{R}}}$ :

${ \lim u_n = \mathrm{sup}\{ u_n: \, n \geq p \}}$ para ${ u_n}$ crescente.
${ \lim u_n = \mathrm{inf}\{ u_n: \, n \geq p \}}$ para ${ u_n}$ decrescente.

Demonstração: Vamos somente demonstrar o resultado para o caso em que ${u_n}$ é uma sucessão monótona crescente.

Dada uma sucessão monótona ${ u_n}$ temos, ${ E=\{ u_n:\, n\geq p \}}$ e ${ s=\sup E}$ .

Vamos admitir que ${ s \in \mathbb{R}}$ (sucessão majorada). Dado ${ \delta > 0}$ é possível mostrar que ${ x \in E}$ tal que ${ s-\delta < x\leq s}$ .

Pela definição de ${ E}$ sabemos que ${ x=u_k}$ , para um certo ${ k}$ . Assim ${ \exists k \in \mathbb{N}:\, s-\delta < u_k \leq s}$ .

Uma vez que ${ u_n}$ é uma sucessão monótona ${ n \geq k \Rightarrow u_n > s-\delta}$ . Mas uma vez que ${ u_n \in E}$ também temos ${ u_n \leq s}$ .

Logo ${ n\geq k \Rightarrow s-\delta < u_n\leq s \Rightarrow u_n \in \rbrack s-\delta, s \rbrack \Rightarrow |u_n - s| < \delta}$ . Pela de definição de limite é ${ \lim u_n = s}$ .

Vamos agora supor que ${ s=+\infty}$ . Neste caso também podemos provar que dado ${ L > 0\, \exists x \in E: \, x > L}$ . Relembrando que é ${ x=u_k}$ temos ${ \exists k \in \mathbb{N}: \, u_k > L}$ . Uma vez ${ u_k}$ é uma sucessão crescente temos ${ n\geq k \Rightarrow u_n \geq u_k > L}$ e isto é equivalente a ${ u_n \rightarrow +\infty}$ . $\Box$

Mais uma vez queremos indicar que é necessário termos atenção com a interpretação deste teorema. De modo algum podemos assumir que o recíproco desta teorema é verdadeiro. Ou seja não podemos pensar que todas as sucessões que têm um limite em ${ \overline{\mathbb{R}}}$ são monótonas. Basta apenas pensarmos na sucessão ${ u_n=\dfrac{(-1)^n}{n}}$ que tende para ${0}$ ainda que não seja monótona.

Corolário 21 Toda a sucessão monótona e limitada é convergente em ${ \mathbb{R}}$ .

Demonstração: Por hipótese sabemos que ${ \exists a,b \in \mathbb{R}: \, a\leq u_n \leq b}$ . Pelo Teorema 20 sabemos que ${ u_n }$ tem limite em ${ \overline{\mathbb{R}}}$ . Pelo Corolário 15 vem que ${ a \leq \lim u_n \leq b}$ . Assim ${ u_n \rightarrow c \in \mathbb{R}}$ onde ${ c \in \lbrack a, b \rbrack}$ . $\Box$

Este corolário é muito importante para aplicações práticas pois permite-nos identificar a natureza da convergência para um bom número de sucessões sem calcularmos explicitamente o limite.

Em alguns casos podemos precisar de saber explicitamente o valor do limite e aí o Corolário não é de grande ajuda, mas cabe-nos a nós avaliar o que precisamos em cada situação e assim decidirmos qual abordagem tomar.

Por exemplo dado ${ u_n = \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n}$ qual deverá ser a nossa estratégia? Calcular o limite ou provar que a sucessão é monótona e convergente?

Vamos fazer uma pequena inspecção ao gráfico dos termos da sucessão:

Pelo gráfico podemos ver que ${ u_n}$ aparente ser majorada por ${ 3}$ e é crescente, logo é monótona.

Inspirados pela inspecção gráfica vamos tentar demonstrar que a sucessão de facto é majorada e crescente para assim concluirmos que é convergente.

Proposição 22 ${ u_n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n}$ é uma sucessão convergente.

Demonstração: Primeiro vamos mostrar que ${ u_n }$ é crescente. Para o fazer vamos calcular ${ u_{n+1}/u_n}$ .

${\begin{aligned} \dfrac{u_{n+1}}{u_n}&= \dfrac{\left(1+\dfrac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n} \\ &=\dfrac{\left (\dfrac{n+2}{n+1} \right )^{n+1}}{\left ( \dfrac{n+1}{n} \right )^n} \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{n+2}{n+1}/\dfrac{n+1}{n} \right )^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{(n+2)n}{(n+1)^2} \right )^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (\dfrac{n^2+2n}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1} \left( \dfrac{n^2+2n+1-1}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{n^2+2n+1} \right)^n \\ &= \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{(n+1)^2} \right )^n \end{aligned}}$

Para procedermos vamos utilizar a Desigualdade de Bernoulli ${ (1+x)^r \geq 1+rx\, \forall r \in \mathbb{Z}}$ e ${ \forall x: \, x \geq -1}$ . Esta desigualdade será demonstrada num artigo futuro usando a indução matemática.

Continuando.

${\begin{aligned} \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{1}{\left (n+1 \right )^2} \right )^n &\geq \dfrac{n+2}{n+1}\left (1-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^2} \right ) \\ &= \left ( 1+\dfrac{1}{n+1}\right )\left ( 1-\dfrac{n}{\left(n+1\right)^2}\right ) \\ &= 1-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^2}+\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1-\dfrac{-n(n+1)+(n+1)^2-n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1+\dfrac{-n^2-n+n^2+2n+1-n}{\left (n+1 \right )^3} \\ &= 1+\dfrac{1}{\left (n+1 \right )^3} \\ &\geq 1 \end{aligned}}$

Em conclusão ${ \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1 \Leftrightarrow u_{n+1} \geq u_n}$ e ${ u_n }$ é monótona.

Agora resta-nos mostrar que ${ u_n}$ é limitada e terminamos a nossa demonstração que ${u_n}$ é convergente.

${ u_1=\left(1+\dfrac{1}{1}\right)^1=2}$ . Umja vez que ${u_n}$ é crescente vem que ${ u_n \geq 2}$ .

Assim resta-nos provar que ${ u_n}$ é majorada para podermos concluir que é limitada.

Como foi mostrado neste artigo podemos escrever

${ \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=\displaystyle \sum _{k=0}^n\dbinom{n}{k}\dfrac{1}{n^n}}$ .

Escrevendo por extenso:

${\begin{aligned} \left( 1 + \dfrac{1}{n}\right)^n &= \displaystyle \sum _{k=0}^n\dbinom{n}{k}\dfrac{1}{n^n} \\ &= 1+\dbinom{n}{1}\dfrac{1}{n}+\dbinom{n}{2}\dfrac{1}{n^2}+\cdots +\dbinom{n}{n}\dfrac{1}{n^n} \\ &= 1+1+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+\cdots + \dfrac{1}{n^n} \end{aligned}}$

Sabemos que ${ \dfrac{n(n-1)\ldots (n-(k-1))}{2!}\dfrac{1}{n^k}<1}$ e que ${ \dfrac{1}{k!}<\dfrac{1}{2^{k-1}}}$ . Usando estas duas desigualdades, por essa ordem respectiva:

${ \begin{aligned} 1+1+\dfrac{n(n-1)}{2!}\dfrac{1}{n^2}+\cdots + \dfrac{1}{n^n} &< 1+1+\dfrac{1}{2!}+\cdots+\dfrac{1}{n!} \\ &< 1+\dfrac{1}{2}+\cdots+\dfrac{1}{2^{n+1}} \end{aligned} }$

Assim o que temos é: ${ \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n<\displaystyle 1 + \sum_{k=0}^{n-1}\left( \dfrac{1}{2} \right)^n}$ .

Uma vez que ${ \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}r^n=\dfrac{1-r^n}{1-r}}$ segue

${\begin{aligned} \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n &< 1+\dfrac{1-1/2^n}{1-1/2} \\ &= 1+\dfrac{1-1/2^n}{1/2} \\ &= 1+2-\dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &= 3-\dfrac{1}{2^{n-1}} \\ &\leq 3 \end{aligned}}$

Sintetizando o que nós temos é

$\displaystyle 2\leq \left( 1+\dfrac{1}{n} \right)^n \leq 3$

Assim ${ u_n}$ é monótona e limitada. O que nos leva a concluir que ${ u_n}$ é convergente.

Para além disso também sabemos de ${ u_n \leq 3}$ que ${ \lim u_n \leq 3}$ . Tal não nos permite saber com exactidão qual é o valor do limite, mas é já alguma informação. $\Box$

3 comentários

Análise Matemática – Sucessões IV « Luso Academia diz:

07/12/2015 às 9:21 pm

[…] Análise Matemática – Sucessões III […]

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Análise Matemática – Limites e Continuidade I « Luso Academia diz:

07/14/2015 às 8:44 pm

[…] Análise Matemática – Sucessões III […]

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Análise Matemática – Exercícios III « Luso Academia diz:

07/18/2015 às 9:44 pm

[…] b) Usando a) estabeleça a desigualdade se e (se bem se lembram usamos esse resultado no artigo Análise Matemática ? Sucessões III […]

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